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Vorlesungsskript
PHYS3200
Einführung in die
Kern-, Teilchen- und Astrophysik
Bachelor Physik
Bachelor Wirtschaftsphysik
Lehramt Physik

Othmar Marti

Institut für Experimentelle Physik

Universität Ulm

veröffentlicht unter  pict  Lizenzinformationen

20. Januar 2019

Zweifel ist der Weisheit Anfang.
René Descartes, 1596-1650, französischer Mathematiker und Philosoph
Mit leerem Kopf nickt es sich leichter!
Zarko Petane, 1929-2014, slowenischer Schriftsteller
Mehr Erklärung bitte und weniger Verstehen! Mehr Neugier und weniger Einverständnis. Nicken bildet nicht.
Alexander Kissler, am 22. 9. 2014 in Deutschlandradio Kultur

Inhaltsverzeichnis
1  Einleitung
2  Aufbau der Atomkerne
3  Radioaktivität und instabile Kerne
4  Experimentelle Techniken der Kern-und Teilchenphysik
5  Kernkräfte und Kernmodelle
6  Kernreaktionen
7  Elementarteilchenphysik
8  Anwendungen
9  Experimentelle Astrophysik und Astronomie
10  Das Sonnensystem
11  Geburt, Leben und Tod von Sternen
12  Entwicklung und Struktur des Universums
A  Literaturhinweise
B  Begriffe
C  Mathematische Sätze
D  Sphärische Trigonometrie
E  Distributionen
  Abbildungsverzeichnis
Abbildungsverzeichnis
  Tabellenverzeichnis
Tabellenverzeichnis
Literaturverzeichnis
  Stichwortverzeichnis
Stichwortverzeichnis

Inhaltsverzeichnis

1  Einleitung
 1.1  Lizenzinformationen
 1.2  Dank
2  Aufbau der Atomkerne
 2.1  Experimentelle Methoden
  2.1.1  Streumethoden
  2.1.2  Ladung, Grösse und Masse von Kernen
  2.1.3  Beugung an Kernen
  2.1.4  Formfaktor bei Streuung von Ladungen
 2.2  Massendichteverteilung
 2.3  Aufbau der Kerne
  2.3.1  Begriffe
 2.4  Kerndrehimpulse und magnetische und elektrische Momente
  2.4.1  Resonanz-Spektroskopie, Magnetische Momente von Kernen
 2.5  Bindungsenergien
  2.5.1  Kastenpotential als Approximation von Potentialen in Kernen
  2.5.2  Tröpfchenmodell: Beiträge zur Bindungsenergie
  2.5.3  Bethe-Weizsäcker-Gleichung
  2.5.4  Gesamtmasse von Kernen und Atomen
3  Radioaktivität und instabile Kerne
 3.1  Stabilitätskriterien
  3.1.1  Mattauch’sche Isobarenregeln
 3.2  Radioaktivität und Zerfallsgesetze
  3.2.1  Zerfallsgesetze
  3.2.2  Statistik der Zerfälle
  3.2.3  Natürlich vorkommende radioaktive Kerne
  3.2.4  Zerfallsketten
 3.3  Alphazerfall
  3.3.1  Geiger-Nuttall-Geraden α-Strahler
 3.4  Betazerfall
  3.4.1  Doppelzerfälle
  3.4.2  β-Zerfall und Positronenemission
  3.4.3  Fermi-Theorie des β-Zerfalls
  3.4.4  Detektoren
  3.4.5  K-Einfang
  3.4.6  Enegiebilanzen und Zerfallstypen
 3.5  Gammastrahlung
  3.5.1  Multipol-Übergänge
  3.5.2  Innere Konversion
  3.5.3  Innere Paarbildung
  3.5.4  Isomere
4  Experimentelle Techniken der Kern-und Teilchenphysik
 4.1  Teilchenbeschleuniger
  4.1.1  Relativistische Bewegung
  4.1.2  Funktion von Beschleunigern
  4.1.3  Linearbeschleuniger
  4.1.4  Zyklotron
  4.1.5  Betatron
  4.1.6  Synchrotron
  4.1.7  Verschiedene Beschleuniger
 4.2  Wechselwirkung von Teilchen mit Materie
  4.2.1  Coulomb-Wechselwirkung
  4.2.2  Röntgen-Strahlung
  4.2.3  Compton-Effekt
  4.2.4  Photoeffekt
  4.2.5  Paarbildung
  4.2.6  Neutronen
 4.3  Detektoren
  4.3.1  Ionisationskammer
  4.3.2  Szintillatoren
  4.3.3  Halbleiterdetektoren
  4.3.4  Spurendetektoren
  4.3.5  Streamerkammer
 4.4  Streuexperimente
5  Kernkräfte und Kernmodelle
 5.1  Deuteron
  5.1.1  Abschätzung des n-p-Abstandes
 5.2  Nukleon-Nukleon-Streuung
  5.2.1  Spinabhängigkeit
  5.2.2  Ladungsabhängigkeit
 5.3  Isospin-Formalismus
  5.3.1  Pauli-Prinzip
 5.4  Mesonen-Austauschmodell
 5.5  Kernmodelle
  5.5.1  Schalenmodell
 5.6  Rotation und Schwingung von Kernen
6  Kernreaktionen
 6.1  Grundlagen
  6.1.1  Kategorien von Kernreaktionen
  6.1.2  Reaktive Streuung
  6.1.3  Stoßinduzierte Kernspaltung
  6.1.4  Schwellen
  6.1.5  Kernreaktionen
  6.1.6  Voraussetzungen
  6.1.7  Reaktionsquerschnitt
 6.2  Erhaltungssätze
 6.3  Stossinduzierte Kernreaktionen
  6.3.1  (α,p)-Reaktion
  6.3.2  (α,p)-Reaktion
 6.4  Stoßinduzierte Radioaktivität
  6.4.1  (n,γ)-Reaktionen
  6.4.2  Aktivität
 6.5  Kernspaltung
  6.5.1  Stossinduzierte Spaltung leichter Kerne
  6.5.2  Induzierte Spaltung
  6.5.3  Massenverteilung der Spaltprodukte
  6.5.4  Energieausbeute
 6.6  Kernfusion
  6.6.1  Transurane
7  Elementarteilchenphysik
 7.1  Der Elementarteilchenzoo
  7.1.1  Lebensdauer π-Meson
  7.1.2  Spin des Pions
  7.1.3  Parität des π-Mesons
  7.1.4  Quantenzahlen
 7.2  Leptonen
 7.3  Symmetrien und die Physik der Elementarteilchen
  7.3.1  Darstellungen einer Gruppe
  7.3.2  Definition einer Lie-Algebra
  7.3.3  Lie-Algebren und Darstellungen
  7.3.4  Translationen
  7.3.5  Drehimpulse in 3 Dimensionen - nicht Abelsche Lie-Gruppen
  7.3.6  Spinvektor (magnetisches Moment) und Spinzustand
 7.4  Quarkmodell
  7.4.1  Mesonen
  7.4.2  Charm-Quark
 7.5  Quantenchromodynamik
 7.6  Starke und schwache Wechselwirkung
  7.6.1  Verhältnisse
  7.6.2  Paritätsverletzung
  7.6.3  Universalprinzip
 7.7  Das Standardmodell
8  Anwendungen
 8.1  Altersbestimmung
 8.2  Medizin
9  Experimentelle Astrophysik und Astronomie
 9.1  Sternbeobachtung
 9.2  Astronomische Koordinatensysteme
 9.3  Beobachtungsinstrumente
  9.3.1  optische Teleskope
  9.3.2  Radioteleskope
  9.3.3  Röntgenteleskop
  9.3.4  Gravitationswellendetektor
 9.4  Auflösung
  9.4.1  Parallaxe
  9.4.2  Aberration
  9.4.3  Brechung an der Atmosphäre
  9.4.4  Störeinflüsse
 9.5  Sternbeobachtung
 9.6  Entfernungsmessung
 9.7  Helligkeiten und Spektren
  9.7.1  Scheinbare und absolute Helligkeit
  9.7.2  Messung der Leuchtkraft mit Bolometer
10  Das Sonnensystem
 10.1  Planetenbewegung
 10.2  Planeten und Astroiden
  10.2.1  Energiehaushalt
 10.3  Sonne
  10.3.1  Energiehaushalt
  10.3.2  Realistischeres Modell
  10.3.3  Radiale Struktur der Sonne
  10.3.4  Energieerzeugung
  10.3.5  CNO-Zyklus
  10.3.6  Triple-α-Prozess
  10.3.7  Kohlenstoff und Sauerstoff
  10.3.8  Energie der Sonne
  10.3.9  Superkamiokande
  10.3.10  Energietransport in Sonne
  10.3.11  Sonnenflecken
  10.3.12  Magnetfelder der Sonne
11  Geburt, Leben und Tod von Sternen
 11.1  Sternradien
  11.1.1  Michelson Sterniterferometer
  11.1.2  Hanbury-Brown und Twiss - Interferometer
 11.2  Doppelsterne
  11.2.1  Visuelle Doppelsterne
  11.2.2  Astrometrische Doppelsterne
  11.2.3  Spektroskopische Doppelsterne
  11.2.4   Photometrische Doppelsterne
 11.3  Kategorisierung von Sternen
  11.3.1  Sterntypen
  11.3.2  Hertzsprung-Russel-Diagramm
  11.3.3  Masse und Leuchtkraft
 11.4  Geburt von Sternen
  11.4.1  Drehimpuls
 11.5  Der stabile Lebensabschnitt
  11.5.1  Hauptreihenentwicklung
 11.6  Nach-Hauptreihen-Entwicklung
 11.7  Entartete Sternmaterie
 11.8  Schwarze Löcher
  11.8.1  Gravitationslinse
 11.9  Die Endphase des Sternenlebens
 11.10  Sonnennahe Sterne
12  Entwicklung und Struktur des Universums
 12.1  galaktisches Koordinatensystem
  12.1.1  Geschwindigkeitsmessung in der Galaxis
 12.2  Olbers’ Paradox
 12.3  Experimente
 12.4  Isotropie der Fluchtbewegung
 12.5  Gekrümmter Raum
  12.5.1  Grenzwerte
 12.6  Hubble-Gesetz
 12.7  Big Bang Theorie
  12.7.1  Anfangsgrösse des Universums
 12.8  Das Standardmodell
 12.9  Galaxien
 12.10  Dunkle Materie
 12.11  Entstehung der Elemente
 12.12  Entstehung des Sonnensystems und der Erde
A  Literaturhinweise
B  Begriffe
C  Mathematische Sätze
 C.1  Vektoridentitäten
  C.1.1  Produkte mit Vektoren
  C.1.2  Ableiten von Vektoren
  C.1.3  Vektorableitungen bei Skalarfeldern
  C.1.4  Vektorableitungen bei Vektorfeldern
 C.2  Satz von Gauss
 C.3  Satz von Green
 C.4  Satz von Stokes
D  Sphärische Trigonometrie
 D.1  Beziehungen zwischen trigonometrischen Funktionen
 D.2  Hauptsätze der sphärischen Trigonometrie
  D.2.1  Sinussatz
  D.2.2  Cosinusseitensatz
  D.2.3  Cosinuswinkelsatz
  D.2.4  Beziehung zwischen vier Stücken
  D.2.5  Beziehung zwischen fünf Stücken
  D.2.6  Halbwinkelsätze
  D.2.7  Gausssche Gleichungen
  D.2.8  Nepersche Analogien
 D.3  Das rechtwinklige sphärische Dreieck
  D.3.1  Sinussatz
  D.3.2  Cosinusseitensatz
  D.3.3  Cosinuswinkelsatz
  D.3.4  Beziehung zwischen vier Stücken
  D.3.5  Beziehung zwischen fünf Stücken
 D.4  Astronomisches Dreieck
  D.4.1  Beziehungen zwischen φ, δ, s und z, a
  D.4.2  Beziehungen zwischen φ, δ, s und z, q
 D.5  Koordinatentransformationen
  D.5.1  Berechnung von z und a aus δ und s
  D.5.2  Berechnung von δ und s aus z und a
E  Distributionen
 E.1  Binomialdistribution
 E.2  Poisson-Distribution
  Abbildungsverzeichnis
  Tabellenverzeichnis
  Stichwortverzeichnis

1  Einleitung

1.1  Lizenzinformationen

Diese Skript wird unter der Creative Commons Lizenz CC-BY-SA 4.0 veröffentlicht. Dies heisst,

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Eine detaillierte Erklärung finden Sie unter

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1.2  Dank

Dieses Skript ist zuerst eine rudimentäre Sammlung zusätzlicher Gedanken. Ich danke Tamara Stadter für das für sie sehr mühsame übertragen meiner Notizen in TeX.

2  Aufbau der Atomkerne

2.1  Experimentelle Methoden

Untersuchungsmethoden: Elastische Streuung

Einfallender Strahl: Teilchenflussdichte Φ = nv₀  [Φ ] = m⁻²s⁻¹

Anzahl Teilchen auf Fläche F N = ΦF

Elastische Streuung

(2.1)

und

(2.2)

Ablenkwinkel ϑ, Streuung in Raumwinkel Ω, Teilchendichte im Target nT , Energie E₀ = 0.5mv²

Untersuchungsmethoden: Methoden

Inelastische Streuung

Reaktive Streuung

Spektroskopie der Gammastrahlen für angeregte Kernzustände

Ersatz eines Elektrons durch ein μ, das sich im Wesentlichen im Kern aufhält

Messung der Energieverteilung der emittierten Teilchen von instabilen Kernen (e⁻ oder α)

2.1.1  Streumethoden

Wirkungsquerschnitt: Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Streuexperiment eine Wirkung eintritt, gemessen mit einer effektiven Fläche.

1barn | = 10⁻²⁸m² |  |
p | = N--σ F   (Geometrie) |  |

Totaler Wirkungsquerschnitt:

σ | = ------------#Reaktionen---/ Zeit------------ Strahlteilchen / Zeit·Streuzentren / Fläche |  |
| = N˙ ------------ N◟◝˙a◜◞ · Nb/A Strahl ◟T◝a◜rge◞t = N˙ ------------F---- ◟I◝◜◞ · N◟◝b◜◞ Strom Flächendichte |  |

______________________________________________________________________________________________________

Berechnug eines Streuquerschnittes nach [Dem10, Abb 2.3].

_____________________________________________________________________

na :

Teilchendichte im Strahl

Na :

Teilchenzahl im Strahl

va :

Strahlgeschwindigkeit

nb :

Streuzentrendichte

Nb :

Streuzentrenzahl im Target

A :

Querschnittsfläche des Targets

d :

Dicke des Targets

˙ Na | = Ia    (Teilchenstrom) |  |
Qa | = N˙a- A   (Teilchenfluss) |  |
Nb | = nbAd |  |
NbF | = Nb- A   (Streuzentrendichte) |  |

Reaktionsrate im Target:

(2.3)

Luminosität:

L | = IaNbF = navaNb   [ ] cm -2s-1 |  |
Ṅ = Lσ |  |

Differentieller Streuquerschnitt:

(2.4)

__________________________________________________________________________

Differenzieller Streuquerschnitt [Dem10].

_____________________________________________________________________

Teilchen in Ringfläche (Einfall)

(2.5)

Auslaufende Teilchen im Raumwinkel

(2.6)

(2.7)

ddσΩ-: Wahrscheinlichkeit, dass Teilchen nach ϑ..ϑ+dϑ streut

__________________________________________________________________________

Prinzipieller Aufbau eines Streuversuches ( Adaptiert aus Demtröder Band 4, Abb 2.1 [Dem10])

_____________________________________________________________________

Einfallender Strahl: Teilchendichte Φ = nv₀    , [Φ ] = -1- m2s, [n] = -1- m3,   [v ] 0 = m- s

Anzahl Teilchen: N = ΦA

(2.8)

Mit der Teilchendichte nT im Targetvolumen V = A·Δx

Elastische Streuung:

(2.9)

Ablenkwinkel ϑ, Streuung in Raumwinkel Ω, Energie E₀ = 0, 5mv²

-dσ d Ω : | differentieller Streuquerschnitt |  |
| ^=Beitrag eines Targetatoms zur Streuung um den WinkelϑmitΔΩ = 1 |  |

Mögliche einfallende Teilchen und deren WW

Elektonen: Nur elektromagnetische und schwache WW

Neutronen: Nur starke WW

Protonen, α-Teilchen, usw.:  Alles

Streuung:

Elastische Streuung:  Keine Dissipation

Inelastische Streuung:  Innere Energie wird angeregt

Reaktive Streuung:  Identität der beteiligten Teilchen ist nicht erhalten

2.1.2  Ladung, Grösse und Masse von Kernen

Differentieller Wirkungsquerschnitt bei Coulomb-Streuung:

(2.10)

2.1.2.1. Berechnung

__________________________________________________________________________

Klassische Berechnung der Streuung (adaptiert aus Demtröder Band 4, Abb 2.3 [Dem10]

_____________________________________________________________________

Wir verwenden die reduzierte Masse μ. Für den Drehimpuls haben wir dann

(2.11)

(2.12)

n ist der Einheitsvektor in der Richtung vom Streuzentrum zum Punkt der nächsten Annäherung. Aus Symmetriegründen ist der Winkel zwischen n und der Geschwindigkeit des einlaufenden Teilchens für t →-∞ betragsmässig gleich dem Winkel zwischen n und der Geschwindigkeit des auslaufenden Teilchens für t → ∞. Der auf n projizierte Impuls ist dann:

(2.13)

Über den ganzen Streuprozess kompensieren sich die Kraftkomponenten senkrecht zu n. Wir müssen deshalb nur die Projektion der Kraft auf die Richtung n betrachten, also

(2.14)

Wir erhalten dann

Δp = 2μv sin ϑ- 2 | = ∫ -∞∞F n(t)dt = ∫ -∞∞2 Z1Z2e-- 4πϵ0r2 cos ϕdt | (2.15)
| = ∫ -(π-2ϑ)-π-ϑ 2 Z1Z2e2 ------- 4πϵ0vb cos ϕdϕ = | Z1Z2e2 || ------- sin ϕ|| 4π ϵ0vb-(π2-ϑ)π-ϑ 2 |  |
| = Z1Z2e2- 4πϵ vb 0( ) π---ϑ- - (π---ϑ-) sin 2 - sin 2 |  |

Wir bemerken, dass der maximale Winkel ϕmax aus Symmetriegründen für t →±∞ gleich ist, nämlich ϕmax. Dann ist ϑ + 2ϕmax = π oder

(2.16)

Daraus ergeben sich die in Gleichung (2.15) verwendeten Integrationsgrenzen.

Mit sin ( ) π2 - α = cos α folgt:

Δp | = 2Z1Z2e2 ------- 4π ϵ0vb sin π - ϑ ------ 2 = Z1Z2e2 ------- 2πϵ0vb cos ϑ -- 2 |  |
| =!2μv sin ϑ- 2 |  |
⇒ | tan ϑ -- 2 = Z1Z2e2 ------2-- 4πϵ0μv b    (Streufunktion) |  |

Aus

(2.17)

folgt:

b | = Z1Z2e2 -------2- 4πϵ0mv·1 ----ϑ- tan 2 = Z1Z2e2 -------2- 4πϵ0mv· cot ϑ -- 2 | (2.18a)
dσ --- d Ω | = | | || b db|| ||-------|| sin ϑ dϑ | (2.18b)
| = ( ) -1---Z1Z2e2--- ϑ- sin ϑ 4πϵ mv2 · cot 2 0·( ) -Z1Z2e2-- ---1--- 4π ϵmv2 · 2sin2 ϑ 0 2 | (2.18c)
| = ( Z Z e2 ) --1-2---- 4πϵ0mv2²1 ----- sinϑcos ϑ ----2ϑ sin 21 ------ϑ 2 sin2 2 | (2.18d)
mit sin ϑ = 2 sin ϑ2 cos ϑ2
-dσ d Ω | = ( ) Z1Z2e2--- 4πϵ0mv2²---1--- 4 sin4 ϑ 2 | (2.18e)
mit 1 2mv² = Ekin
dσ --- d Ω | = ( Z1Z2e2 ) ------------ 4πϵ0·2Ekin²1 ---4 ϑ sin 2  (Diff. Querschnitt nach Rutherford) | (2.18f)

__________________________________________________________________________

Impulsübertrag nach [Dem10, Abb. 2.10]

_____________________________________________________________________

Mit dem Impulsübertrag eines elastisch gestreuten Teilchens (siehe Abbildung 2.1.2.1) folgt mit |p2| = |p1| = |p|:

sin ϑ -- 2 = q ---- 2|p|     E = p2 ---- 2m ⇒ p⁴ = (2mE)² |  |
⇒ sin ⁴ϑ- 2 = -q4-- 16p4 = ---q4---- 64(mE4 ) = -----q4----- 16· (2mE )4 |  |
⇒d-σ d Ω = ( 2 ) Z1Z2e--·2m-- 4π ϵ0²-1 q4 |  |

Dabei ist q ein Impuls, der Impulsübertrag.

2.1.2.2. Bestimmung des Kernradius

Minimaler Abstand δ bei Streuung (soforn das Coulomb-Gesetz gilt):

Energie :    | mv2 ---0- 2 = mv2 ----- 2 + Z1Z2e2 ------- 4π ϵ0δ |  |
Drehimpuls :    | mbv₀ = mδv |  |
| ⇒ v = v₀-b δ |  |
| ⇒2 mv-0- 2 = 2 mv-0- 2( 2) b- δ2 + 2 Z1Z2e-- 4πϵ0δ    sei x = 1- δ |  |
| mv2 b2 ---0-- 2x² + Z Z e2 -1--2-- 4π ϵ0x -mv2 ---0- 2 = 0 |  |
Lösungen:
x1,2 | = ∘ ----------------- Z1Z2e2- Z21Z22e4 m2v40 2 - 4πϵ0 ± 16π2ϵ20 + 4 4 b --------------2-2------------ mv 0b |  |
| = -Z1Z2e2 --------2-2 4 πϵ0mv 0b ±┌ ------------------- ││ Z2Z2 e4 1 ∘ ---212-22-4-4-+ -2 16π ϵ0m v0b b |  |

Umgeschrieben:

(2.19)

Wenn b = 0

⇒x₀ = 2πϵ0mv2 -------02- Z1Z2e = 1 -- δ0 |  |
δ₀ = -Z1Z2e2-- 2 πϵ0mv2 0 = Z1Z2e2- 4π ϵ0E0 |  |
(*) mit δ₀ geschrieben:
b²x² + δ 0x - 1 = 0 |  |
b2 -2 δ + δ0 -- δ - 1 = 0 |  |
b² + δ 0δ - δ² = 0 |  |
⇒δ = ∘ -------- - δ ± δ2 + 4b2 ---0-----0------- - 2 = δ0 2 ∓∘ --2----- δ0 + b2 4 |  |
mit tan ϑ -2 = Z Z e2 41πϵ02mv2-·1 b:

⇒b | = δ -0 2 cot ϑ -- 2 |  |
⇒δ | = δ0 -- 2 ∓┌ --------------- ││ δ20 δ20 1 ∘ -- + -----2-ϑ 4 4 tan 2 = |  |
| = δ0 2--------------- ( ┌││ 2 ϑ 2 ϑ ) (1 ∓ ∘ sin--2 +-cos-2-) sin2 ϑ2 = δ0 2( ) 1 ∓ -1--- sin ϑ2 |  |

aus:

rK = δ | = δ0 -- 2( 1 ) 1 ∓ ---ϑ- sin2 |  |
⇔2rK- δ 0 - 1 | = --1-- sin ϑ 2 |  |
⇔ sin ϑG- 2 | = ---1---- 2rK - 1 δ0 = ----δ0--- 2rK - δ0 |  |
⇒ ϑG | = 2 arcsin ---δ0---- 2rK - δ0 = 2 arcsin 2 ------Z1Z2e-------- 8πϵ0E0rK - Z1Z2e2 |  |

______________________________________________________________________________________________________

Skizze der Streuung bei unterschiedlichen Streuparametern

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

Coulombstreung an Blei (links, adaptiert aus Demtröder Band 4, Abb 2.4 [Dem10]) und Gold (Adaptiert aus [FW54] (Elastic Scattering of Intermediate-Energy Alpha Particles by Gold Phys. Rev. 93, 356 George W. Farwell and Harvey E. Wegner)

_____________________________________________________________________

Aus ähnlichen Experimenten schloss Chadwick 1920:

RK | ≈ r₀·A |  |
mit  r₀ | ≈ (1, 3 ± 0, 1)fm     für leichte Kerne |  |
| 0, 94fm < r₀ < 1, 25fm   für schwere Kerne |  |
Grund: Knick im Coulomb-Gesetz

Massenbestimmung mit dem Massenspektrometer

MN = M⁺ | -[ Eel] (Z - 1)me - --B2- c |  |
| EBel  Bindungsenergie der Z-1 Elektronen |  |

2.1.2.3. Ladungsverteilung im Kern

__________________________________________________________________________

Ladungsdichteverteilung in Kernen, adaptiert von R. Hofstadter [Hof57]

_____________________________________________________________________

2.1.2.4. Iterative Methoden

__________________________________________________________________________

Iterative Methoden, adaptiert aus Demtröder Band 4, Abb 2.7 [Dem10]

_____________________________________________________________________

2.1.3  Beugung an Kernen

Wenn λ << RK ist, gibt es Beugungsmuster in den Streuverteilungen

ΔN(ϑ)dϑ = ( dσ ) --- dΩnTN₀V ΔΩ |  |
De Broglie-Wellenlänge
λ = h -- p ≈h √--------- 2mEkin |  |

Beugungsmessungen können nicht direkt in Strukturfaktoren überführt werden (Phasenproblem)

__________________________________________________________________________

Streuung an Atomkernen skizziert nach Hofstadter [Hof61]

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

Streumessung mit Beugung, skizziert nach Hofstadter [Hof57]

_____________________________________________________________________

Bei Streumessungen mit Teilchen mit einer de-Broglie-Wellenlänge kleiner als der Kerndurchmesser treten Interferenzmuster auf

(2.20)

(2.21)

2.1.4  Formfaktor bei Streuung von Ladungen

__________________________________________________________________________

Streuung von 750 MeV-Elektronen an 16 8O -Kernen, adaptiert aus Demtröder Band 4, Abb 2.12 [Dem10]

_____________________________________________________________________

(2.22)

2.1.4.1. Alternative Methoden

Kernladung, Grösse des Kerns, Masse Messung des differentiellen Streuquerschnittes

(2.23)

Frequenzen der Röntgen-Kα-Linien (Mosleysches Gesetz)

(2.24)

(ν ist die Wellenzahl, Rydberg-Konstante Ry = 10973731.568527(73) m⁻¹, Effektive Kernladung unter Berücksichtigung der Abschirmung (Z - S) e

Kernladung, Grösse des Kerns, Masse

Chadwick, 1920: Kernradius

(2.25)

Für leichte Kerne: r₀ = (1.3 ± 0.1)  fm

Für mittelschwere bis schwere Kerne: 0.94 fm ≤ r₀ ≤ 1.25 fm

Massenbestimmung mit Massenspektrometer

(2.26)

wobei EBel die Bindungsenergie der Z - 1 Elektronen ist

2.2  Massendichteverteilung

Oft: Fermi-Verteilung

(2.1)

Streumessungen ⇒ RM² = ⟨R2K⟩ aber nicht ρ(r)

(2.2)

Homogene Kugel

(2.3)

⇒ “Kernradius“ wird als RK = ∘ ------ 253 ⟨r2⟩ angegeben.

Wennρm = ρ₀   | ⇒4 3-πRS³ρ 0 = MK ≈ MN·A |  |
| ⇒( ) 3MK-- 4 πρ0 ≈ r₀·A |  |
| r₀ ≈ 0, 94 - 1, 3fm |  |

2.3  Aufbau der Kerne

2.3.1  Begriffe

Nukleonen

Protonen und Neutronen

7 3Li, 235 92U

Nuklid

Kern ZAX mit A Nukleonen und Z Protonen und N = (A- Z) Neutronen

12 6C, 14 6C

Isotope

Kerne mit gleicher Protonenzahl Z, aber unterschiedlicher Neutronenzahl N

62 28Ni, 64 28Ni

Isobare

Kerne mit gleicher Nukleonenzahl A, aber unterschiedlicher Protonenzahl Z

14 6C, 14 7N

Isotone

Kerne mit gleicher Neutronenzahl N, aber unterschiedlicher Protonenzahl Z

14 6C, 15 7N, 16 8O

Spiegelkerne

Kerne mit vertauschten Werten von Z und N

3 1H, 3 2He

Isomere Kerne

Kerne mit gleichem Z und N in unterschiedlichen Energiezuständen

16 8O(E₁), 16 8O(E₂)

Nach Demtröder Band 4, Tab 2.2

2.4  Kerndrehimpulse und magnetische und elektrische Momente

Optische Spektren von Atomen zeigen eine Hyperfeinstruktur. Deshalb müssen Kerne ein magnetisches Moment haben. Und dies können sie nur haben, wenn es einen Spin gibt.

Kerndrehimpulse

I: Kernspin, I: Kernspinquantenzahl

(2.1)

Der Kernspin I ist die Vektorsumme aus den Bahndrehimpulsen der Neutronen und Protonen sowie aus deren Spins.

(2.2)

Magnetisches Moment

(2.3)

mit Kern-Landé-Faktor gI und Kernmagneton

(2.4)

In der Regel ist Li = 0 im Grundzustand. Es gibt Ausnahmen, z.B. 7 3Li

Kerndrehimpulse Landé-Faktor

(2.5)

Verhältnis von magnetischem Moment zu Drehimpuls

Kernspin I

_______________________________________________________________

Kernspins, Adaptiert aus Demtröder Band 4, Abb 2.16 [Dem10]

_____________________________________________________________________

Verhältnisse

gyromagnetisches Verhältnis:

(2.6)

Bestimmung aus der Hyperfeinstruktur des 1s-Zustandes im H-Atom

(2.7)

Zeemann-Aufspaltung

(2.8)

Rabi-Methode: Wegen des Kernspins I = 1 2 gibt es vier HF-Übergänge mit ΔmJ = +1

Rabi-Methode

________________________________________________________________

Messung des gyromagnetischen Verhältnisses nach Rabi, Adaptiert aus Demtröder Band 4, Abb 2.16 [Dem10]

_____________________________________________________________________

Messung mit der Rabi-Methode:

A: Inhomogenes Feld ⇒ Ablenkung

C: HF- Induzierter Übergang

B: Inhomogenes Feld, kehrt Ablenkung um

Werte

(2.9)

Der Protonenspin und das magnetische Moment sind parallel

(2.10)

(2.11)

Der Neutronenspin und das magnetische Moment sind antiparallel

(2.12)

Magnetisches Moment des Neutrons Idee: Die Streuung des Neutrons hängt von der relativen Orientierung des Neutronenspins unds des Spins der Target-Atome ab.

__________________________________________________________________________

Messung des magnetischen Moments des Neutrons, Adaptiert aus Demtröder Band 4, Abb 2.18 [Dem10]

_____________________________________________________________________

Proton, Elektron und Neutron

Grösse
p
n
e⁻

Masse
1.672623·10⁻²⁷ kg
1.6749286·10⁻²⁷ kg
9.1093898·10⁻³¹ kg

Spin
1/2
1/2
1/2

Magn.
+2.79278μK
-1.91315μK
1.001μB

Moment
1.4106·10⁻²⁶ J/T
0.96629·10⁻²⁶ J/T
928.47·10⁻²⁶ J/T

Lebens-
> 10³⁰ a
887 s
∞

dauer

2.4.1  Resonanz-Spektroskopie, Magnetische Momente von Kernen

μI | = ∑ i(gpIpi + gnIni + a·Li) |  |
| a·Li : Bahnspin ⇒Große Abweichung wegen Summe der Nukleonenspins |  |

__________________________________________________________________________

Resonanzspektroskopie, adaptiert aus Demtröder Band 4, Abb 2.19[Dem10]

_____________________________________________________________________

Kernspinquantenzahl I

Kernspinquantenzahl

Magnetisches Moment

erwartet aus
exp.
erwartet aus
exp.

Kern
∑ Ip + ∑ In
Wert
∑ μp + ∑ μn
Wert

2 1H
1 2 + 1 2
1
0.880
0.857

3 1H
1 2 + 0
1 2
2.793
2.978

3 2He
0 +

-1.913
-2.127

4 2He
0 + 0
0
0
0

6 3Li
1 2 + 1 2
1
0.880
0.822

7 3Li
1 2 + 0
3 2
2.793
3.256

9 4Be
0 + 1 2
3 2
-1.91
-1.177

12 6C
0 + 0
0
0
0

85 37Rb
+ 0

2.793
1.353

115 49In
1 2 + 0
9 2
2.793
5.523

Nach Demtröder Band 4, Tab 2.4

2.4.1.1. Quadrupolmoment

Wenn die Ladung im Kern nicht sphärisch ist, gibt es ein Kernquadrupolmoment

(2.13)

Angabe auch QM = e·Q   Q: Fläche (Abweichung von der Kugelgestalt)

Kernspin I = 1 2  ⇒   Izhat zwei Werte: ±1 2ℏ

Winkel ϑ zwischen Spinrichtung und z-Achse: cos ϑ = ±1 √3-.

