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3.4  Mechanische Arbeit in einer Dimension

Verschiebt man ein Objekt entlang der Strecke s mit der Konstanten Kraft F, so hat man die Arbeit

W  = F ·s

geleistet. Ist die Kraft nicht konstant, so teilt man die Strecke in infinitesimal kleine Teilstrecken ds auf und erhält für jede Teilstrecke die Arbeit

dW   = F ds

Die einzelnen Teilarbeiten sind additiv, also erhält man als Definition der Arbeit


Die mechanische Arbeit ist
               ∫x2           ∫
W (x1 →  x2) =   F (x)dx =    F (s )ds
               x
                1
(3.1)


3.4.1  Beschleunigungsarbeit oder kinetische Energie

Wir fragen uns nun: Was ist der Aufwand, um eine konstante Masse m vom Impuls p = 0 auf den Impuls p zu bringen? Der Aufwand, die Beschleunigungsarbeit, hängt von zwei Grössen ab

Den Aufwand nennen wir die kinetische Energie. Wir schreiben unter Verwendung der Definition der Arbeit Gleichung (3.1) :

      ∫p
W  =    ˙pds
      0
(3.2)

Aus dem Experiment und der Definition des Impulses wissen wir, dass p = mv oder v = p∕m ist. Nun ist aber auch

ds-
dt = v

und deshalb

            p
ds = vdt = -- dt
           m

Gleichzeitig wechseln die Integrationsgrenzen von [0,] zu [0,t]. Wir haben also

     ∫t ˙pp      ∫t( d  p2 )       1 ∫p  (   )    p2
W  =    --dt′ =     ------ dt =  ----  d p′2  = ----
     0  m       0   dt2m         2m  0          2m
(3.3)

das heisst, die Arbeit, um eine konstante Masse von 0 auf den Impuls p zu bringen ist W. Diese Arbeit muss als kinetische Energie betrachtet werden. Sie steckt in der Bewegung der Masse m. Sollte die Masse veränderlich sein, kann immer die Masse temporär als konstant angesehen und die kinetische Energie mit dem obigen Verfahren berechnet werden.


kinetische Energie
       -p2-
Ekin = 2m
(3.4)


Die Einheit der kinetischen Energie ist: 1 J = 1 Nm

3.4.2  Potentielle Energie

Unter potentieller Energie verstehen wir die Möglichkeit, Arbeit zu leisten, wobei wir die Energie, die in der Bewegung ist, ausklammern. Arbeit im physikalischen Sinne ist

dW  = Fext·ds
(3.5)

Wir betrachten also nur die Komponente der Kraft Fext, die entlang des Wegelementes ds liegt.

Nun ist die Kraft, die das System aufbringt, die Kraft, gegen die wir arbeiten müssen, F = -Fext. Die im System gespeicherte Energie ist deshalb

dW   = Fext·ds =  - F ·ds
(3.6)

Damit ist die potentielle Energie definiert durch


         s2
         ∫
Epot = -   F ·ds
        s1
(3.7)


Die Einheit der potentiellen Energie ist: 1Joule = 1Nm

3.4.3  Energieerhaltung mechanischer Systeme in einer Dimension

PIC Materialien
Folien zur Vorlesung vom 28. 10. 2008: PDF

PIC Versuch zur Vorlesung: Energieerhaltung (Versuchskarte M-093)

Wir betrachten ein System, dessen Energie konstant ist.

Etot = Ekin + Epot + Einnen = konstant
(3.8)

Dabei ist Einnen die noch unspezifizierte innere Energie eines Teilchens. Für Massenpunkte ist Einnen = 0.

Die Konstanz der gesamten Energie Etot bedeutet, dass deren zeitliche Ableitung null sein muss

dEtot
--dt- = 0
(3.9)

Diese Gleichung ist ein Ausdruck des Hamiltonschen Prinzips, dass die Gesamtenergie konstant sei. Im Einzelnen hat man

     dEkin   dEpot    dEinnen
0 =  ------+ ------+  --------
      dt       dt       dt
(3.10)

Nehmen wir nun an, dass die innere Energie konstant sei (z.B. Massenpunkte). Dann ist

    dEkin-  dEpot-
0 =   dt  +   dt
(3.11)

3.4.3.1. Eindimensionaler Spezialfall: Epot linear in x

Wir betrachten ein eindimensionales Problem und nehmen an, dass

Epot = - F·x

sei. Dann ist die Bewegungsgleichung

 d                 d (  1         )
-- (Ekin + Epot) =  --  ---p2 - F x  = 0
dt                 dt  2m

oder (mit m = konst)

 1
---2p· ˙p - F ˙x = 0
2m

Umgeschrieben ist

p· ˙p = mF x˙=  F p

und mit p 0

F =  ˙p
(3.12)

Diese Bewegungsgleichung ist auch als 2. Newtonsches Axiom oder als 2. Newtonsches Kraftgesetz bekannt. Die Herleitung zeigt jedoch, dass dieses Gesetz, so nützlich es manchmal sein mag, kein fundamentales Gesetz, sondern ein aus den Symmetriebeziehungen des Raumes abgeleitetes Gesetz ist Emmy Noether, [Noe18].

