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2.1  Physikalische Grössen und Einheiten

Eine physikalische Grösse besteht aus der Masszahl und der Einheit

Beispiel:   PIC


Gleichungen müssen nicht nur für die Masszahlen sondern auch für Einheiten gelten, das heisst, dass man mit einer Einheitenbetrachtung feststellen kann, dass eine Gleichung falsch ist.

Beispiel:

2.1.1  Einheitensysteme

2.1.1.1. Internationales System (SI)

Grösse Symbol (Beispiel) Einheit Abkürzung
Länge: x Meter m
Zeit t Sekunde s
Masse m Kilogramm kg
Temperatur T Kelvin K
Strom I Ampère A
Stoffmenge n Mol mol
Lichtstärke I candela cd
SI (Système Internationale) Grundeinheiten

Die SI-Einheiten sind die gesetzlichen Einheiten. Das SI ist überbestimmt, nur die Einheiten der Länge, der Zeit und der Masse wären notwendig.

Definition der Zeit

                                    133
1s = 9192631770  Schwingungen   von    Cs
(2.1)

Definition der Länge

                       1
1m  ≜ Lichtweg in ----------s
                  299792485
(2.2)

d.h. Lichtgeschwindigkeit c ist definiert, nicht die Länge. Man könnte c = 1 setzen und die Länge in Sekunden messen.

2.1.1.2. cgs-System

Grössen werden im cgs-System durch cm,g,s ausgedrückt

Grösse Einheit
Länge cm
Masse g
Zeit s
cgs-System: Grundeinheiten

2.1.2  Messen

PIC Materialien
Seminar vom 20. 10. 2008: Aufgabenblatt 01 (HTML oder PDF)
Folien zur Vorlesung vom 17. 10. 2008: PDF

Eine Grösse messen heisst, das zu messende Objekt mit der Masseinheit zu vergleichen.

Es gibt auch indirekte Messmethoden, z.B. bei Thermometern

2.1.2.1. Messunsicherheit

PIC Versuch zur Vorlesung: Messunsicherheit (Versuchskarte M-183)

Bei jeder Messung gibt es eine Messunsicherheit

Wahrer Wert vw
gemessener Wert vg
Messunsicherheit (absolute Messunsicherheit) Δv = vg - vω
Messunsicherheit (relative Messunsicherheit) Δv-
⟨v⟩
Arten der Messunsicherheit

Messunsicherheiten werden wie folgt kategorisiert

2.1.2.2. Fehlerfortpflanzung

Wir betrachten die Fehlerfortpflanzung anhand der Geschwindigkeitsmessung. Die Geschwindigkeit kann aus der Zeit t, die zum Durchlaufen einer bestimmten Strecke x benötigt wird, berechnet werden. Wir nehmen an, dass wir n Messungen durchführen, und dabei die Messungen mit j = 1n bezeichnen. Wir verwenden fernen den Mittelwert der Ortsmessung

         n
⟨x⟩ = 1-∑  x
      n j=1  j
(2.3)

und den Mittelwert der Zeitmessung

      1-∑n
⟨t⟩ = n    tj
        j=1
(2.4)

Die Abweichung der einzelnen Messwerte vom Mittelwert ist dann

Δxj = xj -⟨x⟩
Δtj = tj -⟨t⟩

Die Standardabweichung eines einzelnen Messwertes einer Grösse x bei n Messungen ist definiert durch

     ┌│ ------∑n------   ┌│ ------∑n------------
σx = │∘  --1---   Δx2 =  │∘ --1---   (xi - ⟨x⟩)2
        n - 1 i=1    i     n - 1 i=1
(2.5)

Die Standardabweichung des Mittelwertes ⟨x⟩ einer Grösse x bei n Messungen ist

       ┌ -----------------   ┌ ------------------------
       ││     1    ∑n    2    ││     1    ∑n           2
σ⟨x⟩ =  ∘ n-(n----1)   Δx i =  ∘ n-(n --1)   (xi - ⟨x⟩)
                  i=1                   i=1
(2.6)