__________________________________________________________________________

Quadrupolmoment adaptiert von Demtröder Band 4, Abb 2.21 [Dem10]

_____________________________________________________________________

cos ϑ = --12ℏ √ 34ℏ

Mit z = r cos ϑ

(2.14)

⇒ I ≥ 1·ℏ   für ein nicht verschwindendes Quadrupolmoment.

__________________________________________________________________________

Reduzierte Quadrupolmomente von gu- und ug- Kernen , Daten von http://www.easyspin.org/documentation/isotopetable.html.

_____________________________________________________________________

Näherung der Ladungsverteilung durch ein Rotationsellipsoid:

Die Ladungsverteilung sei ein Rotationsellipsoid mit den Halbachsen a und b und ΔR = a - b

(2.15)

Deformationsparameter

(2.16)

Das reduzierte Quadrupolmoment

(2.17)

beschreibt die Deformation der Kerne.

Quadrupolmoment

Kern
(QM∕e)∕(10⁻²⁸ m²)
Kern
(QM∕e)∕(10⁻²⁸ m²)

2 1D
+0.0028
6 3Li
-0.002

7 3Li
-0.1
23 11Na
+0.1

27 13Al
+0.15
35 17Cl
-0.8

37 17Cl
-0.06
79 35Br
+0.33

113 49In
+1.14
235 92U
+4.0

Nach Demtröder Band 4, Tab 2.5 [Dem10]

Isotopeneffekt in der optischen Spektroskopie

________________________________________________________________

Isotopeneffekt: Hyperfeinspektrum der Isotope 133 55Cs, 135 55Cs und 135 57Cs, gemessen mit Doppler-freier Sättigungsspektroskopie, adaptiert aus Demtröder Band 4, Abb 2.23 [Dem10]

_____________________________________________________________________

Quadrupolmoment

Kern
Masse /μ
EB∕ MeV
(EB∕A)∕MeV

2 1H
2.0141018
2.225
1.112283

3 1H
3.0160493
8.482
2.827266

4 2He
4.0026032
28.295
7.073915

7 3Li
7.016004
39.2445
5.606291

12 6C
12 (definiert)
92.161
7.680144

16 8O
15.994915
127.617
7.976206

27 13Al
26.981538
224.951
8.33155

35 17Cl
34.968853
298.2098
8.52028

56 26Fe
55.934942
492.2539
8.79025

58 26Fe
57.933280
509.9444
8.79214

62 28Ni
61.92835
545.2588
8.79450

238 92U
238.05078
1801.6947
7.57014

nach Demtröder Band 4, Tab. 2.6

2.5  Bindungsenergien

Unter Bindungsenergie verstehen wir das Folgende:

(2.1)

Achtung: Die Bindungsenergie EB wird positiv definiert, so dass -EB die Erniedrigung der Energie durch eine Bindung ist.

Der Massendefekt ΔM wird bestimmt, indem die Grössen MK, mn und mp gemessen werden. Den Massendefekt bezogen auf die Zahl der Nukleonen nennt man auch Packungsanteil

(2.2)

Die folgende Tabelle nach Demtröder Band 4, Tabelle 2.6 [Dem10] gibt einige Resultate wieder:

Kern
Masse / u
EB∕MeV
EB∕A∕MeV

2 1H
2.014
2.225
1.112

3 1H
3.016
8.482
2.827

4 2He
4.003
28.295
7.074

7 3Li
7.016
39.245
5.606

12 6C
12.00
92.161
7.68

16 8O
15.995
127.617
7.976

35 17Cl
34.969
298.20
8.520

57 26Fe
56.935
499.90
8.77

238 92U
238.051
1804.04
7.58

_______________________________________________

Bindungsenergie von Kernen nach Demtröder Band 4, Abb 2.24 [Dem10]

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

Bindungsenergie von Kernen nach Demtröder Band 4, Abb 2.24 [Dem10]

_____________________________________________________________________

Die Tabelle oben zeigt, dass die Bindungsenergie pro Nukleon, der Packungsanteil, für 62 28Ni maximal ist.

__________________________________________________________________________

Mittlere Bindungsenergie (Nach Demtröder Band 4, Abb 2.25 [Dem10])

_____________________________________________________________________

Abbildung 2.5 zeigt die mittlere Bindungsenergie pro Kern.

__________________________________________________________________________

Stabilste Kerne (Nach Demtröder Band 4, Abb 2.26)

_____________________________________________________________________

Abbildung 2.5 zeigt den Bereich der stabilsten Kerne mit der höchsten Bindungsenergie.

__________________________________________________________________________

Nukleidkarte erzeugt mit Nucleus-Amdc [Wap12]

_____________________________________________________________________

Daten zur Stabilität der Kerne können aus Programmen wie Nucleus-Amdc [Wap12] oder aus Webseiten wie dem Nuclear Data Center [Nat17] des Brookhaven National Laboratory gewonnen werden.

2.5.1  Kastenpotential als Approximation von Potentialen in Kernen

Annahme: Kerne sind ein sphärisches Kastenpotential für Neutronen und Protonen.

(2.3)

__________________________________________________________________________

Kastenpotential für Neutronen und Protonen adaptiert aus Demtröder Band 4, Abb 2.28 [Dem10]

_____________________________________________________________________

Abbildung 2.5.1 zeigt schematisch ein Kastenpotential für 7 3Li . Dabei ist die Coulomb-Abstossung der Protonen vernachlässigt.

__________________________________________________________________________

Vergleich der Potentiale von Neutronen und Protonen für 19 9F , adaptiert aus Demtröder Band 4, Abb 2.29 [Dem10]

_____________________________________________________________________

Abbildung 2.5.1 zeigt die Anordnung von Protonen und Neutronen für 19 9F .

Das Potential ist tiefer, als es der Bindungsenergie entspricht, weil die Nukleonen aufgrund der Unschärferelation wegen ihrer räumlichen Begrenzung eine große positive kinetische Energie besitzen.

Die Energie, die benötigt wird um einen Kern zu verlassen ist die Austrittsarbeit

(2.4)

Da Epot < 0 gilt ist EF > 0.

Beispiel:

| 5 2He[ -→ n]7, 6·10⁻²² s4 2He |  |
| 5 3Li-→[ n]3, 7·10⁻²⁴ s4 2He |  |

__________________________________________________________________________

Nukleonenaufbau der leichten Kerne, adaptiert aus Demtröder Band 4, Abb 2.30 [Dem10]

_____________________________________________________________________

2.5.2  Tröpfchenmodell: Beiträge zur Bindungsenergie

Im Folgenden werden die Gleichungen plausibel gemacht.

Anziehende Kernkräfte sind kurzreichweitig (also nur zu nächsten Nachbarn)

Aus ⇒ EB∕Nukleon unabhängig von A = Z + N

⇒ EB 1 = +av·A

(2.5)

Dies ist der Volumenanteil.

Wir nehmen weiter an, dass Nukleonen an der Oberfläche weniger gebunden sind, da Nachbarn fehlen:

Oberfläche ∝ V ∝ A

(2.6)

Damit ist dies der Oberfllächenanteil.

Nukleonen sind Fermionen ⇒ Pauli-Prinzip

Energie minimal bei gegebenem A wenn eine gerade Anzahl von Protonen Z und eine gerade Anzahl von Neutronen N vorhanden sind: gg-Kern

⟨Ekin⟩ | = 3- 5EF (Nn + Np) = 3- 5EF A |  |
EF | = ℏ2 ---- 2m( 3π2) ---- V2∕3( ) N 2p∕3+ N 2n∕3 |  |

Mit ΔN = Nn - Np und N = Nn + Np und Nn = (1∕2)(A + ΔN) = (A∕2)(1 + ΔN∕A) und Np = (1∕2)(A - ΔN) = (A∕2)(1 - ΔN∕A)

(2.7)

(2.8)

(1 ± x)2∕3 | ≈ 1 ±2 3-x -1 9-x² ±… |  |
(1 + x)2∕3 + (1 - x)2∕3 | ≈ 2 -2 -- 9x² + … |  |

⟨Ekin⟩ = | C₁A( A-) V2∕3⌊ ( ) ⌋ 2- ΔN-- 2 ⌈2 - 9 A + ...⌉ |  |
= | C[ ] 2 ΔN 2 A - -------+ ... 9 A | (2.9)

(mit A ≈ V ). Der erste Term ist im Volumenterm enthalten. Der zweite Term wird

(2.10)

Dies ist die Asymmetrie-Energie

Coulomb-Abstossung

(2.11)

Folgt aus der Integration der Coulombenergie für eine homogene sphärische Ladung.

gg-Kerne sind stabiler als uu-Kerne. Also gibt es einen Paarungsanteil

(2.12)

wobei die A-Abhängigkeit empirisch ist

__________________________________________________________________________

Experimentelle Bindungsenergie pro Nukleon im Vergleich zum Tröpfchenmodell (Nach Demtröder Band 4, Abb 2.32 [Dem10])

_____________________________________________________________________

2.5.3  Bethe-Weizsäcker-Gleichung

Das Tröpfchenmodell wird in der Bethe-Weizsäcker-Gleichung durch

EB = | ΔMc² |  |
= | (Zmp + N mn - Mk ) c² |  |
= | aV A - aSA2∕3 - a F (N - Z) ²A⁻¹ - a CZ²A-1∕3 + δa P A-1∕2 | (2.13)

beschrieben, wobei MK die Masse des Kerns ist.

2.5.4  Gesamtmasse von Kernen und Atomen

MK(A,Z) = | Zmp + (A - Z)mn -EB --2- c |  |
= | Zmp + (A - Z)mn -1- c2[ aV A - aSA2 ∕3 - aF (N - Z )2A -1 |  |
| ] - a Z2A -1∕3 + δa A -1∕2 C P | (2.14)
Ma(A,Z) = | MK(A,Z) + Zme -EelB- c2 |  |
= | Zmp + (A - Z)mn + Zme -1 -2 c[ aVA - aSA2 ∕3 - aF (N - Z)2A -1 |  |
| ] - aC Z2A -1∕3 + δaP A -1∕2 - EelB | (2.15)

3  Radioaktivität und instabile Kerne

3.1  Stabilitätskriterien

Anhand des Tröpfchenmodells kann die Frage (teilweise) beantwortet werden: Welches sind die stabilen Kerne? Dazu suchen wir die Kernladungszahl Zmin (Anzahl Protonen) bei der die Masse des Atoms Ma minimal ist, die Gesamtenergie also minimal ist.

(3.1)

und daraus

0 = | ∂ ---- ∂Z{ 1 Zmp + (A - Z)mn + Zme - 2-[aVA c |  |
| 2 ]} - aSA2 ∕3 - aF (N - Z ) A -1 - aCZ2A -1∕3 + δaP A- 1∕2 - EelB | (3.2a)
mit ∂-- ∂ZEBe ≈ 0 und A = N + Z = const
= | -∂-- ∂Z{ 1- Zmp + (A - Z)mn + Zme - c2 [aVA |  |
| 2∕3 2 -1 2 - 1∕3 -1∕2 el]} - aSA - aF (A - 2Z ) A - aCZ A + δaPA - EB | (3.2b)
= | mp - mn + me -1- c2[ ] - 2aF (A - 2Z )(--2) - 2aC-Z--- A A1∕3 | (3.2c)
0 = | Z( ) 8aF- + -2aC- A A1 ∕3 + c²(m - m + m ) p n e - 4aF | (3.2d)
0 = | Z -- A( 2∕3) 8aF + 2aCA + c²(mp - mn + me ) - 4aF | (3.2e)
Z = | A2 4aF---c-(mp----mn-+--me)- 8aF + 2aC A2∕3 = A- 22 4aF---c--(mp----mn--+-me-) 4aF + aC A2∕3 | (3.2f)

__________________________________________________________________________

Stabilitätsbereiche berechnet mit der Bethe-Weizsäcker-Gleichung, Nukleidkarte als Hintergrundbild erzeugt mit Nucleus-Amdc [Wap12]

_____________________________________________________________________

Abbildung 3.1 zeigt die Linie der stabilen Kerne nach Gleichung (3.2). Eingezeichnet sind weiter die Bezeichnungen Isobare, Isotope und Isotone.

Mit Gleichung (2.14) kann berechnet und dargestellt werden, ob und wie Kerne inenander umgewandelt werden können (siehe Abbildung 3.1).

__________________________________________________________________________

Stabile Kerne nach Demtröder Band 4, Abb. 3.3[Dem10]

_____________________________________________________________________

Wenn bei der Reaktion von A ZX nach A′ Z′Y ein Produkt mit der Masse M₂ entsteht, muss gelten:

(3.3)

Nur dann ist ein Zerfall möglich (notwendige Bedingung).

Die dazugehörige Reaktion ist:

(3.4)

3.1.1  Mattauch’sche Isobarenregeln

Oberhalb von Z = 7 gibt es keine stabilen uu-Kerne

Elemente mit ungeradem Z besitzen höchstens zwei stabile Isotope, die sich für Z > 7 um ΔA ≥ 2 unterscheiden

Für Elemente mit A = 2n + 1 (ungerade) gibt es in der Regel nur ein stabiles Isobar

Für Elemente mit A = 2n gibt es für Z > 7 keine stabilen isobare uu-Kerne und mindestens zwei stabile gg-Isobare

β⁻-Zerfall

(3.5)

mit

(3.6)

Wenn ΔE < (MX - MY + me ) c² ist, ist der β⁻-Zerfall verboten. Analoges gilt für den β⁺-erfall

3.2  Radioaktivität und Zerfallsgesetze

3.2.1  Zerfallsgesetze

Wahrscheinlichkeit eines Zerfalls sei für alle Atome einer Sorte gleich

(3.1)

Anzahl Kerne

(3.2)

A(t): Aktivität

(3.3)

(3.4)

(3.5)

Zeitkonstante

(3.6)

Halbwertszeit

(3.7)

(3.8)

Aktivität ⇒ Anzahl der instabilen Kerne (wenn nur eine Sorte vorhanden ist)

3.2.2  Statistik der Zerfälle

Radioaktive Zerfälle werden durch die entstehenden ausgesandten Teilchen oder Quanten charakterisiert. Charakteristisch ist in der Regel, dass eine sehr grosse Anzahl N₀ ≈ NA Atomkerne vorhanden sind, deren Zerfalswahrscheinlichkeit p « 1 ist [BN13]. In einer gegebenen Zeitspanne tmess werden im Mittel μ Zerfälle über die Produkte gemessen. Erwartet werden

(3.9)

Zerfälle. m ist die gemessene Anzahl Zerfälle. Die Wahrscheinlichkeit, bei gegebenem Mittelwert μ in N₀ Experimenten m ∈ℕ∪{0} Ereignisse zu haben, ist das Produkt aus der Wahrscheinlichkeit von m Ereignissen, pm, der Wahrscheinlichkeit, kein Ereignis zu haben (1 - p)N₀-m und der Anzahl möglicher Reihenfolgen ( ) N0 m , also

(3.10)

Wir spalten

auf. Im Grenzfall N₀ →∞ erhalten wir

lim N₀→∞( -μ-) 1 - N 0-m | = 1-m = 1 |  |
lim N₀→∞( μ ) 1 - --- N0N₀ = exp(-μ) = e-μ |  |
( ) N0 m = N0· (N0 - 1)· ...· (N0 - m + 1) --------------------------------- m! | ≈N m0 ---- m! |  |

Für sehr grosse Werte N₀ und sehr kleines p lautet die Poisson-Verteilung

(3.11)

Dies erhält man, wenn man die Definition von p einsetzt.

Bei gegebener Zerfallskonstante λ und gegebener Messzeit tmess bekommen wir

(3.12)

Dann ist die Wahrscheinlichkeit für Zerfälle in der Zeit tmess durch

(3.13)

gegeben.

Damit ergibt sich

(3.14)

3.2.3  Natürlich vorkommende radioaktive Kerne

Element
Symbol
Strahlungsart
E∕MeV
t1∕2∕a

Tritium
3 1H
β⁻
0.0286
12.3

Kalium
40 19K
β⁻
1.3
1.5·10⁹

Rubidium
87 37Rb
β⁻
0.275
5·10¹⁰

Iod
129 53I
β⁻
0.15
1.7·10⁷

Cäsium
135 55Cs
β⁻
0.21
3.0·10⁶

Blei
205 82Pb
α
2.6
≈ 1.4·10¹⁶

Polonium
209 84Po
α
4.87
103

Radium
226 88Rd
α
4.77
1620

Thorium
230 90Th
α
4.5 - 4.7
8·10⁴

Uran
234 92U
α
4.6 - 4.8
2.5·10⁵

Uran
235 92U
α
4.3 - 4.6
7.1·10⁸

Uran
238 92U
α
4.2
4.5·10⁹

nach Demtröder Band 4, Tab. 3.1 [Dem10]

α-Zerfall

(3.15)

β⁻-Zerfall

(3.16)

β⁺-Zerfall

(3.17)

γ-Zerfall

(3.18)

3.2.4  Zerfallsketten

__________________________________________________________________________

Zerfallsreihen von Uran nach Radium (links) und Actinium (rechts). Daten aus [Dem10, Abb. 3.12] und National Nuclear Data Center, information extracted from the NuDat 2 database, http://www.nndc.bnl.gov/nudat2/[Nat17]

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

Zerfallsreihen von Uran nach Thorium (links) und Neptunium (rechts). Daten aus [Dem10, Abb. 3.12] und National Nuclear Data Center, information extracted from the NuDat 2 database, http://www.nndc.bnl.gov/nudat2/[Nat17]

_____________________________________________________________________

3.3  Alphazerfall

Bei einem Kernzerfall, also auch bei einem α-Zerfall müssen die Erhaltungssätze gelten.

__________________________________________________________________________

Energielandschaft beim Alpha-Zerfall.

_____________________________________________________________________

Abbildung 3.3 zeigt die Energielandschaft beim α-Zerfall. Es gilt für die Massen

(3.1)

Energie-und Impulserhaltung bei einem ruhenden Mutterkern (Ausgangskern) lauten

M₁v₁ + Mαvα | = 0 | (3.2a)
Ekin(M₁) + Ekin(Mα) | = ΔMc² = M1-- 2v₁² + M--α 2vα² | (3.2b)

Daraus folgt für die Geschwindigkeit des α-Partikels, wenn keine weiteren Teilchen involviert sind:

(3.3)

Diese Gleichungen können eingesetzt und wir erhalten

1 2-M₁v₁(v1 - vα) | = ΔMc² | (3.4a)
-1 -- 2M₁M --α- M1vα( M ) - --α-vα - vα M1 | = ΔMc² | (3.4b)
1- 2Mαvα²( ) M-α-+-M1-- M - 1 | = ΔMc² | (3.4c)
vα² | = 2M1-- M α2 -ΔM--c---- M α + M1 | (3.4d)

oder für Energien

(3.5)

__________________________________________________________________________

Skizze der Bahnen von α-Teilchen des 212 84 Po in einer Blasenkammer, skizziert nach [GMLB54]

_____________________________________________________________________

Aus Messungen analog zur Simulation in Abbildung 3.3 kann mit Gleichung (3.5) geschlossen werden, das ΔM beim α-Zerfall gut definiert ist. Hier wird ausgenutzt, dass der Energieverlust in einer Blasen- oder Nebelkammer proportional zur kinetischen Energie ist. Kommen die α-Teilchen zur Ruhe, können Sie keine Bläschen oder Nebeltröpfchen mehr bilden, sind also nicht mehr sichtbar.

__________________________________________________________________________

α-Teilchen beim Zerfall von 221 87Fr, gezeichnet nach [JBNW⁺07, Fig. 1]

_____________________________________________________________________

Abbildung 3.3 zeigt Messungen der α-Spektren verschiedener Kerne [JBNW⁺07]. Da alle Spektren Linien zeigen, muss wie oben diskutiert geschlossen werden, dass der α-Zerfall ein Zweikörperproblem ist.

3.3.1  Geiger-Nuttall-Geraden α-Strahler

Wenn angenommen wird, dass die Wahrscheinlichkeit eines α-Zerfalls unabhängig von allen Variablen und konstant ist, folgt, dass

(3.6)

λ ist die Zerfallskonstante. Die Differentialgleichung lautet dann

dN (t) ------ dt + λN(t) | = 0 | (3.7a)
N(0) | = N₀ | (3.7b)

Die Lösung dieser Gleichung ist

(3.8)

Üblicherweise wird die Halbwertszeit angegeben, also die Zeit t1∕2 bei der N(t) = N₀∕2 ist. Damit haben wir die Beziehung

(3.9)

zwischen der Zerfallskonstante λ und der Halbwertszeit t1∕2. Aus der Gleichung für den Energieverlust auch relativistischer Elektronen [LSS63, Bet30]

(3.10)

ergibt sich im nichtrelativistischen Falle β = 0 die Approximation

(3.11)

Dabei ist ρ die Massendichte im Target.

Der Erwartungswert der Reichweite ist

(3.12)

Daraus und mit einem Korrekturfaktor für die Relativistik¹ folgt, dass die Reichweite proportional zu Ekin3∕2 ist.

Daraus ergibt sich die Geiger-Nuttall-Gleichung [GN11]

(3.13)

wobei A und B für alle Elemente einer Zerfallsreihe gleich seien. Rα ist die Reichweite der α-Teilchen. Diese Gleichung kann mit der Energieabhängigkeit umgeschrieben werden

(3.14)

Das heisst, dass die Zerfallskonstante und die kinetische Energie verknüpft sein müssen.

__________________________________________________________________________

Geiger-Nuttall-Darstellung [GN11]. Daten aus National Nuclear Data Center, information extracted from the NuDat 2 database, http://www.nndc.bnl.gov/nudat2/[Nat17]

_____________________________________________________________________

Abbildung 3.3.1 zeigt anhand von experimentellen Daten, dass die empirische Theorie stimmt. Man muss also daraus schliessen, dass die Zerfallskonstante umso grösser ist, je grösser die beobachtete kinetische Energie ist.

__________________________________________________________________________

α-Zerfall, adaptiert aus Demtröder [Dem10, Abb. 3. 16 und 3.17]

_____________________________________________________________________

Eine mögliche Erklärung ist der Tunneleffekt [Gam28], wie er in Abbildung 3.3.1 skizziert ist.

Wir betrachten die Reaktion

(3.15)

Coulomb-Potential:

(3.16)

Kernradius nach Gleichung (2.25) (auch Reichweite der Kernkräfte)

mit r₀ ≈ 1.3·10⁻¹⁵ m = 1.3 fm.

α-Teilchen und Restkern berühren sich wenn

(3.17)

ist. Dann ist die Coulombenergie maximal und die starken Wechselwirkungen sind bei grösserem r unwirksam. Es ist ZTK = Z - 2 und Zα = 2 und ATK = A - 4 sowie Aα = 4.

(3.18)

Weiter kann mit klassischen Stössen gerechnet werden, also mit reduzierten Massen

(3.19)

und deshalb

(3.20)

Ekin kann auch mit Massen ausgedrückt werden

(3.21)

Tunnelwahrscheinlichkeit für eine Barriere mit konstanter Energie (siehe auch [MG15, Seite 95 ff]), Gleichung (5.9.15)

(3.22)

Bei einer nicht konstanten Barriere wird der Exponent durch ein Integral über die Barrierenbreite ersetzt

(3.23)

G heisst Gamov-Faktor [Gam28] und ist für eine konstante Barriere

G = 2a ℏ∘ ------------ 2m (V0 - E). Für eine Barriere mit variabler Potentialhöhe haben wir

√ ---∫r2 --2m- ∘ -------------- G = 2 ℏ (Epot(r) - E )dr r1 ┌ ------------------------ √2m---r∫2││ ( 1 Z Z e2 ) = 2----- ∘ ------Kern--α---- E ℏ r1 4πε0 r

(3.24)

Die Lösung dieses Integrals unter der Massgabe, dass r₁ der Radius des Kernes ist, r₂ der Ort und bei dem die Coulombenergie gleich E ist (also r₂ > r₁), ist

(3.25)

Wenn Z₁ = 2 und Z₂ = Z - 1 folgt

(3.26)

Abbildung 3.3.1 ist eine experimentelle Bestätigung des Gamov-Modells des α-Zerfalls, erstellt aus Daten von [Nat17].

__________________________________________________________________________

Gamow-Theorie mit Daten aus National Nuclear Data Center, information extracted from the NuDat 2 database, http://www.nndc.bnl.gov/nudat2/[Nat17]

_____________________________________________________________________

Die Wahrscheinlichkeit einer Emission ergibt sich aus den folgenden Komponenten

Wahrscheinlichkeit, dass ein α-Teilchen gebildet wird: pα

Rate (Stösse/Sekunde) mit der die α-Teilchen die Wand berühren: Rα

Tunnelwahrscheinlichkeit T ∝ exp(-G)

Dann ist

(3.27)

Die Vorhersage ist also, dass

(3.28)

ist. Vergleiche dazu die Abbildung 3.3.1.

3.4  Betazerfall

Der β-Zerfall ist ein Beispiel für die Wirkung der schwachen Wechselwirkung und für die Symmetrieverletzung der Parität. Beim β-Zerfall ändert sich die Zahl der Nukleonen A nicht. Beispielreaktionen sind

225 88Ra | β- - →225 89Ac + β⁻ | (3.1a)
15 8O | + -β→15 7N + β⁺ | (3.1b)

__________________________________________________________________________

β-Zerfall eines ruhenden 6 2He-Kerns, inspiriert von Demtröder Band 4, Abb. 3.20 [Dem10]

_____________________________________________________________________

Abbildung 3.4 zeigt eine Messung eines β-Zerfalls in einer Blasen- oder Nebelkammer. Magnetfelder bewirken über die Lorentzkraft eine Ablenkung geladener Teilchen. Im nichtrelativistischen Falle ist

(3.2)

und daraus

(3.3)

oder

(3.4)

3.4.1  Doppelzerfälle

Doppelzerfälle sind Reaktionen von A ZX nach A-4 Z-1Y , die über zwei Wege ablaufen können.

(3.5)

In diesem Reaktionsschema sind die Energien der α-Zerfälle bekannt (2-Körper-Zerfälle), die Energien der beiden β⁻-Zerfälle aber nicht (kontinuierliches Spektrum). Experimentell gilt aber:

(3.6)

unabhängig vom Weg. Das heisst, dass es beim β-Zerfall ein zweites Teilchen geben muss, dessen kinetische Energie verschwinden kann und dessen Ruhemasse sehr klein oder null sein muss.

Durch den β-zerfall wird aus einem gu-Kern ein ug-Kern. Geradzahlige Nukleonen haben einen ganzzahligen Kernspin, oftmals auch 0. Ungeradzahlige Nukleonen führen zu einem halbzahligen Kernspin, mindestens aber ℏ∕2.

Wir haben also

(3.7)

Das heisst, wenn wir an Erhaltungssätze glauben, dann ist der β-Zerfall verboten, ausser es existiert ein weiteres elektrisch neutrales sehr leichtes Teilchen mit Spin ℏ∕2.

Aus Neutral für ohne Ladung und „-ino“ für klein ergibt sich dann das Neutrino, ν.

Wie es Elektron und Positron, also β⁻ und β⁺ = β⁻, also Teilchen und Antiteilchen, gibt es Neutrino ν und Antineutrino ν.

Neutrinos und Elektronen gehören zur gleichen Klasse der Leptonen. Die Zahl der Leptonen ist erhalten, also muss

mit einem Elektron, einem β⁻ ein Antineutrino ν und

mit einem Positron, einem β⁺ ein Neutrino ν entstehen.

__________________________________________________________________________

β-Spektrum von 32 15P nach Lyman [Lym37]

_____________________________________________________________________

Wie Abbildung 3.4.1 zeigt, beobachtet man beim β-Zerfall immer ein kontinuierliches Spektrum und nie ein Linienspektrum. Der β-Zerfall kann deshalb kein Zweikörperzerfall sein, mindestens drei Objekte, die Energie und Impuls tragen können, müssen involviert sein.

__________________________________________________________________________

Nachweis des Antineutrinos, inspiriert von Demtröder Band 4, Abb. 3.21 [Dem10]

_____________________________________________________________________

Abbildung 3.4.1 zeigt eine Möglichkeit zum Nachweis von Neutrinos. Verwendet wird CdCl₂ gelöst in H₂O. Diese Kombination wird verwendet, um die Detektion von Neutrinos zu vereinfachen.

Das Neutrino reagiert (sehr selten, aber doch ab und zu) mit einem Proton aus dem Wasser.

(3.8)

Dieses Positron reagiert weiter mit einem Elektron, es annihiliert sich:

(3.9)

Es gibt noch einen zweiten Kanal, den über CdCl₂. Das Neutron reagiert nach der folgenden Reaktionsgleichung mit 113 48Cd (Halbwertszeit 8·10¹⁵ yr [Int17]):

(3.10)

Dabei bedeutet 114 48Cd* dass der Kern 114 48Cd in einem angeregten Kernzustand ist. Die Detektion läuft nun so:

Detektiere ein γ bei 511 keV.

Detektiere ein zeitverzögertes γ aus der Reaktion mit 113 48Cd .

Nur diese Kombination garantiert, dass ein Neutrino die Reaktion ausgelöst hat und nicht ein anderer Prozess.

In Abbildung 3.4.1 sind rechts die einzelphotonenzählenden Detektoren mit einer nachgelagerten Schaltung zur Pulsformung und -diskrimination und einer Koinzidenzschaltung gezeigt.

3.4.2  β-Zerfall und Positronenemission

__________________________________________________________________________

Umwandlung von Protonen in Neutronen (links) und umgekehrt (rechts), inspiriert von Demtröder Band 4, Abb. 3.22 und Abb. 3.23 [Dem10]

_____________________________________________________________________

3.4.2.1. Umwandlung von n in p

Die Ausführungen beziehen sich auf Abbildung 3.4.2, linke Seite.

n | → p + e⁻ + ν + E kin | (3.11a)
A ZX | → A Z+1X + e⁻ + ν | (3.11b)
ΔE | = M(A ) Z X- M( A ) Z+1Xc² ≥- (me - + m ν) c² + E kin | (3.11c)

Freie Neutronen, also Neutronen, die nicht ineinem kern sind, zerfallen mit einer zeitkonstante von τn = 887 s mit der Reaktion

(3.12)

Damit ist auch klar, dass die Masse des Protons mindestens c²·511 keV leichter ist als die Masse des Neutrons.

3.4.2.2. Umwandlung von p in n

Die Ausführungen beziehen sich auf Abbildung 3.4.2, rechte Seite.

p | → n + e⁺ + ν + E kin | (3.13a)
A ZX | → A Z-1X + e⁺ + ν | (3.13b)
ΔE | = M( ) AZ X- M( ) Z A-1Xc² ≥(me+ + m ν) c² + E kin | (3.13c)

Bei diesen Reaktionen sind die Baryonenzahl B und die Leptonenzahl L erhalten.

3.4.2.3. Baryonenzahl und Leptonenzahl bei β-Zerfällen

Sowohl Neutronen wie Protonen sind Baryonen. Jedes Teilchen zählt als B = 1. Elektron und Neutrino sind Leptonen, auch hier zählt jedes Teilchen L = 1. Positron und Antineutrino sind Antileptonen, ihre Leptonenzahl ist L = -1.

In Gleichung (3.11a) sind dies auf der linken Seite ein Neutron und keine Leptonen, also ist

(3.14)

Auf der rechten Seite haben wir ein Proton, also B = 1, ein Elektron (L = 1) und ein Antineutrino (L = -1). In der Summe also auch

(3.15)

In Gleichung (3.13a) ist die Situation analog, nur dass hier das Neutrino das Lepton und das Positron das Antilepton ist.

3.4.3  Fermi-Theorie des β-Zerfalls

Enrico Fermi publizierte 1933 eine Theorie des β-Zerfalls basierend auf quantenmechanischen Zuständen im Inneren der Kerne und füre die emittierten Elektronen [Fer33, Fer34]. Die folgende Argumentation folgt Demtröder [Dem10].

Fermi geht davon aus, dass die Wahrscheinlichkeit ein Teilchen bei der Energie E im Intervall dE zu finden durch

(3.16)

ist. dabei sind ge und gν die statistischen Gewichte des Elektrons und des Antineutrinos. Mit statistischen Gewichten ist dabei die Anzahl der bei der Energie pi²∕(2m) zugänglichen Zustände gemeint. Wif ist die Wahrscheinlichkeit (das Matrixelement) für den Übergang des Ausgangszustandes (i: initial state) in den Endzustand (f: final state), also für den Übergang A ZX → A Z+1Y.

Die Anzahl zugänglicher Zustände für grosse Impulse p » 0 ist proportional zum Volumen einer Kugelschale mit der Dicke dp und dem Radius p, also

(3.17)

wobei natürlich relativistisch E = √m2c4--+--c2p2 und dE = c²p∕E ist. Den unbekannten Proportionalitätsfaktor können wir am Ende über eine Normierung bestimmen. Damit können die Energie- in Impulsintervalle umgerechnet werden.

