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Vorlesungsskript

PHYS2000.0 Optik
Bachelor Physik
Bachelor Wirtschaftsphysik
Lehramt Physik

Othmar Marti

Institut für Experimentelle Physik

Universität Ulm

veröffentlicht unter  pict  Lizenzinformationen

DOI 10.13140/RG.2.1.3086.0325

12. Januar 2016

Inhaltsverzeichnis
1  Einleitung
2  Geometrische Optik
3  Optische Instrumente
4  Physikalische Begründung der geometrischen Optik
5  Interferenz und Beugung
6  Resonatoren und ihre Lichtmoden
  Abbildungsverzeichnis
Abbildungsverzeichnis
  Tabellenverzeichnis
Tabellenverzeichnis
Literaturverzeichnis
  Index
Index

Inhaltsverzeichnis

1  Einleitung
 1.1  Lizenzinformationen
 1.2  Literaturhinweise
2  Geometrische Optik
 2.1  Lichtgeschwindigkeit
 2.2  Licht in der geometrischen Optik
 2.3  Bilderzeugung durch Brechung
  2.3.1  Dünne Linsen
  2.3.2  Bildkonstruktion bei Linsen
  2.3.3  Dicke Linsen
  2.3.4  Mehrere Linsen
 2.4  Ebene Spiegel
 2.5  Bilderzeugung mit sphärischen Spiegel
  2.5.1  Konvexspiegel
  2.5.2  Bildkonstruktion beim Hohlspiegel
 2.6  Abbildungsfehler
3  Optische Instrumente
 3.1  Das Auge
 3.2  Die Lupe
 3.3  Die Kamera
 3.4  Das Mikroskop
 3.5  Das Teleskop oder Fernrohr
 3.6  Das Prisma: ein optisches Instrument mit Dispersion
4  Physikalische Begründung der geometrischen Optik
 4.1  Das Fresnel-Huygenssche Prinzip
 4.2  Reflexion
 4.3  Brechung
  4.3.1  Totalreflexion
 4.4  Das Fermatsche Prinzip
  4.4.1  Reflexion
  4.4.2  Brechung
  4.4.3  Das Fermatsche Prinzip und die Interferenz
 4.5  Polarisation
  4.5.1  Polarisation durch Absorption (Dichroismus)
  4.5.2  Polarisation durch Streuung
  4.5.3  Polarisation durch Reflexion
  4.5.4  Polarisation durch Doppelbrechung
  4.5.5  Beschreibung der Polarisation
  4.5.6  Beispiele zur Polarisation
 4.6  Die Fresnelschen Formeln
  4.6.1  Evaneszente Wellen
5  Interferenz und Beugung
 5.1  Phasendifferenz und Kohärenz
  5.1.1  Stehende Wellen
  5.1.2  Mach-Zehnder-Interferometer
  5.1.3  Das Michelson-Interferometer
  5.1.4  Sagnac-Interferometer
  5.1.5  Das Fabry-Perot-Interferometer
 5.2  Wellen in 2 und mehr Dimensionen
  5.2.1  Ebene Wellen
  5.2.2  Kugelwellen
 5.3  Interferenzmuster an einem Doppelspalt
 5.4  Vektoraddition von harmonischen Wellen
 5.5  Interferenzmuster bei drei und mehr äquidistanten Quellen
 5.6  Interferenz an dünnen Schichten
 5.7  Beugungsmuster an einem Einzelspalt
  5.7.1  Berechnung der Intensitätsverteilung
 5.8  Interferenz- und Beugungsmuster beim Doppelspalt
 5.9  Fraunhofersche und Fresnelsche Beugung
  5.9.1  Fresnelsche Näherung
  5.9.2  Fraunhofer-Beugung
  5.9.3  Vergleich
 5.10  Beugungsgitter und Spektrographen
  5.10.1  Blaze-Gitter
  5.10.2  Hologramme
 5.11  Beugung und Auflösung
  5.11.1  Impulsantwort und Faltungssatz
6  Resonatoren und ihre Lichtmoden
 6.1  Matrixformulierung der Lichtpropagation
  6.1.1  Stabilität
 6.2  Resonatoren mit sphärischen Spiegeln
 6.3  Gausssche Strahlen
  6.3.1  Divergenz und Strahldurchmesser
  6.3.2  Wirkung optischer Elemente auf Gausssche Strahlen
  6.3.3  Moden
  Abbildungsverzeichnis
  Tabellenverzeichnis
  Index

1  Einleitung

1.1  Lizenzinformationen

Diese Skript wird unter der Creative Commons Lizenz CC-BY-SA 4.0 veröffentlicht. Dies heisst,

Sie dürfen das Werk ganz oder in Teilen in allen denkbaren Formaten weiterverwenden, vervielfältigen und weiterverbreiten

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Eine detaillierte Erklärung finden Sie unter

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Der Aufbau dieser Vorlesung richtet sich nach dem studienbegleitenden Praktikum zur Optik. Wir beginnen deshalb mit der geometrischen Optik, ohne eine Ableitung der Gesetze aus der Wellennatur des Lichtes. Die Gesetze der geometrischen Optik werden im folgenden Kapitel aus der Wellennatur des Lichtes abgeleitet. Dies führt zu der Diskussion von Interferenz und Beugung.

Als Ergänzung zur Vorlesung möchte ich auf eine wunderbare Website zum Aufarbeiten Ihres Wissens ist Hyperphysics von R. Nave hinweisen. Ergänzend gibt es vom gleichen Autor auch Hypermath. Das Programm Winlens ist ein wunderbares Spielzeug, um auch grössere optische Aufbauten schnell und interaktiv zu berechnen. Die Firma Melles Griot hat auf ihren Webseiten ein längeres Tutorium.

1.2  Literaturhinweise

Die Vorlesung orientiert sich an den Werken von Tipler[TM04], Physik, und Gerthsen/Vogel[?], Physik. Zum Aufarbeiten des gelernten Stoffes (nicht als Einsteigerliteratur) kann auch Kneubühls[?] ”Repetitorium der Physik” empfohlen werden. Speziell für die Optik sind die Bücher von Demtröder [?], Hecht[Hec05] und Perez[Pér96]. Mathematische Probleme und Formeln sind sehr schön im Bronstein[?] zusammengefasst.

2  Geometrische Optik

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 231]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1023]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1059]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 7])

Licht besteht, je nach Experiment, das durchgeführt wird, aus Wellen oder aus Teilchen. Der Teilchencharakter ist zuerst durch Isaac Newton propagiert worden. Newton konnte damit die Brechungsgesetze erklären, musste dazu aber annehmen, dass das Licht sich im optisch dichteren Medium schneller als im Vakuum ausbreitet. Die Experimente von Thomas Young zur Wellennatur des Lichtes sowie die Theorie von Augustin Fresnel zeigten, dass alle klassischen optischen Experimente durch die Wellentheorie erklärt werden können. Insbesondere konnte die Brechung erklärt werden durch die geringere Lichtgeschwindigkeit im optisch dichteren Medium. Die Entdeckung des photoelektrischen Effektes und ihre Erklärung durch Albert Einstein führte zur quantenmechanischen Theorie des Lichtes, in der Licht sowohl Wellen- wie auch Teilchencharakter hat.

Licht ist aus der modernen Forschung nicht mehr wegzudenken, wie die folgenden Beispiele zeigen:

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Links sehen sie ein konfokales Ramanmikroskop aus dem Institut für Experimentelle Physik, rechts ein Fluoreszenz-Laserscanningmikroskop, wie es im Institut für Biophysik steht.

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Links sehen sie einen frequenzverdoppelten NdYAG-Laser aus dem Institut für Experimentelle Physik, rechts ein Kontaktwinkelmessgerät aus dem Institut für Experimentelle Physik.

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Links sehen Sie einen Prototypen des AlphaSNOM, rechts das von Herrn Maghelli gebaute Rasterkraftmikroskop, beide aus dem Institut für Experimentelle Physik

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Links sehen Sie einige Laser aus dem Optiklabor dem Institut für Experimentelle Physik, rechts ein Rasterkraftmikroskop aus dem Institut für Experimentelle Physik

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Die geometrische Optik, das Thema dieses Kapitels, befasst sich mit den Experimenten, bei denen die Wellennatur des Lichtes vernachlässigt werden kann, bei denen man also von Lichtstrahlen reden kann.

2.1  Lichtgeschwindigkeit

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 71]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1025])

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Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit mit Hilfe der Periodendauer der Umlaufzeit des Jupitermondes Io.

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Astronomische Beobachtungen waren schon immer sehr genau. Ole Rømer beobachtete 1675 dass der Eintritt des Jupitermondes Io in den Kernschatten sich abhängig von den Sternkonstellationen verschob. Die Periode der Umlaufzeit beträgt 42.5 Stunden und nimmt zu, wenn die Erde sich vom Jupiter weg bewegt und ab, wenn sie sich auf den Jupiter zu bewegt. Der maximale Zeitunterschied ist 2·150·10⁹ m∕3·10⁸ m/s = 1000 s. Zwischen zwei Eintritten in den Kernschatten ist der Zeitunterschied zum mittleren Zeitunterschied 150·10⁹ m∕(365.24 * 24 h).5 h∕3·10⁸ m/s = 2.42 s. Ole Rømer brauchte also eine Uhr, die in 24 h weniger als eine Sekunde Fehler hatte. Ole Rømer mass eine Lichtgeschwindigkeit von ungefähr 2·10⁸ m/s. Daraus kann geschlossen werden, dass seine Zeitmessung eine relative Genauigkeit von 3·10⁻⁷ hatte, besser als manche Armbanduhr heute.

Eine gewaltige Verbesserung der Genauigkeit erzielte Bradley mit seiner Beobachtung der Aberration des Lichtes. Analog zum Regen, der, wenn man steht von oben kommt und der wenn man geht schräg von vorne fällt, ändert das Licht seine Einfallsrichtung. Aus der Winkeländerung kann auf die Lichtgeschwindigkeit geschlossen werden, wenn man die Eigengeschwindigkeit kennt.

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Bradley beobachtete die Position eines Fixsterns (möglichst unendlich weit weg) zu verschiedenen Zeiten.

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In der Abbildung sind zwei extreme Positionen aufgezeichnet, da wo die Erde mit maximaler Geschwindigkeit auf den Stern sich hinbewegt und da, wo sie sich mit maximale Geschwindigkeit entfernt. Die Bahngeschwindigkeit der Erde ist etwa vErde = 3·10⁴ m/s. Alternativ könnte man die Position des Sterns auch im Abstand von 12 Stunden ausmessen. dabei müsste die Umfangsgeschwindigkeit, die in Ulm etwa vUmfang,Ulm = 327 m/s und damit etwa 100 mal kleiner ist, verwendet werden.

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Dreiecke zur Berechnung der Lichtgeschwindigkeit nach Bradley

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Zur Berechnung verwenden wir den Sinussatz:

(2.1)

Praktischerweise ergeben sich für beide Fälle, sowohl auf die Erde zu wie von der Erde weg die gleiche Gleichung. Diese Beziehung formen wir um

c | = sin(π---α---ϕ-) sinϕvErde | (2.2)
| = sin(α + ϕ) ----------- sinϕvErde |  |
| = sinα-cos-ϕ +-cosα-sin-ϕ- sinϕvErde |  |

Für kleine Winkel ϕ « π bekommen wir

(2.3)

Wie gross ist nun der zu messende Winkel ϕ? Wir betrachten einen Stern,d er etwa π∕4 über der Ekliptik (der Bahnebene der Erde) liegt. Mit vErde = 30 km/s und c = 300000 km/s und α = π∕4 erhalten wir

(2.4)

Der gemessene Winkelunterschied zwischen den Punkten A und B ist somit

(2.5)

Wenn wir nur im Zeitabstand von einem Tag messen, ist der der Winkel ΔΦ = 0, 29′′.

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Lichtgeschwindigkeitsmessung nach Armand Fizeau (1849)

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Fizeau verwendete einen Weg von 8.63 km. Bei bestimmten Geschwindigkeiten (welchen?) wurde der Weg des Lichtes blockiert, bei anderen durchgelassen. Nehmen wir an, dass das Zahnrad mit 100 Umdrehungen pro Sekunde rotiere. Das Licht wird blockiert, wenn das Zahnrad sich um einen halben Zahn weiter dreht in der Laufzeit des Lichts. Die Laufzeit ist t = 8630 m∕3·10⁸ m/s = 2.877·10⁻⁵ s. Die Umdrehungszeit des Rades ist 0.01 s. Also hat das Rad n = 0.01∕(2 × 2.877·10⁻⁵) = 174 Zähne, machbar!.

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Messung der Lichtgeschwindigkeit mit der Drehspiegelmethode

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Versuch zur Vorlesung:

Messung der Lichtgeschwindigkeit mit der Drehspiegelmethode (Versuchskarte O-030)

Eine verbesserte Methode ist die Messung der Lichtgeschwindigkeit nach Leon Foucault. Er verwendete einen Drehspiegel. Seine Genauigkeit war so gross, dass er auch den Unterschied der Lichtgeschwindigkeit in stehendem und fliessendem Wasser messen konnte.

Heute wird die Lichtgeschwindigkeit mit moderner Elektronik gemessen.

Die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum beträgt 299792458m- s. Sie ist eine Definitionsgrösse.

2.2  Licht in der geometrischen Optik

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 41]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 7])

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Versuch zur Vorlesung:

Brechung und Reflexion (Versuchskarte O-068)

In der geometrischen Optik hat das Licht die folgenden Eigenschaften:

Licht bewegt sich in homogenen Medien geradlinig aus.

Licht wird durch Lichtstrahlen dargestellt (Im Wellenbild entspricht dies ebenen Wellen).

Licht hat nur eine Farbe, das heisst es ist monochromatisch.

Wenn die Farbe von Licht keinen Einfluss auf die Ausbreitung des Lichtes hat, verwendet man auch weisses Licht.

Licht wird an Oberflächen reflektiert. Dabei gilt das Reflexionsgesetz (Siehe Abschnitt 4.2).

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Reflexionsgesetz: links die Querschnittsansicht und rechts eine dreidimensionale Skizze

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Der einfallende Strahl und der reflektierte Strahl liegen in einer Ebene, in der auch die Oberflächennormale zur reflektierenden Oberfläche liegt. Für die Winkel zwischen den Lichtstrahlen und der Oberflächennormale gilt

(2.1)

Tritt ein Lichtstrahl von einem transparenten Medium mit der Lichtgeschwindigkeit c₁ in ein zweites transparentes Medium mit der Lichtgeschwindigkeit c₂ ein, so wird er gebrochen.

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Strahlengang bei Brechung. Links ist der Strahlengang gezeigt, wenn Licht aus dem optisch dünneren Medium mit c₁ in das optisch dichtere Medium mit c₂ < c₁ eintritt. Die rechte Zeichnung zeigt den umgekehrten Verlauf der Strahlung, aus dem optisch dichteren Medium in das optisch dünnere Medium.

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Das Brechungsgesetz oder das Gesetz von Snellius lautet

(2.2)

Mit dem Brechungsindex, der definiert ist als das Verhältnis der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum c und der Lichtgeschwindigkeit im Medium i, ci

(2.3)

lautet das Brechungsgesetz

(2.4)

Mit diesen beiden Gesetzen können die Phänomene der geometrischen Optik berechnet werden.

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Versuch zur Vorlesung:

Applet Lichtbrechung (Versuchskarte -)

2.3  Bilderzeugung durch Brechung

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 238]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1068]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 41])

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Versuch zur Vorlesung:

Optische Scheibe (Versuchskarte O-046)

Winlens Software

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Brechung von Licht an einer gekrümmten Glasoberfläche

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Gleich wie mit Spiegeln können Abbildungen mit Linsen durchgeführt werden. Für kleine Winkel gilt sin Θ ≈ Θ. Wir erhalten

(2.1)

β ist der Aussenwinkel von P′CA. Also ist

(2.2)

Θ₁ ist der Aussenwinkel von PAC.

(2.3)

Nach Elimination von Θ₁ folgt

(2.4)

Für kleine Winkel (paraxiale Näherung) gilt, dass α ≈ s∕g, β = s∕r und γ = s∕b ist, wobei g die Gegenstandsweite, b die Bildweite und r der Krümmungsradius der Oberfläche ist. Eingesetzt:

(2.5)

Hier sind, im Gegensatz zum sphärischen Spiegel, die reellen Bilder hinter der Grenzfläche.

Nach dem Strahlensatz ist n₁Gegenstandsgrösse -------g------ = n₂-Bildgrösse ----b---. Der Abbildungsmassstab ist also

(2.6)

2.3.1  Dünne Linsen

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 242]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 106]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1071])

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Versuch zur Vorlesung:

Optische Scheibe (Versuchskarte O-046)

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Dünne Linse. Brechung tritt an beiden Oberflächen auf.

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Wir betrachten eine dünne Linse, das heisst, dass wir die Dicke des Glases vernachlässigen. Die Linsenoberflächen sollen die Krümmungsradien r₁ und r₂ (rechts) haben. r₁ ist der Krümungsradius einer konvexen Oberfläche , aus der Sicht des ankommenden Lichtstrahles) und damit positiv. r₂ ist der Krümmungsradius einer konkaven Grenzfläche (wieder aus der Sicht des ankommenden Lichtstrahles) und damit negativ. Die Linse mit dem Brechungsindex n ist in Luft (Brechungsindex = 1). Ein Gegenstand befindet sich im Abstand g links vor der ersten Ebene, und damit auch im Abstand g vor der Mittelebene. Die Bildweite b₁ aufgrund der ersten Oberfläche nach wird Gleichung (2.5) mit

(2.7)

Das Bild ist virtuell, da das Licht auch noch an der zweiten Grenzfläche gebrochen wird. In unserer Abbildung ist die Bildweite b₁ negativ. Diese Bildweite b₂ ist für die zweite Oberfläche die Gegenstandsweite g₂ = -b₁. Die Abbildungsgleichung dort lautet

(2.8)

Eingesetzt und addiert ergibt sich

1 -- g + 1 -- b | = n - 1 ------ r1 + 1 - n ------ r2 = (n - 1)( 1 1 ) --- -- r1 r2 |  |
1- f | = (n - 1)( ) 1- 1- r1 - r2 | (2.9)

wobei wir g = ∞ gesetzt haben. Dann ist b = f die Brennweite. Bei einer symmetrischen Linse ist r₁ = -r₂ = r und damit f = (n-21)r-.

Abbildungsgleichung

(2.10)

Strahlen, die die Linse auf der optischen Achse schneiden, werden nicht abgelenkt.

Achsenparallele Strahlen werden im Brennpunkt fokussiert

Strahlen aus dem Brennpunkt werden zu achsenparallelen Strahlen.

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Versuch zur Vorlesung:

Brennweitenbestimmung nach Bessel (Versuchskarte O-055)

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Die zwei Positionen einer Linse, bei denen eine scharfe Abbildung erreicht wird.

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Zur Berechnung verwenden wir die Abbildungsgleichung

(2.11)

mit der Nebenbedingung

(2.12)

Aus den beiden Gleichungen erhalten wir

(2.13)

Damit bekommen wir

g(ℓ - g) | = ℓf | (2.14)
g² - ℓg + ℓf | = 0 |  |

Die Lösung der quadratischen Gleichung ist:

g± | = ℓ ± √ ℓ2---4ℓf- --------------- 2 | (2.15)
| = ℓ- 2( ∘ -------) f- (1 ± 1 - 4ℓ ) |  |

Die Linse wird auf die zwei Positionen eingestellt, in denen eine scharfe Abbildung geschieht. Der Abstand dieser zwei Positionen ist:

(2.16)

Dann ist

(2.17)

Somit ist die Brennweite

(2.18)

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Wellenfronten beim Durchgang durch eine Linse

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Licht breitet sich in einem optisch dichteren Medium langsamer aus als im dünneren. Bei einer Konvexlinse treffen die achsennahen Lichtstrahlen eher auf das Glas als die achsenferneren. Diese überholen deshalb die achsennahen Lichtstrahlen. Im Wellenbild bedeutet dies, dass ebene Wellen zu konzentrisch auf einen Punkt zulaufenden Wellen werden: die Linse fokussiert.

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Zerstreuungslinse

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Bei einer Zerstreuungslinse sind die Oberflächen konkav gekrümmt. Die Krümmungsradien sind negativ. Eine Konkavlinse (Zerstreuungslinse) wirkt wie ein Konvexspiegel.

2.3.2  Bildkonstruktion bei Linsen

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 250]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 107]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1075])

Bei einer Linse gelten die folgenden Regeln zur Konstruktion der Bilder:

Achsparallele Strahlen werden in den Fokus fokussiert. Bei Konkavlinsen scheinen die aus achsparallelen Strahlen hervorgegangenen Strahlen aus dem Brennpunkt zu kommen.

Strahlen, die Die Linse auf ihrer optischen Achse treffen, werden nicht abgelenkt.

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Abbildung bei einer Konvexlinse

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Die Konstruktion der Abbildung bei einer Konvexlinse ist in der obigen Abbildung gezeigt. g ist die Gegenstandsweite, b die Bildweite und f die Brennweite. Die Vergrösserung ist:

(2.19)

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Abbildung bei einer Konkavlinse

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Die Bildkonstruktion bei einer Konkavlinse verläuft analog zu der bei einer Konvexlinse.

2.3.3  Dicke Linsen

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 363]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 100]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1077])

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Dicke Linse

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Eine dicke Linse wird wie eine dünne berechnet, mit der Ausnahme, dass alle Messungen von Distanzen von den jeweiligen Hauptebenen aus gemacht werden müssen.

2.3.4  Mehrere Linsen

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 258]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 116]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1078])

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Geometrie eines Doppellinsensystems

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Bei mehreren Linsen berechnet man aus der Brennweite f₁ und der Gegenstandsweite g₁ die Bildweite b₁. Die Lage des Bildes gibt die Gegenstandsweite g₂ der zweiten Linse. Mit der Brennweite der zweiten Linse f₂ kann das Bild b₂ berechnet werden. Zur Berechnung benötigen wir noch den Abstand der Linsen ℓ. Die Gegenstandsweite der zweiten Linse ist g₂ = ℓ - b₁.

Aus der Abbildungsgleichung erhalten wir

b₁ | = f1g1 ------- g1 - f1 | (2.20)
b₂ | = --f2g2- g2 - f2 |  |

Durch die Kombination der beiden Gleichungen erhalten wir

b₂ | = f2(ℓ - b1) ----------- ℓ - b1 - f2 | (2.21)
| = f2(ℓ - fg11-g1f1) -----f1g1------ ℓ - g1-f1 - f2 |  |
| = f2(ℓ(g1 - f1) - f1g1) ----------------------- (ℓ - f2)(g1 - f1) - f1g1 |  |

Diese Gleichung hat eine Divergenz bei (ℓ-f₂)(g₁ -f₁)-f₁g₁ = 0, das heisst bei der Gegenstandsweite

(2.22)

Beispiel

Die Linse 1 sei bei der Position x₁ = 0 cm, die Linse 2 bei der Position x₂ = 20 cm.

Die Brennweiten seien f₁ = 5 cm und f₂ = 10 cm

Der Gegenstand sei bei xg = -6 cm

Dann ist g₁ = 6 cm. Daraus folgt mit der Linsengleichung b₁ = 1∕(1∕f₁ - 1∕g₁) = 30 cm

Es ist also xb = 30 cm

Da x₂ = 20 cm ist g₂ = -10 cm

Damit erhalten wir b₂ = 1∕(1∕f₂ - 1∕g₂) = 1∕(1∕10 cm - 1∕(-10 cm)) = 5 cm

__________________________________________________________________________

Die Position des Bildes für verschiedene xg = -g₁ im obigen Beispiel

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2.4  Ebene Spiegel

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 271]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 169]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1059])

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Versuch zur Vorlesung:

Virtuelles Bild: Reflexion am ebenen Spiegel (Versuchskarte O-111)

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Ebener Spiegel

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Blickt man in einen ebenen Spiegel, so sieht man ein virtuelles Bild des Gegenstandes. Bei einem perfekten Spiegel ist das Bild nicht von einem wirklichen Gegenstand zu unterscheiden, ausser: links und rechts sind vertauscht. Eine andere Sichtweise ist auch, dass links und rechts bleiben, aber dass vorne und hinten vertauscht sind. Mehrere Spiegel erlauben Mehrfachbilder. Zwei Spiegel, die senkrecht aufeinander stehen, reflektieren das Licht in die gleiche Richtung zurück, aus der es gekommen ist.

2.5  Bilderzeugung mit sphärischen Spiegel

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 277]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 170]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1062])

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Gekrümmter Spiegel

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Bei einem gekrümmten Spiegel wird der Gegenstand P in das Bild P′ abgebildet. C ist der Krümmungsmittelpunkt des Spiegels, deshalb sind die Winkel Θ der einfallenden und reflektierten Strahlen zu dieser Linie gleich. Es gilt (Aussenwinkel)

(2.1)

und (auch Aussenwinkel)

(2.2)

Wir eliminieren Θ

(2.3)

Für kleine Winkel (paraxiale Näherung) gilt, dass α ≈ h∕g, β = s∕r ≈ h∕r und γ ≈ h∕b ist, wobei g die Gegenstandsweite, b die Bildweite, r der Krümmungsradius des Spiegels und h der Abstand der Strahlen von der optischen Achse ist. Eingesetzt:

(2.4)

Wenn der Gegenstand im unendlichen ist, g = ∞ ist b = r∕2. Wir nennen diese Weite die

Brennweite

(2.5)

Die Abbildungsgleichung, die nicht nur für sphärische Spiegel gilt, sondern auch für Linsen, ist also

(2.6)

Abbildungsgleichung eines sphärischen Spiegels

Der obige Spiegel ist ein Konkavspiegel (französisch: la cave: Keller (mit einem Kellergewölbe)). Bei einem Konvexspiegel gilt die Abbildungsgleichung auch, die Brennweite ist aber negativ.

