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C.4  Vektoren

beschreiben Orte oder gerichtete Grössen

PIC

Definition von Vektoren. r ist ein Ortsvektor, v der Geschwindigkeitsvektor.

         (    )
-→           x
r  = r =    y

         (     )   (    )
-→v  = v =    vx   =    ˙x
            vy        ˙y

Die Ableitung nach der Zeit wird auch als

     dx
˙x =  ---
     dt

geschrieben.

Addition:

        (     )    (    )    (         )
           ax        bx        ax + bx
a + b = |(  ay |) +  |( by |) =  |(  ay + by |)
           bz        bz         dz + bz
(C.1)

PIC Versuch zur Vorlesung: Kraft-Polygon (Versuchskarte M-28)

Länge eines Vektors

      ∘ ------------
|a| =   a2 + b2+ a2
         y    y    z
(C.2)

Skalarprodukt

a·b  = axbx + aybz + azbz = |a ||b |· cos(∠a,b)
(C.3)

der Einheitsvektor ex ist ein Vektor der Länge 1, der in die x-Richtung zeigt.

Vektorprodukt

        (     )    (    )    (             )
           ax        bx         aybz - azby
a × b = |(  ay |) ×  |( by |) =  |(  azbx - axbz |)
           b         b         a  b - a b
            z         z          x y    yx
(C.4)

C.4.1  Gesetze

Für die Orientierung der Vektoren gilt:

a × b ⊥ a
(C.5)

a × b ⊥ b
(C.6)

|a × b| = |a||b|· sin(∠a,b)
(C.7)

C.4.1.1. Spatprodukt
a· (b × c ) = b · (c × a) = - b· (a × c)
(C.8)

Das Spatprodukt berechnet das Volumen des durch a,b, c aufgespannten Spates.

C.4.1.2. Orthogonalität zweier Vektoren testen

Gegeben seien zwei Vektoren a und b. Die Projektion von a auf b, das heisst, die Komponente von a in die Richtung von b ist

                               b--      b-
ab = ain Richtung b = a·eb = a · |b | = a · b
(C.9)

In kartesischen Koordinaten heisst dies

     a  b + a b  + a b
ab = --x∘x---y-y----z-z
          b2x + b2y + b2z
(C.10)

Beispiel:

Sei a = (3,2, - 2) und b = (- 2,0,1). Dann ist

ab =  3·(-∘2)-+-2·0-+--(--2)·2--=  - 6√--4-= - -1√0--= - -√5--
           (- 2)2 + 02 + 22           8       2  2        2

Beispiel:

Sei a = (3,2, - 2) und b = (0,0,1). Dann ist

     3·0  + 2·0  + (- 2 )·2    - 2
ab = ----√--2----2----2--- =  √---= - 2
           0  + 0 +  1          1

Dis ist die z-Komponente von a.



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