©2005-2014 Ulm University, Othmar Marti, PIC
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4.1  Kinematik in drei Dimensionen

4.1.1  Massenpunkte im Raum

Die Lage eines Massenpunktes wird durch seinen Ortsvektor angegeben.

r = (    )
|  x |
(  y )
   z =^ (    )
|  r |
( φ  )
   θ = (    )
|  ρ |
(  φ )
   z
kartesische Kugel- Zylinder-
Koordinaten koordinaten koordinaten

PIC PIC PIC

Definition der Koordinatensysteme. Links: kartesisches System. Mitte: Zylinderkoordinaten. Rechts: Kugelkoordinaten

4.1.2  Bewegung im Raum

Ein Massenpunkt bewege sich entlang einer Bahnlinie r(t)

PIC

Bewegung eines Massenpunktes.

Die Zeit t ist der Parameter, der die Bahn beschreibt.

       (       )
          x (t)
r (t) = |(  y (t) |)
          z(t)
(4.1)

Zeit Ortsvektor
t r(t)
t + Δt r(t + Δt )
Bewegung in der Zeit Δt.

Verschiebung Δ r = r(t + Δt) -r(t)

Beispiel: für Bewegungen im Raum

          (  αcos t )
          |         |
r (t) =   (  bsint  ) Schraube
               ct
          (    - tτ     )
          |  ae   cost |
r (t) =   (     t0     ) Spirale
             be-τ sin t
          (          )
          |    at    |
r (t) =   (     0    ) Wurfparabel
             bt - ct2
          (     )
          |  r  |
r (t) =   (  ωt ) Kreisbahn, in Kugelkoordinaten
             0

Mit dem Satz des Pythagoras berechnen wir den Abstand von Ursprung

          ∘ ------------
r = |r| =   x2 + y2 + z2

4.1.2.1. Geschwindigkeit

Definition:

v(t) =  lim  r(t +-Δt)---r-(t)-=  d-r (t) = r˙(t)
       Δt→0        Δt           dt
(4.2)

In kartesischen Koordinaten mit

       (        )
       |  rx(t) |
r(t) = (  ry (t) )
          rz (t)

ist

       (        )
          drx(t)
       ||  ddrty(t) ||
v (t) = (   dt   )
          drdz(tt)
(4.3)


Wichtig: Die Geschwindigkeit ist tangential zur Bahnkurve.

Diese Aussage folgt aus der Definition der Geschwindigkeit!

Beispiel: Schraube

       (        )            (          )
       |  acost |            | - a sin t |
r(t) = (  bsint )  ⇒ v (t) = (  b cost  )
            ct                     c

Spirale

       (            )            (                         )
          ae-τtcost                - ae- tτ sint - ae- tτ cos t
r (t) = |(      0     |) ⇒  v (t) = |(            0  τ         |)
            --t                       - t        b -t
          be τ sin t                 be  τ cos t - τeτ sin t

Wurfparabel

        (         )            (         )
        |    at   |            |    a    |
r (t) = (    0    )  ⇒  v(t) = (    0    )
          bt - ct2                b - 2ct

Der Betrag der Geschwindigkeit ist

                   ∘ -2-------2------2----
v (t)  =   |v (t)| =   vx(t) + v y (t) + vz (t)
          ┌│ (----)2---(---)2---(----)2
      =   │∘   dx-   +   dy-  +   dz-
              dt        dt       dt

4.1.2.2. Beschleunigung

PIC

Berechnung der Beschleunigung aus der Geschwindigkeitsänderung

Definition der Beschleunigung

            v-(t-+-Δt-) --v-(t)  d-v-(t)
a (t) = Δltim→0        Δt         =   dt   =  ˙v(t) = ¨r (t)
(4.4)

Wichtig: a(t) steht beliebig zur Bahn

Beispiel: Schraube

       (          )            (          )
       |  - a sint |           | - acos t |
v (t) = (   bcost  ) ⇒  a (t) = (  b sin t  )
             c                      0

also ist a(t) senkrecht auf v(t), d.h. senkrecht auf der Bahntangente

Wurfparabel:

       (         )            (      )
            a                     0
v(t) = |(    0    |)  ⇒  a(t) = |(   0  |)

          b - 2ct                - 2c

Betrag

        ∘ ---------------------   ∘ ------------------
a (t) =   a2(t) + a2(t) + a2(t) =   (¨x)2 + (y¨)2 + (¨z)2
           x       y       z

