2005-2014 Ulm University, Othmar Marti, PIC
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K.1  Vektoridentitten

(Siehe Bronstein, Taschenbuch der Mathematik [BSMM00, pp. 190])

Im Folgenden sind a, b, c und f Vektoren oder vektorielle Funktionen, a, b, c und f ihre Lngen, k eine Zahl und φ(r) eine skalare Funktion. Die Komponenten der Vektoren in kartesischen Koordinaten sind

    (  a  )
    |   x |
a = (  ay )
       az

Fr die anderen Vektoren werden die Komponenten analog geschrieben.

K.1.1  Produkte mit Vektoren

Skalarprodukt

k =  ab  = axbx + ayby + azbz = abcos(∠ (a,b))
(K.1)

Vektorprodukt

            (              )
               aybz - azby
c = a × b = |(  azbx - axbz |)      |a × b | = ab sin (∠(a,b))
               axby - aybx
(K.2)

Vertauschung der Reihenfolge (Kommutationsgesetze)

ab = ba (K.3)
a×b = -b×a (K.4)

Zwei Vektoren sind orthogonal, wenn

a b =  0
(K.5)

Sie sind kollinear, wenn

a × b = 0
(K.6)

Doppeltes Vektorprodukt

a × (b × c) = (ac )b - (ab ) c
(K.7)

Spatprodukt oder gemischtes Produkt

(a ×  b) c = (b × c) a
= (c × a) b
= -(b × a) c
= -(c × b) a
= -(a × c) b
= axbycz + aybzcx + azbxcy -(azbycx + axbzcy + aybxcz) (K.8)

Drei Vektoren sind komplanar, wenn

(a ×  b)c  = 0
(K.9)

Lagrangesche Identitt

(a ×  b) (c × f ) = (a c )(bf ) - (af ) (bc )
(K.10)

Vierfaches Vektorprodukt

(a × b) × (c × d) = ((a × b) f )c - ((a × b) c) f
(K.11)

K.1.2  Ableiten von Vektoren

Ableiten eines Vektors

          (     )   (  da  )    (    )
 d      d   ax         -dtx        a˙x
-- a = -- |( ay  |) = |(  dadty |) =  |( a˙y |)
dt     dt   az         daz        a˙z
                        dt
(K.12)

Ableitung eines Produktes

d-(φ (t)a (t)) = d-φa + φ -da
dt              dt      dt
(K.13)

Ableitung des Skalarproduktes

d-          da-        db-
dt (ab ) = dt b + a  dt
(K.14)

Ableitung des Vektorproduktes

d-           da-           db-
dt (a ×  b) = dt ×  b + a × dt
(K.15)

Ableitung eines Vektors mit konstantem Betrag. Hier ist aa = a2 = const. Aus Gleichung (K.14) folgt

      2
0 = da--=  d-(aa  ) = da-a +  a da-=  da-a      ⇒       da-⊥a
     dt    dt          dt          dt    dt                 dt
(K.16)

Taylorentwicklung einer Vektorfunktion

                      |           |                |
                    da||    τ2 d2a ||        τ n dna ||
a(t + τ) = a(t) + τ dt|| +  2--dt2-||+  ...+ n!- dtn-||+  ...
                       t          t                t
(K.17)

K.1.3  Vektorableitungen bei Skalarfeldern

Ableitung eines skalaren Feldes nach einer Richtung

∂φ-(r)       φ(r-+-εc)---φ(r-)
  ∂c   = lεim→0         ε
(K.18)

Ableitung ∂φ(r)
 ∂ec in Richtung des Einheitsvektors ec in Richtung von c

∂-φ(r = |c| ∂-φ(r)
 ∂c          ∂ec
(K.19)

Richtungsableitung einer skalaren Funktion im Vergleich zur Richtung mit dem strksten Abfall (Einheitsvektor n)

∂ φ(r)    ∂φ(r)
------ =  ------cos(∠ec,n )
 ∂ec       ∂n
(K.20)

K.1.4  Vektorableitungen bei Vektorfeldern

Ableitung eines Vektorfeldes a nach einer Richtung

∂a-(r) = lim  a(r-+-εc)---a(r-)
  ∂c     ε→0         ε
(K.21)

Ableitung ∂a(r)-
 ∂ec in Richtung des Einheitsvektors ec in Richtung von c

∂a-(r = |c| ∂a-(r)
 ∂c          ∂ec
(K.22)

Richtungsableitung einer Vektorfunktion

∂a (r)
------
  ∂c = (cgrad  ) a (K.23)
= 1-
2(rot  (a × c) + grad  (ca ) + cdiv a -  adiv  c
- c × rot a - a × rot c )

Gradient eines Produktes

grad  (φ1φ2 ) = φ1grad  φ2 + φ2grad  φ1
(K.24)

Kettenregel beim Gradienten

grad  φ1(φ2 ) = dφ1grad  φ2
                dφ2
(K.25)

Gradient eines Skalarproduktes

grad  (a b ) = (a grad ) b + (b grad )a + a ×  rot b + b × rot a
(K.26)

Gradient eines Skalarproduktes eines konstanten Vektors k mit einem Ortsvektor r

grad  (r k ) = k
(K.27)

Divergenz eines Produktes

div (φa ) = φdiv a + agrad  φ
(K.28)

Divergenz eines Skalarproduktes eines konstanten Vektors k mit einem Ortsvektor r

             rk
div  (rk ) = -----
              |r|
(K.29)

Divergenz eines Vektorproduktes

div (a × b) = brot  a - a rot  b
(K.30)

Rotation eines Produktes

rot (φa ) = φrot  a + grad  φ × a
(K.31)

Divergenz eines Vektorproduktes

rot (a × b) = (bgrad   )a - (a grad  )b + adiv b - bdiv a
(K.32)

Rotation eines Potentialfeldes

rot  (grad φ ) = 0    ∀ φ
(K.33)

Divergenz einer Rotation

div  (rot a ) = 0    ∀a
(K.34)

Rotation einer Rotation

rot (rot a) = grad  (div a ) - div (grad a )
(K.35)



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