Die einzelnen Messwerte können dann auch als

xj = ⟨x ⟩ + Δxj
tj = ⟨t⟩ + Δtj

Es gelten

j=1nΔx j = 0
j=1nΔt j = 0

Mit vj = xj∕tj wird

⟨v⟩ = 1-
n j=1nv j = 1-
n j=1nxj-
tj
= 1-
n j=1n⟨x⟩-+-Δxj-
 ⟨t⟩ + Δtj = 1-
n j=1n   (    Δxj-)
⟨x-⟩(1-+--⟨x⟩)--
⟨t⟩ 1 + Δtj
         ⟨t⟩
= 1-
n⟨x⟩-
⟨t⟩ j=1n(       )
 1 + Δxj-
(----⟨x⟩)-
 1 + Δ⟨ttj⟩
1-
n⟨x⟩-
⟨t⟩ j=1n(         )
 1 + Δxj-
      ⟨x⟩(        )
 1 -  Δtj-
      ⟨t⟩
= 1-
n⟨x⟩-
⟨t⟩ j=1n(                       )
 1 + Δxj- -  Δtj-+ O (2)
      ⟨x⟩    ⟨t⟩
= 1-
n⟨x⟩-
⟨t⟩( ∑n     ∑n        ∑n             )
(    1 +    Δxj- -     Δtj-+ O (2))
  j=1    j=1 ⟨x⟩   j=1 ⟨t⟩
= 1-
n⟨x⟩-
⟨t⟩(n + 0 - 0 + O (2)) = ⟨x⟩-
 ⟨t⟩ + O(2)

Dies bedeutet, dass man für statistisch unabhängige Daten sowohl zuerst das Resultat ausrechnen kann und dann mitteln, oder zuerst die Messwerte Mitteln, und dann das Resultat berechnen kann. Die beiden Resultate werden bis auf Summanden der Ordnung 2 in den Fehlern identisch sein.

Der Begriff O(2) sagt, dass Terme mit der Ordnung (Summe aller Exponenten) von 2 oder mehr vernachlässigt wurden.

Die Messunsicherheit von ⟨v ⟩ wird durch

σ⟨v⟩ = ┌│ ----------n∑------------
│∘ ----1----    (vj - ⟨v⟩)2
  n (n - 1) i=1

Ein einzelner berechneter Wert der Geschwindigkeit wird dann

vj = xj-
tj
= ⟨x⟩ + Δxj
----------
⟨t⟩ + Δtj
= ⟨x⟩
----
⟨t⟩(         )
  1 + Δxj-
( -----⟨xΔ⟩t-)
  1 +  ⟨jt⟩-
⟨x⟩-
⟨t⟩(         )
  1 + Δxj-
      ⟨x ⟩(         )
  1 - Δtj-
       ⟨t⟩
⟨v⟩(    Δx     Δt  )
 1 + ---j - ---j
      ⟨x⟩    ⟨t⟩
= ⟨v⟩ + Δvj

Zufällige Fehler sind Gauss-verteilt. Der relative Fehler des Mittelwertes aller Messungen nimmt meist mit √ --
  n (wobei n die Anzahl Messungen ist) ab. Die Messunsicherheit von ⟨v⟩ wird durch

σ⟨v⟩ = ┌│ ----------n------------
│∘ ----1----∑   (v  - ⟨v⟩)2
  n (n - 1) i=1   i
= ┌│ -------------------
│∘ ----1----∑n       2
  n (n - 1)    (Δvi )
            i=1
= ┌ --------------------------------
││          ∑n      (           )2
∘ ----1----    ⟨v ⟩2  Δxi--  Δti-
  n (n - 1) i=1       ⟨x⟩    ⟨t⟩
= ⟨v⟩┌│ ------------⌊-(----)----(-----)-------------⌋-
││     1    ∑n    Δxi   2    Δti  2    Δxi  Δti
∘ n-(n----1)   ⌈  -⟨x⟩   +   -⟨t⟩-   - 2-⟨x⟩ ⟨t⟩⌉
           i=1

