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Vorlesungsskript

PHYS2000.0 Optik
Bachelor Physik
Bachelor Wirtschaftsphysik
Lehramt Physik

Othmar Marti

Institut für Experimentelle Physik

Universität Ulm

veröffentlicht unter  pict  Lizenzinformationen

DOI 10.13140/RG.2.1.3086.0325

22. März 2018

Inhaltsverzeichnis
1  Einleitung
2  Zusammenfassung Elektrizitätslehre
3  Interferenz und Beugung
4  Geometrische Optik und Wellenoptik
5  Geometrische Optik
6  Optische Instrumente
7  Resonatoren und ihre Lichtmoden
A  Bestimmung des Polarisationszustandes
B  Einige notwendige mathematische Verfahren
  Abbildungsverzeichnis
Abbildungsverzeichnis
  Tabellenverzeichnis
Tabellenverzeichnis
  Literaturverzeichnis
Literaturverzeichnis
  Index
Index

Inhaltsverzeichnis

1  Einleitung
 1.1  Lizenzinformationen
 1.2  Literaturhinweise
2  Zusammenfassung Elektrizitätslehre
 2.1  Maxwellgleichungen
 2.2  Wellengleichung
 2.3  Die Fresnelschen Formeln
  2.3.1  s-Polarisation
  2.3.2  p-Polarisation
  2.3.3  Grenzfall des senkrechten Einfalles
  2.3.4  Brewster-Winkel
  2.3.5  Beispielkurven für die Fresnelformeln
  2.3.6  Evaneszente Wellen
3  Interferenz und Beugung
 3.1  Vorbemerkungen und Motivation
 3.2  Phasendifferenz und Kohärenz
  3.2.1  Stehende Wellen
  3.2.2  Mach-Zehnder-Interferometer
  3.2.3  Das Michelson-Interferometer
  3.2.4  Sagnac-Interferometer
  3.2.5  Das Fabry-Perot-Interferometer
  3.2.6  Beugungsmuster bei Interferometern
 3.3  Wellen in 2 und mehr Dimensionen
  3.3.1  Ebene Wellen
  3.3.2  Kugelwellen
  3.3.3  Fourier-Transformation
 3.4  Das Fresnel-Huygenssche Prinzip
  3.4.1  Interferenz von Kugelwellen
 3.5  Interferenzmuster an einem Doppelspalt
 3.6  Vektoraddition von harmonischen Wellen
 3.7  Interferenzmuster bei drei und mehr äquidistanten Quellen
 3.8  Interferenz an dünnen Schichten
 3.9  Beugungsmuster an einem Einzelspalt
  3.9.1  Berechnung der Intensitätsverteilung
 3.10  Interferenz- und Beugungsmuster beim Doppelspalt
  3.10.1  Fouriertransformation und Faltung
  3.10.2  Fouriertransformation und Diracsche Deltafunktion
  3.10.3  Diskussion der Interferenz beim Doppelspalt
 3.11  Fraunhofersche und Fresnelsche Beugung
  3.11.1  Fresnelsche Näherung
  3.11.2  Prinzip von Babinet
  3.11.3  Fraunhofer-Beugung
  3.11.4  Vergleich
  3.11.5  Kirchhoffsche Beugungstheorie
 3.12  Beugungsgitter und Spektrographen
  3.12.1  Blaze-Gitter
  3.12.2  Hologramme
 3.13  Beugung und Auflösung
  3.13.1  Impulsantwort und Faltungssatz
4  Geometrische Optik und Wellenoptik
 4.1  Reflexion
 4.2  Brechung
  4.2.1  Totalreflexion
 4.3  Das Fermatsche Prinzip
  4.3.1  Reflexion
  4.3.2  Brechung
  4.3.3  Das Fermatsche Prinzip und die Interferenz
 4.4  Polarisation
  4.4.1  Polarisation durch Absorption (Dichroismus)
  4.4.2  Polarisation durch Streuung
  4.4.3  Polarisation durch Reflexion
  4.4.4  Polarisation durch Doppelbrechung
  4.4.5  Beschreibung der Polarisation
  4.4.6  Zusammenhang zwischen Jones-Matrizen und Müller-Matrizen
  4.4.7  Beispiele zur Polarisation
5  Geometrische Optik
 5.1  Lichtgeschwindigkeit
 5.2  Licht in der geometrischen Optik
 5.3  Bilderzeugung durch Brechung
  5.3.1  Dünne Linsen
  5.3.2  Bildkonstruktion bei Linsen
  5.3.3  Dicke Linsen
  5.3.4  Mehrere Linsen
 5.4  Ebene Spiegel
 5.5  Bilderzeugung mit sphärischen Spiegel
  5.5.1  Konvexspiegel
  5.5.2  Bildkonstruktion beim Hohlspiegel
 5.6  Abbildungsfehler
6  Optische Instrumente
 6.1  Das Auge
 6.2  Die Lupe
 6.3  Die Kamera
 6.4  Das Mikroskop
 6.5  Das Teleskop oder Fernrohr
 6.6  Das Prisma: ein optisches Instrument mit Dispersion
 6.7  Spektrometer
  6.7.1  Gitter-Spektrometer
7  Resonatoren und ihre Lichtmoden
 7.1  Matrixformulierung der Lichtpropagation
  7.1.1  Lichtpropagation entlang eines Lichtstrahls
  7.1.2  Lichtpropagation durch eine Linse
  7.1.3  Lichtpropagation durch eine gewölbte Grenzschicht
  7.1.4  Lichtpropagation durch eine schräge Grenzschicht
  7.1.5  Lichtpropagation bei Reflexion an einem gewölbten Spiegel
  7.1.6  Lichtpropagation bei einem Indexmedium
  7.1.7  Zusammenfassung Lichtpropagation
  7.1.8  Stabilität
 7.2  Resonatoren mit sphärischen Spiegeln
 7.3  Gausssche Strahlen
  7.3.1  Divergenz und Strahldurchmesser
  7.3.2  Wirkung optischer Elemente auf Gausssche Strahlen
  7.3.3  Moden
A  Bestimmung des Polarisationszustandes
 A.1  Rechnung mit Jones-Matrizen
 A.2  Rechnung mit Müller-Matrizen
B  Einige notwendige mathematische Verfahren
 B.1  Vektoren
  B.1.1  Gesetze
 B.2  Differentiation und Integration
  B.2.1  Einige Reihen
  B.2.2  Ableitungen in drei Dimensionen
 B.3  Skalarprodukt und Vektorprodukt in kartesischen Koordinaten
 B.4  Rechnen mit Vektoren
  B.4.1  Vektoridentitäten
 B.5  Drehungen
  B.5.1  Drehmatrizen
  B.5.2  Drehung von Vektoren und Matrizen (oder Tensoren)
  B.5.3  Allgemeine Drehung mit Eulerwinkeln
 B.6  Umrechnung zwischen Koordinatensystemen
  B.6.1  Definitionen
  B.6.2  Allgemeine Transformation
  B.6.3  Vom kartesischen ins sphärische System
  B.6.4  Vom sphärischen ins kartesische System
  B.6.5  Vom kartesischen ins zylindrische System
  B.6.6  Vom zylindrischen ins kartesische System
  B.6.7  Vom sphärischen ins zylindrische System
  B.6.8  Vom zylindrischen ins sphärische System
 B.7  Vektordifferentialoperatoren in krummlinigen Koordinaten
  B.7.1  Zylinderkoordinaten
  B.7.2  Kugelkoordinaten
 B.8  Die Diracsche Deltafunktion
 B.9  Kronecker-Produkt
  Abbildungsverzeichnis
  Tabellenverzeichnis
  Literaturverzeichnis
  Index

1  Einleitung

1.1  Lizenzinformationen

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Der Aufbau dieser Vorlesung richtet sich nach dem studienbegleitenden Praktikum zur Optik. Wir beginnen deshalb mit der geometrischen Optik, ohne eine Ableitung der Gesetze aus der Wellennatur des Lichtes. Die Gesetze der geometrischen Optik werden im folgenden Kapitel aus der Wellennatur des Lichtes abgeleitet. Dies führt zu der Diskussion von Interferenz und Beugung.

Als Ergänzung zur Vorlesung möchte ich auf eine wunderbare Website zum Aufarbeiten Ihres Wissens ist Hyperphysics von R. Nave hinweisen. Ergänzend gibt es vom gleichen Autor auch Hypermath. Das Programm Winlens ist ein wunderbares Spielzeug, um auch grössere optische Aufbauten schnell und interaktiv zu berechnen. Die Firma Melles Griot hat auf ihren Webseiten ein längeres Tutorium.

1.2  Literaturhinweise

Die Vorlesung orientiert sich an den Werken von Tipler[TM04], Physik, und Gerthsen/Vogel[Mes06], Physik. Zum Aufarbeiten des gelernten Stoffes (nicht als Einsteigerliteratur) kann auch Kneubühls[Kne78] ”Repetitorium der Physik” empfohlen werden. Speziell für die Optik sind die Bücher von Demtröder [Dem08], Hecht[Hec05] und Perez[Pér96]. Mathematische Probleme und Formeln sind sehr schön im Bronstein[BSMM08] zusammengefasst.

2  Zusammenfassung Elektrizitätslehre

2.1  Maxwellgleichungen

(Siehe Leisi, Klassische Physik II [Lei98, pp. 251])

Alle optischen Phänomene können mit den Maxwellgleichungen berechnet werden.

div D | = ρel | I |  | (2.1a)
rot E | = -∂B-- ∂t | II |  | (2.1b)
div B | = 0 | III |  | (2.1c)
rot H | = i + ∂D-- ∂t | IV |  | (2.1d)

Hier ist E das elektrische Feld, D die dielektrische Verschiebung, H das magnetische Feld, B die magnetische Induktion, i die mikroskopische Stromdichte und ρel die Ladungsdichte.

Weiter benötigen wir das Kraftgesetz

(2.2)

und die Kontinuitätsgleichung

(2.3)

Die angegebenen Maxwellgleichungen gelten für alle Medien, auch mit tensoriellen Eigenschaften. Dort benötigt man die beiden Materialgleichungen

D | = εε₀E | (2.4a)
B | = μμ₀H | (2.4b)

um das elektrische Feld und die dielektrische Verschiebung, bzw. das magnetische Feld und die magnetische Induktion miteinander zu verknüpfen, wobei ε (relative Permittivität) und μ (relative Permeabilität) Tensoren sein können. ε₀ ist die Permittivität des Vakuums, μ₀ die Permeabilität des Vakuums.

Die Integralformulierung der Maxwellgleichungen lauten

∬ A(V ) D·da = | ∭ V ρel(r)dV | I |  | (2.5a)
∮ SE·ds = | -∂ --- ∂t ∬ A(S) B·da | II |  | (2.5b)
∬ A(V ) B·da = | 0 | III |  | (2.5c)
∮ SH·ds = | ∬ A(S) ( ) i + ∂D- ∂t·da | IV |  | (2.5d)

Die Integralformulierung des Kontinuitätsgesetzes lautet

(2.6)

2.2  Wellengleichung

Aus den Maxwellgleichungen folgen Wellengleichungen. Für das Vakuum erhält man

(2.1)

oder

(2.2)

In jedem Inertialsystem im Vakuum ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit

(2.3)

In Medien ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit entsprechend

(2.4)

wobei μ die relative Permeabilität und ε die relative Permittivität ist.

Alle Funktionen (skalar, vektoriell oder tensoriell), die nur von einer skalaren Variablen

(2.5)

abhängen lösen die Wellengleichung, wenn sie genügend oft stetig differenzierbar sind.

Damit können wir sagen: Jede Funktion E(u) mit u = k·r-ωt ist eine Lösung der Wellengleichung

(2.6)

sofern

(2.7)

gilt.

Aus den Gleichungen Maxwellgleichungen kann die Orientierung von k, E und B berechnet werden.

(2.8)

k, E und B bilden in dieser Reihenfolge ein rechtshändiges Dreibein. Die drei Vektoren stehen paarweise rechtwinklig aufeinander.

Aus der Wellengleichung für B, bekommen wir die Beziehung

(2.9)

Diese Beziehung (2.9) ist aber unter Verwendung von (2.7) identisch mit (2.8).

Betragsmässig haben wir im Vakuum weiter die Beziehung

(2.10)

2.3  Die Fresnelschen Formeln

Literatur

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 190]) (Siehe Gerthsen, Physik [Mes06, pp. 539])

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Das gleiche Gebäude mit Polarisationsfilter aufgenommen. Die Achse des Polarisationsfilters wurde dabei um 90° gedreht. Links sind die Reflexionen im Glas kaum zu erkennen, rechts ist dafür der Kontrast des Himmels schwächer.

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Die beiden Aufnahmen in Abbildung 2.3 wurden mit dem Polarisationsfilter in zwei um 90° gedrehten Stellungen aufgenommen. Links wird durch den Polarisator das diffus gestreute Licht mit der falschen Polarisation unterdrückt. Links ist die Spiegelung des linken Gebäudes im rechten nicht sichtbar, Die Fensterfront ist hell. Rechts ist das linke Gebäude dunkel. Das bedeutet, dass das gespiegelte Licht polarisiert ist. Die im folgenden abgeleiteten Fresnelschen Formeln erklären dieses Phänomen, aber auch die Spiegelung an Metallen. Sie beschreiben die Wechselwirkung von elektromagnetischen Wellen mit Grenzflächen jeder Art.

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Definition der s-Polarisation und der p-Polarisation

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Die Reflexion und die Brechung von elektromagnetischen Wellen werden durch die Maxwellschen Gleichungen und die daraus abgeleiteten Randbedingungen bestimmt. Die resultierenden Beziehungen für die Amplituden und die Intensitäten werden die Fresnelschen Formeln genannt. Zur Berechnung verwenden die Definitionen

Der einfallende und der reflektierte Strahl elektromagnetischer Wellen definiert die Einfallsebene. Diese ist senkrecht zur Grenzfläche der beiden Medien.

Elektromagnetische Wellen, deren Polarisationsebene senkrecht zur Einfallsebene liegt, heissen s-polarisiert. Die Polarisationsebene gibt die Richtung des elektrischen Feldes an.

Elektromagnetische Wellen, deren Polarisationsebene parallel zur Einfallsebene liegt, heissen p-polarisiert.

Für die Intensität der elektromagnetischen Wellen in nichtmagnetischen Medien gilt I ∝√ ε-E2 , wobei ε = n² ist.

Genauer gilt für die Intensität: I = ∘ ---- εμε0μ0E² = nε0c 2μE² für sinusförmige Wellen mit der Amplitude E.

Wir betrachten eine Welle Ee, die aus dem Medium mit μ₁ und ε₁ auf eine ebene Grenzfläche zum Medium mit μ₂ und ε₂ fällt. Neben der einfallenden Welle existierten eine reflektierte und eine transmittierte elektromagnetische Welle

Ee | = Eeei(ke·r -ωet) |  |
Er | = Erei(kr·r -ωrt+φr) |  |
Et | = Etei(kt·r -ωtt+φt) | (2.1)

Gegeben sind Ee, μ₁, ε₁, μ₂, ε₂, ke und ωe(|ke|). An den Grenzflächen gilt

Die tangentiale Komponente von E ist stetig.

Die tangentiale Komponente von H ist stetig.

Sei en der Normaleneinheitsvektor auf die Grenzfläche. Der resultierende Vektor des Kreuzproduktes von Ee mit en liegt senkrecht zu en und damit in der Grenzfläche der beiden Medien. Um den Tangentialvektor in die ursprüngliche Richtung zurück zu drehebn, wenden wir nochmals ein Kreuzprodukt mit en an. Unabhängig von der Richtung von Ee bekommt man mit dieser Operation immer die Komponente von Ee tangential zur Grenzfläche

(2.2)

Mit der gleichen Methode kann man auch die Komponenten der Vektoren Er und Et in der Grenzfläche berechnen. Die Bedingung der Stetigkeit der Tangentialkomponente des elektrischen Feldes kann dann mit den Kreuzprodukten so geschrieben werden

(2.3)

Die Gleichung besagt, dass die Summe der Tangentialkomponenten des elektrischen Feldes im Medium 1 (einfallende und reflektierte Welle) gleich der Tangentialkomponente der transmittierten Welle ist. Für alle Zeiten und alle Orte auf der Grenzfläche gilt

| ei(ke·r -ωet)|| in der Grenzfläche | = | ei(kr·r- ωrt+φr)||in der Grenzfläche |  |
| = | ei(kt·r- ωtt+φt)||in der Grenzfläche | (2.4)

wobei r nach Definition ein Vektor in der Grenzfläche ist, also mit en·r = 0. Damit Gleichung (2.4) zu allen Zeiten an einem beliebigen Punkt gilt, müssen die Kreisfrequenzen gleich sein

(2.5)

Weiter muss dann gelten: Die Gleichung (2.4) muss für alle Zeiten und alle Orte auf der Grenzfläche gelten. Deshalb gilt

ke·r |in der Grenzfläche | = kr ·r + φr |in der Grenzfläche |  |
| = k ·r + φ | t tin der Grenzfläche | (2.6)

r zeigt auf einen Punkt in der Grenzfläche. Da der Ursprung des Koordinatensystems nicht in der Grenzfläche liegen muss, ist r im Allgemeinen nicht parallel zur Grenzfläche. Aus der ersten Gleichung in (2.6) folgt

(2.7)

Eine Gleichung vom Typ a·r = ϖ beschreibt eine Ebene. Die Endpunkte von r liegen in der Ebene mit dem Normalenvektor a. ϖ gibt die Verschiebung zum Nullpunkt an. Gleichung (2.7) ist also die Gleichung einer Ebene, die senkrecht zu ke -kr liegt. Andererseits wissen wir, nach unserer Konstruktion, dass r in der Grenzfläche mit dem Normalenvektor en liegt. en ist also parallel zu ke -kr. Weiter sind beide Wellen im gleichen Medium 1, das heisst |ke| = ke = |kr| = kr. Wir können also schreiben

(2.8)

Mit Beträgen geschrieben heisst dies

(2.9)

Dabei ist α der Winkel zwischen der Oberflächennormale en und dem Wellenvektor der einfallenden Welle ke und β der Winkel zwischen der Oberflächennormale en und dem Wellenvektor der reflektierten Welle kr.

Das Reflexionsgesetz besagt, dass

(2.10)

(Einfallswinkel=Ausfallswinkel)

Aus Gleichung (2.6) folgt weiter

(2.11)

Gleichung (2.7) ist also die Gleichung einer Ebene, die senkrecht zu ke -kt liegt. Andererseits wissen wir, nach unserer Konstruktion, dass r in der Grenzfläche mit dem Normalenvektor en liegt. en ist also parallel zu ke -kt. Wir können also schreiben

(2.12)

Mit Beträgen geschrieben heisst dies

(2.13)

Dabei ist α der Winkel zwischen der Oberflächennormale en und dem Wellenvektor der einfallenden Welle ke und γ der Winkel zwischen der Oberflächennormale en und dem Wellenvektor der transmittierten Welle kt. Aus der Wellengleichung folgt

(2.14)

Da ωe = ωr = ωt ist, kann Gleichung (2.13) auch als

(2.15)

oder

(2.16)

Mit der Definition (2.4) (n = √ --- μ ε) bekommt man auch

(2.17)

Dies ist das Brechungsgesetz nach Snellius.

Schliesslich können wir noch eine Beziehung der Tangentialkomponenten aller Felder erhalten. Analog zur Gleichung (2.3) können wir die Tangentialkomponenten der Wellenvektoren angeben:

ke,tangential | = en ×ke ×en | (2.18a)
kr,tangential | = en ×kr ×en | (2.18b)
kt,tangential | = en ×kt ×en | (2.18c)

Wir subtrahieren Gleichung (2.18a) von Gleichung (2.18b), beziehungsweise von Gleichung (2.18c).

Setzen wir mit Gleichung (2.8) für kr -ke = Γreen und k₋ke = Γteen erhalten wir

kr,tangential -ke,tangential | = en ×(kr - ke) ×en = en × Γreen ×en = 0 | (2.19a)
kt,tangential -ke,tangential | = en ×(k - k ) t e ×en = en × Γteen ×en = 0 | (2.19b)

Die Tangentialkomponenten der Wellenvektoren der einfallenden, reflektierten und gebrochenen Wellen sind gleich.

(2.20)

Die Änderung der Ausbreitungsrichtung bei Reflexion und Brechung stammt alleine von den Komponenten der Wellenvektoren, die parallel zum Normalenvektor der Grenzfläche liegen.

2.3.1  s-Polarisation

Folien zur Vorlesung vom 16. 07. 2009

Aufgabenblatt 14 für das Seminar vom 22. 07. 2009 (Ausgabedatum 16. 07. 2009).

Zur Berechnung der Amplitude der reflektierten und transmittierten Wellen mit einer allgemeinen Polarisation verwenden wir zwei orthogonale Polarisationsrichtungen, die s-Polarisation und die p-Polarisation. Jeder Polarisationszustand kann als Linearkombination der s-Polarisation und der p-Polarisation geschrieben werden.

Wir beginnen die Rechnungen für elektromagnetische Wellen mit einer Polarisation senkrecht zur Einfallsebene (s-Polarisation).

Wenn in den beiden angrenzenden Medien die Dielektrizitätskonstanten ε₁ und ε₂ sind, dann muss der Pointingvektor (Energiestrom) senkrecht zur Grenzfläche an der Grenzfläche kontinuierlich sein, also

(2.21)

wobei α und γ die Winkel zur Oberflächennormalen en sind, Ee ist die Amplitude der E-Feldkomponente der einfallenden elektromagnetischen Welle parallel zur Oberfläche (s-Polarisation), Er die Amplitude der reflektierten und Et die der gebrochenen elektromagnetischen Welle.

Die Komponente von E parallel zur Oberfläche muss stetig sein, also ist nach Gleichung (2.3)

(2.22)

Aus der Kombination der Gleichungen (2.21) und (2.22) erhalten wir die Fresnelschen Gleichungen für die s-Polarisation.

Er | = Ee∘-ε1cosα - ∘ ε2-cosγ -∘-μ1--------∘-μ2------ ε1cosα + ε2 cosγ μ1 μ2 | (2.23a)
Et | = Ee∘ --- 2 με11 cosα -∘-ε---------∘-ε------- μ11 cosα + μ22 cosγ | (2.23b)

Mit den Brechungsindizes n₁ = √ μ-ε-- 1 1 und n₂ = √ μ-ε-- 2 2 erhält man

 Er | = Een1 cosα - n2cosγ μn11---------μn22----- μ1 cosα + μ2 cosγ | (2.24a)
Et | = Ee2n1cos α n1----μ1---n2----- μ1 cosα + μ2 cosγ | (2.24b)

Nach dem Brechungsgesetz ist

sinγ sinα-
= ∘ ----- μ1ε1 μ-ε-- 2 2 = μ1 μ-- 2∘----- ε1μ2 μ-ε-- 1 2
∘ ----- ε1μ2 μ-ε-- 1 2
= μ2 μ-- 1sinγ sinα-

Wir setzen dies ein und erhalten

μ2 --- μ1sin γ ----- sin α(Ee - Er) cos α | = Et cos γ |  |
(Ee --Er)cos-αsin-γ- μ1 | = Et-cosγ-sin-α- μ2 | (2.25)

Wir setzen Ee + Er = Et ein und bekommen die Fresnelsche Formeln für die s-Polarisation

Er | = | Ee1 1 μ1 sinγ-(α)cos-α---μ2 sin-αcos-γ(α)- 1-sinγ (α)cos α + 1-sin αcos γ(α) μ1 μ2 |  | (2.26a)
Et | = | Ee2μ1 sinγ (α)cos α 1-----------------1--------------- μ1 sinγ (α)cos α + μ2 sin αcos γ(α) |  | (2.26b)

Dabei ist

Für nichtmagnetische Materialien können die Fresnelgleichungen für die s-Polarisation umgeschrieben werden

Er | = Eesin γ(α )cosα - sin αcos γ(α) ----------------------------- sin γ(α )cosα + sinα cos γ(α) |  |
| = -Eesin(α---γ-(α))- sin(α + γ (α)) | (2.27a)
Et | = Ee-------2sinγ-(α)cos-α-------- sin γ(α )cosα + sinα cos γ(α) |  |
| = Ee2sinγ (α)cos α --------------- sin(α + γ(α )) | (2.27b)

Dabei ist

Wenn α > γ, wenn also die elektromagnetische Welle aus dem schnelleren Medium auf das langsamere Medium trifft, haben Ee und Er unterschiedliche Vorzeichen: es tritt ein Phasensprung um π bei der Reflexion auf.