4.1.2.3. Bewegung in Kugelkoordinaten *

Zur Erinnerung ist hier nochmals die Definition der Kugelkoordinaten angegeben:

PIC

Definition der Kugelkoordinaten

Ort

x  =   rsinθ cosφ                           (4.5)

y  =   rsinθ sin φ
z  =   rcosθ

mit

   r2  =  x2 + y2 + z2
           z          z
cos θ  =   --= -√--2----2---2-
           r      x + y  + z
tanφ   =   y-
           x

Die Geschwindigkeit in Kugelkoordinaten ist

vr  =   vxsin θ cosφ + vy sin θsinφ +  vz cosθ = r˙           (4.6)
v   =   v cosθ cosφ + v  cosθ sin φ - v  sin θ = r ˙θ
 θ       x              y             z
vφ  =   - vx sin φ + vy cosφ = r sin θ ˙φ
v2  =   ˙r2 + r2 (˙θ2 + sin2 θφ˙2 )

Schliesslich ist die Beschleunigung in Kugelkoordinaten

a   =   a sin θcosφ +  a sinθ sin φ + a  cosθ =                          (4.7)
 r       x   (          y  )          z
    =   ¨r - r θ˙2 + sin2θ φ˙2

aθ  =   axcos θcos φ + ay cos θsinφ - az sinθ =                         (4.8)
    =   r ¨θ - rsinθ cosθ ˙φ2 + 2 ˙r ˙θ

aφ  =   - axsinφ +  ay co(sφ =             )                             (4.9)
        rsinθ ·φ¨+ 2 φ˙ r˙·  sin θ + rcosθ θ˙
 2       2    2    2
a   =   ar + aθ + aφ                                                   (4.10 )
    =   - 2cos(θ) r2sin(θ)ϕ˙2 ¨θ + 4r2cos(θ) ˙θ ˙ϕsin (θ ) ¨ϕ

        +4 cos(θ) rsin(θ)ϕ˙2 ˙r˙θ + r2¨θ2 + 4 ˙r2θ ˙2 + 4r˙2ϕ˙2
        +2r ˙ϕ2(cos (θ ))2 ¨r + 2r2 ˙ϕ2(cos(θ))2θ˙2 - r2ϕ˙4 (cos(θ))2 + r¨2 - 2¨rrθ˙2
              2    2 4     2 2 2    2 4            2 2            2  2 2
        - 2¨rr ˙ϕ + r ˙θ +  2r ˙θ ˙ϕ +  r ˙ϕ +  4˙r˙θr¨θ + r ¨ϕ  - 4(cos (θ ))  ˙r ˙ϕ
        - 4(cos(θ))2r˙ϕ˙r ¨ϕ + 4˙rϕ˙rϕ¨-  (cos (θ))2r2¨ϕ2

Eine Ableitung der Gleichungen befindet sich im Anhang H.

Planare Kreisbewegung mit konstantem Radius
Wir betrachten eine Bewegung in der xy-Ebene

PIC

Bewegung in einer Ebene

Definitionen

Der Ortsvektor ist:

         (       )    (            )
            x (t)        r cosφ (t)
r(t)  =  |(  y (t) |) =  |(  rsinφ (t) |)                 (4.11 )


x(t)  =  r cosφ (t)  y (t) = r sin φ (t)

Daraus definieren wir die Winkelgeschwindigkeit:

Definition: ω(t) = d
dtφ(t)

(Alle Rechnungen müssen im Bogenmass durchgeführt werden.)

Unter der Annahme, dass r konstant ist, berechnen wir die Geschwindigkeit ist

           dr-(t)-
 v(t)  =    dt                                   (4.12 )
           (       )
           | vx (t) |
       =   ( vy (t) )

           d
vx(t)  =   --(r cosφ (t))
           dt
                        dφ-(t)-
       =   - r sin φ (t) · dt
       =   - rω (t)sinφ (t)

vy (t) =   d-(r sin φ (t))
           dt
       =   rcosφ (t)ω (t)

also

                  (             )   (        )
                     - sinφ (t)        vx(t)
v (t)  =  rω (t)· |(   cosφ (t)  |) = |(  vy (t) |)           (4.13 )


 v(t)  =  rω (t)                                          (4.14 )

Wir erhalten die Radialkomponente der Geschwindigkeit, indem wir sie mit einem Einheitsvektor in Richtung des Radiusvektors r multiplizieren (siehe Gleichung (C.9) ). Der Einheitsvektor ist

     (          )
e =    cos φ (t)
 r     sinφ (t)

Wir erhalten

v(t) ·er(t) = vx(t) cos φ(t) + vy(t) sin φ(t)
= -v(t) sin φ(t) cos φ(t) + v(t) cos φ(t) sin φ(t) = 0 (4.15)

Den Einheitsvektor in die Richtung der Tangente et erhält man, indem man er um π∕2 dreht.