Wir wissen, dass wir drei Zerfallsprodukte haben. Da die Gesamtenergie gegeben ist, kann die Energie von zwei Objekten (in Grenzen) frei gewählt werden. Hier nehmen wir diese Freiheit für pe und pν in Anspruch.

ge | = 4πpe²dp e | (3.18a)
gν | = 4πpν²dpν | (3.18b)

Aus der relativistischen Energie-Impuls-Beziehung E = ------------ √ m2c4 + c2p2 erhalten wir für kleine Massen mν « pν∕c

(3.19)

Wenn E₀ = Eν + Ee die für das Elektron und das Antineutrino insgesamt zur Verfügung stehende Energie ist, gilt

(3.20)

Da pe und E in einer funktionellen Abhängigkeit stehen, kann mit einem Korrekturfaktor a₁ die Wahrscheinlichkeit auch so geschrieben werden:

(3.21)

Aus der relativistischen Energie-Impulsbeziehung E = ∘ --2-4---2-2- m ec + c pe erhalten wir

(3.22)

und andererseits

(3.23)

Wir teilen in Gleichung (3.21) pe²dp e in einen Faktor pe und einen Faktor pedpe auf. Weiter schieben wir alle konstanten Faktoren inklusive a₁ in den Faktor a₂ und erhalten

(3.24)

Wir ersetzen nun E = Ee + m₀c² und erhalten für die Zählrate N(Ee) im Energieintervall dEe (und der Konstanten a₃)

(3.25)

Damit ergibt sich mit Gleichung (3.21) die Vorhersage

(3.26)

Diese Überlegung steckt hinter der Darstellung in Abbildung 3.4.3.

__________________________________________________________________________

Fermi-Kurie-Diagramm des β-Zerfalls von 3 1H, nach [WPB⁺93]

_____________________________________________________________________

Eine genaue Analyse der maximal beobachteten Elektronenenergie kann zu Aussagen über die Neutrinomasse führen. Abbildung 3.4.3 zeigt dazu einen Ausschnitt aus Abbildung 3.4.3.

__________________________________________________________________________

Fermi-Kurie-Diagramm des β-Zerfalls von 3 1H, nach [WPB⁺93]

_____________________________________________________________________

Die Abweichung zu hohen Energien kann unter anderem von der nicht verschwindenden Dunkelzählrate der Detektoren herrühren.

3.4.4  Detektoren

__________________________________________________________________________

Magnetisches Spektrometer für den β-Zerfall, nach Demtröder Band 4, Abb. 3.25 [Dem10]

_____________________________________________________________________

Abbildung 3.4.4 zeigt beispielhaft den Aufbau eines magnetischen Spektrometers. Die Quelle sendet die β-Strahlung in alle Richtungen, also isotrop, aus. Die Bleiabschirmung verhindert eine Beeinflussung des Detektors. Das Magnetfeld zusammen mit der Eintrittsöffnung links und der Öffnung des Detektors selektiert eine bestimmtes Verhältnis v∕m, also eine bestimmte Energie bei gegebenem Teilchentyp. Die ganze Apparatur befindet sich im vakuum, um Streuung und Absorption in einem Gas auszuschliessen.

3.4.5  K-Einfang

__________________________________________________________________________

K-Einfang, nach Demtröder Band 4, Abb. 3.27 [Dem10]

_____________________________________________________________________

Beim K-Einfang nach Abbildung 3.4.5 reagiert ein Elektron im Kern mit einem Proton zu einem Neutron. Dies ist möglich, da der innerste Zustand, der Grundzustand der Elektronen im Coulomb-Potential, am Ort des Kerns eine nicht verschwindende Amplitude hat.

Im Kern gibt es die folgende Reaktion

e⁻ + p | = n + ν e | (3.27a)
A ZX + e⁻ | -→ A Z-1Y + νe | (3.27b)

In einem zweiten Schritt wird das fehlende Elektron in der K-Schale durch eines z.B. aus der L-Schale ersetzt, unter Aussendung eines γ-Quants mit einer wohldefinierten Energie.

Es gilt dann

(3.28)

Weiter ist auch

(3.29)

Dabei ist, wie bei jedem 2-Körper-Stoss die kinetische Energie des leichten Teilchens (das νe) viel grösser als die kinetische Energie des schwereren Teilchens, also

(3.30)

3.4.6  Enegiebilanzen und Zerfallstypen

β⁻-Zerfall

(3.31)

Zerfall in das positive Ion A Z+1X⁺

(3.32)

(3.33)

β⁺-Zerfall

(3.34)

Zerfall des positiven Ions A Z+1X⁺

(3.35)

(3.36)

K-Einfang

(3.37)

(3.38)

(3.39)

3.5  Gammastrahlung

__________________________________________________________________________

γ- Strahlung von 212 84Po entstanden durch β⁻-Zerfall aus 212 83Bi, adaptiert aus [Dem10, Abb. 3.29] mit Daten der IAEA [Int17]

_____________________________________________________________________

Abbildung 3.5 zeigt die Energieniveaus beim Zerfall von 212 83Bi über den β-Zerfall in angeregte Kernniveaus von 212 84Po . Diese relaxieren unter aussendung von γ-Quanten in den Grundzustand. Dieser wie auch angeregte Zustände zerfallen mit α-Teilchen in 208 82Pb .

Das Beispiel in Abbildung 3.5 zeigt, dass γ-Strahlen entstehen, wenn der Tochterkern in einem energetisch angeregten Zustand gebildet wird, und nicht im Grundzustand.

__________________________________________________________________________

γ- Spektrum von 22 10Ne entstanden durch β⁺-Zerfall aus 22 11Na, nach Demtröder Band 4, Abb. 3.30 [Dem10]

_____________________________________________________________________

Abbildung 3.5 zeigt ein typisches γ-Spektrum. Dabei ist nicht nur die erwartete Linie bei 1274 keV zu sehen, sondern auch sogenannte „vernichtungsstrahlen“ mit zwei γs in entgegengesetze Richtungen. Diese treten auf, wenn ein e⁻ mit einem e⁻ = e⁺ reagiert.

(3.1)

Generell treten die Energien

auf.

3.5.1  Multipol-Übergänge

Wir haben gesehen, dass jeder Kern einen Kernspin I trägt. Wenn ein γ-Quant emittiert wird, müssen die Regeln der Drehimpulserhaltung gelten, also die Auswahlregeln. Das heisst, ΔI muss mit dem Drehimpuls des γ-Photons kompensiert werden.

Aus

(3.2)

(i bezeichnet den Anfangszustand und f den Endzustand) follgt, dass für die nach L klassifizierten Moden des elektromagnetischen Spektrums

(3.3)

gelten muss. Die Multipolentwicklung ergibt sich aus der lokalen Amplitude des elektromagnetischen Feldes analog zur Multipolentwicklung des elektrostatischen Potentials.

das elektrostatische Potential (siehe z.B. [Mar16], [JJC⁺89] oder [Wik17])

(3.4)

kann analog zu Taylorreihen (Entwicklung nach Potenzen) nach Kugelflächenfunktionen entwickelt werden (siehe auch das Wasserstoffatom in der Atomphysik [MG15])

(3.5)

mit Entwicklungskoeffizienten, den sphärischen Multipolmomenten

(3.6)

Analog kann das elektromagnetische Feld einer Welle in Multipole Entwickelt werden. Wir erinnern uns, dass die Amplitude einer sphärischen Kugelwelle durch

(3.7)

gegeben ist, äquivalent zum Fall, dass alle qℓ,m = 0 sind ausser q0,0 = Q. Dann ist

(3.8)

Also kann auch die Amplitude einer elektromagnetischen Welle nach Multipolen entwickelt werden (K ist eine vom Einheitensystem abhängige Konstante)

(3.9)

mit Entwicklungskoeffizienten, den sphärischen Multipolmomenten

(3.10)

___________________________________________________________________________

L
2L
ΔL
Name
Symbol
Paritätserhaltung

0
1
0
Monopol
keines
0 → 0 verboten

1
2
1
Dipol
E1
nein (-1)

M1
ja (+1)

2
4
2
Quadrupol
E2
ja (+1)

M2
nein (-1)

3
8
3
Oktupol
E3
nein (-1)

M3
ja (+1)

4
16
4
Hexadekupol
E4
nein

M4

Tabelle der Multipolmoden des elektromagnetischen Feldes(nach Demtröder [Dem10, Tab. 3.3])

_____________________________________________________________________

Tabelle 3.5.1 zeigt die Bezeichnungen und Entartungen für L = ℓ. Nach Viktor Weisskopf [Wei51] kann die Wahrscheinlichkeit für einen elektrischen Multipolübergang zwischen Ei und Ek im Kern durch

(3.11)

beschrieben werden. Dabei ist R die Ausdehnung der Ladungsverteilung und _ λ = λ- 2π = c- ω. Die Lebensdauer eines Zustandes berechnet sich dann zu

(3.12)

wobei {k} die Menge aller aus dem Zustand |i⟩ zugänglichen energetisch tieferen ustände |k⟩ ist.

Daraus ergibt sich

(3.13)

Hier ist

(3.14)

die Feinstrukturkonstante und Eγ = Ei - Ek die Energie des γ-Quants. Weiter ist

(3.15)

das statistische Gewicht.

__________________________________________________________________________

Statistische Gewichte S(L) für Multiplübergänge

_____________________________________________________________________

Aus Abbildung 3.5.1 ersieht man, dass nur die einfachsten Multipolübergänge beobachtbar sind. Für Kerne mit I = 0 existieren nur Monopole. Das heisst, ein γ-zerfall ist nicht möglich, da dazu I > 0 benötigt wird, damit ein ΔI≠0 existieren kann. Dies ist analog zu Antennen für elektromagnetische Strahlung. es braucht einen zeitlich wechselnden elektrischen Dipol, eine Ladung alleine und in Ruhe erzeugt keine Strahlung.

3.5.1.1. Multipol-Übergänge und reziproke Übergangswahrscheinlichkeiten (Lebensdauern)

___________________________________________________________________________

Eγ
E1
E2
E3
E4

0.1 MeV
10⁻¹³s
10⁻⁶ s
10⁺² s
10⁺⁹ s

1 MeV
10⁻¹⁵s
10⁻¹⁰ s
10⁻⁵ s
10⁰ s

10 MeV
10⁻¹⁸s
10⁻¹⁵ s
10⁻¹² s
10⁻⁹ s

Übergangswahrscheinlichkeiten von Multipolübergängen (nachDemtröder [Dem10, Tab. 3.4]

_____________________________________________________________________

Analoges zeigt Tabelle 3.5.1.1. Weiter ist die parität der Wellenfunktion wichtig. Darunter versteht man ob sich das Vorzeichen der Wellenfunktion bei der Operation r →-r ändert (Π = -1) oder nicht (Π = 1).

Für magnetische Dipolübergänge berechnet sich die Zerfallszeiten zu

(3.16)

Verglichen mit elektrischen Multipolübergängen

(3.17)

ergibt sich

(3.18)

Magnetische Multipolübergänge mit niedriger Ordnung L sind deshalb weniger wahrscheinlich.

3.5.2  Innere Konversion

__________________________________________________________________________

Skizze des β-Spektrums bei innerer Konversion

_____________________________________________________________________

Unter innerer Konversion versteht man die Reaktion eines angeregten Kernes, bei dem ein ionisiertes Atom entsteht.

(3.19)

Dieser Prozess heisst auch innerer Photoeffekt. Es entsteht kein Neutrino, da das Elektron aus der Elektronenhülle entfernt wurde und nicht neu gebildet wird.

Für die Energie ergibt sich

(3.20)

A ZX* entsteht häufig als Resultat eines β-Zerfalls. Die Signatur dieses Prozesses ist ein kontinuierliches Spektrum des β-Zerfalls überlagert mit einem Linienspektrum (siehe Abbildung 3.5.2).

3.5.3  Innere Paarbildung

Innere Paarbildung liegt zum Beispiel bei der Reaktion

(3.21)

vor.

3.5.4  Isomere

__________________________________________________________________________

Isomerzustand 80 35Br* des instabilen 80 35Br-Grundzustandes, Daten aus [Int17]. EC heisst Electron Capture, Elektroneneinfang. Neben den Niveaus sind die Energien bezogen auf den Grundzustand des 80 35Br angegeben, dan Ip, also den kernspin und die Parität sowie die Lebensdauer τ.

_____________________________________________________________________

Abbildung 3.5.4 zeigt mit Daten aus [Int17] die Niveaus und die Lebensdauern und Multipolmoden des Zerfalls des 80 35Br*. Abbildung ?? zeigt das Niveau-Schema generiert aus der IAEA-Website.

__________________________________________________________________________

Niveau-Schema erzeugt mit der IAEA-Website und ihren Tools [Int17].

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4  Experimentelle Techniken der Kern-und Teilchenphysik

In diesem Teilgebiet der Physik werden Teilchen beschleunigt, dann zur Kollision oder Streuung gebracht und die Energien und Impulse sowie die inneren Freiheitsgrade der Teilchen analysiert. Dazu braucht man

Beschleuniger

Wechselwirkungzonen

Detektoren

4.1  Teilchenbeschleuniger

Wir betrachten zuerst die Prozesse bei einer Kollision. Die pro Zeiteinheit in den Winkel ϑ gestreute Teilchenzahl oder Ereignisrate ist

(4.1)

Dabei ist ΔΩ der Raumwinkel, ΔV das Volumen, ϕA der Teilchenfluss, nB die Teilchendichte im Target und ddσΩ- der differentielle Wirkungsquerschnitt.

Bei einem ruhenden Target müssen die kinetischen Energien im Laborsystem Ekin(A) = Ekin(A) > 0 und Ekin(B) = 0 in kinetische Energien im Schwerpunktsystem Ekin′(A) und Ekin′(B) umgerechnet werden. Dann kann die Streuung oder die Reaktion rechnerisch durchgeführt werden. Dabei beleibt die Bewegung des Schwerpunkts erhalten. Schliesslich muss in das Laborsystem zurückgerechnet werden.

Wir haben

Vorher |  | EA | = EA,kin + EA,0 = EA,kin + mA,0c² = m A,0c²(1 + α) | (4.2a)
Nachher |  | ES | = mA,0c²∘ ------------ 2EA,kin 2 + -m--c2- 0 = mA,0c²∘ --------- 2(1 + α) | (4.2b)

Dies ergibt einen Wirkungsgrad von

(4.3)

Abbildung 4.1 zeigt eine grafische Darstellung.

__________________________________________________________________________

Wirkungsgrad bei der Streuung

_____________________________________________________________________

Wer sich für eine tiefer gehende Erörterung interessiert verweise ich auf Demtröder [Dem10, p. 64ff].

4.1.1  Relativistische Bewegung

Wir betrachten eine Masse m, die mit einer konstanten Kraft F = F₀ beschleunigt werde [Fre04, Sch15, Hof97]. Nach dem 2. Newtonschen Gesetz ist [Mar14]

F | = d- dtp = d- dt(mv ) |  |
| = dm-- dtv + mdv- dt = ( ) ( d-∘--m0---) dt 1 - v22 cv + ∘-m0---- 1 - v22- cdv- dt | (4.4a)
| = -1 -- 2( ) m0 · - 2cv2 v --(------)-3-- 1 - v22- 2 cdv --- dt + m0 ∘------2- 1 - vc2dv --- dt = m0a (------)3- 1 - v22 2 c | (4.4b)

Daraus berechnet man skalar

(4.5)

und

∫ ₀tF m-- 0dt | = F m-- 0t = ∫ ₀v(t)dv (-----2)3- 1 - vc2 2 |  |
| = || v || (------)-1|| 1 - v22 2|| c₀v(t) = v(t) (--------)1- 1 - v(t)22 2 c | (4.6)

Dann folgt

(4.7)

und

a(t) | = dv (t) ------ dt |  |
| = -F- m0------1------3- ( (-Ft)2 )2 1 + m0c | (4.8)

__________________________________________________________________________

Zeitverlauf der relativistischen Geschwindigkeit (links) und der relativistischen Beschleunigung bei konstanter Kraft [Mar14].

_____________________________________________________________________

Für die Geschwindigkeit erhalten wir

(4.9)

Dann ist die Beschleunigung

(4.10)

Geschwindigkeit und Beschleunigung: t « m c -F0 ist der klassische Newtonsche Bereich.

Der Impuls nimmt linear mit der Zeit zu

unabhängig, ob relativistisch oder klassisch

Im klassischen Fall beruht die Impulszunahme auf der Zunahme der Geschwindigkeit, im relativistischen Fall auf der Zunahme der Masse.

Zur Berechnung der kinetischen Energie setzen wir (v²∕c² = -A2-- 1+A2) mit A = Ft∕(m₀c)

(4.11)

oder

(4.12)

__________________________________________________________________________

Verlauf der kinetischen Energie bei konstanter Kraft im klassischen (rot) und relativistischen (grün) Fall[Mar14].

_____________________________________________________________________

(4.13)

Die kinetische Energie steigt im relativistischen Falle linear mit der Zeit.

Die Distanz als Funktion der Zeit ist

(4.14)

Wir substituieren A = -Ft m0c =⇒ dA = -F- m0cdt dt = m0c FdA.

__________________________________________________________________________

Verlauf der zurückgelegten Distanz bei konstanter Kraft im klassischen (rot) und relativistischen (grün) Fall [Mar14].

_____________________________________________________________________

(4.16)

Die relativistische Eigenzeit τ = t′ der beschleunigten Massenimmt langsamer zu:

v -- c = | Ft ---- m0c1 ∘-----(----)2 1 + Fmtc 0( v) -- c² = | ( F t) ---- m0c1 ----(-F-t)2 1 + m0c |  | (4.17)
1 -(v-) c = | 1 -( F-t-) m c 0-----1----- (-Ft)2 1 + m0c = | ----1------ ( F-t)2 1 + m0c |  | (4.18)
∘ ----(--)- 1 - v- c = | ∘-----1------ (-Ft)2 1 + m0c |  |  | (4.19)
|  |  |  | (4.20)

(4.21)

(4.22)

__________________________________________________________________________

Verlauf der Eigenzeit bei konstanter Kraft im klassischen (rot) und relativistischen (grün) Fall [Mar14].

_____________________________________________________________________

(4.23)

(4.24)

__________________________________________________________________________

Zurückgelegte Strecke als Funktion der Eigenzeit [Mar14].

_____________________________________________________________________

α | = Ekin ----2 m0c | (4.25a)
|  | (4.25b)
β | = v- c | (4.25c)
|  | (4.25d)
γ | = ∘--1----- v2 1 - c2 = √---1---- 1 - β2 | (4.25e)

4.1.2  Funktion von Beschleunigern

Beschleuniger benötigen elektrisch geladene Teilchen. Wenn ein Teilchen mit der Ladung q durch eine Spannung U beschleunigt wird, ergibt sich eine kinetische Energie von

(4.26)

α = 1 + γ ist wie üblich in der speziellen Relativitätstheorie definiert.

Wegen der begrenzten Durchschlagsspannung von Luft (oder Druckluft) werden Teilchen in der Regel durch N Beschleunigungsstrecken mit der Spannung U beschleunigt.

(4.27)

Neben einstufigen Beschleunigern wie einer Kathodenstrahlröhre werden die mehrstufigen Beschleuniger in verschiedenen Ausführungen gebaut

Linearbeschleuniger

haben die kleinsten Verluste, aber benötigen eine grosse Länge

kreisförmige Beschleuniger

Synchrotrons und Zyklotrons benötigen weniger Platz. Die Teilchen können im Prinzip unendlich lange Zeit beschleunigt werden. Die Strahlungsverluste sind durch die notwendige Beschleunigung zum Kreismittelpunkt aber gross.

Laserbasierte Beschleuniger

können sehr kurz gebaut werden, da Laser dynamisch sehr viel grössere elektrische Felder erzeugen können. Die Strahlqualität erreicht jedoch noch nicht die Qualität der elektrischen Beschleuniger [LNG⁺06].

4.1.3  Linearbeschleuniger

__________________________________________________________________________

Elektrostatischer Beschleuniger (siehe auch [Dem10, Abb. 4.5])

_____________________________________________________________________

Einstufige elektrostatische Beschleuniger sind so ähnlich aufgebaut wie in Abbildung 4.1.3. Eine Gleichspannung U wird über eine Widerstandskaskade aus N Widerständen R in gleiche Spannungsschritte aufgeteilt. Das Vorzeichen der Spannung hängt dabei vom Vorzeichen der zu beschleunigenden ladung ab. In Abbildung 4.1.3 wären dies negativ geladene Teilchen.

Die Hochspannung kann über van-de-Graaf-generatoren oder über Spannungsvervielfacherkaskaden hergestellt werden.

__________________________________________________________________________

Van-de-Graaf-Generator zur Herstellung von Hochspannung. [Mar16]

_____________________________________________________________________

In Abbildung 4.1.3 ist schematisch ein van-de-Graaf-Generator gezeigt. Für positiv geladene Teilchen muss die Quelle auf Hochspannung gebracht werden, dafür ist die Detektion bei Erdpotential.

__________________________________________________________________________

Kaskaden-Hochspannungsgenerator [HH89, p. 48]

_____________________________________________________________________

Abbildung 4.1.3 zeigt eine Halbleiter-Kaskadenschaltung zur Erzeugung einer hochvoltigen Gleichspannung. Teilspannungen können an den Knoten abgegriffen werden.

__________________________________________________________________________

Skizze eines Driftröhrenbeschleunigers, inspiriert von [Dem10].

_____________________________________________________________________

Beim Driftröhrenbeschleuniger nach Abbildung 4.1.3 werden Ladungen durch eine Wechselspannung mit der Amplitude U₀ beschleunigt.

(4.28)

φ ist dabei eine durch die Apparatur bestimmte Phase. Bei jedem Übergang von einer Röhre zur nächsten wird die Ladung durch die Spannung ΔU = 2U₀ beschleunigt, ausser am Anfang und am Ende. Dort ist die Beschleunigungsspannung U₀. Bei N Driftröhren wird eine Ladung also durch

(4.29)

beschleunigt. Die Beschleunigungsspannung ändert die kinetische Energie, also

(4.30)

oder

(4.31)

Aus v = --c- 1+α√ α2 +-2α- = c--α- 1+ α∘ ------ 1 + 2- α folgt schliesslich

(4.32)

Die Ladung q ist je nach dem zu beschleunigenden Teilchen eine Elementarladung oder auch Z mal eine Elementarladung. Im zweiten Falle werden schwere Kerne beschleunigt.

Im i-ten Rohr hat das geladene Teilchen die Geschwindigkeit

(4.33)

oder

(4.34)

Die Driftzeit in einer Röhre ist die halbe Periodendauer tD = T∕2 = 1∕2ν = π∕ω. Damit ist die Länge der i-ten Röhre

(4.35)

Wenn nU₀q « m₀c² ist, also im nichtrelativistischen Falle, ist

(4.36)

und

(4.37)

Hochfrequenztechnisch einfacher sind Wanderwellenbeschleuniger, z. B. nach Alvarez [ABF⁺55]. In diesem Design werden Mikrowellen so geführt, dass sie zur rechten Zeit am richtigen Ort die geladenen Teilchen beschleunigen können.

4.1.4  Zyklotron

__________________________________________________________________________

Schematischer Aufbau eines Zyklotrons

_____________________________________________________________________

Ein Zyklotron ist ein relativ einfach aufgebauter Beschleuniger. Die folgenden Rechnungen sind nichtrelativistisch, gelten also nur für kleine Geschwindigkeiten.

Ein Zyklotron verwendet die Tatsache, dass die Umlaufzeit proportional zur Geschwindigkeit zunimmt.

Im nichtrelativistischen Fall lautet das Kräftegleichgewicht

mv2 ----- r
= qvB ⇒ r = mv ---- qB ⇒ v = rqB ---- m
(4.38)

Dabei ist der Impuls p = mv und daraus

(4.39)

Die Zeit für einen Umlauf ist

(4.40)

Das heisst, dass die Hochfrequenz

fHF | = 1 T- = qB 2πm-- | (4.41a)
ωHF | = qB --- m | (4.41b)

Wenn R der maximale Radius des Zyklotrons ist, ist die erreichbare Energie

(4.42)

4.1.5  Betatron

__________________________________________________________________________

Aufbau eines Betatrons

_____________________________________________________________________

Die Bewegung der Teilchen in einem Betatron wird durch

(4.43)

oder

(4.44)

beschrieben. Daraus ergibt sich

(4.45)

Mit der Integralform des Induktionsgesetzes, unter Annahme einer stationären Kreisbahn S(R) mit dem Radius R bekommt man

(4.46)

wobei B das über die Fläche des Kreises gemittelte B-Feld ist. Somit

(4.47)

Die Integration mit den Anfangsbedingungen p(0) = 0 und B(0) = 0 liefert

(4.48)

Der Vergleich mit der Gleichung für die Zentripetalkraft liefert die Wideroe-Bedingung

(4.49)

Diese Bedingung kann durch eine geeignete Wahl der Form der Polschuhe erreicht werden.

Ein Betatron betrieben mit 50 Hz hat jeweils 5 ms Zeit zur Beschleunigung. Das heisst die Teilchen (z.B. e⁻) machen so etwa 10⁶ Umläufe bis relativistische Effekte die Funktionsweise verunmöglichen.

4.1.6  Synchrotron

__________________________________________________________________________

Schematischer Aufbau eines Synchrotrons

_____________________________________________________________________

Bei einem Synchrotron muss, anders als bei einem Zyklotron, die Beschleunigungsfrequenz nachgeregelt werden. Für den Radius ergibt sich¹

(4.50)

Im relativistischen Fall Ekin » m₀c² erhalten wir

(4.51)

Das heisst, die magnetische Induktion muss nachgeregelt werden, um R konstant zu halten. Das heisst für eine magnetische Induktion B = 1 T, dann ist Erkin = 3.3 m/GeV.

4.1.6.1. Vertikale Stabilisierung

Beschleuniger funktionieren nur korrekt, wenn die zu beschleunigenden Teilchen auf ihrer Bahn stabilisiert werden. Die z-Komponente von B ist

(4.52)

dabei ist n der Feldindex, der sich aus der relativen Änderung des Feldes bezogen auf die relative Änderung des Ortes

(4.53)

ergibt, also

(4.54)

oder

(4.55)

Sei nun B = (Br, 0,Bz)T . Weiter benötigen wir die Lorentzkraft F = qv×B und daraus

(4.56)

Bei einem statischen Feld rot B = 0 gilt

(4.57)

Daraus folgt

(4.58)

und

(4.59)

damit gibt es in die z-Richtung eine rücktreibende Kraft

(4.60)

Dies führt zu einer Schwingung um die Gleichgewichtslage mit der Frequenz

(4.61)

Mit dem Gleichgewicht in radialer Richtung mv2- r0 = qvB₀ folgt

(4.62)

Es gibt die Grenzsituation, dass n < 1 ist. Dann ist die Periode bezogen auf die zurückgelegte Strecke grösser als L = 2πr₀. Dann muss zmax < r sein.

4.1.6.2. Radiale Stabilisierung

Die radiale Gleichgewichtslage wird durch

(4.63)

gegeben. Wenn nun r≠r₀ ist, ergibt sich eine Kraft

ΔF | = [ mv2 ( r - r0)] ------ qvB0 1 - n ------ r r0er | (4.64)
| = mv2 ----- r0[ ] 1 ( r - r0) ----r-r0 - 1 - n------ 1 + r0 r0er |  |

und damit

(4.65)

ΔF | = mv2-- r 0[ ( ) ] ----1--- r---r0 1 + r--r0 - 1 - n r r0 0er | (4.66)
wenn r--r0 r0 « 1
ΔF | = 2 mv--- r0[ ( ) ( )] 1 - r --r0 - 1 - n r --r0 r0 r0er | (4.67)
| = mv2 --2-- r0[- (r - r0) + (n(r - r0))] er | (4.68)
| = -mv2-- r20(r - r₀)(1 - n)er | (4.69)
|  | (4.70)

Wenn n < 1 ist, gibt es eine rücktreibende Kraft. Dise oszilliert mit der Frequenz

(4.71)

4.1.6.3. Starke Fokussierung

Wenn Teilchen in einen Beschleuniger eingebracht werden, haben diese nie alle die gleiche Richtung. Das heisst neben dem Transfer von Energie muss ein Beschleuniger die Teilchen auf der Bahn halten, also letztlich fokussieren (um einen Begriff aus der Optik zu verwenden).

__________________________________________________________________________

Prinzip der starken Fokussierung (siehe auch [Mar16])

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Um das Wesentliche herauszuarbeiten betrachten wir zwei Linsen mit f₁, g₁ undder daraus folgenden Bildweite b₁ sowie f₂, g₂ und der daraus folgenden Bildweite b₂. Daraus ergibt die Beziehung g₂ = ℓ - b₁ zwischen der Gegenstandsweite der zweiten Linse und der Bildweite der ersten Linse.

Die entsprechenden Abbildungsgleichungen sind

b₁
= f1g1 ------- g1 - f1
b₂
= f2g2 ------- g2 - f2

Die Kombination der beiden Gleichungen liefert

b₂
= f2(ℓ - b1) ----------- ℓ - b1 - f2
=
f2(ℓ - gf11-g1f1) ----f1g1------ ℓ - g1-f1 - f2
= f2(ℓ(g1 - f1) - f1g1) ----------------------- (ℓ - f2)(g1 - f1) - f1g1

Wenn wir f₂ = -f₁ = -f setzen, bekommen wir

b2,f→-f
= - f(ℓ(g - f) - fg ) -------1----------1-- (ℓ + f )(g1 - f) - fg1
=
- f(ℓ(1 - f-) - f ) -----------g1f----- (ℓ + f)(1 - g1) - f
(4.72)

Wenn parallel sich bewegende Objekte (Licht) auf die erste Linse treffen, bekommen wir für g₁ → ∞ die Gleichung

b2,f→-f,∞
= lim g₁→∞- f (ℓ(1 - -f) - f) ----------g1------- (ℓ + f)(1 - fg1) - f
=
2 --f-ℓ +-f- ℓ + f - f
=
f( ) f-- 1 ℓ
(4.73)

Wenn anderseits f₂ = -f₁ = f ist, bekommen wir

b2,-f→f
= -f-(ℓ(g1-+-f)-+-fg1)-- (ℓ - f )(g1 + f ) + f g1
=
f(ℓ(1 + f-) + f) ---------g1-------- (ℓ - f )(1 + gf) + f 1
(4.74)

Wenn parallel sich bewegende Objekte (Licht) auf die erste Linse treffen, bekommen wir für g₁ → ∞ die Gleichung

b2,-f→f,∞ | = lim g₁→∞f- -f-(ℓ(1-+--g1)-+-f)-- (ℓ - f)(1 + f-) + f g1 | = | 2 -f-ℓ +-f-- ℓ - f + f | = | f( ) f-+ 1 ℓ | (4.75)
|  |  |  |  |  | (4.76)

Die resultierende Bildweite hängt also sowohl von der Reihenfolge der Linsen wie auch von ℓ und f ab. Bei endlicher Gegenstandsweite g₁ sind die Bildweiten b2,f→-f = b2,-f→f gleich, wenn gilt

(4.77)

__________________________________________________________________________

Starke Fokussierung, basierend auf [Mar16]

_____________________________________________________________________

Abbildung 4.1.6.3 zeigt die Wirkung von elektrischen Feldlinien auf geladene Teilchen. Geladene Teilchen erfahren eine Kraft entlang der Feldlinien. Deshalb ist der linke Teil der Lücke fokussierend, der rechte defokussierend. Die Beträge der Fokuslängen sind gleich. Da die „Linsen“ nich am gleichen Ort sind, kompensiert sich wie bei optischen Linsen die Wirkung der Fokussierung nicht komplett durch die Wirkung einer gleich starken Defokussierung. Zusammen ist so eine Konstruktion fokussierend.

__________________________________________________________________________

Fokussierung in Beschleunigern

_____________________________________________________________________

4.1.6.4. Synchrotonschwingungen und Energiegewinn

Synchrotronschwingungen sind longitudinale Schwingungen, die entstehen weil Resonatoren Teilchen nicht kontinuierlich beschleunigen können. Es gibt NRes Resonatoren.

Der Energiegewinn berechnet sich aus

(4.78)

Dabei ist ν die Frequenz, mit der das Synchrotron betrieben wird. Die Energie der Teilchen und die Grösse des B-Feldes müssen synchron zunehmen.

Aus m(v)v = p = qr₀Bz und der relativistischen Energie-Impuls-Beziehung

Der Energiezuwachs pro Umlauf ist

(4.79)

wobei T = 2πrv0- ist.