Bei der Reflexion am schnelleren Medium α < γ ist sin(α - γ) negativ und Er positiv. Es gibt keinen Phasensprung bei der Reflexion. Dies erklärt zum Beispiel, warum Seifenlamellen in Reflexion schwarz werden, wenn die Dicke gegen null geht.

Die Gesetze für die Intensität bekommt man durch quadrieren und unter Berücksichtigung der relativen Dielektrizitätszahl ε₁ und der relativen magnetischen Permeabilität μ₁.

Bei fast senkrechtem Einfall bekommt man Er ≈ -Eesinα--sinγ sinα+sinγ ≈-Een2-n1 n2+n1

und für die Transmission Et ≈ -Ee--2sinγ-- sinα+sinγ ≈ Ee2n n2+1n1

Die Fresnelsche Formeln für die Intensität bei der s-Polarisation für nichtmagnetische Materialien lauten

Ir | = Ie[sin γ(α) cosα - sinα cos γ(α)]2 ------------------------------2 [sin γ(α) cosα + sinα cos γ(α)] |  |
| = Iesin2 (α - γ(α)) ---2----------- sin (α + γ(α)) | (2.28a)
It | = n2- n1Ie4sin2γ(α-)cos2α-- sin2(α + γ (α)) | (2.28b)

Wir haben die einfallende Intensität Ie = n₁ε0c 2Ee² als Referenz verwendet. Deshalb erscheint der Vorfaktor n2 n1 für It. Im Medium mit dem Brechungsindex n₂ wird die Energie mit einer anderen Geschwindigkeit transportiert als im Medium mit dem Brechungsindex n₁. Ist n₂ grösser als n₁. so ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit kleiner und I₂ muss grösser werden.

Bei fast senkrechtem Einfall erhalten wir

für die Reflexion Ir ≈ I₀( sinα-sinγ) - sinα+sinγ² ≈ I₀( ) n2--n1 n2+n1²

und die Transmission It ≈ I₀n ·4 sin2γ n1(2sinγ+sinα)2- ≈ I₀-4n1n22 (n2+n1).

2.3.2  p-Polarisation

__________________________________________________________________________

Stetigkeitsbedingungen für elektromagnetische Wellen mit p-Polarisation. Die dicken Vektoren stellen die k-Vektoren dar (rot für die einfallende elektromagnetische Welle, grün für die reflektierte und blau für die gebrochene elektromagnetische Welle.). Die E-Vektoren sind gestrichelt gezeichnet, ihre Projektion auf die Grenzfläche dünn.

_____________________________________________________________________

Bei p-polarisierten elektromagnetischen Wellen ist die Bedingung für die Stetigkeit der Parallelkomponente von E durch

(2.29)

gegeben. Weiter gilt immer noch die Beziehung für den Poynting-Vektor (Energieerhaltung)

(2.30)

Wir teilen die beiden Gleichungen und lösen das Gleichungssystem und erhalten die Fresnelsche Formeln (p-Polarisation):

Er | = Ee∘-ε2 ∘ ε1- ---μ2 cosα-----μ1-cosγ- ∘-ε1 ∘ ε2- μ1 cosγ + μ2 cos α | (2.31a)
Et | = Ee2∘ -ε1-cosα -∘-------μ1--∘--------- ε2cosα + ε1 cosγ μ2 μ1 | (2.31b)

Für nichtmagnetische Materialien vereinfachen sie sich unter Verwendung der Brechungsindizes zu

Er | = Een2cos-α---n1-cosγ- n cos γ + n cos α 1 2 | (2.32a)
Et | = Ee----2n1-cosα------ n2cos α + n1cos γ | (2.32b)

Bei senkrechtem Einfall gilt cos α ≈ cos γ ≈ 1 und damit

für die Reflexion Er ≈Een2--n1 n2+n1

und für die Transmission Et ≈Ee-2n1-- n2+n1

Dass das Vorzeichen von Er anders ist als bei der s-Polarisation hängt mit der Definition der lokalen Koordinatensystem der reflektierten Wellen zusammen und ist kein Wiederspruch.

Die Brechungsindizes n₁ und n₂ können mit dem Snelliusschen Gesetz n₁ sin α = n₂ sin γ eliminiert werden

Er | = Eetan[α - γ (α )] -------------- tan[α + γ (α )] | (2.33a)
Et | = Ee------2-sin-γ(α)-cosα------- sin[α + γ(α)]cos[α - γ(α )] | (2.33b)

Die Fresnelschen Formeln für die Intensität bei nichtmagnetischen Materialien lauten

Ir | = Ietan2[α - γ(α )] ---2----------- tan [α + γ(α )] | (2.34a)
It | = n2- n 1Ie------4sin2γ(α-)cos2α------- sin2[α + γ (α )]cos2[α - γ (α)] | (2.34b)

Wir haben die einfallende Intensität Ie = n₁ε c -02-Ee² als Referenz verwendet. Deshalb erscheint der Vorfaktor nn2 1 für It.

Bei senkrechtem Einfall erhalten wir

für die Reflexion Ir ≈I₀( ) nn2-2+nn11²

und die Transmission It = I₀n2 n1--4n21-- (n2+n1)2 = I₀-4n1n2- (n2+n1)2.

2.3.3  Grenzfall des senkrechten Einfalles

Im Grenzfall α → 0 stimmen die Resultate für die s- und p-Polarisation überein. In diesem Falle ist

(2.35)

also ganz klar die Energie erhalten. Der Faktor n₂∕n₁ ist notwendig dazu.

2.3.4  Brewster-Winkel

Wenn bei der p-Polarisation in der Gleichung (2.33) für Er der Nenner α + γ(α) = π∕2 ist, divergiert er. Wir erhalten also Er(α = π∕2 -γ(α)) = 0. Dies ist der Brewster-Winkel. Beim Brewsterwinkel gegeben durch α + γ(α) = π∕2 ist Er,p für die p-Polarisation gleich null. Die elektromagnetische Welle ist s-polarisiert!

Mit dem Snelliusschen Brechungsgesetz folgt

(2.36)

__________________________________________________________________________

Polarisation bei der Spiegelung an Wasser. Links ist der Analysator so gestellt, dass dass das an der Wasseroberfläche reflektierte Licht durchgelassen wird. Rechts die gleiche Szene, aber der Analysator blockt das an der Wasserfläche reflektierte Licht.

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

Polarisation bei der Spiegelung an Wasser. Die beiden Bilder aus Abbildung 2.3.4 sind hier übereinandergelegt.Die Trennlinie läuft entlang des Baumstammes.

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

Polarisation bei der Spiegelung an Wasser. Linkes und rechtes Bild wurden mit zwei Stellungen des Polarisationsfilters aufgenommen.

_____________________________________________________________________

2.3.5  Beispielkurven für die Fresnelformeln

__________________________________________________________________________

Verlauf der Amplitude des elektrischen Feldes (links) und der Intensität(rechts) für p- und s-Polarisation, wenn elektromagnetische Wellen aus dem schnelleren Medium (n₁ = 1) in das langsamere (n₂ = 1.5) eintreten. Die Intensität ist mit I = niE² berechnet worden, wobei ni die für das jeweilige Medium gültige Brechzahl ist.

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

Verlauf der Amplitude des elektrischen Feldes (links) und der Intensität(rechts) für p- und s-Polarisation, wenn elektromagnetische Wellen aus dem langsameren (n₁ = 1.5) Medium in das schnellere (n₂ = 1) eintreten. Die Intensität ist mit I = niE² berechnet worden, wobei ni die für das jeweilige Medium gültige Brechzahl ist.

_____________________________________________________________________

2.3.6  Evaneszente Wellen

Literatur

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 193,196])

Aus den letzten Abbildungen ist ersichtlich, dass, wenn elektromagnetische Wellen aus dem langsameren Medium (n₁) in das schnellere n₂ < n₁ eintreten, es Winkel γ gibt ((n₁∕n₂) sin α = sin γ > 1), für die es keine reelle Lösung der Fresnelschen Formeln gibt. Die Lösung ist dann in die z-Richtung rein imaginär. Dies heisst, dass auch die z-Komponente des k-Vektor der elektromagnetischen Welle im schnelleren Medium imaginär wird. Darum wird aus eikzz mit kz = iκz der exponentielle Dämpfungsfaktor e-κzz, wobei κz vom Einfallswinkel abhängt. Die elektromagnetischen Wellen aus dem langsameren Medium können sich im schnelleren Medium also nicht weiter in die z-Richtung bewegen: Wegen der Energieerhaltung ist die Reflexion perfekt.

Eine kurze Rechnung zeigt,

dass im Falle der Totalreflexion (n₁ sin(α) ≥n₂ und damit n₂² -n 1² sin ²(α) ≤ 0) der Betrag von k t,senkrecht

(2.37)

ist. Die physikalisch sinnvolle Lösung für einen unendlich ausgedehnten Halbraum mit dem Brechungsindex n₂ ist die exponentiell abfallende Lösung

(2.38)

Die resultierende Welle im Medium 2 hat dann die zeitgemittelte Intensität

(2.39)

Wir erhalten also für die Intensität einen exponentiellen Abfall mit einer Abfalllänge

(2.40)

Wenn eine Welle mit der Vakuumwellenlänge λvac = 500 nm und dem Einfallswinkel α = 5π∕12 = 75° von einem Medium mit dem Brechungsindex n₁ = 1.55 in Luft n₂ = 1 übertritt, ist λ₀ = 35.71 nm.

3  Interferenz und Beugung

Literatur

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 562]) (Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 649]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 327]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 348]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1109])

3.1  Vorbemerkungen und Motivation

Soweit bekannt ist, war der polnische Naturphilosoph Witelo aus Liegnitz bei Breslau/Schlesien (geboren um 1230, gestorben zwischen 1275 und 1314) der erste Forscher, der bemerkte, dass Lichtstrahlen nicht unendlich dünn werden können (Bemerkung im Buch von John Freely [Fre12, Fre15]). Diese experimentelle Beobachtung ist der erste bekannte experimentelle Hinweis auf die Wellennatur des Lichtes [Thu72, Wik26].

Dieses Kapitel beruht auf den in der Elektrizitätslehre abgeleiteten Wellengleichungen (2.1) oder (2.2)

In diesem Abschnitt sollen die Eigenschaften von Licht, die auf der Wellennatur, also auf (2.1) oder (2.2), beruhen, diskutiert werden. Alle Lösungen hängen von einem skalaren parameter ab, der in den Gleichungen (2.6) und (2.7) eingeführten Phase.

Wir setzen also

(3.1)

Dabei ist in kartesischen Koordinaten k = (kx,ky,kz) T der Wellenvektor und r = (x,y,z) T der Beobachtungsort. Der Wellenvektor ergibt sich aus |k | = 2π∕λ aus der Wellenlänge λ, die Kreisfrequenz ω = 2πν = 2π∕T aus der Frequenz ν oder aus der Periodendauer T = 1∕ν.

Damit sind zum Beispiel

Schreibweise mit komplexen Zahlen
A(φ (r)) = A(φ (r)) | = A₀ exp (i (k ·r - ωt)) | skalare Welle |  | (3.2a)
E(φ (r)) = E(φ (r )) | = E₀ exp (i(k·r - ωt)) | vektorielle Welle |  | (3.2b)
Schreibweise mit reellen Zahlen
A(φ (r)) = A(φ (r)) | = A₀ cos (k·r - ωt ) | skalare Welle |  | (3.2c)
E(φ (r)) = E(φ (r )) | = E₀ cos (k ·r - ωt) | vektorielle Welle |  | (3.2d)

Versuch zur Vorlesung:

Wellenmaschine (Versuchskarte SW-077)

_______________________________________________

Interferenz zweier Kreiswellen im Riffelsee auf der Riffelalp.

_____________________________________________________________________

Abbildung 3.1 zeigt die Interferenz von Kreiswellen auf der Wasseroberfläche.

__________________________________________________________________________

Detail aus Abbildung 3.1. Die grüne Linie liegt im Bereich, in dem zwei Wellen interferieren.

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

Interferenz zweier Wellen mit der gleichen Amplitude und der gleichen Frequenz und einer Phase, die von 0…2π variiert.

_____________________________________________________________________

Abbildung 3.1 zeigt schematisch, wie solche Wellen entlang der grünen Linie in Abbildung 3.1 interferieren könnten.

Zur Beschreibung diese in der Wellenwanne und im Riffelsee beobachteten Interferenz setzen wir zwei Wellen an, wobei wir hier nur die x-Komponente und skalare Amplituden betrachten

A₁(x,t) | = A1,0 exp (i(kx - ωt)) |  |
A₂(x,t) | = A2,0 exp (i(kx - ωt + δ)) | (3.3)

Die Phase der beiden Wellen unterscheidet sich dabei um δ, der Phasendifferenz. Wie immer ist nur der Real- oder der Imaginärteil messbar.

An einem bestimmten Ort zu verschiedenen Zeiten t₁ und t₂ ist die Differenz der Phasen durch

(3.4)

gegeben und unabhängig vom Ort. Zu einer bestimmten Zeit und an verschiedenen Orten x₁ und x₂ ist die Differenz der Phasen durch

(3.5)

gegeben, unabhängig von der Zeit.

Beobachten können wir nur die Summe der beiden Wellen, also

A₁(x,t) + A₂(x,t) = | A1,0 exp (i(kx - ωt)) + A2,0 exp (i(kx - ωt + δ)) | (3.6a)
mit A1,0 = A₀ + ΔA und A2,0 = A₀ - ΔA
= | A₀[exp(i(kx - ωt)) + exp (i(kx - ωt + δ))] | (3.6b)
| + ΔA[exp (i(kx - ωt )) - exp (i(kx - ωt + δ))] |  |
Nur reelle Grössen sind messbar
ℜ(A1 (x,t) + A2 (x,t)) = | A₀[cos(kx - ωt) + cos(kx - ωt + δ))] | (3.6c)
| + ΔA[cos (kx - ωt) - cos(kx - ωt + δ)] |  |

Wir wenden die Additionstheoreme für die Winkelfunktionen an. Wir verwenden

cos(α) + cos(β) | = 2 cos ( α - β ) ------ 2 cos ( α + β ) ------ 2 | (3.7a)
cos(α) - cos(β) | = -2 sin ( ) α - β ------ 2 sin ( ) α + β ------ 2 | (3.7b)

und erhalten

A(x,t) = | A₁(x,t) + A₂(x,t) | (3.8)
= | A₀[cos(kx - ωt ) + cos (kx - ωt + δ))] |  |
| + ΔA[exp (i(kx - ωt )) - exp (i(kx - ωt + δ))] |  |
= | 2A₀ cos ( ) δ- 2 cos ( ) δ- kx - ωt + 2 + 2ΔA sin ( ) δ- 2 sin ( ) δ- kx - ωt + 2 |  |

Wenn beide Wellen die gleiche Amplitude haben Aus dieser Gleichung kann bei gleichen Amplituden (ΔA = 0) die folgende Tabelle abgeleitet werden.

___________________________________________________________________________

Phase
resultierende Amplitude
Interferenz

0
2A₀
konstruktiv

π∕2
√ -- 2A₀

π
0
destruktiv

3π∕2
√2--A₀

2π
2A₀
konstruktiv

Interferenz und Phasendifferenz

_____________________________________________________________________

Wenn ΔA > 0 ist, fehlt der Fall der kompletten destruktiven Interferenz.

3.2  Phasendifferenz und Kohärenz

Literatur

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 570]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 367]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1109]) (Siehe Gerthsen, Physik [Mes06, pp. 514])

Wir betrachten Wellen, die sich auf verschiedenen Wegen ausbreiten und die unterschiedliche Abstände zu einer Quelle haben.

Zwei Wellen heissen kohärent, wenn sie, bis auf eine Phase, die gleiche Zeitabhängigkeit haben.

Versuch zur Vorlesung:

Kohärenz (Versuchskarte O-051)

Die Kohärenz von Wellen ist nur im Idealfall überall und zu jeder Zeit gegeben.

Kohärenzzeit

Jede Quelle hat ein beschränktes Phasengedächtnis. Dies bedeutet, dass die Wellenzüge, die vor einer Zeit grösser als die Kohärenzzeit τ emittiert wurden, keine definierte Phasenbeziehung mehr haben. Der Phasenunterschied wird eine stochastische Grösse.

Kohärenzlänge

Die Kohärenzzeit τ kann in eine Kohärenzlänge L umgerechnet werden. Ist der Weglängenunterschied grösser als L, gibt es keine Kohärenz mehr.

Hat eine Quelle (ein gedämpfter harmonischer Oszillator) eine Bandbreite Δν, dann ist die Kohärenzzeit τ ≈ Δν⁻¹ und L ≈cτ ≈c Δ-ν.

Ist die Lichtquelle ausgedehnt (Breite b), dann gibt es nur im Winkelbereich σ < λ- 4b eine kohärente Überlagerung.

Die Intensität muss verschieden berechnet werden, je nachdem ob die beiden Wellenzüge mit den Amplituden E₁ und E₂ kohärent oder nicht sind.

bei kohärenten Wellenzügen

I(x,t) = 1 2∘ ---- εε0- μμ0(E1 (x,t) + E2 (x,t)) ²

bei inkohärenten Wellenzügen

I(x,t) = 1 2∘ -εε0- μμ02 2 [E1(x, t) + E2 (x,t) ]

Bei kohärenten Wellen mit dem Phasenunterschied ϕ und den Amplituden E₁ und E₂ ist die resultierende Amplitude

E(x,t) | = E₁ei(kx-ωt) + E 2ei(kx-ωt+δ(x)) |  |
| = E₁( ) ei(kx- ωt) + ei(kx-ωt+δ(x)) + (E₂ -E₁)ei(kx-ωt+δ(x)) |  |
| = E₁ei(kx-ωt)( iδ(x)) 1 + e + (E₂ -E₁)ei(kx-ωt+δ(x)) | (3.1)

3.2.1  Stehende Wellen

Literatur

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 431]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 293]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 435]) (Siehe Gerthsen, Physik [Mes06, pp. 513])

Wenn wir eine nach links laufende Welle A₁(x,t) = A₀ exp (i(kx + ωt)) und eine nach rechts laufende Welle A₂ = A₀ exp (i(kx - ωt + δ)) mit gleicher Amplitude zur Interferenz kommen lassen, erhalten wir

A(x,t) | = A₁(x,t) + A₂(x,t) |  |
| = A₀ exp (i(kx + ωt)) + A₀ exp (i(kx - ωt + δ )) |  |
| = A₀ exp (i(kx + δ∕2)) [exp (i(ωt - δ∕2)) + exp (- i(ωt - δ ∕2))] |  |
| = 2A₀ exp (i(kx + δ∕2)) exp-(i(ωt---δ∕2)) +-exp(--i(ωt---δ∕2)) 2 |  |
| = 2A₀ exp ( ( ) ) δ i kx + -- 2 cos ( ) δ ωt - -- 2 | (3.2)

Die Summe der beiden Wellenfunktionen ist das Produkt zweier Terme

ein zeitabhängiger Teil, der für alle Orte gleich ist: cos ( ) ωt - δ 2

ein ortsabhängiger Teil, der für alle Zeiten gleich ist: exp ( ( δ)) i kx + 2

Damit bilden sich räumlich stehende Knotenlinien aus, wir haben eine stehende Welle.

Wenn die Amplituden der beiden Wellen nicht gleich gross ist, dann interferieren von der Welle mit der grösseren Amplitude nur die Amplitudenteile, die gleich gross wie die Amplitude der schwächeren Welle sind.

Stehende Wellen als Resultat zweier gegenläufiger Wellen gibt es in jedem Resonator, insbesondere in Laserresonatoren.

3.2.2  Mach-Zehnder-Interferometer

Literatur

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 663]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 365])

In Gleichung (3.2) zeigt sich, dass bei einem optischen Aufbau, der effektiv nur von einer Ortskoordinate abhängt, die zeitlich gemittelte Amplitude nur von der Phase δ abhängt. Das heisst, dass es reicht, die Phasen zu untersuchen! Beachten Sie, in Gleichung (3.2) wurde die Phase δ nur einem Weg zugeordnet, die zeitgemittelte Amplitude hängt aber von cos(δ∕2) ab.

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Aufbau des Mach-Zehnder-Interferometers.

_____________________________________________________________________

Abbildung 3.2.2 zeigt den schematischen Aufbau eines Mach-Zehnder-Interferometers. Licht aus der Quelle trifft auf den halbdurchlässigen Spiegel S₁ und spaltet sich in die zwei Wege s₁ und s₂ auf. Der Weg s₁ läuft vom Spiegel S₁ über S₃ nach S₄, der Weg s₂ vom Spiegel S₁ über S₂ nach S₄. Am Spiegel S₄ werden die Lichtwellen vereinigt und gelangen interferierend auf den Detektor.

Die relative Phase des Lichtes für die beiden Wege s₁ und s₂ kann aus dem Brechungsindexverlauf entlang der Wege berechnet werden. Die Geschwindigkeit ist durch c(s) = c₀∕n(s) gegeben. Dann ist

(3.3)

Die Phasendifferenz von Licht mit der Vakuumwellenlänge λ₀ und damit der Frequenz ω = 2πν = 2πc₀∕λ₀ ist

( ) S∫4 S∫4 δ = ω(t2- t1) = 2πc0|( -1 n2(s)ds - -1 n1(s)ds|) λ0 c0 c0 (S1,s2 S1,s1 ) 2π S∫4 S∫4 = ---|( n2(s)ds - n1(s)ds|) λ0 S1,s2 S1,s1

(3.4)

Die beobachtete zeitgemittelte Amplitude am Ort x = 0 (kann willkürlich gewählt werden!) ist nach Gleichung (3.2) mit E(δ) = E₁(x,t) + E₂(x,t), beide mit gleichen Amplituden |E0 |

(3.5)

wobei I₀ = 1 2⟨ ⟩ ∘ -εε0- 2 μμ0E i(0,t)t = 1 2∘ -εε0- μμ0E₀² ist.

Das heisst, dass das Ausgangssignal des Mach-Zehnder-Interferometers nicht nur von der geometrischen Weglängendifferenz, sondern auch von Unterschieden der Brechungsindizes abhängt. Das Licht läuft in beiden Armen mit einer definierten Richtung. Das heisst, dass der Ausgang des Mach-Zehnder-Interferometers abhängig zum Beispiel von der Fliessrichtung eines Mediums mit dem Brechungsindex n ist. Mach-Zehnder-Interferometer werden kaum zur Distanzmessung aber oftmals zur Messung von Brechungsindexdifferenzen verwendet.

3.2.3  Das Michelson-Interferometer

Literatur

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 596]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 360]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1114])

Versuch zur Vorlesung:

Michelson-Interferometer (Versuchskarte O-031)

_______________________________________________

Bild des Michelson-Interferometers aus der Vorlesungssammlung mit eingezeichnetem Strahlengang.

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_____________________________________________________________________

Schematische Zeichnung des Aufbaus eines Michelson-Interferometers aus Abb. 3.2.3.