    (     (         ) )    (            )
       cos( φ(t) + π2)         - sin φ (t)
et = || sin φ (t) + π  ||  = |(   cosφ (t)  |)
    (              2  )

Die Tangentialkomponente ist

vt = vx(t) [- sin φ (t)] + vy(t) cos φ(t)
= v(t) [- sin φ (t)] [- sin φ(t)] + v(t) cos φ(t) cos φ(t)
= v(t) (4.16)

Für die Beschleunigung erhalten wir

                (        )   (        )
                  ax (t)        dvx(t)
a(t) = dv-(t)=  |( a  (t) |) = |(  dvdty(t) |)
         dt         y             dt
(4.17)

mit

dvx-(t)
  dt = d-
dt(- rω (t) sin φ (t)) = - r[                             ]
 ω˙(t)sin φ (t) + ω (t)2cosφ (t) (4.18)
dvy (t)
--dt--- = d
dt (rω (t)cosφ (t)) = r(                    2        )
  ˙ω(t)cos φ (t) - ω (t)  sin φ (t)

also ist

                (  - sin φ (t) )            (  cosφ (t))
                |            |        2   |          |
a (t) =  r ω˙(t)(   cosφ (t)  )   - rω  (t)(  sin φ (t) )        (4.19 )

         Tangentialkomponente    Radialkomponente

also ist ar = -2(t) die ins Zentrum gerichtete Zentripetalbeschleunigung

und aφ = r ˙ω(t) die den Geschwindigkeitsbetrag erhöhende Tangentialbeschleunigung

mit dem Betrag der Beschleunigung a = r∘ ----------
  ω4 + (˙ω)2

Beschreibung einer ebenen Bewegung mit komplexen Zahlen *
Die obige Rechnung kann sehr viel bequemer mit komplexen Zahlen durchgeführt werden.

PIC

Kartesische und komplexe Ebene

Es gelten die Beziehungen

z = x + iy = r(cosφ + isin φ) (4.20)
x = r cos φ (4.21)
y = r sin φ (4.22)
(4.23)

Es gilt:

      eiφ  =   cosφ + i sin φ                     (4.24 )
   ( iφ)
Re  e     =   cosφ                              (4.25 )
   ( iφ)
Im  e     =   sin φ                              (4.26 )

daher ist auch

 iφ    -iφ
e--+-e---- =   cos-φ-+-isin-φ-+-cos-(- φ-) +-i-sin-(- φ-)     (4.27 )
    2                            2
           =   cosφ2
eiφ - e-iφ      cos φ + isin φ - cos (- φ ) - i sin (- φ )
---------- =   -------------------------------------
   2i                            2i
           =   sin φ

Eine Kreisbahn wird mit komplexen Zahlen durch

 z (t)  =   x (t) + iy(t) = reiφ(t)                  (4.28 )
                       12
|z(t)| =   (z(t)· ¯z(t))  = r

beschrieben. Wir erhalten die konjugiert komplexe Grösse

¯z (t) = x (t) - iy(t)
(4.29)

Geschwindigkeit ist dann

v(t) = v(t) + ivy(t) (4.30)
= d
--
dtz(t)
= d-
dt(  iφ(t))
 re
= rie(t)·dφ (t)
------
  dt
= (t) z(t)
(4.31)

wobei ω(t) = φ˙(t) die Winkelgeschwindigkeit ist.

Die Beschleunigung ist

a (t) =   ax (t) + iay (t)                              (4.32 )
            2
      =   -d-z (t)
          dt2
           d
      =   -- (iω(t)z (t))
          dt
      =   idω-(t)z(t) + iω (t)·i ω (t) z(t)
             dt
           dω-(t)        2
      =   i  dt  z(t) - ω (t)z (t)

Der erste Summand ist wieder die Tangentialbeschleunigung, während der zweite die Zentripetalbeschleunigung beschreibt

4.1.2.4. Kinematik bezogen auf die Bahn des Massenpunktes *

PIC

Definition des Tangenteneinheitsvektors τ und des Normaleneinheitsvektors n.