3.4.4  Arbeit und Leistung

PIC Versuch zur Vorlesung: Arbeit an der schiefen Ebene (Versuchskarte M-094)

Beispiel Hebel

PIC PIC
Δy = Δx Δy = 2Δx
F0 = mg F0 = 12mg
Δy· F 0 = Δx·dmg Δy·F0 = mg·Δx
Kräftegleichgewicht beim Hebel

Die Grösse Weg × Kraft, also die Arbeit, wird beim Hebel erhalten.

dW = F|| zu s·ds (3.13)
W = s0s1 F|| zu sds = W(s1) - W(s0) (3.14)

Dabei ist ds der Weg entlang der Bahn!

also

F|| zu r W = F·s (3.15)
Fzu r W = 0! (3.16)

Beispiel:

Kreisbahn azentripetal dr W = 0

Die Einheit der Arbeit ist 1m2k2g
 s = 1 Joule  = 1J = 1Nm = ---1--
3600000kWh


Im allgemeinen dreidimensionalen Falle hängt die Arbeit W von der durchlaufenden Bahn r(s) ab.

Beispiel:

Luftwiderstand

FLuft = bv2

Wenn die Beschleunigung a konstant ist, gilt

v(s) = √ ----
  2as

Dann ist

         s∫0        ∫s0
             2                         2
WLuft =    bv ds =    2as·b ds =  ab·s
         0         0

Beispiel:

Bei der Gleitreibung haben wir

W(r1,r2,b) = s2s1 (- FG ) ds
= FG s1s2 ds
= FG(s2 - s1)

Das heisst, die Arbeit ist, wie erwartet, proportional zur zurückgelegten Strecke.

Bei der Berechnung der Arbeit spielt Zeit keine Rolle. Wenn wir die Zeit, in der eine Arbeit geleistet wird, berücksichtigen wollen, sprechen wir von Leistung.


Definition der Leistung
     dW
P =  -dt-
(3.17)


Gleichung (3.17) kann mit der Definition der Arbeit umgeschrieben werden:

P = dW
----
 dt = d
--
dt r0rF(s)ds
= (    ∫r       )
( d--         )
  dr   F (s)ds
    r0dr-
dt = F(r(t)) dr-
 dt (3.18)

Wir haben bei der Umformung verwendet, dass die Ableitung nach der oberen Grenze (die untere ist hier konstant) eines Integral der Integrand selbst ist. Umgeschrieben erhalten wir

     dW
P  = ---- = F (t)·v (t)
      dt
(3.19)

Die Einheit der Leistung ist

                 N m      m2
1W  att = 1W  = 1--s- =  1s3-kg
(3.20)

3.4.5  Potentielle Energie und Kräfte

Aus der Definition der potentiellen Energie ersehen wir, dass

          d
F (r) = - dr (Epot (r))
(3.21)

Der Beweis lautet:

d(Epot(r)) = ∂Epot
------
 ∂rdr
= d⌊   r        ⌋
   ∫
⌈-    F (s)ds⌉
   r0 = -F(r) dr (3.22)

3.4.5.1. Gleichgewicht und Stabilität

PIC Versuch zur Vorlesung: Arten des Gleichgewichts (Versuchskarte M-021)

Um die Stabilität einer Gleichgewichtslage zu untersuchen, betrachten wir die drei möglichen Verläufe der potentiellen Energie mit einer Ortskoordinate

PIC

Gleichgewichtslagen und potentielle Energie

  1. Bei einer Auslenkung ergibt sich eine Rückstellkraft: wir haben ein stabiles Gleichgewicht

    Bedingung ist: ∂E-
dx = 0, d2E
dx2 > 0 oder dF-
 dx < 0

  2. Bei einer Auslenkung ergibt sich eine zunehmende Kraft nach aussen: wir haben ein labiles Gleichgewicht

    Bedingung ist: ∂E-
dx = 0, d2E
dx2 < 0 oder dF-
 dx > 0

  3. Bei einer Auslenkung ist die Masse immer noch im Gleichgewicht: wir haben ein indifferentes Gleichgewicht

    Bedingung ist: ∂E-
dx = 0, d2E
dx2 = 0 oder dF-
 dx = 0

In 3 Dimensionen ist ein Massenpunkt im Gleichgewicht, wenn grad Epot = 0 ist.



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