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F.1  Unbestimmte Integrale

(Siehe Bronstein, Taschenbuch der Mathematik [BSMM00, pp. 445])

Funktion Integral



xn xndx = xn+1
n+1 n -1
1
x dx
 x = ln |x|
sin(x) sin(x)dx = - cos(x)
cos(x) cos(x)dx = sin(x)
tan(x) tan(x)dx = - ln | cos(x)|
cot(x) cot(x)dx = ln | sin(x)|
  1
cos2(x)  dx
cos2(x)- = tan(x)
  1
sin2(x)   dx
sin2(x) = - cot(x)
  1
a2+x2   dx
a2+x2 = 1
a arctan x
a
ex exdx = ex
ax axdx = ax-
lna
ln x ln xdx = x ln x - x
sinh x sinh xdx = cosh x
cosh x cosh xdx = sinh x
tanh x tanh xdx = ln | cosh x|
coth x coth xdx = ln | sinh x|
co1sh2x- cosdxh2x- = tanh x
--1--
sinh2x --dx--
sinh2x = - coth x
√--1---
  a2- x2 √-dx---
 a2-x2 = arcsin x
a
Unbestimmte Integrale

F.1.1  Bestimmte Integrale und Integrale mit variabler oberer Grenze

Wenn für eine Funktion f(x) die Stammfunktion

        ∫
F˜(x) =   f(x )dx +  C
(F.1)

ist, haben bestimmte Integrale der Funktion f(x) die Form

       b
      ∫                 b
Fa,b =   f (x)dx = F (x)|a = F (b) - F (a)
      a
(F.2)

Der Name der Variablen im bestimmten Integral sind irrelevant

       ∫b          ∫b          ∫b                b
Fa,b =   f (x )dx =   f (ζ )d ζ =   f(Ξ )dΞ =  F(Ξ )|a = F (b) - F (a)
       a           a           a
(F.3)

Wir können nun die obere Grenze variabel machen. Wichtig ist, dass die Variable im Integral eine andere Variable ist wie in der Grenze

∫x
  f (ζ )d ζ = F (ζ)|x = F (x) - F (a )
                 a
a
(F.4)

Wenn F(x) nach x abgeleitet wird, erhält man wieder f(x).

    x
-d-∫           -d-                  dF-(x)
dx    f(ζ)dζ = dx  (F (x) - F (a)) =  dx    = f(x)
    a
(F.5)

Wenn die Variable x die untere Grenze ist und die obere Grenze fest ist, b, dann gilt

∫b
  f (ξ)dξ = F (ξ)|bx = F (b) - F(x)
x
(F.6)

und

   ∫b
d--  f(ζ)dζ =  d--(F(b) - F (x)) = - dF-(x-)=  - f(x)
dx x           dx                     dx
(F.7)

Ist die obere Grenze eine Funktion g(x), gilt

   ∫g
-d-  (x)f(ζ)dζ =  d--(F(g(x )) - F (a)) = - dF-(g-(x-))=  f(g(x))dg(x-)
dx a              dx                          dx                dx
(F.8)

Dies ist nichts anderes als die Kettenregel der Differentiation (Siehe Tabelle E.1).



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