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Sphärische Aberration

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Strahlen, die die paraxiale Näherung verletzen, werden nicht auf einen Punkt fokussiert. Sie bilden eine Kaustik, das Bild eines Punktes ist ausgedehnt. Dieser Abbildungsfehler, der allen sphärischen abbildenden Geräten eigen ist, heisst sphärische Aberration.

2.5.1  Konvexspiegel

(Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 178]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1067])

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Konvexspiegel

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Die Berechnung der Abbildungsgleichung ist analog zu der eines Konkavspiegels. Für die Winkel können die folgenden Relationen aufgeschrieben werden:

(2.7)

sowie

(2.8)

Wir eliminieren Θ und erhalten

(2.9)

Für kleine Winkel gilt wieder αs∕g ≈ h∕g, β = s∕r ≈ h∕r und γ ≈ h∕b. Eingesetzt bekommen wir

(2.10)

Vergleichen wir diese Gleichung mit der Gleichung (2.4) so sehen wir, dass formal die gleiche Abbildungsgleichung gilt, wenn wir die Bildweite und die Brennweite negativ wählen.

Wir halten fest:

Bei einem Konvexspiegel ist die Brennweite negativ (Zerstreuungsspiegel), bei einem Konkavspiegel positiv (Sammelspiegel).

2.5.2  Bildkonstruktion beim Hohlspiegel

(Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 177]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1065])

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Versuch zur Vorlesung:

Optische Scheibe (Versuchskarte O-046)

Die Bildkonstruktion bei einem Hohlspiegel verläuft nach den folgenden Regeln:

Jeder achsparallele Strahl verläuft nach der Reflexion durch den Brennpunkt (oder seine Verlängerung nach rückwärts geht durch den Brennpunkt).

Jeder Strahl durch den Brennpunkt wird zu einem achsparallelen Strahl (oder jeder Strahl, dessen Verlängerung durch den Brennpunkt ginge, wird nach der Reflexion zu einem achsparallelen Strahl).

Jeder radiale Strahl verläuft durch den Krümmungsmittelpunkt eines Spiegels und wird in sich selber zurück abgebildet.

Jeder Strahl, der auf den Scheitelpunkt des Spiegels (da wo die optische Achse auf den Spiegel trifft) gerichtet ist, wird unter dem gleichen Winkel zur optischen Achse reflektiert.

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Bildentstehung beim Konkavspiegel

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Die Abbildung zeigt, wie nach den obigen Regeln, ein Bild konstruiert wird. Dass die Strahlen sich nicht in einem Punkt kreuzen, liegt daran, dass wir keine paraxialen Strahlen haben.

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Abbildungsmassstab

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Der Abbildungsmassstab wird berechnet, indem wir den Strahl auf den Scheitel analysieren. Aus dem Strahlensatz ergibt sich

(2.11)

wobei G die Höhe des Gegenstandes und B die Höhe des Bildes ist.

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Vereinfachung der Konstruktion

_____________________________________________________________________

Für paraxiale Strahlen kann die Konstruktion vereinfacht werden, indem man die gekrümmte Fläche durch eine Tangentialebene am Scheitel des Spiegels ersetzt. Aus der Abbildung ist ersichtlich, dass die durch die sphärische Aberration ungenau gewordene Abbildung wieder genau wird. Die neu eingeführte Ebene nennt man Hauptebene.

___________________________________________________________________________

g
+
Gegenstand vor dem Spiegel (reeller Gegenstand)

-
Gegenstand hinter dem Spiegel (virtueller Gegenstand)

b
+
Bild vor dem Spiegel (reelles Bild)

-
Bild hinter dem Spiegel (virtuelles Bild)

r,f
+
Krümmungsmittelpunkt vor dem Spiegel (Konkavspiegel)

-
Krümmungsmittelpunkt hinter dem Spiegel (Konvexspiegel)

Vorzeichenkonventionen für die Abbildung

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

Abbildung bei einem konvexen Spiegel

_____________________________________________________________________

Bei einem konvexen Spiegel existiert ein virtuelles Bild hinter dem Spiegel. Die Abbildung zeigt die Bildkonstruktion.

2.6  Abbildungsfehler

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 380]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 117,130]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1081])

Es gibt die folgenden Abbildungsfehler

sphärische Aberration

Wie bei Konkavspiegeln werden nicht achsennahe parallele Strahlen nicht auf einen Punkt fokussiert. Die sphärische Aberration entsteht bei kugelförmigen Spiegeln oder bei Linsen mit kugelförmigen Oberflächen. Parabelförmige Oberflächen würden für achsenparallele Strahlen keine sphärische Aberration zeigen¹ .

__________________________________________________________________________

Sphärische Aberration

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Die von einem Punkt ausgehenden Strahlen formen eine Kaustik. Deshalb sind Fotografien, die mit kleinen Blendenöffnungen aufgenommen werden, schärfer abgebildet. Wird die Blendenöffnung zu fest geschlossen, verschmieren Beugungseffekte die Abbildung. Optimal sind Blenden zwischen 8 und 11.

chromatische Aberration

Durch die chromatische Dispersion (Siehe Abschnitt 3.6) werden verschiedene Farben unterschiedlich stark gebrochen.

__________________________________________________________________________

Chromatische Aberration

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

Intensitätsverteilung im Fokus bei chromatischer Aberration

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

Charakteristische Kurve bei chromatischer Abberation

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Blaues Licht wird stärker gebrochen als rotes, also ist die Brennweite für rotes Licht länger als für blaues. Die Abbildung zeigt oben den Strahlengang und in der Mitte die Farbzusammensetzung des Fokus. Unten ist die Verschiebung des Fokus als Funktion der Farbe angegeben. Berechnet worden sind die Darstellungen mit WinLens3D Basic.

Astigmatismus schiefer Bündel

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Astigmatismus

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Schiefe parallele Bündel von Licht werden auf einen Punkt fokussiert, dessen Abstand von der Linsenhauptebene umso grösser wird, je schiefer der Einfallswinkel ist. Deshalb sind Fotografien am Rand weniger scharf als im Zentrum.

3  Optische Instrumente

(Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1089])

3.1  Das Auge

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 304]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1089])

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Das Auge. Links oben eine Gesamtansicht eines Augenmodells. Rechts ein Schnitt durch das Auge mit der Iris links, dann der Linse und dem Glaskörper. Links unten eine Detailansicht der Linse.

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Das Auge hat eine Linse mit einer Brennweite von etwa 2.5 cm (Abstand Linse-Netzhaut). Achtung: Der Brechungsindexunterschied nach aussen (Linse zu Luft) und nach innen (Linse zu Glaskörper) ist verschieden. Deshalb ist die Brennweite der Linse ausserhalb kleiner als innerhalb des Auges. Die Krümmung der Linse kann eingestellt werden: Akkomodation.

pict
Versuch zur Vorlesung:

Augen-Modell (Versuchskarte O-132)

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Weitsichtiges Auge: Links ohne Brille, rechts mit Korrektur

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_____________________________________________________________________

Kurzsichtiges Auge: Links ohne Brille, rechts mit Korrektur

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3.2  Die Lupe

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 318]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 100,105]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1093])

pict
Versuch zur Vorlesung:

Lupe und Mikroskop (Versuchskarte O-081)

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Wirkungsweise einer Lupe

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Die Wirkungsweise einer Lupe kann nur verstanden werden, wenn wir das Auge mit berücksichtigen. Auf der linken Seite finden sie eine Skizze, wie ein Bild auf der Netzhaut des Auges entsteht. Die Brennweite des Auges sei dabei fa. Der blaue Pfeil wird entsprechend den Abbildungsgesetzen auf die Netzhaut abgebildet.

Die Lupe (rechtes Bild) wird nun so vor das Auge gehalten, dass ihr Brennpunkt auf der Linsenachse des Auges ist. Die vom roten Pfeil (innerhalb der Brennweite der Lupe) ausgehenden Strahlen werden von der Lupe so geformt, dass sie nach ihr gleich wie die Strahlen des blauen Pfeils ohne Lupe sind. Das Bild des roten Pfeils ist gleich gross wie das des blauen. Die Lupe hilft dem Auge, ein vergrössertes Bild zu sehen. Sie vergrössert den Winkel, unter dem ein Gegenstand gesehen wird.

Oft wird der Gegenstand in den Brennpunkt der Lupe gebracht. Wenn das Auge ohne Lupe einen Gegenstand der Länge G im Abstand s₀ (Nahpunkt, s₀ = 25cm) beobachtet, ist der Sehwinkel ε₀ = G- s0. Eine Lupe vergrössert den Sehwinkel eines Gegenstandes auf den Wert ε = G- f. Die Vergrösserung der Lupe ist

(3.1)

Allgemein:

(3.2)

3.3  Die Kamera

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 327]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 228]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1095])

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Schematische Skizze einer Spiegelreflexkamera

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Eine Kamera besteht aus einem Objektiv, das in einer Führung verschiebbar gelagert ist, dem Film oder der CCD und einer Beobachtungsoptik. Bei einer Spiegelreflexkamera sind die Beobachtungsoptik und der Strahlengang des Objektivs teilweise identisch. Wie weit müssen Objektive bewegt werden? Wir verwenden 1∕f = 1∕b + 1∕g und beachten, dass bei einer auf ∞ eingestellten Kamera das Objektiv gerade f vom Film entfernt ist.

Distanz
20 mm
50 mm
100 mm
200 mm
1000 mm

100 m
20.004 m m
50.025 m m
100.1 m m
200.4 m m
1010.1 m m

Verschiebung
0.004 mm
0.025 mm
0.1 mm
0.4 mm
10.1 mm

30 m
20.013 mm
50.08 mm
100.3 mm
201.3 mm
1034.4 mm

Verschiebung
0.013 m m
0.08 m m
0.3 m m
1.3 m m
34.4 m m

10 m
20.04 mm
50.25 mm
101 mm
204.1 mm
1111 mm

Verschiebung
0.04 m m
0.25 m m
1 m m
4.1 m m
111 m m

3 m
20.13 mm
50.85 mm
103.4 mm
214 mm
1500 mm

Verschiebung
0.13 m m
0.85 m m
3.4 m m
14 m m
500 m m

1 m
20.4 mm
52.6 mm
111 mm
250 mm
-

Verschiebung
0.4 m m
2.6 m m
11 m m
50 m m
-

0.3 m
21.4 mm
60 mm
150 mm
600 mm
-

Verschiebung
1.4 m m
10 m m
15 m m
400 m m
-

0.1 m
25 mm
100 mm
-
-
-

Verschiebung
5 m m
50 m m
-
-
-

0.03 m
60 mm
-
-
-
-

Verschiebung
50 m m
-
-
-
-

Fett angegeben sind die Kombinationen von Distanzen und Brennweiten, die wahrscheinlich nicht einstellbar sind, weil die Verschiebungen zu klein sind. Rot angegeben sind die Kombinationen von Distanzen und Brennweiten, die wahrscheinlich nicht einstellbar sind, weil die Verschiebungen zu gross sind.

Die Blendenzahl ist das Verhältnis der Brennweite f zum Durchmesser der d der Öffnung der Blende.

(3.1)

Bei einem Objektiv mit der Brennweite 50 mm und einer Blendenzahl von 8 ist die Öffnung also d = 6.25 mm.

3.4  Das Mikroskop

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 324]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 147]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1098])

pict
Versuch zur Vorlesung:

Lupe und Mikroskop (Versuchskarte O-081)

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Strahlengang in einem Mikroskop

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Bei einem Mikroskop ist ein Gegenstand so nahe am Brennpunkt einer Objektivlinse, dass ein stark vergrössertes Bild erzeugt wird. Dieses Bild, Zwischenbild genannt, wird in einer Ebene im Abstand t vom zweiten Brennpunkt des Okulars erzeugt. Würde man in dieser Ebene eine Kamera anbringen, könnte man ein Bild des Gegenstandes aufnehmen. Der Abbildungsmassstab ist

(3.1)

Die Strahlen gehen jedoch weiter und werden von einer zweiten Linse, dem Okular weiterverarbeitet. Das Okular ist so platziert, dass das von der ersten Linse erzeugte Bild genau auf seinem Brennpunkt erzeugt wird. Die Strahlen aus der ersten Linse, dem Objektiv, werden nun so gebrochen, dass sie parallel sind. Dies ist die gleiche Funktion, wie sie die Lupe (Siehe Abschnitt 3.2) hatte. Nur das Auge, hier nicht eingezeichnet, kann wieder ein Bild formen, das nun aber sehr stark vergrössert ist.

Die Winkelvergrösserung des Okulars (Lupe) ist

(3.2)

Damit wird die Gesamtvergrösserung

(3.3)

In vielen Lehrbüchern findet man Zeichnungen, in denen die Lichtstrahlen beim Zwischenbild ihre Richtung ändern. Dies ist in Luft nicht möglich, und Streukörper gibt es in einem Mikroskoptubus nicht. Zur Konstruktion des Bildes ist diese Vorgehensweise jedoch gestattet.

Ein Objektiv mit der Vergrösserung 60 bei einer Tubuslänge von 180 mm hat eine Brennweite f₁ = 3 mm. Ein Okular mit der Vergrösserung 20 hat die Brennweite fO = 12.5 mm.

3.5  Das Teleskop oder Fernrohr

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 332]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 158]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1099])

__________________________________________________________________________

Das Teleskop. Die angegebenen Strahlen werden zur Konstruktion des Bildes benötigt. Sie stellen jedoch nicht den Strahlengang dar!.

_____________________________________________________________________

Der Zweck eines Teleskops ist, den Sehwinkel zu vergrössern. Das Objektiv sammelt dabei möglichst viel Licht, ändert den Winkel aber nicht. Das Zwischenbild des Objektivs hat die Grösse B = f₁α. Das Okular (Lupe) erzeugt also den Winkel β = B- f2 Zusammen ergibt sich die Vergrösserung

(3.1)

Ob ein Stern gesehen werden kann, hängt allein vom Verhältnis

ab. Deshalb hätte man gerne möglichst grosse Teleskope in der Astronomie.

__________________________________________________________________________

Das Spiegelteleskop

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Da Linsen mit Durchmessern von mehr als einigen 10 cm unhandlich schwer sind und schwierig herzustellen, verwendet man für die lichtststärksten Teleskope Spiegel. Im folgenden sind einige hübsche Bilder des Hubble-Teleskops gezeigt.

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Links: Eine Hubble-Aufnahme, die den Blasen-Nebel NGC 7635 zeigt ([?]). Rechts: Der so genannte Ameisen-Nebel"Menzel 3. Die Sternengruppe erhielt ihren Namen aufgrund der Ähnlichkeit zu Kopf und Brustkorb der gemeinen Gartenameise ([?]).

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_____________________________________________________________________

Links: Zwei Galaxien tauschen Materie aus ([?]), sichtbar als dunkles Band in der Mitte. Rechts: Gigantische Gasgebilde, die einen verglühenden Stern umkreisen. ([?])

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Links: Hubble-Aufnahme vom Sternbild Aquila ([?]). Rechts: Der Schlüsselloch-Nebel ([?]), rund 8.000 Lichtjahre von der Erde entfernt, ist Teil des Carina-Nebels. Der Carina-Nebel enthält Sterne, die zu den heissesten und grössten bekannten Sternen gehören. Der Schlüsselloch-Nebel, rund 8.000 Lichtjahre von der Erde entfernt, ist Teil des Carina-Nebels. Der Carina-Nebel enthält Sterne, die zu den heissesten und grössten bekannten Sternen gehören. (NASA)

_____________________________________________________________________

3.6  Das Prisma: ein optisches Instrument mit Dispersion

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 106, 284]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 415]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1038])

pict
Versuch zur Vorlesung:

Optische Scheibe (Versuchskarte O-046)

Im allgemeinen Falle hängt die Phasengeschwindigkeit einer Welle von der Frequenz und vom Medium ab. Das heisst für Licht, dass jede Farbe eine eigene Ausbreitungsgeschwindigkeit hat.

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Links: Strahlengang durch ein Prisma. Rechts: Dispersion einiger Materialien

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pict
Versuch zur Vorlesung:

n(λ) Abhängigkeit beim Prisma (Versuchskarte O-074)

Durch die Dispersion des Lichtes, das heisst, dass die Brechzahl von der Wellenlänge abhängt, werden die verschiedenen Farben unterschiedlich gebrochen. Jedes Mal, wenn Licht durch die Grenzfläche Luft-Materie geht, werden unterschiedliche Farben unterschiedlich gebrochen. Dies bewirkt die folgenden Effekte:

die Chromatische Aberration bei Linsen (Farbsäume)

die Möglichkeit, ein Prisma als Spektralapparat zu verwenden

das Auseinanderlaufen von Signalen in Glasfasern

den Regenbogen

Um die Physik der Dispersion zu klären, müssen wir ein physikalisches Modell finden, bei dem eine Frequenzabhängigkeit auftritt. Wir erinnern uns aus der Mechanik, dass bei Oszillatoren eine Resonanz auftritt. Als Beispiel kann man ein Feder-Masse-System betrachten.

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Modell eines Oszillators

_____________________________________________________________________

In diesem Feder-Masse-Modell wird die Schwingung durch ^x(t) = x₀ cos ωt angeregt. Die Amplitude verhält sich als Funktion der Frequenz wie

(3.1)

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Resonanzkurve links als Funktion der Frequenz ω und rechts als Funktion der Wellenlänge λ. Der Ausschnitt zeigt, dass es einen Bereich der Resonanzkurve gibt, der genau so aussieht wie der Verlauf des Brechungsindexes.

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Aus diesen Kurven gewinnt man die Anregung, dass ein Feder-Masse-System als Modell für die Dispersion geeignet sein könnte.

__________________________________________________________________________

Links liegt die Elektronenwolke zentriert über dem positiv geladenen Kern. Wenn ein elektrisches Feld E eingeschaltet wird, wird die Elektronenwolke entgegengesetzt zu E verschoben.

_____________________________________________________________________

Ein fester Körper besteht aus Atomen. Diese bestehen aus Elektronen, deren Aufenthaltswahrscheinlichkeit über einen Durchmesser von 100pm ausgeschmiert ist, sowie aus einem Atomkern, der im Zentrum der Elektronenwolke liegt und einen Durchmesser von ungefähr 1fm hat. Wenn ein elektrisches Feld E angelegt wird, dann verschiebt sich die Elektronenwolke gegen den Kern um eine Distanz Δx. Diese Verschiebung soll klein gegen den Durchmesser der Elektronenwolke sein. Dann können wir annehmen, dass die Ladung der Elektronenwolke homogen verteilt ist. Da das Coulombgesetz für die elektrostatischen Kräfte die gleiche Form wie das Gravitationsgesetz hat, hängt die Kraft für die Testladung des Kerns linear von der Auslenkung ab, und zwar so, dass der Schwerpunkt des Kerns und der der Elektronenwolke wieder übereinander gelegt werden sollen. Wir haben also eine zur Auslenkung proportionale rücktreibende Kraft, wie bei einer Feder.

Deshalb nehmen wir an, dass das Elektron-Kern-System als Feder-Masse-System beschrieben werden kann. Da ein Elektron nicht nur Kräfte auf seinen Kern, sondern auch auf die benachbarten ausübt, müssen wir ein dreidimensionales Netz von Federn und Massen betrachten. Wir vereinfachen das System hier auf eine lineare Federkette.

__________________________________________________________________________

Federmodell für die Dispersion nach (Siehe Känzig, Mechanik und Wellenlehre [?, pp. 292]) .

_____________________________________________________________________

Wir betrachten eine longitudinale Welle auf einem Feder-Masse-System. Die Bewegungsgleichung für die n-te Masse ist

(3.2)

analog zur Gleichung für ein inneres Pendel bei gekoppelten Pendeln. Bei sehr kleinen Frequenzen schwingen alle Massen in Phase: wie bei den gekoppelten Pendeln gibt die gleichsinnige Bewegung aller Massen die tiefste Frequenz, die hier, da wir eine unendliche Anzahl Massen annehmen, null ist. Die maximale Frequenz erhält man dann, wenn jeweils zwei benach5barte Massen gegensinnig schwingen. Eine höher Schwingungsfrequenz ist nicht möglich. Die minimale Wellenlänge ist λmin = 2a und entsprechend kmax = π a. Beachte, dass kmax = 2π∕λ die Wellenzahl ist, während k die Federkonstante bedeutet.

Wir setzen Ω₀² = 4k m und erhalten

(3.3)

Wir setzen als vorläufige Lösung für λ > 2a an: ξ(x,t) = Aei(kx-ωt). Da die Schwingung nur für diskrete Positionen definiert ist, ersetzen wir x = na und erhalten als endgültigen Lösungsansatz

(3.4)

Eingesetzt in die Bewegungsgleichung erhalten wir

- ω²eikna | = Ω 0²[1 ( ik(n- 1)a ik(n+1)a) 1 ikna] 4- e + e - 2e |  |
ω² | = 1- 2Ω₀²[ ( )] 1 - 1- eika + e-ika 2 |  |
| = 1- 2Ω₀²[1 - cos(ka)] |  |
| = Ω₀² sin ²ka --- 2 | (3.5)

Die Dispersionsbeziehung für die Feder-Masse-Kette ist

(3.6)

Für lange Wellen λ » a oder ka « 2π ist sin k2a ≈k2a. Damit ist ω(k) ≈Ω₀ka.
Mit der Definition der Phasengeschwindigkeit cP = ω∕k erhalten wir

Die Gruppengeschwindigkeit cG = dω dk ist

Für Wellen mit λ = λmin = 2a ist die Phasengeschwindigkeit

und die Gruppengeschwindigkeit

Für λ < 2a wird die Welle exponentiell gedämpft.

Wir können das Gefundene auf das Problem des Brechungsindexes wie folgt zurückrechnen:

Die Phasengeschwindigkeit cP ist für die Berechnung der Ausbreitung zu nehmen.

Die Phasengeschwindigkeit ist

Der dazugehörige Brechungsindex ist

wobei c₀ die Vakuumlichtgeschwindigkeit ist.

Mit k = 2π∕λ erhalten wir

Wir verwenden die Werte für Silikat-Flintglas und passen die obige Gleichung an.

___________________________________________________________________________

λ
nist
nberechnet

400nm
1.660
1.655

450nm
1.645
1.636

500nm
1.630
1.622

550nm
1.620
1.612

600nm
1.610
1.605

650nm
1.605
1.599

700nm
1.600
1.595

Brechungsindex für Flintglas

_____________________________________________________________________

Diese Werte wurden mit den folgenden Parametern erreicht:

___________________________________________________________________________

Parameter
Wert

c₀
3·10⁸ m/s

k∕m
1.322·10¹⁵ s⁻²

oder mit k = 1N∕m: m
7.56·10⁻¹⁶ kg

a
7.24·10⁻⁸ m

Parameter für die Berechnung

_____________________________________________________________________

Die Werte für a und m sind grösser als die erwarteten Werte von a = 10⁻¹⁰ m und m = 1.6·10⁻²⁷ kg × 28 = 4.5·10⁻²⁶ kg. Der Wert für a deutet darauf hin, dass man nicht ein Atom für sich, sondern eine Gruppe von 724 Atomen betrachten muss. Die Masse in diesem Volumen wäre dann etwa m = 1.7·10⁻¹⁷ kg. Damit kann man berechnen, dass die Federkonstante k = 1.322·10¹⁵ s⁻² × 1.7·10⁻¹⁷ kg = 0.023 N/m sein muss.

__________________________________________________________________________

Dispersionsrelation für Federketten mit zwei unterschiedlichen Atomen.

_____________________________________________________________________

Wenn eine Federkette mit einer regelmässigen Anordnung zweier ungleicher Massen gebildet wird, tritt zum von den vorherigen Ausführungen bekannten akustischen Zweig ein optischer Zweig. Zusätzlich gibt es Frequenzen, für die es keinen reellen k-Vektor gibt. Diese Frequenzen (oder über E = ℏω auch diese Energien) sind keine propagierenden Wellen möglich. Gibt es neben longitudinalen auch transversale Wellen, zeigt die Dispersionsrelation nicht einen sondern drei Zweige akustischer Phononen.

Schwerewellen im tiefen Wasser haben die Dispersionsbeziehung

(3.7)

Eine Konsequenz ist, dass sehr lange Wellen sehr schnell sind (Bsp. Tsunamis)

cS = 300 m/s

Dann ist λ = 2πcS²∕g ≈ 2·3·300·300∕10 = 54000 m

Ein Puls oder eine Wellengruppe besteht aus Wellen benachbarter Frequenz. Analog zur Modulation¹ besteht ein Puls aus einer Einhüllenden sowie einer Phase, die für sich aber keine Information trägt. Eine längere Rechnung[?] ergibt, dass die resultierende Wellenfunktion aus harmonischen Welle ei(k₀x-ωt) sowie der Modulation G( ) dω|| x - dk|k0 t. Die resultierende Welle ist

(3.8)

Die Gruppengeschwindigkeit

(3.9)

Bei unserem Feder-Masse-System ist vG = 0 wenn λ = 2a ist. Das heisst, der Puls, der die Information trägt, ist ortsfest. Wenn vG nicht konstant ist, bewegen verändert sich die Form des Pulses, da die verschiedenen Frequenzanteile sich unterschiedlich schnell ausbreiten.

pict
Versuch zur Vorlesung:

Gruppen- und Phasengeschwindigkeit bei Dispersion (Versuchskarte SW-093)

Lösungsmöglichkeiten

Dispersionskompensation. Sie ist aufwendig und wird hauptsächlich bei Kurzpuls-Lasersystemen angewandt.

