©2005-2014 Ulm University, Othmar Marti, PIC
[Nächste Seite] [Vorherige Seite] [vorheriges Seitenende] [Seitenende] [Ebene nach oben] [PDF-Datei][ePub-Datei][Andere Skripte]

H.1  Geschwindigkeiten

Wir wissen, dass in kartesischen Koordinaten

    (  )
    | x|
r = ( y)  = xex + yey + zez
      z
(H.1)

der Ortsvektor ist. Die Geschwindigkeit ist dann

           ( dx)    (  )
     dr    | dt|    |x˙|
v =  ---=  ( ddyt) =  ( ˙y) = x˙ex +  ˙yey + ˙zez
     dt      dz       ˙z
             dt
(H.2)

Wir verwenden die Beziehungen

x = r sin(θ) cos(ϕ) (H.3)
y = r sin(θ) sin(ϕ) (H.4)
z = r cos(θ) (H.5)

und leiten sie ab. Wir erhalten

= sin(θ) cos(ϕ) + r cos(θ) cos(ϕ)˙θ - r sin(θ) sin(ϕ)˙ϕ (H.6)
= sin(θ) sin(ϕ) + r cos(θ) sin(ϕ) ˙
θ + r sin(θ) cos(ϕ)˙
ϕ (H.7)
ż = cos(θ) - r sin(θ)˙θ (H.8)

Wir setzen in die Gleichung H.2 die Gleichungen H.8, H.9, H.10, H.6, H.7 und H.8 ein und ordnen nach er, eθ und eϕ.

v = ex + ey + żez (H.9)
= [sin(θ) cos(ϕ )er + cos(θ) cos(ϕ)eθ - sin (ϕ )eϕ]
+ [sin(θ)sin(ϕ)er + cos(θ)sin(ϕ)eθ + cos(ϕ)eϕ]
+ ż[cos(θ)er - sin(θ)eθ]
= [x˙sin (θ)cos(ϕ) + ˙ysin(θ)sin(ϕ) + ˙zcos(θ)] er
+ [˙x cos(θ)cos(ϕ) + ˙ycos(θ) sin(ϕ) - z˙sin(θ)] eθ
+ [- ˙x sin(ϕ) + ˙y cos(ϕ)] eϕ

Der Übersichtlichkeit halber berechnen wir nun die drei Komponenten er, eθ und eϕ getrennt. Wir beginnen mit er.

vr = sin(θ) cos(ϕ) + sin(θ) sin(ϕ) + ż cos(θ) (H.10)
= [                                                 ]
 r˙sin (θ )cos(ϕ) + rcos(θ)cos(ϕ )θ˙- r sin(θ) sin(ϕ ) ˙ϕ sin(θ) cos(ϕ)
+ [                                                ]
 ˙r sin(θ) sin(ϕ ) + r cos(θ )sin (ϕ )˙θ + rsin (θ)cos(ϕ)ϕ˙ sin(θ) sin(ϕ)
+ [                  ]
 ˙r cos(θ ) - r sin(θ)θ˙ cos(θ)
= [sin(θ)cos(ϕ )sin (θ )cos(ϕ) + sin(θ) sin(ϕ )sin (θ )sin (ϕ ) + cos(θ) cos(θ )]
+ r˙θ[cos(θ)cos(ϕ) sin(θ) cos(ϕ) + cos(θ) sin (ϕ )sin (θ)sin (ϕ) - sin(θ) cos(θ )]
+ r˙ϕ[- sin(θ)sin(ϕ) sin(θ) cos(ϕ ) + sin(θ)cos(ϕ )sin (θ )sin (ϕ )]
= [                                       ]
 sin2(θ) cos2(ϕ ) + sin2(θ)sin2(ϕ) + cos2(θ )
+ r˙θ[          2                    2                        ]
 cos(θ) cos(ϕ )sin (θ) + cos(θ)sin (ϕ) sin(θ) - sin (θ)cos(θ)
+ r˙
ϕ[    2                     2                ]
 - sin (θ) sin(ϕ )cos(ϕ) + sin (θ)sin(ϕ) cos(ϕ)
= [  2    (   2        2   )      2   ]
 sin (θ)  cos (ϕ ) + sin (ϕ) + cos (θ)
+ r˙θ[             [                ]              ]
 cos(θ) sin(θ) cos2(ϕ ) + sin2(ϕ) - sin(θ) cos(θ )
= [                ]
 sin2(θ) + cos2(θ) + rθ˙[cos(θ) sin(θ) - sin(θ)cos(θ)]
=