_____________________________________________________________________

Beim Michelson-Interferometer wird Licht durch einen Strahlteiler in zwei Lichtwege aufgespalten. Der Weg vom Strahlteiler zum festen Spiegel sei ℓ₁, der zum beweglichen ℓ₂. Analog zum Mach-Zehnder-Interferometer (siehe Abschnitt 3.2.2) kann die Phase wie folgt geschrieben werden:

( ) ∫ ∫ δ = ω(t2 - t1) = 2πc0|( -2 n2(s)ds - -2 n1(s)ds|) λ0 c0 c0 ℓ2( ℓ1 ) 4π ∫ ∫ = ---|( n2(s)ds - n1(s)ds|) λ0 ℓ2 ℓ1

(3.6)

Die Phase hängt also sowohl vom Weglängenunterschied wie auch von Unterschieden im Brechungsindex ab. Anders als beim Mach-Zehnder-Interferometer wird jeder Weg zweimal und zwar gegenläufig durchlaufen. Bewegungseffekte mitteln sich so in erster Näherung heraus.

Der gesamte Weglängenunterschied ist bei konstantem ni(s) = n₀ durch Δℓ = 2(ℓ₂ -ℓ₁) gegeben. Immer wenn Δℓ ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge λ ist, tritt konstruktive Interferenz auf. Wird der bewegliche Spiegel um λ∕4 verschoben, ändert sich Δℓ um λ∕2, dann haben wir destruktive Interferenz.

Wenn wir das Interferometer am Ausgang mit einer Intensität von I₀ betreiben und wenn wir eine Intensitätsänderung von ΔI noch messen können, dann können wir die mögliche Distanzauflösung in nichtmagnetischen Medien wie folgt berechnen:

(3.7)

oder umgeschrieben

(3.8)

Die Ableitung dieser Gleichung ist

(3.9)

Die maximale Steigung, also die höchste Empfindlichkeit beträgt

(3.10)

Wir können also die Distanz

(3.11)

noch bestimmen. Dazu muss die Position (die Phase) so gelegt werden, dass der Sinus extremal ist:

4πxopt ---- λ
= 2j + 1 ------- 2π,   j ∈ℤ
(3.12)

Wir bekommen so den Arbeitspunkt 8πxopt = (2j + 1)πλ oder

(3.13)

Maxima der Intensität am Ausgang liegen aber bei

(3.14)

und die Minima bei

(3.15)

Wenn zum Beispiel λ = 500 nm ist und ΔI∕I₀ = 0.01 ist, liegt der erste optimale Arbeitspunkt bei x = 67.5 nm und die mögliche Auflösung beträgt Δx = 0.8 nm.

Das Michelson-Interferometer wird häufig zur Messung von Distanzen verwendet.

Bei besserem Signal-Rauschverhältnis, können kleinere Längenänderungen bestimmt werden. Wenn ein Signal-Rausch-Verhältnis von etwa 10⁻¹³ erreicht wird, können Gravitationswellen detektiert werden.

3.2.4  Sagnac-Interferometer

Literatur

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 701])

__________________________________________________________________________

Sagnac-Interferometer. Rechts nach einer Laufzeit.

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Beim Sagnac Interferometer läuft das Licht links- und rechts herum und interferiert dann. Die Lichtwege sind identisch, das Verschieben eines Spiegels erzeugt kein Signal. Wenn man das Sagnac-Interferometer jedoch mit der Kreisfrequenz Ω dreht, dann sind die Umlaufzeiten mit und gegen die Drehrichtung unterschiedlich. Die Behauptung ist, dass der Laufzeitunterschied zwischen der links- und der rechtsläufigen Welle

(3.16)

ist. Dabei ist Ω die Winkelfrequenz, mit der das Interferometer rotiert, A die vom Licht eingeschlossene Fläche (in Abbildung 3.2.4 die Fläche des Dreieckes) und c die Vakuumlichtgeschwindigkeit. Sagnac-Interferometer werden heute als Gyroskope verwendet. Sie messen zum Beispiel die Drehraten von Flugzeugen und werden so zur magnetfeldunabhängigen Navigation herangezogen.

Wir betrachten ein Interferometer aus n Seiten. Die Fläche des n-Ecks is n-,mal die Fläche eines einzelnen Dreiecks, und dessen Fläche AD = ah∕2. Beim n-Eck ist die Höhe h = R cos (π ∕n) und die Grundlinie a = 2R sin (π∕n). Damit ist

(3.17)

Wir brauchen nun die Strecke PA(t₀)PB(t₀ + Δt). Diese ist die Grundlinie in einem gleichschenkligen Dreieck mit dem Spitzenwinkel

(3.18)

Mit ± können beide Fälle gleichzeitig behandelt werden. Wir brauchen noch den Winkel an der Grundlinie (zweimal der gleiche Winkel β±

(3.19)

Mit dem Sinussatz für beliebige Dreiecke bekommen wir die Länge der Grundlinie

ℓ± -------- sin(α ±) | = R -------- sin(β± ) |  |
=⇒---(---ℓ±------)- sin 2π ± Ω Δt n ± | = ----(----R--------) sin π - π ∓ Ω-Δt±- 2 n 2 | (3.20)
ℓ± | = R( ) sin 2π-± Ω Δt ± ----(n---------)- cos πn ± Ω Δt± |  |
| = R( ( π ) ( π) ) 2sin -- ± ΩΔt ± cos -- n n + O(Δt±²) | (3.21)

Die Zeit Δt± ist sowohl die Laufzeit von PA(t₀) nach PB(t₀ + Δt±) wie auch die Zeit, in der sich das Interferometer dreht. Wir haben also die Gleichungen

(3.22)

welche gelten wenn |Ω | « --1-- |Δt±| gilt. Die Lösungen sind

(3.23)

Damit ist der Laufzeitunterschied (und daraus kann die Phase berechnet werden)

(3.24)

Auch dieser Ausdruck kann entwickelt werden wenn |Ω | «--1-- |Δt±| ist. Wir erhalten die linearisierte Gleichung,

(3.25)

und, wennn wir die Fläche A(n) des n-Ecks einsetzen

(3.26)

Diese Gleichung müsste eigentlich mit der allgemeinen Relativitätstheorie hergeleitet werden. Für langsame Drehungen ist das Resultat jedoch korrekt. Bei einem kreisförmigen Sagnac-Interferometer (z.B. mit whispering gallery modes) ist

genau so gross. Mit c = Δs∕Δt folgt

(3.27)

Beispiel: Mit Ω = 2π s-1, A(n) = 0.01 m2 und λ = 632 nm (HeNe-Laser) erhält man N = 0.00132648 Dies ist eine kleine Zahl, kann aber mit Modulationstechniken problemlos gemessen werden.

3.2.5  Das Fabry-Perot-Interferometer

Literatur

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 670]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 399]) (Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 678])

Aus den Fresnelschen Gleichungen sind die Transmissionskoeffizienten für Amplituden für die beiden Polarisationsrichtungen p und s bekannt. Wir setzen nach den Gleichungen (2.27) und (2.33) können wir winkel- und polarisationsabhängige Transmissions- und Reflexionskoeffizienten definieren.

Für die Reflexion haben wir

(3.28)

Analog schreiben wir für die Transmission

(3.29)

Im Weiteren sind mit t und r immer diese Koeffizienten aus den Fresnelschen Formeln gemeint.

Versuch zur Vorlesung:

Interferenz an dünnen Schichten als Beispiel für das Fabry-Perot-Interferometer (Versuchskarte O-085)

_______________________________________________

Stokessche Behandlung von Reflexion und Brechung (nach Hecht [Hec05])

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Wir nehmen an, dass eine Welle mit der Amplitude |E0i|, die vom oberen Medium her auf die Grenzfläche auftritt, mit dem Faktor r reflektiert wird, sowie mit dem Faktor t gebrochen wird. Die Amplitude der gebrochenen Welle ist dann t|E0i|, die der reflektierten Welle r|E0i|. Das Fermatsche Prinzip bedeutet, dass auch die zeitumgekehrte Situation eine physikalisch realisierbare ist. Also ist auch die Strahlführung im Teilbild (b) oben eine realisierbare Situation. Dabei müssen wir uns klar machen, dass sowohl die einfallende Welle mit der Amplitude r|E0i| und diejenige mit t|E0i| eine reflektierte und eine transmittierte, gebrochene Welle erzeugen. Dabei ist für die Welle, die von unten kommt der Reflexionsfaktor r′ und der Transmissionsfaktor t′. Die Situation in (c) ist nur dann äquivalent zu der in (b), wenn gilt

|E0i| | = t(α)t′(β)|E0i| + r(α)r(α)|E0i| | (3.30a)
0 | = t(α)r′(β)|E0i| + t(α)r(α)|E0i| | (3.30b)

Damit erhält man eine Verknüpfung der Reflexions- und Brechungskoeffizienten für den Übergang vom Medium 1 in das Medium 2 und umgekehrt. Dabei sind α und β die jeweiligen Einfallswinkel, die durch das Snelliussche Gesetz verknüpft sind.

t(α)t′(β) | = 1 -r²(α) | (3.31a)
r′(β) | = -r(α) | (3.31b)

Diese beiden Gleichungen heissen die Stokeschen Relationen. Die zweite Gleichung zeigt, dass wenn r für die Reflexion am dichteren Medium steht, bei der es nach den Fresnelschen Formeln einen Phasensprung von π gibt, dass dann bei der Reflexion am optisch dünneren Medium kein Phasensprung auftritt.

__________________________________________________________________________

Strahlengang bei einem Fabry-Perot-Etalon (nach Hecht [Hec05]). Dabei ist in der Zeichnung |E0i| = |E0i| gesetzt worden.

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Wir betrachten nun die Reflexion an einem Etalon, also einer Glasplatte mit dem Brechungsindex nG mit planparallelen Oberflächen. Im Aussenraum sei auf beiden Seiten n = 1. Die Abbildung zeigt die reflektierten und gebrochenen Strahlen, wobei die Konvention der Gleichung (3.31) verwendet wurde. Die reflektierten Strahlen interferieren in dem weit entfernten Punkt P, die transmittierten Strahlen im weit entfernten Punkt P′.

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Strahlengang bei einem Fabry-Perot-Etalon (nach Pérez [Pér96, p. 392])

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Für das transmittierte Licht ist der Weglängenunterschied durch den Unterschied der optischen Wege UV und UXW, Λ = UXW -UV der relevante Unterschied. Die Strecke UXW ist im Medium mit dem Brechungsindex nG, im Glas. Der optische Weg ist dann

Weiter ist die Strecke UV durch UW sin α gegeben. Weiter ist aber auch UW = 2d tan β, eine rein geometrische Überlegung, die keine optischen Wege beinhaltet. Zusammen bekommen wir

Damit ist Λ für ein Etalon der Dicke d

Λ | = UXW -UV |  |
| = 2nG--d-- cosβ - 2d tan β sin α = 2dnG- cosβ( ) 1 - 1--sin β sin α nG |  |
mit sin β = sin α∕nG (Brechungsgesetz)
| = 2dnG- cos β( ) 1 - sin2 β |  |
Λ | = 2nGd cos β | (3.32)

Der Gangunterschied für die Reflexion Δ kann aus dem Gangunterschied für die Transmission abgeleitet werden, wobei ein Phasensprung von π berücksichtigt werden muss. Wir haben mit ZUX = UXW und ZY = UV

(3.33)

Bei den Strahlen, die in P interferieren, ist die Anzahl der inneren Reflexionen ungerade. Für den Spezialfall des senkrechten Einfalls, oder bei senkrechter Polarisation, ergeben die Reflexionen keine Phasenänderung. Wenn Λ = mλ ist, haben in P alle Wellen die gleiche Phase, ausser der ersten, deren Phase wegen r′ = -r um π ändert. Also ist die reflektierte Amplitude

(3.34)

Da Λ = mλ und damit die innere Phasenverschiebung 0 ist, ersetzen wir r′ mit -r und erhalten

(3.35)

Diese geometrische Reihe konvergiert bei r² < 1 gegen 1∕(1 -r²), so dass wir

(3.36)

Nach den Stokeschen Relationen ist tt′ = 1 -r² und damit die reflektierte Amplitude bei senkrechtem Einfall

(3.37)

Also wird im Falle Λ = mλ = 2nGd cos β oder d cos β = -mλ 2nG alles Licht transmittiert.

Der zweite Spezialfall ist Λ = ( ) m + 12λ). Dann sind die relativen Phasen benachbarter Wellen, unter der Berücksichtigung dass r′ = -r und dass die innere Phase π ist, die Phasenverschiebung π, ausser bei den ersten beiden Wellen, die gleichphasig sind. Wir erhalten für die skalare Amplitude

(3.38)

oder

(3.39)

Die Reihe in der Klammer konvergiert gegen 1∕(1 + r²). Wir erhalten also

(3.40)

Mit t′t = 1 -r² erhalten wir

(3.41)

Damit wird die reflektierte Intensität maximal, nämlich

(3.42)

Den allgemeinen Fall kann man berechnen, indem man die durch die einfallende Welle ˜ E₀(t) = E0ieiωt angeregten reflektierten Teilwellen aufschreibt, wobei zwischen zwei Teilwellen die Phasenverschiebung δ = k₀Λ ist. Wir betrachten eine definierte Polarisationsrichtung s oder p, so dass wir betragsmässig schreiben können

Die resultierende Welle ist die Summe aller Teilwellen

(3.44)

Eingesetzt erhalten wir die Summe

(3.45)

Zusammengefasst kann diese so umgeschrieben werden

Für || ′2 - iδ|| |r e |< 1 konvergiert die geometrische Reihe. Wir erhalten

(3.47)

Mit den Stokeschen Relationen r′ = -r und t′t = 1 -r² bekommen wir

(3.48)

Die reflektierte optische Intensität ist Ir = ∘ ---- μεεμ00ẼrẼr* und somit

(3.49)

Mit einer analogen Ableitung berechnet man die transmittierte Intensität

(3.50)

da das transmittierte Licht sich im gleichen Medium wie das einfallende Licht sich bewegt. Mit cos δ = 1 - 2 sin ²(δ∕2) werden It und Ir

Wir haben dabei angenommen, dass keine Energie absorbiert wird¹ . Dann ist Ii = It + Ir. Ein Maximum in der Transmission erhält man, wenn der Nenner möglichst klein, das heisst, dass in Gleichung (3.50) cos δ = 1 ist. Dann ist

(3.52)

und

(3.53)

Umgekehrt ist die Transmission minimal, wenn der Nenner bei It maximal ist, also wenn in Gleichung (3.50) cos δ = -1 ist

(3.54)

und

(3.55)

Es hat sich eingebürgert, dass Fabry-Perot-Interferometer mit der Kennzahl Finessefaktor charakterisiert werden:

(3.56)

Dann gilt für die Intensitätsverhältnisse

wobei die Funktion 2 [1 + F sin (δ∕2 )] ⁻¹ = A(δ) auch Airy-Funktion genannt wird² .

__________________________________________________________________________

Transmission durch ein Fabry-Perot-Etalon in Abhängigkeit von der Finesse F. Von oben nach unten sind die Transmissionskurven für F = 1, F = 2, F = 4, F = 8, F = 16, F = 32, F = 64, F = 128 und F = 256 dargestellt.

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

Reflexion an einem Fabry-Perot-Etalon in Abhängigkeit von der Finesse F. Von unten nach oben sind die Reflexionskurven für F = 1, F = 2, F = 4, F = 8, F = 16, F = 32, F = 64, F = 128 und F = 256 dargestellt.

_____________________________________________________________________

Die Halbwertsbreite der Transmissionskurven ist durch

(3.58)

gegeben. Daraus folgt

(3.59)

Das Verhältnis des Abstandes benachbarter Maxima zu der Halbwertsbreite heisst Finesse und ist

(3.60)

Die einfachsten Fabry-Perot-Spektrometer haben ein F ≈ 30. Werte von F ≈ 1000 sind an der Grenze des technisch machbaren. Wenn bei dem Fabry-Perot-Spektrometer Absorption vorhanden ist, müssen kompliziertere Gleichungen, die Sie zum Beispiel in Hecht [Hec05, 617] finden, verwendet werden.

3.2.6  Beugungsmuster bei Interferometern

Die Wellenfronten in Interferometern sind nicht eben sondern in erster Näherung sphärisch. Jedes Interferometer hat eine endliche Ausdehnung. Licht wird deshalb an den Bauteilen des Interferometers gebeugt. Seine Flächen gleicher Phase sind also gekrümmt. Dies wird im Kapitel 7.3 über Gausssche Strahlen noch weiter ausgeführt.

__________________________________________________________________________

Geometrie zur Berechnung der Ringmuster in Interferometern

_____________________________________________________________________

Wir haben nach Abbildung 3.2.6 mit r² = x² + y² in der xy-Ebene

z₁(r) | = ∘ -------- R21 - r2 -R₁ ≈R₁( r2 ) 1 - ---- 2R1-R₁ = -r2 ---- 2R1 | (3.61a)
z₂(r) | = ∘ -------- R22 - r2 -R₂ ≈R₂( r2 ) 1 - ---- 2R2-R₂ = -r2 ---- 2R2 | (3.61b)
Δz(r) = -λ- 2πδ(r) | = z₂(r) -z₁(r) = 2 r- 2( ) -1-- 1-- R1 R2 | (3.61c)

Gleichung (3.61c) zeigt, dass die Phase der durch die Interferenz resultierenden Welle proportional zu r² ist.

__________________________________________________________________________

Simulation der Interferenzringe nach (3.61c) mit R₁∕λ = 50, R₂∕λ = 100

__________________________________________________________________________

Abbildung 3.2.6 zeigt eine Simulation dieser Ringe.

__________________________________________________________________________

Geometrie zur Berechnung der Streifenmuster in Interferometern

_____________________________________________________________________

Oftmals sind die Strahlen seitlich versetzt. Abbildung 3.2.6 zeigt die neue Geometrie. Dies führt zu

z₁(x,y) | = ∘ --2-----------2----2- R 1 - (x - Δx ) - y -R₁ | (3.62a)
| ≈R₁( ) ((x---Δx-)2 -y2- 1 - 2R - 2R 1 1-R₁ |  |
| = -(x --Δx-)2 2R1 --y2- 2R1 ≈-(x2 +-y2) 2R1 + xΔx-- R1 |  |
z₂(r) | = ∘ --2------------------ R 2 - (x + Δx )2 - y2 -R₂ | (3.62b)
| ≈R₂( 2 2 ) 1 - (x-+-Δx-)- - -y-- 2R2 2R2-R₂ |  |
| = -(x + Δx )2 ---------- 2R2 -y2 ---- 2R2 ≈-(x2 + y2) --------- 2R2 -xΔx ----- R2 |  |
Δz(x,y) = λ-- 2πδ(x,y) | = z₂(x,y) -z₁(x,y) | (3.62c)
| = ( 1 1 ) ---- --- R1 R2( ) x2 + y2 + ( 1 1 ) ---+ --- R1 R2 Δx·x |  |

Gleichung (3.62c) zeigt, dass das Muster aus Ringen aus Gleichung (3.61c) mit einer linearen Phase überlagert wird.

__________________________________________________________________________

Simulation der Interferenzringe nach (3.62c) mit R₁∕λ = 50, R₂∕λ = 100 und Δx∕λ = 10.

_____________________________________________________________________

Dies führt, wie in Abbildung 3.2.6 gezeigt zu streifenförmigen gekrümmten Interferenzmustern.

3.3  Wellen in 2 und mehr Dimensionen

Literatur

(Siehe Gerthsen, Physik [Mes06, pp. 160]) (Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 41])

Versuch zur Vorlesung:

Wellenwanne (Versuchskarte O-021)

Die Wellenfunktion für eine zeitunabhängige Welle in zwei oder drei Dimensionen wird wie

(3.1)

für eine longitudinale Welle und

(3.2)

für transversale Wellen. A(x) ist ein Vektor, der auch komplexe Komponenten haben kann (Die komplexen Komponenten geben die Phasen an.). Der Vektor, der aus dem Betrag der einzelnen Komponenten gebildet wird, gibt die Schwingungsrichtung der Welle an. Für eine transversale Welle gilt

(3.3)

3.3.1  Ebene Wellen

__________________________________________________________________________

Bild einer ebenen Welle

_____________________________________________________________________

Eine ebene Welle entsteht aus der allgemeinen Lösung der Wellengleichung dadurch, dass die Amplitude und der Wellenvektor k nicht vom Ort abhängen. Eine ebene Transversalwelle ist durch

(3.4)

eine Longitudinalwelle durch

(3.5)

gegeben.

Die Ausbreitungsrichtung ebener Wellen ist durch den Wellenvektor k gegeben. Eine Vektor gezeichnet parallel zu k kann so die Ausbreitungsrichtung anzeigen. Bei ebenen Lichtwellen spricht man dann von Lichtstrahlen.

Achtung!

Mathematisch streng muss eine ebene Welle eine unendliche Ausdehnung haben. Sie beginnt und endet nur im Unendlichen.

Alle „ebenen Wellen“ und alle „Lichtstrahlen“ sind nur mehr oder weniger gute Approximationen der physikalisch nicht realisierbaren Mathematik.

3.3.2  Kugelwellen

Literatur

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 48, 710]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 287])

Versuch zur Vorlesung:

Wellenwanne (Versuchskarte O-021)

Eine weitere häufig vorkommende Form von Wellen sind die Kugelwellen. Auch sie sind eine Lösung der aus den Maxwellgleichungen abgeleiteten Wellengleichung (2.1), aber in Kugelkoordinaten. Wir verwenden den Laplace-Operator in Kugelkoordinaten aus Gleichung (B.12)

Wir interessieren uns hier zuerst nur für kugelsymmetrische Lösungen, also Lösungen, die nicht von θ und ϕ abhängen. Alle Ableitungen nach θ und ϕ sind dann null. Der Laplace-Operator hat für kugelsymmmetrische Probleme die Form

(3.6)

Damit ist die Wellengleichung

(3.7)

Gleichung (3.7) ist in Wirklichkeit drei Gleichungen. Diese Gleichungen können durch einen Separationsansatz gelöst werden (siehe z.B. Bücher zur Atomphysik). Wir nehmen eine Koordinate und raten, dass die Amplitude

(3.8)

eine Lösung ist. Eingesetzt erhalten wir

c²1 -2 r∂ --- ∂r( ∂ A0 ) r2------ei(kr-ωt) ∂r r | = ∂2 ---2 ∂tA0 --- rei(kr-ωt) | (3.9a)
c²1 -2 r∂ --- ∂r( ( A0 A0 ) ) r2 - -2-+ ik --- ei(kr-ωt) r r | = - iA0 ω ------- r∂ --- ∂tei(kr-ωt) | (3.9b)
A₀c²1- r2-∂- ∂r( ) (- 1 + ikr)ei(kr-ωt) | = --iA0-ω r∂-- ∂tei(kr-ωt) | (3.9c)
A₀c²1- r2(( 2 2 ) i(kr- ωt)) - ik + ik + i k r e | = (--i)2A0ω2- rei(kr-ωt) | (3.9d)
-A0c2k2 ------- rei(kr-ωt) | = -A0 ω2 ----- rei(kr-ωt) | (3.9e)
c | = ±ω -- k | (3.9f)

Wenn die Bedingung in Gleichung (3.9f) erfüllt ist, ist Gleichung (3.8) eine Lösung eine Lösung der Wellengleichung (3.7) in Kugelkoordinaten für kugelsymmetrische Probleme. Für eine auslaufende Welle ist c = ω∕k, für eine einlaufende Welle ist c = -ω∕k.

Alternativ hätten wir die Amplitudenabhängigkeit durch folgende Überlegung erhalten können:

Wir denken uns eine Kugeloberfläche um die Quelle, wobei die Quelle im Mittelpunkt der Kugel sein soll.

Der Energiefluss pro Zeit, die Leistung, die durch die gesamte Kugeloberfläche fliesst ist konstant, unabhängig vom Radius der Kugel.

Damit diese Gleichung für alle r gilt muss A(r) = A₀r0- r sein.

__________________________________________________________________________

Amplitude und Intensität einer Kugelwelle in Abhängigkeit der Distanz r von der Quelle. Links eine lineare, rechts eine logarithmische Darstellung.