Betrieb des Systems bei einer Wellenlänge, bei der die Dispersion minimal, also vG möglichst konstant ist. Dies wird bei der optischen Kommunikation angewandt (Wellenlängen 1300 nm und 1500 nm).

Man setzt die Datenrate auf niedrigere Werte, verbreitert also die Pulse und minimiert so die Fehler durch die Dispersion. Bis zu einer Verringerung der übertragenen Datenrate um den Faktor 2 kann der Geschwindigkeitsverlust meist durch die Anwendung von Kompressionsalgorithmen minimiert werden.

4  Physikalische Begründung der geometrischen Optik

4.1  Das Fresnel-Huygenssche Prinzip

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 163, 650]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 328]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1028])

Die Beugung von Wasserwellen an einem Objekt kann mit dem Prinzip von Fresnel-Huygens erklärt werden.

Das Huygenssche Prinzip
Jeder Punkt einer bestehenden Wellenfront ist Ausgangspunkt einer neuen kugelförmigen Elementarwelle, die die gleiche Ausbreitungsgeschwindigkeit und Frequenz wie die ursprüngliche Welle hat. Die Einhüllende aller Elementarwellen ergibt die Wellenfront zu einem späteren Zeitpunkt.

Man nimmt eine Momentaufnahme des Wellenbildes eines bestimmten Wellenberges und nimmt jeden Punkt auf diesem Wellenberg als Ausgangspunkt einer neuen Kreiswelle (Kugelwelle in 3 Dimensionen).

__________________________________________________________________________

Huygenssches Prinzip. Links die Interferenz von 5 Kreiswellen auf einer horizontalen Linie, die 4 mal so lang ist wie die Bildkante. Rechts das gleiche mit 9 Kreiswellen.

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

Huygenssches Prinzip. Links die Interferenz von 17 Kreiswellen auf einer horizontalen Linie, die 4 mal so lang ist wie die Bildkante. Rechts das gleiche mit 33 Kreiswellen.

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_____________________________________________________________________

Huygenssches Prinzip. Links die Interferenz von 65 Kreiswellen auf einer horizontalen Linie, die 4 mal so lang ist wie die Bildkante. Rechts das gleiche mit 129 Kreiswellen.

_____________________________________________________________________

Die Beugung an einem Spalt kann so verstanden werden, dass nicht mehr Kreiswellen aus einem grossen Bereich, sondern nur noch Kreiswellen aus dem Spalt zum neuen Wellenbild beitragen.

__________________________________________________________________________

Huygenssches Prinzip. Interferenzmuster an einem Spalt. Links die Interferenz von 5 Kreiswellen auf einer horizontalen Linie im Spalt. Rechts das gleiche mit 9 Kreiswellen.

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

Huygenssches Prinzip. Interferenzmuster an einem Spalt. Links das Interferenzmuster bei einer Spaltbreite von 1 Wellenlänge, rechts von 3 Wellenlängen.

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

Huygenssches Prinzip. Interferenzmuster an einem Gitter. Die im Bild sichtbare Drehung rührt daher, dass nur eine endliche Anzahl von Gitterschlitzen berücksichtigt wurde.

_____________________________________________________________________

4.2  Reflexion

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 153]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 20]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1030])

pict
Versuch zur Vorlesung:

Optische Scheibe (Versuchskarte O-046)

_______________________________________________

Geometrie der Reflexion

_____________________________________________________________________

Wir betrachten eine Welle, die sich mit dem Wellenvektor k sich auf die Grenzfläche Luft-Glas hin bewegt. Eingezeichnet ist rot der Wellenberg, der durch B′ zur Zeit t geht. Dieser Wellenberg berührt die Grenzfläche in B. An beiden orten wird eine Huygenssche Elementarwelle (Siehe Abschnitt 4.1) ausgelöst. nach der Zeit Δt hat der Wellenberg, der zur Zeit t durch B′ ging, A erreicht. Nach dem Huygensschen Prinzip (Siehe Abschnitt 4.1) hat auch die in B′ startende Elementarwelle A erreicht. Die Elementarwelle aus B ist nun bei A′. Da wir keine Annahme über Zeiten und Abstände gemacht haben, muss diese Elementarwelle Teil eines konstruktiv überlagernden Systems von Elementarwellen sein, die eine zweite ebene Welle mit dem Wellenvektor k′ erzeugen. Da die Ausbreitungsgeschwindigkeit für die beiden Elementarwellen gleich ist, da die Verbindungsstrecken B′A und BA′ gleich lang sind und beide Teile eines rechtwinkligen Dreiecks sind, müssen alle Winkel gleich sein. Deshalb ist der Neigungswinkel von k′ zur Senkrechten gleich dem Neigungswinkel von k zur Senkrechten. Es folgt das Reflexionsgesetz

Bei der Reflexion gilt:
Einfallswinkel=Ausfallswinkel

In einem Medium bewegt sich Licht langsamer: die Lichtwelle regt die gebundenen Elektronen zum Schwingen an. Diese erzeugen Huygenssche Elementarwellen (Siehe Abschnitt 4.1), aber mit einer Phasenverschiebung oder, in anderen Worten, einer Zeitverzögerung. Dies bedeutet, dass Licht sich langsamer ausbreitet. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Licht im Medium ist

(4.1)

wobei c die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum und n der Brechungsindex des Mediums ist¹ . Die Brechzahl n gibt an, um wieviel langsamer Licht in einem Medium ist als im Vakuum. Die Intensität ist gegeben durch

(4.2)

wenn E das elektrische Feld, d.h. die Amplitude der Lichtwelle ist. ϵ₀ = 8.8542·10⁻¹²AVSm- ist die Dielektrische Feldkonstante und c = 2.9979·10⁸m- s die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum. Der Vorfaktor 1 2 kommt von der Mittelung über viele Wellen her. Gleichung (4.2) kann auch so geschrieben werden:

(4.3)

Bei senkrechtem Einfall ist die Intensität des reflektierten Lichtes (ohne Beweis)

(4.4)

Dabei sind n₁ und n₂ die Brechzahlen der beiden Medien und I₀ die einfallende Intensität. Bei n₁ = 1 (Luft) und n₂ = 1.33 (Wasser) ist I∕I₀ = 0.02. Für n₂ = 1.5 (Glas) ist I∕I₀ = 0.04 und für n₂ = 2.5 (etwa Diamant) ist I∕I₀ = 0.18. Bei n₂ = 3.5 ist I∕I₀ = 0.31!

Bei zwei Medien mit unterschiedlichen Brechzahlen heisst dasjenige das optisch dichtere Medium, dessen Brechzahl grösser ist.

4.3  Brechung

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 166]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 20]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1032])

pict
Versuch zur Vorlesung:

Optische Scheibe (Versuchskarte O-046)

Da jede Huygenssche Elementarwelle eine periodische Schwingung mit einer gegebenen Frequenz ν darstellt, ändert sich die Frequenz beim Übergang von einem Medium in das zweite nicht. Da die Ausbreitungsgeschwindigkeit cm = c∕n kleiner ist, gilt für die Wellenlänge

(4.1)

In einem Medium mit einer Brechzahl n > 1 ist die Wellenlänge kleiner. So hat rotes Licht λ = 600 nm in Glas die Wellenlänge λm = 400 nm.

__________________________________________________________________________

Geometrie der Brechung

_____________________________________________________________________

Wir betrachten nun den Weg, den das Licht im Inneren eines Mediums zurücklegt. Wir berücksichtigen, dass die Geschwindigkeit im Medium um den Brechungsindex n kleiner ist. Aus dem rechtwinkligen Dreieck wissen wir, dass

AB sin ϕ | = AB′ |  |
AB sin ϕ′ | = BA′ | (4.2)

Weiter ist

AB′ | = cΔt- n1 |  |
BA′ | = cΔt ---- n2 | (4.3)

Also gilt

(4.4)

Wir kürzen mit cΔt und setzen ϕ = ϕ₁ und ϕ′ = ϕ₂ und erhalten das Snelliussche Brechungsgesetz.

Brechungsgesetz

(4.5)

Bei diesem Gesetz gibt es nur dann immer eine Lösung, wenn n₁ ≤ n₂ ist. Sonst gibt es den Winkel der Totalreflexion. Wenn der vom optisch dichteren Medium einfallende Lichtstrahl gegen die Grenzflächennormale den Winkel ϕtot hat und der Winkel des resultierenden Lichtstrahls gegen die Grenzflächennormale im optisch dünneren Medium π∕2 ist, hat das Brechungsgesetz gerade noch eine reelle Lösung.

(4.6)

Für Winkel, die grösser als ϕtot sind, wird Licht aus dem optisch dünneren Medium total reflektiert. Die Reflexion geschieht in einer Tiefe von etwa 100nm innerhalb des optisch dünneren Mediums.

4.3.1  Totalreflexion

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 191]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 21]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1035]) (Siehe Gerthsen, Physik [?, pp. 485])

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Versuch zur Vorlesung:

Brechung und Reflexion (Versuchskarte O-068)

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Versuch zur Vorlesung:

Wasserstrahl als Lichtleiter (Versuchskarte O-072)

_______________________________________________

Transport von Licht in einer Stufenindexfaser

_____________________________________________________________________

Wenn Licht mit einem Winkel nahe der Achse der optischen Faser in diese eingekoppelt wird, dann wird das Licht mit Totalreflexion transportiert. Nur Licht, das innerhalb des Akzeptanzwinkels den Faserkern trifft, wird weiter transportiert. Wenn die Faser gekrümmt wird, dann verlässt ein Teil des Lichtes die Faser: Krümmungen in der Faser erhöhen die Verluste.

Wenn der Faserkern den Durchmesser d hat, ist der effektive Weg vom Winkel α gegen die Achse abhängig. Die Hypothenuse ist ℓH = d∕ sin α lang, der direkte Weg wäre ℓ = d∕ tan α. Die relative Längenänderung ist

(4.7)

Die Laufzeit hängt also davon ab, wie das Licht durch eine Glasfaser läuft. Zusätzlich tritt Dispersion (Siehe Abschnitt 3.6) auf. bei allen Gläsern ist

(4.8)

Deshalb ist die Laufzeit für die verschiedenen Farben auch unterschiedlich. Da cMedium = c∕nMedium ist ist auch

(4.9)

4.4  Das Fermatsche Prinzip

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 166]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 13]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1042])

Eine alternative Art, die Ausbreitung von Licht zu beschreiben, ist das Fermatsche Prinzip.

Der Weg, den das Licht nimmt, um von einem Punkt zu einem anderen zu gelangen, ist stets so, dass die benötigte Zeit minimal ist.

Die genauere Formulierung lautet:

Der Weg, den das Licht nimmt, um von einem Punkt zu einem anderen zu gelangen, ist stets so, dass die Zeit, die das Licht benötigt, invariant gegen kleine Änderungen des Weges ist.

Mathematisch lautet das Fermatsche Prinzip: Die Zeit

(4.1)

hat für jeden realisierten Lichtweg bezüglich einer Variation des Weges einen Extremalwert. Bei zwei- oder mehrmals stetig differenzierbaren Funktionen folgt auch der strengere Satz.

Wenn man den Weg nicht kennt, kann man Testfunktionen s(r) verwenden. Diejenige, die die kürzeste Zeit ergibt, ist die wahrscheinlichste.

4.4.1  Reflexion

(Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1042])

__________________________________________________________________________

Begründung des Reflexionsgesetzes mit dem Fermatschen Prinzip

_____________________________________________________________________

Ein Beispiel für das Fermatsche Prinzip ist die Reflexion. In der obigen Zeichnung ist A′ das an der Grenzfläche gespiegelte Bild von A. In dem Dreieck A′BP ist die Summe der Seitenlängen A′P und PB grösser als die Seitenlänge A′B. Da die Konstruktion mit A′ eine Hilfskonstruktion ist und wir überall die gleiche Ausbreitungsgeschwindigkeit c haben, ist die direkte Verbindung A′B die kürzeste Strecke zwischen den beiden Punkten. Damit ist aber das Gesetz Einfallswinkel = Ausfallswinkel gezeigt.

4.4.2  Brechung

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 166]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1043])

__________________________________________________________________________

Anwendung des Fermatschen Prinzips auf die Berechnung des Brechungsgesetzes

_____________________________________________________________________

Zur Berechnung des Brechungsgesetzes nehmen wir an, dass das Licht von S (gegeben) über 0 (verschiebbar, Koordinate x) nach P (gegeben) sich ausbreitet. Die Zeit, um von S nach P ist

(4.2)

Diese Zeit soll extremal sein, das heisst

(4.3)

Nun ist

(4.4)

Nach der obigen Skizze ist

S0 | = -------- ∘ 2 2 x + h 1 | (4.5)
0P | = ∘ ------------- (a - x )2 + h2 2 |  |

Also ist

0 | = ∂tSP ----- ∂x = 1 ---- 2v11 -∘-------- x2 + h21·2x -1 ---- 2v21 ∘--------------- (a - x)2 + h22·2(a - x) | (4.6)
| = --∘--x------ v x2 + h2 1 1 ----∘-(a---x)------ v (a - x )2 + h2 2 2 |  |

Die Betrachtung der in der Skizze auftretenden Dreiecke zeigt, dass

sin α | = -∘--x------ x2 + h2 1 | (4.7)
sin β | = ----(a---x-)---- ∘ -------2----2 (a - x) + h 2 |  |

ist. Mit v₁ = c∕n₁ und v₂ = c∕n₂ erhalten wir das Brechungsgesetz nach Snellius

(4.8)

4.4.3  Das Fermatsche Prinzip und die Interferenz

(Siehe Känzig, Mechanik und Wellenlehre [?, pp. 253])

__________________________________________________________________________

Der kürzeste Weg ACB und nahe benachbarte Wege haben fast gleiche Längen. Im Gegensatz dazu sind ändert sich bei den längeren Wegen ADB und AEB die Länge schnell.

_____________________________________________________________________

Vom Punkte A soll Licht zum Punkte C gelangen. Es gibt viele mögliche Wege. nach dem Fermatschen Prinzip folgt Licht dem Weg, der sich am wenigsten in der optischen Länge² von seinen benachbarten Wegen unterscheidet. Wenn die Weglängenfunktion stetig differenzierbar ist, ist dies auch der kürzeste Weg. Wir berechnen nun die Phase einer Welle, die entlang eines beliebigen Weges sich ausbreitet, wobei w ein Parameter ist, der die möglichen Wege beschreibt.

Man nimmt an, dass alle Amplituden gleich sind und erhält

AB(t) | = ∑ alle Wege jAei(ksj-ωt) | (4.9)
| = Ae-iωt ∑ alle Wege jeiksj |  |

Die verbleibende Summation wird auf graphischem Wege in der komplexen Ebene durchgeführt. Die im Punkte B beobachtete Intensität ist das Resultat der Interferenz aller möglichen Wege.

__________________________________________________________________________

Diese Darstellung zeigt grafisch die Summenbildung zur Berechnung der Interferenz für alle möglichen Wege. Die einzelnen Amplituden werden aufsummiert. Rot ist das Resultat dargestellt.

_____________________________________________________________________

In dieser Abbildung tragen nur die Wege in der Nähe des kürzesten Weges zur konstruktiven Interferenz bei. Nur dort ist die Ableitung der Weglänge gegen den Parameter w null: Alle Summanden interferieren konstruktiv. Die Wege über D und E ändern die Länge schnell mit w. Sie bilden die beiden Spiralen auf der linken und auf der rechten Seite und tragen nichts zur Summe bei. Wir können das Fermatsche Prinzip auch so formulieren:

Die Intensität des Lichtes in B ausgehend von der Quelle A ist gegeben durch die Interferenz der Lichtstrahlen auf allen möglichen Wegen. Dabei interferieren alle Lichtstrahlen destruktiv, mit Ausnahme derjenigen, die wir bei der Lichtausbreitung beobachten.

In der Quantenelektrodynamik werden Prozesse durch das Aufsummieren aller möglichen Feynmanschen Diagramme berechnet. Nur wenige Diagramme tragen zum Resultat wesentliches bei, die anderen sind Korrekturen höherer Ordnung. Die Summe Feynmanschen Diagramme ist nichts anderes als das Fermatsche Prinzip angewandt auf die Quantenelektrodynamik.

4.5  Polarisation

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 475]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1044])

Versuch zur Vorlesung: Polarisiertes Licht: Polarisator und Analysator

Licht ist eine transversale elektromagnetische Welle. Das heisst, dass das elektrische und das magnetische Feld senkrecht zur Ausbreitungsrichtung schwingen. Die Wellengleichung für das elektrische Feld und damit auch für Licht ist durch E(x,t) = E₀(x) cos(k(x)·x- ωt) gegeben. Die Tatsache, dass wir eine Transversalwelle haben erfordert, dass E₀ der Bedingung

(4.1)

gilt.

Wenn wir nun, ohne Einschränkung der Allgemeinheit, die Ausbreitungsrichtung der Welle in die x-Richtung legen, dann sind

der Wellenvektor k = (k; 0; 0)

und die Amplitude E₀ = (0; Ey; Ez)

Diese Wahl erfüllt die Bedingung der Transversalität.

Es gibt zwei mögliche orthogonale Orientierungen von E₀ sowie die daraus folgenden Linearkombinationen. Die Richtung, in die E₀ zeigt ist die Polarisationsrichtung.

4.5.1  Polarisation durch Absorption (Dichroismus)

(Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 323]) (Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 487]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1044])

Versuch zur Vorlesung: Polarisiertes Licht: Polarisator und Analysator

__________________________________________________________________________

Polarisation durch Absorption in einem Drahtpolarisator

_____________________________________________________________________

Wenn das elektrische Feld einer Mikrowellen entlang eines Drahtes zeigt, kann dieses Feld im Draht Ladungen bewegen und so Energie abgeben. Die Intensität der Welle und damit die die Absorption hängen von der Polarisation ab.

Ebenso gibt es Moleküle mit Doppelbindungen zwischen den Kohlenstoffatomen, bei denen π-Elektronen beweglich sind, die wie Drähte wirken. Werden diese Moleküle orientiert zu einer Folie gemacht, so erhält man eine polarisierende Folie.

__________________________________________________________________________

Licht durch einen Polarisator und einen Analysator mit gekreuzten Polarisationsrichtungen. Darunter die gleiche Anordnung, aber der Analysator ist nun um π∕4 gedreht.

_____________________________________________________________________

Bei einer Anordnung von Analysator und Polarisator polarisiert der Polarisator das Licht. Der Analysator lässt nur die Projektion des E-Feldes auf seine Durchlassachse durch. Für die Amplitude gilt

(4.2)

wobei θ der Winkel zwischen den Polarisationsrichtungen von Polarisator und Analysator ist. Da die Intensität durch I = nϵ0c- 2E² ist und somit proportional zum Quadrat der Amplitude I ∝ E², gilt für die Intensität

(4.3)

(Gesetz von Malus). Wenn zwischen gekreuzten Polarisatoren und Analysatoren eine optisch aktive Substanz eingebracht wird, kann mit dieser Anordnung die Grösse der optischen Aktivität gemessen werden³ .

__________________________________________________________________________

Dichroismus in einem NaV O₄Mn-Kristall (gezüchtet von A. Lentz, fotographiert von M. Pietralla).

_____________________________________________________________________

4.5.2  Polarisation durch Streuung

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 507]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1046])

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Versuch zur Vorlesung:

Sonnenuntergang (Versuchskarte O-042)

_______________________________________________

Polarisation durch Streuung an einem Teilchen

_____________________________________________________________________

Wenn Licht von links auf ein streuendes Teilchen (z.B. ein Wassertröpfchen) fällt, dann kann nur die Komponente des E-Feldes, die auch senkrecht zur Streurichtung steht, eine Lichtwelle anregen. Die dazu senkrechte Komponente würde eine propagierende, longitudinal polarisierte Welle erzeugen. Propagierende, longitudinale Lichtwellen stehen aber im Widerspruch zu den Maxwellschen Gleichungen und treten deshalb nicht auf.

4.5.3  Polarisation durch Reflexion

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 509]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 320]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1047])

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Versuch zur Vorlesung:

Spiegelanalysator (Versuchskarte O-115)

_______________________________________________

Winkel bei der Reflexion unter dem Brewster-Winkel.

_____________________________________________________________________

Wenn Licht in ein dichteres Medium eindringt und es zur Reflexion (Siehe Abschnitt 4.2) und zur Brechung kommt gelten zwei Gesetze

Einfallswinkel = Ausfallswinkel (Impulserhaltung für die zur Grenzfläche tangentiale Komponenten des Lichtes)

Das Gesetz von Snellius n sin θP = n₂ sin θ₂

Wenn nun der Winkel zwischen dem gebrochenen Licht und dem reflektierten Licht π∕2 ist, haben wir wieder die Situation wie bei der Streuung: im reflektierten Licht kann keine Lichtwelle angeregt werden, deren Polarisationsrichtung (E!) in der durch den einfallenden und gebrochenen Lichtstrahl definierten Einfallsebene liegt. Das heisst, der reflektierte Strahl ist vollkommen polarisiert mit der Polarisationsebene senkrecht zur Einfallsebene. Der Winkel θP heisst nach seinem Entdecker Brewster-Winkel. Eine Betrachtung der Winkel in der Abbildung ergibt, dass θP + θ₂ = π∕2 ist. Damit wird der Brewster-Winkel

(4.4)

und damit

(4.5)

Für Glas (n₂ = 1.5) gegen Luft (n = 1) ist θP = arctan(1.5) = 0.3128π = 56.31⁰. Der Brewster-Winkel wird zum Beispiel beim Resonator von Gaslasern angewandt um die Polarisationsrichtung zu definieren.

4.5.4  Polarisation durch Doppelbrechung

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 492]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 322]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1048])

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Versuch zur Vorlesung:

Doppelbrechung (Versuchskarte O-005)

Viele Materialien haben isotrope optische Eigenschaften. Analog zu den elastomechanischen Eigenschaften von isotropen Materialien, die durch den Elastizitätsmodul E beschrieben werden, werden isotrope optische Materialien durch eine Brechzahl n = ε² beschrieben. Die mechanischen Eigenschaften anisotroper Materialien werden durch Tensoren beschrieben. Analog werden optische Eigenschaften anisotroper Medien durch Tensoren ε oder n beschrieben. Die Mathematik sagt, dass solche Tensoren in einem Hauptachsensystem nur Komponenten auf ihren Hauptdiagonalen haben. Für den Brechungsindex heisst dies, dass nicht einer, n sondern drei Indizes n₁, n₂ und n₃ angegeben werden müssen.

___________________________________________________________________________

Material
Anwendung

Kalkspat

Differenz-Interferenz-Kontrast-Objektive

Quarz

Flüssigkristalle
Anzeigen ...

Plexiglas unter mechanischer Spannung

Spannungsuntersuchung

usw.

Doppelbrechende Materialien

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

Wirkungsweise eines λ∕4-Plättchens oder eines λ∕2-Plättchens

_____________________________________________________________________

Bei einem λ∕4- oder einem λ∕2-Plättchen wird die Polarisationsrichtung des einfallenden Lichtes so gewählt, dass sie π∕4 zu den beiden Hauptachsen mit nschnell < nlangsam ist. Dann wird die eine Welle wie in der unten stehenden Zeichnung gezeigt, langsamer propagiert als die andere (die rote). Es entsteht eine Phasenverschiebeung, die bei λ∕4-Plättchen gerade eine viertel Wellenlänge ausmacht. Das Licht ist dann zirkular polarisiert.

__________________________________________________________________________

Wellen in einem λ∕4-Plättchen

_____________________________________________________________________

Ist der Gangunterschied λ∕2, wie in der oben stehenden Zeichnung, dann wird die Polarisationsrichtung um π∕2 gedreht.

Wir beschreiben kohärentes Licht durch die Gleichung

(4.6)

wobei E₀·k = 0 ist (Transversalität) und E₀ die Polarisationsrichtung angibt. ϕ ist die Phase, die die Anfangsbedungung am Ort 0 und zur Zeit 0 angibt.

Ohne Einschränkung der Allgemeinheit können wir k = (k; 0; 0) setzen. Dann ist E₀ = (0; Ey; Ez) die möglichen Polarisationsrichtungen. Der Vektor des elektrischen Feldes hat also nur Komponenten in die y- und die z-Richtung.