Dann ist

d- dtE² | = 2EdE- dt = d- dt( 4 2 2) m0c + c p = c²pdp- dt | (4.80a)
dp --- dt | = E -2- c pdE --- dt | (4.80b)

Weiter gilt für die z Komponente von B

dBz ---- dt | = 1 --- qr0dp --- dt = 1 --- qr0E -2- c pdE --- dt | (4.81a)
dE- dt | = ΔE-- T = ΔEv-- 2πr0 = v·NResqU0--cos-φ(tn) 2πr0 | (4.81b)
dB ---z dt | = 1 --- qr0E (t) --2-- c pv·N qU cos φ(t ) -----Res--0-------n- 2πr0 = E(t)N U cosφ (t ) --Res-0-2-2---n- 2πr 0cm | (4.81c)

Damit ein Synchrotron funktioniert muss diese Beziehung gelten.

4.1.6.5. Steuerung der Magnetfelder

(4.82)

Aus dem feststehenden Radius des Synchrotrons bekommen wir

(4.83)

Im relativistischen Falle ist

(4.84)

In einem Synchrotron werden die Magnetfelder und die Frequenzen nachgesteuert

B(α) | = m0c- qr√ ------2- 2α + α | (4.85a)
v(α) | = c√-------2 -2-α-+-α-- 1 + α | (4.85b)
ν | = v ---- 2πr = c ---- 2πr√2-α-+-α2- ---------- 1 + α | (4.85c)

__________________________________________________________________________

Nachsteuerung der magnetischen Induktion

_____________________________________________________________________

4.1.7  Verschiedene Beschleuniger

__________________________________________________________________________

Teilchenpakete im Beschleuniger (adaptiert aus [Dem10, Abb. 4.31])

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In Synchrotrons laufen Teilchen in Paketen im Kreis herum (Siehe Abb. 4.1.7). Dies ist notwendig, da keine Quelle Teilchen mit genau einer Geschwindigkeit erzeugen kann. Deshalb ist es notwendig, dass die Struktur der beschleunigenden Felder zu schnelle Teilchen weniger beschleunigt als zu langsame Teilchen. Damit erhält man eine longitudinale Fokussierung. Die Bunches können nicht beliebig kurz werden, da die geladenen Teilchen sich abstossen.

__________________________________________________________________________

Layout des Large Hadron Collider des CERN [CER] (Nutzung nach den Terms of Copyright [CER17])

_____________________________________________________________________

Abbildung 4.1.7 zeigt das Layout des Large Hadron Colliders des CERN. Details dazu und auch der aktuelle Betriebszustand können unter http://www.lhc-facts.ch/ eingesehen werden.

4.2  Wechselwirkung von Teilchen mit Materie

Bei der Wechselwirkung von Teilchen untereinander können diese nach der Reichweite kategorisiert werden:

Kräfte mit grosser Reichweite

Gravitation

elektromagnetische Kräfte

Kräfte mit kurzer Reichweite

Kernkräfte der starken Wechselwirkung

Farbkräfte der starken Wechselwirkung

Schwache Wechselwirkung

Die sind die momentan anerkannten Kräfte. Physikalische Theorien können nicht ausschliessen, dass es noch weitere Kräfte geben könnte.

4.2.1  Coulomb-Wechselwirkung

Der übertragene Impuls aufgrund der Coulomb-Wechselwirkung ist:

(4.1)

wobei b der Abstand senkrecht zur Sichtlinie zum Target und x die Koordinate auf der Sichtlinie ist. Es wird eine Zylindersymmetrie um die Sichtlinie angenommen.

(4.2)

Die Komponenten parallel zu den Sichtachsen F|| hebt sich auf.

__________________________________________________________________________

Geometrie zur Berechnung der Streuung nach Bethe (adaptiert aus [Dem10, Abb. 4.42])

_____________________________________________________________________

Mit dem Satz von Gauss wird der Fluss durch einen Zylinder mit der Querschnittsfläche mit dem Radius b um die x-Achse

(4.3)

Die Impulsänderung ist

(4.4)

Weiter ist der Energieübertrag auf ein Elektron

(4.5)

Die Wechselwirkung mit allen Teilchen bekommt man durch Integration über b

dE | = -( ∫ bmax Δp2 ) ----ne·2 πbdb bmin 2medx | (4.6a)
dE --- dx | = -Z21e4ne ----2-2--- 4π ε0v me ln ( ) bmax ----- bmin | (4.6b)

Wir bekommen so die Relation

dE --- dx | ∝ ne | (4.7a)
dE- dx | ∝1- v | (4.7b)
dE- dx | ∝---1--- √E----- kin | (4.7c)

Für relativistische Teilchen muss die Bethe-Gleichung verwendet werden:

(4.8)

Dabei ist ⟨E ⟩ B die mittlere Bindungsenergie der Elektronen im Atom und β = v∕c. Der Faktor 1∕v² vor der Klammer zeigt, dass schnellere Elektronen weiger absorbiert werden, also eine höhere Reichweite besitzen. Andererseits absorbieren schwerere Atome mit höherem Z₁ Elektronen besser.

Die mittlere Reichweite von Teilchen wird dann

(4.9)

Mit dem Formfaktor f(v) ∝1 √E- erhalten wir

(4.10)

wobei Rτ die Restreichweite des Detektors ist. Diese ist in Luft für Elektronen etwa Rτ = 0.2 cm.

__________________________________________________________________________

Energieverlust im Absorber. Links eine Skizze der Messanordnung, rechts eine Skizze der Anzahl der transmittierten Teilchen.

_____________________________________________________________________

Wenn Elektronen mit Materie wechselwirken, entsteht auch Bremsstrahlung. Die (negative) Beschleunigung von Ladung bewirkt die Abstrahlung elektromagnetischer Wellen. Damit erhöht sich aber auch die Rate des Energieverlustes.

4.2.2  Röntgen-Strahlung

Wenn Röntgenlicht an einer Ladungswolke gestreut wird, tritt Rayleigh-Streuung auf. Das elektrische Feld der Röntgenwelle bringt die Ladungen des Kerns zum Schwingen. Diese strahlen dann nach [Mar16, Kap. 6.5]

(4.11)

elektromagnetische Energie der gleichen Frequenz ab, es tritt also Streuung auf. Aus der Gleichung (4.11) kann abgelesen werden, dass die Streuamplitude der Rayleigh-Streuung proportional zu ω⁴ ∝ ν⁴ ist. Die Amplitude ist proportional q = Z·e, die Intensität oder der Betrag des Poynting-Vektors proportional zu Z²e². Bei einer Energie von ℏω = 3 keV ist die Wellenlänge 1.0468521·10⁻¹¹ m und die Frequenz 2.863752·10¹⁹ 1/s, im Vergleich zu grünem Licht mit der Wellenlänge 5·10⁻⁷ m und der Frequenz 6.00 ·10¹⁴ 1∕pers. Deshalb ist die Intensität der Rayleigh-Streuung für die Energie ℏω = 3 keV 5.204016·10¹⁸ mal stärker als für grünes Licht.

4.2.3  Compton-Effekt

Beim Compton-Effekt ist die Energie der Photonen sehr viel grösser als die Bindungsenergie der streuenden Ladung.

(4.12)

Die γ-Strahlen schlagen ein e∓ aus dem Atom oder Kern. Dann kann das Streuproblem als eine Streuung des Teilchens Photon am Teilchen Ladung aufgefasst werden. Es müssen sowohl Energie wie auch Impuls erhalten bleiben. Deshalb wird die Energie und damit die Wellenlänge der γ-Strahlen sich bei der Compton-Streuung ändern. Nach Klein und Nishina [KN29] ist der relativistisch korrekte Streuquerschnitt für die Compton-Streuung

(4.13)

Dabei ist re der klassische Elektronradius gegeben durch die Gleichheit der elektrostatischen Energie einer Kugel mit q = e und r = re und der Ruheenergie m₀c².

(4.14)

und

(4.15)

4.2.4  Photoeffekt

Beim Photoeffekt wird durch die Absorption eines Photons soviel Energie eingetragen, dass ein Hüllenelektron das Atom verlässt. Das Restatom wird benötigt um Energie- und Impulssatz gleichzeitig zu erfüllen. Der Streuquerschnitt ist die Summer der Streuquerschnitte jedes einzelnen Elektrons in der Schale

(4.16)

σph,i ist der Streuquerschnitt des i-ten Elektrons. Von allen Elektronen haben diejenigen in der K-Schale, also im untersten S-Zustand, den grössten Streuquerschnitt. Nach Heitler [Hei54] und der Rechnung von Eichler und Stöhlker [ES07, Gl. 4.8] gilt

(4.17)

Die Referenz ist die Bindungsenergie der K-Schale. Bei schweren Elementen überwiegt der Photoeffekt wegen Z⁵-Abhängigkeit.

4.2.5  Paarbildung

__________________________________________________________________________

Paarerzeugung nach Dirac (Nach [Dem10, Abb. 4.51])

_____________________________________________________________________

Abbildung 4.2.5 zeigt die Erzeugung eines e⁻-e⁺-Paars nach Dirac. das Szenario ist an die Vorstellungen der Festkörperphysik für die Anregung von Exzitonen (Elektron-Loch-Paare) in Halbleitern angelehnt. Der Prozess ist nur möglich, wenn ein Atomkern als weiterer Körper vorhanden ist, der durch seine Beteiligung Energie- und Impulserhaltung garantieren kann. In der Vorstellung ist die das Volumen voll von unsichtbaren Teilchen, deren Fehlen (das Loch) als Antiteilchen wahrgenommen wird. In diesem Bild muss für jedes neu entstandene Elektron ein Loch, also ein Positron, vorhanden sein. Es muss gelten

(4.18)

und für die kinetische Energie

(4.19)

__________________________________________________________________________

Paarvernichtung nach Dirac (Nach [Dem10, Abb. 4.51])

_____________________________________________________________________

Auch der umgekehrte Prozess ist möglich: Ein Elektron rekombiniert mit einem Positron, einem Loch. Wegen der Impuls-, der Drehimpuls- und der Energieerhaltung entstehen zwei γ-Quanten. Prozesse mit mehr γ-Quanten sind denkbar, aber viel unwahrscheinlicher.

Für diese Prozesse ist der Streuquerschnitt

(4.20)

4.2.6  Neutronen

Neutronen können mit der Hülle von Atomen nur magnetisch wechselwirken, da ihre Ladung ja null ist. Sie können elastisch an Kernen gestreut werden, wobei die Spins der Kerne und des Neutrons wechselwirken, es also eine spinabhängige Streuung gibt. Schliesslich können Neutronen durch den kern eingefangen werden. Beispiele für solche Reaktionen sind:

n + 113 48Cd | -→114 48Cd*-→114 48Cd + γ | (4.21a)
n + 3 2He | -→3 1H + p | (4.21b)
n + 10 5B | -→7 3Li + 4 2He = 7 3Li + α | (4.21c)
n + 235 92U | -→136 53I* + 98 39Y + 2n | (4.21d)

Der Absorptionsquerschnitt der Neutronen zeigt Resonanzen, wenn die Energie der Neutronen einem Energieniveau des Kerns entspricht.

4.3  Detektoren

Ohne Detektoren sind die Experimente in der Kernphysik und in der Teilchenphysik nicht durchführbar. Der Mensch hat für diese Ereignisse keine Sinnesorgane!

Nachweisgeräte

Spurendetektoren

Energieauflösende Detektoren

⇒ Folien!

4.3.1  Ionisationskammer

(4.1)

Nach Demtröder: Abbildung 4.59a,b

t₁,t₂ > t₁ Sammelzeiten für Elektron (1) und Ion (2) sollen klein gegen τ sein.

4.3.2  Szintillatoren

Kristalle NaI(Tl)       NatriumIodid mit Thallium aktiviert

Anzahl Photonen pro Elektron

(4.2)

Spannung am Photomultiplier

(4.3)

Mit

M | :    Multiplikationsfaktor |  |
η | :    Quantenausbeute der Photodiode |  |
β | :    Bruchteil weitergeleiteter Elektronen |  |
C | :    Kapazität |  |

(4.4)

Der Detektor funktioniert auch mit γ (Photoeffekt (Z⁵)) ⇒ CsI! oder Comton-Effekt.

4.3.3  Halbleiterdetektoren

Breite der Übergangsschicht

d | ≈∘ -3ϵϵ-(-1-----1-)--- ---0 ---+ --- U q nD nA |  |
mit   U | ~500V |  |
nD | ~10¹⁷m⁻³ |  |
nA | ~10²²m⁻³ |  |
| ⇒ d~1, 3mm |  |

4.3.4  Spurendetektoren

    (Nebel- und Blasenkammer)

Magnetfelder werden zu Energie und Ladungsbestimmung eingesetzt

(4.5)

Verdampfung eines Tröpfchens (ps < pextern)

ΔW | = 4π ◟◝σ◜◞Oberflächenspannung[ 2 2] r - (r - Δr )≈ 8πσrΔr |  |
Kelvin:
ps(r) | = p∞ exp [ σ M ] 2------- r ρRT |  |
p∞ | :   Sättigungsdamfdruck für r = ∞ |  |
ρ | :   Dichte |  |
M | :   Molekulargewicht (pro Mol) |  |
R | :   Gaskonstante |  |
geladene Tröpfchen
ps(r) | = p∞ exp [( ) ] σ Z2e2 M 2 --- ------4 · ----- r 8π ϵ0r ρRT |  |

Blasenkammer:   Teilchen bewegen sich durch Flüssigkeit

4.3.5  Streamerkammer

Čerenkov-Zähler

________________________________________________________________

ČCerenkov-Effekt

_____________________________________________________________________

v | > -c n  ⇒   Alle Teilwellen überlagern sich im Winkel ϑc |  |
sin ϑc | = c -- n·1 -- v = 1 --- βn |  |

4.4  Streuexperimente

Nach Demtröder: Abbildung 4.77a,b

elastische Streuung

(4.1)

Nach Demtröder: Abbildung 4.78

a) auslaufend
dΩ | = dF r2- |  |
σ(ϑ)dΩ | = j dF -a--- je |  |
Teilchenstrom
jadF | = ◟v◝a◜◞Geschwindigkeit|Ψa|²dF = v a| | || 1-ikr|| |Af (ϑ )re |²dF |  |
| = vaA²|f (ϑ )|²dΩ |  |
Wenn ve = va (elastisch)
-dσ d Ω | = 2 2 vaA--|f-(ϑ)|- veA2 = |f(ϑ)|² |  |
| ⇒Partialwellengleichung |  |

5  Kernkräfte und Kernmodelle

5.1  Deuteron

Wie misst man die Bindungsenergie des Deuterons?

Photospaltung

(5.1)

Dazu Messungen von hν mit dem Photoeffekt
hν = U·e wenn U die Beschleunigungsspannung für die Elektronen ist

da mn ≈ mp ⇒Ekin,n = Ekin,p¹

Messung von Ekin,p mit einer Gegenspannung

(5.2)

Rekombinationsstrahlung

(5.3)

⇒ EB = 2, 224573MeV
da die Bindungsenergie kleiner als 8 MeV pro Nukleon ist ⇒ große kinetische Energie

Abschätzung: Da pi ≈ℏ- R für I = x,y,z

| ⇒ Ekin ≥2 -p-- 2m = 2 2 2 px-+-py +-pz 2m = 2 -3-ℏ-- 2mR2 |  |
| ⇒ 23MeV / Nukleon |  |
- EB | = -E₀ + Ekin ⇒ E₀ ≈ +48MeV |  |

Hyperfeinaufspaltung ⇒ I = 1 aus 1s-Zustand von 2 1H

⇒ μD = 0, 857348μK    magn. Moment

μD ist kleiner als μp + μn = 0, 87963μK

⇒ μD rührt von den Spins her und nicht von den Bahndrehimpulsen

⇒ L = 0  ,  S- Zustand

Bezeichnung analog zur Elektronenhülle ³S-Zustand

D hat ein elektrisches Quadrupolmoment

(5.4)

⇒ Ladungsverteilung ist nicht sphärisch.

5.1.1  Abschätzung des n-p-Abstandes

Kastenpotential

μ | = mn ·mp m--+--m-- n p ⇒ μ ≈1 2-m   mitm = 1 2-(mn + mp) |  |
| Pot. Energie   Epot = { - E0 für r < R 0 sonst |  |
du-- dr2 | + m-- ℏ2[E - Epot(r)] = 0 |  |
⇒ u(r) | = { A1sin(k1r) r < R0 A e- r∕a r > R 2 0 |  |
Mit k₁ = 1 ℏ∘ ------------ m (E0 - EB ) und 1 a = 1 ℏ√ ----- mEB

Stetigkeit

k₁ cot(k₁R₀) | = cot ⌊ ∘ ------------⌋ ⌈ R0--m-(E0---EB-)⌉ ℏ = -∘ --------- ---EB---- E0 - EB = -1- u |  |
Wenn E₀ »|EB|
cot() | « 1  ⇒m-- ℏ2R₀²(E 0 - EB) ≈( ) π- 2² |  |
| E₀ = ( ) π- 2²2 -ℏ--- mR20 |  |

1) R₀ = 1,5fm, EB = 2,2MeV ⇒ E₀ = 45MeV

⇒ Wahrscheinlichkeit, dass Nukleon außerhalb zu finden: 80 %

WW zwischen zwei Nukleonen:

V NN | = V ₁(r) + V ₂(I1,I2) |  |
V ₂ | (I1,I2) = a₁[ ] 3· (I1-·r)·2(I2-·r)-- I1·I2 r |  |

5.2  Nukleon-Nukleon-Streuung

Streuung von n an p oder n an n oder p an p.

Berechnung von Streuung im Schwerpunktsystem

kleine und mittlere Energien

L = r×p  | mit|L |= bμv₀ = b∘ ------- mE0 ∕2 |  |
| mitμ = m- 2 |  |
|Lmax |= lmaxℏ | ≤2R₀μv₀ = 2R₀ℏk |  |
lmax ≤2R₀k | = 2R0 ---- ℏ∘ ------- mE0 ∕2 |  |
Quantenmechanische Beschreibung
σintel = 4π_λdB² | ∑ l=0lmax(2l + 1)sin ²δ l |  |
WW-Information steckt in δl

5.2.1  Spinabhängigkeit

Wenn bei Streuung

I1 ∥I2    | Triplettzustand |  |
I 1 ↓↑I 2    | Singulettzustand |  |

Singulett + Triplettzustand = Mittelwert   (σtotel = 1 4σtots+3 4σtott)

(5.1)

mit k = λ1- dB

exp. Neutron-Proton-Streuung: σtotel = 20,3·10⁻²⁴ cm² =20,3 barn; σtott ≈3,8 barn, σtots ≈70barn

Streuung mit ungebundenem Zuständen

Schrödingergleichung lösen: Stetigkeitsbedingungen

k₁ cot(k₁R₀) | = k₂ cot(k₂R₀ + δ₀t) |  |
wenn  k₂R₀ «δ₀t  | d.h.Ekin →0 |  |
⇒cot(k₁R₀) | = k02 k1 cot(δ₀t) |  |

________________________________________________________

(5.2)

⇒ Der Radiale Verlauf des Potentials kann aus den Wirkungsquerschnitten der niederenergetischen Streuung nicht bestimmt werden (nur a* und R₀)

Vorher

Totaler Triplettzustand

σtotel = 4π- k2 2 sin ²δ 0t
= 4π- k2 2----1----- 1+ cot2δt 0

lim

Ekin →0

k₂ →0

σtotel
= 4π -2----------- k10cot(k10R0) = 4πa*2

mit  a*
= lim Ekin→0a(0) = lim k→0(k cot(δ0(k)))

a*
Streulänge

mit  a* = 5,5fm 
⇒  σ tott ≈3,8·10⁻²⁴cm²

also muss  σtots
= 4σtotel -3σtott ≈70·10⁻²⁴cm²

Aus der Singulett- und Triplettstreuung kann a* und R₀ bestimmt werden, aber nicht der Potentialverlauf

5.2.2  Ladungsabhängigkeit

Vergleiche p-n-Streuung mit p-p-Streuung und n-n

aus  dσ- dΩ | = 2 2 vaA-|f(ϑ)|- veA2 = |f(ϑ)|² |  |
folgt  dσ- dΩ | = |f(ϑ) ±f(π -ϑ)|² |  |
Wenn die Stoßparameter genügend klein sind, ist
l = 0  | ⇒  f(ϑ) = f(π -ϑ) |  |

Fermionen: Gesamtwellenfunktion antsisymmetrisch ⇒ Spins der Fermionen sind antiparralel

⇒ n-n, oder p-p-Streuung nur im Singulettzustand

⇒ p-n-Streuung sowohl im Singulett- wie auch im Triplettzustand

Vergleich mit n-n und p-p nur im Singulettzustand.

Bei p-p muss die Coulombkraft mitberücksichtigt werden.

Alles zusammen: n-n, p-p und p-n Streuquerschnitte sind gleich

⇒ Kernkräfte hängen nicht von der Ladung ab

5.3  Isospin-Formalismus

Heisenberg: n und p sind ein Nukleon mit zwei verschiedenen Ladungszuständen

Analog zu

Ψe | = Ψ◟◝(r◜-)◞Ortsfunktion·± X◟◝◜◞Spinfunktion |  |
wobei  | X⁺ = ( ) 1 0 =↑  X⁻ = ( ) 0 1 =↓ |  |
analog
Ψp | = ΨN(r)·π   mit  π = ( ) 1 0 für p |  |
Ψn | = ΨN(r)·ν   mit  ν = (0) 1 für n |  |
ν und π sind die Isospinwellenfunktionen

Analog zum Spin gibt es einen Isospin

(5.1)

τ hat alle Eigenschaften eines Drehimpulses und kann durch Pauli.Matrizen beschrieben werden

(5.2)

Analog zum Spin

τ₃π | = 1- 2( ) 1 0 0 - 1( ) 1 0 = 1- 2( ) 1 0 = 1- 2π |  |
τ₃ν | = 1- 2( ) 1 0 0 - 1( ) 0 - 1 = 1- 2( ) 0 - 1 = -1- 2ν |  |

Isospin des Kerns

(5.3)

für T = |T| gibt es 2T+1 mögliche Werte von T₃ ∑ τ3k

Achtung: Die Komponenten von τ sind keine Ortskomponenten, sondern Komponenten eines Isospins.

Bsp: Spiegelkerne 11 6C und 11 5B ohne FCoulomb müsste die Wellenfunktion identisch sein wenn

(5.4)

von 11 6C in 11 5B

5.3.1  Pauli-Prinzip

2p und/oder 2n mit jeweils antiparallelem Kernspin füllen die tiefen Energieniveaus. Für diese gepackten Nukleonen ist T₃ = 0

Isospin

(5.5)

(5.6)

Allgemein

(5.7)

T
T₃
Isospinfunktion

1
1
φ₁¹ = π(1)·π(2)

) |} | )Isospin-Triplett

1
0
φ₀¹ = 1√2-[π(1)ν(2)+ π (2)ν (1)]

1
-1
φ₋₁¹ = ν(1)·ν(2)

0
0
φ₀⁰ = 1√2-[π(1)ν(2)- π (2)ν (1)]
Isospin-Singulett

Nach Demtröder Band 4, Tabelle 5.3

2 Nukleonen: Isospin-Triplett ⇒ Wellenfunktion symmetrisch

      Singulett ⇒ Wellenfunktion antisymmetrisch

5.4  Mesonen-Austauschmodell

_______________________________________________________________________________

Links: Streuung zweier Elektronen im Schwerpunktssystem. Mitte: Situation, wenn man die Details der Streuung vernachlässigt. Rechts: Impulsübertrag.

__________________________________________________________________________

Streuung zweier Elektronen ⇒ Ladungen werden berücksichtigt ⇒ EM-Wellen werden abgestrahlt

e⁻+ e⁻ | -→e⁻+ e⁻-ΔE kin + hν |  |
| mit  ΔEkin = hν |  |
Bei Streuung im el. Feld auch
e⁻+ e⁻+ hν | -→e⁻+ e⁻+ ΔE kin   (Inverse Bremsstrahlung) |  |

Allg: Elektromagnetische Wechselwirkung =^ Austausch virtueller Photonen

Lebensdauer des virtuellen Photons E = hν

(5.1)

Dann gilt auch: ΔE·Δt ≥ℏ

Analog kann die starke WW beschrieben werden

EM-WW | Starke WW
e⁻+ e⁻-→e⁻+ e⁻-ΔEkin + hν | p + p-→p + p -ΔEkin + π⁰
| p + p-→p + n -ΔEkin + π⁺
| p + n-→p + n -ΔEkin + π⁰
| p + n-→p + p -ΔEkin + π⁻
| p + n-→p + p -ΔEkin + π⁺

π hat einen Isospin

(5.2)

π: π-Meson, auch Pion genannt.

Ruhemasse:  hv :   m₀ = 0 | ⇒unendliche Reichweite |  |
π :   m0,π > 0 | ⇒endliche Reichweite |  |

Wegen ΔE·Δt ≥ℏ   mit ΔE = mπc² und r ≤c·Δt

(5.3)

mit mπc² = 139MeV   ⇒ r₀ = 1,4fm

Yutawa-Potential   V (r) = g- re-(mπc) ℏr |  |
Reichweite der Kernkräfte   r₀ = _ λc,π = ℏ ---- m πc |  |

Die WW zwischen p-p und n-n wird über π⁰ vermittelt, n-p und p-n über π⁺ und π⁻.

Da

mπ⁺ > mπ⁰

mπ⁻ > mπ⁰

ist die np-WW die stärkste

Geometrie

(5.4)

Relativitätstheorie

(5.5)

Quantenmechanik

(5.6)

Dieses Photon entspricht der Energie

(5.7)

Nach der Energieunschärfe entspricht dies der Zeit

(5.8)

Damit erreicht das Photon maximal die Reichweite

(5.9)

5.5  Kernmodelle

Annahme: Nukleonen sind ein Fermigas.

Energieeigenwerte
Ei | = 2 ℏ-- 2m2 π-- a2ni²    i = x,y,z |  |
Kinetische Energie
E + E₀ | = ℏ2 --- 2mπ2 -2- a( ) n2x + n2y + n2z |  |
Zahl der Energieeigenwerte
E ≤ | Emax -E₀ < 0 |  |
n | = -a3--- 6π2ℏ3(2mEmax )3 2 |  |
⇒ Fermi-Energie
Ef | = 2 ℏ-- 2m( 2) 2nfπ-- V    wennZ = N ⇒nf = A- 4 |  |
Zustandsdichte
dn --- dE | = a3 --2- 4π( 2m ) -2- ℏ2 3 ·√-- E |  |
Stabile Kerne: Ef < Emax ⇒E < 0
Mittlere Nukleonendichte: ρN = nf V ≈0,15Nukleonen- fm3
Voraussage:   Ef ≈35 MeV, da EB ≤10MeV
⇒-E₀ | ≈40 -50MeV   unabhängig von A |  |
Besser als Kastenpotential
V (r) | = -V -----(r0-R0)∕b 1 + e |  |

5.5.1  Schalenmodell

    (bei Kasten, harm. Osz. ist n und l unabh.)

Energie um ein Nukleon abzuspalten
-EB | = Ekinmaxi + E pot = Ef -E₀ |  |
Separationsenergie
Es(p) | = EB(N,Z) -EB(N,Z -1) |  |
Es(n) | = EB(N,Z) -EB(N -1,Z) |  |
Paarungsenergie
Ep(p) | = 2[EB (N, Z )- EB (N,Z - 1)]- |  |
| und analog für n |  |

Fermigas Es unabhängig von Z.

Experiment: Es hat Schwebungen

Maxima analog zu Maxima in der Ionsiations-Energie der Atome.

Teilchen im Potentialtopf ⇒ Schalenmodell

Ψ(r) | = Ψx(x)·Ψy(y)·Ψz(z) |  |
En | = ℏω( ) n + 1- x 2+ ℏω( ) n + 1- y 2+ ℏω( ) n + 1- z 2 |  |
| = ℏω( 3) n + 2-   mit  n = nx + ny + nz |  |

Entartung    q = (n + 1)( ) n2 + 1

alle q entarteten Energiewerte bilden eine Schale.

n
nx
ny
nz
q

0
0
0
0
1

1
1
0
0

0
1
0

0
0
1
3

2
2
0
0

0
2
0

0
0
2

0
2
0

1
1
0

1
0
1

0
1
1
6

Schreibe Ψ(r,ϑ,ϕ) = Rn(r)Y lm(ϑ,ϕ)

Abweichungen der magischen Zahlen für große n: Spin-Bahn-Kopplung

V i(r) | = V (r) + V ls(r)·l·s |  |
⟨l·s ⟩ | = 1 -- 2[j(j + 1)- l(l + 1)- s(s + 1)]ℏ² |  |
s = | ±1- 2    j = l ±1- 2 |  |
⇒⟨l·s ⟩ | = l- 2ℏ   und  -1- 2(l + 1)ℏ |  |
⇒ Effektive Potentiale
V ieff(r) | = V (r) + 1- 2V ls(r)·l·ℏ     fürj = l + 1- 2 |  |
V ieff(r) | = V (r) -1- 2V ls(r)·(l + 1)·ℏ   fürj = l -1- 2 |  |
Energieaufspaltung:   ΔE | = (2l + 1)1 2-V lsℏ |  |
V ls | < 0  ⇒  j = l -1 -- 2liegt höher |  |

Bezeichnung
1s1∕2
1p3∕2
1p1∕2
1d5∕2
2s1∕2
1d3∕2
1f7∕2

2j + 1
2
4
2
6
2
4
8

∑ j(2j + 1)
2
6
8
14
16
20
28

Kernspin   Ii | = ji = li + si |  |
undj | = I = ∑ iji |  |
⇒ bei schweren Kernen: Keine Kugelsymmetrie
⇒L ist nicht zeitlich konstant |  |  |

5.6  Rotation und Schwingung von Kernen

Wenn Kerne von der sphärischen Form abweichen, können sie in nächster Näherung durch Rotationsellipsoide beschrieben werden.

_______________________________________________________________________________

Bezeichnungen in einem Rotationsellipsoid.

__________________________________________________________________________

Beim Rotationsellipsoid in Polardarstelung in Abbildung 5.6 ist der Radius als Funktion von θ durch

(5.1)

gegeben. Mit β = 4 3-- ∘ π 5·ΔR- R0 haben wir auch

(5.2)

In der üblichen Darstellung eines Rotationsellipsoids mit a der Halbachse entlang der Symmetrieachse und b den Halbachsen senkrecht dazu ist

(5.3)

Das Volumen kann berechnet werden, indem die Fläche

(5.4)

über den Wertebereich von θ integriert wird. Dabei kann aus dem Abstandh(θ) = R(θ)cos(θ) entlang der z-Achse zum Nullpunkt

(5.5)

(das „-“-Zeichen hängt von den Zählrichtungen ab) berechnet werden. Das Volumen ist dann

V (R₀,β) = | ∫ ₀πA(θ)dh(θ) | (5.6a)
= | -∫ ₀ππR²(θ)sin ²(θ)( dR(θ) ) -----cos(θ)- R (θ)sin (θ) dθdθ | (5.6b)
= | -πR₀³ ∫ ₀π( ∘ -- ( ) ) 1- 5β 3cos2(θ)- 1 + 1 4 π² sin ³(θ) | (5.6c)
| ·( ∘ -- ( ∘ -- )) 3- 5- 2 1- 5- ( 2 ) - 2 π βcos (θ)- 4 π β 3cos (θ)- 1 + 1dθ | (5.6d)
= | 4πR30 --3--( (∘ -- ) ) 5 β2 π-β + 21 28π-+ 1 | (5.6e)

Für die Oberfläche benötigen wir den Umfang

(5.7)

und das Linienelement entlang eines Grosskreises durch die Pole. Nach dem Cosinussatz ist

(5.8)

Wenn man R(θ + dθ) = R(θ) + dR(dθθ)dθ einsetzt und cos(dθ) = 1 -d²θ∕2 bis zur ersten nichttrivialen Ordnung einsetzt, die Wurzel ausrechnet und Ordnungen höher als 2 ignoriert, bekommt man

(5.9)

Damit ist die Oberfläche

AV (R₀,β) = | ∫ ₀πU(θ)ds(θ) | (5.10a)
= | ∫ ₀π2πR(θ)sin(θ)R(θ)( dR(θ)) 1+ 1--dθ-- 2R (θ)dθ | (5.10b)
= | 2πR₀² ∫ ₀π(1 ∘ 5- ( ) ) -- -β 3cos2(θ)- 1 + 1 4 π² sin(θ) | (5.10c)
| ·( ∘ -- ) | 1 - 32 5πβ sin(θ)cos(θ) | (1 + --(1∘--5------------------)) 2 4 π β(3 cos2(θ)- 1) + 1dθ | (5.10d)
= | 4πR₀²( 2) 1+ β-- π | (5.10e)

Mit dem Parameter ΔR sind Volumen und Oberfläche

V (R₀,ΔR) | = 4π --- 3R₀³( 4ΔR2 16ΔR3 ) 1+ ----2-+ -----3- 15R 0 945R 0 | (5.11a)
AV (R₀,ΔR) | = 4πR₀²( ) 16ΔR2 1 + -45R2-- 0 | (5.11b)

6  Kernreaktionen

6.1  Grundlagen

Bsp: Hochenergieprozess

(6.1)

Notation: Manchmal wird auch anstelle von

a + X-→Y + b

geschrieben

(6.2)

6.1.1  Kategorien von Kernreaktionen

a(E) + X | -→X*+ a(E -ΔE)   inelast. Streuung |  |
| mitΔE = ΔE₁ + ERückstoß(X*) |  |
|   ΔE₁ : Anregungsenergie |  |
| darauf z.B. |  |
| X*-→X + γ |  |

6.1.2  Reaktive Streuung

a + X
-→Y + b     (auch b₁ + b₂ + …)

Bsp

p + 7 3Li

7 4Be + n

↗

↘

4 2He + 3 1H + p

6.1.3  Stoßinduzierte Kernspaltung

a + X-→(aX*)
-→Y 1 + Y₂ + ν·n    ν : Anzahl Neutronen

Bsp:

n(E) + 238 92U-→239 92U*
-→

Z₁

A₁

Y₁ +

Z₂

A₂

Y₂ + ν·n

mit   A₁ + A₂
= 239 -ν

Z₁ + Z₂
= 92

Schwelle für die Reaktion: 1.5 MeV

6.1.4  Schwellen

Die meisten Kernreaktionen laufen erst oberhalb einer Schwelle ab.