_____________________________________________________________________

Bei einer Kugelwelle ist

die Amplitude: A(r) = A₀r0- r

die Intensität I(r) = I₀r2 r02

Versuch zur Vorlesung:

Moire-Modell der Interferenz von Kugelwellen (Versuchskarte O-019)

3.3.3  Fourier-Transformation

Eine beliebige in der Zeit periodische Funktion f(t) (mit der Periode T = 2π∕ω), die genügend oft stetig differenzierbar ist, kann durch Sinus- und Cosinusfunktionen dargestellt werden [AW95, p 808ff].

(3.10)

Wir können aj und bj wie folgt ausdrücken [AW95, p 808ff]:

aj | = 2- T∫ ₀T f(t) cos (jωt) dt | j ∈ℕ |  | (3.11a)
bj | = 2 T-∫ ₀T f(t) sin (jωt ) dt | j ∈ℕ |  | (3.11b)

Mit komplexen Funktionen und komplexen Koeffizienten lauten die Gleichungen (3.10)

(3.12)

und (3.11)

(3.13)

Auf dem Einheitskreis z = exp(iθ) entspricht dies der Entwicklung von

(3.14)

in eine Laurent-Reihe [AW95, p 809].

Eine Erweiterung der Laurent-Reihen ist die Fourier-Transformation für beliebige genügend oft stetig differenzierbare komplexwertige Funktionen eines komplexen Arguments [AW95, p 846ff]:

(3.15)

sowie die Rücktransformation

(3.16)

Die Literatur ist nicht eindeutig, wie der Faktor (2π)⁻¹ verteilt wird. So schreibt zum Beispiel [Hec05, p 839] für die Transformation

(3.17)

sowie für die Rücktransformation

(3.18)

Hecht hat dabei noch die Konvention verwendet, dass grosse Buchstaben die Fouriertransformierte beschreiben.

Anstelle der Integrale wird oft auch F für die Transformation und F⁻¹ für die Rücktransformation verwendet, also in der Hechtschen Notation

(3.19)

Würden wir in Gleichung (3.15) t durch t = a˜t ersetzen, hätten wir also auch dt = ad˜ t und

(3.20)

Nun sieht natürlich Gleichung (3.20) nicht mehr wie die Definition der Fouriertransformation aus. Wir können dies beheben, indem wir nun mit ˜ω = aω rechnen und den zusätzlichen Faktor a weglassen. Dann haben wir

(3.21)

In der Hechtschen Notation folgt jetzt aus G(ω) = F(g (t)) dass für eine gestreckte Achse t∕a die Fouriertransformation

(3.22)

ist.

In 2 Dimensionen, wichtig für die Optik lauten die Gleichungen mit r = (x,y)T und R = (u,v)T

F(R) | = F(u,v) = 1 2π-∫ -∞∞∫ -∞∞f(x,y) exp (i(xu + yv )) dxdy | (3.23a)
| = 1 --- 2π∬ ℝ²f(r) exp (ir·R ) dr | (3.23b)
f(r) | = f(x,y) = 1-- 2π∫ -∞∞∫ -∞∞F(u,v) exp (- i(xu + yv)) dudv | (3.23c)
| = -1- 2π∬ ℝ²F(R) exp (- ir·R ) dR | (3.23d)

Dabei wurden zwei Konventionen verwendet:

Funktionen in unserem Raum werden mit kleinen Buchstaben, Funktionen im Raum der transformierten Funktionen mit den entsprechenden grossen Buchstaben bezeichnet.

Die Koordinaten des transformierten Raumes (x,y) werden mit (u,v) bezeichnet.

In drei Dimensionen lauten die Fourier-Transformationen mit r = (x,y,z)T und k = (k x,ky,kz)T :

F(k) | = ---1--- (2π )3∕2 ∭ ℝ³f(r) exp (ir·k ) dr | (3.24a)
f(r) | = 1 ------- (2π )3∕2 ∭ ℝ³F(k) exp (- ir·R ) dk | (3.24b)

3.4  Das Fresnel-Huygenssche Prinzip

Literatur

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 163, 650]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 328]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1028])

Die Beugung von Wellen an einem Objekt kann mit dem Prinzip von Fresnel-Huygens erklärt werden.

Dieses Prinzip kann mit Hilfe von sphärischen Wellen (3.8) und der Fourier-Transformation (3.23) motiviert werden. Wir betrachten das elektrische Feld einer elektromagnetischen Welle in einer Ebene, praktischerweise mit z = 0. Die komplexe Amplitude (ein Weg, die Phase mit zu berücksichtigen) ist in dieser Ebene ortsabhängig. Der Mittelpunkt der Kugelwelle wird dabei nach r₀ verschoben.

(3.1)

Die resultierende Welle kann als Summe von einzelwellen, oder im kontinuierlichen Falle als Integral geschrieben werden.

E(r,t) | = ∬ EbeneE0-(r0)- |r0 - r| exp (i(k |r0 - r | - ωt)) dr₀ | (3.2a)
Das Integral hängt nicht von t ab
E(r,t) | = exp (- iωt) ∬ EbeneE0(r0) |r----r| 0 exp (ik |r0 - r |) dr₀ | (3.2b)

In Komponenten haben wir r = (x,y,z)T und r 0 = (x₀,y₀, 0)T . Wir setzen ρ = (ρx,ρy,ρz)T = (x -x 0,y -y₀,z)T . Mit der neuen Variablen ρ und dρx = -dx₀ und dρy = -dy₀ und dr₀ = (-dx₀)(-dy₀) = dρ lautet das Integral:

E(r,t)
= exp (- iωt ) ∬ EbeneE0(ρ-)- ρ exp (ikρ) dρ
(3.3)

Weit weg von der Ebene z = 0 kann man schreiben, dass ρ ≈ρ₀ ist. Wir können dann schreiben

E(r,t)
≈exp (- iωt ) ----------- ρ0 ∬ EbeneE₀(ρ) exp (ikρ) dρ
(3.4)

Aus dieser Gleichung folgt, die komplexe Amplitude einer elektromagnetischen Welle, die in einer Ebene bekannt ist, näherungsweise als Fouriertransformation beschrieben werden kann. Genauere Analysen (später) sind die Kirchhoff-Theorie, die Fraunhofer-Theorie und die Fresnel-Theorie.

Andererseits kann, wenn vom Integral zurück zu einer Summe gegangen wird, und die 1∕ρ-Abhängigkeit vernachlässigt wird, das Fresnel-Huygenssche Prinzip formuliert werden.

Das Fresnel-Huygenssche Prinzip
Jeder Punkt einer bestehenden Wellenfront ist Ausgangspunkt einer neuen kugelförmigen Elementarwelle, die die gleiche Ausbreitungsgeschwindigkeit und Frequenz wie die ursprüngliche Welle hat. Die Einhüllende aller Elementarwellen ergibt die Wellenfront zu einem späteren Zeitpunkt.

Man nimmt eine Momentaufnahme des Wellenbildes eines bestimmten Wellenberges und nimmt jeden Punkt auf diesem Wellenberg als Ausgangspunkt einer neuen Kreiswelle (Kugelwelle in 3 Dimensionen).

__________________________________________________________________________

Huygenssches Prinzip. Links die Interferenz von 5 Kreiswellen auf einer horizontalen Linie, die 4 mal so lang ist wie die Bildkante. Rechts das gleiche mit 9 Kreiswellen.

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_____________________________________________________________________

Huygenssches Prinzip. Links die Interferenz von 17 Kreiswellen auf einer horizontalen Linie, die 4 mal so lang ist wie die Bildkante. Rechts das gleiche mit 33 Kreiswellen.

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

Huygenssches Prinzip. Links die Interferenz von 65 Kreiswellen auf einer horizontalen Linie, die 4 mal so lang ist wie die Bildkante. Rechts das gleiche mit 129 Kreiswellen.

_____________________________________________________________________

Die Beugung an einem Spalt kann so verstanden werden, dass nicht mehr Kreiswellen aus einem grossen Bereich, sondern nur noch Kreiswellen aus dem Spalt zum neuen Wellenbild beitragen.

__________________________________________________________________________

Huygenssches Prinzip. Interferenzmuster an einem Spalt. Links die Interferenz von 5 Kreiswellen auf einer horizontalen Linie im Spalt. Rechts das gleiche mit 9 Kreiswellen.

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_____________________________________________________________________

Huygenssches Prinzip. Interferenzmuster an einem Spalt. Links das Interferenzmuster bei einer Spaltbreite von 1 Wellenlänge, rechts von 3 Wellenlängen.

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_____________________________________________________________________

Huygenssches Prinzip. Interferenzmuster an einem Gitter. Die im Bild sichtbare Drehung rührt daher, dass nur eine endliche Anzahl von Gitterschlitzen berücksichtigt wurde.

_____________________________________________________________________

3.4.1  Interferenz von Kugelwellen

Nach dem Fresnel-Huygensschen Prinzip interferieren Kugelwellen. Bei grossem ρ (siehe auch Gleichung (3.4)) und achsnahen Positionen ist

(3.5)

Situationen, bei denen Gleichung (3.5) gilt, heissen paraxial, die Näherung also paraxiale Näherung.

__________________________________________________________________________

Interferenz zweier Wellen aus A und B

_______________________________________________________________

Die Interferenz von Kugelwellen kann bei etwa gleichen Amplituden nach Abbildung 3.4.1 berechnet werden. Aus der Zeichnung ist ersichtlich, dass der Weglängenunterschied von A nach P und von B nach P Δℓ = d sin φ ist. Aus Gleichung (3.1) wissen wir, dass konstruktive Interferenz auftritt, wenn

(3.6)

ist. In der paraxialen Näherung (kleine φ) gilt auch

(3.7)

Interferenzminima treten bei

(3.8)

oder, in der paraxialen Näherung (kleine ϕ), bei

(3.9)

Die Lage der Interferenzextrema hängen von der Wellenlänge ab.

3.5  Interferenzmuster an einem Doppelspalt

Literatur

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 572]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 358]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1116])

Versuch zur Vorlesung:

Beugung am Doppelspalt (Versuchskarte O-123)

_______________________________________________

Strahlengang bei einem Doppelspalt

_____________________________________________________________________

Aus den Interferenzbedingungen wissen wir, dass wir

konstruktive Interferenz (helle Streifen) bei

(3.1)

destruktive Interferenz (dunkle Streifen) bei

(3.2)

haben. Wir berechnen nun den Verlauf der Intensität.

Am Punkt P ist die Phasendifferenz

(3.3)

Der m-te helle Streifen hat von der Achse den Abstand ym. Nach der Skizze ist der Winkel dann durch

(3.4)

gegeben. Wir verwenden, dass für kleine Winkel Θ gilt: tan Θ ≈ sin Θ ≈ Θ. Damit folgt

(3.5)

Der m-te helle Streifen liegt also bei

(3.6)

Der Abstand zweier Streifen ist

(3.7)

Wenn wir die Amplituden der Felder verwenden (die elektrischen Felder E), können wir sagen, dass die beiden Felder E₁ = |E0i| sin(ωt) und E₂ = |E0i| sin(ωt + δ) am Punkt P interferieren.

(3.8)

Mit sin α + sin β = 2 cos ( ) α--β 2 sin ( ) α+β- 2

bekommt man

(3.9)

Die Intensität ist dann

(3.10)

wobei n der Brechungsindex des Mediums ist. Mit d sin Θ ≈yd∕ℓ wird die Phase

(3.11)

und mit I₀ = nϵ02c|E0i|²

(3.12)

__________________________________________________________________________

Beugung an einem Doppelspalt. Links ist d = 3λ, in der Mitte d = 10λ und rechts d = 30λ (rechts ist der gezeigte Bildausschnitt grösser).

_____________________________________________________________________

Die Interferenz an einem Doppelspalt hängt von der Polarisationsrichtung ab.

Versuch zur Vorlesung:

Interferenz mit Polarisation (Versuchskarte AT-051)

3.6  Vektoraddition von harmonischen Wellen

Literatur

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 420]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1120])

Wir betrachten zwei Wellen

(3.1)

Beide Schwingungen haben die gleiche Frequenz: die Zeiger der Schwingung behalten ihre relative Stellung und rotieren gemeinsam. Die Summe muss sein

(3.2)

Wir legen die ”1”-Achse so, dass der Vektor E₁ entlang dieser Achse ist. Die Komponenten von E₂ sind entlang der ”1”-Achse E2,1 = Ê₂ cos δ und entlang der ”2”-Achse E2,2 = Ê₂ sin δ. Damit sind die Komponenten

Damit ist

(3.4)

oder

(3.5)

Die Phase ist

(3.6)

__________________________________________________________________________

Grafische Darstellung der Vektoraddition

_____________________________________________________________________

3.7  Interferenzmuster bei drei und mehr äquidistanten Quellen

Literatur

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 609]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1122])

Versuch zur Vorlesung:

Interferenz am Glimmerplättchen (Versuchskarte )

_______________________________________________

Interferenz von drei Quellen

_____________________________________________________________________

Die folgenden drei paraxialen Wellen interferieren im Punkt P.

Die Phasendifferenz ist, wie bei zwei Quellen³

(3.2)

Für Θ = 0 sind alle drei Wellen in Phase. Wir haben ein Maximum. Das erste Nebenmaximum entsteht, wenn δ = 2π∕3 ist, und nicht bei δ = π wie bei zwei interferierenden Wellen. Der Winkel Θ des ersten Nebenmaximums ist also grösser.

__________________________________________________________________________

Vektordiagramm für die Interferenz von drei Wellen (links) und vier Wellen (rechts).

_____________________________________________________________________

Die Maxima liegen wieder bei

(3.3)

Die Maxima sind schärfer und intensiver als bei einer Welle.

__________________________________________________________________________

Interferenzmuster für zwei bis fünf Punktquellen, nicht normiert.

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

Interferenzmuster für zwei bis sieben sowie 20 Punktquellen, normiert

_____________________________________________________________________

3.8  Interferenz an dünnen Schichten

(Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1111]) Interferenzmuster an dünnen planparallelen Schichten wurden im Abschnitt 3.2.5 behandelt.

__________________________________________________________________________

Interferenz an dünnen Schichten

_____________________________________________________________________

Die folgende Zusammenfassung beruht auf den Gleichungen (3.51). Wir betrachten eine dünne Schicht der Dicke Λ mit dem Brechungsindex n in Luft (nLuft = 1. Dabei nehmen wir an, dass das Licht fast senkrecht auf die Grenzfläche auftritt. Die Phase des Strahls 1, der an der oberen Grenzfläche reflektiert wird, wird bei der Reflexion um π gedreht. Der Strahl 2, der an der unteren Grenzfläche reflektiert wird, unterliegt keinem Phasensprung. In der dünnen Schicht ist die Wellenlänge kleiner, λ′ = λ∕n. Wir müssen für die Interferenz den Weg in der Schicht doppelt zählen. Zusätzlich muss die Phase des zweiten interferierenden Lichtstrahls an der Luft (grün eingezeichnet) berücksichtigt werden. Die Phase bei senkrechtem Einfall ist durch den Laufzeitunterschied Δt = Λ- c′ = nΛ- c im Glas gegeben. Deshalb kann man auch mit dem optischen Weg

(3.1)

rechnen. Bei schrägem Einfall (Winkel Θ zur Normalen) muss mit dem Brechungsgesetz gerechnet werden:

Dann ist der zurückgelegte Weg

(3.2)

da ja das Brechungsgesetz gelten muss. Weiter Brauchen wir auch ℓ₁. Hier haben wir

(3.3)

a kann mit Θ′ berechnet werden

(3.4)

Weiter gibt es bei der Reflexion an der oberen Grenzfläche einen Phasensprung von π, den wir mit der Addition von λ∕2 einbringen.

Insgesamt haben wir also unter Berücksichtigung des optischen Weges nℓ₂ im Glas

Δℓ | = nℓ₂ -ℓ₁ + λ- 2 = -2n-Λ--- cos(Θ′) -a sin(Θ) + λ- 2 | (3.5a)
| = --2nΛ--- cos(Θ ′) - 2Λ tan(Θ′) sin(Θ) + λ- 2 = 2Λ′ n---sin-(Θ-)sin(Θ)- cos(Θ ′) + λ- 2 | (3.5b)
| = 2Λn - sin(Θ′)sin(Θ ) --∘--------2--′--- 1 - sin (Θ ) + λ 2- = 2Λn2 - n sin (Θ′)sin(Θ) --∘--2----2---2---′-- n - n sin (Θ ) + λ 2- | (3.5c)
| ′ sin(Θ )=n= sin(Θ )2Λn2 - sin2(Θ ) ∘-------------- n2 - sin2 (Θ ) + λ -- 2 = 2Λ∘ -------------- (n2 - sin2(Θ ) + λ -- 2 | (3.5d)

Damit erhalten wir

2Λ----------- ∘ 2 2 n - sin Θ
= mλm = 0, 1, 2, 3,…
(3.6a)

destruktive Interferenz

2Λ∘ -2-----2--- n - sin Θ
= ( 1 ) m + 2-λm = 0, 1, 2, 3,…
(3.6b)

konstruktive Interferenz

Versuch zur Vorlesung:

Newtonsche Ringe (Versuchskarte O-017)

_______________________________________________

Querschnitt durch eine Linse auf einem Glasplättchen, bei dem Newtonsche Ringe auftreten.

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Bei einer schwachen Krümmung einer Linse, die auf einer ebenen Glasplatte liegt (Siehe Abbildung 3.8), kann der Luftspalt lokal wie eine planparallele Schicht behandelt werden. Dann treten in dem sehr kleinen Luftspalt, beleuchtet mit monochromatischem Licht, das senkrecht auf die Platten fällt, wegen der Interferenz die Newtonschen Ringe auf. Wieder tritt ein Phasensprung von π bei der Reflexion an der unteren Platte auf. Auch hier gelten die Gleichungen (3.6a) und (3.6b);

__________________________________________________________________________

Simulation Newtonscher Ringe (rechts mit einem Fehler).

_____________________________________________________________________

Bei dünnen Schichten mit einem niedrigen Brechungsindex zwischen zwei Schichten mit einem höheren Brechungsindex tritt Auslöschung für die Reflexion auf. Damit können reflexmindernde Schichten erzeugt werden.

__________________________________________________________________________

Simulation Newtonscher Ringe bei weissem Licht (rechts mit einem Fehler).

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_____________________________________________________________________

Weisslichtinterferenz an der Blende eines Objektivs. Abgebildet ist ein defokussierter Wassertropfen.

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In der oben stehenden Abbildung 3.8 werden die Newtonschen Ringe bei weissem Licht durch die Überlagerung dreier Ringsysteme mit rotem Licht (λ = 6∕5), grünem (λ = 1) und blauem Licht (λ = 4∕5) simuliert. Es treten nun farbige Ringe auf. Abbildung 3.8 zeigt eine Messung mit einer Kamera. Gezeigt sind Weisslichtinterferenzen an der Blendenöffnung.

3.9  Beugungsmuster an einem Einzelspalt

Literatur

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 650,663]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1125]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 341])

In diesem Abschnitt wird die Beugung an einem Einzelspalt näherungsweise berechnet. Dabei verwenden wir die Methode, Phasen und Amplituden in der komplexen Ebene aufzuaddieren.

Versuch zur Vorlesung:

Beugung am Einzelspalt (Versuchskarte O-050)

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Berechnung des Beugungsmusters an einem Einzelspalt.

_____________________________________________________________________

Wir definieren den Winkel Θ genau so wie in der Zeichnung

3.9.1  Berechnung der Intensitätsverteilung

Literatur

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 663]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1127])

Wir betrachten N + 1 punktförmige Lichtquellen in einem Spalt der Breite a. Ihr Abstand ist d = a∕N. Der Phasenunterschied zwischen zwei Lichtquellen in die Richtung Θ ist

(3.1)

__________________________________________________________________________

Definition der Grössen. Rechts ist die Berechnung der Amplitude gezeigt.

_____________________________________________________________________

Der gesamte Phasenunterschied ist

(3.2)

oder

(3.3)

Wie hängt nun die Amplitude von Φ ab?

Die Amplitude |E0i| resultiert aus der Addition von N + 1 Einzelamplituden E. Aus der Abbildung ist ersichtlich, dass

(3.4)

Für den Winkel Θ = 0 ist Emax = E(Φ = 0) = N·E. Die Amplituden der einzelnen Quellen sind unabhängig von der Beobachtungsrichtung. Deshalb ist auch die Bogenlänge Emax = N·E = rΦ. Wir lösen nach r auf und setzen ein.

(3.5)

Wenn wir berücksichtigen, dass I = n 2∘ ε0- μ0E² ist und wir I₀ = n 2--- ∘ ε0 μ0Emax² setzen, erhalten wir für die Intensität

(3.6)

Wenn wir Φ einsetzen, bekommen wir

(3.7)

__________________________________________________________________________

Beugungsmuster als Funktion des Ablenkwinkels und, rechts, als Funktion des Abstandes von der optischen Achse.

_____________________________________________________________________

Wir können mit Θ(y) = arctan y ℓ das Beugungsmuster für einen ebenen Schirm berechnen. Soll das Beugungsmuster in Funktion von Θ betrachtet werden, muss es mit einer Sammellinse (Schirm im Brennpunkt) betrachtet werden.

__________________________________________________________________________

Beugungsmuster als Funktion der Spaltbreite. Links kontinuierlich und rechts für die Breiten a = 0.1,0.3,1,3,10

__________________________________________________________________________

Die Lage der Beugungsmaxima und -minima ist gegeben durch Φ∕2 = kπ, k = ±1,±2,… für die Minima und Φ∕2 = (k + 1∕2)π, k = ±1,±2… sowie Φ = 0 für die Maxima.

Die Amplitude in den Nebenmaxima Θmax,n bekommt man durch Ableitung und auf Null setzen. Ungefähr liegen diese Maxima in der Mitte zwischen den Minima. Die Amplitude ist dort ungefähr

(3.9)

Damit gilt für die Intensitäten der Nebenmaxima

(3.10)

___________________________________________________________________________

Φ∕2
Art
Amplitude bezogen auf I₀

0
Maximum
1

±π
Minimum
0

≈±3π∕2
Maximum
≈4 9π2-

±2π
Minimum
0

≈±5π∕2
Maximum
≈4 25π2

≈±7π∕2
Maximum
≈449π2

≈±9π∕2
Maximum
≈841π2

Lage der Minima und Maxima

_____________________________________________________________________

Die genaue Lage der Extrema kann man durch

(3.11)

oder vereinfacht für Φ ⇔ 0

(3.12)

bestimmt werden. Nullstellen gibt es für sin (Φ∕2 ) = 0 und für Φ cos ( Φ) 2- 2 sin ( Φ) 2 = 0 oder

Φ | = 2kπ | k ∈ | ℤ\{0} | Nullstellen oder Minima |  |  |  |  |  |
Lösung von Φ | = 2 tan(Φ∕2) |  |  | Maxima |  | (3.13)

Dies folgt aus der Analyse der zweiten Ableitung

∂2 [ sin (Φ∕2 )]2 2((Φ2 - 6)cos(Φ) - 4Φ sin(Φ) + 6) ---- --------- = ----------------------------------- ∂Φ2 Φ ∕2 Φ4 Φ⇔0 ( 2 ) = Φ - 6 cos(Φ) - 4Φ sin(Φ) + 6

(3.14)

Für Φ = 2kπ mit k ∈ ℤ\{0} ist die zweite Ableitung positiv, es sind also Minima. Die anderen Lösungen müssen also Maxima sein.

Für grosse Beugungsordnungen |k|→∞ geht die Lage der Maxima gegen Φ = (2k - 1)π. In der Nähe der optischen Achse sind sie verschoben.

3.10  Interferenz- und Beugungsmuster beim Doppelspalt

3.10.1  Fouriertransformation und Faltung

Die im Abschnitt 3.3.3 vorgestellte Fouriertransformation ist eine lineare Transformation (siehe z.B. [AW95, BSMM08]). Hier soll die Faltung diskutiert werden. Dazu überlegen wir, wie hoch die Gesamtenergie von Licht ist, das von einer begrenzten Leuchte mit konstanter Intensität durch einen Spalt geschickt wird, wobei die Leuchte am Spalt vorbei bewegt wird.