Unser dichroitisches Plättchen habe die schnelle Achse (Brechungsindex n₁) entlang y′ und die langsame Achse (Brechungsindex n₂) entlang z′ und die Dicke ℓ. Die x-Achse sollen übereinstimmen. Das gestrichene Koordinatensystem sei um den Winkel α gegen das ungestrichene verdreht. Dann ist

x′ | = x |  |
y′ | = y cos(α) - z sin(α) |  |
z′ | = y sin(α) + z cos(α) | (4.7)

Für Licht mit einer beliebigen Polarisation und einer Ausbreitung entlang der x-Achse muss das elektrische Feld auf das gestrichene Koordinatensystem projiziert werden. Am Anfang des Plättchens sei zudem die Phase ϕ = 0. Wir bekommen dann

Ey′ | = Ey cos α - Ez sin α |  |
Ez′ | = Ey sin α + Ez cos α | (4.8)

Die Feldkomponente mit der Polarisation Ey′ breitet sich mit der Geschwindigkeit c₁ = c∕n₁ aus, die Polarisation Ez′ mit der Geschwindigkeit c₂ = c∕n₂. Damit sind die Wellenlängen der Polarisation entlang y′ λ₁ = λ∕n₁ = 2knπ- 1 = 2kπ 1 und entlang z′ λ₂ = λ∕n₁ = 2π- kn2 = 2π k2. Für die k gilt dann

k₁ | = n₁k |  |
k₂ | = n₂k | (4.9)

Die Laufzeit durch ein Plättchen der Dicke ℓ ist dann t₁ = ℓ∕c₁ = ℓn₁∕c und t₂ = ℓ∕c₂ = ℓn₂∕c. Wir betrachten zu einer feststehenden Zeit (praktischerweise t = 0) das Wellenmuster. Am Ausgang des Plättchens haben wir

Ey′(ℓ,0) | = Ey′eik₁ℓ = E y′ein₁kℓ |  |
Ez′(ℓ,0) | = Ez′eik₂ℓ = E y′ein₂kℓ | (4.10)

Der Phasenunterschied der beiden Wellen ist die Differenz der Argumente der Exponentialfunktion, also ϕ(ℓ)(n₂ -n₁)kℓ Wir können also auch schreiben

Ey′(ℓ,0) | = Ey′ein₁kℓ |  |
Ez′(ℓ,0) | = Ez′ein₁kℓeiϕ(ℓ) | (4.11)

Wenn wir den gemeinsamen Faktor abspalten, dann wird die z′-Komponente gegen der y′-Komponente um ϕ(ℓ) phasenverschoben. Diese neuen Polarisationen müssen wir auf das x,y,z-Koordinatensystem mit

x | = x′ |  |
y | = y′ cos(α) + z′ sin(α) |  |
z | = -y′ sin(α) + z′ cos(α) | (4.12)

projizieren. Damit ist

( E (ℓ)) y Ez (ℓ) | = ( cosα sin α ) - sin α cos α( E ′(ℓ) ) y Ez′(ℓ) |  |
| = ( ) cosα sin α - sin α cos α( ) Ey ′ E ′eiϕ(ℓ) z |  |
| = ( ) cosα sin α - sin α cos α( ) eiϕ(ℓ)∕2 0 0 - eiϕ(ℓ)∕2( ) Ey′ Ez′ | (4.13)
| = ( cosα sin α ) - sin α cos α( eiϕ(ℓ)∕2 0 ) iϕ(ℓ)∕2 0 - e( cosα - sin α ) sin α cos α( E ) y Ez |  |

Ausmultipliziert erhält man für die Matrix

(4.14)

oder (nur für die Matrix)

(4.15)

Wir vereinfachen und erhalten die Matrix

(4.16)

und erhalten

| ( ) Ey (ℓ) Ez (ℓ) = |  |  |  |
|  | ( ) Ey Ez |  | (4.17)

Wir betrachten nun den Spezialfall, dass α = π∕4 und ϕ(ℓ) = π∕2 ist. Die obige Matrix wird dann

(4.18)

oder

(4.19)

Eine Lichtwelle, die nur in y-Richtung polarisiert ist, wird zu einer Welle, die sowohl in die y wie auch in die z-Richtung polarisiert ist, aber mit einem Phasenfaktor von π∕2. Die Wellengleichung ist dann

Ey(x,t) | = Ey cos(kx - ωt) |  |
Ez(x,t) | = Ez cos(kx - ωt - π∕2) = Ez sin(kx - π∕2) | (4.20)

Diese Art Wellen heisst zirkular polarisierte Welle. Es gibt zwei Arten, mit rechtsläufigem und linksläufigem Drehsinn. Ein dichroitisches Objekt, dass die obigen Eigenschaften hat, heisst λ∕4-Plättchen.

__________________________________________________________________________

Wellen in einem λ∕2-Plättchen

_____________________________________________________________________

Der zweite wichtige Spezialfall ist α = π∕4 und ϕ(ℓ) = π. Die obige Matrix wird dann

(4.21)

Licht mit einer Polarisationsrichtung in y-Richtung wird in Licht mit einer Polarisationsrichtung z überführt. Eine solche Anordnung heisst λ∕2-Plättchen. Zwei λ∕4-Plättchen hintereinander geschaltet haben die gleiche Wirkung. Anwendung: optisches Lesesystem in CDs.

4.5.5  Beschreibung der Polarisation

(Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 310-319])

Wir wollen in diesem Abschnitt mögliche Darstellungen des Polarisationszustandes des Lichtes beschreiben. Die Darstellung in diesm Abschnitt und den folgenden Unterabschnitten folgt Perez [Pér96].

Ohne Einschränkung der Allgemeinheit können wir annehmen, dass Licht sich entlang der x-Achse in einem kartesischen Koordinatensystem ausbreitet. Licht wird dann durch

E (x,t) = Ey (x, t) + Ez (x,t) = Ey,0ey cos (kyx - ωt - φy)+Ez,0ez cos (kzx - ωt - φz)

(4.22)

mit ky dem Wellenvektor der Welle mit einem elektrischen Feld in die y-Richtung. kz ist analog definiert. Durch eine Verschiebung der Zeitachse kanne rreicht werden, dass φy = 0 ist. Nur die Differenz der der Phasen ϕ = φy - φz = -φz ist relevant. Gleichung (4.22) lautet dann

E (x,t) = Ey (x, t) + Ez (x,t) = Ey,0ey cos(kyx - ωt) + Ez,0ez cos (kzx - ωt + ϕ)

(4.23)

Mit dem Additionstheorem cos(α +β) = cos α cos β -sin α sin β erhalten wir

E (x,t) = Ey (x, t) + Ez (x,t) = Ey,0ey [cos (kyx)cos (ωt ) + sin(kyx )sin (ωt)] + Ez,0ez [cos (kzx)cos (ωt - ϕ) + sin (kzx)sin(ωt - ϕ )]

(4.24)

Wir können die Welle aus Gleichung (4.24) an irgend einem Ort untersuchen, z.B. bei x = 0. Dann lautet Gleichung (4.24)

E (0,t) = E (0,t)+E (0,t) = E e cos(ωt)+E e cos (ωt - ϕ) y z y,0 y z,0 z

(4.25)

Gleichung (4.25) beschreibt eine Ellipse. Die folgende Abbildung 4.5.5 zeigt verschiedene Kurven als Funktion der Phasenverschiebung ϕ.

__________________________________________________________________________

Gezeigt wird die Abhängigkeit von der Phase ϕ. Die Werte sind ω = 1, Ey,0 = 0.8 und Ez,0 = 1.2.

_____________________________________________________________________

Im Laborsystem ist die Ellipse durch

Ey(t) | = Ey,0 cos (ωt) | Ez(t) | = Ez,0 cos (ωt - ϕ) | (4.26)
und
Ey (t) ------ Ey,0 | = cos (ωt) | Ez (t) ------ Ez,0 | = cos (ωt ) cos (ϕ ) + sin (ωt) sin (ϕ) | (4.27)

beschrieben, wobei ein Additionstheorem für den cos angewandt wurde. Wir setzen cos(ωt) in die zweite Gleichung ein und erhalten

Ez(t) ------ Ez,0 | = Ey(t) ------ Ey,0 cos (ϕ) + ∘ ------------- 1 - cos2(ωt ) sin (ϕ) |  |
| = E (t) -y---- Ey,0 cos (ϕ) + ┌ ---------- ││ E2 (t) ∘ 1 - --y2-- E y,0 sin (ϕ) | (4.28)
Ez(t) ------ Ez,0 -Ey (t) ------ Ey,0 cos (ϕ) | = ┌ ---------- ││ E2y(t) ∘ 1 - --2--- Ey,0 sin (ϕ) |  |
und
( ) Ez(t) Ey (t) ------- ------cos(ϕ) Ez,0 Ey,0² | = ( ) E2y(t) 1 - ---2-- E y,0 sin ²(ϕ) | (4.29)

Wird die Gleichung (4.29) neu geordnet, bekommen wir

E2 (t) --z2-- E z,0 + E2 (t) --y2--- Ey,0 cos ²(ϕ ) - 2Ez(t) ------ Ez,0Ey (t) ------ Ey,0 cos (ϕ) | = sin ²(ϕ) -E2 (t) --y2-- E y,0 sin ²(ϕ ) | (4.30)
E2 (t) --y--- E2y,0 + 2 E-z(t)- E2z,0 - 2Ez(t)- Ez,0Ey-(t)- Ey,0 cos (ϕ) | = sin ²(ϕ) | (4.31)

Nach Bronstein [?, p. 212, Kurven 2. Ordnung] kann bei einer Kurve vom Typ ax² + 2bxy + cy² = f der Typ der Kegelschnittkurve bestimmt werden, wenn die folgenden Kennzahlen berechnet werden:

Δ
= ||a b 0 || || || ||b c 0 || |0 0 - f|
δ
= | | ||a b|| ||b a||
S
= a + c
(4.32)

berechnet werden. Für Δ ⇔ 0, δ > 0 und Δ·S < 0 beschreibt die Kurve eine Ellipse. Wir haben mit den Koeffizienten aus Gleichung (4.31)

Δ | = | | || --1- -cos(ϕ)- 0 || || E2y,0 Ey,0Ez,0 || ||Ecos(Eϕ)- E12-- 0 || || y,0 z,0 z,0 2 || 0 0 - sin (ϕ) | = -sin4(ϕ) --2---2- E y,0Ez,0 |  | (4.33)
δ | = | | || --12- -cos(ϕ)-|| || Ecosy,(0ϕ) Ey,0Ez,0|| |Ey,0Ez,0- E12-- | z,0 | = 2 -sin-(ϕ-) E2y,0E2z,0 |  | (4.34)
S | = -1-- E2y,0 + -1-- E2z,0 |  |  | (4.35)

Da alle Koeffizienten reell sind, haben wie für ϕ ⇔ πn, n ∈ ℤ die Beziehungen Δ < 0 oder Δ ⇔ 0, δ > 0 und S·Δ < 0.

Ausser für ϕ ⇔ πn, n ∈ ℤ beschreibt das allgemeine elektrische Feld E(t) eine Ellipse. Das heisst, dass es möglich ist, diese Ellipse auf ihre Hauptachse zu transformieren. Eine Ellipse wird in ihrem Hauptachsensystem durch

(4.36)

beschrieben, wobei a die Länge der grossen Hauptachse und b die Länge der kleinen Hauptachse ist, also mit |b∕a|≤ 1. Das Vorzeichen von ϕ gibt den Drehsinn des elektrischen Feldes.

Für ϕ = πn, n ∈ℤ haben wir lineare Polarisation, das heisst nach (4.31)

( ) E2y(t) E2z(t) Ez (t) Ey(t) Ey(t) Ez (t) 2 --2---+ ---2--∓ 2------------= 0 = ------∓ ------ Ey,0 E z,0 Ez,0 Ey,0 Ey,0 Ez,0 Ey,0 = ⇒ Ey(t) = ± Ez,0Ez (t)

(4.37)

__________________________________________________________________________

Koordinatensysteme zur Berechnung der elliptischen Polarisation. Das Laborsystem wird mit kleinen (roten) Buchstaben bezeichnet, das Eigensystem der Ellipse mit grossen (schwarzen) Buchstaben. Die weiteren Variablen werden im Text erklärt.

_____________________________________________________________________

Im Folgenden wollen wir die Darstellung der vom elektrischen Feld abgefahrenen Ellipse in ihrem Hauptachsensystem und im Laborsystem vergleichen. Das Laborsystem wird durch die Einheitsvektoren ey und ez aufgespannt, das Hauptachsensystem durch eY und eZ. In den beiden Systemen lauten die Gleichungen für die Ellipse (siehe auch Abbildung 4.5.5)

Ey(t) | = Ey,0 cos (ωt) | EY (t) | = a cos (ωt + ϕHA ) | (4.38)
Ez(t) | = Ez,0 cos (ωt + ϕ) | EZ(t) | = b cos (ωt + ϕ + ϕ ) HA | (4.39)
ELabor(t) | = Ey(t)ey + Ez(t)ez | EHS(t) | = EY (t)eY + EZ(t)eZ | (4.40)

mit ey·ez = 0 und eY ·eZ = 0. Die Intensität, gemittelt über die Zeit ist

ILabor | = ⟨ ⟩ K |E (t)|2 Labor = Kω-- 2π∫ ₀2π∕ω(E (t)e + E (t)e ) y y z z ²dt |  |
| = K-ω- 2π∫ ₀2π∕ω( 2 2) Ey(t) + Ez (t)dt |  |
| = Kω --- 2π∫ ₀2π∕ω( 2 2 2 2 ) Ey,0cos (ωt) + E z,0cos (ωt + ϕ )dt |  |
| = K-ω- 2π( ) E2y,0 π-+ E2z,0π- ω ω = K-- 2( ) E2y,0 + E2z,0 | (4.41)

IHS | = ⟨ 2⟩ K |EHS (t)| = K-ω- 2 π∫ ₀2π∕ω(EY (t)eY + EZ (t)eZ ) ²dt |  |
| = Kω 2π-∫ ₀2π∕ω( 2 2) EY (t) + EZ (t)dt |  |
| = Kω --- 2π∫ ₀2π∕ω( ) a2cos2 (ωt ) + b2 cos2(ωt + ϕ)dt |  |
| = K-ω- 2π( ) a2π-+ b2π- ω ω = K-- 2( ) a2 + b2 | (4.42)

Dabei ist K eine (vom Einheitensystem abhängige) Konstante.

Also haben wir die Beziehung

(4.43)

Im Hauptachsensystem lautet die Ellipsengleichung

(4.44)

Diese transformieren wir jetzt in das Laborsystem mit der Drehmatrix

(4.45)

Damit haben wir die Beziehungen

( ) ( ) ( ) ( ) EY Ey cos(ψ ) sin(ψ ) Ey E = A E = - sin(ψ ) cos(ψ ) E Z z { z EY = Ey cos(ψ ) + Ez sin(ψ) =⇒ EZ = - Ey sin (ψ) + Ez cos(ψ)

(4.46)

Wir setzen nun Gleichung (4.46) in Gleichung (4.44) ein und erhalten

E2 cos2(ψ) 2E E sin(ψ) cos(ψ ) E2 sin2(ψ) --y--2-----+ ---y--z---2--------- + --z--2----- 2a 2 a a Ey-sin-(ψ-)- 2EyEz--sin(ψ-)cos(ψ)- E2z-cos2(ψ-)- + b2 - b2 + b2 = 1

(4.47)

Wir fassen ähnliche Terme in Gleichung (4.47) zusammen und können diese Gleichung so mit Gleichung (4.31) vergleichen

E2y-cos2(ψ)- a2 | + E2z-sin2(ψ-)- a2 + E2y-sin2-(ψ-)- b2 + E2z cos2(ψ) b2 |  |
| + 2EyEz sin(ψ) cos(ψ)( 1 1) -2-- -2 a b = 1 | (4.48)
E2y(t)- E2 y,0 | + E2z(t)- E2 z,0 - 2Ez-(t)- Ez,0Ey(t)- Ey,0 cos (ϕ) = sin ²(ϕ) | (4.49)

Der Vergleich der Gleichungen (4.48) und (4.49) ergibt die Beziehungen

Koeffizient von Ey²: -----1----- E2y,0sin2(ϕ) | = 2 cos(ψ-)- a2 + 2 sin--(ψ-) b2 | (4.50)
Koeffizient von Ez²: -----1----- E2z,0sin2(ϕ) | = 2 sin-(ψ-) a2 + 2 cos-(ψ-)- b2 | (4.51)
Koeffizient von EyEz: cos(ϕ) --2------------ sin (ϕ )Ey,0Ez,0 | = - cos(ψ) sin(ψ)( 1 1 ) -2-- 2- a b | (4.52)

Die Addition von Gleichungen (4.50) und (4.51) ergibt

1 E2-- y,0 + 1 E2-- z,0 | = sin ²(ϕ) ( 2 2 ) cos (ψ ) + sin (ψ )( 1 1 ) a2-+ b2 |  |
sin ²(ϕ) | = E12--+ E21- -y,01----1z,0 a2 + b2 = ( ) a2b2 E2y,0 + E2z,0 --2---2----2---2-- Ey,0E z,0 (a + b ) = a2b2 --2--2-- Ey,0Ez,0 | (4.53)

wobei Gleichung (4.43) verwendet wurde. Weiter erhalten wir aus Gleichung (4.53) mit Gleichung (4.43)

± ab | = Ey,0Ez,0 sin (ϕ) | (4.54)
±ab -2I- K | = ±ab -2----2 a + b = ±b ---ab2 1 + a2 = Ey,0Ez,0 sin (ϕ) -------2I------ K |  |
| = E E sin(ϕ ) --y,0--z,0------- E2y,0E2z,0 = Ez,0sin(ϕ) Ey,0---2--- 1 + -Ez,20 E y,0 | (4.55)

Wir definieren nun die Winkel (siehe Abbildung 4.5.5) mit Hilfe der Amplituden

tan (γ)
:= Ez,0 ---- Ey,0
tan (η)
:= ±b -- a
(4.56)

Weiter verwenden wir die Identität [?]

(4.57)

und erhalten mit der Gleichung (4.55) multipliziert mit 2

--2tan-(η)-- 1 + tan2(η) | = --2tan-(γ)-- 1 + tan2 (γ ) sin (ϕ) |  |
sin (2 η) | = sin (2γ ) sin (ϕ ) | (4.58)

Eine weitere Beziehung gewinnen wir aus Gleichung (4.52) (mit sin(2α) = 2 sin α cos α) und Gleichung (4.54)

cos(ϕ ) ---2----------- sin (ϕ)Ey,0Ez,0 | = -1 -- 2 sin (2ψ) b2 - a2 --2-2-- a b = cos(ϕ )Ey,0Ez,0 ------2-2------ a b |  |
sin (2ψ) | = 2cos-(ϕ)Ey,0Ez,0- a2 - b2 | (4.59)

Wir suchen ψ(Ey,0,Ez,0,ϕ). Dazu müssen noch a² und b² eliminiert werden. Wir haben

a² - b² | = 2I K2I- K( ) a2 - b2 = 2I --- Ka2 - b2 -2---2- a + b |  |
| = 2I --- K1 - b2 ----ab22- 1 + a2 = 2I --- K1 - tan2(η) -------2---- 1 + tan (η) |  |
| = 2I --- K( ) cos2(η) - sin2(η) = 2I --- K cos (2η) | (4.60)

Andererseits folgt aus der Definition von γ und mit sin ²α = tan ²α∕(1 + tan ²α)

Ey,0 sin (γ) | = Ez,0 cos (γ ) |  |
=⇒Ey,0 sin ²(γ ) | = E z,0 sin (γ) cos (γ ) = 1- 2Ez,0 sin (2γ) |  |
sin (2γ) | = 2Ey,0sin2(γ) ----E-------- z,0 = 2Ey,0 E---- z,0tan2(γ ) 1-+-tan2(γ-) = 2Ey,0 E---- z,0E2z,0- E2y,0 ----E2z,0 1 + E2y,0 |  |
| = 2 ----2(Ey,0Ez,0--)- Ez,0 E2y,0 + E2z,0 = 2Ey,0Ez,0 2IK- | (4.61)

Weiter ist mit den Gleichungen (4.58) und (4.61)

a² - b² | = 2I --- K cos (2η) = 2I --- K∘ -------2----- 1 - sin (2η) = I ---- 2K∘ -------2-------2---- 1 - sin (2γ)sin (ϕ ) |  |
| = 2I K--┌│ ----(----------)--------- │∘ 2Ey,0Ez,0 2 2 1 - ---2I---- sin (ϕ) K = 2∘ ---------------------- I2 2 2 2 K2- - E y,0E z,0sin (ϕ ) |  |
| = ∘ --------------------------------- ( 2 2 )2 2 2 2 E y,0 + E z,0 - 4Ey,0Ez,0sin (ϕ) | (4.62)

Damit lautet Gleichung (4.59)

(4.63)

und mit Gleichung (4.43)

cos (2ψ ) | = ∘ ------------- 1 - sin2 (2ψ ) = ┌│ ----------2-----2---2----- │∘ 1 - ---cos-(ϕ)E-y,0E-z,0--- -I22 - E2y,0E2z,0 sin2 (ϕ ) K |  |
| = ---------------------- ┌││ -I2 2 2 ∘ ----K2----Ey,0Ez,0---- IK22-- E2y,0E2z,0sin2(ϕ) = ┌│ -----(-----------)---------------- ││ 1 E2 + E2 2 - E2 E2 │∘ --(-4---y,0---)-z,0------y,0-z,0---- 1 E2 + E2 2 - E2 E2 sin2(ϕ) 4 y,0 z,0 y,0 z,0 |  |
| = ┌ ----------------------------------- ││ E4 + 2E2 E2 + E4 - 4E2 E2 │∘ -(y,0------y,0)2z,0----z,0-----y,0--z,0 E2y,0 + E2z,0 - 4E2y,0E2z,0sin2 (ϕ ) |  |
| = ┌ ---------------------------------- ││ ( 2 2 )2 ││ -----------E-y,0 --Ez,0----------- ∘ ( 2 2 )2 2 2 2 Ey,0 + E z,0 - 4E y,0Ez,0sin (ϕ) |  |
| = E2 - E2 ∘-(-----------y),0-----z,0------------- E2 + E2 2 - 4E2 E2 sin2 (ϕ) y,0 z,0 y,0 z,0 | (4.64)

Aus den Gleichungen (4.63) und (4.64) bekommen wir

(4.65)

Damit sind alle Parameter in der Abbildung 4.5.5 bestimmt.

4.5.5.1 Poincaré-Kugel

(Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 316-317])

Wir haben eine Lichtwelle, die durch das elektrische Feld Ey,0 entlang der y-Achse, Ez,0 entlang der z-Achse und durch die Phase ϕ bestimmt ist. Da die y-und z-Achse orthogonal sind, kann man für die Gesamtintensität nach (4.41) auch schreiben

(4.66)

Dies ist der erste von drei Parametern nach Poincaré [?, Kapitel 12]. Als zweiten Parameter verwendet Poincaré den Winkel ψ = ∠(ey,eY ), also die Drehung der Ellipse. Der dritte Parameter ist tan(η) = ±b∕a, also das Verhältnis der Hauptachsen des vom elektrischen Felde beschriebenen Ellipsoids. Wegen |b∕a|≤ 1 ist auch |η |≤ π∕4.

__________________________________________________________________________

Darstellung des Polarisationszustandes auf der Poincaré-Kugel [?].

_____________________________________________________________________

Poincaré hat deshalb die folgenden drei Parameter definiert (siehe auch Abbildung 4.5.5.1):

Q | = I cos (2 η) cos (2ψ) | (4.67a)
U | = I cos (2 η) sin (2 ψ) | (4.67b)
V | = I sin (2η ) | (4.67c)

Die Definitionsbereiche der Winkel sind 0 ≤ ψ ≤ π (die Ellipse ist symmetrisch um die grosse Hauptachse) und -π∕4 ≤ η ≤ π∕4. Damit spannen die Gleichungen (4.67) eine Kugel auf.

Jeder Polarisationszustand zu einer Welle mit der Intensität I wird durch einen Punkt auf oder innerhalb der Kugel repräsentiert.

Weiter gilt:

(4.68)

Welche Zustände gibt es auf der Poincaré-Kugel? Dazu schreiben wir mit Gleichung (4.66) die Gleichungen für sin(2ψ) (4.63), für cos((2ψ) (4.64) sowie für sin(2η) (4.58) und cos(2η) auf die Variablen Iy, Iz und ϕ um. Wir brauchen dazu noch Gleichung (4.56) und den ersten Teil von Gleichung (4.58).

sin (2γ) | = --2tan-(η)-- 1 + tan2(η) = 2 Ez,0- ---Ey,0-- 1 + E2z,0- E2y,0 = -2Ey,0Ez,0- E2y,0 + E2y,0 = ∘ ---- 2--IyIz- Iy + Iz | (4.69a)
sin (2η) | = sin (2γ ) sin (ϕ ) = ∘ ---- 2 IyIz I-+--I-- y z sin (ϕ) | (4.69b)
cos (2η ) | = ∘ ------------- 1 - sin2 (2η) = ┌ ---------------------- ││ 4IyIz ∘ 1 - --------2 sin2 (ϕ ) (Iy + Iz) |  |
| = ∘ ---------2----------2---- --(Iy-+-Iz)---4IyIz-sin--(ϕ) Iy + Iz = ∘ --------2-----------2---- ---(Iy---Iz)-+--4IyIz cos-(ϕ) Iy + Iz | (4.69c)
sin (2ψ ) | = ∘-(-------2cos()ϕ-)Ey,0Ez,0---------- E2 + E2 2 - 4E2 E2 sin2 (ϕ) y,0 z,0 y,0 z,0 = ∘ ---- 2cos (ϕ ) IyIz ∘-------------------------- (Iy + Iz)2 - 4IyIz sin2(ϕ) |  |
| = ∘ ---- 2 cos(ϕ) I I ∘-----------------y-z------- (Iy - Iz)2 + 4IyIz cos2(ϕ) | (4.69d)
cos (2ψ ) | = 2 2 ------------E-y,0---E-z,0------------- ∘ ( )2 2 E2y,0 + E2z,0 - 4E2y,0E2z,0sin (ϕ) = ----------Iy --Iz---------- ∘ 2 2 (Iy + Iz) - 4IyIz sin (ϕ) |  |
| = ∘---------Iy---Iz----------- (Iy - Iz)2 + 4IyIz cos2(ϕ) | (4.69e)

Setzen wir (4.69) in (4.67) ein, erhalten wir

Q | = Iy - Iz | (4.70a)
U | = 2∘ ---- IyIz cos (ϕ) | (4.70b)
V | = 2---- ∘ IyIz sin (ϕ ) | (4.70c)

___________________________________________________________________________

Polarisation
Iy
Iz
ϕ
Vektor (Q,U,V )∕I

Linear in y
I
0
0
(1, 0, 0)

Linear in z
0
I
0
(-1, 0, 0)

Linear 45°
I∕2
I∕2
0
(0, 1, 0)

Linear -45°
I∕2
I∕2
π
(0,-1, 0)

Zirkular links
I
I
π∕2
(0, 0, 1)

Zirkular rechts
I
I
-π∕2
(0, 0,-1)

Ausgewählte Zustände auf der Poincaré-Kugel.

