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E.5  Ableitungen in drei Dimensionen

E.5.1  Gradient in kartesischen Koordinaten

Wenn wir eine Funktion y = f(x) als Höhenprofil in einer zweidimensionalen Landschaft auffassen, dann ist

df(x)-
 dx

die Steigung dieses Profiles an der Stelle x. f(x) ist die Höhenangabe über einer eindimensionalen Grundfläche.

Wir können eine Funktion f(x,y) als Höhenangabe über einer zweidimensionalen Grundfläche betrachten.

PIC

Gradient als Richtung der stärksten Steigung


Die Funktion Gradient berechnet das stärkste Gefälle einer Höhenlandschaft über einer zweidimensionalen Ebene. Sie ist definiert:
          ( ∂f(x,y))
          |  ∂x  |
grad f =  |( ∂f(x∂y,y)|)


Eine skalare Funktion f(x,y,z) definiert eine „Höhenlandschaft“ über einer dreidimensionalen Grundfläche. Sie kann nicht mit einfachen Mitteln visualisiert werden. Hier ist die Definition


Gradient einer skalaren Funktion f(x,y,z) von drei Variablen
          ( ∂f(x,y,z))
          | ∂f∂(xx,y,z)|
grad  f = ||    ∂y   ||
          |( ∂f(x,∂zy,z)|)


E.5.2  Divergenz in kartesischen Koordinaten

Wir betrachten eine Vektorfunktion

         (          )
            fx(x,y)
f(x,y) = |(  fy(x,y) |)

PIC

Vektorfeld mit Umrandung

Wenn wir die Umrandung betrachten, dann sehen wir, dass netto etwas aus ihr herausfliesst. In die x-Richtung heisst das, dass

Fx·dx  =  fx(x + dx,y) - fx(x,y )

fliesst.

In die y-Richtung müssen wir die schräg liegenden Vektoren aufteilen. Die x-Komponente, fx(x,y) und fx(x,y + dy) ist parallel zur oberen und unteren Umrandung. Sie trägt nichts zum Fluss bei. Also gilt auch für die y-Richtung

F  ·dy =  f (x,y + dy ) - f (x,y)
  y        y             y

Die Grösse F = Fx + Fy nennen wir Divergenz oder Quellstärke. Sie ist also


Divergenz oder Quellstärke in 2 Dimensionen
              ∂fx(x,y )   ∂fy(x,y)
div f (x,y) = ---------+  ---------
                 ∂x          ∂y


Eine analoge Überlegung kann man sich in drei Dimensionen machen. Die Vektorfunktion ist dann

           (            )
              fx(x,y,z)
           ||  fy(x,y,z) ||
f (x,y,z) = |(  f (x,y,z) |)
               z

Wir definieren


Divergenz einer Vektorfunktion f(x,y) in drei Dimensionen
                ∂fx(x,y,z)   ∂fy(x,y,z)   ∂fz (x,y,z)
div f (x,y,z) =  ---∂x-----+  ----∂y-----+ ----∂z-----


E.5.3  Rotation in kartesischen Koordinaten

Wir betrachten wieder eine zweidimensionale Vektorfunktion

         (          )
            fx(x,y)
f(x,y) = |(  fy(x,y) |)

PIC

Drehung eines schwimmenden Klotzes, Rotation

Wir nehmen nun an, dass die durch f(x,y) definierten Strömungen den rechteckigen schwimmenden Klotz beeinflussen. So wie die Vektoren gezeichnet sind, wird er sich drehen. Seine Drehachse zeigt aus der Zeichenebene heraus, also die z-Richtung. Die Drehung hat etwas zu tun mit den Grössen

R dx  = f (x + dx,y) - f (x,y)
  y      y              y

und

Rxdy  = - (fx(x,y + dy) - fx(x,y))

Um bei gleicher Drehrichtung (positiv ist im Gegenuhrzeigersinn) eine positive Grösse zu haben, wird bei Rx ein -“ eingefügt. Die Stärke der Drehung ist also


Rotation in zwei Dimensionen
R =  ∂fy(x,y)-- ∂fx-(x,y)
        ∂x         ∂y


Für eine dreidimensionale Vektorfunktion

           (            )
              fx(x,y,z)
           ||  fy(x,y,z) ||
f (x,y,z) = |(  fz(x,y,z) |)

kann man sich überlegen, dass die gleichen Überlegungen wie für die xy-Ebene auch für die xz-Ebene (Rotation um y) und die yz-Ebene (Rotation um x) gelten. Wir definieren also


Rotation in drei Dimensionen
               (                   )
                 ∂fz(x,y,z)-  ∂fy(x,y,z)-
               || ∂fx∂(xy,y,z)   ∂fz∂(zx,y,z)||
rot f(x,y,z) = ||    ∂z   -    ∂x   ||
               |( ∂fy(x∂,xy,z)-  ∂fx(∂xy,y,z)|)


Man kann sich die Berechnung gut merken mit


Gedankenstütze für Rotation
                ( ∂-)   (          )
                | ∂∂x|   | fx(x,y,z)|
rot f (x,y,z) = || ∂y|| × || fy(x,y,z)||
                |( ∂∂z|)   ( fz(x,y,z))




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