Um die Kinematik in drei Dimensionen berechnen zu können, müssen wir die Differentialgeometrie von Bahnen verstehen. Wir definieren den Ortsvektor als

     (   )
       x
r =  |( y |)
       z
(4.33)

Für eine infinitesimale Strecke ist der zurückgelegte Weg

            ∘ ----------------
                 2     2     2
ds = |dr| =   dx  + dy  + dz
(4.34)

Durch Integration bekommt man die gesamte Strecke

      re∫nde       ren∫de ∘ ----------------
s =       ds =          dx2 + dy2 + dz2

    ranfang     ranfang
(4.35)

Die Bahn (Trajektorie) des Massenpunktes wird durch die Streckenlänge s auf der Bahn bestimmt. Diese Definition ist ähnlich wie die im täglichen Leben übliche, ausser dass dort in der Regel Richtungen nicht berücksichtigt werden.

       (        )
       |  x (s) |
r(s) = (  y (s ) )
          z(s)
(4.36)

Der Tangentenvektor ist

        dr (s)
τ (s) = ------
         ds
(4.37)

wobei |τ (s)| = 1 ist.

Beweis:
Die Tangentialrichtung ist durch τ =lim
Δs→0r(s+ΔsΔ)s-r(s) gegeben. Also ist

         |  |
         ||dr ||   |dr|   ds
|τ (s)| = ||--|| = ---- = ---=  1
          ds     ds    ds
(4.38)

Den Einheitsvektor senkrecht auf die Bahn (auch Bahnnormale genannt) n(s) und den Krümmungsradius R(s) bekommt man aus τ (s) durch Ableitung

dτ-(s)   n-(s)
  ds   = R (s)  mit    |n (s)| = 1
(4.39)

Beweis:

         2
   (τ (s))   =  τ (s) ·τ (s) = 1                    (4.40 )
d--      2              dτ-(s)
ds (τ (s))   =  2 τ (s) · ds   =  0                 (4.41 )

also ist  τ(s) senkrecht zur Ableitung bezogen auf die Streckenlänge der Bahndτ(s)
 ds.

PIC

Berechnung des Krümmungsradius

Betrachtet man den an die Bahn geschmiegten Krümmungsradius R(s), so kann aus der Wegstrecke eine Winkeländerung berechnet werden.

Δs = R  (s )· Δφ

Wir erhalten für die Änderung des Normalenvektors aus dem Strahlensatz

|Δ-τ-(s)|=  -Δs-- = |Δ τ (s )|   da |τ (s)| = 1!
 |τ (s)|    R (s)
(4.42)

also ist

         ||      ||
--1-- =  ||Δ-τ-(s)||
R  (s)    | Δs   |
(4.43)

und

R (s) = |-1--|
        ||dτ(dss)||
(4.44)

Bahnbewegung *
Wir zerlegen die Beschleunigung in ihre Tangentialkomponente τ und die Radialkomponente n.

PIC

Tangentialbeschleunigung aτ und Zentripetalbeschleunigung an.

Die Änderung des Ortsvektor r(s) erhalten wir aus der Differentialgeometrie. Wir nennen s(t) den Fahrplan. Also ist der Ortsvektor auch eine Funktion der Zeit r(s(t))

Die Geschwindigkeit ist durch

v (t) = v (s (t))  =   v(t)· τ (s(t))                 (4.45 )

           v (t)  =   ds-(t)-                         (4.46 )
                       dt

definiert.

Beweis:

           dr (s(t))   dr (s)  ds(t)
v (s(t)) = ---------=  ------· ----- = τ (s(t))·v (t)
              dt         ds     dt
(4.47)

Bemerkung : Dies ist die Definition der Geschwindigkeit, die wir üblicherweise geben würden, aber ohne auf die Richtung τ(s(t)) zu achten.

Die Beschleunigung ist:

                                         dv-(t)-            v2(t)
a (t) = a (s(t)) = aτ (s (t)) + an (s(t)) = dt  · τ (s(t)) + R (t)·n  (s (t))
(4.48)

aτ heisst die Tangentialbeschleunigung

ar heisst die Zentripetalbeschleunigung

Beweis:

a (s(t))  =   d-v(s (t)) = -d {τ (s(t))·v (t)}
              dt          dt
              dτ (s)   ds(t)                 dv(t)
          =   -ds---· -dt--·v (t) + τ (s (t))-dt---

          =   n-(s-(t))-·v (t)2 + τ (s(t)) dv-(t)             (4.49 )
              R (s (t))                    dt

Bemerkung: Wenn wir eine gekrümmte Bahn haben, also R(t) < (Kurve), gibt es die Zentripetalbeschleunigung, sogar wenn dv(dtt) = 0 ist.