_____________________________________________________________________

4.5.5.2 Stokes-Parameter

(Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 316-317])

Die Grössen Q, U und V können durch die Messung mit verschiedenen Polarisatorstellungen bestimmt werden.

__________________________________________________________________________

Messung der Stokes-Parameter.

_____________________________________________________________________

Wie Abbildung 4.5.5.2 zeigt braucht man zur Messung der Stokes-Parameter einen einstellbaren Analysator, eine drehbahre λ∕2-Platte und einen Detektor. Sei α der Winkel der Polarisationsebene des Analysators zur y-Achse, β der Winkel der Λ∕2-Platte zur y-Achse. Wir messen nun die Intensitäten bei α = 0 und β = 0, also I0,0, bei α = π∕4 und β = 0, also Iπ∕4,0, bei α = π∕4 und β = π∕4, also Iπ∕4,π∕4, bei α = π∕2 und β = 0, also Iπ∕2,0, α = 3π∕4 oder, was äquivalent ist bei α = -π∕4 und β = 0, also I-π∕4,0 und schliesslich bei α = -π∕4 und β = π∕4, also I-π∕4,π∕4.

Wir verwenden (4.27)

Ey(t)
= Ey,0 cos (ωt)
Ez(t)
= Ez,0 cos (ωt - ϕ)
(4.71)

Ein Polarisator im Winkel α erzeugt eine Welle mit dem E-Feld

|E | (α,t) | = E(α,t) = Ey(t) cos(α) + Ez(t) sin(α) |  |
| = Ey,0 cos (ωt) cos(α) + Ez,0 cos (ωt - ϕ ) sin(α) | (4.72)
|  | (4.73)

und damit bei einer Rechnung mit komplexen Wellen

α | = 0 | β | = 0 | I0,0 | = K --- 2Ey,0² = I y | (4.74)
α | = π- 2 | β | = 0 | Iπ∕2,0 | = K-- 2Ez,0² = I z | (4.75)
α | = π- 4 | β | = 0 | Iπ∕4,0 | = K-- 4( 2 2 ) Ey,0 + E z,0 - 2Ey,0Ez,0sin (ϕ) |  |  |  |  |  |
|  |  |  |  | = Iy -- 2 -Iz -- 2 + ∘ ---- IyIz sin (ϕ) | (4.76)
α | = -π- 4 | β | = 0 | I-π∕4,0 | = K-- 4( ) E2y,0 + E2z,0 + 2Ey,0Ez,0sin (ϕ) |  |  |  |  |  |
|  |  |  |  | = Iy 2 + Iz 2 + ∘ ---- IyIz sin (ϕ) | (4.77)
α | = π -- 4 | β | = π∕4 | Iπ∕4,π∕4 | = K --- 4( 2 2 ) Ey,0 + E z,0 + 2Ey,0Ez,0cos(ϕ) |  |  |  |  |  |
|  |  |  |  | = Iy 2 + Iz 2 + ∘ ---- IyIz cos (ϕ) | (4.78)
α | = -π- 4 | β | = π∕4 | I-π∕4,π∕4 | = K-- 4( 2 2 ) Ey,0 + E z,0 - 2Ey,0Ez,0cos(ϕ) |  |  |  |  |  |
|  |  |  |  | = Iy -- 2 + Iz -- 2 -∘ ---- IyIz cos (ϕ) | (4.79)

Die Stokes-Parameter I, Q, U und V bekommen wir nun mit

I | = Iy + Iz = I0,0 + Iπ∕2,0 | (4.80)
Q | = Iy - Iz = I0,0 - Iπ∕2,0 | (4.81)
U | = 2∘---- IyIz cos (ϕ ) = Iπ∕4,π∕4 - I-π∕4,π∕4 | (4.82)
V | = 2---- ∘ IyIz sin (ϕ) = I-π∕4,0 - Iπ∕4,0 | (4.83)

Es gibt noch weitere Möglichkeiten, durch die Messung der Intensitäten bei verschiedenen Polarisationsrichtungen den Polarisationszustand zu bestimmen (siehe z. B. Hecht [Hec05] oder Born und Wolf [?])

Müller 1948 [?] schlug vor, die Stokes-Parameter als Vektoren zu schreiben, also

(4.84)

Damit werden ausgewählte Polarisationen (siehe auch Tabelle 4.5.5.1) geschrieben:

___________________________________________________________________________

Polarisation
Stokes-Vektor
Polarisation
Stokes-Vektor

Linear in y
( ) | 1| || 1|| ( 0) 0
Linear in z
( ) | 1 | || - 1|| ( 0 ) 0

Linear 45°
( 1) | | || 0|| ( 1) 0
Linear -45°
( 1 ) | | || 0 || ( - 1) 0

Zirkular links
( 1) | | || 0|| ( 0) 1
Zirkular rechts
( 1 ) | | || 0 || ( 0 ) - 1

Stokes-Vektoren für ausgewählte Polarisationszuständ.

_____________________________________________________________________

Schliesslich verwendet man noch die Definition für den

Polarisationsgrad

(4.85)

Die Polarisation von Licht und deren Modifikation durch λ∕4 und λ∕2-Platten wird häufig mit Stokes-Vektoren und Müller-Matrizen beschrieben [?, Abschnitt 9.5]

4.5.5.3 Beschreibung der Polarisation durch Jones-Vektoren und Jones-Matrizen

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 544]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 317-319])

Die Änderung der Polarisation von kohärentem Licht beim Durchgang durch Polarisatoren oder doppelbrechende Materialien kann mit Jones-Vektoren und Jones-Matrizen beschrieben werden. Jones-Vektoren und Jones-Matrizen sind eine Verallgemeinerung der obigen Rechnung. Formal läuft dies darauf hinaus, dass wir den Ausgangszustand als Vektor beschreiben und auf ihn die Operatoren der polarisationsändernden Objekte anwenden.

Aus der Darstellung im vorhergehenden Kapitel geht hervor, dass nur die y- und die z-Richtung die Polarisation beschreiben. Wir können also Zweiervektoren verwenden. Weiter soll die Phase der Welle als komplexe Zahl dargestellt werden. Schliesslich normieren wir die Länge des Vektors auf 1. Eine Welle polarisiert in die y-Richtung wird also durch den Vektor

(4.86)

dargestellt. Rechtszirkular polarisiertes Licht wird durch

(4.87)

beschrieben.

Jones-Vektoren
Beschreibung

Ay = ( ) 1 0
Linear polarisiert in y-Richtung

Az = ( ) 0 1
Linear polarisiert in z-Richtung

AR = 1√-- 2( ) 1 - i
Rechtshändig zirkular polarisiert

AL = 1 -√2( ) 1 i
Linkshändig zirkular polarisiert

Polarisationen in andere Richtungen können durch die Anwendung von Drehmatrizen berechnet werden. Die Drehung aus dem Koordinatensystem y,z nach y′,z′ wird durch

y′ | = y cos(α) - z sin(α) |  |
z′ | = y sin(α) + z cos(α) | (4.88)

beschrieben. Die Drehmatrix lautet also

(4.89)

Ein um den Winkel α zu y-Achse linear polarisierter Strahl wird durch

(4.90)

beschrieben. Ein linearer Polarisator in y-Richtung wird durch

(4.91)

beschrieben. Die Wirkung eines um den Winkel α gedrehten Polarisators kann berechnet man, indem man das Koordinatensystem um -α dreht, den Polarisator in der y-Ebene anwendet und mit α zurückdreht.

P(α) | = R(α)PyR(-α) | (4.92)
| = ( ) cos(α) - sin(α) sin(α) cos(α)( ) 1 0 0 0( ) cos(α) sin (α ) - sin (α) cos(α) |  |
| = ( ) cos(α) - sin(α) sin(α) cos(α)( ) cos(α) sin (α) 0 0 |  |
| = ( 2 ) cos (α) cos(α )sin (α) cos(α) sin(α ) sin2(α) | (4.93)

Die Jones-Matrix des linearen Polarisators in die z-Richtung lautet also

Die zirkulare Polarisation wird durch die beiden homogenen Polarisatoren PR und PL erzeugt.

PR | = 1- 2( ) 1 i - i 1 | (4.94)
PL | = 1- 2( ) 1 - i i 1 |  |

Das λ∕4 mit der schnellen Achse entlang der y-Richtung wird durch

(4.95)

Mit der Gleichung (4.17) hatten wir ein schräg stehendes λ∕4-Plättchen berechnet. Die Gleichung ist aber allgemeiner: sie beschreibt ein Verzögerungselement von ϕ gedreht um α zur y-Achse.

( PV Z(α,ϕ ) = ) cos(ϕ (ℓ)∕2) + icos 2α sin(ϕ(ℓ)∕2) isin2 αsin(ϕ(ℓ)∕2) isin 2α sin(ϕ(ℓ)∕2) cos(ϕ(ℓ)∕2) - icos2 αsin(ϕ(ℓ)∕2)

(4.96)

Das Verzögerungselement mit der schnellen Achse parallel zur y-Achse ist durch

(4.97)

gegeben. Die folgende Tabelle zeigt aus Gleichung (4.96) berechenbaren Elemente.

Jones-Matrix

Bedeutung

Pλ∕4,y = eiπ∕4( ) 1 0 0- i

λ∕4-Plättchen mit der schnellen Achse in y

Pλ∕4,z = eiπ∕4( ) - i0 0 1

λ∕4-Plättchen mit der schnellen Achse in z

Pλ∕4(α) = R(α)Pλ∕4,yR(-α)

λ∕4-Plättchen mit der schnellen Achse gedreht um α bezüglich y

Pλ∕2,y = Pλ∕4,yPλ∕4,y = ( ) i 0 0- i

λ∕2-Plättchen mit der schnellen Achse in y

Pλ∕2,z = Pλ∕4,zPλ∕4,z = ( ) - i0 0 i

λ∕2-Plättchen mit der schnellen Achse in z

Pλ∕2(α) = R(α)Pλ∕2,yR(-α)

λ∕2-Plättchen mit der schnellen Achse gedreht um α bezüglich y

Wenn ein Lichtstrahl mit der Polarisation A durch die Objekte T₁,T₂,…,Tn geht, ist die resultierende Welle

(4.98)

Mit den oben angegebenen Polarisations- und Rotationsmatrizen können die meisten Polarisationsprobleme berechnet werden.

4.5.6  Beispiele zur Polarisation

(Siehe Gerthsen, Physik [?, pp. 535])

__________________________________________________________________________

Aufspaltung eines Lichtstrahls in einem doppelbrechenden Material wie Kalkspat

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

Doppelbrechung in einem NaV O₄Mn-Kristall (gezüchtet von A. Lentz, fotographiert von M. Pietralla). Gezeigt wird, dass die drei Kristallrichtungen eines sechseckig scheinenden Kristalls nicht äquivalent sind.

_____________________________________________________________________

Viele Kristalle sind nicht isotrop. Es gib auch in diesen Kristallen Achsen, die eine höhere Symmetrie aufweisen, als die anderen Achsen. Diese Achse wird Hauptachse genannt. Alle physikalischen Eigenschaften eines Kristalls, also auch die optischen Eigenschaften, müssen die Symmetrie des Kristalls haben. Die physikalischen Eigenschaften und insbesondere die Lichtgeschwindigkeit sind in allen Ebenen senkrecht zur Hauptachse isotrop. Dabei ist die Lichtgeschwindigkeit aber von der Polarisationsrichtung des Lichtes abhängig. In Richtung der Hauptachse ist die Lichtgeschwindigkeit unabhängig von der Polarisationsrichtung c₀. Licht, das sich senkrecht zur Polarisationsrichtung ausbreitet, bewegt sich ebenfalls mit c₀, wenn der E-Vektor in Richtung der Hauptachse zeigt, die Polarisationsrichtung also senkrecht zur Hauptachse liegt. Dieses licht heisst ordentliches Licht. Licht mit der anderen Polarisationsrichtung läuft im Kalkspat schneller, und zwar mit cao = 1.116c₀. Dieses Licht heisst ausserordentliches Licht. Wenn die Einfallsrichtung dazwischen liegt, ist die Geschwindigkeit des ordentlichen Lichts immer noch c₀, die des ausserordentlichen Lichts liegt zwischen c₀ und cao.

Die Wellenflächen des ordentlichen Lichts stammend von einer punktförmigen Quelle sind also Kugelflächen, während die Wellenflächen des ausserordentlichen Lichts Rotationsellipsoide sind, deren Rotationsachse mit der Hauptachse parallel ist. Bei Kalkspat ist das Rotationsellipsoid abgeplattet, das Material heisst einachsig negativ. Bei Quarz ist das Rotationsellipsoid länglich (die ordentliche Lichtgeschwindigkeit ist grösser als die ausserordentliche.). Man nennt Quarz deshalb einachsig positiv.

Wenn Licht senkrecht auf eine Fläche fällt, die schräg zur Hauptachse liegt, müssen zwei verschiedene Konstruktionen verwendet werden:

Kugelflächen beim ordentlichen Licht

Rotationsellipsoide beim ausserordentlichen Licht. Die Rotationsachse liegt schief zur Einfallsrichtung.

Da die resultierenden Flächen Tangentenflächen sind, bleibt die Richtung des ordentlichen Lichtes senkrecht zur Oberfläche, während das ausserordentliche Licht sich schräg weiter ausbreitet. Zur Berechnung des Lichtweges müssen Tensoren verwendet werden.

__________________________________________________________________________

Das Nicolsche Prisma, kurz Nicol, ist eine Anwendung der Doppelbrechung zur Polarisation. Der spitze Winkel ist 68⁰, der abgeflachte Winkel genau 90⁰. Die optische Achse liegt senkrecht zur Längsachse in der Bildebene. Das Nicol-Prisma entsteht aus dem rechts gezeigten länglichen Kalkspatkristall, der diagonal geschnitten wird. Er wird mit einem Kitt, dessen Brechungsindex wie der Brechungsindex des ausserordentlichen Strahls ist, wieder zusammengeklebt. der ausserordentliche Strahl geht dann ohne grössere Ablenkung durch das Nicol-Prisma, während der ordentliche Strahl am Kitt totalreflektiert wird und aus dem Strahlengang verschwindet.

_____________________________________________________________________

In der Technik war die spannungsinduzierte Doppelbrechung lange das einzige Mittel, unzulässige Beanspruchungen in Bauteilen festzustellen.

pict
Versuch zur Vorlesung:

Spannungsdoppelbrechung (Versuchskarte O-008)

4.6  Die Fresnelschen Formeln

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 175]) (Siehe Gerthsen, Physik [?, pp. 539])

pict
Versuch zur Vorlesung:

Fresnelsche Formeln (Versuchskarte O-039)

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Definition der s-Polarisation und der p-Polarisation

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Die Reflexion und die Brechung von Licht wird durch die Fresnelschen Formeln bestimmt. Wir verwenden die Definitionen

Der einfallende und der reflektierte Strahl definiert die Einfallsebene. Diese ist senkrecht zur Grenzfläche der beiden Medien.

Licht, dessen Polarisationsebene senkrecht zur Einfallsebene liegt, heisst s-polarisiertes Licht.

Licht, dessen Polarisationsebene parallel zur Einfallsebene liegt, heisst p-polarisiertes Licht.

Für die Intensität des Lichtes gilt in nichtmagnetischen Medien I ∝√ - ϵE2 , wobei ϵ = n² ist.

Genauer gilt für die Intensität: I = 1 2∘ ϵϵ0-- μμ0E² = nϵ20cE² für sinusförmige Wellen mit der Amplitude E.

Im folgenden betrachten wir nur nichtmagnetische Materialien.

Wir beginnen die Rechnungen für Licht mit einer Polarisation senkrecht zur Einfallsebene (s-Polarisation).

Wenn in den beiden angrenzenden Medien die Dielektrizitätskonstanten ε und ε′ sind, dann muss der Energiestrom an der Grenzfläche kontinuierlich sein, also

(4.1)

wobei α und β die Winkel zur Oberflächennormalen sind, Ee ist die E-Feldkomponente des einfallenden Lichtes parallel zur Oberfläche, Er die des reflektierten (beachte das Vorzeichen) und Eg die des gebrochenen.

Vereinfacht kann man die Energieerhaltung schreiben als

(4.2)

Die Komponente von E parallel zur Oberfläche muss stetig sein, also ist

(4.3)

Wir beachten, dass a² -b² = (a-b)(a + b) ist und dividieren die beiden Gleichungen (4.2) und (4.3) durcheinander. Wir erhalten

(4.4)

Nach dem Brechungsgesetz ist n′∕n = sin α∕ sin β. Wir setzen dies ein und erhalten

(4.5)

Mit Ee + Er = Eg bekommen wir

Fresnelsche Formeln für die s-Polarisation

Er
= Eesin β(α) cosα - sinα cos β(α) sin-β(α)-cosα-+-sinα-cos-β(α)-

= -Eesin(α---β-(α-)) sin(α + β (α ))

Eg
= Ee2sinβ (α )cosα --------------- sin(α + β(α ))
(4.6)

Wenn α > β, wenn also das Licht aus dem optisch dünneren Medium auf das optisch dichtere Medium trifft, haben Ee und Er unterschiedliche Vorzeichen: es tritt ein Phasensprung um π bei der Reflexion auf.

Bei der Reflexion am dünneren Medium α < β wechselt sin(α - β) das Vorzeichen. Es gibt keinen Phasensprung bei der Reflexion.

Die Gesetze für die Intensität bekommt man durch quadrieren und unter Berücksichtigung der relativen Dielektrizitätszahl ε und der relativen Permeabilität μ.

Bei fast senkrechtem Einfall bekommt man Er = -Eesinα-sinβ sinα+sinβ = -Een′-n n′+n

Fresnelsche Formeln für die Intensität bei der s-Polarisation für nichtmagnetische Materialien

Ir
= Ie[sinβ (α )cos α - sin α cosβ(α )]2 ------------------------------2 [sinβ (α )cos α + sin α cosβ(α )]

= Iesin2(α---β-(α-)) sin2(α + β (α ))

Ig
= ′ n- nIe2 2 4sin-β-(α)cos--α- sin2(α + β(α))
(4.7)

Wir haben die einfallende Intensität Ie = nϵ0c- 2Ee als Referenz verwendet. Deshalb erscheint der Vorfaktor n′ n für Ig.

__________________________________________________________________________

Stetigkeitsbedingungen für Licht mit p-Polarisation. Die dicken Vektoren stellen die k-Vektoren dar (rot für das einfallende Licht, grün für das reflektierte und blau für das gebrochene Licht). Die E-Vektoren sind gestrichelt gezeichnet, ihre Projektion auf die Grenzfläche dünn.

_____________________________________________________________________

Bei p-polarisiertem Licht ist die Bedingung für die Stetigkeit der Parallelkomponente von E durch

(4.8)

gegeben. Weiter gilt immer noch die Energieerhaltung

(4.9)

Teilen wir die beiden Gleichungen, erhalten wir

(4.10)

Wir wenden wieder das Snelliussche Gesetz an

(4.11)

Damit müssen wir das Gleichungssystem

Ee sin β | = Er sin β + Eg sin α |  |
Ee cos α | = -Er cos α + Eg cos β | (4.12)

lösen. Wir multiplizieren die erste Gleichung mit cos α und die zweite mit sin β und addieren

(4.13)

Mit sin(α±β) cos(α∓β) = sin α cos α± sin β cos β wird die obige Gleichung

(4.14)

Um Er zu bekommen multiplizieren wir die obere Gleichung in Gleichung (4.12) mit cos β und die untere mit sin α, subtrahieren und erhalten

(4.15)

Dies ist auch

(4.16)

Damit erhält man

Fresnelsche Formeln (p-Polarisation):

Er
= -Eetan[α - β(α )] -------------- tan[α + β(α )]

Eg
= Ee------2-sin-β(α)-cosα------- sin[α + β(α)]cos[α - β (α )]
(4.17)

Wenn in der Gleichung für Er α + β(α) = π∕2 ist, divergiert der Nenner, wir erhalten also Er(α = π∕2 - β(α)) = 0. Dies ist der Brewster-Winkel.

Die Fresnelschen Formeln für die Intensität lauten

Fresnelsche Formeln für die Intensität bei (p-Polarisation):

Ir
= Ietan2 [α - β(α)] ----2---------- tan [α + β(α)]

Ig
= n-′ nIe------4sin2-β(α)cos2-α------- sin2 [α + β(α)]cos2[α - β (α)]
(4.18)

_______________________________________________

Verlauf der Amplitude des elektrischen Feldes für p- und s-Polarisation, wenn Licht aus dem dünneren Medium (n₁ = 1) in das dichtere (n₂ = 1.5) eintritt.

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

Verlauf der Intensität für p- und s-Polarisation, wenn Licht aus dem dünneren Medium (n₁ = 1) in das dichtere (n₂ = 1.5) eintritt. Die Intensität ist mit I = niE² berechnet worden, wobei n i die für das jeweilige Medium gültige Brechzahl ist.

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

Verlauf der Amplitude des elektrischen Feldes für p- und s-Polarisation, wenn Licht aus dem dichteren (n₁ = 1.5) Medium in das dünnere (n₂ = 1) eintritt.

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

Verlauf der Intensität für p- und s-Polarisation, wenn Licht aus dem dichteren (n₁ = 1.5) Medium in das dünnere (n₂ = 1) eintritt. Die Intensität ist mit I = niE² berechnet worden, wobei n i die für das jeweilige Medium gültige Brechzahl ist.

_____________________________________________________________________

Wir können kontrollieren, ob im Energiefluss senkrecht zur Grenzfläche die Energie erhalten bleibt. Dazu müssen wir den Energiefluss durch eine Fläche parallel zur Oberfläche berechnen. Der einfallende Energiefluss ist

(4.19)

Der Fluss der reflektierten Energie durch eine Fläche parallel zur Grenzfläche ist

(4.20)

Ebenso ist der Fluss der gebrochenen Energie durch eine Fläche parallel zur Grenzfläche

(4.21)

Die Energieerhaltung sagt nun, dass für die p-Polarisation

Ie,p,⊥ = | nϵ0c 2Ee² cos α |  |
| = Ir,p,⊥ + Ig,p,⊥ |  |
= | nϵ0c 2Ee²2 tan--[α----β(α)]- tan2 [α + β(α)] cos α |  |
| + n′ϵ0c 2Ee²2 2 ------4sin-β-(α)cos--α------- sin2 [α + β (α)]cos2[α - β(α)] cos(β(α)) |  |
= | ϵ0c 2Ee² |  |
| + ] 4sin2β (α)cos2 αcos(β (α )) n′--2--------------2----------- sin [α + β (α )]cos [α - β (α)] |  |
= | n-ϵ0c 2Ee² |  |
| + ] --sin-α--- 2 2 sin β (α)4 sin β (α )cos α cos(β (α)) |  |
| ·[ ] sin2[α + β (α)]cos2[α - β (α)]⁻¹ |  |
= | n ϵ0c ----- 2Ee² cos α |  |
| + 4sinα sinβ (α )cosα cos(β (α ))] |  |
| ·[ ] sin2[α + β(α)]cos2[α - β(α )]⁻¹ | (4.22)

gilt.

Wir müssen also den Wert des Bruches

X = | { } sin2[α - β(α )]cos2[α + β (α )] + 4 sin α sin β(α) cosα cos(β(α)) |  |
| ·{ } sin2[α + β(α)]cos2[α - β(α )]⁻¹ |  |

berechnen.

X = | { 2 2 } sin [α - β]cos [α + β] + sin(2α )sin(2β) |  |
| ·{ } sin2 [α + β ]cos2[α - β]⁻¹ | (4.23)
= | { } sin2[α - β]cos2[α + β] + sin(2α )sin(2β) |  |
| ·{ } sin2 [α + β ]cos2[α - β]⁻¹ |  |
= | { 1(1 - cos[2α - 2β ]) 1(1 + cos[2α + 2β ]) 2 2 |  |
| + sin (2 α)sin(2β)} |  |
| ·{1 1 } --(1 - cos[2 α + 2β])--(1 + cos[2 α - 2β]) 2 2⁻¹ |  |
= | {(1 - cos[2 α - 2β])(1 + cos[2α + 2β]) |  |
| + 4sin(2α )sin (2 β)} |  |
| ·{(1 - cos[2α + 2 β])(1 + cos[2α - 2β])}⁻¹ |  |
= | {(1 - cos[2 α - 2β])(1 + cos[2α + 2β]) |  |
| + 2(cos[2α - 2β ] - cos[2α + 2β ])} |  |
| ·{(1 - cos[2α + 2 β])(1 + cos[2α - 2β])}⁻¹ |  |

Wir setzen A = cos[2α - 2β] und B = cos[2α + 2β] und schreiben die Gleichung um

X | = (1 - A )(1 + B) + 2A - 2B --------------------------- (1 - B )(1 - A ) | (4.24)
| = 1---A--+-B---AB--+--2A---2B- 1 + A - B - AB |  |
| = 1 + A - B - AB ----------------- 1 + A - B - AB |  |
| = 1 |  |

Da X = 1 ist, ist gezeigt, dass für den Energiefluss durch die Grenzfläche für p-Polarisation Energieerhaltung gilt.