Speziell: Bei positiv geladenen Teilchen muss die Coulombbarriere überwunden werden.

Bohrsches Compound Kern-Model

Die Ausgangsprodukte stoßen zusammen und bilden einen kurzlebigen Zwischenkern, den
Compound-Kern.

Kernreaktion:

Fusion

Spaltung

Bsp. Fusion

d + d-→4 2He* | →3 2He + n + 3,25MeV |  |
| -→3 1H + p + 4,0MeV |  |

p + 6 3Li-→7 3Be*
-→4 2He + 3 2He + 22,4MeV

Energie des Eingangskanals muss Schwelle überschreiten

Ausgangskanal wird geöffnet

Schwerpunktsbewegung

(6.3)

| vorher | Ekin(X) | = 0 | pX | = 0 |  |  |  |  |  |
|  | Ekin(a) | = 1- 2mava² | |p | a | = mava |  |  |  |  |  |
| nachher | Ekin(Y) | = 1- 2mYvY² | |pY | | = mYvY |  |  |  |  |  |
|  | Ekin(b) | = 1- 2mbvb² | |pb| | = mbvb |  |  |  |  |  |

| vorher | Ekin(X) | = 0 | pX | = 0 |  |  |  |  |  |
|  | Ekin(a) | = 1- 2mava² | |p | a | = mava |  |  |  |  |  |
| nachher | Ekin(Y) | = 1- 2mYvY² | |pY | | = mYvY |  |  |  |  |  |
|  | Ekin(b) | = 1- 2mbvb² | |pb| | = mbvb |  |  |  |  |  |

Schwerpunktsgeschwindigkeit

vS | = mX-vX-+-mava-- mX + ma = --mava--- mX + ma |  |
Energie der Schwerpunktbewegung
Ekin,S | = 1- 2(mX + ma)·vS² = 2 2 ----mava---- 2(mX + ma ) |  |
Sei Q die benötigte Wärmetönung der Reaktion
ES = Q·Ekin,S | = Q + p2 ------a----- 2(mX + ma ) = Ekin,amin   im Laborsystem |  |
Ekin,amin | = -1-- 2mapa,min² |  |
Q | + Ekin,a---ma---- mX + ma = Ekin,a |  |
Q | = Ekin,a( ma ) 1- m--+--m-- X a= Ekin,amX m---+-m-- X a |  |

Impulssatz
mava | = mbvb cosvartheta + myvy cosvarphi |  |
0 | = mbvb sin vartheta -myvy sin varphi    vb,vy > 0 |  |
my²v y² | = m b²v b² + m a²v a² -2m ambvavb cosvartheta |  |
|      mit cos²v arphi + sin ²v arphi = 1 |  |
Energie:  1 -- 2mava² + Q ◟◝◜◞fehlt im Ausgang | = 1 -- 2mbvb² + 1 -- 2myvy²¹⁾ |  |
Q | = 1- 2mbvb² -1- 2mava² + 1- 2mbvb² + 1- 2mava²- |  |
| -1- 22mambvavb cosvartheta |  |
| = mbvb² -m ambvavb cosvartheta |  |
Q | = ( ) ma- - 1 myEa + ( ) mb- + 1 myEb -√ ------ 2--mamb-- my∘E---E- a b cosvartheta |  |
⇒∘ --- Eb | = √m---m-- ----a-b-- my + ma·∘--- Ea·[cos vartheta± |  |
Lösungen:   | Q-- Ea + 1 -ma- my ≥0 ⇒da [ ] positiv nur + |  |
| Q E-- a + 1 -ma m-- y < 0 ⇒2 Lösungen |  |
Um eine Lösung zu haben, muss Eamin = --my-- ma -myQ sein.

________________________________________________________

1) mava² = mbvb² + myvy² -Q__________________________

6.1.5  Kernreaktionen

Voraussetzung: genügend hohe Energie

(6.4)

6.1.6  Voraussetzungen

Bei Kernreaktionen müssne Erhaltungssätze befolgt werden

Ladung    (strikt)

Drehimpulse

Leptonenzahl

Hadronenzahl

Isospin

6.1.7  Reaktionsquerschnitt

Zahl der Teilchen im Ausgangskanal k

ϕa(i)

Teilchenfluss im Eingangskanal i

nX

Targetkerndichte

V

Reaktionsvolumen

˙ Nk | = σik(E)nXV πa(i) |  |
differentieller Wirkungsquerschnitt
d dΩ-(σik(ϑ,E )) | = 1 n--V-ϕ-(i)- X adN˙k(ϑ) --dΩ--- |  |

6.2  Erhaltungssätze

Erhaltung der Nukleonenzahl
A₁ + A₂ | = A₃ + A₄ |  |
Ladungserhaltung
Z₁ + Z₂ | = Z₃ + Z₄    (auch q₁ + q₂ = q₃ + q₄) |  |
Drehimpulserhaltung
J(a + X) | = Ia + IX + LaX = |  |
J(b + Y ) | = Ib + IY + LbY |  |
WW mit der Reichweite R gibt LaXmax
|LaX | | = pa·b < max LaX = pa·R |  |
| b: Stossparameter |  |
da  L | = ℏ∘ ------- l(l + 1)   und   pa = ∘ -------- 2maEkin |  |
=⇒LaXmax | = ℏ∘ -------------- lmax(lmax + 1) ≤R∘ -------- 2maEkin |  |
lmax(lmax + 1) | ≤R2- ℏ(2maEkin) |  |
lmax² + l max -R2 --- ℏ(2maEkin) | ≤0 |  |
lmax1,2 | = ∘ -------------- - 1 ± 1+ 8 Rℏ2maEkin ----------2----------- |  |
| ◟=◝◜◞Physik1- 2( ∘ -------------- ) ( R- ) 1+ 8 ℏ maEkin - 1 |  |
wenn  ℏ² | < 8R²m aEkin |  |
⇒ | Nullte Ordnung |  |
lmax | ≤R∘ -------- 2maEkin -1- 2 |  |
ma | →reduzierte Masse |  |
wenn  a = n,  X | = p,  R = 2,6fm |  |
μ | = 1,67·10⁻²⁷kg |  |
⇒lmaxlab | ≤0,6∘---------- Ekin ∕MeV -1 -- 2 |  |
Schwerpunkt  lmaxS | ≤0,4∘---------- ESkin ∕MeV -1 -- 2 |  |
Bsp:  Ekin | = 1MeV ⇒lmaxlab ≤0,6 -0,5 = 0,1 |  |
| ⇒Nur S-Streuung |  |

Paritätserhaltung

Kugelsymmetrisches Potential
Ψ(r,θ,φ) | = R(r)·Y (ϑ,φ) |  |
Spiegelung am Ursprung
R(r)ist gerade   Y ℓm(π -ϑ,φ + π) | = (-1)ℓY ℓm(ϑ,φ) |  |

Zustände mit geradem ℓ haben gerade Parität

Zustände mit ungeradem ℓ haben ungerade Parität

Starke WW.
Pa+X | = Pa·PX·(-1)ℓaX |  |
| = Pb+Y = Pb·PY ·(-1)ℓbY |  |

Proton-Neutron-Streuung
Ia | = IX = 1 -- 2 |  |
Pa | = PX = Pb = PY |  |
⇒(-1)ℓaX | = (-1)ℓbY   ⇒Δℓ = ℓaX -ℓbY   gerade |  |
Δℓ | = 2  ⇒ΔIaundΔIXmüssen umklappen |  |
| ⇒unwahrscheinlich |  |

6.3  Stossinduzierte Kernreaktionen

6.3.1  (α,p)-Reaktion

Bsp:  | 42He +A ZX-→ A+4 Z+2Y*-→ A+3 Z+1Y +11H + Q |  |
| Rutherford |  |
| α +14 7N-→ 17 8O + p |  |

(6.1)

Bsp: Silizium

6.3.2  (α,p)-Reaktion

Bsp:  α + 9 4Be-→ 13 6C*-→ 12 6C + n(Ekin)

6.4  Stoßinduzierte Radioaktivität

Ir´e ne Curie und Fr´e d´e ric Joliot-Curie 1934

α + 10 5Be | -→14 7N*-→13 7N + n |  |
13 7N | -→13 6C + β⁺ + ν  (τ = 9,96min) |  |
α + 27 13Al | -→31 15P*-→30 15P + n |  |
3015P | -→30 14Si + β⁺ + ν  (τ = 2,5min) |  |

6.4.1  (n,γ)-Reaktionen

Die meisten Radionuklide werden durch Neutroneneinfangreaktionen im Kernreaktor erzeugt

Bsp:  23 11Na + n | -→24 11Na*γ -→24 11Na |  |
2411Na | [ -→ 1,39MeV(τ = 14,96h)]β⁻24 12Mg*-→24 11Mg* + γ |  |
Bestrahlung
5927Co + n | [ -→ σ = 3700b]6027Co*[ -→ ]γ₁,β⁻60 28Ni* |  |
6028Ni* | -→60 28Ni + γ₂ + γ₃ |  |

Schnelle Neutronen lösen (n,p)-reaktion aus, es gibt auch (α,γ)-Reaktionen

6.4.2  Aktivität

ϕ

Neutronenflussdichte

N₀

Anzahl stabilder Mutterkerne

σa

Aktivierungsquerschnitt

dN- dt | = σaϕ(N₀ -N) |  |
Radionuklide zerfallen mit λ
dN --- dt | = σaϕ(N₀ -N) -λN |  |
| = σaϕN₀ -(σaϕ + λ)N |  |
Wenn N₀ »N
dN- dt | = σaϕN₀ -λN |  |
Übungsblatt!
⇒N(tB) | = σ ϕN --a--0 λ( ) 1 - e-λtB |  |

6.5  Kernspaltung

Spontane Kernspaltung

Sphärischer Kern oszilliert und wird elliptisch

  ⇒ Oberflächenenergie nimmt zu

  ⇒ Coulombenergie nimmt ab

Kern stabil, wenn ΔEC < ΔE₀S

⇒ Spaltbarkeitsparameter

(6.1)

Bethe-Weitzsäcker

(6.2)

⇒ Werte:    2 ZA ≥51 oder XS ≥1

6.5.1  Stossinduzierte Spaltung leichter Kerne

Cockcroft und Walton 1932

(6.3)

6.5.2  Induzierte Spaltung

Hahn, Strassmann 1939

(6.4)

6.5.3  Massenverteilung der Spaltprodukte

Die Wahrscheinlichste Spaltung ergibt Fragmente mit leicht unterschiedlichen Massen.

Erhaltungsgrößen

A₁ + A₂ + ◟◝ν◜◞Anzahl Neutronen beim Spaltungsprozess | = A + ◜◞◟◝ 1Einlaufendes Neutron |  |
Z₁ + Z₂ | = Z |  |

6.5.4  Energieausbeute

Näherungsweise ist die Energieverteilung der Spaltneutronen

(6.5)

Bruchstücke senden γ-Strahlen aus und gleichen die Nukleonenverteilung durch β⁻-Emission aus.

Manchmal werden auch Neutronen emittiert.

Bilanz

Ekin (Spaltprodukte) | 167 MeV
Ekin (Spaltneutronen | 6 MeV
direkte γ-Strahlung während Spaltung verzögert | 7 MeV
γ-Strahlung der Spaltprodukte | 6 MeV
β⁻-Stralung der Spaltprodukte | 5 MeV
ν-Strahlung | 10 MeV
| 201MeV

Energiemessung durch Flugzeitmessung

6.6  Kernfusion

Vorbedingungen:

  Die kinetische Energie muss die Coulomb-Barriere überschreiten

(6.1)

Bsp:

21H + 2 1H | -→3 1H + p + 3MeV |  |
hier:  a₁ = a₂ | = 1,5fm |  |
Z₁ = Z₂ | = 1 |  |
⇒Ekin | ≥0,5MeV^=8·10⁻¹⁴J |  |
T | ≈Ekin- K ≈6·10⁹K |  |
nun ist a ∝A1 3
⇒Ekin | ≥˜CZ1Z2 ---1- A 3 |  |
Bei leichten Atomen ist
Z ∝A  | ⇒ |  |
Ekin | ≥(Z₁Z₂)2∕3 |  |

6.6.1  Transurane

Wichtig:

  → Kinetische Energie muss die Coulomb-Barriere überwinden

  → In Compoundkernen muss diese Energie abgeliefert werden bevor der Compound-

   Kern zerfällt

Bsp:

(6.2)

7  Elementarteilchenphysik

Anderson fand 1937 in der Nebelkammer Spuren von Teilchen aus der Höhenstrahlung

(7.1)

1947 Powell fand in 3 km Höhe das „Yukawa“-Teilchen, das Pion

π⁺ | -→μ⁺ + ν |  |
π⁻ | -→μ⁻+ ν |  |
π-Mesonen wechselwirken mit Nukleonen
π⁺ + A ZN | -→p + A-1 Z-1N |  |
π⁻+ A ZN | -→n + A-1 Z-1N |  |

7.1  Der Elementarteilchenzoo

Massenbestimmung durch Energie und Impulsbestimmung

Ekin | = -------------- ∘ 2 2 (m0c )+ (pc) -m₀c² |  |
m₀ | = p2 --E2kin∕c2 2Ekin |  |

7.1.1  Lebensdauer π-Meson

340 MeV Synchroton schießt Elektronen auf Target mit schweren Kernen

  → γ-Strahlen

γ + p | -→π⁺ + n |  |
π⁺ abbremsen ⇒ Zerfall π⁺-→μ⁺ + ν
Ekin(μ⁺) | = (m π⁺ -mμ⁺)c² -E kin(ν) |  |
weiter
μ⁺ | -→e⁺ + ν e + νμ |  |
⇒ | 3 Lichtblitze |  |

7.1.2  Spin des Pions

Inverse Prozässe

| p + p-→π⁺ + 2 1H |  |
| 21H + π⁺-→p + p |  |
| Kernspins: p I = 1 )| 2 } 2 |) 1H I = 1= Iπ⁺ist ganzzahlig |  |
| ⇒π⁺ist ein Boson |  |

Bestimmung von I

Reaktionsquerschnitt ist proportional zum stat. Gewicht

σ[ ] p+ p -→ π+ + 2H 1 | ∝2(2Iπ + 1)( ) 2I2 + 1 1H |  |
| = 2(2Iπ + 1)·3 |  |
umgekehrt
σ[ ] π+ + 21H -→ p+ p | ∝2·1 -- ◟2◝◜◞Pauli: identische Protonen(2Ip + 1)(2Ip + 1) = 4 |  |
Verhältnis
--σ(p-+-p →-...)- σ (π+ + 21H → ...) | = 3- 2(2I + 1) π = ( |{ 3 Iπ = 0 2 |( 9 2 Iπ = 1 |  |
Messungen ⇒Iπ⁺ = 0 = Iπ⁻ |  |

7.1.3  Parität des π-Mesons

Parität eines Systems mit 2 Teilchen

PAB | = PA·pB·(-1)l |  |
weiter ist  Pn | = Pp = 1 |  |
Reaktion    π⁻+ 2 1H | -→n + n |  |
Das Pion wird zuerst abgebremst
⇒l | = 0 |  |
Drehimpuls von π⁻+ 2 1H
Iπ = 0,I₁²H = 1,l = 0, ⇒|j| | = || || |Iπ + I21H + l| |  |
| = ∘ -------- j(j + 1)ℏ  undj = 1 |  |
Drehimpuls auf der rechten Seite
|j | R | = ∘ -------- j(j + 1)ℏ  j = 1 |  |
nun ist  In | = 1- 2 |  |
und  jR | = lR + IR |  |
⇒ | (l = 0,I = 1),(l = 1,I = 0),(l = 1,I = 1) |  |
| oder(l = 2,I = 1) |  |
Pauli: Die Wellenfunktion muss antisymmetrisch sein

Spin: | symmetrisch für I = 1 | (parallel)
| antisymmetrisch für I = 0 | (antiparallel)
| l gerade:   symmetrisch |
| l ungerade: antisymmetrisch

⇒ gerades l + I = 1 und ungerades l und I = 0 verboten

(l = 1, I = 1) einzige Möglichkeit

  ⇒ Parität des Endzustandes P = -1

  ⇒ Parität des Ausgangszustandes Pa = -1

  Nun ist P21H ◟◝◜◞gebunden mit l = 0,I = 1 = 1 ⇒ Pπ⁻ = -1

Ebenso Pπ⁺ = 1

Weitere Teilchen

e⁻+ e⁺ | -→τ⁻+ τ⁺ |  |
τ⁺ | -→μ⁺ + ν μ + ντ |  |
τ⁺ | -→e⁺ν e + ντ |  |
τ⁻ | -→μ⁻+ ν μ + ντ |  |
τ⁻ | -→e⁻+ ν e + ντ |  |
m(τ) | = 1,777GeV/c² |  |

Wirkungsquerschnitt sinkt mit der Schwerpunktsenergie wie E12- S

Keine Resonanzen

Nach Demtröder: Abbildung 7.4

(7.1)

Bsp: ES = 770MeV ^= ρ₀

Breite ΔE = 150MeV

mit ΔE·τ ≥ℏ ⇒ τ = 10⁻²³s!

Teilchen 

ρ₀

-→π⁺ + π⁻

m = 770MeV/c²

ϕ

m = 1019MeV/c²

K’s werden durch starke WW erzeugt, zerfallen über schwache WW

K⁺

μ⁺ + νμ

(64%)

↗

→

π⁺ + π⁰

(21%)

↘

π⁺ + π⁰ + 2π⁰

(5%)

Grund für schwache WW: Parität ist verletzt.

Paritätsverletzung zeigt: schwache WW

Kaonen sind „seltsame Teilchen“

Antiprotonen

p + p | -→p + p + p + p |  |
Überlagert 4·10⁴ häufiger durch
p + p | -→p + p + π⁺ + π⁻ |  |
p + n | -→p + n + π⁺ + π⁻ |  |

⇒ Hyperonen: ΔΛΣΩ     m > mp, s = 1 2

Klassifikation

Leptonen |  |  | Hadronen
|  |  | ↙    ↘
e, μ, τ |  |  | Mesonen   Baryonen
νe, νμ, ντ |  |  | π, K,η,ρ,ϕ,φ   p,n,Hyperonen

7.1.4  Quantenzahlen

Bei Nukleonen ist der Isospin

(7.2)

Baryonenzahl

p,n :

B = 1

p,n :

B = -1

e,μ,K :

B = 0

Die Baryonenzahl ist erhalten: ΔB = 0 (experimentell)

K,Λ sind seltsame Teilchen

Quantenzahl: Seltsamkeit: S   („strangeness“)

Starke WW, elektromagn. WW: ΔS = 0

schwache WW       ΔS = ±1

Bsp:  p + π⁻ | -→K⁰ + Λ⁰ |  |
0 + 0 | -→1 + (-1) = 0  ⇒ΔS = 0 |  |
K⁰ | -→π⁺ + π⁻-→μ⁺ + μ⁻+ ν μ + νμ |  |
S = 1 | -→0 + 0  ⇒ΔS = -1 |  |
Es gilt: Q = (B + S) + T₃

Bsp

π⁻

Q = -1,

B = 0,

S = 0

⇒

T₃ = -1

Hyperon

Δ⁺⁺

Q = 2,

B = 1,

S = 0

⇒

T₃ = 3 2

Ξ⁻

Q = -1,

B = 1,

S = -2

⇒

T₃ = -1 2

7.2  Leptonen

Die Leptonenzahl ist erhalten

| ∑ iLi = const  ⇒ΔL = 0 |  |
| μ⁻-→e⁻+ ν μ + νe |  |

Wie findet man, dass νμ und νe unterschiedlich sind?

aus  n-→ | p + β⁻+ ν e |  |
folgt    | L(e⁻) = 1 |  |
| L(νe) = -1 |  |
Wenn das μ-Lepton L(νμ) = 1 hat, muss L(μ⁻) = -1 sein

Bei allen Prozessen ist auch

  ∑ Le = const

  ∑ Lμ = const

  ∑ Lτ = const

  L = Le + Lμ + Lτ = const

7.3  Symmetrien und die Physik der Elementarteilchen

Die Physik der Elementarteilchen ist die Physik der Symmetrieoperationen. Wigner [Wig37] zeigte, dass aus den Symmetrien des Kern-Hamiltonoperators die Spektren bis zum Molybdän qualitativ erklärbar sind. Sakita [Sak64] beschrieb darauf aufbauend dass die Elementarteilchen über Symmetrien der speziellen unitären Gruppe SU(6) in sechs komplexen Dimensionen beschrieben werden können.

Diese Aussagen beruhen auf der Anwendung von Lie-Gruppen und Lie-Algebren [Böh11]. Eine gute Einführung ist das Buch von Schwindt [Sch13]. Etwas weitergehend ist das Buch von Stillwell (Naive Lie Theory) [Sti10b]. Das Standardmodell [Sei09], grosse vereinheitlichte Theorien (Grand Unified Theories, GUT [Sei09] und String-Theorien [Zwi09] sind Anwendungen von Lie-Gruppen und Lie-Algebren.

Eine Gruppe ist eine Menge G und eine Abbildung, so dass

(7.1)

Ist die Operation ×, heisst die Gruppe eine multiplikative Gruppe, ist die Operation +, handelt es sich um eine additive Gruppe.

Es gelten die folgenden Beziehungen

g₁(g₂g₃) | = (g₁g₂)g₃ | ∀g₁,g₂,g₃ | ∈G | Assoziativität |  | (7.2)
ge | = eg = g | ∀g | ∈G | Neutralelement |  | (7.3)
∀g ∈G | ⇒∃g⁻¹ mit | g⁻¹g | = gg⁻¹ = e | Inverses Element |  | (7.4)
und für Abelsche Gruppen
g₁g₂ | = g₂g₁ | ∀g₁,g₂ | ∈G | Kommutativität |  | (7.5)

Lie-Gruppen sind Mannigfaltigkeiten, d.h. sie sind kontinuierlich, hinreichend stetig und differenzierbar.

7.3.1  Darstellungen einer Gruppe

Zu jeder Gruppe G kann man einen Tangentialraum T(G) definieren [Sti10b, Kap. 5]. Als Beispiel betrachten wir die Gruppe SO(2), die spezielle orthogonale Gruppe in zwei Dimensionen. Diese beschreibt die Drehungen umden Koordinatenursprung in der komplexen Ebene.

_______________________________________________________________________________

Tangentialraum zur Gruppe SO(2).

__________________________________________________________________________

Die Elemente der Gruppe in Abbildung 7.3.1 sind die Zahlen z mit zz* = 1. Dies sind die Zahlen

(7.6)

Die Menge der Zahlen mit zz* = 1 beschreibt eine stetige Kurve in ℂ. Aus der Mechanik weiss man, dass die Geschwindigkeit senkrecht zum Radius-Vektor der gekrümmten Bahn steht [Mar14, Kap. 4.1.2.4].

Eine Darstellung einer Gruppe ist eine Kombination aus einer Gruppe G und einem Vektorraum V . Elemente aus G wirken auf V als lineare Operatoren. Eine Darstellung einer Lie-Gruppe heisst Lie-Algebra.

Wir bezeichnen die Darstellung mit T(G). Sie soll eine Abbildung von G in den Raum der linearen Selbstabbildungen hom(V,V ) eines Vektorraumes V .

(7.7)

Bei endlichen Dimensionen kann die Abbildung mit Matrizen dargestellt werden. Die triviale Darstellung ist T(g) = 1 g ∈G.

7.3.2  Definition einer Lie-Algebra

Eine Lie-Algebra L ist ein Vektorraum, dessen Elemente lineare Operatoren sind. Nach Stillwell [Sti10b, Kap. 4.4] ist eine allgemeine Lie-Algebra ein Vektorraum mit einer bilinearen Operation [,], die die Eigenschaften

[X,Y ] + [Y,X] | = 0 | (7.8a)
[X,[Y,Z]] + [Y,[Z,X]] + [Z,[X,Y ]] | = 0 | (7.8b)

Diese Eigenschaften erfüllt zum Beispiel der Kommutator

(7.9)

Jedes Element dieser Lie-Algebra der Dimension n kann als Linearkombination von n Basisoperatoren Ei geschrieben werden

(7.10)

Der Vektorraum der Lie-Algebra L kann ein Vektorraum über ℝ mit reellen αi oder über ℂmit komplexen αi sein.

Zu ein und derselben Lie-Gruppe G kann es Lie-Algebren mit Vektorräumen über ℝoder ℂgeben. Dies ist eine Frage der Darstellung.

Wenn

(7.11)

ist, ist die Lie-Algebra abelsch. Die Darstellung der Lie-Algebra ist analog zur Darstellung der Lie-Gruppe. Für einen Operator A ∈L definiert man

(7.12)

Auch wenn L reell ist, kann V komplex sein.

Zu jeder Lie-Gruppe G gibt es eine Lie-Algebra LG, so dass jedes Element g ∈G, das kontinuierlich mit dem Neutralelement e verbunden ist, als

(7.13)

geschrieben werden kann. umgekehrt gilt dass

(7.14)

Die Basisoperatoren Ei ∈ LG sind die Erzeugenden von G.

7.3.2.1. Beispiel

Sei G = ℝ\{0}. ℝ⁺ sei die Zusammenhangskomponente mit dem Neutralelement e = 1. Dann gilt

(7.15)

ℝist ein eindimensionaler Vektorraum.

Bei G = ℂ\{0} sind alle Elemente in der Zusammenhangskomponente des Neutralelementes e = 1.

7.3.2.2. Exponieren einer quadratischen Matrix

Sei A eine n ×n-quadratische Matrix. Dann ist

(7.16)

Zum Beispiel erhält man mit

(7.17)

die Drehmatrix

(7.18)

Wenn A eine Diagonalmatrix ist mit den Elemente a₁,a₂,…,an, dann ist

(7.19)

Schliesslich gelten die Relationen

(7.20)

und mit den Matrizen A, B und C

(7.21)

7.3.3  Lie-Algebren und Darstellungen

Die Darstellung von G kann einen beliebigen Vektorraum ℝn oderℂ n verwenden. Wir haben dann für die Lie-Algebra zum Beispiel

(7.22)

analog zur Beziehung T(g) = g1, g ∈G.

Für eine Lie-Algebra kann es mehrere Darstellungen geben.

Die zur unitären Lie-Gruppe U(1) gehörige Liealgebra

(7.23)

Da λ ∈ℝist, ist L eine reelle Lie-Algebra, auch wenn die Zahlen komplex sind. So wie L definiert ist, ist L isomorph zuℝ .

Die Lie-Gruppe G = U(1) gehört zur Lie-Algebra L = u(1) mit

(7.24)

Im Gegensatz zur Lie-Algebra u(1) ist die Lie-Gruppe U(1) weder zu ℝ, noch zu ℝ⁺ oder zu ℝ{0} isomorph, da U(1) 2π-periodisch ist (exp(iλ ) = exp(i(λ+ 2πn )),n ∈ℤ).

Für die Lie-Gruppe U(1) können verschiedene Darstellungen gefunden werden. Die einfachste ist für ℂ¹. Hier bewirkt die Gruppe einfach eine Multiplikation. Wir haben T(g) = g: Damit wird eine komplexe Zahl z ∈ ℂeinfach mit exp(iλ) multipliziert.

Die unitäre Lie-Gruppe U(1) kann in zwei reellen Dimensionen im Vektorraum V = ℝ² durch Drehmatrizen dargestellt werden.

(7.25)

Die zu dieser Darstellung der unitären Lie-Gruppe U(1) gehörige Darstellung der Lie-Algebra ist

(7.26)

Dass T(exp (iλ )) = exp(T (iλ )) ist, kann mit der Taylorentwicklung der Exponentialfunktion gezeigt werden.

Drehungen in der Ebene werden üblicherweise durch die spezielle orthogonale Gruppe SO(2) beschrieben. Die obige Ableitung zeigt, dass die beiden Lie-Gruppen U(1) und SO(2) isomorph sind.

7.3.3.1. Isomorphismen

Das bedeutet, dass die gleiche Lie-Gruppe (oder zwei isomorphe Lie-Gruppen) gleichzeitig die folgenden Operationen beschreiben:

Die Multiplikation einer Zahl z ∈ ℂ¹ mit einem Phasenfaktor exp(iλ)

Die Drehung eines Vektors r ∈ℝ²\{0} in der Ebene

Die Gruppe aller linearer Abbildungen der Ebene (d.h., die Abbildungen, die die Länge eines Vektors nicht ändern) bilden die orthogonale Gruppe O(2). Sie umfasst die Drehungen, Spiegelungen an einer Achse und die punktspiegelung am Ursprung.

Die spezielle orthogonale Lie-Gruppe SO(2) ist eine Untergruppe von O(2)

(7.27)

Wird die orthogonale Gruppe O(2) durch Matrizen dargestellt, gilt für alle Matrizen A = T(exp(iλ))

|detA | | = 1 | A | ist eine Matrix aus der Darstellung von O(2) | (7.28)
detA | = 1 | A | ist eine Matrix aus der Darstellung von SO(2) ⇒Drehungen | (7.29)
detA | = -1 | A | ist eine Matrix aus der Darstellung von O(2)\SO(2) ⇒Spiegelungen | (7.30)

Dies kann auch anders formuliert werden: Die Zusammenhangskomponente O(2) mit det = +1 beschreibt die Drehungen, die Zusammenhangskomponente O(2) mit det = -1 beschreibt die Spiegelungen.

Die Lie-Gruppe SO(2) verhält sich zu O(2) wie ℝ⁺ zuℝ \{0}.

7.3.3.2. Isomorphismen mit unendlichdimensionalen Funktionsräumen

Die beiden oben gezeigten Darstellungen der unitären Lie-Gruppe U(1) sind bei weitem nicht die einzig möglichen Darstellungen.

Beispielsweise kann eine Darstellung von U(1)~ =SO(2) im unendlichdimensionalen Funktionenraum PRϕ( 2) ℝ der Funktionen, die ℝ² →ℂabbilden. Diese Funktionen sind am Ort (r,ϕ) in eine Taylorreihe bezüglich ϕ entwickelt werden kann

(7.31)

Wir verwenden die Darstellung

(7.32)

und erhalten

(7.33)

Die Darstellung T(exp (iλ)) dreht Funktionen f : ℝ² →ℂum den Winkel λ.

(7.34)

Dies folgt aus

(7.35)

Die Erzeugende E₁ = i ∈u(1) hat hier die Gestalt

(7.36)

Durch eine Multiplikation mit -iℏ ergibt die Drehimpulsoperatoren in zwei Dimensionen.

7.3.4  Translationen

Hier betrachten wir eine additive Gruppe in zwei Dimensionen mit den Erzeugenden E₁ und E₂. Translationen sind in zwei Dimensionen keine Lie-Gruppe.

Aber in einem unendlichdimensionalen Vektorraum PRx,y(ℝ²) der Funktionen ℝ² → ℂdie die reelle Ebene auf komplexe Zahlen abbilden und bei denen für die Erzeugenden die Kommutatorbeziehung

(7.37)

gilt gibt es eine Darstellung einer Lie-Gruppe und (mindestens) eine Lie-Algebra. Eine mögliche Darstellung einer Lie-Algebra ist

(7.38)

Da die gemischten zweiten Ableitungen kommutieren, ist (7.37) erfüllt. Hätten wir noch mit -iℏ multipliziert, hätten wir die Impulsoperatoren.

Die Impulsoperatoren sind

(7.39)

Wir können weiter schreiben

T(exp(αE1 + βE2 )) = | exp(T (αE1 + βE2)) | (7.40)
= | exp( ) α ∂--+ β-∂- ∂x ∂y |  |
= | exp( ∂ ) α ∂x-exp( ∂ ) β ∂y- |  |

und dadurch die dazugehörige Lie-Gruppe erhalten.

