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L.2  Drehung von Vektoren und Matrizen (oder Tensoren)

Sei Reα(α) die Drehmatrix. Dann ist der aus r hervorgegangene um die Achse eα und den Winkel α gedrehte Vektor

r ′ = Reα (α )r
(L.1)

Ein Beispiel dafür ist in (L.4) gezeigt.

Die aus der Matrix

     (               )
       Axx  Axy   Axz
     || Ayx  Ayy   Ayz||
A =  |(               |)
       Azx  Azy   Azz

hervorgegangene um die Achse eα und den Winkel α gedrehte Matrix ist

A′ = Reα(α)ARTe (α).
               α
(L.2)

Die Drehung zurück ist dann

         ′ T           T     ′           T              T
Reα(- α)A Reα(- α) = R eα(α)A Reα(α ) = Reα(α)Reα(α )AR eα (α )Reα(α) = A
(L.3)

Wenn wir als Beispiel die Matrix

     (  a  b  0 )
     | - b c  0 |
A =  ||          ||
     (  0  0  d )

um eα = (          )
 √1-,0,- √1-
   2      2T drehen, erhalten wir

A= R(1√ -
  2,0,-1√ -
  2)T(α)AR(1√-
 2,0,-1√-
 2)TT (α) (L.4)
= R(1√2-,0,-1√2)T(α)AR(1√2,0,-1√2)T(-α)
= ( 1              sin(α)   1           )
| 2(cos(α ) + 1)  -√2--   2(cos(α ) - 1 )|
||    - sin√(α)-    cos(α )     - sin√(α)-  ||
|| 1      2       sin(α)   1      2    ||
( 2(cos(α ) - 1 )  √2     2(cos(α ) + 1 ))(         )
  a   b  0
|| - b c  0||
|( 0   0  d|)
( 1               sin(α)  1            )
| 2(cos(α ) + 1) -  √2    2(cos(α) - 1)|
||     sin√(α)-     cos(α )      sin√(α)    ||
|| 1     2         sin(α)  1      2     ||
( 2(cos(α ) - 1 ) - √ 2   2(cos(α) + 1))
= ( 1              sin(α)   1           )
| 2(cos(α ) + 1)   √2-    2(cos(α ) - 1 )|
||    - sin√(α)-    cos(α )     - sin√(α)-  ||
|| 1      2       sin√(α)   1      2    ||
( 2(cos(α ) - 1 )    2    2(cos(α ) + 1 ))
( 1                bsi√n(α)-           a-si√n(α)  1                bsin√(α))
| 2a(cos(α ) + 1) +    2   bcos(α ) -    2   2a(cos(α ) - 1) +   2  |
|| csi√n2(α)-- 12b(cos(α) + 1)  bsin√(2α)+ c cos(α)  csin√(2α)-  12b(cos(α) - 1)||
||     1                         dsin√(α)          1                  ||
(     2d(cos(α) - 1)          -    2            2d (cos(α ) + 1 )   )
= (   1((a + d)cos2(α ) + 2(a - d) cos(α ) + a + 2c sin2 (α ) + d)  0  0)
| 1(4 √ --                                                  )      |
|| 4 -   2 sin(α )(cos(α )((a - 2c + d) + a - d) -√2b(c)os(α) + 1)   0  0||
|(           - 1 sin(α ) sin(α)(a - 2c + d) + 2  2b              0  0|)
              4
+         (                   --                                 )
( 0   1  2b(cos(α) + 1) - √ 2sin(α)(cos(α)(a - 2c + d) + a - d)    0)
|     4               1          2          2                       |
|| 0    (  √ --        2(a + d)sin (α) + ccos (α)                )  0||
|( 0  14  -   2sin(α)(cos(α )(a - 2c + d) - a + d) - 2b(cos(α ) - 1)   0|)
+ (                           (                      √ --)          )
  0  0            - 14 sin(α ) sin (α)(a - 2c + d) - 2 2b
||       1 (                 √ --                                 )||
|| 0  0  4  2b(cos(α) - 1) -   2sin(α)(cos(α)(a - 2c + d) - a + d) ||
( 0  0    14 (cos(α)((a + d)cos(α ) - 2a + 2d ) + a + 2c sin2(α ) + d ) )



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