Eine ähnliche Gleichung kann man für die s-Polarisation berechnen. In der Elektrizitätslehre würde man sagen, dass der Fluss des Pointing-Vektors berechnet wurde.

__________________________________________________________________________

Verlauf der mit der Fläche gewichteten Intensität für p- und s-Polarisation, wenn Licht aus dem dünneren (n₁ = 1) Medium in das dichtere (n₂ = 1.5) eintritt. Die Intensität ist mit I = niE² cos(α i) berechnet worden, wobei ni die für das jeweilige Medium gültige Brechzahl und αi der entsprechende Winkel ist. Die drei Kurven für die gesamte Intensität bei der p-Polarisation und der s-Polarisation liegen über der Kurve der winkelgewichteten Intensität des einfallenden Lichtes.

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

Verlauf der mit der Fläche gewichteten Intensität für p- und s-Polarisation, wenn Licht aus dem dichteren (n₁ = 1.5) Medium in das dünnere (n₂ = 1) eintritt. Die Intensität ist mit I = niE² cos(α i) berechnet worden, wobei ni die für das jeweilige Medium gültige Brechzahl und αi der entsprechende Winkel ist. Die drei Kurven für die gesamte Intensität bei der p-Polarisation und der s-Polarisation liegen über der Kurve der winkelgewichteten Intensität des einfallenden Lichtes. Im Bereich der Totalreflexion gibt die Rechnung den Energiefluss korrekt wieder.

_____________________________________________________________________

Parallel zur Oberfläche ist es wegen der Translationssymmetrie schwieriger Energieerhaltungsgrössen zu definieren.

Die dritte Stetigkeitsbedingung an der Grenzfläche, die der Normalkomponente von εE = D liefert das Snelliussche Gesetz.

4.6.1  Evaneszente Wellen

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 193,196])

pict
Versuch zur Vorlesung:

Evaneszente Wellen - tunneln mit Licht (Versuchskarte O-080)

Aus den letzten Abbildungen ist ersichtlich, dass wenn Licht aus dem dichteren Medium in das dünnere eintritt, es Winkel gibt (n′ sin β > 1), für die es keine reelle Lösung der Fresnelschen Formeln gibt. Die Lösung ist rein imaginär. Was bedeutet dies? Dies heisst, dass auch der k-Vektor des Lichtes im dünneren Medium imaginär wird. Darum wird aus eikr mit k = iκ der exponentielle Dämpfungsfaktor e-κr, wobei κ vom Einfallswinkel abhängt. Licht im dünneren Medium kann also nicht propagieren: Wegen der Energieerhaltung ist die Reflexion perfekt.

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Momentaufnahme der Interferenz einer total reflektierten Welle mit sich selber sowie der evaneszenten Wellen.

_____________________________________________________________________

5  Interferenz und Beugung

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 562]) (Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 649]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 327]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 348]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1109])

pict
Versuch zur Vorlesung:

Wellenmaschine (Versuchskarte SW-077)

In diesem Abschnitt sollen die Eigenschaften von Licht, die auf der Wellennatur beruhen, diskutiert werden.

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Interferenz zweier Wellen mit der gleichen Amplitude und der gleichen Frequenz und einer Phase, die von 0…2π variiert.

_____________________________________________________________________

Mathematisch setzen wir zwei Wellen an

y₁(x,t) | = A sin (kx - ωt) |  |
y₂(x,t) | = A sin (kx - ωt + δ) | (5.1)

An einem bestimmten Ort ist die Differenz der Phasen durch

(5.2)

gegeben und unabhängig vom Ort. Zu einer bestimmten Zeit ist die Differenz der Phasen durch

(5.3)

gegeben, unabhängig von der Zeit.

Wir wenden die Additionstheoreme für die Winkelfunktionen an. Wir verwenden

(5.4)

und erhalten

y(x,t) | = y₁(x,t) + y₂(x,t) |  |
| = A sin (kx - ωt) + A sin (kx - ωt + δ) |  |
| = 2A cos (δ ) -- 2 sin ( δ ) kx - ωt + -- 2 | (5.5)

Aus dieser Gleichung kann die folgende Tabelle abgeleitet werden.

___________________________________________________________________________

Phase
resultierende Amplitude
Interferenz

0
2A
konstruktiv

π∕2
√ -- 2A

π
0
destruktiv

3π∕2
√2--A

2π
2A
konstruktiv

Interferenz und Phasendifferenz

_____________________________________________________________________

5.1  Phasendifferenz und Kohärenz

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 570]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 367]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1109]) (Siehe Gerthsen, Physik [?, pp. 514])

Wir betrachten Wellen, die sich auf verschiedenen Wegen ausbreiten.

Zwei Wellen heissen kohärent, wenn sie, bis auf eine Phase die gleiche Zeitabhängigkeit haben.

pict
Versuch zur Vorlesung:

Kohärenz (Versuchskarte O-051)

Die Kohärenz von Wellen ist nur im Idealfall überall und zu jeder Zeit gegeben.

Kohärenzzeit

Jede Quelle hat ein beschränktes Phasengedächtnis. Dies bedeutet, dass die Wellenzüge, die vor einer Zeit grösser als die Kohärenzzeit τ emittiert wurden, keine definierte Phasenbeziehung mehr haben. Der Phasenunterschied wird eine stochastische Grösse.

Kohärenzlänge

Die Kohärenzzeit τ kann in eine Kohärenzlänge L umgerechnet werden. Ist der Weglängenunterschied grösser als L, gibt es keine Kohärenz mehr.

Hat eine Quelle (ein gedämpfter harmonischer Oszillator) eine Bandbreite Δω, dann ist die Kohärenzzeit τ ≈ ω⁻¹ und L ≈ cτ ≈cω-.

Ist die Lichtquelle ausgedehnt (Breite b), dann gibt es nur im Winkelbereich σ < λ- 4b eine kohärente Überlagerung.

Die Intensität muss verschieden berechnet werden, je nachdem ob die beiden Wellenzüge mit den Amplituden E₁ und E₂ kohärent oder nicht sind.

bei kohärenten Wellenzügen

I(x,t) = 1 2∘ -εε0- μμ0(E1(x, t) + E2 (x, t)) ²

bei inkohärenten Wellenzügen

I(x,t) = ∘ ---- εμε0μ- 0[E1(x,t)2 + E2(x,t)2]

Bei kohärenten Wellen mit dem Phasenunterschied ϕ und den Amplituden E₁ und E₂ ist die resultierende Amplitude

5.1.1  Stehende Wellen

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 431]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 293]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 435]) (Siehe Gerthsen, Physik [?, pp. 513])

Wenn wir eine nach links laufende Welle y₁(x,t) = E sin(kx+ωt) und eine nach rechts laufende Welle y₂ = E sin(kx - ωt + δ) zur Interferenz kommen lassen, erhalten wir

Die Summe der beiden Wellenfunktionen ist das Produkt zweier Terme

ein zeitabhängiger Teil,der für alle Orte gleich ist: cos ( ) ωt - δ2

ein ortsabhängiger Teil, der für alle Zeiten gleich ist: sin ( ) kx + δ 2

Damit bilden sich räumlich stehende Knotenlinien aus, wir haben eine stehende Welle.

Wenn die Amplituden der beiden Wellen nicht gleich gross ist, dann interferieren von der Welle mit der grösseren Amplitude nur die Amplitudenteile, die gleich gross wie die Amplitude der schwächeren Welle sind.

Stehende Wellen als Resultat zweier gegenläufiger Wellen gibt es in jedem Resonator, insbesondere in Laserresonatoren.

5.1.2  Mach-Zehnder-Interferometer

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 663]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 365])

__________________________________________________________________________

Aufbau des Mach-Zehnder-Interferometers.

_____________________________________________________________________

Abbildung 5.1.2 zeigt den schematischen Aufbau eines Mach-Zehnder-Interferometers. Licht aus der Quelle trifft auf den halbdurchlässigen Spiegel S₁ und spaltet sich in die zwei Wege s₁ und s₂ auf. Der Weg ´s₁ läuft vom Spiegel S₁ über S₃ nach S₄, der Weg s₂ vom Spiegel S₁ über S₂ nach S₄. Am Spiegel S₄ werden die Lichtwellen vereinigt und gelangen interferierend auf den Detektor.

Die relative Phase des Lichtes für die beiden Wege s₁ und s₂ kann aus dem Brechungsindexverlauf entlang der Wege berechnet werden. Die Geschwindigkeit ist durch c(s) = c₀∕n(s) gegeben. Dann ist

(5.3)

Die Phasendifferenz von Licht mit der Vakuumwellenlänge λ₀ und damit der Frequenz ω = 2πν = 2πc₀∕λ₀ ist

( ) S∫4 S∫4 Δ ϕ = ω(t - t ) = 2πc0-|(-1 n (s)ds - -1 n (s)ds|) 2 1 λ0 c0 2 c0 1 ( S1,s2 S1,s1 ) S∫4 S∫4 = 2π-|( n2(s)ds - n1(s)ds|) λ0 S ,s S,s 1 2 1 1

(5.4)

Das heisst, dass das Ausgangssignal des Mach-Zehnder-Interferometers nicht nur von der geometrischen Weglängendifferenz, sondern auch von Unterschieden der Brechungsindizes abhängt. Das Licht läuft in beiden Armen mit einer definierten Richtung. Das heisst, dass der Ausgang des Mach-Zehnder-Interferometers abhängig zum Beispiel von der Fliessrichtung eines Mediums mit dem Brechungsindex n ist. Mach-Zehnder-Interferometer werden kaum zur Distanzmessung aber oftmals zur Messung von Brechungsindexdifferenzen verwendet.

5.1.3  Das Michelson-Interferometer

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 596]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 360]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1114])

pict
Versuch zur Vorlesung:

Michelson-Interferometer (Versuchskarte O-031)

_______________________________________________

Aufbau des Michelson-Interferometers.

_____________________________________________________________________

Beim Michelson-Interferometer wird Licht durch einen Strahlteiler in zwei Lichtwege aufgespalten. Der Weg vom Strahlteiler zum festen Spiegel sei ℓ₁, der zum beweglichen ℓ₂. Analog zum Mach-Zehnder-Interferometer (siehe Abschnitt 5.1.2) kann die Phase wie folgt geschrieben werden:

( ) ∫ ∫ Δ ϕ = ω(t2 - t1) = 2-πc0|( -2 n2(s)ds - -2 n1(s)ds|) λ0 c0 c0 (ℓ2 ℓ1 ) 4π ∫ ∫ = ---|( n2(s)ds - n1(s)ds|) λ0 ℓ2 ℓ1

(5.5)

Die Phase hängt also sowohl vom Weglängenunterschied wie auch von Unterschieden im Brechungsindex ab. Anders als beim Mach-Zehnder-Interferometer wird jeder Weg zweimal und zwar gegenläufig durchlaufen. Bewegungseffekte mitteln sich so in erster Näherung heraus.

Der gesamte Weglängenunterschied ist bei konstantem ni(s) = n₀ durch Δℓ = 2(ℓ₂ - ℓ₁) gegeben. Immer wenn Δℓ ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge λ ist, tritt konstruktive Interferenz auf. Wird der bewegliche Spiegel um λ∕4 verschoben, ändert sich Δℓ um λ∕2, dann haben wir destruktive Interferenz.

Wenn wir das Interferometer mit einer Intensität von I₀ betreiben und wenn wir eine Intensitätsänderung von ΔI noch messen können, dann können wir die mögliche Distanzauflösung in nichtmagnetischen Medien wie folgt berechnen:

(5.6)

oder umgeschrieben

(5.7)

Die Ableitung dieser Gleichung ist

(5.8)

Die maximale Steigung, also die höchste Empfindlichkeit ist

(5.9)

Wir können also die Distanz

(5.10)

Wenn zum Beispiel λ = 500 nm ist und ΔI∕I₀ = 0.01 ist, ist Δx = 2.75 nm.

Das Michelson-Interferometer wird häufig zur Messung von Distanzen verwendet.

5.1.4  Sagnac-Interferometer

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 701])

__________________________________________________________________________

Sagnac-Interferometer. Rechts nach einer Laufzeit.

_____________________________________________________________________

Beim Sagnac Interferometer läuft das Licht links- und rechts herum und interferiert dann. Die Lichtwege sind identisch, das Verschieben eines Spiegels erzeugt kein Signal. Wenn man das Sagnac-Interferometer jedoch mit der Kreisfrequenz Ω dreht, dann sind die Umlaufzeiten mit und gegen die Drehrichtung unterschiedlich. Die Behauptung ist, dass der Laufzeitunterschied zwischen der links- und der rechtsläufigen Welle

(5.11)

ist. Dabei ist Ω die Winkelfrequenz, mit der das Interferometer rotiert, A die vom Licht eingeschlossene Fläche (in Abbildung 5.1.4 die Fläche des Dreieckes) und c die Vakuumlichtgeschwindigkeit. Sagnac-Interferometer werden heute als Gyroskope verwendet. Sie messen zum Beispiel die Drehraten von Flugzeugen und werden so zur magnetfeldunabhängigen Navigation herangezogen.

Wir betrachten ein Interferometer aus n Seiten. Die Fläche des n-Ecks is n-,mal die Fläche eines einzelnen Dreiecks, und dessen Fläche AD = ah∕2. Beim n-Eck ist die Höhe h = R cos (π ∕n) und die Grundlinie a = 2R sin (π∕n). Damit ist

(5.12)

Wir brauchen nun die Strecke PA(t₀)PB(t₀ + Δt). Diese ist die Grundlinie in einem gleichschenkligen Dreieck mit dem Spitzenwinkel

(5.13)

Mit ± können beide Fälle gleichzeitig behandelt werden. Wir brauchen noch den Winkel an der Grundlinie (zweimal der gleiche Winkel β±

(5.14)

Mit dem Sinussatz für beliebige Dreiecke bekommen wir die Länge der Grundlinie

ℓ± -------- sin(α ±) | = R -------- sin(β± ) |  |
=⇒---(---ℓ±------)- sin 2π ± Ω Δt n ± | = ----(----R--------) sin π - π ∓ Ω-Δt±- 2 n 2 | (5.15)
ℓ± | = R( ) sin 2π-± Ω Δt ± ----(n---------)- cos πn ± Ω Δt± |  |
| = R( ( π ) ( π) ) 2sin -- ± ΩΔt ± cos -- n n + O(Δt±²) | (5.16)

Die Zeit Δt± ist sowohl die Laufzeit von PA(t₀) nach PB(t₀ + Δt±) wie auch die Zeit, in der sich das Interferometer dreht. Wir haben also die Gleichungen

(5.17)

welche gelten wenn |Ω | « --1-- |Δt±| gilt. Die Lösungen sind

(5.18)

Damit ist der Laufzeitunterschied (und daraus kann die Phase berechnet werden)

(5.19)

Auch dieser Ausdruck kann entwickelt werden wenn |Ω | «--1-- |Δt±| ist. Wir erhalten die linearisierte Gleichung,

(5.20)

und, wennn wir die Fläche A(n) des n-Ecks einsetzen

(5.21)

Diese Gleichung müsste eigentlich mit der allgemeinen Relativitätstheorie hergeleitet werden. Für langsame Drehungen ist das Resultat jedoch korrekt. Bei einem kreisförmigen Sagnac-Interferometer (z.B. mit whispering gallery modes) ist

genau so gross. Mit c = Δs∕Δt folgt

(5.22)

Beispiel: Mit Ω = 2π s-1, A(n) = 0.01 m2 und λ = 632 nm (HeNe-Laser) erhält man N = 0.00132648 Dies ist eine kleine Zahl, kann aber mit Modulationstechniken problemlos gemessen werden.

5.1.5  Das Fabry-Perot-Interferometer

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 670]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 399]) (Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 678])

pict
Versuch zur Vorlesung:

Interferenz an dünnen Schichten als Beispiel für das Fabry-Perot-Interferometer (Versuchskarte O-085)

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Stokessche Behandlung von Reflexion und Brechung (nach Hecht [Hec05])

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Wir nehmen an, dass eine Welle mit der Amplitude E₀₁, die vom oberen Medium her auf die Grenzfläche auftritt, mit dem Faktor r reflektiert wird, sowie mit dem Faktor t gebrochen wird. Die Amplitude der gebrochenen Welle ist dann tE0i, die der reflektierten Welle rE0i. Das Fermatsche Prinzip bedeutet, dass auch die zeitumgekehrte Situation eine physikalisch realisierbare ist. Also ist auch die Strahlführung im Teilbild (b) oben eine realisierbare Situation. Dabei müssen wir uns klar machen, dass sowohl die einfallende Welle mit der Amplitude rE0i und diejenige mit tE0i eine reflektierte und eine transmittierte, gebrochene Welle erzeugen. Dabei ist für die Welle, die von unten kommt der Reflexionsfaktor r′ und der Transmissionsfaktor t′. Die Situation in (c) ist nur dann äquivalent zu der in (b), wenn gilt

Damit erhält man eine Verknüpfung der Reflexions- und Brechungskoeffizienten für den Übergang vom Medium 1 in das Medium 2 und umgekehrt. Dabei sind α und β die jeweiligen Einfallswinkel, die durch das Snelliussche Gesetz verknüpft sind.

Diese beiden Gleichungen heissen die Stokeschen Relationen. Die zweite Gleichung zeigt, dass wenn r für die Reflexion am dichteren Medium steht, bei der es nach den Fresnelschen Formeln einen Phasensprung von π gibt, dass dann bei der Reflexion am optisch dünneren Medium kein Phasensprung auftritt.

__________________________________________________________________________

Strahlengang bei einem Fabry-Perot-Etalon (nach Hecht [Hec05])

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Wir betrachten nun die Reflexion an einem Etalon, also einer Glasplatte mit dem Brechungsindex nG mit planparallelen Oberflächen. Im Aussenraum sei auf beiden Seiten n = 1. Die Abbildung zeigt die reflektierten und gebrochenen Strahlen, wobei die Konvention der Gleichung (5.24) verwendet wurde. Die reflektierten Strahlen interferieren in dem weit entfernten Punkt P, die transmittierten Strahlen im weit entfernten Punkt P′.

__________________________________________________________________________

Strahlengang bei einem Fabry-Perot-Etalon (nach Pérez [Pér96, p. 392])

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Für das transmittierte Licht ist der Weglängenunterschied durch den Unterschied der optischen Wege UV und UXW, Λ = UXW -UV der relevante Unterschied. Die Strecke UXW ist im Medium mit dem Brechungsindex nG, im Glas. Der optische Weg ist dann

Weiter ist die Strecke UV durch UW sin α gegeben. Weiter ist aber auch UW = 2d tan β, eine rein geometrische Überlegung, die keine optischen Wege beinhaltet. Zusammen bekommen wir

Damit ist Λ für ein Etalon der Dicke d

Λ | = UXW -UV |  |
| = 2nG--d-- cosβ - 2d tan β sin α = 2dnG- cosβ( ) 1 - 1--sin β sin α nG |  |
mit sin β = sin α∕nG (Brechungsgesetz)
| = 2dnG- cos β( ) 1 - sin2 β |  |
Λ | = 2nGd cos β | (5.25)

Der Gangunterschied für die Reflexion Δ kann aus dem Gangunterschied für die Transmission abgeleitet werden, wobei ein Phasensprung von π berücksichtigt werden muss. Wir haben mit ZUX = UXW und ZY = UV

(5.26)

Bei den Strahlen, die in P interferieren, ist die Anzahl der inneren Reflexionen ungerade. Für den Spezialfall des senkrechten Einfalls, oder bei senkrechter Polarisation, ergeben die Reflexionen keine Phasenänderung. Wenn Λ = mλ ist, haben in P alle Wellen die gleiche Phase, ausser der ersten, deren Phase wegen r′ = -r um π ändert. Also ist die reflektierte Amplitude

(5.27)

Da Λ = mλ und damit die innere Phasenverschiebung 0 ist, ersetzen wir r′ mit -r und erhalten

(5.28)

Diese geometrische Reihe konvergiert bei r² < 1 gegen 1∕(1 - r²), so dass wir

(5.29)

Nach den Stokeschen Relationen ist tt′ = 1 - r² und damit die reflektierte Amplitude

(5.30)

Also wird im Falle Λ = mλ = 2nGd cos β oder d cos β = mλ 2nG alles Licht transmittiert.

Der zweite Spezialfall ist Λ = ( ) m + 1 2λ). Dann sind die relativen Phasen benachbarter Wellen, unter der Berücksichtigung dass r′ = -r und dass die innere Phase π ist, die Phasenverschiebung π, ausser bei den ersten beiden Wellen, die gleichphasig sind. Wir erhalten für die skalare Amplitude

(5.31)

oder

(5.32)

Die Reihe in der Klammer konvergiert gegen 1∕(1 + r²). Wir erhalten also

(5.33)

Mit t′t = 1 - r² erhalten wir

(5.34)

Damit wird die reflektierte Intensität maximal, nämlich

(5.35)

Den allgemeinen Fall kann man berechnen, indem man die durch die einfallende Welle Ẽ₀(t) = E₀eiωt angeregten reflektierten Teilwellen aufschreibt, wobei zwischen zwei Teilwellen die Phasenverschiebung δ = k₀Λ sind

Die resultierende Welle ist die Summe aller Teilwellen

(5.37)

Eingesetzt ergibt sich

(5.38)

Zusammengefasst ergibt sich

Für || ′2 - iδ|| |r e | < 1 konvergiert die geometrische Reihe. Wir erhalten

(5.40)

Mit den Stokeschen Relationen r′ = -r und t′t = 1 - r² bekommt man

(5.41)

Die reflektierte optische Intensität ist Ir = ẼrẼr*∕2 und somit

(5.42)

Mit einer analogen Ableitung berechnet man die transmittierte Intensität

(5.43)

da das transmittierte Licht sich im gleichen Medium wie das einfallende Licht sich bewegt. Mit cos δ = 1 - 2 sin ²(δ∕2) werden Ii und Ir

Wir haben dabei angenommen, dass keine Energie absorbiert wird¹ . Dann ist Ii = It + Ir. Ein Maximum in der Transmission erhält man, wenn der Nenner möglichst klein, das heisst, dass cos δ = 1 ist. Dann ist

(5.45)

und

(5.46)

Umgekehrt ist die Transmission minimal, wenn der Nenner bei It maximal ist, also wenn cos δ = -1 ist

(5.47)

und

(5.48)

Es hat sich eingebürgert, dass Fabry-Perot-Interferometer mit der Kennzahl Finessefaktor charakterisiert werden:

(5.49)

Dann gilt für die Intensitätsverhältnisse

wobei die Funktion [1 + F sin2(δ∕2 )] ⁻¹ = A(δ) auch Airy-Funktion genannt wird² .

__________________________________________________________________________

Transmission durch ein Fabry-Perot-Etalon in Abhängigkeit von der Finesse F. Von oben nach unten sind die Transmissionskurven für F = 1, F = 2, F = 4, F = 8, F = 16, F = 32, F = 64, F = 128 und F = 256 dargestellt.

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

Reflexion an einem Fabry-Perot-Etalon in Abhängigkeit von der Finesse F. Von unten nach oben sind die Reflexionskurven für F = 1, F = 2, F = 4, F = 8, F = 16, F = 32, F = 64, F = 128 und F = 256 dargestellt.

_____________________________________________________________________

Die Halbwertsbreite der Transmissionskurven ist durch

(5.51)

gegeben. Daraus folgt

(5.52)

Das Verhältnis des Abstandes benachbarter Maxima zu der Halbwertsbreite heisst Finesse und ist

(5.53)

Die einfachsten Fabry-Perot-Spektrometer haben ein F ≈ 30. Werte von F ≈ 1000 sind an der Grenze des technisch machbaren. Wenn bei dem Fabry-Perot-Spektrometer Absorption vorhanden ist, müssen kompliziertere Gleichungen, die Sie zum Beispiel in Hecht [Hec05, 617] finden, verwendet werden.

5.2  Wellen in 2 und mehr Dimensionen

(Siehe Gerthsen, Physik [?, pp. 160]) (Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 41])

pict
Versuch zur Vorlesung:

Wellenwanne (Versuchskarte O-021)

Die Wellenfunktion für eine zeitunabhängige Welle in zwei oder drei Dimensionen wird wie

(5.1)

für eine longitudinale Welle und

(5.2)

für transversale Wellen. A ist ein Vektor, der auch komplexe Komponenten haben kann (Die komplexen Komponenten geben die Phasen an.). Der Vektor, der aus dem Betrag der einzelnen Komponenten gebildet wird, gibt die Schwingungsrichtung der Welle an. Für eine transversale Welle gilt

(5.3)

5.2.1  Ebene Wellen

__________________________________________________________________________

Bild einer ebenen Welle

_____________________________________________________________________

Eine ebene Welle entsteht aus der allgemeinen Wellengleichung dadurch, dass die Amplitude und der Wellenvektor nicht vom Ort abhängen. Eine ebene Transversalwelle ist durch

(5.4)

eine Longitudinalwelle durch

(5.5)

gegeben. Ebene Wellen können durch einen Vektor, der die Ausbreitungsrichtung anzeigt, dargestellt werden. Bei ebenen Lichwellen spricht man dann von Lichtstrahlen.