__________________________________________________________________________

Prinzip einer Faltung

_____________________________________________________________________

Abbildung 3.10.1 zeigt das Prinzip einer Faltung. Wenn die Leuchte ganz vom Spalt abgedeckt wird, ist die Intensität I₁ = 0. Wenn die Leuchte teilweise vom Spalt abgedeckt wird, hängt die Intensität I₁ von der Position ab. Ist die Leuchte im Spalt, ist die Intensität I₁ wieder konstant.

__________________________________________________________________________

Faltung einer Rechteckfunktion an einem Spalt

_____________________________________________________________________

Abbildung 3.10.1 zeigt ein gerechnetes Beispiel. Die rote rechteckförmige Kurve I₀ wird am Spalt vorbeigeschoben. Die blaue Kurve I₁ zeigt das Resultat. Formal wird eine Faltung in einer Dimension durch die Integralgleichung

(3.1)

beschrieben (Siehe [AW95, p865]). * ist das Operationszeichen für eine Faltung. Hecht [Hec05, p 859] schreibt

(3.2)

Der Unterschied rührt wieder von der Verteilung des Faktors 1∕(2π) her. Beachten Sie auch, dass bei Hecht ⊛ das Operatorzeichen für eine Faltung ist.

Faltungen können besonders effizient über die Fouriertransformation berechnet werden:

f *h | = 1 -√---- 2π∫ -∞∞f(x)h(y -x)dx | (3.3a)
| = 1 -√---- 2π∫ -∞∞f(x)( ∞ ) 1 ∫ ( -√---- H (k)exp (- ik (y - x))dk ) 2π-∞dx | (3.3b)
| = -√1--- 2π∫ -∞∞f(x)( ∫∞ ) ( -√1--- H (k)exp (- iky )exp (ikx)dk ) 2π -∞dx | (3.3c)
Integrationsreihenfolge wechseln
| = -√1--- 2π∫ -∞∞H(k)( ∞∫ ) ( √-1-- f(x)exp (ikx)dx ) 2π -∞ exp (- iky) dk | (3.3d)
| = -√1--- 2π∫ -∞∞H(k)F(k) exp (- iky ) dk | (3.3e)
mit dem Operator F
f *h | = F⁻¹(H (k)F (k)) | (3.3f)
F(f * h) | = F(f (x )) ·F(h(x)) | (3.3g)

Die Fouriertransformation einer Faltung zweier Funktionen ist das Produkt der Fouriertransformationen der beiden Funktionen.

3.10.2  Fouriertransformation und Diracsche Deltafunktion

Die Diracsche Deltafunktion nach Gleichung (B.3) hat eine besonders einfache Fouriertransformation

(3.4)

Das Resultat ist also eine Funktion mit konstanter komplexer Amplitude. Umgekehrt ist die Fouriertransformation einer konstanten Funktion eine Dirac-Delta-Funktion

(3.5)

Die Interpretation dieser Gleichungen zum Beispiel für Schall ist: ein extrem kurzer Knall enthält alle Schallfrequenzen.

3.10.3  Diskussion der Interferenz beim Doppelspalt

Literatur

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 670]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1130])

Versuch zur Vorlesung:

Beugung am Doppelspalt (Versuchskarte O-123)

Perfekte Spalte, also Spalte mit verschwindender Breite können über Dirac-Deltafunktionen (B.3) modelliert werden. Ein Beugungsobjekt mit mehreren gleichabständigen identischen Spalten kann als Faltung

der Beugungsfunktion des Einzelspaltes

der Multiplikation mit einer unendlichen Summe von Diracpulsen an den Orten der Spalte

und alles gefaltet mit der Beugungsfunktion des Spaltes mit der Breite des Objektes.

Dies kann auch so formuliert werden:

Bei Doppelspalten oder bei Gittern mit N Linien setzt sich das Beugungsmuster aus dem Muster des Einzelspaltes multipliziert mit dem Beugungsmuster des Gitters zusammen.

Da die charakteristische Länge des Einzelspaltes kleiner ist als die Gitterperiode, ist das Beugungsmuster des Einzelspaltes breiter als das des Gitters. Die Beugungsfunktion des Einzelspaltes gibt die Umhüllende des Beugungsmusters.

Wir hatten für das Beugungsmuster des Doppelspalts mit linienförmigen Spalten

(3.6)

wenn wir n = 1 setzen. Das gesamte Beugungsmuster ist dann durch

(3.7)

wobei Φ(Θ) = 2π λa sin Θ und δ(Θ) = 2π- λd sin Θ sind mit a der Spaltbreite und d dem Abstand der beiden Spalte. Wir können nun noch mit Θ(y) = arctan yℓ das Beugungsmuster für einen ebenen Schirm berechnen.

__________________________________________________________________________

Beugung an einem Doppelspalt mit dem Spaltabstand d = 6 und der Spaltbreite a = 2.

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

Beugung an einem 5-fach Spalt mit dem Spaltabstand d = 6 und der Spaltbreite a = 2

__________________________________________________________________________

3.11  Fraunhofersche und Fresnelsche Beugung

Literatur

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 650, 710]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1131]) (Siehe Sommerfeld, Theoretische Physik Band IV, Optik [Som78, pp. 206])

Hier wird die Diskussion des Fresnel-Huygensschen Prinzips (siehe Abschnitt 3.4) wieder aufgenommen. Bei der damaligen Betrachtung wurde angenommen, dass sich der Abstand zwischen einem Punkt in der Quellebene und einem Punkt in der Beobachtungsebene kaum ändert (siehe Gleichung (3.4)).

__________________________________________________________________________

Berechnung der Fresnelbeugung an einer Halbebene.

_____________________________________________________________________

Bei der Beugung interferiert Licht von Kugelwellen aus allen Punkten mit den Koordinaten x′ im Beobachtungspunkt mit der Koordinate x. Für eine einzelne Teilwelle ist der Weg

(3.1)

Entsprechend ist die komplexe Amplitude am Punkt x gegeben durch

(3.2)

Die Amplitude am Punkt x ist dann nach Fresnel-Huygens

(3.3)

da wir Kugelwellen haben. Diese Gleichung kann numerisch gelöst werden. Es existieren die folgenden Näherungen:

die Fresnelsche Näherung, die s bis zur zweiten Ordnung in x′ approximiert (siehe Abschnitt 3.11.1) und die

die Fraunhofersche Näherung, die s bis zur ersten Ordnung in x′ approximiert, also letztlich eine Fouriertransformation ist (siehe Abschnitt 3.11.3).

Bei beiden Näherungen wird nur das rein imaginäre Argument der der Exponentialfunktion approximiert. Der Faktor 1∕s wird beide Male konstant gesetzt, das heisst, die Amplitudenvariation wegen der unterschidlichen Distanzen wird vernachlässigt.

3.11.1  Fresnelsche Näherung

Literatur

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 710]) (Siehe Sommerfeld, Theoretische Physik Band IV, Optik [Som78, pp. 206])

Wir betrachten nur Orte, bei denen |x -x′|«D sind. Dann ist

(3.4)

und 1∕s ≈ 1∕D. Das heisst auch, dass die Phase ist proportional zu (x -x′)². Unser Integral wird dann

(3.5)

und

∫ Φ0- d∕2 i·2πD ∕λ i·2 π(x′-x)2∕(2D λ) ′ Φ(x ) = D -d∕2e e dx Φ ∫ d∕2 ′ 2 = --0ei·2πD ∕λ ei·2π(x- x) ∕(2Dλ)dx ′ D -d∕2

(3.6)

Mit der Variablentransformation ξ = x′-x und damit den Grenzen ξu = -d∕2 -x und ξo = d∕2 -x wird das Integral zu

(3.7)

Das verbleibende Integral ∫ ξuξoei·2πξ²∕2Dλdξ kann als Summe und Differenz der Fresnelschen Integrale geschrieben werden. Wir verwenden, dass eiα = cos α + i sin α ist.

∫ ξo i·2πξ2∕2D λ ∫ ξo( ( 2 ) ( 2 )) ξu e dξ = ξu cos 2πξ ∕(2D λ) + isin 2πξ ∕(2D λ) dξ ∫ ξ ( ( 2 ) ( 2) ) = o cos πξ-- + isin π-ξ-- dξ ξu D λ 2D λ

(3.8)

Dieses Integral, nach Real- und Imaginärteil aufgetrennt und normiert ergibt die Fresnelschen Integrale

Die Funktion Φ(x) kann als Differenz zweier Fresnelscher Integrale geschrieben werden

wobei K eine von der Intensität abhängige Konstante ist.

__________________________________________________________________________

Die Cornu-Spirale. Aufgetragen ist die parametrische Kurve (C(w),S(w)) mit -∞≤w ≤∞. Die linke untere Spirale entspricht w = -∞, die rechte obere Spirale w = ∞.

_____________________________________________________________________

Die durch F(w) = C(w) + iS(w) definierte Ortskurve ist die Cornu-Spirale. Dies e-Funktion beschreibt eine längentreue Abbildung der reellen Achse w auf die komplexe C,S-Ebene. Mit dieser Konstruktion kann auf einfachem graphischem Wege das Beugungsmuster konstruiert werden. Dazu zeichnet man vom Ortspunkt der unteren Integrationsgrenze zum Ortspunkt der oberen Integrationsgrenze eine Linie. Deren Länge gibt die Amplitude, deren Winkel zur reellen Achse die Phase. Damit kann das Fresnel-Beugungsbild eines Spalts berechnet werden.

__________________________________________________________________________

Cornu-Spirale mit einem Spalt der Breite 1.0 = w₂ -w₁, hier von w₁ = 0.3 bis w₂ = 1.3.

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

Fresnelsches Beugungsmuster an einem Spalt der Breite 1. Links die Amplitude und rechts die Intensität, die einzige direkt beobachtbare Grösse.

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Wenn man die untere Integrationsgrenze nach -∞ gehen lässt und bei der oberen Integrationsgrenze d gegen Null gehen lässt, bekommt man das Beugungsbild an einer Kante. Wir tragen nun die Strecke vom Zentrum der linken Spirale (F(-∞) = -1∕2(1 + i)) aus zum Ortspunkt korrespondierend zu x ab. Wir sehen, dass im Schattenbereich (bis der bewegliche Ortspunkt 0, 0 erreicht) die Amplitude monoton zunimmt. Dann beginnt eine Oszillation, die als die Interferenzmuster im hellen Bereich beobachtet werden kann.

Abbildung 3.11.1 zeigt eine ausgewählte Position in der Cornu-Spirale. Ersichtlich ist in der Abbildung und in Abbildung 3.11.1, dass bei einer einfallenden Intensität mit dem Betrage 2 das transmittierte Licht an gewissen Orten eine höhere Intensität hat

__________________________________________________________________________

Cornu-Spirale für eine Kante. Die Linie geht von w₁ = -∞ nach w₂ = 1.06.

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_____________________________________________________________________

Fresnelsches Beugungsmuster an einer Halbebene. Links die Amplitude und rechts die Intensität, die einzige direkt beobachtbare Grösse.

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3.11.2  Prinzip von Babinet

Literatur

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 817])

Jacques Babinet hat im 19. Jahrhundert beobachtet, dass die Beugungsmuster komplementärer Beugungsobjekte identisch sind. Abbildung 3.11.2 zeigt ein Beispiel komplementärer Beugungsobjekte.

__________________________________________________________________________

Zwei komplementäre Beugungsobjekte zur Illustration von Babinets Prinzip.

_____________________________________________________________________

Anhand der Cornu-Spirale in Abbildung 3.11.1 kann nach Hecht [Hec05, p. 817] das Babinetsche Prinzip verstanden werden.

__________________________________________________________________________

Ohne beugendes Objekt erstreckt sich die Phase in der Cornu-Spirale von -(1 + i)∕2 bis (1 + i)∕2.

_____________________________________________________________________

Abbildung 3.11.2 zeigt die Amplitude und Phase ohne Beugungsobjekt. Bei einem Spalt bekommen wir eine Situation wie in Abbildung 3.11.1.

__________________________________________________________________________

Phase in der Cornu-Spirale für w₁ = -1.4 und w₂ = 0.6, also w = 2.

_____________________________________________________________________

Abbildung 3.11.2 zeigt die Phase bei einem Spalt. Die Beugung an der linken Kante und an der rechten Kante des komplementären Streifens mit gleicher Breite wie die Spaltbreite kann wie in Abbildung 3.11.1 dargestellt werden.

__________________________________________________________________________

Beugung an den beiden Kanten einer Linie mit der Breite w = 2 und den Werten w = -1.4 (links) und w = 0.6 (rechts).

_____________________________________________________________________

Die einzelnen Linien in den Abbildungen 3.11.2 bis 3.11.2 stellen Amplitude und Phase des elektrischen Feldes dar. Das Babinetsche Prinzip besagt nun, dass die elektrischen Felder nach der Beugung an einem Spalt summiert mit den elektrischen Feldern nach der Beugung an einem Streifen das elektrische Feld ohne Beugungsobjekt geben müssen.

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Illustration des Babinetschen Prinzips anhand der Beugung an einem Spalt (Abb. 3.11.2) addiert zur Beugung an einem Streifen (Abb. 3.11.2). Diskussion nach Hecht [Hec05, p. 817].

_____________________________________________________________________

In der Abbildung 3.11.2 (nach Hecht [Hec05, p. 817]) wird gezeigt, dass der E-Feldvektor der ungestörten Lichtwelle (schwarz) die Summe aus den E-Feldern der Beugung am Spalt (magenta) und der Beugung an den zwei Kanten des Streifens (grün und blau) ist.

3.11.3  Fraunhofer-Beugung

Die Gleichung (3.4) kann weiter vereinfacht werden, wenn |x ′| ⋘|x| ist. Dann bekommen wir

(3.11)

und 1∕s ≈ 1∕D. Nun ist die optische Distanz s eine lineare Funktion von x′. Die Approximation gilt nur, wenn das Beugungsobjekt klein gegen die Distanz zu Objekt und der Grösse des Beugungsmusters ist. Diese Fernfeld-Approximation nennt man die Fraunhofer-Näherung.

Das heisst, dass die Phase proportional zu C + x′ ist. Unser Integral wird dann

(3.12)

und

∫ d∕2 [ x2] Φ(x ) = Φ0- ei·2π D+ 2D ∕λe-i·2πxx′∕(2Dλ)dx′ D -d∕2 [ ] Φ i· (2π∕λ) D+-x2 ∫ d∕2 [ πx ] = -0-e 2D exp - i·----x′ dx ′ D -d∕2 D λ

(3.13)

Würde das Integral von -∞ nach +∞ laufen, hätten wir eine Fouriertransformation.

Um aus Gleichung (3.13) ein Integral über ℝ zu machen, brauchen wir eine Fensterfunktion. Die Heaviside-Θ-Funktion erlaubt dies. Sie berechnet sich aus der Delta-Funktion über

(3.14)

Die Fensterfunktion oder Spaltfunktion gS(x) kann dann aus der Subtraktion zweier verschobener Θ-Funktionen erzeugt werden:

(3.15)

Gleichung (3.13) wird mit Gleichung (3.15) umgeschrieben:

Φ(x) | = Φ0- Dei·(2π∕λ)[ 2 ] D+2xD ∫ -∞∞g S(x′) exp [ ] πx-- ′ - i· D λxdx′ | (3.16a)
| = Φ0- Dei·(2π∕λ)[ 2 ] D+2xD F⁻¹′ (gS(x )) | (3.16b)

Damit ist klar, dass die Fraunhofer-Näherung für das Amplituden-Beugungsmuster eines Spaltes die inverse Fouriertransformation (Rücktransformation) der Spaltfunktion multipliziert mit einem Phasenfaktor ist. Die inverse Fouriertransformation der Spaltfunktion ist

(3.17)

Dabei ist sinc(x) = sin(x) x eine übliche Kurzschreibweise.

Die Amplitude Φ hier ist zum Beispiel das elektrische Feld E. Dann ist die beobachtbare Intensität wie im Abschnitt 2.3 gegeben.

(3.18)

Wir bekommen also für das Beugungsmuster der Intensität beim Einzelspalte in der Fraunhofer-Näherung

I(x) = | nε c --0-- 2μ( E i· (2π∕λ)[D+ x2]) -0e 2D D(E i· (2π∕λ)[D+ x2]) --0e 2D D* |  |
| ·( d ( dx )) √----sinc π----- 2π 2D λ² | (3.19a)
= | nε0c -2μ--E20 D2-d2 2π- sinc ²( ) dx π 2D-λ- | (3.19b)
= | I₀--d2-- 2πD2 sinc ²( ) dx--- π 2D λ = I₀-λ2-- π3x2[ ( )] d-π- 1 - cos D λ x | (3.19c)

3.11.4  Vergleich

Literatur

(Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 327])

Die bis jetzt besprochenen Beugungseffekte haben die folgenden Eigenschaften:

Fraunhofersche Beugung

Ebene Wellen fallen so auf einen Spalt, dass ihre Strahlen senkrecht auf ihn treffen. Damit sind die Amplituden und die Phasen der nach dem Huygensschen Prinzip emittierten Wellen gleich.

Das Beugungsbild wird auf einem weit entfernten Schirm beobachtet. Die von Punktquellen ausgehenden Strahlen treffen ungefähr parallel auf den Schirm.

Ist eine der obigen Bedingungen nicht erfüllt, spricht man von Fresnelscher Beugung. Eine andere Formulierung der Bedingungen der Fraunhoferschen Beugung ist

Der Abstand R von der Quelle zum Beugungsobjekt ist sehr viel grösser als die charakteristische Länge d des Beugungsobjekts.

Der Abstand R′ vom Beobachter zum Beugungsobjekt ist sehr viel grösser als die charakteristische Länge d des Beugungsobjekts.

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Vergleich der Fresnelbeugung (rot) mit der Fraunhoferbeugung (schwarz) für Spaltweiten von 0.5 und 1.

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Vergleich der Fresnelbeugung (rot) mit der Fraunhoferbeugung (schwarz) für Spaltweiten von 2 und 3.

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Vergleich der Fresnelbeugung (rot) mit der Fraunhoferbeugung (schwarz) für Spaltweiten von 4 und 5.

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_____________________________________________________________________

Vergleich der Fresnelbeugung (rot) mit der Fraunhoferbeugung (schwarz) für Spaltweiten von 10 und 100. Beachten Sie die geänderte x-Achse bei der Spaltbreite 100.

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Sehr schön ist aus den Abbildungen zu ersehen, dass sich die transmittierte Intensität bei sehr breiten Spalten wie aus der geometrischen Optik erwartet verhält. Das Überschwingen an den Kanten in Abbildung 3.11.4 ist auch von Fouriertransformationen bekannt. Es heisst Gibbs-Phänomen und entsteht immer, wenn bei Integraltransformationen (Fourier oder eben die Wellentheorie der Beugung) die Bedingung der beliebig oft stetigen Differenzierbarkeit verletzt ist.

3.11.5  Kirchhoffsche Beugungstheorie

Literatur

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 819])

Wenn die Polarisation der Lichtwelle nicht relevant ist, kann die vektorielle Wellengleichung, wie sie aus den Maxwellgleichungen abgeleitet wird, als skalare Wellengleichung geschrieben werden. Beim Fresnel-Huygenschen Prinzip wir die anregende Welle in eine unendliche Anzahl von Punktstörungen aufgeteilt. Diese punktförmigen Anregungen beinhalten nun alle räumlichen Frequenzen.

Der alternative Ansatz von Kirchhoff analysiert die in der Anregung und dem Beugungshindernis vorhandenen Frequenzen und berechnet so das Beugungsmuster über eine Fourieranalyse.

Kirchhoff betrachtet skalare monochromatische Wellen [Hec05, p. 820], [AW95]. Diese haben die Form

(3.20)

und sind die Lösung der skalaren Form der vektoriellen Wellengleichung (2.1). Wird Gleichung (3.20) eingesetzt, ergibt sich die rein räumliche partielle Differentialgleichung

(3.21)

Gleichung (3.21) wird in der Literatur Helmholtz-Gleichung genannt. Nach Hecht [Hec05, pp. 1041-1042] kann die Gleichung mit dem zweiten Greenschen Satz gelöst werden. Nach [AW95, pp. 58-60] beruht dies auf dem Gaussschen Satz

(3.22)

mit einer geschlossenen Oberfläche A. Weiter werden die Identitäten für Vektorableitungen

∇·(u ∇v ) | = u∇·∇v + (∇u ) ·(∇v ) = uΔv + (∇u ) ·(∇v ) | (3.23a)
div (ugrad v) | = udiv grad v + (grad u) ·(grad v) |  |
∇·(v ∇u ) | = v∇·∇u + (∇v ) ·(∇u ) = vΔu + (∇v ) ·(∇u ) | (3.23b)
div (vgrad u) | = vdiv grad v + (grad u) ·(grad v) |  |

Die Differenz der beiden Gleichungen eliminiert das Skalarprodukt der Gradienten

∇·(u ∇v ) -∇·(v∇u ) | = uΔv -vΔu | (3.24)
div (ugrad v) -div (vgrad u) | = uΔv -vΔu |  |

oder in Integralform

∭ V (A)(uΔv - vΔu ) dV | = ∭ V (A)(div (ugrad v) - div (vgrad u)) dV |  |
| Gau=ss ∬ A(ugrad v - vgrad u) ·dA | (3.25)

Nach Hecht [Hec05, p. 1041] nimmt man nun an, dass u und v die Helmholtzgleichung (3.21) lösen, dass also Δu = -k²u und Δv = -k²v ist. Dann ist die linke Seite von Gleichung (3.25) null, also haben wir

(3.26)

__________________________________________________________________________

Geometrie zur Herleitung des Kirchhoffschen Integralsatzes (Adaptiert aus [Hec05, pp. 819 ff]).

_____________________________________________________________________

Danach wird u = Er(r) gesetzt und v als Kugelwelle um den Nullpunkt

(3.27)

Dabei ist rp = r-r₀ der Vektor eines Beobachtungspunktes vom Punkt P und rP der dazugehörige Abstand. P soll innerhalb der geschlossenen Fläche A liegen. In Kugelkoordinaten ist

(3.28)

erP zeigt von P weg nach aussen. Wir subtrahieren also eine kleine Kugelfläche A mit dem Kugelmittelpunkt bei P von A und schliessen so die Divergenz aus. Dann lassen wir A → 0 gehen. Auf der Kugeloberfläche A lautet der Gradient

(3.29)

Damit wird der Integrand von Gleichung (3.26) innerhalb der kleinen Kugel A

| Er(rP)grad ( exp (ikrP)) ---------- rP-exp (ikrP ) ---------- rPgrad Er(rP ) | (3.30a)
= | Er(rP)( 1 ik ) - -2-+ --- rP rP exp (ikrP ) erP -exp(ikr ) -------P-- rP∂ ---- ∂rPEr(rP ) | (3.30b)
= | 1-- r2P( ) --∂- - Er (rP) + ikrPEr (rP) - rP∂rP Er (rP) exp (ikrP) | (3.30c)

Dieser Integrand soll über eine Kugelfläche A mit dem Radius rP integriert werden. Alle Vektoren sind weiter radial, so dass für eine beliebige, gutartige Funktion H sie Beziehung H·dA = HrP ²dΩ geschrieben werden kann, wobei dΩ ein Raumwinkelelement ist. Im Grenzfall A → 0 oder rP → 0 nimmt Er(rP ) einen konstanten Wert an, nämlich den Wert Er,P am Ort des Punktes P. Weiter geht exp (ikrP ) in diesem Falle gegen 1. Die Terme mit rP gehen nach Null.