Nach Taylor ist nun

(7.41)

Der Vergleich mit (7.40) zeigt, dass

(7.42)

Die Beziehungen hier sagen nichts anderes, als dass die Impulsoperatoren mit der Translation verknüpft sind. Dies führt zu den Nötherschen Theoremen über Symmetrien und Erhaltungsgrössen.

7.3.5  Drehimpulse in 3 Dimensionen - nicht Abelsche Lie-Gruppen

Wir definieren eine Lie-Algebra L = so(3) in drei reellen Dimensionen mit den drei Erzeugenden E₁, E₂ und E₃, die die folgenden Beziehungen erfüllen sollen:

[Ei,Ej] | = -εi,j,kEk |  |  |  |  | (7.43)
[E₁,E₂] | = -E₃ | [E₂,E₃] | = -E₁ | [E₃,E!] | = -E₂ |  |  |  |  |  |

Eine mögliche Darstellung in ℝ³ ist

(7.44)

Dabei ist

(7.45)

Durch Rechnen sieht man, dass

exp(λT (E1)) | = Rx(λ) |  | Drehung um die x-Achse | (7.46)
exp(λT (E2)) | = Ry(λ) |  | Drehung um die y-Achse | (7.47)
exp(λT (E3)) | = Rz(λ) |  | Drehung um die z-Achse | (7.48)

Zu dieser Lie-Algebra so(3) gehört die nicht-abelsche Lie-Gruppe SO(3)

Analog zu zwei Dimensionen kann eine weitere Darstellung gefunden werden, die auf einem unendlichdimensionalen Funktionenraum PRx,y,z( ) ℝ3→ℂberuht. Die Darstellung der Lie-Algebra ist dann

T∞(E1 ) | = x∂-- ∂y -y-∂- ∂x | (7.49)
T∞(E2 ) | = y∂-- ∂z -z∂-- ∂y | (7.50)
T∞(E3 ) | = z-∂- ∂x -x-∂- ∂z | (7.51)

Man kann sich leicht überzeugen, dass die Relationen (7.49) bis (7.51) die Kommutationsrelation [Ei,Ej] = -εi,j,kEk,  i,j,k ∈{1,2,3} aus (7.43) erfüllen. Dies ist also eine äquivalente Darstellung zu der mit den Drehungen.

Die Drehimpulsoperatoren sind

(7.52)

Wieder wird klar, dass die beiden Darstellungen ein- und derselben Lie-Gruppe Drehungen mit Drehimpulsoperatoren verknüpfen.

Rechnet man die nicht in kartesischen Koordinaten, sondern in Kugelkoordinaten, dann sieht man, dass

(7.53)

ist, analog zum zweidimensionalen Fall. exp(αT∞ (E3 )) erzeugt also eine Drehung von Funktionen (z.B. Wellenfunktionen) um die z-Achse und den Winkel α.

Allgemein wird eine Drehachse durch den Winkelvektor α = (α1,α2,α3)T angegeben. Die Drehachse zeigt in die Richtung eα = α∕|α|, der Drehwinkel ist α = |α|. Eine beliebige Drehung ist dann

(7.54)

Beachten sie, dass die Wahl der z-Richtung willkürlich ist. Erst die Messapparatur legt sie fest.

Es gibt eine weitere (die Dritte hier!) Darstellung der Lie-Algebra so(3) mit dem Vektorraum V = ℂ².

(7.55)

Diese Matrizen hängen mit den Pauli-Spin-Matrizen σk zusammen

(7.56)

Die Darstellung T₂(Ei), i ∈ {1,2,3}, erfüllt die gleichen Kommutationsrelationen wie T₃(Ei) (siehe Gleichung (7.44)).

In dieser Darstellung erhält man für die exponentierten Erzeugenden

exp(α1T2(E1 )) | = ( ( ) ( )) cos α12 isin α21 i sin( α1) cos(α1) 2 2 | (7.57)
exp(α2T2(E2 )) | = ( ( ) ( )) cos (α22 ) sin(α22 ) - sin α22 cos α22 | (7.58)
exp(α T (E )) 3 3 1 | = ( ( α ) ) exp i23 (0 ) 0 exp - iα23 | (7.59)

Aus der Darstellung einer Lie-Algebra kann die Darstellung der Lie-Gruppe berechnet werden. Wir hatten vorher schon aus der Lie-Algebra so(3) die Drehungen, also die Lie-Gruppe SO(3) berechnet. Hier wurde nun aus der identischen Lie-Algebra so(3) die Lie-Gruppe SU(2) konstruiert.

Im Prinzip sind die Matrizen aus (7.57) bis (7.59) Drehmatrizen, aber: αi tritt in jeder Winkelfunktion (dazu gehört auch exp(iβ)!) mit dem Faktor auf. Dies heisst, dass in dieser Darstellung die Lie-Gruppe SU(2) 4π-periodisch ist.

Aber die aus der selben Lie-Algebra konstruierte Lie-Gruppe SO(3) ist 2π-periodisch.

7.3.6  Spinvektor (magnetisches Moment) und Spinzustand

Das magnetische Moment μ eines Spins ist mit dem Spinvektor |χ⟩ auf komplizierte Weise verknüpft. Wird der Raum gedreht, gibt exp( ∑ ) 3i=1 αiT3(Ei) die Koordinaten im gedrehten Koordinatensystem an. Bei dieser Drehung um den α = (α₁,α₂,α₃)T muss auch der Spinzustand gedreht werden. Diese Drehung wird jedoch nicht durch die SO(3)- Symmetrie sondern durch die SU(2)-Symmetrie gegeben, also durch exp(∑ ) 3i=1 αiT2(Ei) gegeben. Einer Drehung in 2 (komplexen) Dimensionen um den Winkel φ entspricht eine Drehung in drei reellen Dimensionen um den Winkel 2φ.

Der Spinvektor |χ⟩ wird also bei einer Drehung des Raumes um 2π in den Vektor -|χ⟩ überführt. Nun beschreiben aber die Vektoren |χ⟩ und -|χ⟩ den gleichen Spinzustand und damit das gleiche magnetische Moment. Der Grund ist, dass der Unterschied ein Phasenfaktor exp(iπ) ist und dass Phasenfaktoren bei der Berechnung von Observablen entfallen. Da die messbare Grösse der Spinzustand ist, der mit dem magnetischen Moment verbunden ist, hat alles seine Richtigkeit.

Die 2π und 4π-Problematik taucht erst auf, wenn verschränkte Zustände erzeugt und manipuliert werden.

7.4  Quarkmodell

Murray Gell-Mann und Georg Zweig

Beobachtung: n ist neutral, hat aber ein magnetisches Moment

⇒ Nur möglich, wenn n aus geladenen Teilchen zusammengesetzt ist, bei denen gilt:

(7.1)

Bsp:

u : |   Iu = 1- 2, qu = 2- 3e |  |
d : |   Id = 1 2-, qd = -1 3-e |  |
p^=(2u,d)
Pauli : Spin | der u sind antiparallel |  |
⇒Ip | = ( ) 1- 1- 2 - 2+ 1- 2 = 1- 2 |  |
qp | = ( 2 1) 2- -- -- 3 3e = 1e |  |
n^=(2d,u)
⇒In | = ( ) 1- 1- 2 - 2+ 1- 2 = 1- 2 |  |
qn | = ( ( 1) 2) 2 - 3- + 3-e = 0e |  |

Hadronen bestehen aus drei Quarks   ⇒ I halbzahlig

Mesonen bestehen aus zwei Quarks   ⇒ I ganzzahlig

Hadronen werden durch Quantenzahlen I,T,T₃,Q,B,S,C,◟q◝◜c◞Farbladung beschrieben

Isomorph zur speziellen Lie-Gruppe SU(3)

7.4.1  Mesonen

(7.2)

| Bsp: π+ ^= (u ¯d) )| - } π 0^= (u¯d ) ¯ |) π ^=(u¯u + dd)T₃ = 0 ±1,T = 1 |  |
mit
||π0⟩ | | = √1-- 2{ |uu¯⟩+ ||d¯d⟩} | |  |

Mesonen mit
T₃ = 0 |   und  S = 0 |  |
|η⟩ | = 1 √--- 6{ | ⟩ } |u ¯u⟩+ ||d¯d - 2|s¯s⟩ |  |
||η′⟩ | = √1-- 3| {|u ¯u⟩+ ||d¯d⟩ + |s¯s⟩} |  |
mit | |||| 0⟩|| ||π |² = ||η⟩|² = |||| ′⟩|| η² = 1 |  |

Seltsame Teilchen

K⁺=^

(us)

   q = 1·e

  s = +1

K⁻^=

(us)

   q = -1e

  s = -1

K⁰^=

(ds)

   q = 0e

  s = +1

K⁰^=

(ds)

   q = 0e

  s = -1

7.4.2  Charm-Quark

Benötigt | e⁺ + e⁻-→Ψ + Hadronen |  |
| mitΨ-→e⁺ + e⁻ |  |
| zur Beschreibung |  |

Masse: ⇒ es gibt ein Charm-Quark

Zerfall: Schwache WW

Gell-Mann-Nishijima

Q | = 1- 2(B + U -D + S + C) |  |
T₃ | = 1 2-(U -D) |  |
B : | Baryonenzahl      U = n(u) -n(u) |  |
S : | Seltsamkeit      D = n(d) -n(d) |  |
C : | Charm |  |

Ω⁻ und Δ⁺⁺ bestehen aus drei gleichen Quarks

Pauli: Nur möglich wenn es eine weitere Quantenzahl gibt

  ⇒ Farbladung

Bsp:

π⁺ | = ( |{ ur ¯dr u ¯d |( g¯g ubdb |  |
⇒ | || + ⟩ |π= 1- 3{ || ¯⟩ || ¯ ⟩ || ¯⟩} |urdr + |ugdg + |ubdb |  |

7.5  Quantenchromodynamik

Was hält Quarks zusammen?

  Gluonen

Gluonen ^= Farbe + Antifarbe

Nach Demtröder [Dem10, Abb. 7.23]

7.6  Starke und schwache Wechselwirkung

(7.1)

⇒ | d[ -→ WW]Schwacheu + e⁻+ ν e | (7.2a)
|  | (7.2b)
| Σ⁺(uud)[ -→ schwach]p(uud) + π⁰(uu + dd) | (7.2c)
|  | (7.2d)
| Δ⁺(uud)[ -→ stark]p(uud) + π⁰(uu + dd) | (7.2e)

7.6.1  Verhältnisse

Lebensdauern:    τstark, τschwach, τem

Kopplungskonstanten:   αstark, αschwach, αem

τ --stark-- τschwach | = ( α ) -schwach- αstark² |  |
αschwach -α------ stark | = 10⁻⁶ |  |

αschwach- αem
= 10⁻⁴

Die schwache WW wird durch W- und Z-Bosonen vermittelt

Reichweite nach Yukawa   R = 2·10⁻¹⁸ m ⇒ mc² ≥80GeV

β-Zerfall

d | -→u + W*-      virtuelles W⁻ |  |
| W*--→e⁻+ ν e |  |
⇒ |   qW⁻ = -e |  |

u | -→d + W*+ |  |
W*+ | -→e⁺ + ν e |  |

Streuung eines Neutrinos am Elektron

e⁻ | -→ν e + W*- |  |
νe | -→e⁻+ W*+ |  |

Es gibt auch reelle W± und Z⁰-Bosonen

7.6.2  Paritätsverletzung

Messung

Teilchen mit Geschwindigkeit v und Spin s

H | = -s·v---- |s|· |v| |  |
Spin eines Elektron parallel zur Flugrichtung =^H = 1
Trafo in Ruhesystem mit v* > v
⇒ | H = -1 |  |

D.h. Helizität hängt von der Wahl des Bezugssystems ab

Wenn m₀ = 0, d.h. v = c gilt das nicht mehr

Beobachtung: Alle ν haben H = -1

CPT

C

Teilchen-Antiteilchen-Symmetrie

P

Parität

T

Zeitumkehr

Dadurch dass die Helizität des Neutrinos festgelegt ist werden Elektronen bevorzugt gegen den Spin des Neutrinos emmitiert.

(7.3)

C^-Symmetrie ist verletzt, da beim Übergang Neutrino → Antineutrino linkshändig in linkshändig übergehen müssten (s ist axial, v aber polar)

(7.4)

Die C^·P^-Symmetrie gilt

| νe | νe
| H = -1 | H = +1

C | v |   → v
| s |   → s
P | v |   → -v
| s |   → s
CP | s |   → s
| v |   → -v

Auch die CP-Symmetrie ist verletzt

Bsp: K⁰-Meson

Kurzlebiges Kaon KS⁰

(A)   KS⁰

π⁺ + π⁻

↗

↘

π⁰ + π⁰

langlebiges Kaon

KL⁰

π⁺ + π⁻+ π⁰

↗

↘

π⁰ + π⁰ + π⁰

(B)   KL⁰
undK S⁰haben die gleiche Masse, aber unterschiedliche Lebensdauern

Parität

(A) : |     P = +1 |  |
(B) : |     P = -1 |  |
Da (A) und (B) möglich sind -→ Paritätsverletzung

Quarkmodell

(7.5)

Schwache WW erlaubt K⁰-→K⁰ mit (s ↔s,d ↔d) unter Austausch zweier W-Bosonen

⇒ Mischzustände

| ⟩ ||K01= | √1-- 2{| ⟩ |-- ⟩} ||K0 + ||K0 |  |
und  | ^C·^p| ⟩ ||K0 1= +1| ⟩ ||K0 1 |  |
| ⟩ ||K0 2= | √1-- 2{| ⟩ | ⟩} ||K0 - ||K0 |  |
mit  | ^ C·^p|| 0⟩ |K 2= -1|| 0⟩ |K 2 |  |

Hier wäre

| ⟩ ||K0 1 | = | ⟩ ||K0 S |  |
| ⟩ ||K02 | = | ⟩ ||K0L |  |

Exp:

Flugstrecke, wo die Zeit zum Durchlaufen τ »τKS⁰ ist

⇒ Es sollten nur 3 upπ-Zerfälle auftreten. Aber mit Wahrscheinlichkeit p = 3·10⁻³ gibt es auch 2 π-Zerfälle

(7.6)

(C) ist um 1,0033 häufiger als (D) ⇒ CP-Verletzung

⇒ CP-Verletzung erlaubt absolut das Ladungsvorzeichen zu bestimmen

⇒ Wenn ^ C^ P verletzt, muss auch ^ T verletzt sein. Aber: Keine experimentelle Bestätigung

z.B. isoliertes Neutron ⇒ s ist einzige Vorzugsrichtung, d.h. ein el. Drehmoment muss entlang s liegen.

(7.7)

^ P(s,E) | -→(s,-E) |  |
^T(s,E) | -→(-s,E) |  |

Grösse
P^
Ĉ
T^

Ortsvektor r
-r
r
r

Zeit t
t
t
-t

Impuls p
-p
p
-p

Drehimpuls L
L
L
-L

Spin s
s
s
-s

elektr. Feld E
-E
-E
E

magn. Feld H
H
-H
H

Umpolung Spin oder E-Feld: ΔW = 2W

Norman Ramsey: dn < 2,3·10⁻⁴⁶ C·m

7.6.3  Universalprinzip

Jedes Teilchen zerfällt in leichtere Teilchen, wenn dies nicht durch Erhaltungssätze verboten ist

hν | stabil: da m₀ = 0
νe | stabil, weil kein leichteres Lepton vorhanden ist
e± | stabil, weil leichteste geladene Teilchen
p | stabil(wahrscheinlich) weil leichtestes Baryon

Zerfälle:

Δ⁺⁺

-→p⁺ + π⁺

starke WW

τ ≈10⁻²³s

π⁰

-→γ + γ

elektromag. WW

τ ≈10⁻¹⁶ -10⁻³s

Σ⁻

-→μ + e⁻+ νe

schwache WW

L und B sind empirische Erhaltungsgrößen

(7.8)

7.7  Das Standardmodell

Fermionen

Familie

Elektr. Ladung
Farbe
Spin

1
2
3

Leptonen
νe
νμ
ντ
0
—
1/2

e⁻
μ⁻
τ⁻
-1
—
1/2

Quarks
u
c
t
+2/3
r,g,b
1/2

d
s
b
-1/3
r,g,b
1/2

Wechselwirkung
koppelt an
Austauschteilchen
Masse/(GeV∕c²)
IP

stark
Farbladung
8 Gluonen
0
1⁺

elektromagnetisch
elektrische Ladung
1 Photon
0
1⁺

schwach
schwache Ladung
3 W±, Z⁰
80,90
1

Gravitation
Masse
Graviton
0
2

Grundlage: Quantenfeldtheorie basierend auf

  a) Eichsymmetrie

  b) Spontane Symmetriebrechung

Symmetriebrechung: Bei energetischer Entartung

8  Anwendungen

8.1  Altersbestimmung

aus  N(t) | = N(t₀)e-λ(t-t₀) |  |
folgt
t | = t₀ -1- λln ( N-(t)) N (t0) |  |
t -t₀ | = Δt = 1- λln ( ) N-(t)- N (t0)= T12-- ln 2ln ( ) -N-(t)- N (t0) |  |
Ist nur ΔN = N(t₀) -N(t) bekannt
Δt | = 1- λln ( ) ΔN---+ 1 N(t) |  |

8.2  Medizin

Seit T1 2 die Halbwertszeit, TB die biologische Halbwertszeit (z.B. Ausscheidung)

(8.1)

Radioaktiver Zerfall | λ
Biol. Abbaurate | B

(8.2)

9  Experimentelle Astrophysik und Astronomie

9.1  Sternbeobachtung

Messwerkzeuge

Spektrum Atmosphäre

9.2  Astronomische Koordinatensysteme

Feste Koordinatensysteme

Horizontsystem

} Äquatorsystem Ekliptisches SystemPräzession, Nutation; Schwankung der Erddrehachse

Galaktisches System

9.3  Beobachtungsinstrumente

9.3.1  optische Teleskope

_______________________________________________________________________________

Parallaktische Montage zum Ausgleich der Erdbewegung.

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

Das 5 m-Hale-Teleskop von Mount Palomar (By NASA [Public domain], via Wikimedia Commons, http://en.wikipedia.org/wiki/File:Palomar_arp_600pix.jpg)

__________________________________________________________________________

9.3.2  Radioteleskope

_______________________________________________________________________________

Das Radioteleskop von Effelsberg (By Dr. Schorsch (photo taken by Dr. Schorsch) [GFDL (http://www.gnu.org/copyleft/fdl.html), CC-BY-SA-3.0 (http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/) or CC-BY-SA-3.0 (http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0)], via Wikimedia Commons
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/05/Effelsberg_total2.jpg)

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

Das grosse Radioteleskop in Aricibo (courtesy of the NAIC - Arecibo Observatory, a facility of the NSF, http://www.naic.edu/public/about/photos/hires/ao004.jpg)

__________________________________________________________________________

9.3.3  Röntgenteleskop

_______________________________________________________________________________

Röntgenteleskop

______________________________________________________________________

9.3.4  Gravitationswellendetektor

_______________________________________________________________________________

Gravitationswellendetektor.

__________________________________________________________________________

9.4  Auflösung

φ₁ | = φ₂ + 2πΔl -λ--- |  |
Δl | = Lsin αA |  |
Stern A:  ΔφA | = 2πL- λsin αA |  |
Stern B:  ΔφB | = 2πL- λsin αB |  |
Mit αB -αA = Δα
π ≤ΔαA -ΔαB | = 2πL -λ--(sin αA - sin (αA + Δα )) |  |
π | ≤2πL- λ( ) ( ) sin αA - sin αA c◟os◝Δ◜-α◞+ cosαA s◟inΔ◝◜-α◞) ≈1 ≈Δα |  |
| ≈2πL- λ(sin αA - sinαA + cosαA ·Δ α) |  |
Δα | ≥---λ----- 2L cos α1 ≥-λ- 2L |  |
Wenn L = 6000km, λ = 0,21m
⇒Δα | ≥2·10 -1 -------6- 2·6·10 = 1,25·10⁻⁸ ≈3,6·10⁻³′′ |  |

9.4.1  Parallaxe

Ein Stern, dessen Parallaxe bezogen auf den mittleren Erdbahnradius 1 ′′ ist, ist 1 Parallaxense-
kunde entfernt.

1Parsec = 1pc | = 3·10¹⁶m = 3,2Lichtjahre = 3,2 ly |  |
| = 3,08567758·10¹⁶m |  |
Proxima centauri^=4,27ly | = 1,31pc |  |
π | = 0,76′′ |  |

9.4.2  Aberration

(9.1)

Große Halbachse für alle Sterne gleich

  Aberrationskonstante A = 20′′,5 = ⟨vE⟩ c

  Tägliche Aberration < 0,3′′

9.4.3  Brechung an der Atmosphäre

ρ = a· | (n₀ -1)tan ζS   für ζS < 45∘ |  |
| a ≈1 |  |
Mittelwert ρ | = 58,2′′·tan ζ S |  |

Geometrie

b | = a·tan α |  |
r | = x + b |  |
x | = R·cosγ |  |
γ | = α + β -90∘ |  |
r | = b -x = a·tan α + R·sin(α + β) |  |

3. Keplersches Gesetz

T₁² | = 4π2 G(M---+-m--) ⊙ iai² |  |
a3i- aE | = M-⊙-+-mi-- M ⊙ + mE-T2i T 2E = mi- 1-+-m-⊙ 1 + mmE- ⊙·Ti2 TE2 ≈T2i- T2E |  |
andererseits
ai² | = a E² + x² -2a Excosα |  |
aE²( Ti-) TE2 3 | = aE² + x² -2a Excosα |  |
x aus Radarmessungen ⇒ aE
Abstand
r | = -aE-- tanπ ≈aE- π |  |

9.4.4  Störeinflüsse

9.4.4.1. Seeing

_______________________________________________________________________________

Seeing am Beispiel eines Bildes des Klosters Wiblingen gesehen vom Eselsberg [Mar].

__________________________________________________________________________

9.5  Sternbeobachtung

9.6  Entfernungsmessung

Es gibt verschiedene Verfahren zur Distanzmessung

Radar und Geometrie

Leuchtstärke: scheinbare Helligkeit:

_______________________________________________________________________________

Very Long Baseline Interferometer.

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

Sterninterferometer

______________________________________________________________________

9.7  Helligkeiten und Spektren

9.7.1  Scheinbare und absolute Helligkeit

Weber-Fechnersches Gesetz

(9.1)

Einteilung in Helligkeitsklassen

(9.2)

nun ist

(9.3)

Absolute Helligkeit M

--ϕ(r)-- ϕ (10pc ) | = (10pc-) r² |  |
m = M | = 2,5·log ₁₀---ϕ---- ϕ (10pc) = -2,5log ₁₀( ) 10pc- r |  |
m -M | = 5log ₁₀( r ) ----- 10pc |  |
Sonne
m = -26,8   | ⇒   M = +4,8 |  |

9.7.2  Messung der Leuchtkraft mit Bolometer

MbolStern -Mbol⊙ | = 2,5log 10L-- L⊙ |  |
Solarkonstante  SK | = 1367W -2- m |  |
⇒L⊙ | = 3,9·10²⁶W |  |

10  Das Sonnensystem

10.1  Planetenbewegung

Planetensystem

Zentralgestirn: Sonne

Planeten    Wandelsterne

Zwergplaneten

Planetoiden

Kometen

Felsbrocken, Staub

Keplersche Gesetze

Bahnen sind durch

große Halbachse a

Exzentrizität

Neigung der Bahnebene gegen die Erdbahnebene

Winkel Ω zwischen Frühlingspunkt und aufsteigendem Knoten

Winkel ω zwischen den aufsteigendem Knoten und dem Perihel

Umlaufzeiten

Siderische Umlaufzeit Tsid bezüglich eines ruhenden Bezugssystems

Synodische Umlaufzeit zwischen zwei Konjunktionen oder Oppositionen

10.2  Planeten und Astroiden

Massenbestimmung durch Mond

aus   Fz | = FG |  |
mv2 ---- r | = GmME --2--- r ⇒ME = v2r --- G = 4π2 ---- G·r3 -2- T |  |

10.2.1  Energiehaushalt

Albedo     A | = Srück,diffus Sein |  |
Leistungsdichte durch Sonne
S(r) | = SK·( ) 1AE-- r² = 2 R⊙- rσT⊙² |  |
Absorbierte Leistung
dW1 -dt- | = πr²(1 -A)S(r) |  |
|    R : Radius des Planeten |  |
Wenn aus dem Inneren: Wärmestromdichte Qi
dW2- dt | = 4πR²Q i |  |
Abstrahlung
dW3 ---- dt | = 4πR²σT⁴     Stefan-Boltzmann |  |

Gleichgewicht Tagseite

2πR²σT eff⁴ + Q WL,Nachtseite | = πR²(1 -A)S(r) + 2πR²Q i |  |
⇒TeffTag | = ∘ ---------------------- 4 --1--[(1 - A)SK ]+ Qi- 2σr2 σ |  |
TeffNacht | = ∘ --- 4 Qi- σ |  |
schnelle Rotation ⇒ gleiche Temperatur
⇒  Tschnell | = Teff √4-- 2 |  |

Rechnung stimmt ohne Atmosphäre

Mit Atmosphäre ⇒ Treibhauseffekt

Die Erde hat eine Magnetosphäre

Asteroiden → Lagrange-Punkte

10.3  Sonne

Masse:

1,989·10³⁰kg

Scheibe

2α = 31′59′′,2  ⇒R⊙ = 6,96·10⁸m

Volumen

V = 4 3πR⊙³ = 1,3·10²⁷m³

Dichte

⟨ρ⟩= 1410kmg3-

Solarkonstante

SK = 1360W m2-

Leuchtkraft

L⊙ = 3,82·10²⁶W

Massenverlust

dMdt⊙ = Lc⊙2- = 4,2·10⁹kgs

Bis jetzt hat die Sonne

ΔM = dM-⊙- dt·TSonne | = 6,7·10²⁶kgverloren |  |
| ≈3,4·10⁻⁴M ⊙ |  |
Gesamtenergie W = 6·10⁴³ J
Stefan-Boltzmann
dW -dt- | = L⊙ = 4πR⊙²σT eff⁴ |  |
⇒Teff | = ( ) --L⊙--- 4πσR2⊙ = 5770K |  |

10.3.1  Energiehaushalt

Sonne als homogener Gasball

Epot | = -3 -- 5GM 2⊙ ---- R ⊙ = -2,35·10⁴¹J |  |
Wenn F ∝r-n ⇒ Virialsatz
⟨Ekin⟩ | = -1- n⟨Epot⟩ |  |
⇒⟨Ekin⟩ | = 3- 2M-⊙- m-·kT = -1- 2Epot = 1,2·10⁴¹ |  |
|   m mittlere Atommasse |  |
Rotationsenergie
Erot | = 1- 2Iω² ≤1- 5M⊙R⊙²ω²   (vernachlässigbar) |  |
mit m = mH
⇒T | = --m--- 3M ⊙kEpot = 5·10⁶K |  |
Plasma, d.h. m = 1 2(mp + me) = 1 2mp
⇒T⊙ | = 2,5·10⁶K |  |
Druck in der Sonne bei homogenen Gaskugeln
p = GM 2 ---⊙4- 4πR ⊙   | ⇒p = 8,8·10¹³Pa |  |
⇒pV = NkT   | ⇒T = 3,8·10⁶K |  |
Im inneren der Sonne bilden Protonen und Elektronen ein ideales Gas

10.3.2  Realistischeres Modell

dFG(r) | = GM (r) --r2-dm = GM (r) -r2--ρ(r)dAdr |  |
= dFp | = -dp --- drdrdA    Gravitation =^ Druck |  |
⇒dp- dr | = -GM-(r) r2ρ(r) |  |
Masse:  dM-- dr | = 4πr²ρ(r) |  |
Energiegleichgewicht
dW -dr- | = ϵdM(r) = 4πr²ϵρ(r)dr    Produktion |  |
dLr | = L(r + dr) -L(r) = ϵdM(r) |  |
dLr- dr | = 4πr²ϵρ(r) |  |
|   ϵ(ρ,T) Leistungsdichte der Energieproduktion |  |
Nur Strahlung
dT --- dr | = -CL(r) ---2- 4πrk --3 Tρ(r) = c - c -p---V- cpT -- pdp --- dr |  |
ideales Gas  p(r) | = kT- mρ(r)   ⇒ |  |

10.3.3  Radiale Struktur der Sonne

_______________________________________________________________________________

Querschnitt durch die Sonne mit Transportmechanismen (nach Spatschek [Spa03]).

__________________________________________________________________________

10.3.4  Energieerzeugung

________________________________________________________________________________

Reaktion (1. Stufe)
Anteil
ΔE

1 1H + 1 1H →2 1H + e⁺ + νe
99.75%
1.19MeV

1 1H + 1 1H + e⁻ →2 1H + νe
0.25%
1.44MeV

Reaktion (2. Stufe)
Anteil
ΔE

2 1H + 1 1H →3 2He + γ
100%
5.49MeV

Reaktion (3. Stufe)
Anteil
ΔE

3 2He + 3 2He →4 2He + 211H
91%
12.85MeV

3 2He + 4 2He →7 4Be + γ
9%

7 4Be + e⁻ →7 3Li + νe

7 3Li + p →4 2He + 4 2He

25.67MeV

3 2He + 4 2He →7 4Be + γ
0.1%

7 4Be + 1 1H →8 5B + γ

8 5B →8 4Be + e⁺ + νe

8 4Be →4 2He + 4 2He

19.28MeV

Energie pro Proton

6.69624MeV

p -p-Zyklus auf der Sonne

__________________________________________________________________________

10.3.5  CNO-Zyklus

Bei der Energieproduktion entstehen Neutrinos, aber es werden zu wenige gemessen

_______________________________________________________________________________

CNO-Zyklus in der Sonne

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

Energieproduktion der p -p- und CNO-Prozesse.

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

Temperaturabhängigkeit der Raten für die p -p- und CNO-Prozesse.

__________________________________________________________________________

10.3.6  Triple-α-Prozess

Nach [CO07]:

42He + 4 2He | ⇌8 4Be (kurzlebig) | (10.1a)
84Be + 4 2He | →12 6C + γ | (10.1b)

10.3.7  Kohlenstoff und Sauerstoff

Nach [CO07]:

12 6C + 4 2He | →16 8O + γ | 16 8O + 4 2He | →20 10Ne + γ | (10.2a)
12 6C + 12 6C | →16 8O + 4 2He (endotherm) | 126C + 12 6C | →23 12Mg + n (endotherm) | (10.2b)
12 6C + 12 6C | →20 10Ne + 4 2He | 12 6C + 12 6C | →23 11Na + p⁺ | (10.2c)
12 6C + 12 6C | →24 12Mg + γ |  |  | (10.2d)

16 8O + 16 8O | →24 12Mg + 242He (endotherm) |  |  | (10.3a)
16 8O + 16 8O | →28 14Si + 4 2He | 16 8O + 16 8O | →31 15P + p⁺ | (10.3b)
16 8O + 16 8O | →31 16S + n | 16 8O + 16 8O | →32 16S + γ | (10.3c)

Häufigkeiten der Elemente nach [CO07]:

_______________________________________________________________________________

Elementhäufigkeit in der Sonne (nach [CO07])

__________________________________________________________________________

10.3.8  Energie der Sonne

Epot | = -3 -- 5GM ⊙2 ---- R⊙ = -2,35·10⁴¹J |  |
⟨Ekin⟩ | = -1- n⟨Epot⟩    Virialsatz |  |
⇒⟨E ⟩ kin | = 3- 2M-⊙- m-kT = -1- 2Epot = 1,2·10⁴¹J |  |
⇒T | = -- --m--- 3M ⊙k|Epot|≈5·10⁶K |  |
aus pV = NkT
mit  V = Modot- ρ⊙ |    N = M-⊙- m |  |
⇒p | = N- VkT = -- ρ-⊙ m--- --m-- 3M ⊙|Epot|= -- ρodot 3M ⊙|Epot| |  |
mit  ρ | = 1400kg --3 m |  |
M⊙ | = 1,989·10³⁰kg |  |
p | = 1400 -----------30- 3·1,989·10·2,35·10⁴¹J ≈3,5·1044 ------30- 6·10Pa ≈6·10¹³Pa |  |

Ideales Gas wenn Ekin »Epot

|Epot| | = 2 --e--- 4πϵ0d = 2 ----e∘------- 4πϵ3 3 N∕V ⊙ ≈1,2·10⁻¹⁶J |  |
Ekin | = 3 2-kT ≈2,3·10⁻¹⁸J |  |
⇒ | Ekin ≈52·Epot  ⇒ideales Gas |  |

10.3.9  Superkamiokande

_______________________________________________________________________________

Neutrinospektrum, skizziert nach [Kir83]

__________________________________________________________________________

Siderische Umlaufzeit ⇒ ruhender Beobachter

Synodische Umlaufzeit ⇒ (???)