5.2.2  Kugelwellen

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 48, 710]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 287])

pict
Versuch zur Vorlesung:

Wellenwanne (Versuchskarte O-021)

Eine weitere häufig vorkommende Form von Wellen sind die Kugelwellen. Wir können die Amplitudenabhängigkeit durch folgende Überlegung erhalten.

Wir denken uns eine Kugeloberfläche um die Quelle, wobei die Quelle im Mittelpunkt der Kugel sein soll.

Der Energiefluss pro Zeit, die Leistung, die durch die gesamte Kugeloberfläche fliesst ist konstant, unabhängig vom Radius der Kugel.

Damit diese Gleichung für alle r gilt muss A(r) = A₀r 0r- sein.

__________________________________________________________________________

Amplitude und Intensität einer Kugelwelle in Abhängigkeit der Distanz r von der Quelle. Links eine lineare, rechts eine logarithmische Darstellung.

_____________________________________________________________________

Bei einer Kugelwelle ist

die Amplitude: A(r) = A₀r0r

die Intensität I(r) = I₀r202 r

pict
Versuch zur Vorlesung:

Moire-Modell der Interferenz von Kugelwellen (Versuchskarte O-019)

_______________________________________________

Interferenz bei Moire-Mustern

_____________________________________________________________________

Der erste Summand beschreibt die Interferenz, während der zweite die nur vorhanden ist, wenn die beiden Amplituden E₁ und E₂ verschieden sind.

__________________________________________________________________________

Interferenz zweier Wellen aus A und B

_______________________________________________________________

Aus der Zeichnung ist ersichtlich, dass der Weglängenunterschied von A nach P und von B nach P Δℓ = d sin φ ist. Aus Gleichung (5.1) wissen wir, dass konstruktive Interferenz auftritt, wenn

(5.6)

ist. In der paraxialen Näherung (kleine φ) gilt auch

(5.7)

Interferenzminima treten bei

(5.8)

oder, in der paraxialen Näherung (kleine ϕ), bei

(5.9)

Die Lage der Interferenzextrema hängen von der Wellenlänge ab.

5.3  Interferenzmuster an einem Doppelspalt

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 572]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 358]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1116])

pict
Versuch zur Vorlesung:

Beugung am Doppelspalt (Versuchskarte O-123)

_______________________________________________

Strahlengang bei einem Doppelspalt

_____________________________________________________________________

Aus den Interferenzbedingungen wissen wir, dass wir

konstruktive Interferenz (helle Streifen) bei

(5.1)

destruktive Interferenz (dunkle Streifen) bei

(5.2)

haben. Wir berechnen nun den Verlauf der Intensität.

Am Punkt P ist die Phasendifferenz

(5.3)

Der m-te helle Streifen hat von der Achse den Abstand ym. Nach der Skizze ist der Winkel dann durch

(5.4)

gegeben. Wir verwenden, dass für kleine Winkel Θ gilt: tan Θ ≈ sin Θ ≈ Θ. Damit folgt

(5.5)

Der m-te helle Streifen liegt also bei

(5.6)

Der Abstand zweier Streifen ist

(5.7)

Wenn wir die Amplituden der Felder verwenden (die elektrischen Felder E), können wir sagen, dass die beiden Felder E₁ = E₀ sin(ωt) und E₂ = E₀ sin(ωt + δ) am Punkt P interferieren.

(5.8)

Mit sin α + sin β = 2 cos ( ) α--β 2 sin ( ) α+β- 2

bekommt man

(5.9)

Die Intensität ist dann

(5.10)

wobei n der Brechungsindex des Mediums ist. Mit d sin Θ ≈ yd∕ℓ wird die Phase

(5.11)

und

(5.12)

__________________________________________________________________________

Beugung an einem Doppelspalt. Links ist d = 3λ, in der Mitte d = 10λ und rechts d = 30λ (rechts ist der gezeigte Bildausschnitt grösser).

_____________________________________________________________________

Die Interferenz an einem Doppelspalt hängt von der Polarisationsrichtung ab.

pict
Versuch zur Vorlesung:

Interferenz mit Polarisation (Versuchskarte AT-051)

5.4  Vektoraddition von harmonischen Wellen

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 420]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1120])

Wir betrachten zwei Wellen

(5.1)

Beide Schwingungen haben die gleiche Frequenz: die Zeiger der Schwingung behalten ihre relative Stellung und rotieren gemeinsam. Die Summe muss sein

(5.2)

Wir legen die ”1”-Achse so, dass der Vektor E₁ entlang dieser Achse ist. Die Komponenten von E₂ sind entlang der ”1”-Achse E2,1 = Ê₂ cos δ und entlang der ”2”-Achse E2,2 = Ê₂ sin δ. Damit sind die Komponenten

Damit ist

(5.4)

oder

(5.5)

Die Phase ist

(5.6)

__________________________________________________________________________

Grafische Darstellung der Vektoraddition

_____________________________________________________________________

5.5  Interferenzmuster bei drei und mehr äquidistanten Quellen

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 609]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1122])

pict
Versuch zur Vorlesung:

Interferenz am Glimmerplättchen (Versuchskarte )

_______________________________________________

Interferenz von drei Quellen

_____________________________________________________________________

Die folgenden drei paraxialen Wellen interferieren im Punkt P.

Die Phasendifferenz ist, wie bei zwei Quellen³

(5.2)

Für Θ = 0 sind alle drei Wellen in Phase. Wir haben ein Maximum. Das erste Nebenmaximum entsteht, wenn δ = 2π∕3 ist, und nicht bei δ = π wie bei zwei interferierenden Wellen. Der Winkel Θ des ersten Nebenmaximums ist also grösser.

__________________________________________________________________________

Vektordiagramm für die Interferenz von drei Wellen (links) und vier Wellen (rechts).

_____________________________________________________________________

Die Maxima liegen wieder bei

(5.3)

Die Maxima sind schärfer und intensiver als bei einer Welle.

__________________________________________________________________________

Interferenzmuster für zwei bis fünf Punktquellen, nicht normiert.

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

Interferenzmuster für zwei bis sieben sowie 20 Punktquellen, normiert

_____________________________________________________________________

5.6  Interferenz an dünnen Schichten

(Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1111])

__________________________________________________________________________

Interferenz an dünnen Schichten

_____________________________________________________________________

Wir betrachten eine dünne Schicht der Dicke n mit dem Brechungsindex n in Luft. Dabei nehmen wir an, dass das Licht fast senkrecht auf die Grenzfläche auftritt. Die Phase des Strahls 1, der an der oberen Grenzfläche reflektiert wird, wird bei der Reflexion um π gedreht. Der Strahl 2, der an der unteren Grenzfläche reflektiert wird, unterliegt keinem Phasensprung. In der dünnen Schicht ist die Wellenlänge kleiner, λ′ = λ∕n. Wir müssen für die Interferenz den Weg in der Schicht doppelt zählen. Zusätzlich muss die Phase des zweiten interferierenden Lichtstrahls an der Luft (grün eingezeichnet) berücksichtigt werden. Die Phase bei senkrechtem Einfall ist durch den Laufzeitunterschied Δt = dc′ = ncd im Glas gegeben. Deshalb kann man auch mit dem optischen Weg

(5.1)

rechnen. Bei schrägem Einfall (Winkel Θ zur Normalen) ist der zurückgelegte Weg ℓ(Θ) = --2d- cosΘ′, da ja das Brechungsgesetz gelten muss. Mit cos Θ′ = √ ----------- 1 - sin2Θ ′ = ∘ --------- 1 - sin22Θ- n. Diese Grösse ersetzt das d in der obigen Rechnung, so dass wir ℓ(Θ) = 2d√ --2-----2-- n - sin Θ erhalten. Zusätzlich ist in der Luft der zurückgelegte Weg (grün) d₁ = 2d tan(θ) sin Θ (mit n sin θ = sin Θ). Berücksichtigen wir noch den Phasensprung bei der Reflexion an der oberen Grenzschicht, so erhalten wir

pict
Versuch zur Vorlesung:

Newtonsche Ringe (Versuchskarte O-017)

_______________________________________________

Querschnitt durch eine Linse auf einem Glasplättchen, bei dem Newtonsche Ringe auftreten.

_____________________________________________________________________

Wenn zwei Glasplatten sich mit einem sehr kleinen Luftspalt gegenüber liegen, und monochromatisches Licht senkrecht auf die Platten fällt, so treten die Newtonschen Ringe auf. Dabei tritt ein Phasensprung von π bei der Reflexion an der unteren Platte auf. Auch hier gelten die Gleichungen (5.2) und (5.3);

__________________________________________________________________________

Newtonsche Ringe (rechts mit einem Fehler).

_____________________________________________________________________

Bei dünnen Schichten mit einem niedrigen Brechungsindex zwischen zwei Schichten mit einem höheren Brechungsindex tritt Auslöschung für die Reflexion auf. Damit können reflexmindernde Schichten erzeugt werden.

__________________________________________________________________________

Newtonsche Ringe bei weissem Licht (rechts mit einem Fehler).

_____________________________________________________________________

In der oben stehenden Abbildung werden die Newtonschen Ringe bei weissem Licht durch die Überlagerung dreier Ringsysteme mit rotem Licht (λ = 6∕5), grünem (λ = 1) und blauem Licht (λ = 4∕5) simuliert. Es treten nun farbige Ringe auf.

5.7  Beugungsmuster an einem Einzelspalt

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 650,663]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1125]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 341])

pict
Versuch zur Vorlesung:

Beugung am Einzelspalt (Versuchskarte O-050)

_______________________________________________

Berechnung des Beugungsmusters an einem Einzelspalt.

_____________________________________________________________________

Wir definieren den Winkel Θ genau so wie in der Zeichnung

5.7.1  Berechnung der Intensitätsverteilung

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 663]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1127])

Wir betrachten N + 1 punktförmige Lichtquellen in einem Spalt der Breite a. Ihr Abstand ist d = a∕N. Der Phasenunterschied zwischen zwei Lichtquellen in die Richtung Θ ist

(5.1)

__________________________________________________________________________

Definition der Grössen. Rechts ist die Berechnung der Amplitude gezeigt.

_____________________________________________________________________

Der gesamte Phasenunterschied ist

(5.2)

Für N →∞ ist

(5.3)

Wie hängt nun die Amplitude von Φ ab?

Die Amplitude E₀ resultiert aus der Addition von N + 1 Einzelamplituden E. Aus der Abbildung ist ersichtlich, dass

(5.4)

Für den Winkel Θ = 0 ist Amax = A(Φ = 0) = N·A. Die Amplituden der einzelnen Quellen sind unabhängig von der Beobachtungsrichtung. Deshalb ist auch die Bogenlänge Amax = N·E = rΦ. Wir lösen nach r auf und setzen ein.

(5.5)

Wenn wir berücksichtigen, dass I = n2∘ --- εμ00E² ist und wir I₀ = n 2∘ ε0- μ0Emax² setzen, erhalten wir für die Intensität

(5.6)

Wenn wir Φ einsetzen, bekommen wir

(5.7)

__________________________________________________________________________

Beugungsmuster als Funktion des Ablenkwinkels und, rechts, als Funktion des Abstandes von der optischen Achse.

_____________________________________________________________________

Wir können mit Θ(y) = arctan y ℓ das Beugungsmuster für einen ebenen Schirm berechnen. Soll das Beugungsmuster in Funktion von Θ betrachtet werden, muss es mit einer Sammellinse (Gitter im Brennpunkt) betrachtet werden.

__________________________________________________________________________

Beugungsmuster als Funktion der Spaltbreite. Links kontinuierlich und rechts für die Breiten a = 0.1,0.3,1,3,10

__________________________________________________________________________

Die Lage der Beugungsmaxima und -minima ist gegeben durch Φ∕2 = kπ, k = ±1,±2,… für die Minima und Φ∕2 = (k + 1∕2)π, j = 0,±1,±2… sowie Φ = 0 für die Maxima.

Die Amplitude in den Nebenmaxima Θmax,n bekommt man durch Ableitung und auf Null setzen. Ungefähr liegen diese Maxima in der Mitte zwischen den Minima. Die Amplitude ist dort ungefähr

(5.9)

Damit gilt für die Intensitäten der Nebenmaxima

(5.10)

___________________________________________________________________________

Winkel
Art
Amplitude bezogen auf I₀

0
Maximum
1

±π
Minimum
0

≈±3π∕2
Maximum
≈42- 9π

±2π
Minimum
0

≈±5π∕2
Maximum
≈-4-2 25π

≈±7π∕2
Maximum
≈-4-- 49π2

≈±9π∕2
Maximum
≈-4-- 81π2

Lage der Minima und Maxima

_____________________________________________________________________

Die genaue Lage der Minima kann man durch

(5.11)

oder vereinfacht für Φ ⇔ 0

(5.12)

Nullstellen gibt es für sin (Φ ∕2) = 0 und für Φ cos ( ) Φ2- 2 sin ( ) Φ2- = 0 oder

Φ | = 2kπ | k ∈ | ℤ\{0} | Nullstellen oder Minima |  |  |  |  |  |
Lösung von Φ | = 2 tan(Φ∕2) |  |  | Maxima |  | (5.13)

Dies folgt aus der Analyse der zweiten Ableitung

[ ]2 -∂2- sin-(Φ∕2-) 2((Φ2----6)cos(Φ)---4Φ-sin(Φ)-+-6)- ∂Φ2 Φ ∕2 = Φ4 Φ⇔0 ( ) = Φ2 - 6 cos(Φ) - 4Φ sin(Φ) + 6

(5.14)

Für Φ = 2kπ mit k ∈ ℤ\{0} ist die zweite Ableitung positiv, es sind also Minima. Die anderen Lösungen müssen also Maxima sein.

Für grosse Beugungsordnungen |k|→∞ geht die Lage der Maxima gegen Φ = (2k - 1)π. In der Nähe der optischen Achse sind sie verschoben.

5.8  Interferenz- und Beugungsmuster beim Doppelspalt

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 670]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1130])

pict
Versuch zur Vorlesung:

Beugung am Doppelspalt (Versuchskarte O-123)

Bei Doppelspalten oder bei Gittern mit N Linien setzt sich das Beugungsmuster aus dem Muster des Einzelspaltes multipliziert mit dem Beugungsmuster des Gitters zusammen.

Da die charakteristische Länge des Einzelspaltes kleiner ist als die Gitterperiode, ist das Beugungsmuster des Einzelspaltes breiter als das des Gitters. Die Beugungsfunktion des Einzelspaltes gibt die Umhüllende des Beugungsmusters.

Wir hatten für das Beugungsmuster des Doppelspalts mit linienförmigen Spalten

(5.1)

wenn wir n = 1 setzen. Das gesamte Beugungsmuster ist dann durch

(5.2)

wobei Φ(Θ) = 2π λa sin Θ und δ(Θ) = 2π- λd sin Θ sind mit a der Spaltbreite und d dem Abstand der beiden Spalte. Wir können nun noch mit Θ(y) = arctan y ℓ das Beugungsmuster für einen ebenen Schirm berechnen.

__________________________________________________________________________

Beugung an einem Doppelspalt mit dem Spaltabstand d = 6 und der Spaltbreite a = 3.

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

Beugung an einem 5-fach Spalt mit dem Spaltabstand d = 3 und der Spaltbreite a = 2

__________________________________________________________________________

5.9  Fraunhofersche und Fresnelsche Beugung

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 650, 710]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1131]) (Siehe Sommerfeld, Theoretische Physik Band IV, Optik [?, pp. 206])

__________________________________________________________________________

Berechnung der Fresnelbeugung an einer Halbebene.

_____________________________________________________________________

Bei der Beugung interferiert Licht von Kugelwellen aus allen Punkten mit den Koordinaten x′ im Beobachtungspunkt mit der Koordinate x. Für eine einzelne Teilwelle ist der Weg

(5.1)

Entsprechend ist die komplexe Amplitude am Punkt x gegeben durch

(5.2)

Die Amplitude am Punkt x ist dann nach Huygens

(5.3)

da wir Kugelwellen haben. Diese Gleichung kann numerisch gelöst werden. Es existieren die folgenden Näherungen:

5.9.1  Fresnelsche Näherung

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 710]) (Siehe Sommerfeld, Theoretische Physik Band IV, Optik [?, pp. 206])

Wir betrachten nur Orte, bei denen |x - x′|« D sind. Dann ist

(5.4)

und 1∕s ≈ 1∕D. Das heisst auch, dass die Phase ist proportional zu (x - x′)². Unser Integral wird dann

(5.5)

und

(5.6)

Mit der Variablentransformation ξ = x′- x und damit den Grenzen ξu = -d∕2 - x und ξo = d∕2 - x wird das Integral zu

(5.7)

Das verbleibende Integral ∫ -d∕2-xd∕2-xei·2πξ²∕2Dλdξ kann als Summe und Differenz der Fresnelschen Integrale geschrieben werden. Wir verwenden, dass eiα = cos α + i sin α ist.

Dieses Integral, nach Real- und Imaginärteil aufgetrennt und normiert ergibt die Fresnelschen Integrale

Die Funktion Φ(x) kann als Differenz zweier Fresnelscher Integrale geschrieben werden

wobei K eine von der Intensität abhängige Konstante ist.

__________________________________________________________________________

Die Cornu-Spirale. Aufgetragen ist die parametrische Kurve (C(w),S(w)) mit -∞≤ w ≤∞. Die linke untere Spirale entspricht w = -∞, die rechte obere Spirale w = ∞.

_____________________________________________________________________

Die durch F(w) = C(w) + iS(w) definierte Ortskurve ist die Cornu-Spirale. Dies e-Funktion beschreibt eine längentreue Abbildung der reellen Achse w auf die komplexe C,S-Ebene. Mit dieser Konstruktion kann auf einfachem graphischem Wege das Beugungsmuster konstruiert werden. Dazu zeichnet man vom Ortspunkt der unteren Integrationsgrenze zum Ortspunkt der oberen Integrationsgrenze eine Linie. Deren Länge gibt die Amplitude, deren Winkel zur reellen Achse die Phase. Damit kann das Fresnel-Beugungsbild eines Spalts berechnet werden.

__________________________________________________________________________

Fresnelsches Beugungsmuster an einem Spalt der Breite 1. Links die Amplitude und rechts die Intensität.

_____________________________________________________________________

Wenn man die untere Integrationsgrenze nach -∞ gehen lässt und bei der oberen Integrationsgrenze d gegen Null gehen lässt, bekommt man das Beugungsbild an einer Kante. Wir tragen nun die Strecke vom Zentrum der linken Spirale (F(-∞) = -1∕2(1 + i)) aus zum Ortspunkt korrespondierend zu x ab. Wir sehen, dass im Schattenbereich (bis der bewegliche Ortspunkt 0, 0 erreicht) die Amplitude monoton zunimmt. Dann beginnt eine Oszillation, die als die Interferenzmuster im hellen Bereich beobachtet werden kann.

__________________________________________________________________________

Fresnelsches Beugungsmuster an einer Halbebene. Links die Amplitude und rechts die Intensität.

_____________________________________________________________________

5.9.2  Fraunhofer-Beugung

Die Gleichung (5.4) kann weiter vereinfacht werden, wenn |x ′| «|x | ist. Dann bekommen wir

(5.10)

Nun ist die optische Distanz s eine lineare Funktion von x′. Die Approximation gilt nur, wenn das Beugungsobjekt klein gegen die Distanz zu Objekt und der Grösse des Beugungsmusters ist. Diese Fernfeld-Approximation nennt man die Fraunhofer-Näherung.

5.9.3  Vergleich

(Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 327])

Die bis jetzt besprochenen Beugungseffekte haben die folgenden Eigenschaften:

Fraunhofersche Beugung

Ebene Wellen fallen so auf einen Spalt, dass ihre Strahlen senkrecht auf ihn treffen. Damit sind die Amplituden und die Phasen der nach dem Huygensschen Prinzip emittierten Wellen gleich.

Das Beugungsbild wird auf einem weit entfernten Schirm beobachtet. Die von Punktquellen ausgehenden Strahlen treffen ungefähr parallel auf den Schirm.

Ist eine der obigen Bedingungen nicht erfüllt, spricht man von Fresnelscher Beugung. Eine andere Formulierung der Bedingungen der Fraunhoferschen Beugung ist

Der Abstand R von der Quelle zum Beugungsobjekt ist sehr viel grösser als die charakteristische Länge d des Beugungsobjekts.

Der Abstand R′ vom Beobachter zum Beugungsobjekt ist sehr viel grösser als die charakteristische Länge d des Beugungsobjekts.

_______________________________________________

Vergleich der Fresnelbeugung (rot) mit der Fraunhoferbeugung (schwarz) für Spaltweiten von 0.1 und 1.

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

Vergleich der Fresnelbeugung (rot) mit der Fraunhoferbeugung (schwarz) für Spaltweiten von 2 und 3.

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

Vergleich der Fresnelbeugung (rot) mit der Fraunhoferbeugung (schwarz) für Spaltweiten von 4 und 5.

_____________________________________________________________________

5.10  Beugungsgitter und Spektrographen

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 696]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 429]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1135])

pict
Versuch zur Vorlesung:

Beugungsgitter (Versuchskarte O-025)

_______________________________________________

Lichtdurchgang durch ein Gitter mit der Gitterkonstante g.

_____________________________________________________________________

Beugungsgitter haben Spaltabstände g in der Grössenordnung von etwa 1μm. Licht wird um den Winkel Θ, gegeben durch

(5.1)

abgelenkt. m heisst die Beugungsordnung. Wenn man eine monochromatische Lichtquelle beobachtet, stellt man fest, dass ein einzelnes Beugungsmaximum beobachtet wird. Man spricht von einer Spektrallinie.

Spektrum 1. Ordnung

Die Menge der Spektrallinien, deren Beugungsbilder zu m = 1 gehören.

Spektrum 2. Ordnung

Die Menge der Spektrallinien, deren Beugungsbilder zu m = 1 gehören.

Entsprechendes gilt für die höheren Ordnungen.

Das Auflösungsvermögen eines Gitters ist als die Zahl λ∕|Δλ| definiert, wobei |Δλ| die kleinste, noch trennbare Wellenlängendifferenz ist. Damit ist

(5.2)

Das Auflösungsvermögen ist proportional zur Zahl der beleuchteten Spalte N. Zum Beispiel braucht man, um die zwei Na-Linien bei 589nm und bei 589.59nm aufzulösen,

5.10.1  Blaze-Gitter

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 700])

__________________________________________________________________________

Blaze-Gitter

_____________________________________________________________________

Bei einem Beugungsgitter, bei dem alle Flächen senkrecht auf der einfallenden Strahlung stehen, wird der Hauptteil der Energie in die 0. Ordnung gebeugt. Für spektroskopische Zwecke ist das sinnlos, da die Wellenzerlegung bei Ordnungen grösser als null auftritt. Deshalb haben moderne Gitter eine bestimmte Oberflächenform (”blaze”), wie in der Abbildung gezeigt. Dadurch wird die Reflexion, die die meiste Energie enthält, zu höheren Ordnungen verschoben.

Aus der Abbildung geht hervor, dass der reflektierte Strahl mit der Einfallsrichtung den Winkel 2ϕ bildet, da ja Θ = ϕ gilt. Dieser Winkel soll einer bestimmten Ordnung m der Interferenz entsprechen. Also muss gelten:

(5.3)

oder

(5.4)

pict
Versuch zur Vorlesung:

Auflösung eines Gitters (Versuchskarte O-124)

5.10.2  Hologramme

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 925]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1137]) (Siehe Gerthsen, Physik [?, pp. 526])

pict
Versuch zur Vorlesung:

Herstellung von Hologrammen (Versuchskarte O-070)

pict
Versuch zur Vorlesung:

Hologramm einer Elektrolokomotive (Versuchskarte O-014)

Versuch zur Vorlesung:
Hologramm eines Baggers (Versuchskarte O-069)

Die Holographie speichert die Phaseninformation eines Lichtfeldes in einer fotografischen Schicht. Sie wurde von Dennis Gabor 1947 zum ersten Male beschrieben. Um die Phaseninformation aufzuzeichnen ist es notwendig, die Interferenz des aufzuzeichnenden Lichtfeldes mit einem Referenzlichtfeld aufzuzeichnen.

__________________________________________________________________________

Aufzeichnung eines Hologramms

_____________________________________________________________________

Bei der Aufzeichnung des Hologramms wird eine möglichst monochromatische Lichtquelle, also zum Beispiel ein Laser auf zwei Pfade aufgeteilt.Der eine Pfad beleuchtet das Objekt, dessen gestreutes Licht mit der Amplitude E₀ die Fotoplatte beleuchtet. Der zweite Strahl wird über ein Spiegelsystem als Referenzstrahl EB auf die Fotoplatte gebracht, deren Ebene mit ΣH bezeichnet wird und die identisch mit der Ebene z = 0, also der xy-Ebene ist. Auf dem Hologramm wird die Intensitätsverteilung I(x,y) resultierend aus der Interferenz von EB und E₀ in eine dazu proportionale Schwärzung umgewandelt.

__________________________________________________________________________

Auslesen eines Hologramms

_____________________________________________________________________

Das Hologramm in der ΣH-Ebene wird anschliessend mit monochromatischem Licht der gleichen Wellenlänge, ER beleuchtet. Es entstehen drei Strahlen, nämlich

den ungebeugten Strahl

Dieser Strahl hat zwar eine geringere Intensität, kann aber so nicht ausgewertet werden.

einen gebeugten Strahl mit negativer Phase

Dieser Strahl erzeugt das reelle Bild, das aber dem Betrachter tiefenverkehrt erscheint.

einem gebeugten Strahl mit positiver Phase

Dieser Strahl, mit einer Kamera aufgenommen, erzeugt auf der Bildebene der Kamera ein Intensitätsmuster, wie wenn der Gegenstand noch vorhanden wäre. Dieses tiefenrichtige Bild heisst virtuelles Bild.

