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E.2  Differentiation einfacher Funktionen

Funktion n-te Ableitung


xm m(m - 1)(m - 2)(m - n + 1)xm-n
bei ganzzahligem m und n und
m > n ist die n-te Ableitung null
ln x (-1)n-1(n - 1)!x-n
log a(x) (-1)n-1(n--1)!
 lnax-n
ekx knekx
akx (k lna) nakx
sin(kx) kn sin (        )
 kx +  nπ
       2
cos(kx) kn cos (kx +  nπ)
       2
Ableitung einiger Funktionen

Beispiel:

y = (5x2 - 3x + 2)6x

soll differenziert werden. Wir verwenden die logarithmische Ableitung.

               2           -d-
ln (y ) = 6x ln(5x - 3x + 2)|dx

d            d  (        2         )
dx-(ln (y )) =  dx- 6x ln(5x  - 3x + 2 ) |ableiten, Produktregel rechts

 ′                                 2
y- = 6 ln (5x2 -  3x + 2) + 6x d-ln(5x---3x-+--2)|Kettenregel ganz  rechts
y                                   dx

y′                               1      d (5x2 -  3x + 2)
--=  6ln(5x2 - 3x + 2) + 6x --2-------------------------
y                           5x -  3x + 2       dx

y′                               1
--=  6ln(5x2 - 3x + 2) + 6x---2---------(10x -  3)| * y
y                          5x  -  3x + 2

dy-=  y′ = 6y ln(5x2 - 3x + 2) + 6yx--10x---3---|y einsetzen
dx                                  5x2 - 3x + 2

                                                              10x - 3
y′ = 6 (5x2 - 3x + 2)6x ln (5x2 - 3x + 2) + 6(5x2 - 3x + 2)6xx-------------
                                                           5x2 - 3x + 2

                      [                                ]
 ′       2          6x      2             --10x----3---
y =  6(5x -  3x + 2)   ln(5x  - 3x + 2) + 5x2 - 3x + 2



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