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E.3  Taylorreihe und Reihen

Definition

              x - a         (x - a)2             (x - a)n
f(x) = f(a ) +------f′(a) + --------f′′(a) + ...+ ---------f(n)(a) + ...
                1!             2!                   n!

andere Schreibweise

                    Δx          (Δx )2             (Δx )n
f(x + Δx ) = f(x ) +----f′(x) + ------f′′(x) + ...+ ------ f(n)(x) + ...
                     1!           2!                 n!

Beispiel

f(x + Δx )  =   sin(x + Δx )
                        Δx           (Δx )2
            =   sin(x) + ----cos(x) + ------f′′(x ) + ...
                         1!            2!
                      n(Δx-)2n                   n(Δx-)2n+1
                +(- 1)  (2n )!  sin(x ) + ...+ (- 1)  (2n +  1)! cos(x) + ...

Spezialfall: x = 0

                                                      2n+1
sin (Δx  ) = Δx -  1-(Δx  )5 + -1(Δx )5 + ...+ (- 1)n(Δx-)---- + ...
                 3!        3!                    (2n + 1)!



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