__________________________________________________________________________

Schematischer Aufbau von Hologrammen

_____________________________________________________________________

Die Berechnung dieser Effekte beginnt mit dem Referenzstrahl EB

(5.5)

Dabei ist ϕ(x,y) die örtlich variierende Phase, da EB nicht senkrecht auf ΣB fällt. Bei einer ebenen Welle, die mit dem Winkel Θ zur Senkrechten auf die Hologrammebene fällt wäre

(5.6)

Die vom Objekt gestreute Welle ist

(5.7)

wobei sowohl E₀₀(x,y) und ϕ₀(x,y) komplizierte Funktionen des Ortes sind. Die Intensität in der Hologrammebene ΣH ist durch

gegeben. Der Kontrast, gegeben durch ν = (Imax-Imin)∕(Imax+Imin) ist

(5.9)

Die Schwärzung der holografische Emulsion soll proportional zu I(x,y) sein. Indem wir mit der Rekonstruktionswelle

(5.10)

das Hologramm beleuchten, erhalten wir eine Amplitudenverteilung gerade hinter dem Hologramm proportional zu I(x,y)ER(x,y). Ohne konstante Faktoren ist das Resultat

Wie oben diskutiert existieren drei Terme.

1 22 2 (E 0B + E 00(x,y )) E0R: die amplitudenmodulierte Rekonstruktionswelle

E0RE0BE₀₀(x,y) cos[ωt + 2ϕ(x,y)-ϕ₀(x,y)]: Die tiefenverkehrte Welle mit negativer Phase, die das reelle Bild erzeugt.

E0RE0BE₀₀(x,y) cos[ωt + ϕ₀(x,y)]: Die rekonstruierte Welle.

Durch den schrägen Einfall der Referenz- und der Rekonstruktionswelle werden virtuelles und reelles Bild getrennt.

Hologramme mit ebenen Wellen als Referenz- und Rekonstruktionswellen haben eine beschränkte Auflösung. Dies ist ersichtlich bei der Betrachtung des Hologramms einer punktförmigen Quelle. Die Interferenz zwischen einer ebenen Welle und einer Kugelwelle ergibt das gleiche Muster wie das Beugungsmuster an einer kreisförmigen Öffnung. Dort und auch hier nimmt der Abstand der Beugungsmaxima nach aussen ab. Indem das Hologramm mit Licht etwa der gleichen Krümmung wie die Objektwelle beleuchtet wird kann diese Abnahme vermieden werden (Fourier-Holographie).

Neben den besprochenen flächigen Hologrammen gibt es auch Volumenhologramme. Dort wird ein dreidimensionales Beugungsgitter analog zu einem Kristall erzeugt. Diese Hologramme können auch mit weissem Licht beleuchtet werden.

Durch die Überlagerung zweier Hologramme können interferometrische Messungen der Verschiebung von Objekten im μm-Bereich durchgeführt werden.

5.11  Beugung und Auflösung

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 327, 694, 703]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1132]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 488])

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Versuch zur Vorlesung:

Auflösungsvermögen eines Mikroskops (Versuchskarte O-001)

Wir verwenden die Tatsache, dass optische Systeme in den einfachsten Fällen lineare Systeme sind. Wenn f(x,y) und g(x,y) Intensitätsverteilungen senkrecht zur optischen Achse sind, und f die Ausgangsverteilung und g die Bildverteilung ist, schreibt man für die Abbildung

(5.1)

Die Abbildung ist linear, das heisst, wenn f₁ → g₁ und f₂ → g₂ ist, ist

(5.2)

Wir nennen ^f (u,v) die Fouriertransformation von f(x,y). Es gilt

Wir schreiben x = (x,y) und u = (u,v) Die Fouriertransformation lässt sich dann kompakt schreiben als

5.11.1  Impulsantwort und Faltungssatz

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 765])

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Versuch zur Vorlesung:

Fourier-Transformation (Versuchskarte O-067)

Ein Lichtfleck an der Position x′ der Eingangsebene erzeugt eine Intensitätsverteilung in der Ausgangsebene, die sowohl vom Beobachtungspunkt x wie auch von x′ abhängt. Die Impulsantwort ist

(5.5)

Ein optisches System ist translationsinvariant, wenn

(5.6)

gilt. Bei einem kontinuierlichen linearen optischen System gilt zwischen der Bildebene und der Eingangsebene die Beziehung

(5.7)

Dies ist das Faltungstheorem aus der Fourieroptik. Im Fourierraum wird aus einer Faltung eine Multiplikation, also

(5.8)

Wenn die optische Übertragung kohärent verläuft, dann verwendet man die oben definierte kohärente Übertragungsfunktion, die Amplituden verknüpft. Ist die Übertragung nicht kohärent, muss man mit Intensitäten rechnen.

__________________________________________________________________________

Berechnung der Beugung an einer Öffnung

_____________________________________________________________________

Das entstehende Beugungsbild eines Punktes ist das Fraunhofersche Beugungsmuster der Blendenöffnung. Die inkohärente Impulsantwort wird

(5.9)

Dies bedeutet, dass Hd das Betragsquadrat der Fouriertransformation der Pupillenfunktion P ist.

Für eine kreisförmige Öffnung ist die Pupillenfunktion

(5.10)

wobei D den Durchmesser der Öffnung und r′ = ∘ --------- x′2 + y′2 den Radius darstellt.

Die Rechnung ist in Polarkoordinaten einfacher.

sowie in der Bildebene

Mit ρb = r∕(λdb) bekommt man

Dabei ist die Grösse

(5.14)

die sogenannte Besselfunktion nullter Ordnung. Die Fouriertransformation einer runden Pupille wird also

J₁(α) = ∫ ₀αωJ 0(ω)dω ist die Besselfunktion erster Ordnung. Mit r = λdbρb, Θ und S = πD²∕4, der Pupillenfläche, bekommt man für die komplexe Amplitude

Die Intensitäten als Funktion von X = ρbD sind

X
0
1.22
1.63
2.33
2.68
3.33

[2J1(πX )∕ (πX )] ²
1
0
0.017
0
0.004
0

_______________________________________________

Die Beugung an einer ringförmigen Apertur.

_____________________________________________________________________

Bei der Beugungsfigur an einer kreisförmigen Öffnung mit dem Durchmesser d ist das erste Minimum bei sin Θ = 1.22λ d.

__________________________________________________________________________

Abbildung zweier punktförmiger, inkohärenter Quellen durch eine Blende mit der Öffnung d.

_____________________________________________________________________

Bei dem sogenannten kritischen Winkel αK, der durch

(5.17)

gegeben ist, fällt das Minimum der einen Beugungsfigur gerade auf das Maximum der anderen. Das obige Kriterium wird das Rayleighsche Auflösungskriterium genannt.

__________________________________________________________________________

Form der Intensität bei der Überlagerung zweier inkohärenter Punktquellen. Der Abstand variiert von 0.6 (rot) bis 1.6 (blau) in Schritten von 0.1.

_____________________________________________________________________

Diese Abbildung zeigt, dass die Definition des Auflösungsvermögens an das mögliche Signal-Rausch-Verhältnis gebunden ist. Mit modernen Detektoren mit 16 Bit Auflösung sind deshalb leicht bessere Grenzen der Auflösung möglich.

__________________________________________________________________________

Querschnitt zweier inkohärenter Punktquellen als Funktion des Abstandes (links) und Bild der Intensitätsverteilung bei einem Abstand von 1.

_____________________________________________________________________

Wenn das zu untersuchende Objekt in ein Medium mit dem Brechungsindex n eingebettet ist, dann verbessert sich die Auflösung auf sin αK = 1.22-λ-- n·d, da in diesem Medium die Wellenlänge ja λ′ = λ∕n ist.

6  Resonatoren und ihre Lichtmoden

6.1  Matrixformulierung der Lichtpropagation

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 371]) (Siehe Yariv, Quantum Electronics [?, pp. 99])

Zur Behandlung von Resonatoren verwenden wir die Matrixdarstellung der Lichtausbreitung paraxialer Strahlen in einer zylindersymmetrischen Anordnung. Die Lage des Lichtstrahls wird durch den Vektor

(6.1)

wobei z die Koordinate entlang der optischen Achse ist. Die Wirkung eines optischen Elementes wird durch eine Matrix A beschrieben

(6.2)

___________________________________________________________________________

GeradeStrecke

Dünne Linse, Brennweite f (f > 0: Sammellinse, f < 0: Zerstreuungslinse

Dielektrische Grenzschicht mit den Brechungsindizes n₁ und n₂

Sphärische dielektrische Grenzschicht mit Krümmungsradius R und den Brechungsindizes n₁ und n₂

Sphärischer Spiegel mit dem Krümmungsradius R

GeradeStrecke

Matrizen für die Strahlausbreitung

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

Linsenübertragungsstrecke als Modell für einen Laserresonator.

_____________________________________________________________________

Der Strahl von der n-ten zur n + 1-ten Linse ist durch

(6.3)

Wir haben dann eine Lichtausbreitung in einem Resonator, wenn die Strahllage nach der n + 2-ten Linse gleich wie nach der n-ten ist. Daraus folgt

(6.4)

Ausmultipliziert erhalten wir

(6.5)

Um eine Resonatormode zu bekommen muss raus = rein sein. Wir setzen

Damit bekommen wir auch

Wir lösen die erste Gleichung nach rn′ auf und erhalten

(6.8)

Diese Gleichung schreiben wir um 2 verschoben hin und bekommen

(6.9)

Wir setzen diese Resultate in die zweite Gleichung (6.7) ein und erhalten

(6.10)

Durch ausrechnen erhält man, dass AD - BC = 1 ist. Wenn wir b = 1 2(A + D ) = ( ) 1 - d-- d-+ -d2- f2 f1 2f1f2 setzen, können wir schreiben

(6.11)

Diese Differenzengleichung ist formal äquivalent zu einer Differentialgleichung vom Typ ¨r+kr = 0¹ Die Lösung der Differentialgleichung ist r(z) = r(0) exp [ √ --] ±i kz. Deshalb setzen wir in die Differenzengleichung den Ansatz rs = r₀ exp [isΘ ] mit s = 2n ein und erhalten

(6.12)

Die Lösung ist

(6.13)

Mit b = cos Θ und daraus ------ √ 1 - b2 = sin Θ ist die obige Gleichung erfüllt. Die allgemeine Lösung ist also

(6.14)

mit rmax = r₀∕ sin δ. Damit wir eine stabile Lösung haben, muss Θ reell sein. Daraus folgt

(6.15)

Aus der Definition von b folgt²

6.1.1  Stabilität

Wenn wir die neuen normierten Koordinaten x = d∕2f₁ und y = d∕2f₂ einführen, heisst die Stabilitätsbedingung

(6.17)

__________________________________________________________________________

Stabilitätsdiagramm für Strahlführoptiken mit Linsen. Die gelbliche Farbe zeigt die instabilen Bereich, die türkis-Farbe die stabilen.

_____________________________________________________________________

Das obige Stabilitätsdiagramm kann auch für Spiegel berechnet werden, indem man f = R∕2 setzt, wobei R der Krümmungsradius des Spiegels ist.

__________________________________________________________________________

Das Stabilitätsdiagramm für Spiegelresonatoren.

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Versuch zur Vorlesung:

Laser (Versuchskarte AT-052)

6.2  Resonatoren mit sphärischen Spiegeln

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 893])

__________________________________________________________________________

Konzentrischer Resonator

_____________________________________________________________________

Beim konzentrischen Resonator ist R₁ = R₂ = ℓ∕2. Damit liegt dieser Resonator auf der Diagonale des Stabilitätsdiagramms am Punkt (2, 2) an der Grenze zur Instabilität.

__________________________________________________________________________

Konfokaler symmetrischer Resonator.

_____________________________________________________________________

Beim konfokalen Resonator ist ℓ = R₁ = R₂. Dieser Resonator liegt am Punkt (1, 1) und ist auch an der Grenze zu instabilen Regionen.

__________________________________________________________________________

Resonator mit planparallelen Spiegeln.

_____________________________________________________________________

Der planparallele Resonator ist ein Sonderfall der sphärischen Resonatoren mit R₁ = R₂ = ∞. Dieser Resonator, der an der Stabilitätsgrenze bei (0, 0) liegt, ist heute der am häufigsten vorkommende Resonator: praktisch jede Laserdiode besteht aus einem planparallelen Resonator.

6.3  Gausssche Strahlen

(Siehe Yariv, Quantum Electronics [?, pp. 106])

Als Vorstufe betrachten wir die durch eine Linse induzierte abstandsabhängige Phasendifferenz für paraxiale Strahlen. Die Linsenkrümmung sei R. Die x,y-Ebene sei senkrecht zur optischen Achse. Dann ist die Dicke der Sammellinse durch d(x,y) = d₀ - (x² + y²)∕2R 1 - (x² + y²)∕2R 2 gegeben. Der optische Weg setzt sich dann aus s = sLinse(r) + sLuft(r) zusammen. Die Zeit, die Das Licht für das durchlaufen dieser Strecke benötigt ist

(6.1)

Mit sLuft = s₀ - sLinse und unter Weglassung aller konstanten Terme bekommt man

(6.2)

Mit 1∕f = (n - 1)(1∕R₁ + 1∕R₂) ist das Resultat

(6.3)

Wenn wir mit EL(x,y) die Amplitudenverteilung links von der Linse und mit ER(x,y) die Verteilung rechts von der Linse beschreiben, gilt

(6.4)

Den gleichen Effekt erreicht man mit einem Medium, das die folgende Variation des Brechungsindexes hat

(6.5)

Mit dem Fermatschen Prinzip in differentieller Schreibweise

(6.6)

kann die Trajektorie des Lichtstrahls ausgerechnet werden. Dabei ist s die Weglänge entlang des Lichtstrahls. Bei paraxialen Strahlen kann d∕ds durch d∕dz ersetzt werden. Damit ist die Gleichung für paraxiale Strahlen

(6.7)

Wenn der Strahl am Eingang die Position r₀ und die Steigung r₀′ hat, ist die Lösung

Aus der Elektrizitätslehre folgt (ohne Ableitung), dass für das elektrische Feld

(6.9)

gilt. Wir beschränken uns auf den Fall wo k²(r) = k² -kk 2r² gilt. Der Laplace-Operator in Zylinderkoordinaten für Funktionen, die nur von r = -------- √ x2 + y2 abhängen, ist

(6.10)

Wir verwenden die Abkürzung ∇t² = ∂22 ∂r + 1 r∂- ∂r. Weiter setzen wir an:

(6.11)

und erhalten

(6.12)

Wenn die Intensität entlang z sich nur wenig ändert (k(∂ψ∕∂z) » ∂²ψ∕∂z² « k²ψ, ist, können wir für ψ ansetzen

(6.13)

Wir setzen dies ein und bekommen

(6.14)

Da dies Gleichung für alle r gelten soll, müssen die Koeffizienten der verschiedenen Potenzen von r einzeln verschwinden. Also ist

In einem homogenen Medium ist k₂ = 0 so dass wir die Gleichung

(6.16)

erhalten. Wir definieren die Funktion s(z) über

(6.17)

Durch Einsetzen sehen wir, dass

(6.18)

Damit muss s(z) = az + b sein. Somit ist Q

(6.19)

Bequemer ist es im weiteren, wenn wir die Funktion

(6.20)

verwenden. Diese hat die Form

(6.21)

Wir setzen Q(z) in die Gleichung für P(z) ein und erhalten

Wir nehmen an, dass q₀ rein imaginär ist. Dann gilt für die örtliche Amplitudenverteilung

(6.23)

Wir setzen q₀ = i2 πω0n λ, berücksichtigenλ = 2πn∕k und verwenden die Identität ln(a + ib) = ln √a2-+--b2- + i arctan(b∕a) und erhalten für den ersten Term im obigen Produkt

(6.24)

Der zweite Term wird

(6.25)

Die folgenden Definitionen sind üblich

Die Parameter haben die folgende Bedeutung:

ω(z)
Der halbe Strahldurchmesser an der Position z

R(z)
Der Krümmungsradius der Wellenfront an der Stelle z

η(z)
Phasenfaktor

z₀
Ort der maximalen Krümmung der Wellenfront

Mit dieser abgekürzten Schreibweise wird

(6.30)

Weiter ist

(6.31)

Die Grösse 1∕q(z) beschreibt die Gaussschen Strahlen. Der Realteil gibt den Krümmungsradius der Wellenfronten, der Imaginärteil den Strahldurchmesser.

Die Grösse q(z) ist deshalb sehr wichtig, weil mit Hilfe der Transfermatrizen q(z) propagiert werden kann. Die Transfermatrizen geben deshalb auch die Änderung der Strahlform durch optische Elemente an.

6.3.1  Divergenz und Strahldurchmesser

(Siehe Yariv, Quantum Electronics [?, pp. 106])

Die obigen Parameter haben die folgende Bedeutung

6.3.1.1 ω(z) und ω₀

Die transversale Amplitudenverteilung folgt einer Gausskurve, wie man aus dem Term exp[r²∕ω²(z)] ersehen kann. ω(z) ist die Distanz zur optischen Achse, bei der die Intensität um den Faktor e vom Maximum abgefallen ist. ω₀ beschreibt den minimalen Strahldurchmesser.

6.3.1.2 R(z)

R(z) ist der Krümmungsradius der Wellenfronten. Aus R(z) = z( z2) 1 + 0z2- ist ersichtlich, dass lim z→0R(z) = ∞ ist. Damit nähern Gausssche Wellen im Fokus eine ebene Welle an. Ebenso ist lim z→±∞R(z) = ±∞. Auch für sehr grosse Distanzen sind Gausssche wellen eine gute Approximation für ebene Wellen.

6.3.1.3 Öffnungswinkel

Weit weg vom minimalen Strahldurchmesser kann ein Gaussscher Strahl durch einen Öffnungswinkel

(6.32)

beschrieben werden. Es gilt deshalb die folgende Gleichung

(6.33)

die formal äquivalent zur Unschärferelation ist. Damit ist klar, dass ein kleinerer Brennfleck unweigerlich einen grösseren Öffnungswinkel bedeutet. In einer nullten Approximation sieht man auch, dass ω₀ ≥πλ2n- sein muss.

6.3.2  Wirkung optischer Elemente auf Gausssche Strahlen

Die Transformation eines Gaussschen Strahls mit optischen Elementen, die durch die Matrix

charakterisiert sind, wird durch

(6.34)

beschrieben. Zum Beispiel wirkt eine Linse mit der Brennweite -f, also der Matrix

so auf einen Gaussschen Strahl

(6.35)

Wir nehmen den Kehrwert und bekommen

(6.36)

Mit der Definition 1∕q = 1∕R + iλ∕(πnω²) wird die Gleichung

(6.37)

Diese Gleichung muss für den Real- und den Imaginärteil separat erfüllt sein. Also haben wir

-1- R2 | = -1- R1 -1- f |  | (Realteil) |  |  |  |
ω₁ | = ω₂ |  | (Imaginärteil) | (6.38)

Wenn zwei optische Elemente mit den Matrizen

und

hintereinander geschaltet, ist das Resultat durch

gegeben. Die Analyse dieser Gleichung zeigt, dass für die Koeffizienten auch

(6.40)

gilt. Damit gelten für Gausssche Strahlen die gleichen mathematischen Formeln für die Berechnung von optischen Systemen wie bei Lichtstrahlen.

__________________________________________________________________________

Fokussierung eines Gaussschen Strahls.

_____________________________________________________________________

In der Eingangsebene 1 ist R₁ = ∞ und ω = ω₀₁. Dann ist

(6.41)

In der Ebene 2 ist

(6.42)

Damit ist

(6.43)

wobei a = 1∕f und b = λ∕(πω₀₁²n). In der Ebene 3 ist

(6.44)

Nun muss in der Ebene 3 auch gelten

(6.45)

In der Ebene 3 soll der Durchmesser minimal sein, also ist R₃ = ∞. Damit muss in der obigen Gleichung der Realteil null sein. Damit ergibt sich die Bedingung

(6.46)

Und damit ist auch der Ort des Strahlminimums gegeben. Der neue Strahldurchmesser ist

(6.47)

Der Parameter z₀ ist der konfokale Parameter, der angibt, in welcher Distanz vom Strahlminimum der Strahldurchmesser um √-- 2 zunimmt. Der Wert des konfokalen Parameters ist

(6.48)

6.3.3  Moden

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 881]) (Siehe Yariv, Quantum Electronics [?, pp. 118])

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Versuch zur Vorlesung:

Laser (Versuchskarte AT-052)

Die Gaussschen Strahlen sind die Grundmode von Laserstrahlung. Sie zeichnen sich dadurch aus, dass sie keine Knotenlinie hat. Es existieren weiter Moden, die durch die Anzahl Knotenlinien in horizontaler und vertikaler Richtung charakterisiert sind. Die möglichen Moden sind durch die Randbedingungen vorgegeben. So erzeugt eine vertikale Störung durch die Resonatorachse eine Mode mit zwei Maxima, die durch eine vertikale Knotenlinie getrennt sind.

Im folgenden werden Messungen von Moden gezeigt, die im Institut für Experimentelle Physik an vertikal emittierenden Laserdioden (VCSEL) aus der Abteilung Optoelektronik gemessen wurden.

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Aufbau der Nahfeld-Messeinrichtung für Modenverteilungen. (Zeichnung von Markus Fischer[?]).

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_____________________________________________________________________

Nahaufnahme von Glasfaser-Nahfeldsonden. (Daten gemessen von Markus Fischer[?]).

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_____________________________________________________________________

Transmission von Nahfeld-Glasfasersonden. (Schaubild gezeichnet von Markus Fischer[?]).

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Wellenleitermoden für elliptische Wellenleiter. Links sind die Bezeichnungen, dann die Anordnung der elektrischen Felder und schliesslich die Intensitätsmuster gezeigt. (gezeichnet nach [?].)

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Diese Aufnahme zeigt Moden bei relativ geringen Strömen. Deshalb können nur die Grundmode sowie noch wenige Oberwellen anschwingen. Die Modenform wird durch die Verunreinigungen auf den Laserspiegeln (rechts sichtbar) hervorgerufen. In der Unteren Reihe ist der Analysator für die Polarisation um π∕2 gedreht worden. Die beiden Reihen zeigen also die beiden orthogonalen Polarisationszustände des Lichtes. (Daten gemessen von Markus Fischer[?]).

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_____________________________________________________________________

Bei ähnlichem Strom hängen die möglichen Moden auch vom Durchmesser des Resonators ab. Dieser Resonator ist grösser als der im vorherigen Bild. (Daten gemessen von Markus Fischer[?]).

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Hier ist der Strom bei gleicher Geometrie grösser als im vorherigen Bild. Entsprechend schwingen mehr Moden an. Beachten Sie, dass die Knotenlinien von Moden mit einer orthogonalen Polarisation auch orthogonal sind. (Daten gemessen von Markus Fischer[?]).

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Dieser Laserresonator hat den grösseren Durchmesser als der vorherige. Da auch der Injektionsstrom grösser ist, schwingen hier sehr viele Moden an, die zum Teil auch nicht mehr identifiziert werden können. (Daten gemessen von Markus Fischer[?]).

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Hier wird gezeigt, dass die Sonde, hier ”Spitze” genannt, keinen Einfluss auf die Messung hat. (Daten gemessen von Markus Fischer[?]).

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Wie bei allen Messmethoden gibt es auch hier Artefakte. So führen hier Rückwirkungen auf den Laser zu einer optisch sonst nicht erklärbaren Streifenbildung. (Daten gemessen von Markus Fischer[?]).

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Nach Yariv[?, 118] genügen die Moden in rechteckförmigen Wellenleiter

wobei Hℓ das Hermitsche Polynom ℓ-ten Grades ist und die anderen Grössen wie bei den Gaussschen Strahlen definiert sind.

Abbildungsverzeichnis

Tabellenverzeichnis

Literaturverzeichnis

[Hec05]   Eugene Hecht. Optik. Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, 4th edition, 2005. Übersetzt von Dr. Anna Schleitzer.

[Pér96]   José-Philippe Pérez. Optik. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, 1996.

[TM04]   Paul A. Tipler and Gene Mosca. Physik. Spektrum Verlag, 2nd edition edition, 2004. ISBN-13: 978-3827411648.

Index

Gyroskop, 8

Sagnac-Interferometer, 7–10

¹Moderne Objektive haben asphärische Linsen, die bei grossen Blendenöffnungen eine bessere Abbildung ermöglichen

¹Dabei muss ωt durch kx - ωt ersetzt werden.

¹Es ist auch n = √ - ϵ, wobei ϵ die relative Dielektrizitätszahl bei der Frequenz des Lichtes ist

²Das ist die Länge, die mit dem Brechungsindex gewichtet ist.

³Die Analyse von Spannungen in Bauteilen nachgebildet mit Plexiglas war eine wichtige Anwendung (heute gibt es Programme zur Finite-Elemente-Analyse)

¹Dies ist bei metallbedampften Spiegeln nicht der Fall.

²Achtung! Es gibt mehrere Definitionen der Airy-Funktion.

³sin Θ ≈ tan Θ ≈ Θ

¹Dazu schreiben wir die Gleichung wie folgt um. rn+4 - 2rn+2 + 4rn + 2(1 - b)rn+2 = 0. Nun sind die ersten drei Summanden die zweite Ableitung.

²Wir rechnen

und damit folgt die Behauptung.