Bewegung eines Massenpunktes auf einer ebenen Bahn *
Wir setzen:

r =(    )
   x
|(  y |) (4.50)
v = ˙r =(    )
   ˙x
|(  y˙|) = (     )
   vx
|(  vy |) (4.51)
a = ¨r = (    )
  x¨
|( y¨ |) = (    )
  ax
|( ay |) (4.52)

Wegelement:

                  ┌│ (---)----(----)--
     ∘ -2----2-   │∘  dx-  2    dy- 2     ∘ ---2------2
ds =   dx + dy =      dt   +   dt   dt =   (˙x)  + (˙y) dt
(4.53)

Tangentenvektor:

    (             )
       -√--x˙----
    ||    x˙2 + y˙2  ||
τ = ||  -√--y˙---- ||
    |(    x˙2 + y˙2  |)
(4.54)

da |τ | = 1

Normalenvektor:

    (             )
       -√---y˙---
    ||    x˙2 + y˙2  ||
n = ||  -√--x˙---- ||
    |(    x˙2 + y˙2  |)
(4.55)

Krümmungsradius:

     (x˙2 + y˙2)3∕2
R  = ------------
      x˙ ¨y - x¨y˙
(4.56)

Betrag von v:

     ∘--------
v =   x˙2 + y˙2
(4.57)

Tangentialbeschleunigung

aτ =  ˙x√-¨x-+-˙y-¨y-
        ˙x2 + ˙y2
(4.58)

Zentripetalbeschleunigung

                    2
a  =  ˙x√-¨y---¨x-˙y-=  v--
  n     x˙2 + y˙2    R
(4.59)

Kontrolle

     (     )
        ax
a  = |(  ay |) =  τ·at + n ·an
(4.60)

x-Komponente

ax =     x˙
-√--2----2-
   ˙x +  ˙yx˙¨x + y˙¨y
√---2---2-
  x˙ + y˙ -    ˙y
√--2----2-
  ˙x  + ˙yx˙y¨- x¨y˙
-√--2----2-
   ˙x +  ˙y
= x˙2-¨x +-˙y2¨x
  ˙x2 + ˙y2 (4.61)
= (4.62)

y-Komponente

ay =     y˙
-√--2----2-
   ˙x +  ˙yx˙¨x + y˙¨y
-√--2----2
  x˙ + y˙ +     ˙x
√--2----2-
  ˙x  + ˙yx˙y¨- x¨y˙
-√--2----2-
   ˙x +  ˙y (4.63)
= ý (4.64)

Beispiel:

„Schlangenlinie“ beschleunigt

x(t) = 1
2-at2 (t) = at (t) = a (4.65)
y(t) = y0 sin ωt (t) = y0 cos ωt ý(t) = -y0 sin ωt (4.66)

τ =-∘--------1----------
   a2t2 + y2ω2 cos2ωt
          0(            )
      at
|(  ωy  cosωt |)
     0 (4.67)
n =-∘--------1----------
   a2t2 + y2ω2 cos2ωt
          0(              )
   - ωy0 cos ωt
|(      at      |) (4.68)

τ wird mit zunehmendem t parallel zur x-Achse, n wird parallel zur y-Achse

Der Krümmungsradius ist

                            3
     ---(a2t2-+-y20ω2-cos2ωt)-2--
R  = - ay t ω2 sin t - ay ω cost
         0 0            0
(4.69)

Der Betrag der Geschwindigkeit wird

         (  22    2  2   2 )12
|v | = v = a  t + y0ω  cos t
(4.70)

Die Tangentialbeschleunigung (Änderung des Geschwindigkeitsbetrages) ist

       2     2 3
a τ = a∘-t --y-0ω-sint-cost
        a2t2 + y20ω2 cos2t
(4.71)

und

 lim  a =  a
t→ ∞  τ

Die Normalbeschleunigung (Zentripetalbeschleunigung) ist.

     --aty0ω2-sin-t --ay0-ωcos-t
an =    ∘  2 2    2 2    2
          a t  + y0ω  cos t
(4.72)

Der Grenzwert wird

              2
lt→im∞ an = - y0ω  sin t



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