Sonnenneutrinos + Neutrinos aus der Atmosphäre

⇒ Schluss: Neutrinooszillationen

10.3.10  Energietransport in Sonne

Energietransport durch Konvektion könnte nur 1 % der abgestrahlten Energie transportieren

  ⇒ Strahlungstransport (diffusiv)

    ⇒ Zeitkonstante: 10⁷Jahre

_______________________________________________________________________________

Sonnenkorona (Credit & Copyright: Alain Maury, Jean-Luc Dauvergne, Nasa, http://apod.nasa.gov/apod/ap100721.html)

__________________________________________________________________________

10.3.11  Sonnenflecken

_______________________________________________________________________________

Sonnenflecken im Hα-Spektrum (Credit : Vacuum Tower Telescope, NSO, NOAO, http://apod.nasa.gov/apod/ap051106.html)

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__________________________________________________________________________

Zeitliche Entwicklung der Sonnenfleckenzahl (Datenquelle: (SILSO data/image, Royal Observatory of Belgium, Brussels), siehe auch [Loc13])

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__________________________________________________________________________

Historische Sonnenfleckenzahl nach der NASA (NASA https://solarscience.msfc.nasa.gov/SunspotCycle.shtml)

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__________________________________________________________________________

Sonnenfleckenzahl über 11000 Jahre (By Conscious, using data from Solanki et al (Own work by Conscious) [GFDL (http://www.gnu.org/copyleft/fdl.html), CC-BY-SA-3.0 (http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/) or CC BY-SA 2.5-2.0-1.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.5-2.0-1.0)], via Wikimedia Commons).

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

Schwankung der Zahl der Sonnenflecken (By Daniel Wilkinson (Own work) [CC BY-SA 3.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0)], via Wikimedia Commons).

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

Bewegung der Sonnenflecken und Sonnenfleckenzahl (NASA https://solarscience.msfc.nasa.gov/images/bfly.gif und https://solarscience.msfc.nasa.gov/SunspotCycle.shtml)

__________________________________________________________________________

Siehe auch [Hat15] und [Loc13]

_______________________________________________________________________________

Differenzielle Rotation der Sonne: Magnetfeldlinien werden aufgewickelt und es gibt periodische Polwechsel (By David Hathaway, NASA Marshall Space Flight Center [Public domain], via Wikimedia Commons)

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

Struktur von Sonnenflecken (adaptiert aus Demtröder [Dem10, Abb. 10.78])

__________________________________________________________________________

10.3.12  Magnetfelder der Sonne

_______________________________________________________________________________

Messung von Magnetfeldern mit dem Zeemann-Effekt (nach Demtröder [Dem10, 10.79ab]).

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

Magnetfelder und differenzielle Rotation (nach Demtröder [Dem10, Abb. 10.80]).

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

Magnetfelder und Sonnenfleckenpaare
(Hinode JAXA/NASA/PPARC http://www.esa.int/var/esa/storage/ images/esa_multimedia/images/2007/03/fine-scale_structure_of_the_chromosphere/9859039-3-eng-GB/Fine-scale_structure_of_the_chromosphere.jpg).

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

Magnetfelder und Sonnenfleckenpaare: Koronaschlaufen
(NASA, http://solarsystem.nasa.gov/multimedia/display.cfm? Category=Planets&IM_ID=191).

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

Magnetfelder und Sonnenfleckenpaare (nach Demtröder [Dem10, Abb. 10.81]).

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

Magnetfelder und Sonnenfleckenpaare: G-Band-Entwicklung während eines Protonen-Flares (Quelle: Hinode JAXA/NASA http://www.nasa.gov/mission_pages/hinode/solar_022.html).

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

Protuberanzen (Quelle: NASA/European Space Agency, http://solarsystem.nasa.gov/multimedia/gallery/PIA03149.jpg).

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Sonne mit ihrer Atmosphäre, gesehen von der TRACE-Sonde. Das zentrale Bild zeigt eine dreifarbige Zusammenstellung der Sonnenkorona, gemessen mit der „Transition Region and Coronal Explorer“-Sonde. Das Mosaik ist aus jeweils 3 Aufnahmen von den 23 möglichen Kanälen zusammengesetzt: Grün, blau und rot entsprechen jeweils den 171 Å (1 MK), 195 Å (1.5 MK), and 284 Å (2 MK) Kanälen. Die äusseren Abbildungen zeigen im Uhrzeigersin beginnend von oben: SOHO/MDI Magnetfeldkarte, weisses Licht, TRACE 1700A Kontinuum, TRACE Lyman alpha, TRACE 171 Å , TRACE 195 Å, TRACE 284 Å, YOHKOH/SXT Röntgenbild.
(Quelle: The composite was prepared by Joe Covington (Lockheed-Martin Missiles and Space, Palo Alto, http://soi.stanford.edu/results/SolPhys200/Schrijver/images/compositeSun2.jpg) The TRACE images may be used without restrictions in publications of any kind. We appreciate an acknowledgement indicating that the Transition Region and Coronal Explorer, TRACE, is a mission of the Stanford-Lockheed Institute for Space Research, and part of the NASA Small Explorer program).

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

Radar-Doppleraufnahme der Sonnenoberfläche durch die Nasa-Mission SDO (Solar Dynamics Observatory) (Quelle: NASA https://sdo.gsfc.nasa.gov/assets/img/latest/latest_1024_HMID.jpg).

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

Radar-Doppleraufnahme der Sonnenoberfläche durch die Nasa-Mission SDO (Solar Dynamics Observatory) 12.5% ×12.5%- Ausschnitt aus der Abbildung 10.3.12 (Quelle: NASA https://sdo.gsfc.nasa.gov/assets/img/latest/latest_4096_HMID.jpg).

__________________________________________________________________________

Aktuelle Ansicht der Sonne https://sdo.gsfc.nasa.gov/

_______________________________________________________________________________

Frequenzspektrum der Helioseismizität (Allan Sacha Brun, Lucie Alvan, Antoine Strugarek, Stéphane Mathis and Rafael A García, On gravity waves in the Sun, Journal of Physics: Conference Series 440(1), 012043 (2013) 10.1088/1742-6596/440/1/ [BAS⁺13] (CC-BY-3.0))

__________________________________________________________________________

11  Geburt, Leben und Tod von Sternen

Leuchtkraft, Temperatur und Radius

(11.1)

11.1  Sternradien

  α Centauri: R ≈8·10⁸ m ⇒ 0.01′′

11.1.1  Michelson Sterniterferometer

_______________________________________________________________________________

Strahlengang im Michelson-Sterninterferometer

__________________________________________________________________________

Maximale Phasenverschiebung von einem Punkt am Rande des Sterns aus gesehen

(11.1)

(11.2)

(11.3)

(11.4)

Mit α «ϑ

(11.5)

Die Quelle ist inkohärent, also muss für die Interferenz gelten

(11.6)

Man misst den Kontrast

(11.7)

und bestimmt die erste Nullstelle dS (dort ist Δsmax = λ∕2

(11.8)

Bsp: Beteigeuze (α-Orionis): rS = 310 ly und Winkeldurchmesser ϑ = 2RS∕rS = 0.04′′

(11.9)

11.1.2  Hanbury-Brown und Twiss - Interferometer

_______________________________________________________________________________

Schematischer Aufbau eines Intensitäts-Korrelationsinterferometers nach Hanbury-Brown und Twiss (nach Demtröder [Dem10, Abb. 11.4]

__________________________________________________________________________

Berechnung des Korrelators nach [HBT57, HBDA67, HBDAR67]

(11.10)

S(τ) ist ein Mass für die Kohärenz. Die Kohärenzlänge ergibt den Sterndurchmesser! Die Korrelationsfunktion ist

(11.11)

_______________________________________________________________________________

Empfindlichkeitskurven des Hanbury-Brown und Twiss-Interferometers. Links in Abhängigkeit des Sternradius, rechts normiert [HBT57, HBDA67, HBDAR67].

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

Sichtwinkel und Sterndurchmesser im Hanbury-Brown und Twiss-Interferometer. Links Abstand der Detektoren und Sichtwinkel, rechts Abstand der Detektoren und Sterndurchmesser [HBT57, HBDA67, HBDAR67].

__________________________________________________________________________

11.2  Doppelsterne

11.2.1  Visuelle Doppelsterne

(Abstand > 0.1′′)

_______________________________________________________________________________

Schematische Darstellung visueller Doppelsterne (nach Demtröder [Dem10, Abb. 11.6]

__________________________________________________________________________

11.2.2  Astrometrische Doppelsterne

Nur einer sichtbar, Helligkeit schwankt

11.2.3  Spektroskopische Doppelsterne

Spektren

_______________________________________________________________________________

Skizze spektroskopischer Doppelsterne (nach Demtröder [Dem10, Abb. 11.8])

__________________________________________________________________________

11.2.4   Photometrische Doppelsterne

Helligkeit schwankt

11.3  Kategorisierung von Sternen

11.3.1  Sterntypen

________________________________________________________________________________

Spektraltyp
T/K

Klassifikationskriterien

O
50000

Linien hochionisierter Atome: He II, Si IV, N III; H schwach

B0
25000

He II fehlt; He I schwach, Si III, O II; H stärker

A0
10000

He I fehlt; H maximal; Mg II, Si II stark; Fe II, Ti II schwach; Ca II schwach

F0
7600

H schwächer; Ca II stark; ionisierte Metalle Max. bei A5; neutrale Metalle gleich stark

G0
6000

Ca II sehr stark; neutrale Metalle (Fe I) stark

K0
5100

H relativ schwach; neutrale Atome stark; Molekülbanden

M0
3600

Neutrale Atome sehr stark (Ca I); TiO Banden

M5
3000

Ca I sehr stark; TiO stärker

C
3000

Starke Cn-, CH-, C₂-Vabdeb; TiO fehlt

S
3000

Starke ZrO, YO, LaO Banden; neutrale Atome wie bei K und M

Klassifikation von Sterntypen

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

Spektraltyp
TOberfläche∕K
Farbindex B -V
Häufigkeit/%

O5
35000
-0.45

B0
21000
-0.31
3

B5
13000
-0.17

A0
9700
-0.00
27

A5
8100
+0.16

F0
7200
+0.30
10

F5
6500
+0.45

G0
6000
+0.57
16

G5
5400
+0.7
(⊙)

K0
4700
+0.84
37

K5
4000
+1.11

M0
3300
+1.24
7

M5
2600
+1.61

Spektraltypen. V : Helligkeit (Magnitude) m (bei 550 nm), B:Helligkeit (Magnitude) m (bei 440 n m ).

__________________________________________________________________________

11.3.2  Hertzsprung-Russel-Diagramm

_______________________________________________________________________________

Hertzsprung-Russell-Diagramm (von Richard Powell (The Hertzsprung Russell Diagram) [CC-BY-SA-2.5 (http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.5)], via Wikimedia Commons).

__________________________________________________________________________

L ∝Mα | M > 3M ⊙ | α ≈3 |  | (11.1a)
| M < 0.5M⊙ | α ≈4 |  | (11.1b)

Massenbereich: 0.05M⊙ < M < 100M⊙

11.3.3  Masse und Leuchtkraft

_______________________________________________________________________________

Zusammenhang zwischen Masse und Leuchtkraft (nach [UB91]).

__________________________________________________________________________

11.4  Geburt von Sternen

_______________________________________________________________________________

Orion-Nebel, eine Kinderstube von Sternen
(NASA/JPL-Caltech/STScI, http://www.nasa.gov/multimedia /imagegallery/image_feature_693.html).

__________________________________________________________________________

Jeans-Kriterium

(11.1)

Gaswolke kann an versch. Orten unstabil werden

Zuerst isotherme Kontraktion, dann wird sie optisch dicht, adiabatische Kontraktion ab 100 K

⇒ Druckkräfte kompensieren Kollaps; Dissoziation von H₂-Molekülen

⇒ Kollaps geht weiter, beschleunigt

Wieviel Gas braucht es, damit es gegen den Gasdruck unter der Gravitation kollabiert?

(11.2)

(11.3)

Instabilität wenn pGas + pgrav < 0

(11.4)

Mindestmasse für Gravitationskollaps

(11.5)

hängt nur von der Dichte und der Temperatur ab!

________________________________________________________________________________

T
1 H/cm3
10² H/cm3
10⁴ H/cm3
10⁶ H/cm3

5K
270M⊙
27M⊙
2.7M⊙
0.27M⊙

10K
750M⊙
75M⊙
7.5M⊙
0.75M⊙

100K
25000M⊙
2500M⊙
25M⊙
2.5M⊙

Mindestmassen für Gravitationskollaps

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

Kontrahierende Gaswolke (adaptiert aus [SE90]).

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

Temperatur beim Gravitationskollaps (adaptiert aus [SE90]).

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__________________________________________________________________________

Bild kollabierender Gaswolken: Pleiades, NGC 1432/35, M45 (Quelle: NASA, ESA and AURA/Caltech, http://imgsrc.hubblesite.org/hu/db/images/hs-2004-20-a-full_jpg.jpg).

__________________________________________________________________________

11.4.1  Drehimpuls

WW mit 10⁻¹⁰ T Magnetfeld transportiert

  Drehimpuls von innen nach außen

Sonne: 99 % Gesamtmasse des Sonnensystems, aber nur 1 % Drehimpuls

Lebensdauer

(11.6)

Energie

| 0,08M⊙ < M < 0,25M⊙    Kleiner Kern mit p-p-Reaktion |  |
|       Kein CNO-Zyklus ⇒ Weißer Zwerg |  |
| 0,25M⊙ < M < 1,5M⊙    p-p-Reaktion in großem Bereich |  |
|       Bewegt sich auf der Hauptachse nach links oben |  |
| M > 1,5M⊙    CNO-Zyklus ist Hauptenerhiequelle |  |
| M < 1,4M⊙    He-Flash   R →250R! |  |

11.5  Der stabile Lebensabschnitt

11.5.1  Hauptreihenentwicklung

_______________________________________________________________________________

Hauptreihenentwicklung (nach [Dem10, Abb. 11.21]).

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

Hauptreihenentwicklung: Späteres Stadium bei mittlerer Masse (nach Demtröder [Dem10, Abb. 11.22]).

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

Hauptreihenentwicklung: Am Ende des Wasserstoffbrennens bei massereichen Sternen (nach Demtröder [Dem10, Abb. 11.23]).

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

Sternzustand nach Verbrauch des Wasserstoffvorrates im Kern (nach Demtröder [Dem10, Abb. 11.24]).

__________________________________________________________________________

11.6  Nach-Hauptreihen-Entwicklung

_______________________________________________________________________________

Nach-Hauptreihenentwicklung nach [Kar03]

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

Entwicklung bei mittlerer Sternmasse (nach Demtröder [Dem10, Abb. 11.26]

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

Ringnebel aus der Leier (NASA, ESA, and the Hubble Heritage (STScI/AURA)-ESA/Hubble Collaboration, http://hubblesite.org/newscenter/archive/releases/2013/13/image/b/format/xlarge_web/).

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

Zwiebelschalenstruktur eines massereichen Sterns nach Erlöschen der letzten Fusionsquelle im Kern (nach Demtröder [Dem10, Abb. 11.28]

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

Supernova-Reste (Krebs-Nebel, Explosion 1054) (NASA, ESA, CXC, JPL-Caltech, J. Hester and A. Loll (Arizona State Univ.), R. Gehrz (Univ. Minn.), and STScI, http://imgsrc.hubblesite.org/hu/db/images/hs-2005-37-b-full_jpg.jpg)

__________________________________________________________________________

11.7  Entartete Sternmaterie

11.8  Schwarze Löcher

Schwarze Löcher sind eine Konsequenz der allgemeinen Relativitätstheorie. Die hier gegebene Darstellung folgt Carroll und Ostlie [CO07].

_______________________________________________________________________________

Lichtablenkung durch Massen (nach Carroll und Ostlie [CO07]).

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Eine Gummimatte als Modell der Raumzeit

Ein Ball wird durch die Deformation abgelenkt

Der gerade Weg ist länger als der gekrümmte Weg.

_______________________________________________________________________________

Gravitationslinse (nach Carroll und Ostlie [CO07]).

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Licht wird abgelenkt

Entfernte Sterne sind näher an der Sichtlinie zu einem schweren Stern als sie scheinen.

_______________________________________________________________________________

Skizze zur Berechnung der Ablenkung von Licht.

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Schwerkraft und Beschleunigung sind ununterscheidbar wenn mschwer = mträge

Das gilt auch für Licht

Berechnung

0D ≈rC, cos(ϕ∕2) ≈1 und ℓ = ct

mit g = GM∕r²

(11.1)

Erde:

Sonne (gS = 274 ms-2)

genaues Resultat für den Ablenkwinkel

(11.2)

wobei r der Abstand des einlaufenden Lichtstrahls zur ablenkenden Masse ist.

Rotverschiebung aus Bewegung eines Fahrstuhls

Allgemeines Resultat überall gültig:

Rotverschiebungsparameter

Zeitverlangsamung

Sirius B: R = 5.5·10⁶ m und M = 2.1·10³⁰ kg =⇒ Δt -Δt∞ ≈1 s für Δt∞ = 3600 s

Einsteins Gleichungen

G Einstein-Tensor, beschreibt die Raum-Zeit-Krümmung

T Spannungs-Energie-Tensor

Distanz

Eigenzeit Δτ = Δs- c

Eigenabstand L= ∘ --(Δs-)2

Abstand in sphärischen Koordinaten

Schwarzschildmetrik in sphärischen Koordinaten

Es gibt keine Herleitung

1783: John Michell: Newtons Korpuskulartheorie impliziert dass bei m = 500MSonne Licht nicht mehr entkommen kann.

Aus ds = 0 folgt der Schwarzschildradius

Mit dθ = dϕ = 0

lokale Lichtgeschwindigkeit, wie sie von r = ∞ beobachtet wird.

_______________________________________________________________________________

Lichtgeschwindigkeit in der Nähe des Ereignishorizontes.

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11.8.1  Gravitationslinse

Die Darstellung lehnt sich an [CO07] an.

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Geometrie zur Berechnung des Gravitationslinseneffektes.

__________________________________________________________________________

In Abb. 11.8.1 verwenden wir im Dreieck ESC den Sinussatz. φ ist die Ablenkung eines Lichtstrahls nach Gleichung (11.2).

Um den Sinussatz anzuwenden, bemerken wir

SE | = --dS-- cos(β) | (11.3a)
CE | = --dL-- cos(θ) | (11.3b)
γ | = π -φ | (11.3c)
δ | = θ -β | (11.3d)
α | = π -γ -δ = π -(π - φ ) -(θ - β) = φ -θ + β | (11.3e)
sin(θ) | = r --0- CE = r -0- dL cos(θ)-→cos(θ) = d --L r0 sin(θ) | (11.3f)

Damit haben wir

sin(γ) --SE-- | = sin(α) --CE-- | (11.4a)
sin(π - φ) ----d----- cosS(β) | = sin(φ - θ + β) ------d------- cosL(θ)- | (11.4b)
sin(φ)cos(β) ------------ dS | = sin(φ - θ + β)cos(θ) -------------------- dL | (11.4c)
sin(φ)cos(β) dS | = sin(φ---θ +-β) drL0-sin(θ) dL = sin(φ---θ +-β-)sin(θ) r0 | (11.4d)

Wir verwenden nun, dass alle Winkel dem Betrage nach viel kleiner als eins sind, also dass der Sinus durch sein Argument und der Cosinus durch 1 ersetzt werden kann.

φ d-- S | = (φ - θ + β )θ -----r------ 0 = φθ - θ2 + β θ -----r------ 0 | (11.5a)
0 | = θ² -θβ + φ( ) -r0- θ dS | (11.5b)
0 | = θ² -θβ + φr 0( ) -1- θ- dS - r0 | (11.5c)

Aus Abb. 11.8.1 können wir aus dem rechtwinkligen Dreieck ELC ablesen:

(11.6)

Damit ist mit φr₀ = 4GcM2- (aus Gleichung (11.2))

0 | = θ² -θβ + φr 0( ) 1--- -1- dS dL= θ² -θβ + 4GM-- c2( ) -1-- 1-- dS dL | (11.7a)
0 | = θ² -θβ -4GM -c2--( dS - dL) -d-d---- L S | (11.7b)

Zur Erinnerung: In der Optik erhält man aus 1 f = 1 g + 1 b mit g = d₀ -b

(11.8)

Gleichung (11.7b) hat zwei Lösungen. Wir setzen

und lösen

und erhalten

(11.9)

Die Summe der beiden Lösungen ist gerade

(11.10)

Für die Masse bekommen wir bei bekanntem θ₁ und θ₂

M = c2 4G-dLdS d---d--- S L( 2 ) θ1,2 - θ1,2 (θ1 + θ2)= -c2 4G-dLdS d----d-- S Lθ₁θ₂

(11.11a)

unabhängig von der Lösung.

Wenn |β | < φ = 4GM-- r0c2 sehr klein ist, sind die Lösungen symmetrisch um eine sehr grosse Masse

(11.12)

11.9  Die Endphase des Sternenlebens

11.10  Sonnennahe Sterne

12  Entwicklung und Struktur des Universums

12.1  galaktisches Koordinatensystem

_______________________________________________________________________________

Galaktisches Koordinatensystem

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__________________________________________________________________________

Astronomische Kordinatensysteme.

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Das Zentrum der Milchstrasse befindet sich auf der Südhalbkugel.

12.1.1  Geschwindigkeitsmessung in der Galaxis

_______________________________________________________________________________

Geschwindigkeitsmessung in der Galaxis.

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Aus Abbildung ?? liest man die folgenden Beziehungen ab:

sin(ℓ) sin(π∕2-+-α) | = R R-- 0 | (12.1a)
cos(α) | = R0- Rsin(ℓ) | (12.1b)
vr | = v cos(α) -v₀ sin(ℓ) = ωRR0- Rsin(ℓ) -ω₀R₀ sin(ℓ) |  |
| = (ω - ω0)sin(ℓ) | (12.1c)
vt | = R₀(ω - ω0)cos(ℓ) -ωr | (12.1d)

wobei |v0|= ω₀R₀ und |v |= Rω ist. Wenn die Geschwindigkeiten vt und vr, die Distanzen R₀ und r und der Winkel ℓ bekannt sind, kann so die Winkelgeschwindigkeit der Sonne (ω₀) und des Sterns (ω) um das galaktische Zentrum bestimmt werden.

12.1.1.1. Oortsche Gleichung und Oortsche Konstanten

Die beiden Gleichungen (12.1c) und (12.1d) können umgeschrieben werden, wenn man ω mit ω₀ in eine Taylor-Reihe entwickelt.

(12.2)

Für nahe Sterne ist ΔR = -rcos(ℓ). Damit haben wir

(12.3)

Eingesetzt ergeben sich Produkte sin(ℓ)cos(ℓ) und cos²(ℓ). Beide Produkte führen auf Winkelfunktionen von 2ℓ, wobei bei cos² noch ein konstanter Term vorhanden ist.

Die Apprximation für kleine Distanzen heissen Oortsche Gleichungen:

vr | = A·r·sin(2ℓ) | (12.4a)
vt | = A·r·cos(2ℓ) + B | (12.4b)

Die Grösse der Oortschen Konstanten ist

A | = 1 -- 2[ v0 ( dV ) ] ---- --- R0 dR R0 | ≈ | 14 kmkpc⁻¹s⁻¹ | (12.5a)
B | = -1 2-[ ] v0 ( dV ) R--+ dR- 0 R0 | ≈ | -12 kmkpc⁻¹s⁻¹ | (12.5b)

Daraus ergeben sich die Relationen

A -B | = -v0 R0 = ω₀ | (12.6a)
A + B | = -( dV ) --- dRR₀ = R₀( dω ) --- dRR₀ | (12.6b)

12.2  Olbers’ Paradox

Olbers erkannte, dass ein unendliches Universum mit homogener Sternverteilung unweigerlich zu einer Lichtkathastrophe führen müsste.

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Olbers’ Paradox. Auf kurze Strecken ist der Wald durchsichtig, auf lange jedoch blickdicht.

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Skizze zur Berechnung von Olbers’ Paradox.

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Anzahl Sterne in dΩ, Abstand r, Schichtdicke dr:

(12.1)

Sichtweite

(12.2)

(12.3)

Olbers

n

Sterne pro Volumeneinheit

L

mittlere Leuchtkraft

Intensität auf der Erde   I₁ = -L-- 4πr2

Anzahl Sterne zwischen r und r + dr

N | = n·4πr²dr |  |
dI = NdI₁ | = NL ---2- 4πr = nLdr |  |
I(rmax) | = nL∫ ₀rmax dr = nLrmax |  |

Abdeckung: Sei mittlerer Radius R

Feff: Flächen im Zylinder Feff = n·A·rmax·πR²

Abdeckung wenn Feff = A

rmax | = ---1--- (nπR2 ) |  |
I(rmax) | = nLrmax = L πR2- |  |
| ⇒unabhängig von Richtung; Alles gleich hell |  |

Standardmodell ⇒ Expansion

rStand | = 13,6Ly |  |
rOlbers | = 1,7·10²³Ly |  |

Statisches Universum + Absorption ⇒ Olbers Paradox gilt

12.3  Experimente

12.4  Isotropie der Fluchtbewegung

_______________________________________________________________________________

Skizze zur Isotropie der Ausdehnungsbewegung (nach Demtröder [Dem10, Abb. 12.3]).

__________________________________________________________________________

Nach Abbildung 12.4 gilt

(12.1)

(12.2)

rBC | = rAC -rAB | (12.3a)
vBC | = vAC -vAB | (12.3b)
| = H₀(rAC - rAB ) | (12.3c)
| = H₀rBC | (12.3d)
|  | (12.3e)

12.5  Gekrümmter Raum

Metrik der Kugeloberfläche

x₁² + x 2² + x 3² | = R² | (12.1a)
x₁ | = R·sin ϑ·cosφ | (12.1b)
x₂ | = R·sin ϑ·sin φ | (12.1c)
x₃ | = R·cosϑ | (12.1d)

Linienelement auf der Oberfläche

(12.2)

R: Skalenfaktor

r = Rsin ϑ ist ein Kreis mit der Oberfläche A = 2πr

Bei einer Änderung von R ist

(12.3)

Aus

(12.4)

und

(12.5)

(12.6)

(12.7)

Hier ändert sich dℓ mit R ohne dass dr sich ändern muss.

Metrik der Oberfläche einer vierdimensionalen Kugel

x₁² + x 2² + x 3² + x 4² | = R² | (12.8a)
x₁ | = R·sin ψ sin ϑ·cosφ | (12.8b)
x₂ | = R·sin ψ sin ϑ·sin φ | (12.8c)
x₃ | = R·sin ψ cosϑ | (12.8d)
x₄ | = R·cosψ | (12.8e)

dℓψ | = R·dψ | (12.9a)
dℓϑ | = R·sin ψdϑ | (12.9b)
dℓφ | = R·sin ψ sin ϑdφ | (12.9c)

R: Skalenfaktor

(12.10)

Linienelement

(12.11)

r = Rsin ψ ist ein Kreis mit der Oberfläche A = 4πr²

Bei einer Änderung von R ist

(12.12)

Aus

(12.13)

und

(12.14)

(12.15)

Hier ändert sich dℓ mit R ohne dass dr sich ändern muss.

12.5.1  Grenzwerte

(12.16)

Analog zum euklidischen Raum (flach!)

κ = R⁻² heisst Krümmung des Raumes.

κ > 0: sphärisches oder elliptisches Universum

κ < 0: hyperbolisches Universum

(12.17)

Der Abstand wird für alle r klein.

Beim Urknall ist kein Punkt ausgezeichnet.

Der Gekrümmte Raum hat ein Volumen von 2π²R³, aber er hat keine Begrenzung.

12.6  Hubble-Gesetz

(12.1)

(12.2)

12.7  Big Bang Theorie

Extrem heiss, ϕ →0 vor 13·10⁹ yr bis 14·10⁹ yr

4 min

Bildung1 1H,2 1H,4 2He + etwas Li

bis Fe in Sternen

ab Fe Supernovae

5·10⁵a

Entkopplung Licht-Materie

⇒Bildung neutraler Moleküle

10⁷ -10⁸a

Bildung von Galaxien

Hubble:   v = H·r mit H = 73 ±7 --km--- s · Mpc

Penzias Wilson: 3 K Hintergrundstrahlung

12.7.1  Anfangsgrösse des Universums

Wie gross war das Universum an Anfang?

Hintergrundstrahlung: Energiedichte

(12.1)

(12.2)

Massendichte

(12.3)

ρ(R₀) ist die heute Massendichte des Alls bei einer Krümmung R₀ ≈10²⁶m

(12.4)

(12.5)

wegen der Dopplerverschiebung

Rückrechnung von aktuellen Werten: Aus ρ(Rs) = ρ(R₀)( ) RR0s-³ = w(Rs)c⁻² = w(R₀)( ) RR0s-⁴c⁻² folgt

(12.6)

Bei kleinerem Durchmesser ist das Weltall strahlungsdominiert, heute ist es massedominiert.

_______________________________________________________________________________

Massendichte und Skalenfaktor (nach Demtröder [Dem10, Abb 12.5]).

__________________________________________________________________________

Hubble-Parameter und kritische Dichte

Wir betrachten eine Kugelschale von Galaxien im Abstand r

(12.7)

(12.8)

Gesamtenergie

(12.9)

Kritische Massendichte (E = 0)

(12.10)

_______________________________________________________________________________

Zeitabhängigkeit des Skalenparameters (nach Demtröder [Dem10, Abb 12.7]).

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

Zeitabschnitt
Zeit / s
Temperatur / K

Zustand

t = 0
?

Urknall

Planck-Ära

Alle 4 Wechselwirkungen vereinigt

t = 10⁻⁴³
T = 10³²

GUT-Ära

Gravitation entkoppelt (Grand Unification)

t = 10⁻³⁵
T = 10²⁸

Inflationäre Phase

Starke und elektroschwache WW separieren

t = 10⁻³²
T = 10²⁵

Quark-Ära

Quark-Gluon-Plasma aus Quarks, Leptonen, Photonen

t = 10⁻¹²

t = 10⁻⁷

Hadronen-Ära

p, n, p , n gebildet, ν entkoppelt

t = 10⁻⁴
T = 10¹²

Leptonen-Ära

e⁻ und e⁺ zerstrahlen, μ zerfallen

t = 1
T = 10¹⁰

t = 10
T = 3·10⁹

Nukleonsynthese

He-, D-, Li-Kerne gebildet

t = 180
T = 10⁹

Zeittafel des Universums (nach Demtröder [Dem10, Abb12.9]).