Wir haben also

0 = | lim ˜r P→0⌊ ∬ ⌈ (ugrad v - vgrad u)·dA A |  |
| ⌋ ∬ - (ugrad v - vgrad u)·d A˜⌉ A | (3.31a)
= | lim ˜r P→0⌊ ∬ ( ( ) ) ⌈ exp-(ikrP-) exp(ikrP-) Er(rP )grad rP - rP grad Er(rP ) ·dA A |  |
| ( ) ⌋ ∬ 1 ∂ - -2- - Er (˜rP) + ik˜rPEr (˜rP) - rP---Er (˜rP) exp (ik˜rP) ·dA˜⌉ A ˜rP ∂˜rP | (3.31b)
= | ∬ A( ( ) ) Er(rP )grad exp-(ikrP-) - exp(ikrP-)grad Er(rP ) rP rP·dA |  |
| - lim ˜r P→0 ∬ A(- Er,P) dΩ | (3.31c)
= | ∬ A( ( exp (ikr )) exp(ikr ) ) Er(rP )grad --------P- - -------P--grad Er(rP ) rP rP·dA |  |
| + lim ˜r P→04πEr,P | (3.31d)

Er,P = | 1 --- 4π⌊ ∬ exp(ikrP ) ⌈ ----------grad Er(rP )·dA A rP |  |
| ⌋ ∬ ( exp (ikr )) - Er(rP )grad --------P- ·dA ⌉ A rP | (3.32)

Mit rP = r-r₀ kann der Kirchhoffsche Integralsatz so geschrieben werden:

Er(r₀) = | 1 --- 4π∬ Aexp (ik|r - r |) -------------0-- |r - r0|grad Er(r)·dA |  |
| -1 --- 4π∬ AEr(r)grad ( ) exp (ik |r - r0|) ---------------- |r - r0 |·dA | (3.33)

Der Kirchhoffsche Integralsatz besagt, dass die skalare Amplitude des elektrischen Feldes aus dem Feld auf einer Integrationsfläche berechnet werden kann.

__________________________________________________________________________

Sizze der Geometrie der Kirchhoff-Theorie (Adaptiert aus [Hec05, pp. 819 ff]).

_____________________________________________________________________

Im Weitern betrachtet man jetzt nach Hecht [Hec05, p. 820] eine ungestörte Kugelwelle, die von einem Punkt S mit dem Ortsvektor rS ausgeht. Dann wird ρ = r-rS gesetzt die Funktion Er(ρ,t) = Er(ρ,t)

(3.34)

angesetzt. Weiter setzen wir

da | = eada | (3.35a)
eρ | = ρ- ρ | (3.35b)
rp | = r-r₀ | (3.35c)
er,r0 | = rp- rp | (3.35d)
und verwenden
grad (exp (ikr )) --------p- rp | = er,r0∂ ---- ∂rp( exp (ikr )) --------p- rp |  |
| = er,r0(ikrp - 1) exp (ikrp) -----2---- rp | (3.35e)
grad Êr(ρ) | = eρ∂ ^Er (ρ ) ------- ∂ρ = eρ(ikρ - 1) exp(ikρ) ----2---- ρ | (3.35f)

Wenn nun wie in der makroskopischen Optik λ «ρ = |r - r | S und λ «rp = |r - r0| ist, wenn also die Ausdehnungen der Objekte gross gegen die Wellenlänge sind, können die quadratischen Terme vernachlässigt werden und Gleichung (3.33) lautet dann mit k = 2π∕λ dann:

(3.36)

Gleichung (3.36) gilt nicht für die Nanooptik, die Wechselwirkung zwischen Nanoteilchen und auch nicht für Mikrowellen.

Hecht [Hec05, p. 824] schliesst aus Gleichung (3.36), dass das Fresnel-Huygenssche Prinzip direkt aus der skalaren Wellengleichung hergeleitet werden kann. Er gibt an, dass bei dieser Herleitung aus der Wellengleichung ein zusätzlicher Phasenfaktor π∕2 entsteht, der in der normalen Ableitung fehlt. Dieser Phasenfaktor ist dann wichtig, wenn die gebeugte Welle mit einer Referenzwelle interferieren soll.

3.12  Beugungsgitter und Spektrographen

Literatur

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 696]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 429]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1135])

Versuch zur Vorlesung:

Beugungsgitter (Versuchskarte O-025)

_______________________________________________

Lichtdurchgang durch ein Gitter mit der Gitterkonstante g.

_____________________________________________________________________

Beugungsgitter haben Spaltabstände g in der Grössenordnung von etwa 1μm. Licht wird um den Winkel Θ, gegeben durch

(3.1)

abgelenkt. m heisst die Beugungsordnung. Wenn man eine monochromatische Lichtquelle beobachtet, stellt man fest, dass ein einzelnes Beugungsmaximum beobachtet wird. Man spricht von einer Spektrallinie.

Spektrum 1. Ordnung

Die Menge der Spektrallinien, deren Beugungsbilder zu m = 1 gehören.

Spektrum 2. Ordnung

Die Menge der Spektrallinien, deren Beugungsbilder zu m = 1 gehören.

Entsprechendes gilt für die höheren Ordnungen.

Das Auflösungsvermögen eines Gitters ist als die Zahl λ∕|Δλ| definiert, wobei |Δλ| die kleinste, noch trennbare Wellenlängendifferenz ist. Damit ist

(3.2)

Das Auflösungsvermögen ist proportional zur Zahl der beleuchteten Spalte N. Zum Beispiel braucht man, um die zwei Na-Linien bei 589 nm und bei 589.59 nm aufzulösen,

3.12.1  Blaze-Gitter

Literatur

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 700])

__________________________________________________________________________

Blaze-Gitter in Reflexion

_____________________________________________________________________

Bei einem Beugungsgitter, bei dem alle Flächen senkrecht auf der einfallenden Strahlung stehen, wird der Hauptteil der Energie in die 0. Ordnung gebeugt. Für spektroskopische Zwecke ist das sinnlos, da die Wellenzerlegung bei Ordnungen grösser als null auftritt. Deshalb haben moderne Gitter eine bestimmte Oberflächenform („blaze“), wie in der Abbildung gezeigt. Dadurch wird die Reflexion, die die meiste Energie enthält, zu höheren Ordnungen verschoben.

Aus der Abbildung geht hervor, dass der reflektierte Strahl mit der Einfallsrichtung den Winkel 2ϕ bildet, da ja Θ = ϕ gilt. Dieser Winkel soll einer bestimmten Ordnung m der Interferenz entsprechen. Also muss gelten:

(3.3)

oder

(3.4)

Versuch zur Vorlesung:

Auflösung eines Gitters (Versuchskarte O-124)

3.12.2  Hologramme

Literatur

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 925]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1137]) (Siehe Gerthsen, Physik [Mes06, pp. 526])

Versuch zur Vorlesung:

Herstellung von Hologrammen (Versuchskarte O-070)

Versuch zur Vorlesung:

Hologramm einer Elektrolokomotive (Versuchskarte O-014)

Versuch zur Vorlesung:
Hologramm eines Baggers (Versuchskarte O-069)

Die Holographie speichert die Phaseninformation eines Lichtfeldes in einer fotografischen Schicht. Sie wurde von Dennis Gabor 1947 zum ersten Male beschrieben. Um die Phaseninformation aufzuzeichnen ist es notwendig, die Interferenz des aufzuzeichnenden Lichtfeldes mit einem Referenzlichtfeld aufzuzeichnen.

__________________________________________________________________________

Aufzeichnung eines Hologramms

_____________________________________________________________________

Bei der Aufzeichnung des Hologramms wird eine möglichst monochromatische Lichtquelle, also zum Beispiel ein Laser auf zwei Pfade aufgeteilt.Der eine Pfad beleuchtet das Objekt, dessen gestreutes Licht mit der Amplitude |E0i| die Fotoplatte beleuchtet. Der zweite Strahl wird über ein Spiegelsystem als Referenzstrahl EB auf die Fotoplatte gebracht, deren Ebene mit ΣH bezeichnet wird und die identisch mit der Ebene z = 0, also der xy-Ebene ist. Auf dem Hologramm wird die Intensitätsverteilung I(x,y) resultierend aus der Interferenz von EB und |E0i| in eine dazu proportionale Schwärzung umgewandelt.

__________________________________________________________________________

Auslesen eines Hologramms

_____________________________________________________________________

Das Hologramm in der ΣH-Ebene wird anschliessend mit monochromatischem Licht der gleichen Wellenlänge, ER beleuchtet. Es entstehen drei Strahlen, nämlich

den ungebeugten Strahl

Dieser Strahl hat zwar eine geringere Intensität, kann aber so nicht ausgewertet werden.

einen gebeugten Strahl mit negativer Phase

Dieser Strahl erzeugt das reelle Bild, das aber dem Betrachter tiefenverkehrt erscheint.

einem gebeugten Strahl mit positiver Phase

Dieser Strahl, mit einer Kamera aufgenommen, erzeugt auf der Bildebene der Kamera ein Intensitätsmuster, wie wenn der Gegenstand noch vorhanden wäre. Dieses tiefenrichtige Bild heisst virtuelles Bild.

__________________________________________________________________________

Schematischer Aufbau von Hologrammen

_____________________________________________________________________

Die Berechnung dieser Effekte beginnt mit dem Referenzstrahl EB

(3.5)

Dabei ist ϕ(x,y) die örtlich variierende Phase, da EB nicht senkrecht auf ΣB fällt. Bei einer ebenen Welle, die mit dem Winkel Θ zur Senkrechten auf die Hologrammebene fällt wäre

(3.6)

Die vom Objekt gestreute Welle ist

(3.7)

wobei sowohl E₀₀(x,y) und ϕ₀(x,y) komplizierte Funktionen des Ortes sind. Die Intensität in der Hologrammebene ΣH ist durch

I(x,y) = | 1 -- 2∘ -εε0- ---- μμ0⟨ 2⟩ (EB (x,y) + |E0i|(x, y))T | (3.8a)
= | 1 -- 2∘ ----- εε0 ---- μμ0⟨ 2 2 E 0B cos (ωt + ϕ (x,y)) | (3.8b)
| ⟩ +E200(x,y )cos2(ωt + ϕ0(x,y ))T |  |
= | 1- 2∘ ----- εε0- μμ0⟨ E20B- 2 (cos(2ωt + 2ϕ (x,y)) - 1) | (3.8c)
| ⟩ E200(x, y) + ---------(cos(2ωt + 2ϕ0(x,y)) - 1) 2T |  |
= | 1- 2∘ ----- εε0- μμ 0E20B- 2 + 1- 2∘ ----- εε0- μμ 0E200(x,y)- 2 | (3.8d)
| + 1- 2∘ ----- -εε0 μ μ0E0BE₀₀(x,y) cos (ϕ(x,y) - ϕ0(x, y)) |  |

gegeben⁴ . Durch die Mittelung über t fallen alle Integrale über lineare Winkelfunktionen weg.

Der Kontrast, gegeben durch ν = (Imax -Imin)∕(Imax + Imin) ist

(3.9)

Die Schwärzung der holografische Emulsion soll proportional zu I(x,y) sein. Indem wir mit der Rekonstruktionswelle

(3.10)

das Hologramm beleuchten, erhalten wir eine Amplitudenverteilung gerade hinter dem Hologramm proportional zu I(x,y)ER(x,y). Ohne konstante Faktoren ist das Resultat unter Verwendung des rechentrick aus Gleichung (3.8d)

EF (x,y) ∝ | ( E2 + E2 ) --0B----00 + E0BE00 (x,y )cos(ϕ(x, y) - ϕ0 (x,y)) 2 | (3.11a)
| ·E0R cos (ωt + ϕ(x,y)) |  |
= | 2 2 E0R-(E-0B-+-E-00(x,y-))-cos(ωt-+-ϕ(x,y-))- 2 | (3.11b)
| + E0RE0BE₀₀(x,y) cos (ϕ (x,y) - ϕ0(x,y)) cos (ωt + ϕ(x,y )) |  |
= | E (E2 + E2 (x,y )) cos(ωt + ϕ(x,y )) --0R---0B-----00------------------------ 2 | (3.11c)
| + E0RE0BE00--(x,y)- 2 cos (ϕ (x,y) - ϕ (x,y) - (ωt + ϕ(x,y))) 0 |  |
| + E0RE0BE00 (x,y) ----------------- 2 cos (ϕ (x,y) - ϕ0(x,y) + (ωt + ϕ(x,y))) |  |
= | 2 2 E0R-(E-0B-+-E-00(x,y-))- 2 cos (ωt + ϕ(x,y)) | (3.11d)
| + E0RE0BE00--(x,y)- 2 cos (ωt + ϕ0 (x,y)) |  |
| + E E E (x,y) --0R--0B--00------ 2 cos (ωt + 2 ϕ(x,y) - ϕ0(x,y)) |  |

Wie oben diskutiert existieren drei Terme.

(E20B + E200(x,y )) E0R: die amplitudenmodulierte Rekonstruktionswelle

1 2E0RE0BE₀₀(x,y) cos[ωt + 2ϕ(x,y)-ϕ₀(x,y)]: Die tiefenverkehrte Welle mit negativer Phase, die das reelle Bild erzeugt.

E0RE0BE₀₀(x,y) cos[ωt + ϕ₀(x,y)]: Die rekonstruierte Welle.

Durch den schrägen Einfall der Referenz- und der Rekonstruktionswelle werden virtuelles und reelles Bild getrennt.

Hologramme mit ebenen Wellen als Referenz- und Rekonstruktionswellen haben eine beschränkte Auflösung. Dies ist ersichtlich bei der Betrachtung des Hologramms einer punktförmigen Quelle. Die Interferenz zwischen einer ebenen Welle und einer Kugelwelle ergibt das gleiche Muster wie das Beugungsmuster an einer kreisförmigen Öffnung. Dort und auch hier nimmt der Abstand der Beugungsmaxima nach aussen ab. Indem das Hologramm mit Licht etwa der gleichen Krümmung wie die Objektwelle beleuchtet wird kann diese Abnahme vermieden werden (Fourier-Holographie).

Neben den besprochenen flächigen Hologrammen gibt es auch Volumenhologramme. Dort wird ein dreidimensionales Beugungsgitter analog zu einem Kristall erzeugt. Diese Hologramme können auch mit weissem Licht beleuchtet werden.

Durch die Überlagerung zweier Hologramme können interferometrische Messungen der Verschiebung von Objekten im μm-Bereich durchgeführt werden.

3.13  Beugung und Auflösung

Literatur

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 327, 694, 703]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1132]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 488])

Versuch zur Vorlesung:

Auflösungsvermögen eines Mikroskops (Versuchskarte O-001)

Wir verwenden die Tatsache, dass optische Systeme in den einfachsten Fällen lineare Systeme sind und verwenden die in Abschnitt 3.3.3 eingeführte Fouriertransformation, hier aber in zwei Dimensionen. Wenn f(x,y) und g(x,y) Intensitätsverteilungen senkrecht zur optischen Achse sind, und f die Ausgangsverteilung und g die Bildverteilung ist, schreibt man für die Abbildung

(3.1)

Die Abbildung ist linear, das heisst, wenn f₁ →g₁ und f₂ →g₂ ist, ist

(3.2)

Wir nennen ^ f (u,v) die Fouriertransformation von f(x,y). Im Zusammenhang mit der Fourieroptik ist die Bezeichnung f^(u) = F(u) üblich, also keine Grossbuchstaben wie oftmals verwendet. Es gilt

Wir schreiben x = (x,y) und u = (u,v) Die Fouriertransformation lässt sich dann kompakt schreiben als

3.13.1  Impulsantwort und Faltungssatz

Literatur

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 765])

Versuch zur Vorlesung:

Fourier-Transformation (Versuchskarte O-067)

Ein Lichtfleck an der Position x′ der Eingangsebene erzeugt eine Intensitätsverteilung in der Ausgangsebene, die sowohl vom Beobachtungspunkt x wie auch von x′ abhängt. Die Impulsantwort ist

(3.5)

Ein optisches System ist translationsinvariant, wenn

(3.6)

gilt. Bei einem kontinuierlichen linearen optischen System gilt zwischen der Bildebene und der Eingangsebene die Beziehung

(3.7)

Dies ist das Faltungstheorem (Siehe auch Gleichung (3.3)) aus der Fourieroptik. Im Fourierraum wird aus einer Faltung eine Multiplikation, also

(3.8)

Wenn die optische Übertragung kohärent verläuft, dann verwendet man die oben definierte kohärente Übertragungsfunktion, die Amplituden verknüpft. Ist die Übertragung nicht kohärent, muss man mit Intensitäten rechnen.

__________________________________________________________________________

Berechnung der Beugung an einer Öffnung

_____________________________________________________________________

Das entstehende Beugungsbild eines Punktes ist das Fraunhofersche Beugungsmuster der Blendenöffnung. Die inkohärente Impulsantwort wird

(3.9)

Dies bedeutet, dass Hd proportional zum Betragsquadrat der Fouriertransformation der Pupillenfunktion P ist.

Für eine kreisförmige Öffnung ist die Pupillenfunktion

(3.10)

wobei D den Durchmesser der Öffnung und r′ = ∘ --2----2- x′ + y′ den Radius darstellt.

Die Rechnung ist in Polarkoordinaten einfacher.

sowie in der Bildebene

Mit ρb = r∕(λdb) bekommt man

Dabei ist die Grösse

(3.14)

die sogenannte Besselfunktion nullter Ordnung. Die Fouriertransformation einer runden Pupille wird also

J₁(α) = ∫ ₀αωJ 0(ω)dω ist die Besselfunktion erster Ordnung. Mit r = λdbρb, Θ und S = πD²∕4, der Pupillenfläche, bekommt man für die komplexe Amplitude

Die Intensitäten als Funktion von X = ρbD sind

X
0
1.22
1.63
2.33
2.68
3.33

[2J1(πX )∕ (πX )] ²
1
0
0.017
0
0.004
0

_______________________________________________

Die Beugung an einer ringförmigen Apertur.

_____________________________________________________________________

Bei der Beugungsfigur an einer kreisförmigen Öffnung mit dem Durchmesser d ist das erste Minimum bei sin Θ = 1.22λd.

__________________________________________________________________________

Abbildung zweier punktförmiger, inkohärenter Quellen durch eine Blende mit der Öffnung d.

_____________________________________________________________________

Bei dem sogenannten kritischen Winkel αK, der durch

(3.17)

gegeben ist, fällt das Minimum der einen Beugungsfigur gerade auf das Maximum der anderen. Das obige Kriterium wird das Rayleighsche Auflösungskriterium genannt.

__________________________________________________________________________

Form der Intensität bei der Überlagerung zweier inkohärenter Punktquellen. Der Abstand variiert von 0.6 (rot) bis 1.6 (blau) in Schritten von 0.1.

_____________________________________________________________________

Diese Abbildung zeigt, dass die Definition des Auflösungsvermögens an das mögliche Signal-Rausch-Verhältnis gebunden ist. Mit modernen Detektoren mit 16 Bit Auflösung sind deshalb leicht bessere Grenzen der Auflösung möglich.

__________________________________________________________________________

Querschnitt zweier inkohärenter Punktquellen als Funktion des Abstandes (links) und Bild der Intensitätsverteilung bei einem Abstand von 1.

_____________________________________________________________________

Wenn das zu untersuchende Objekt in ein Medium mit dem Brechungsindex n eingebettet ist, dann verbessert sich die Auflösung auf sin αK = 1.22-λ-- n·d, da in diesem Medium die Wellenlänge ja λ′ = λ∕n ist.

4  Geometrische Optik und Wellenoptik

4.1  Reflexion

Literatur

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 153]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 20]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1030])

Versuch zur Vorlesung:

Optische Scheibe (Versuchskarte O-046)

_______________________________________________

Geometrie der Reflexion

_____________________________________________________________________

Wir betrachten eine Welle, die sich mit dem Wellenvektor k sich auf die Grenzfläche Luft-Glas hin bewegt. Eingezeichnet ist rot der Wellenberg, der durch B′ zur Zeit t geht. Dieser Wellenberg berührt die Grenzfläche in B. An beiden orten wird eine Huygenssche Elementarwelle (Siehe Abschnitt 3.4) ausgelöst. nach der Zeit Δt hat der Wellenberg, der zur Zeit t durch B′ ging, A erreicht. Nach dem Huygensschen Prinzip (Siehe Abschnitt 3.4) hat auch die in B′ startende Elementarwelle A erreicht. Die Elementarwelle aus B ist nun bei A′. Da wir keine Annahme über Zeiten und Abstände gemacht haben, muss diese Elementarwelle Teil eines konstruktiv überlagernden Systems von Elementarwellen sein, die eine zweite ebene Welle mit dem Wellenvektor k′ erzeugen. Da die Ausbreitungsgeschwindigkeit für die beiden Elementarwellen gleich ist, da die Verbindungsstrecken B′A und BA′ gleich lang sind und beide Teile eines rechtwinkligen Dreiecks sind, müssen alle Winkel gleich sein. Deshalb ist der Neigungswinkel von k′ zur Senkrechten gleich dem Neigungswinkel von k zur Senkrechten. Es folgt das Reflexionsgesetz

Bei der Reflexion gilt:
Einfallswinkel=Ausfallswinkel

In einem Medium bewegt sich Licht langsamer: die Lichtwelle regt die gebundenen Elektronen zum Schwingen an. Diese erzeugen Huygenssche Elementarwellen (Siehe Abschnitt 3.4), aber mit einer Phasenverschiebung oder, in anderen Worten, einer Zeitverzögerung. Dies bedeutet, dass Licht sich langsamer ausbreitet. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Licht im Medium ist

(4.1)

wobei c die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum und n der Brechungsindex des Mediums ist¹ . Die Brechzahl n gibt an, um wieviel langsamer Licht in einem Medium ist als im Vakuum. Die Intensität ist gegeben durch

(4.2)

wenn E das elektrische Feld, d.h. die Amplitude der Lichtwelle ist. ϵ₀ = 8.8542·10⁻¹²AS- Vm ist die Dielektrische Feldkonstante und c = 2.9979·10⁸m- s die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum. Der Vorfaktor 1 2 kommt von der Mittelung über viele Wellen her. Gleichung (4.2) kann auch so geschrieben werden:

(4.3)

Bei senkrechtem Einfall ist die Intensität des reflektierten Lichtes (ohne Beweis)

(4.4)

Dabei sind n₁ und n₂ die Brechzahlen der beiden Medien und I₀ die einfallende Intensität. Bei n₁ = 1 (Luft) und n₂ = 1.33 (Wasser) ist I∕I₀ = 0.02. Für n₂ = 1.5 (Glas) ist I∕I₀ = 0.04 und für n₂ = 2.5 (etwa Diamant) ist I∕I₀ = 0.18. Bei n₂ = 3.5 ist I∕I₀ = 0.31!

Bei zwei Medien mit unterschiedlichen Brechzahlen heisst dasjenige das optisch dichtere Medium, dessen Brechzahl grösser ist.

4.2  Brechung

Literatur

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 166]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 20]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1032])

Versuch zur Vorlesung:

Optische Scheibe (Versuchskarte O-046)

Da jede Huygenssche Elementarwelle eine periodische Schwingung mit einer gegebenen Frequenz ν darstellt, ändert sich die Frequenz beim Übergang von einem Medium in das zweite nicht. Da die Ausbreitungsgeschwindigkeit cm = c∕n kleiner ist, gilt für die Wellenlänge

(4.1)

In einem Medium mit einer Brechzahl n > 1 ist die Wellenlänge kleiner. So hat rotes Licht λ = 600 nm in Glas die Wellenlänge λm = 400 nm.

__________________________________________________________________________

Geometrie der Brechung

_____________________________________________________________________

Wir betrachten nun den Weg, den das Licht im Inneren eines Mediums zurücklegt. Wir berücksichtigen, dass die Geschwindigkeit im Medium um den Brechungsindex n kleiner ist. Aus dem rechtwinkligen Dreieck wissen wir, dass

AB sin ϕ | = AB′ |  |
AB sin ϕ′ | = BA′ | (4.2)

Weiter ist

AB′ | = cΔt- n1 |  |
BA′ | = cΔt ---- n2 | (4.3)

Also gilt

(4.4)

Wir kürzen mit cΔt und setzen ϕ = ϕ₁ und ϕ′ = ϕ₂ und erhalten das Snelliussche Brechungsgesetz.