Wir fahren mit eθ weiter.

vθ = cos(θ) cos(ϕ) + cos(θ) sin(ϕ) -ż sin(θ) (H.11)
= [                                                 ]
 r˙sin(θ) cos(ϕ ) + r cos(θ)cos(ϕ)θ˙- r sin(θ) sin(ϕ)ϕ˙ cos(θ) cos(ϕ)
+ [                                                ]
 ˙rsin(θ)sin(ϕ) + rcos(θ) sin(ϕ )θ˙+ r sin (θ )cos(ϕ) ˙ϕ cos(θ) sin(ϕ)
-[                  ]
 ˙rcos(θ) - r sin(θ)θ˙ sin(θ)
= [sin(θ)cos(ϕ) cos(θ )cos(ϕ) + sin(θ) sin(ϕ )cos(θ)sin(ϕ) - cos(θ)sin (θ)]
+ r˙θ[cos(θ)cos(ϕ) cos(θ) cos(ϕ) + cos(θ )sin (ϕ )cos(θ)sin(ϕ) + sin (θ )sin (θ )]
+ r˙ϕ[- rsin(θ)sin(ϕ)cos(θ) cos(ϕ) + sin(θ) cos(ϕ )cos(θ)sin(ϕ)]
= [                                                       ]
sin(θ)cos(θ) cos2(ϕ ) + sin(θ)cos(θ) sin2(ϕ) - cos(θ)sin(θ)
+ r˙θ[   2      2         2      2        2   ]
 cos (θ)cos (ϕ) + cos (θ)sin (ϕ) + sin (θ)
+ r˙
ϕ[- rsin(θ)sin(ϕ)cos(θ) cos(ϕ) + sin(θ) sin(ϕ) cos(θ)cos(ϕ)]
= [sin(θ)cos(θ) - cos(θ)sin(θ)]
+ r˙
θ[   2        2   ]
 cos (θ) + sin (θ)
= r˙θ

Wir schliessen mit eϕ.

vϕ = - sin(ϕ) + cos(ϕ) (H.12)
= -[                                                ]
 ˙rsin(θ)cos(ϕ) + r cos(θ) cos(ϕ)˙θ - rsin(θ)sin(ϕ) ˙ϕ sin(ϕ)
+ [                                                ]
 ˙rsin(θ)sin(ϕ) + rcos(θ)sin(ϕ)θ˙+ r sin(θ) cos(ϕ ) ˙ϕ cos(ϕ)
= [- sin(θ)cos(ϕ) sin(ϕ ) + sin(θ)sin(ϕ)cos(ϕ )]
+ r˙θ[- cos(θ)cos(ϕ)sin(ϕ) + cos(θ)sin(ϕ) cos(ϕ )]
+ r˙
ϕ[sin (θ)sin (ϕ)sin(ϕ) + sin(θ) cos(ϕ)cos(ϕ)]
= r˙ϕ[                            ]
sin(θ)sin2(ϕ) + sin (θ)cos2(ϕ)
= r sin(θ)˙ϕ

Zusammenfassend haben wir

v = vrer + vθeθ + vϕeϕ (H.13)
= er + rθ˙eθ + r sin(θ)ϕ˙eϕ



[Nächste Seite] [Vorherige Seite] [vorheriges Seitenende] [Seitenanfang] [Ebene nach oben]
©2005-2014 Ulm University, Othmar Marti, PIC  Lizenzinformationen