__________________________________________________________________________

12.8  Das Standardmodell

12.9  Galaxien

_______________________________________________________________________________

Verteilung von Galaxien (Credit: M. Blanton and the Sloan Digital Sky Survey., https://www.sdss3.org/science/gallery_sdss_pie2.php)

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

Position der Erde im Universum (By Andrew Z. Colvin (Own work) [CC BY-SA 3.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0) or GFDL (http://www.gnu.org/copyleft/fdl.html)], via Wikimedia Commons, https://commons.wikimedia.org/wiki/ File:Earth’s_Location_in_the_Universe_SMALLER_(JPEG).jpg)

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

Logarithmische Darstellung des Universums (By Unmismoobjetivo (Own work) [CC BY-SA 3.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0)], via Wikimedia Commons, https://commons.wikimedia.org/wiki/ File:Observable_universe_logarithmic_illustration.png)

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

Struktur des Universums auf grossen Skalen (By IPAC/Caltech, by Thomas Jarrett [Public domain], via Wikimedia Commons, https://commons.wikimedia.org/wiki/ File:2MASS_LSS_chart-NEW_Nasa.jpg)

__________________________________________________________________________

12.10  Dunkle Materie

12.11  Entstehung der Elemente

12.12  Entstehung des Sonnensystems und der Erde

A.  Literaturhinweise

Folgende Bücher können zur Vorlesung gelesen werden:

Wolfgang Demtröder

Experimentalphysik, Band 4 Kern-, Teilchen- und Astrophysik [Dem10]

Permalink: https://rds-ulm.ibs-bw.de/link?id=311220053

Ulrich Ellwanger

From the universe to the elementary particles : a first introduction to cosmology and the fundamental interactions [Ell12]

Permalink: https://rds-ulm.ibs-bw.de/link?id=35235657X

Ulrich Ellwanger

Vom Universum zu den Elementarteilchen : eine erste Einführung in die Kosmologie und die fundamentalen Wechselwirkungen [Ell15]

Theo Mayer-Kuckuk

Kernphysik : eine Einführung [MK02]

Permalink: https://rds-ulm.ibs-bw.de/link?id=09839374X

Ashok Das and Thomas Ferbel

Introduction to nuclear and particle physics [DF09]

Permalink: https://rds-ulm.ibs-bw.de/link?id=311263771

Jörn Bleck-Neuhaus

Elementare Teilchen : von den Atomen über das Standard-Modell bis zum Higgs-Boson [BN13]

Erich Lohrmann

Hochenergiephysik [Loh92]

Permalink: https://rds-ulm.ibs-bw.de/link?id=027687368

Abraham Seiden

Particle physics : a comprehensive introduction [Sei09]

Permalink: https://rds-ulm.ibs-bw.de/link?id=118641662

Karl-Heinz Spatschek

Astrophysik : eine Einführung in Theorie und Grundlagen [Spa03]

Permalink: https://rds-ulm.ibs-bw.de/link?id=105864617

Bradley W. Carroll; Dale A. Ostlie

An introduction to modern astrophysics [CO07]

Permalink: https://rds-ulm.ibs-bw.de/link?id=381290948

Oliver Montenbruck, Thomas Pfleger

Astronomie mit dem Personal Computer [MP99]

Jan-Markus Schwindt

Tutorium Quantenmechanik : von einem erfahrenen Tutor - für Physik- und Mathematikstudenten [Sch13]

Permalink: https://rds-ulm.ibs-bw.de/link?id=393504891

Manfred Böhm

Lie-Gruppen und Lie-Algebren in der Physik : eine Einführung in die mathematischen Grundlagen [Böh11]

Permalink: https://rds-ulm.ibs-bw.de/link?id=34625891X

John Stillwell

Naive Lie theory [Sti10b]

Jürgen Brandes; Jan Czerniawski

Spezielle und allgemeine Relativitätstheorie für Physiker und Philosophen : Einstein- und Lorentz-Interpretation, Paradoxien, Raum und Zeit, Experimente [BC10]

Permalink: https://rds-ulm.ibs-bw.de/link?id=334001927

Klaus Stierstadt. Unter Mitw. von Günther Fischer

Atommüll - wohin damit? [Sti10a]

Permalink: https://rds-ulm.ibs-bw.de/link?id=333126351

Jakob Schwichtenberg

Physics from Symmetry [Sch15]

IAEA-Website

Datenbank mit Hinweisen auf das gesamte veröffentlichte Wissen über Kerne und ihre Eigenschaften.

https://www-nds.iaea.org/

IAEA-Interaktive Nukleidkarte

Interaktive Nukleidkarte.

https://www-nds.iaea.org/relnsd/vcharthtml/VChartHTML.html

B.  Begriffe

Symbol

Name

Einheit

Bemerkungen

Mittelung über f

-

α

atomare Polarisierbarkeit

C2Nm- = Cm2- V = Fm² = Asm2- V

α

Winkel (z.B. zwischen Geschwindigkeit und der Oberflächennormalen der Referenzfläche

1

a

Abstand einer Ladung zur Oberfläche, Radius

m

a

Dicke eines Dielektrikums

m

a

Länge einer Leiterschlaufe in einem Motor

m

da

Oberflächenelement in Integralen

m²

Beschleunigung

ms2 = Nkg-

A

Fläche

m²

A

Fläche des Plattenkondensators

m²

Vektorpotential

Tm = NA- = mAksg2- = Vms

β

reduzierte Geschwindigkeit

1

β = v c

b

Breite eines Dielektrikums

m

b

Breite einer Leiterschlaufe in einem Motor

m

h

Breite des Leiters in einer Hall-Anordnung

m

magnetische Induktion

T = -N- Am = kg- As2 = Vs- m2

c

Lichtgeschwindigkeit im Vakuum

C

Kapazität

F = CV- = AVs = J2- V = C2- J

C

Curie-Konstante

AK- Tm = 2 ANK- = AVms-K

cij

Kapazität zwischen den Körpern i und j

F

δ(t)

Delta-Funktion für die Zeit

δ(x)

Delta-Funktion für den Ort

δx

Längenelement

m

andere Schreibweise zu dx

Δ

Laplace-Operator

Δf = ∂∂2fx2- + ∂∂2yf2 + ∂2f- ∂z2

da

Flächenelement

m²

d

Abstand

m

d

Abstand der Platten im Plattenkondensator

m

div 

Divergenz-Operator

div f =( ) ∂∂x |( ∂-|) ∂∂y ∂z·( ) fx |( fy|) f z = ∂f ∂xx- + ∂f -∂yy + ∂f ∂zz

Dielektrische Verschiebung

mC2- = CNm- = -N- Vm

e

Elementarladung

C

e = 1.6022 × 10⁻¹⁹C

e

Basis des natürlichen Logarithmus

1

e = 2.7182818284590

ϵ

relative Dielektrizitätszahl

1

Im Allgemeinen ist ϵ ein Tensor. (heisst auch relative Dielektrizitätskonstante)

ϵ₀

Dielektrizitätskonstante des Vakuums

-C2- Nm2 = VCm- = VJ2m-

ϵ₀ = 8.8544 × 10⁻¹²C2 Nm2-

E(r)

elektrisches Feld

NC- = Vm-

Elokal

lokales elektrisches Feld

NC- = Vm-

E₀

elektrisches Feld ohne Dielektrikum

NC- = Vm-

Verwendet bei Berechnungen mit dielektrischen Materialien

Epot

potentielle Energie

J = Nm

Et

spezifische Haftenergie

ϕ

eine der Koordinaten bei Kugelkoordinaten

1

Winkel gemessen von der x-Achse in der xy-Ebene (Längengrad)

φ

elektrostatisches Potential

J- C = V

φ

Phase

1

Φ

Fluss eines Vektorfeldes F

Nm²

In diesem Falle, Einheit hängt vom Vektorfeld ab

ΦB

magnetischer Fluss

1Wb = Tm² = Nm- A = kgm2 As2 = V s

f(x)

Funktion

-

x ist ein Platzhalter

Kraft

N

FL

Lorentzkraft

N

FM

magnetische Kraft

N

FV

Kraftdichte

FV = lim ΔV →0ΔFV- ΔV

γ

relativistischer Korrekturfaktor

1

γ = ( 2) 1 - vc2-1∕2

grad 

Gradienten-Operator

grad f =( ) ∂∂x |( -∂|) ∂y∂ ∂zf = ( ) ∂∂fx |( ∂f|) ∂∂yf ∂z

G

Leitwert

S = A- V = 1- Ω

G

Gravitationskonstante

h

Höhe der Mantelfläche

m

h

Höhe des Leiters in einer Hall-Anordnung

m

h

Plancksches Wirkungsquantum

Js

h = 6.63×10⁻³⁴Js

ℏ

reduziertes Plancksches Wirkungsquantum

Js

h ≈10⁻³⁴Js

H

Magnetfeld

Stromdichte

I

Strom

A

Ieff

effektiver Strom

A

Irms

RMS-Strom

A

Leistungsgewichteter Strom, ”Root Mean Square”-Strom

j

lineare Stromdichte

j = lim Δy→0I(Δy) Δy

k

Federkonstante

k

beliebige, auch komplexe Zahl

1

kB

Boltzmann-Konstante

K

Vorfaktor

1

λ

mittlere freie Weglänge

m

λ

Linienladungsdichte

Abstand von -q zu +q im Dipol

m

Drehimpuls

L

Länge

m

L

Selbstinduktion oder Selbstinduktivität einer Spule

H = Wb- A = Tm2 -A-- = NAm2- = kg2m22 A s = Vs- A = Ωs

μ₀

Induktionskonstante

2 NCs2- = AN2- = H- m

μ₀ = 4π·10⁻⁷NA2-

m

Masse

kg

magnetisches Moment

Am²

mz

magnetisches Moment in z-Richtung

Am²

M

Gesamtmasse aller Ionen

kg

M₁₂

Gegeninduktivität zwischen zwei Spulen

H = WAb- = Tm2- A = Nm- A2 = kgm2 A2s2 = VAs- = Ωs

MMol

Molmasse

makroskopische Magnetisierung

Drehmoment

Nm

ν

Frequenz

Hz = 1s

n

Ladungsträgerdichte

n

spezifische Windungszahl einer Spule

n = Nℓ-

Normalenvektor auf ein Flächenelement

1

N

Dichte der induzierten Dipole

N

Windungszahl einer Spule

1

NA

Avogadrozahl

NA = 6.02 × 10²³-1-- Mol

Dipolmoment

Cm

Impuls (mechanisch)

kgm- s = Ns

pind

induziertes Dipolmoment

Cm = Asm = Nm2- V

P

Leistung

W = J- s = Nms- = 2 m-s3kg

z.B. Verlustleistung am Widerstand

Polarisation

-C- m2 = -As m2 = VNm

PM

Leistung des Motors

W = Nms- = m2kg s3

q

Ladung

C = As = NmV-

Q

Ladung

C = As = Nm- V

andere Schreibweise für q

ρ

Massedichte

ρel

elektrische Ladungsdichte

-C- m3 = Pa- V

Siehe auch Gleichung (??)

ρ

spezifischer Widerstand

Ωm = V-m A = m- S

Abstand

m

Abstand, Ortsvektor

m

r₀

Referenzradius

m

rot 

Rotations-Operator

rot f =( ) ∂∂x |( ∂∂y|) -∂ ∂z×( ) fx |( fy|) fz = ( ∂fy ∂fz ) | -∂z - ∂y-| |( ∂∂fxz- ∂∂fxz-|) ∂fx- ∂fy- ∂y ∂x

R

Widerstand

Ω = V- A

R*

Wellenwiderstand

Ω = V- A

R

Radius

m

σ

Oberflächenladungsdichte

σ

Influenzladungsdichte an der Oberfläche

σ

(spezifische) Leitfähigkeit

mS = VAm- = Ω1m-

Im Allgemeinen ist die Leitfähigkeit ein Tensor

σMaxwell

Maxwellspannung (mechanische Spannung)

σMaxwell = lim ΔA→0ΔFΔA

s

Schlaufe, ein Weg

m

Spin

Js

ds

Längenelement

m

S

Bezugssystem für relativistische Rechnung

-

S′

Bezugssystem für relativistische Rechnung

-

S⁺

Bezugssystem für relativistische Rechnung

-

S⁻

Bezugssystem für relativistische Rechnung

-

Poynting-Vektor

J m2s = N ms-

Θ

eine der Koordinaten bei Kugelkoordinaten

1

Winkel gemessen von der z-Achse (Breitengrad, von Norden gemessen)

τ

Mittlere Zeit zwischen zwei Stössen, Relaxationszeit

s

τ

Abklingzeitkonstante eines RC-Gliedes

s

τ

Zeit unter Integralen

s

t

Zeit

s

Δt

kleine Zeitdifferenz

s

T

Periodendauer einer periodischen grösse

s

T

Temperatur

K

U

Spannung, auch elektrostatisches Potential

JC- = V

Ugrav

Gravitationspotential

Jkg = m22- s

UC

Spannung am Kondensator

V = Nm- As

Ueff

effektive Spannung

V

Urms

RMS-Spannung

V

Leistungsgewichtete Spannung, ”Root Mean Square”-Spannung

UEMK

elektromotorische Kraft

V = Nm- As

UHall

Hallspannung

V = Nm- As

UR

Spannung am Widerstand

V = Nm- As

vj

Geschwindigkeit des j-ten Ladungsträgers

vs

Abziehgeschwindigkeit Klebestreifen

Hilfsvektorpotential

Tm = N- A = mkg- As2 = Vs- m

dV

Volumenelement

m³

ω

Kreisfrequenz

ω = 2πν

Larmorwinkelgeschwindigkeit

wel

elektrische Energiedichte

J-- m3 = -N- m2

wB

Energiedichte des Magnetfeldes

Jm3- = mN2-

W

Arbeit

J = Nm

Wel

elektrische Arbeit

J = Nm

Wmech

mechanische Arbeit

J = Nm

WBatt

Arbeit der Batterie

J = Nm

ξ

Ersatz für x in Integralen

m

χe

dielektrische Suszeptibilität

1

Im Allgemeinen ist χe ein Tensor

Ortsvektor

m

x

Koordinate im kartesischen Koordinatensystem

m

XC

Impedanz der Kapazität oder kapazitiver Widerstand

Ω

XL

Impedanz der Spule oder induktiver Widerstand

Ω

y

Koordinate im kartesischen Koordinatensystem

m

z

Koordinate im kartesischen Koordinatensystem

m

Z

Kernladungszahl

1

C.  Mathematische Sätze

C.1  Vektoridentitäten

(Siehe Bronstein, Taschenbuch der Mathematik [BSMM08, pp. 190])

Im Folgenden sind a, b, c und f Vektoren oder vektorielle Funktionen, a, b, c und f ihre Längen, k eine Zahl und φ(r) eine skalare Funktion. Die Komponenten der Vektoren in kartesischen Koordinaten sind

Für die anderen Vektoren werden die Komponenten analog geschrieben.

C.1.1  Produkte mit Vektoren

Skalarprodukt

(C.1)

Vektorprodukt

(C.2)

Vertauschung der Reihenfolge (Kommutationsgesetze)

a·b | = b·a | (C.3)
a×b | = -b×a | (C.4)

Zwei Vektoren sind orthogonal, wenn

(C.5)

Sie sind kollinear, wenn

(C.6)

Doppeltes Vektorprodukt

(C.7)

Spatprodukt oder gemischtes Produkt

(a × b)·c | = (b × c)·a |  |
| = (c × a)·b |  |
| = -(b× a )·c |  |
| = -(c× b)·a |  |
| = -(a × c)·b |  |
| = axbycz + aybzcx + azbxcy -(a b c + a bc + a b c ) z y x xz y y x z | (C.8)

Drei Vektoren sind komplanar, wenn

(C.9)

Lagrangesche Identität

(C.10)

Vierfaches Vektorprodukt

(C.11)

C.1.2  Ableiten von Vektoren

Ableiten eines Vektors

(C.12)

Ableitung eines Produktes

(C.13)

Ableitung des Skalarproduktes

(C.14)

Ableitung des Vektorproduktes

(C.15)

Ableitung eines Vektors mit konstantem Betrag. Hier ist a·a = a² = const. Aus Gleichung (C.14) folgt

(C.16)

Taylorentwicklung einer Vektorfunktion

(C.17)

C.1.3  Vektorableitungen bei Skalarfeldern

Ableitung eines skalaren Feldes nach einer Richtung

(C.18)

Ableitung ∂φ∂(er) c in Richtung des Einheitsvektors ec in Richtung von c

(C.19)

Richtungsableitung einer skalaren Funktion im Vergleich zur Richtung mit dem stärksten Abfall (Einheitsvektor n)

(C.20)

C.1.4  Vektorableitungen bei Vektorfeldern

Ableitung eines Vektorfeldes a nach einer Richtung

(C.21)

Ableitung ∂a(r) ∂ec in Richtung des Einheitsvektors ec in Richtung von c

(C.22)

Richtungsableitung einer Vektorfunktion

∂a(r)- ∂c = | (c·grad )a | (C.23)
= | 1- 2[rot (a × c) + grad (c·a ) + c·div a |  |

Gradient eines Produktes

(C.24)

Kettenregel beim Gradienten

(C.25)

Gradient eines Skalarproduktes

(C.26)

Gradient eines Skalarproduktes eines konstanten Vektors k mit einem Ortsvektor r

(C.27)

Divergenz eines Produktes

(C.28)

Divergenz eines Skalarproduktes eines konstanten Vektors k mit einem Ortsvektor r

(C.29)

Divergenz eines Vektorproduktes

(C.30)

Rotation eines Produktes

(C.31)

Divergenz eines Vektorproduktes

(C.32)

Rotation eines Potentialfeldes

(C.33)

Divergenz einer Rotation

(C.34)

Rotation einer Rotation

(C.35)

C.2  Satz von Gauss

Der Satz von K. F. Gauss (1777-1855) verknüpft ein Volumenintegral mit einem Oberflächenintegral.

Gegeben seien

eine vektorielle Ortsfunktion v(r)

eine geschlossene Fläche S, die das Volumen V (S) umschliesst.

(C.1)

Man kann auch schreiben div v = ∇·v, wobei ∇= (∂∕∂x,∂∕∂y,∂ ∕∂z) der Nabla-Operator ist.

C.3  Satz von Green

Der Satz von G. Green (1793-1841) verknüpft ein Volumenintegral mit einem Oberflächenintegral.

Gegeben seien

eine skalare Ortsfunktion Ψ(r)

eine geschlossene Fläche S, die das Volumen V (S) umschliesst.

(C.1)

Man kann auch schreiben grad Ψ = ∇Ψ, wobei ∇= (∂∕∂x,∂∕∂y,∂ ∕∂z) der Nabla-Operator ist.

C.4  Satz von Stokes

Der Satz von G. G. Stokes (1819-1903) verknüpft ein Oberflächenintegral mit einem Linienintegral.

Gegeben seien

eine vektorielle Ortsfunktion v(r)

eine geschlossener Weg s, der die Oberfläche a(s) umrandet.

(C.1)

Man kann auch schreiben rot v = ∇×v, wobei ∇= (∂∕∂x,∂∕∂y,∂ ∕∂z) der Nabla-Operator ist.

Dabei wird jedes Flächenelement so umlaufen, dass die entsprechende Normale n der Bewegung einer Rechtsschraube entspricht.

D.  Sphärische Trigonometrie

D.1  Beziehungen zwischen trigonometrischen Funktionen

(Siehe M. Waldmeier, Leitfaden der astronomischen Orts- und Zeitbestimmung [Wal68, pp. 11])

sin(α ±β) | = sin(α)cos(β) ±cos(α)sin(β) | (D.1)
cos(α ±β) | = cos(α)cos(β) ∓sin(α)sin(β) | (D.2)
tan(α ±β) | = tan (α )± tan(β) ---------------- 1∓ tan (α )tan(β) | (D.3)
cot(α ±β) | = cot(α-)cot(β)∓-1- cot(α )± cot(β ) | (D.4)
sin(α) | = 2sin ( α ) 2-cos(α ) -2 | (D.5)
cos(α) | = cos²( ) α- 2-sin ²( ) α- 2 | (D.6)
tan(α) | = ( ) -2-tan-α2---- 1- tan2 (α) 2 | (D.7)
1 + cos(α) | = 2cos²( ) α- 2 | (D.8)
1 -cos(α) | = 2sin ²( ) α- 2 | (D.9)
sin ²(α) + cos²(α) | = 1 | (D.10)
sin(α) + sin(β) | = 2sin ( ) α-+-β- 2cos( ) α---β- 2 | (D.11)
sin(α) -sin(β) | = 2cos( ) α-+-β- 2sin ( ) α---β- 2 | (D.12)
cos(α) + cos(β) | = 2cos(α + β ) ------ 2cos(α - β ) ------ 2 | (D.13)
cos(α) -cos(β) | = 2sin ( ) α-+-β- 2sin ( ) α---β- 2 | (D.14)

D.2  Hauptsätze der sphärischen Trigonometrie

a, b und c sind die Seiten eines sphärischen Dreiecks, α, β und γ die gegenüberliegenden Winkel (siehe Abb. D.2).

_______________________________________________________________________________

Sphärisches Dreieck auf der Einheitskugel

__________________________________________________________________________

D.2.1  Sinussatz

sin(a)·sin(β) | = sin(b)·sin(α) | (D.1)
sin(b)·sin(γ) | = sin(c)·sin(β) | (D.2)
sin(c)·sin(α) | = sin(a)·sin(γ) | (D.3)

D.2.2  Cosinusseitensatz

cos(a) | = cos(b)·cos(c) + sin(b)·sin(c)·cos(α) | (D.4)
cos(b) | = cos(c)·cos(a) + sin(c)·sin(a)·cos(β) | (D.5)
cos(c) | = cos(a)·cos(b) + sin(a)·sin(b)·cos(γ) | (D.6)

D.2.3  Cosinuswinkelsatz

-cos(α) | = cos(β)·cos(γ) -sin(β)·sin(γ)·cos(a) | (D.7)
-cos(β) | = cos(γ)·cos(α) -sin(γ)·sin(α)·cos(b) | (D.8)
-cos(γ) | = cos(α)·cos(β) -sin(α)·sin(β)·cos(c) | (D.9)

D.2.4  Beziehung zwischen vier Stücken

sin(α)·cot(β) | = cot(b)·sin(c) -cos(c)·cos(α) | (D.10)
sin(β)·cot(γ) | = cot(c)·sin(a) -cos(a)·cos(β) | (D.11)
sin(γ)·cot(α) | = cot(a)·sin(b) -cos(b)·cos(γ) | (D.12)
sin(α)·cot(γ) | = cot(c)·sin(b) -cos(b)·cos(α) | (D.13)
sin(β)·cot(α) | = cot(a)·sin(c) -cos(c)·cos(β) | (D.14)
sin(γ)·cot(β) | = cot(b)·sin(a) -cos(a)·cos(γ) | (D.15)

D.2.5  Beziehung zwischen fünf Stücken

sin(a)·cos(β) | = cos(b)·sin(c) -sin(b)·cos(c)·cos(α) | (D.16)
sin(b)·cos(γ) | = cos(c)·sin(a) -sin(c)·cos(a)·cos(β) | (D.17)
sin(c)·cos(α) | = cos(a)·sin(b) -sin(a)·cos(b)·cos(γ) | (D.18)
sin(a)·cos(γ) | = cos(c)·sin(b) -sin(c)·cos(b)·cos(α) | (D.19)
sin(b)·cos(α) | = cos(a)·sin(c) -sin(a)·cos(c)·cos(β) | (D.20)
sin(c)·cos(β) | = cos(b)·sin(a) -sin(b)·cos(a)·cos(γ) | (D.21)

D.2.6  Halbwinkelsätze

s | = a+-b-+-c 2 | (D.22)
sin ( ) α- 2 | = ∘-------------------- sin(s---b)·-sin(s--c)- sin(b)· sin(c) | (D.23)
cos( ) α- 2 | = ∘----------------- sin(s)·-sin(s---a) sin(b)· sin(c) | (D.24)

D.2.7  Gausssche Gleichungen

sin ( a) 2·cos(β---γ-) 2 | = sin (b-+-c) 2·sin ( α) 2 | (D.25)
sin ( a) -- 2·sin ( β - γ) ------ 2 | = sin (b - c) ----- 2·cos( α) -- 2 | (D.26)
cos( ) a- 2·cos( ) β-+-γ- 2 | = cos( ) b+-c- 2·sin ( ) α- 2 | (D.27)
cos(a ) 2-·sin (β + γ ) --2--- | = cos( b- c) -2---·cos( α ) 2- | (D.28)
sin ( ) b- 2·cos( ) γ---α- 2 | = sin ( ) c-+-a 2·sin ( ) β- 2 | (D.29)
sin ( ) b- 2·sin ( ) γ---α- 2 | = sin ( ) c---a 2·cos( ) β- 2 | (D.30)
cos(b ) -- 2·cos(γ + α ) ------ 2 | = cos( c+ a) ----- 2·sin ( β ) -- 2 | (D.31)
cos( ) b- 2·sin ( ) γ-+-α- 2 | = cos( ) c--a- 2·cos( ) β- 2 | (D.32)
sin ( ) c- 2·cos( ) α---β- 2 | = sin ( ) a-+-b 2·sin ( ) γ- 2 | (D.33)
sin ( c) -- 2·sin ( α - β) ------ 2 | = sin (a - b) ----- 2·cos( γ ) -- 2 | (D.34)
cos( ) c- 2·cos( ) α-+-β- 2 | = cos( ) a+-b- 2·sin ( ) γ- 2 | (D.35)
cos( ) c- 2·sin ( ) α-+-β- 2 | = cos( ) a--b- 2·cos( ) γ- 2 | (D.36)

D.2.8  Nepersche Analogien

tan ( ) a-+-b 2 | = cos(1 (α- β)) ---(2--------) cos 1 (α+ β) 2tan ( ) c- 2 | (D.37)
tan ( a - b) ----- 2 | = ( ) sin 12 (α - β ) ---(1-------)- sin 2 (α + β )tan ( c) -- 2 | (D.38)
tan ( ) α-+-β- 2 | = (1 ) cos(2-(a--b))- cos 1 (a+ b) 2cot( ) γ- 2 | (D.39)
tan ( α - β) ------ 2 | = ( ) sin 12 (a - b) ---(--------) sin 12 (a + b)cot( γ) -- 2 | (D.40)
tan ( ) b+-c- 2 | = (1 ) cos-2-(β --γ-) cos(1 (β + γ )) 2tan ( ) a- 2 | (D.41)
tan ( ) b--c- 2 | = ( ) sin 1 (β - γ) ---(2-------)- sin 12 (β + γ)tan ( ) a- 2 | (D.42)
tan ( β-+-γ) 2 | = ( ) cos-12-(b--c)- (1 ) cos 2 (b+ c)cot( α) 2 | (D.43)
tan ( ) β---γ- 2 | = ( ) sin 1 (b - c) ---(2-------) sin 12 (b + c)cot( ) α- 2 | (D.44)
tan ( c+ a ) --2-- | = ( ) cos 12 (γ - α ) ---(1--------) cos 2 (γ + α )tan ( b) 2- | (D.45)
tan ( ) c--a- 2 | = (1 ) sin-(2-(γ---α))- sin 1 (γ + α) 2tan ( ) b- 2 | (D.46)
tan ( γ + α) ------ 2 | = ( ) cos 12 (c- a) ---(--------)- cos 12 (c+ a)cot( α) -- 2 | (D.47)
tan ( ) γ---α- 2 | = (1 ) sin-(2-(c---a)) sin 1 (c + a) 2cot( ) α- 2 | (D.48)

D.3  Das rechtwinklige sphärische Dreieck

Wir setzen α = 90°

D.3.1  Sinussatz

sin(b) | = sin(a)·sin(β) | (D.1)
sin(c) | = sin(a)·sin(γ) | (D.2)

D.3.2  Cosinusseitensatz

cos(a)
= cos(b)·cos(c)
(D.3)

D.3.3  Cosinuswinkelsatz

cos(a) | = cot(β)·cot(γ) | (D.4)
cos(b) | = cos(β-) sin(γ) | (D.5)
cos(c) | = cos(γ-) sin(β) | (D.6)

D.3.4  Beziehung zwischen vier Stücken

cot(β) | = cot(b)·sin(c) | (D.7)
cot(γ) | = cot(c)·sin(b) | (D.8)
tan(b) | = tan(α)·cos(γ) | (D.9)
tan(c) | = tan(a)·cos(β) | (D.10)

D.3.5  Beziehung zwischen fünf Stücken

sin(a)·cos(β) | = cos(b)·sin(c) | (D.11)
cos(a)·sin(b) | = sin(a)·cos(b)·cos(γ) | (D.12)
sin(a)·cos(γ) | = cos(c)·sin(b) | (D.13)
cos(a)·sin(c) | = sin(a)·cos(c)·cos(β) | (D.14)

D.4  Astronomisches Dreieck

_______________________________________________________________________________

Das astronomische Dreieck

__________________________________________________________________________

D.4.1  Beziehungen zwischen φ, δ, s und z, a

cos(z) | = sin(φ)·sin(δ) + cos(φ)·cos(δ)·cos(s) | (D.1)
cos(z) | = cos(φ -δ) -2cos(φ)·cos(δ)·sin ²(s) -- 2 | (D.2)
sin(z)·sin(a) | = cos(δ)·sin(s) | (D.3)
sin(z)cos(a) | = -sin(δ)·cos(φ) + cos(δ)·sin(φ)·cos(s) | (D.4)
cot(a)·sin(s) | = sin(φ)·cos(s) -cos(φ)·tan(δ) | (D.5)
cos(δ)·cos(s) | = cos(z)·cos(φ) + sin(z)·sin(φ)·cos(a) | (D.6)

D.4.2  Beziehungen zwischen φ, δ, s und z, q

sin(z)·sin(q) | = cos(φ)·sin(s) | (D.7)
sin(z)·cos(q) | = sin(φ)·cos(δ) -cos(φ)·sin(δ)·cos(s) | (D.8)

D.5  Koordinatentransformationen

D.5.1  Berechnung von z und a aus δ und s

cot(a) | = sin(φ)· cos(s) - tan(δ)· cos(φ) ------------sin(s)----------- | (D.1)
cos(z) | = sin(φ)·sin(δ) + cos(φ)·cos(δ)·cos(s) | (D.2)

D.5.2  Berechnung von δ und s aus z und a

cot(s) | = cot(z)· cos(φ) + sin(φ )· cos(a) ------------sin(a)------------ | (D.3)
sin(δ) | = cos(z)·sin(φ) -sin(z)·cos(φ)·cos(a) | (D.4)

E.  Distributionen

E.1  Binomialdistribution

Die Poissondistribution ist ein Grenzfall der Binonomialdistribution[Tay97, Kap. 10 und Kap. 11]. Diese beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass bei n Experimenten ν Erfolge (für Zerfälle: Ereignisse) geschehen, wenn p die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis ist und q = 1 -p die Wahrscheinlichkeit für kein Ereignis.

(E.1)

Der Erwartungswert von ν ist

⟨ν ⟩B | = ∑ ν=0nνB n,p(ν) = ∑ ν=0nν---n!---- ν!(n - ν)!pν(1 -p)n-ν | (E.2a)
| = ∑ ν=1nνn! --------- ν!(n - ν)!pν(1 -p)n-ν | (E.2b)
| = ∑ ν=1n--------n-(n--1)!-------- (ν - 1)!((n - 1)- (ν - 1))!p·pν-1(1 -p)(n-1)-(ν-1) | (E.2c)
| = np∑ ν=1n---------(n--1)!--------- (ν - 1)!((n- 1) - (ν - 1))!pν-1(1 -p)(n-1)-(ν-1) | (E.2d)
| = np∑ ν=0n-1----n!--- ν!(n- ν )!pν(1 -p)n-ν = np(p + (1 - p))n-1 = np | (E.2e)

Die Standardabweichung kann mit einer ähnlichen Methode berechnet werden. Sie ist

(E.3)

E.2  Poisson-Distribution

Für den Fall, dass wir sehr viele Versuche (d.h. Atome) 1 «n ≈10²⁰ und sehr wenige Erfolge (d.h. Zerfälle) haben, also ν «n und dass damit die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses klein ist 1 » p ≈ 10⁻²⁰ geht die Binomialdistribution in die Poisson-Distribution über.

Diese ist durch

(E.1)

gegeben. Deren Mittelwert bei unendlich vielen Versuchen ist

⟨ν ⟩P | = ∑ ν=0∞νP μ(ν) = ∑ ν=0nνe-μμν ν!- = ∑ ν=1nνe-μμ ν -ν! = μe-μ ∑ ν=1nμν- 1 (ν --1)! | (E.2a)
| = μe-μ ∑ ν=0nμν ν!- = μe-μeμ = μ | (E.2b)

da ∑ ν=0nν μν! = eμ die Taylorreihe der Exponentialfunktion ist.

Zur Berechnung der Standardabweichung nutzen wir die Gleichung für ddie Binomialdistribution und verwenden den Grenzfall zur Poissson-Distribution

(E.3)

Auf der anderen Seite wissen wir, dass die Binomialdistribution in die Poissondistribution übergeht, also ⟨ν⟩B = npn»1,p«1 =μ = ⟨ν⟩P . Deshalb ist

(E.4)

Eine Zusammenfassung findet sich auch in [BSMM08, Kap. 16.2.3.3].

Abbildungsverzeichnis

Tabellenverzeichnis

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Stichwortverzeichnis

Abelsche Lie-Algebra, 133
additive Gruppe, 131, 136
Annihilation, 53

Beschleunigung, 69
    relativistisch, 69

Compton-Effekt, 91

Darstellung, 133
Darstellung einer Gruppe, 132
Distanzmessung, 157

Gauss, K.F., 228
Geschwindigkeit, 70
    relativistisch, 69
Gravitationswellendetektor, 154
Green, G., 228
Gruppe, 131

Hyperfeinstruktur, 23

Impulsoperatoren, 136
Isobare, 40
Isotone, 40
Isotope, 40

Kraft, 68–72

Lie-Algebra, 131, 133
Lie-Gruppe, 131, 136
lineare Operatoren, 132

Mannigfaltigkeit, 131
Masse, 68, 70, 71
multiplikative Gruppe, 131

grad  Nabla-Operator, 228, 229
Nabla-Operator, 228, 229

Oortsche Gleichungen, 202

Parallaktische Montage, 152
Photoeffekt, 91
Poisson-Verteilung, 42

Röntgenteleskop, 154
Rayleigh-Streuung, 90

Satz von Gauss, 228
Satz von Green, 228
Satz von Stokes, 229
Seeing, 157
Selbstabbildung, 132
Sterninterferometer, 158
Stokes, G. G., 229
SU(6), 131

Very Long Baseline Interferometer, 158
Volumenanteil, 34

Wideroe-Bedingung, 79

Zeemann-Effekt, 174

1 Etwa so: ln(v²∕v₀²) = 2ln(v∕v₀) ≈ 2ln(1 + v∕v₀) ∝ v∕v₀ ∝√ ---- Ekin

1 α = Emk0icn2, m(v) m0-- = ∘1-1- v2 c2 = √11-β2 = γ = 1 + α aus 1 + α = Ekin m0c2 + m0c2 m0c2 = Ekin+E0 -m0c2-- = mc2 m0c2 = m(v) m0--, v = c√2α+α2 --1+α-- und p = m₀v(1 + α) = m₀c·√ ------- 2α+ α2

1 genauer: Ekin,n = 1 21 mn-(∘ --------- ) 2Ekin,pmp - phν²