Brechungsgesetz

(4.5)

Bei diesem Gesetz gibt es nur dann immer eine Lösung, wenn n₁ ≤n₂ ist. Sonst gibt es den Winkel der Totalreflexion. Wenn der vom optisch dichteren Medium einfallende Lichtstrahl gegen die Grenzflächennormale den Winkel ϕtot hat und der Winkel des resultierenden Lichtstrahls gegen die Grenzflächennormale im optisch dünneren Medium π∕2 ist, hat das Brechungsgesetz gerade noch eine reelle Lösung.

(4.6)

Für Winkel, die grösser als ϕtot sind, wird Licht aus dem optisch dünneren Medium total reflektiert. Die Reflexion geschieht in einer Tiefe von etwa 100nm innerhalb des optisch dünneren Mediums.

4.2.1  Totalreflexion

Literatur

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 191]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 21]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1035]) (Siehe Gerthsen, Physik [Mes06, pp. 485])

Versuch zur Vorlesung:

Brechung und Reflexion (Versuchskarte O-068)

Versuch zur Vorlesung:

Wasserstrahl als Lichtleiter (Versuchskarte O-072)

_______________________________________________

Transport von Licht in einer Stufenindexfaser

_____________________________________________________________________

Wenn Licht mit einem Winkel nahe der Achse der optischen Faser in diese eingekoppelt wird, dann wird das Licht mit Totalreflexion transportiert. Nur Licht, das innerhalb des Akzeptanzwinkels den Faserkern trifft, wird weiter transportiert. Wenn die Faser gekrümmt wird, dann verlässt ein Teil des Lichtes die Faser: Krümmungen in der Faser erhöhen die Verluste.

Wenn der Faserkern den Durchmesser d hat, ist der effektive Weg vom Winkel α gegen die Achse abhängig. Die Hypothenuse ist ℓH = d∕ sin α lang, der direkte Weg wäre ℓ = d∕ tan α. Die relative Längenänderung ist

(4.7)

Die Laufzeit hängt also davon ab, wie das Licht durch eine Glasfaser läuft. Zusätzlich tritt Dispersion (Siehe Abschnitt 6.6) auf. bei allen Gläsern ist

(4.8)

Deshalb ist die Laufzeit für die verschiedenen Farben auch unterschiedlich. Da cMedium = c∕nMedium ist ist auch

(4.9)

4.3  Das Fermatsche Prinzip

Literatur

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 166]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 13]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1042])

Eine alternative Art, die Ausbreitung von Licht zu beschreiben, ist das Fermatsche Prinzip. Es ist eines der vielen Extremalprinzipien, wie zum Beispiel auch die Wirkung in der theoretischen Mechanik. Alle diese Prinzipien beruhen auf der Variationsrechnung [AW95, pp 952-991]

Der Weg, den das Licht nimmt, um von einem Punkt zu einem anderen zu gelangen, ist stets so, dass die benötigte Zeit minimal ist.

Die genauere Formulierung lautet:

Der Weg, den das Licht nimmt, um von einem Punkt zu einem anderen zu gelangen, ist stets so, dass die Zeit, die das Licht benötigt, invariant gegen kleine Änderungen des Weges ist.

Mathematisch lautet das Fermatsche Prinzip: Die Zeit

(4.1)

hat für jeden realisierten Lichtweg bezüglich einer Variation des Weges einen Extremalwert. Bei zwei- oder mehrmals stetig differenzierbaren Funktionen folgt auch der strengere Satz.

Wenn man den Weg nicht kennt, kann man Testfunktionen s(r) verwenden. Diejenige, die die kürzeste Zeit ergibt, ist die wahrscheinlichste.

4.3.1  Reflexion

Literatur

(Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1042])

__________________________________________________________________________

Begründung des Reflexionsgesetzes mit dem Fermatschen Prinzip

_____________________________________________________________________

Ein Beispiel für das Fermatsche Prinzip ist die Reflexion. In der obigen Zeichnung ist A′ das an der Grenzfläche gespiegelte Bild von A. In dem Dreieck A′BP ist die Summe der Seitenlängen A′P und PB grösser als die Seitenlänge A′B. Da die Konstruktion mit A′ eine Hilfskonstruktion ist und wir überall die gleiche Ausbreitungsgeschwindigkeit c haben, ist die direkte Verbindung A′B die kürzeste Strecke zwischen den beiden Punkten. Damit ist aber das Gesetz Einfallswinkel = Ausfallswinkel gezeigt.

4.3.2  Brechung

Literatur

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 166]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1043])

__________________________________________________________________________

Anwendung des Fermatschen Prinzips auf die Berechnung des Brechungsgesetzes

_____________________________________________________________________

Zur Berechnung des Brechungsgesetzes nehmen wir an, dass das Licht von S (gegeben) über 0 (verschiebbar, Koordinate x) nach P (gegeben) sich ausbreitet. Die Zeit, um von S nach P ist

(4.2)

Diese Zeit soll extremal sein, das heisst

(4.3)

Nun ist

(4.4)

Nach der obigen Skizze ist

S0 | = ∘ -------- x2 + h2 1 | (4.5)
0P | = ∘ ------------- (a - x )2 + h22 |  |

Also ist

0 | = ∂tSP -∂x-- = 1 2v-- 11 -∘--2----2 x + h 1·2x -1 2v-- 21 ∘--------2----2- (a - x) + h 2·2(a -x) | (4.6)
| = --∘--x------ v1 x2 + h21 ----∘-(a---x)------ v2 (a - x )2 + h22 |  |

Die Betrachtung der in der Skizze auftretenden Dreiecke zeigt, dass

sin α | = x -∘--------- x2 + h21 | (4.7)
sin β | = (a - x ) -∘-------------- (a - x)2 + h22 |  |

ist. Mit v₁ = c∕n₁ und v₂ = c∕n₂ erhalten wir das Brechungsgesetz nach Snellius

(4.8)

4.3.3  Das Fermatsche Prinzip und die Interferenz

Literatur

(Siehe Känzig, Mechanik und Wellenlehre [Kän78, pp. 253])

__________________________________________________________________________

Der kürzeste Weg ACB und nahe benachbarte Wege haben fast gleiche Längen. Im Gegensatz dazu sind ändert sich bei den längeren Wegen ADB und AEB die Länge schnell.

_____________________________________________________________________

Vom Punkte A soll Licht zum Punkte C gelangen. Es gibt viele mögliche Wege. nach dem Fermatschen Prinzip folgt Licht dem Weg, der sich am wenigsten in der optischen Länge² von seinen benachbarten Wegen unterscheidet. Wenn die Weglängenfunktion stetig differenzierbar ist, ist dies auch der kürzeste Weg. Wir berechnen nun die Phase einer Welle, die entlang eines beliebigen Weges sich ausbreitet, wobei w ein Parameter ist, der die möglichen Wege beschreibt.

Man nimmt an, dass alle Amplituden gleich sind und erhält

AB(t) | = ∑ alle Wege jAei(ksj-ωt) | (4.9)
| = Ae-iωt ∑ alle Wege jeiksj |  |

Die verbleibende Summation wird auf graphischem Wege in der komplexen Ebene durchgeführt. Die im Punkte B beobachtete Intensität ist das Resultat der Interferenz aller möglichen Wege.

__________________________________________________________________________

Diese Darstellung zeigt grafisch die Summenbildung zur Berechnung der Interferenz für alle möglichen Wege. Die einzelnen Amplituden werden aufsummiert. Rot ist das Resultat dargestellt.

_____________________________________________________________________

In dieser Abbildung tragen nur die Wege in der Nähe des kürzesten Weges zur konstruktiven Interferenz bei. Nur dort ist die Ableitung der Weglänge gegen den Parameter w null: Alle Summanden interferieren konstruktiv. Die Wege über D und E ändern die Länge schnell mit w. Sie bilden die beiden Spiralen auf der linken und auf der rechten Seite und tragen nichts zur Summe bei. Wir können das Fermatsche Prinzip auch so formulieren:

Die Intensität des Lichtes in B ausgehend von der Quelle A ist gegeben durch die Interferenz der Lichtstrahlen auf allen möglichen Wegen. Dabei interferieren alle Lichtstrahlen destruktiv, mit Ausnahme derjenigen, die wir bei der Lichtausbreitung beobachten.

In der Quantenelektrodynamik werden Prozesse durch das Aufsummieren aller möglichen Feynmanschen Diagramme berechnet. Nur wenige Diagramme tragen zum Resultat wesentliches bei, die anderen sind Korrekturen höherer Ordnung. Die Summe Feynmanschen Diagramme ist nichts anderes als das Fermatsche Prinzip angewandt auf die Quantenelektrodynamik.

4.4  Polarisation

Literatur

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 475]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1044])

Neuer Versuch zur Vorlesung:

Polarisiertes Licht: Polarisator und Analysator

Die aus den Maxwellgleichungen abgeleiteten Wellengleichung (2.6) hat als Lösung transversale elektromagnetische Wellen. Licht ist eine elektromagnetische Welle, schwingt also transversal und hat deshalb als reine Welle auch eine Polarisationsrichtung. Das elektrische und das magnetische Feld schwingen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. Aus der Wellengleichung für das elektrische Feld und damit auch für Licht folgt als Lösung E(x,t) = E₀(x) exp(i(k(x)·x-ωt)). sowie die Bedingung

(4.1)

Wenn wir nun, ohne Einschränkung der Allgemeinheit, die Ausbreitungsrichtung der Welle in die x-Richtung legen, dann sind

der Wellenvektor k = (k; 0; 0)

und die Amplitude E₀ = (0; Ey; Ez)

Diese Wahl erfüllt die Bedingung der Transversalität.

Es gibt zwei mögliche orthogonale Orientierungen von E₀ sowie die daraus folgenden Linearkombinationen. Die Richtung, in die E₀ zeigt ist die Polarisationsrichtung.

4.4.1  Polarisation durch Absorption (Dichroismus)

Literatur

(Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 323]) (Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 487]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1044])

Neuer Versuch zur Vorlesung:

Polarisiertes Licht: Polarisator und Analysator

_______________________________________________

Polarisation durch Absorption in einem Drahtpolarisator

_____________________________________________________________________

Wenn das elektrische Feld einer Mikrowellen entlang eines Drahtes zeigt, kann dieses Feld im Draht Ladungen bewegen und so Energie abgeben. Die Intensität der Welle und damit die die Absorption hängen von der Polarisation ab.

Ebenso gibt es Moleküle mit Doppelbindungen zwischen den Kohlenstoffatomen, bei denen π-Elektronen beweglich sind, die wie Drähte wirken. Werden diese Moleküle orientiert zu einer Folie gemacht, so erhält man eine polarisierende Folie.

__________________________________________________________________________

Licht durch einen Polarisator und einen Analysator mit gekreuzten Polarisationsrichtungen. Darunter die gleiche Anordnung, aber der Analysator ist nun um π∕4 gedreht.

_____________________________________________________________________

Bei einer Anordnung von Analysator und Polarisator polarisiert der Polarisator das Licht. Der Analysator lässt nur die Projektion des E-Feldes auf seine Durchlassachse durch. Für die Amplitude gilt

(4.2)

wobei θ der Winkel zwischen den Polarisationsrichtungen von Polarisator und Analysator ist. Da die Intensität durch I = nϵc -02--E² ist und somit proportional zum Quadrat der Amplitude I ∝E², gilt für die Intensität

(4.3)

(Gesetz von Malus). Wenn zwischen gekreuzten Polarisatoren und Analysatoren eine optisch aktive Substanz eingebracht wird, kann mit dieser Anordnung die Grösse der optischen Aktivität gemessen werden³ .

__________________________________________________________________________

Dichroismus in einem NaV O₄Mn-Kristall (gezüchtet von A. Lentz, fotographiert von M. Pietralla).

_____________________________________________________________________

4.4.2  Polarisation durch Streuung

Literatur

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 507]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1046])

Versuch zur Vorlesung:

Sonnenuntergang (Versuchskarte O-042)

_______________________________________________

Polarisation durch Streuung an einem Teilchen

_____________________________________________________________________

Aus den Lösungen der Wellengleichung (2.6) folgt, dass Licht eine Transversale Welle ist. Wenn Licht von links auf ein streuendes Teilchen (z.B. ein Wassertröpfchen) fällt, dann kann nur die Komponente des E-Feldes, die auch senkrecht zur Streurichtung steht, eine Lichtwelle anregen. Die dazu senkrechte Komponente würde eine propagierende, longitudinal polarisierte Welle erzeugen. Propagierende, longitudinale Lichtwellen stehen aber im Widerspruch zu den Maxwellschen Gleichungen und treten deshalb nicht auf.

4.4.3  Polarisation durch Reflexion

Literatur

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 509]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 320]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1047])

Versuch zur Vorlesung:

Spiegelanalysator (Versuchskarte O-115)

Der Brewsterwinkel ist eine Konsequenz der Stetigkeitsbedingungen elektrischer Felder, Gleichungen (2.27) und (2.28) für die s-Polarisation, beziehungsweise (2.33) und (2.28)

__________________________________________________________________________

Winkel bei der Reflexion unter dem Brewster-Winkel.

_____________________________________________________________________

Wenn Licht in ein dichteres Medium eindringt und es zur Reflexion (Siehe Abschnitt 4.1) und zur Brechung kommt gelten zwei Gesetze

Einfallswinkel = Ausfallswinkel (Impulserhaltung für die zur Grenzfläche tangentiale Komponenten des Lichtes)

Das Gesetz von Snellius n sin θP = n₂ sin θ₂

Wenn nun der Winkel zwischen dem gebrochenen Licht und dem reflektierten Licht π∕2 ist, haben wir wieder die Situation wie bei der Streuung: im reflektierten Licht kann keine Lichtwelle angeregt werden, deren Polarisationsrichtung (E!) in der durch den einfallenden und gebrochenen Lichtstrahl definierten Einfallsebene liegt. Das heisst, der reflektierte Strahl ist vollkommen polarisiert mit der Polarisationsebene senkrecht zur Einfallsebene. Der Winkel θP heisst nach seinem Entdecker Brewster-Winkel. Eine Betrachtung der Winkel in der Abbildung ergibt, dass θP + θ₂ = π∕2 ist. Damit wird der Brewster-Winkel

(4.4)

und damit

(4.5)

Für Glas (n₂ = 1.5) gegen Luft (n = 1) ist θP = arctan(1.5) = 0.3128π = 56.31⁰. Der Brewster-Winkel wird zum Beispiel beim Resonator von Gaslasern angewandt um die Polarisationsrichtung zu definieren.

4.4.4  Polarisation durch Doppelbrechung

Literatur

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 492]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 322]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1048])

Doppelbrechung ist eine Konsequenz der Maxwellgleichungen bei anisotropen optischen Medien, Medien also bei denen die relative Permittivität und/oder die relative Permeabilität tensorielle Eigenschaften haben.

Versuch zur Vorlesung:

Doppelbrechung (Versuchskarte O-005)

Viele Materialien haben isotrope optische Eigenschaften. Analog zu den elastomechanischen Eigenschaften von isotropen Materialien, die durch den Elastizitätsmodul E beschrieben werden, werden isotrope optische Materialien durch eine Brechzahl n = ε² beschrieben. Die mechanischen Eigenschaften anisotroper Materialien werden durch Tensoren beschrieben. Analog werden optische Eigenschaften anisotroper Medien durch Tensoren ε oder n beschrieben. Die Mathematik sagt, dass solche Tensoren in einem Hauptachsensystem nur Komponenten auf ihren Hauptdiagonalen haben. Für den Brechungsindex heisst dies, dass nicht einer, n sondern drei Indizes n₁, n₂ und n₃ angegeben werden müssen.

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Material
Anwendung

Kalkspat

Differenz-Interferenz-Kontrast-Objektive

Quarz

Flüssigkristalle
Anzeigen ...

Plexiglas unter mechanischer Spannung

Spannungsuntersuchung

usw.

Doppelbrechende Materialien

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

Wirkungsweise eines λ∕4-Plättchens oder eines λ∕2-Plättchens

_____________________________________________________________________

Bei einem λ∕4- oder einem λ∕2-Plättchen wird die Polarisationsrichtung des einfallenden Lichtes so gewählt, dass sie π∕4 zu den beiden Hauptachsen mit nschnell < nlangsam ist. Dann wird die eine Welle wie in der unten stehenden Zeichnung gezeigt, langsamer propagiert als die andere (die rote). Es entsteht eine Phasenverschiebeung, die bei λ∕4-Plättchen gerade eine viertel Wellenlänge ausmacht. Das Licht ist dann zirkular polarisiert.

__________________________________________________________________________

Wellen in einem λ∕4-Plättchen

_____________________________________________________________________

Ist der Gangunterschied λ∕2, wie in der oben stehenden Zeichnung, dann wird die Polarisationsrichtung um π∕2 gedreht.

Wir beschreiben kohärentes Licht durch die Gleichung

(4.6)

wobei E₀·k = 0 ist (Transversalität) und E₀ die Polarisationsrichtung angibt. ϕ ist die Phase, die die Anfangsbedungung am Ort 0 und zur Zeit 0 angibt.

Ohne Einschränkung der Allgemeinheit können wir k = (k; 0; 0) setzen. Dann ist E₀ = (0; Ey; Ez) die möglichen Polarisationsrichtungen. Der Vektor des elektrischen Feldes hat also nur Komponenten in die y- und die z-Richtung.

Unser dichroitisches Plättchen habe die schnelle Achse (Brechungsindex n₁) entlang y′ und die langsame Achse (Brechungsindex n₂) entlang z′ und die Dicke ℓ. Die x-Achse sollen übereinstimmen. Das gestrichene Koordinatensystem sei um den Winkel α gegen das ungestrichene verdreht. Dann ist

x′ | = x |  |
y′ | = y cos(α) -z sin(α) |  |
z′ | = y sin(α) + z cos(α) | (4.7)

Für Licht mit einer beliebigen Polarisation und einer Ausbreitung entlang der x-Achse muss das elektrische Feld auf das gestrichene Koordinatensystem projiziert werden. Am Anfang des Plättchens sei zudem die Phase ϕ = 0. Wir bekommen dann

Ey′ | = Ey cos α -Ez sin α |  |
Ez′ | = Ey sin α + Ez cos α | (4.8)

Die Feldkomponente mit der Polarisation Ey′ breitet sich mit der Geschwindigkeit c₁ = c∕n₁ aus, die Polarisation Ez′ mit der Geschwindigkeit c₂ = c∕n₂. Damit sind die Wellenlängen der Polarisation entlang y′ λ₁ = λ∕n₁ = 2knπ- 1 = 2kπ 1 und entlang z′ λ₂ = λ∕n₁ = 2π- kn2 = 2π k2. Für die k gilt dann

k₁ | = n₁k |  |
k₂ | = n₂k | (4.9)

Die Laufzeit durch ein Plättchen der Dicke ℓ ist dann t₁ = ℓ∕c₁ = ℓn₁∕c und t₂ = ℓ∕c₂ = ℓn₂∕c. Wir betrachten zu einer feststehenden Zeit (praktischerweise t = 0) das Wellenmuster. Am Ausgang des Plättchens haben wir

Ey′(ℓ, 0) | = Ey′eik₁ℓ = E y′ein₁kℓ |  |
Ez′(ℓ, 0) | = Ez′eik₂ℓ = E y′ein₂kℓ | (4.10)

Der Phasenunterschied der beiden Wellen ist die Differenz der Argumente der Exponentialfunktion, also ϕ(ℓ)(n₂ -n₁)kℓ Wir können also auch schreiben

Ey′(ℓ, 0) | = Ey′ein₁kℓ |  |
Ez′(ℓ, 0) | = Ez′ein₁kℓeiϕ(ℓ) | (4.11)

Wenn wir den gemeinsamen Faktor abspalten, dann wird die z′-Komponente gegen der y′-Komponente um ϕ(ℓ) phasenverschoben. Diese neuen Polarisationen müssen wir auf das x,y,z-Koordinatensystem mit

x | = x′ |  |
y | = y′ cos(α) + z′ sin(α) |  |
z | = -y′ sin(α) + z′ cos(α) | (4.12)

projizieren. Damit ist

( E (ℓ)) y Ez (ℓ) | = ( cosα sin α ) - sin α cos α( E ′(ℓ) ) y Ez′(ℓ) |  |
| = ( ) cosα sin α - sin α cos α( ) Ey ′ E ′eiϕ(ℓ) z |  |
| = ( ) cosα sin α - sin α cos α( ) eiϕ(ℓ)∕2 0 0 - eiϕ(ℓ)∕2( ) Ey′ Ez′ | (4.13)
| = ( cosα sin α ) - sin α cos α( eiϕ(ℓ)∕2 0 ) iϕ(ℓ)∕2 0 - e( cosα - sin α ) sin α cos α( E ) y Ez |  |

Ausmultipliziert erhält man für die Matrix

(4.14)

oder (nur für die Matrix)

(4.15)

Wir vereinfachen und erhalten die Matrix

(4.16)

und erhalten

| ( ) Ey (ℓ) Ez (ℓ) = |  |  |  |
|  | ( ) Ey Ez |  | (4.17)

Wir betrachten nun den Spezialfall, dass α = π∕4 und ϕ(ℓ) = π∕2 ist. Die obige Matrix wird dann

(4.18)

oder

(4.19)

Eine Lichtwelle, die nur in y-Richtung polarisiert ist, wird zu einer Welle, die sowohl in die y wie auch in die z-Richtung polarisiert ist, aber mit einem Phasenfaktor von π∕2. Die Wellengleichung ist dann

Ey(x,t) | = Ey cos(kx -ωt) |  |
Ez(x,t) | = Ez cos(kx -ωt -π∕2) = Ez sin(kx -ωt) | (4.20)

Diese Art Wellen heisst zirkular polarisierte Welle. Es gibt zwei Arten von Wellen, mit rechtsläufigem und linksläufigem Drehsinn. Ein dichroitisches Objekt, dass die obigen Eigenschaften hat, heisst λ∕4-Plättchen.

__________________________________________________________________________

Wellen in einem λ∕2-Plättchen

_____________________________________________________________________

Der zweite wichtige Spezialfall ist α = π∕4 und ϕ(ℓ) = π. Die obige Matrix wird dann

(4.21)

Licht mit einer Polarisationsrichtung in y-Richtung wird in Licht mit einer Polarisationsrichtung z überführt. Eine solche Anordnung heisst λ∕2-Plättchen. Zwei λ∕4-Plättchen hintereinander geschaltet haben die gleiche Wirkung. Anwendung: optisches Lesesystem in CDs.

4.4.5  Beschreibung der Polarisation

Literatur

(Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 310-319])

Wir wollen in diesem Abschnitt mögliche Darstellungen des Polarisationszustandes des Lichtes beschreiben. Die Darstellung in diesm Abschnitt und den folgenden Unterabschnitten folgt Perez [Pér96].

Ohne Einschränkung der Allgemeinheit können wir annehmen, dass Licht sich entlang der x-Achse in einem kartesischen Koordinatensystem ausbreitet. Licht wird dann durch

E (x,t) = Ey (x, t) + Ez (x,t) = Ey,0ey cos (kyx - ωt - φy)+Ez,0ez cos (kzx - ωt - φz)

(4.22)

mit ky dem Wellenvektor der Welle mit einem elektrischen Feld in die y-Richtung. kz ist analog definiert. Durch eine Verschiebung der Zeitachse kann erreicht werden, dass φy = 0 ist. Nur die Differenz der der Phasen ϕ = φy -φz = -φz ist relevant. Gleichung (4.22) lautet dann

E (x,t) = Ey (x, t) + Ez (x,t) = Ey,0ey cos(kyx - ωt) + Ez,0ez cos (kzx - ωt + ϕ)

(4.23)

Mit dem Additionstheorem cos(α +β) = cos α cos β -sin α sin β erhalten wir

E (x,t) = Ey (x, t) + Ez (x,t) = Ey,0ey [cos (kyx)cos (ωt ) + sin(kyx )sin (ωt)] + Ez,0ez [cos (kzx)cos (ωt - ϕ) + sin (kzx)sin(ωt - ϕ )]

(4.24)

Wir können die Welle aus Gleichung (4.24) an irgend einem Ort untersuchen, z.B. bei x = 0. Dann lautet Gleichung (4.24)

E (0,t) = Ey (0,t)+Ez (0,t) = Ey,0ey cos(ωt)+Ez,0ez cos (ωt - ϕ)

(4.25)

Gleichung (4.25) beschreibt eine Ellipse. Die folgende Abbildung 4.4.5 zeigt verschiedene Kurven als Funktion der Phasenverschiebung ϕ.