Nun ist aber Δti und Δxi nach unseren Annahmen statistisch unabhängig, also nicht korreliert. Daraus folgt, dass das Produkt 2Δx
⟨xi⟩Δt
-⟨ti⟩ sich zu null mittelt und weggelassen werden kann. Wir haben also

σ⟨v⟩-
⟨v⟩ = ┌│ -------------⌊(-----)2---(----)2-⌋
││ ----1----∑n  ⌈  Δxi-       Δti-  ⌉
∘ n (n - 1)       ⟨x⟩    +   ⟨t⟩
            i=1
= ┌ --------------------------------------------
││          ∑n  (    )2             ∑n (     )2
∘ ----1----     Δxi-   +  ----1----     Δti-
  n (n - 1) i=1   ⟨x⟩      n(n - 1 )i=1  ⟨t⟩
= ┌│ -------n----------------n-----
││ ---1-- ∑ Δx2     --1---∑  Δt2
│∘ n(n-1)i=1---i-   n(n--1)-i=1---i-
       ⟨x⟩2     +      ⟨t⟩2
= ┌ -------------------
││ ( σ  )2    (σ   )2
∘   -⟨x⟩-  +   --⟨t⟩
    ⟨x⟩        ⟨t⟩

Im besprochenen Falle haben wir eine Funktion, die als Polynom geschrieben werden kann. Deshalb lässt sich das Fehlerfortpflanzungsgesetz relativ schreiben. Im Allgemeinen gilt: wenn y = f(x  ,x ,...)
  1 2 ist, lautet das Gausssche Fehlerfortpflanzungsgesetz


Gausssche Fehlerfortpflanzungsgesetz
       ┌│ ---(---------)2
       │∘ ∑n   ∂f--
σ ⟨y⟩ =        ∂x  σ⟨xi⟩
         i=1     i
(2.7)


Das Symbol ∂-
∂t bedeutet die partielle Ableitung nach t. Hängt eine Funktion von mehreren Variablen ab, also zum Beispiel f(x,y,z,t), dann betrachtet man bei der partiellen Ableitung ∂f(x,y,z,t)
---∂t--- die Variablen x, y und z als konstant und leitet wie gewöhnlich nach t ab. Man kann auch schreiben:

∂f (x,y,z,t)   df(x = const,y = const,z = const,t)   ∂f (x,y,z,t)||
-----------=  -----------------------------------=  -----------||
    ∂t                        dt                         ∂t    |x,y,z

Analog sind man bei der partiellen Ableitung ∂f(x,∂yy,z,t) die Variablen x, z und t konstant und man leitet wie gewöhnlich nach y ab. Für relative Fehler muss man σ⟨y⟩ durch y = f(x ,x ,...)
   1 2 teilen. Dies ist jedoch nur bei Funktionen vom Typ xik, k korrekt.


Gausssches Fehlerfortpflanzungsgesetz für relative Messunsicherheiten
                      ┌│ ---(----------------------)--
σ ⟨y⟩    σ⟨f(x1,x2,...)⟩    │∘ ∑n        1        ∂f       2
---- = ------------=         -----------· ----σ⟨xi⟩
 y     f (x1,x2,...)     i=1  f (x1,x2,...)  ∂xi
(2.8)


Andererseits könnte man auch so argumentieren: Wir ersetzen die Messwerte durch die Schätzwerte σx und σt. Wir erhalten (ohne Berücksichtigung der Vorzeichen, da wir dies ja nicht kennen)

σv     σx    σt
--- = ----+  ---
⟨v⟩   ⟨x ⟩   ⟨t⟩

Allgemein gilt: wenn y = f(x1,x2,...) ist, ist

         |   |
     ∑n  ||∂f-||
σy =     ||∂x ||σxj
     j=1    j

Diese zuletzt vorgestellten Rechnungen (Grösstfehlerabschätzung) sollten nicht verwendet werden. Sie liefern bis zu zehn mal zu hohe Fehlerschranken.



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