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3.1  Kinematik

Frage: Wie bewegt sich ein Körper?

Als Körper verwenden wir Massenpunkte.

3.1.1  Massenpunkte


Definition: Ein Massenpunkt ist ein idealisierter Körper, dessen gesamte Masse m in einem Punkt vereinigt ist.

3.1.1.1. Realisierung

Wenn Form und Masse eines Körpers bei der Bewegung keine Rolle spielen, kann dieser Körper für Berechnungen durch einen Massenpunkt ersetzt werden.

Beispiele:

Die Lage eines Massenpunktes wird durch seinen Ort x angegeben.

3.1.2  Bewegung eines Massenpunktes auf einer Geraden

PIC Versuch zur Vorlesung: Geschwindigkeitsmessung (Versuchskarte M-145)

PIC

Die Lage des Punktes P zur Zeit t ist x(t).

Oft gibt man für eine Bewegung den Ort als Funktion der Zeit an, als als Fahrplan an.

PIC

Fahrplan. Horizontal ist die Zeit, vertikal die Distanz entlang einer Strecke, hier einer Geraden aufgetragen. Eingezeichnet ist schwarz die Momentangeschwindigkeit v(t) als Tangente an die Kurve x(t). und die Durchschnittsgeschwindigkeit vDurchschnitt) von tanfang bis tende in blau.

3.1.2.1. Durchschnitts- und Momentangeschwindigkeit in einer Dimension

PIC Materialien
Folien zur Vorlesung vom 21. 10. 2008: PDF
Seminar vom 27. 10. 2008: Aufgabenblatt 02 (HTML oder PDF)

Die Durchschnittsgeschwindigkeit eines Massenpunktes ist gegeben durch

                    x-(tEnde)---x-(tAnfang)-
vDurchschnitt = ⟨v⟩ =     tEnde - tAnfang
(3.1)

Bemerkung:
Diese Definition gilt nur bei der Bewegung auf einer Geraden.

Beispiel: Ausflug. Bei einem Ausflug ist man nach der Zeit Δt am Ende wieder bei sich zuhause. Die physikalische Durchschnittsgeschwindigkeit ist dann

v = Δx--=  0--=  0
    Δt     Δt

Die „Autofahrerdefiniton“ der Geschwindigkeit ist anders:

         tende=tanfang+T
      1       ∫
⟨v⟩ = T-              |v (t)|dt
            tanfang
(3.2)

In der Gleichung (3.2) tritt die Momentangeschwindigkeit auf. Sie ist die Steigung des Graphen zur Zeit t, also Ableitung des Ortes nach der Zeit. Wir können deshalb schreiben

            x (t + Δt ) - x(t)  dx (t)
v (t) =  lim  ----------------- = ------=  ˙x(t)
       Δt→0        Δt             dt
(3.3)

Die Momentangeschwindigkeit ist die Tangente an die Ortsfunktion im Fahrplandiagramm.

PIC Versuch zur Vorlesung: Geschwindigkeitsmessung einer Pistolenkugel
  (Versuchskarte M-13)

3.1.2.2. Beschleunigung in einer Dimension

PIC Versuch zur Vorlesung: Beschleunigte Bewegung (Versuchskarte M-200)

Die Beschleunigung ist definiert als die Änderung der Geschwindigkeit pro Zeit, also

a(t) = lim  v(t +-Δt)---v-(t)-=  lim  Δv--=  dv-= v˙=  ¨x
       Δt→0        Δt          Δt→0 Δt     dt
(3.4)

PIC

Zeitabhängige Beschleunigung.

Es gelten die folgenden Beziehungen:

x(t) = x0 + 0tv(τ) = x 0 + 0t(               )
{     ∫τ        }
  v0 +   a(^τ) d^τ
(      0        ) (3.5)
v(t) = dx (t)
------
  dt = v0 + 0ta(τ) (3.6)
a(t) = dv-(t)-
  dt = d2x(t)-
 dt2 (3.7)

Beispiel: Freier Fall in Bodennähe (sonst gelten die unten stehenden Gleichungen nicht). Wir verwenden für die Beschleunigung den Betrag des Feldvektors des Gravitationsfeldes, nämlich g = 9.81m∕s2. Wir haben die Beziehungen:

a(t) = g = 9.81m∕s2 = const.
v(t) = v0 + 0tgdτ = v 0 + gt
x(t) = x0 + 0tv(τ) = x 0 + 0t(v0 + gτ) = x0 + v0t + 1
--
2gt2

PIC

Fahrplan eines geworfenen Balls.

x = x0 + v0t + 1-
2gt2

PIC Versuch zur Vorlesung: Anfangsgeschwindigkeit (Versuchskarte M-133)



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