__________________________________________________________________________

Gezeigt wird die Abhängigkeit von der Phase ϕ. Die Werte sind ω = 1, Ey,0 = 0.8 und Ez,0 = 1.2.

_____________________________________________________________________

Im Laborsystem ist die Ellipse durch

Ey(t) | = Ey,0 cos (ωt) | Ez(t) | = Ez,0 cos (ωt - ϕ) | (4.26)
und
Ey (t) ------ Ey,0 | = cos (ωt) | Ez (t) ------ Ez,0 | = cos (ωt ) cos (ϕ ) + sin (ωt) sin (ϕ) | (4.27)

beschrieben, wobei ein Additionstheorem für den cos angewandt wurde. Wir setzen cos(ωt) in die zweite Gleichung ein und erhalten

Ez(t) ------ Ez,0 | = Ey(t) ------ Ey,0 cos (ϕ) + ∘ ------------- 1 - cos2(ωt ) sin (ϕ) |  |
| = E (t) -y---- Ey,0 cos (ϕ) + ┌ ---------- ││ E2 (t) ∘ 1 - --y2-- E y,0 sin (ϕ) | (4.28)
Ez(t) ------ Ez,0 -Ey (t) ------ Ey,0 cos (ϕ) | = ┌ ---------- ││ E2y(t) ∘ 1 - --2--- Ey,0 sin (ϕ) |  |
und
( ) Ez(t) Ey (t) ------- ------cos(ϕ) Ez,0 Ey,0² | = ( ) E2y(t) 1 - ---2-- E y,0 sin ²(ϕ) | (4.29)

Wird die Gleichung (4.29) neu geordnet, bekommen wir

E2 (t) --z2-- E z,0 + E2 (t) --y2--- Ey,0 cos ²(ϕ ) - 2Ez(t) ------ Ez,0Ey (t) ------ Ey,0 cos (ϕ) | = sin ²(ϕ) -E2 (t) --y2-- E y,0 sin ²(ϕ ) | (4.30)
E2 (t) --y--- E2y,0 + 2 E-z(t)- E2z,0 - 2Ez(t)- Ez,0Ey-(t)- Ey,0 cos (ϕ) | = sin ²(ϕ) | (4.31)

Nach Bronstein [BSMM08, p. 212, Kurven 2. Ordnung] kann bei einer Kurve vom Typ ax² + 2bxy + cy² = f der Typ der Kegelschnittkurve bestimmt werden, wenn die folgenden Kennzahlen berechnet werden:

Δ
= ||a b 0 || || || ||b c 0 || |0 0 - f|
δ
= | | ||a b|| ||b a||
S
= a + c
(4.32)

berechnet werden. Für Δ ⇔ 0, δ > 0 und Δ·S < 0 beschreibt die Kurve eine Ellipse. Wir haben mit den Koeffizienten aus Gleichung (4.31)

Δ | = | | || --1- -cos(ϕ)- 0 || || E2y,0 Ey,0Ez,0 || ||Ecos(Eϕ)- E12-- 0 || || y,0 z,0 z,0 2 || 0 0 - sin (ϕ) | = -sin4(ϕ) --2---2- E y,0Ez,0 |  | (4.33)
δ | = | | || --12- -cos(ϕ)-|| || Ecosy,(0ϕ) Ey,0Ez,0|| |Ey,0Ez,0- E12-- | z,0 | = 2 -sin-(ϕ-) E2y,0E2z,0 |  | (4.34)
S | = -1-- E2y,0 + -1-- E2z,0 |  |  | (4.35)

Da alle Koeffizienten reell sind, haben wie für ϕ ⇔ πn, n ∈ ℤ die Beziehungen Δ < 0 oder Δ ⇔ 0, δ > 0 und S·Δ < 0.

Ausser für ϕ ⇔ πn, n ∈ ℤ beschreibt das allgemeine elektrische Feld E(t) eine Ellipse. Das heisst, dass es möglich ist, diese Ellipse auf ihre Hauptachse zu transformieren. Eine Ellipse wird in ihrem Hauptachsensystem durch

(4.36)

beschrieben, wobei a die Länge der grossen Hauptachse und b die Länge der kleinen Hauptachse ist, also mit |b∕a|≤ 1. Das Vorzeichen von ϕ gibt den Drehsinn des elektrischen Feldes.

Für ϕ = πn, n ∈ℤ haben wir lineare Polarisation, das heisst nach (4.31)

( ) E2y(t) E2z(t) Ez (t) Ey(t) Ey(t) Ez (t) 2 --2---+ ---2--∓ 2------------= 0 = ------∓ ------ Ey,0 E z,0 Ez,0 Ey,0 Ey,0 Ez,0 Ey,0 = ⇒ Ey(t) = ± Ez,0Ez (t)

(4.37)

__________________________________________________________________________

Koordinatensysteme zur Berechnung der elliptischen Polarisation. Das Laborsystem wird mit kleinen (roten) Buchstaben bezeichnet, das Eigensystem der Ellipse mit grossen (schwarzen) Buchstaben. Die weiteren Variablen werden im Text erklärt.

_____________________________________________________________________

Im Folgenden wollen wir die Darstellung der vom elektrischen Feld abgefahrenen Ellipse in ihrem Hauptachsensystem und im Laborsystem vergleichen. Das Laborsystem wird durch die Einheitsvektoren ey und ez aufgespannt, das Hauptachsensystem durch eY und eZ. In den beiden Systemen lauten die Gleichungen für die Ellipse (siehe auch Abbildung 4.4.5)

Ey(t) | = Ey,0 cos (ωt) | EY (t) | = a cos (ωt + ϕHA ) | (4.38)
Ez(t) | = Ez,0 cos (ωt + ϕ) | EZ(t) | = b cos (ωt + ϕHA + ϕ ) | (4.39)
ELabor(t) | = Ey(t)ey + Ez(t)ez | EHS(t) | = EY (t)eY + EZ(t)eZ | (4.40)

mit ey·ez = 0 und eY ·eZ = 0. Die Intensität, gemittelt über die Zeit ist

ILabor | = ⟨ 2⟩ K |ELabor(t)| = Kω-- 2π∫ ₀2π∕ω(Ey (t)ey + Ez (t)ez ) ²dt |  |
| = Kω 2π-∫ ₀2π∕ω( 2 2) Ey(t) + Ez (t)dt |  |
| = Kω --- 2π∫ ₀2π∕ω( ) E2y,0cos2(ωt) + E2z,0cos2(ωt + ϕ )dt |  |
| = K-ω- 2π( ) E2 π-+ E2 π- y,0 ω z,0ω = K-- 2( ) E2 + E2 y,0 z,0 | (4.41)

IHS | = ⟨ 2⟩ K |EHS (t)| = K-ω- 2 π∫ ₀2π∕ω(EY (t)eY + EZ (t)eZ ) ²dt |  |
| = Kω 2π-∫ ₀2π∕ω( 2 2) EY (t) + EZ (t)dt |  |
| = Kω --- 2π∫ ₀2π∕ω( ) a2cos2 (ωt ) + b2 cos2(ωt + ϕ)dt |  |
| = K-ω- 2π( ) a2π-+ b2π- ω ω = K-- 2( ) a2 + b2 | (4.42)

Dabei ist K eine (vom Einheitensystem abhängige) Konstante.

Also haben wir die Beziehung

(4.43)

Im Hauptachsensystem lautet die Ellipsengleichung

(4.44)

Diese transformieren wir jetzt in das Laborsystem mit der Drehmatrix

(4.45)

Damit haben wir die Beziehungen

( ) ( ) ( ) ( ) EY Ey cos(ψ ) sin(ψ ) Ey E = A E = - sin(ψ ) cos(ψ ) E Z z { z EY = Ey cos(ψ ) + Ez sin(ψ) =⇒ EZ = - Ey sin (ψ) + Ez cos(ψ)

(4.46)

Wir setzen nun Gleichung (4.46) in Gleichung (4.44) ein und erhalten

E2 cos2(ψ) 2E E sin(ψ) cos(ψ ) E2 sin2(ψ) --y--2-----+ ---y--z---2--------- + --z--2----- 2a 2 a a Ey-sin-(ψ-)- 2EyEz--sin(ψ-)cos(ψ)- E2z-cos2(ψ-)- + b2 - b2 + b2 = 1

(4.47)

Wir fassen ähnliche Terme in Gleichung (4.47) zusammen und können diese Gleichung so mit Gleichung (4.31) vergleichen

E2y-cos2(ψ)- a2 | + E2z-sin2(ψ-)- a2 + E2y-sin2-(ψ-)- b2 + E2z cos2(ψ) b2 |  |
| + 2EyEz sin(ψ) cos(ψ)( 1 1) -2-- -2 a b = 1 | (4.48)
E2y(t)- E2 y,0 | + E2z(t)- E2 z,0 - 2Ez-(t)- Ez,0Ey(t)- Ey,0 cos (ϕ) = sin ²(ϕ) | (4.49)

Der Vergleich der Gleichungen (4.48) und (4.49) ergibt die Beziehungen

Koeffizient von Ey²: -----1----- E2y,0sin2(ϕ) | = 2 cos(ψ-)- a2 + 2 sin--(ψ-) b2 | (4.50)
Koeffizient von Ez²: -----1----- E2z,0sin2(ϕ) | = 2 sin-(ψ-) a2 + 2 cos-(ψ-)- b2 | (4.51)
Koeffizient von EyEz: cos(ϕ) --2------------ sin (ϕ )Ey,0Ez,0 | = - cos(ψ) sin(ψ)( 1 1 ) -2-- 2- a b | (4.52)

Die Addition von Gleichungen (4.50) und (4.51) ergibt

1 E2-- y,0 + 1 E2-- z,0 | = sin ²(ϕ) ( 2 2 ) cos (ψ ) + sin (ψ )( 1 1 ) a2-+ b2 |  |
sin ²(ϕ) | = E12--+ E21- -y,01----1z,0 a2 + b2 = ( ) a2b2 E2y,0 + E2z,0 --2---2----2---2-- Ey,0E z,0 (a + b ) = a2b2 --2--2-- Ey,0Ez,0 | (4.53)

wobei Gleichung (4.43) verwendet wurde. Weiter erhalten wir aus Gleichung (4.53) mit Gleichung (4.43)

±ab | = Ey,0Ez,0 sin (ϕ) | (4.54)
±ab -2I- K | = ±ab -2----2 a + b = ±b ---ab2 1 + a2 = Ey,0Ez,0 sin (ϕ) -------2I------ K |  |
| = E E sin(ϕ ) --y,0--z,0------- E2y,0E2z,0 = Ez,0sin(ϕ) Ey,0---2--- 1 + -Ez,20 E y,0 | (4.55)

Wir definieren nun die Winkel (siehe Abbildung 4.4.5) mit Hilfe der Amplituden

tan (γ)
:= Ez,0 ---- Ey,0
tan (η)
:= ±b -- a
(4.56)

Weiter verwenden wir die Identität [BSMM08]

(4.57)

und erhalten mit der Gleichung (4.55) multipliziert mit 2

--2tan-(η)-- 1 + tan2(η) | = --2tan-(γ)-- 1 + tan2 (γ ) sin (ϕ) |  |
sin (2 η) | = sin (2γ ) sin (ϕ ) | (4.58)

Eine weitere Beziehung gewinnen wir aus Gleichung (4.52) (mit sin(2α) = 2 sin α cos α) und Gleichung (4.54)

cos(ϕ ) ---2----------- sin (ϕ)Ey,0Ez,0 | = -1 -- 2 sin (2ψ) b2 - a2 --2-2-- a b = cos(ϕ )Ey,0Ez,0 ------2-2------ a b |  |
sin (2ψ) | = 2cos-(ϕ)Ey,0Ez,0- a2 - b2 | (4.59)

Wir suchen ψ(Ey,0,Ez,0,ϕ). Dazu müssen noch a² und b² eliminiert werden. Wir haben

a² -b² | = 2I K2I- K( ) a2 - b2 = 2I --- Ka2 - b2 -2---2- a + b |  |
| = 2I --- K1 - b2 ----ab22- 1 + a2 = 2I --- K1 - tan2(η) -------2---- 1 + tan (η) |  |
| = 2I --- K( ) cos2(η) - sin2(η) = 2I --- K cos (2η) | (4.60)

Andererseits folgt aus der Definition von γ und mit sin ²α = tan ²α∕(1 + tan ²α)

Ey,0 sin (γ) | = Ez,0 cos (γ ) |  |
=⇒Ey,0 sin ²(γ ) | = E z,0 sin (γ) cos (γ ) = 1- 2Ez,0 sin (2γ) |  |
sin (2γ) | = 2Ey,0sin2(γ) ----E-------- z,0 = 2Ey,0 E---- z,0tan2(γ ) 1-+-tan2(γ-) = 2Ey,0 E---- z,0E2z,0- E2y,0 ----E2z,0 1 + E2y,0 |  |
| = 2 ----2(Ey,0Ez,0--)- Ez,0 E2y,0 + E2z,0 = 2Ey,0Ez,0 2IK- | (4.61)

Weiter ist mit den Gleichungen (4.58) und (4.61)

a² -b² | = 2I --- K cos (2η) = 2I --- K∘ -------2----- 1 - sin (2η) = I ---- 2K∘ -------2-------2---- 1 - sin (2γ)sin (ϕ ) |  |
| = 2I K--┌│ ----(----------)--------- │∘ 2Ey,0Ez,0 2 2 1 - ---2I---- sin (ϕ) K = 2∘ ---------------------- I2 2 2 2 K2- - E y,0E z,0sin (ϕ ) |  |
| = ∘ --------------------------------- ( 2 2 )2 2 2 2 E y,0 + E z,0 - 4Ey,0Ez,0sin (ϕ) | (4.62)

Damit lautet Gleichung (4.59)

(4.63)

und mit Gleichung (4.43)

cos (2ψ ) | = ∘ ------------- 1 - sin2 (2ψ ) = ┌│ ----------2-----2---2----- │∘ 1 - ---cos-(ϕ)E-y,0E-z,0--- -I22 - E2y,0E2z,0 sin2 (ϕ ) K |  |
| = ---------------------- ┌││ -I2 2 2 ∘ ----K2----Ey,0Ez,0---- IK22-- E2y,0E2z,0sin2(ϕ) = ┌│ -----(-----------)---------------- ││ 1 E2 + E2 2 - E2 E2 │∘ --(-4---y,0---)-z,0------y,0-z,0---- 1 E2 + E2 2 - E2 E2 sin2(ϕ) 4 y,0 z,0 y,0 z,0 |  |
| = ┌ ----------------------------------- ││ E4 + 2E2 E2 + E4 - 4E2 E2 │∘ -(y,0------y,0)2z,0----z,0-----y,0--z,0 E2y,0 + E2z,0 - 4E2y,0E2z,0sin2 (ϕ ) |  |
| = ┌ ---------------------------------- ││ ( 2 2 )2 ││ -----------E-y,0 --Ez,0----------- ∘ ( 2 2 )2 2 2 2 Ey,0 + E z,0 - 4E y,0Ez,0sin (ϕ) |  |
| = E2 - E2 ∘-(-----------y),0-----z,0------------- E2 + E2 2 - 4E2 E2 sin2 (ϕ) y,0 z,0 y,0 z,0 | (4.64)

Aus den Gleichungen (4.63) und (4.64) bekommen wir

(4.65)

Damit sind alle Parameter in der Abbildung 4.4.5 bestimmt.

4.4.5.1. Poincaré-Kugel

Literatur

(Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 316-317])

Wir haben eine Lichtwelle, die durch das elektrische Feld Ey,0 entlang der y-Achse, Ez,0 entlang der z-Achse und durch die Phase ϕ bestimmt ist. Da die y-und z-Achse orthogonal sind, kann man für die Gesamtintensität nach (4.41) auch schreiben

(4.66)

Dies ist der erste von drei Parametern nach Poincaré [Poi92, Kapitel 12]. Als zweiten Parameter verwendet Poincaré den Winkel ψ = ∠(ey,eY ), also die Drehung der Ellipse. Der dritte Parameter ist tan(η) = ±b∕a, also das Verhältnis der Hauptachsen des vom elektrischen Felde beschriebenen Ellipsoids. Wegen |b∕a |≤ 1 ist auch |η| ≤π∕4.

__________________________________________________________________________

Darstellung des Polarisationszustandes auf der Poincaré-Kugel [Poi92].

_____________________________________________________________________

Poincaré hat deshalb die folgenden drei Parameter definiert (siehe auch Abbildung 4.4.5.1):

Q | = I cos (2 η) cos (2ψ) | (4.67a)
U | = I cos (2 η) sin (2 ψ) | (4.67b)
V | = I sin (2η ) | (4.67c)

Die Definitionsbereiche der Winkel sind 0 ≤ψ ≤π (die Ellipse ist symmetrisch um die grosse Hauptachse) und -π∕4 ≤η ≤π∕4. Damit spannen die Gleichungen (4.67) eine Kugel auf.

Jeder Polarisationszustand zu einer Welle mit der Intensität I wird durch einen Punkt auf oder innerhalb der Kugel repräsentiert.

Weiter gilt:

(4.68)

Welche Zustände gibt es auf der Poincaré-Kugel? Dazu schreiben wir mit Gleichung (4.66) die Gleichungen für sin(2ψ) (4.63), für cos((2ψ) (4.64) sowie für sin(2η) (4.58) und cos(2η) auf die Variablen Iy, Iz und ϕ um. Wir brauchen dazu noch Gleichung (4.56) und den ersten Teil von Gleichung (4.58).

sin (2γ) | = --2tan-(η)-- 1 + tan2(η) = 2 Ez,0- ---Ey,0-- 1 + E2z,0- E2y,0 = -2Ey,0Ez,0- E2y,0 + E2y,0 = ∘ ---- 2--IyIz- Iy + Iz | (4.69a)
sin (2η) | = sin (2γ ) sin (ϕ ) = ∘ ---- 2 IyIz I-+--I-- y z sin (ϕ) | (4.69b)
cos (2η ) | = ∘ ------------- 1 - sin2 (2η) = ┌ ---------------------- ││ 4IyIz ∘ 1 - --------2 sin2 (ϕ ) (Iy + Iz) |  |
| = ∘ ---------2----------2---- --(Iy-+-Iz)---4IyIz-sin--(ϕ) Iy + Iz = ∘ --------2-----------2---- ---(Iy---Iz)-+--4IyIz cos-(ϕ) Iy + Iz | (4.69c)
sin (2ψ ) | = ∘-(-------2cos()ϕ-)Ey,0Ez,0---------- E2 + E2 2 - 4E2 E2 sin2 (ϕ) y,0 z,0 y,0 z,0 = ∘ ---- 2cos (ϕ ) IyIz ∘-------------------------- (Iy + Iz)2 - 4IyIz sin2(ϕ) |  |
| = ∘ ---- 2 cos(ϕ) I I ∘-----------------y-z------- (Iy - Iz)2 + 4IyIz cos2(ϕ) | (4.69d)
cos (2ψ ) | = 2 2 ------------E-y,0---E-z,0------------- ∘ ( )2 2 E2y,0 + E2z,0 - 4E2y,0E2z,0sin (ϕ) = ----------Iy --Iz---------- ∘ 2 2 (Iy + Iz) - 4IyIz sin (ϕ) |  |
| = ∘---------Iy---Iz----------- (Iy - Iz)2 + 4IyIz cos2(ϕ) | (4.69e)

Setzen wir (4.69) in (4.67) ein, erhalten wir

Q | = Iy -Iz | (4.70a)
U | = 2∘ ---- IyIz cos (ϕ) | (4.70b)
V | = 2∘ ---- IyIz sin (ϕ ) | (4.70c)

___________________________________________________________________________

Polarisation
Iy
Iz
ϕ
Vektor (Q,U,V )∕I

Linear in y
I
0
0
(1, 0, 0)

Linear in z
0
I
0
(-1, 0, 0)

Linear 45°
I∕2
I∕2
0
(0, 1, 0)

Linear -45°
I∕2
I∕2
π
(0,-1, 0)

Zirkular links
I
I
π∕2
(0, 0, 1)

Zirkular rechts
I
I
-π∕2
(0, 0,-1)

Ausgewählte Zustände auf der Poincaré-Kugel.

_____________________________________________________________________

4.4.5.2. Stokes-Parameter

Literatur

(Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 316-317])

Die Grössen Q, U und V einer vollständig polarisierten monochromatischen Lichtwelle können durch die Messung mit verschiedenen Polarisatorstellungen bestimmt werden.

__________________________________________________________________________

Messung der Stokes-Parameter.

_____________________________________________________________________

Wie Abbildung 4.4.5.2 zeigt braucht man zur Messung der Stokes-Parameter einen drehbaren Analysator, eine drehbahre Verzögerungsplatte, bevorzugt eine λ∕4-Platte und einen Detektor. Sei α der Winkel der Polarisationsebene des Analysators zur y-Achse, β der Winkel der λ∕4-Platte zur y-Achse. Wir messen nun die Intensitäten bei α = 0 und β = 0, also I0,0, bei α = π∕4 und β = 0, also Iπ∕4,0, bei α = π∕4 und β = π∕4, also Iπ∕4,π∕4, bei α = π∕2 und β = 0, also Iπ∕2,0, α = 3π∕4 oder, was äquivalent ist bei α = -π∕4 und β = 0, also I-π∕4,0 und schliesslich bei α = -π∕4 und β = π∕4, also I-π∕4,π∕4.

Wir setzen die Welle als

Ey(t)
= Ey,0eiϕ2
Ez(t)
= Ez,0e-iϕ2
(4.71)

wobei angenommen wurde, dass die Welle monochromatisch sei. ϕ gibt die relative Verzögerung der z-Komponente im Vergleich zur y-Komponente an.

Wir verwenden für das λ∕4-Plättchen (ϕ = π∕2) die Gleichung (4.27). Eine um den Winkel β gedrehte Verzögerungsplatte wirkt auf die komplexen Wellen in die y- und die z-Richtung wie

(4.72)

Ein Polarisator im Winkel α erzeugt eine Welle mit dem E-Feld

|E | (α)
= E′′(α,t) = Ey′ cos(α) + Ez′ sin(α)
(4.73)

wobei Ey und Ez komplexe Amplituden sind. Es ergibt sich dann nach einer Rechnung (siehe Abschnitt A.1 im Anhang)

α | = 0 | β | = 0 | I0,0 | = K --- 2Ey,0² = I y | (4.74)
α | = π- 2 | β | = 0 | Iπ∕2,0 | = K-- 2Ez,0² = I z | (4.75)
α | = π- 4 | β | = 0 | Iπ∕4,0 | = K-- 4( 2 2 ) Ey,0 + E z,0 - 2Ey,0Ez,0sin (ϕ) |  |  |  |  |  |
|  |  |  |  | = Iy -- 2 -Iz -- 2 + ∘ ---- IyIz sin (ϕ) | (4.76)
α | = -π- 4 | β | = 0 | I-π∕4,0 | = K-- 4( ) E2y,0 + E2z,0 + 2Ey,0Ez,0sin (ϕ) |  |  |  |  |  |
|  |  |  |  | = Iy 2 + Iz 2 + ∘ ---- IyIz sin (ϕ) | (4.77)
α | = π -- 4 | β | = π∕4 | Iπ∕4,π∕4 | = K --- 4( 2 2 ) Ey,0 + E z,0 + 2Ey,0Ez,0cos(ϕ) |  |  |  |  |  |
|  |  |  |  | = Iy 2 + Iz 2 + ∘ ---- IyIz cos (ϕ) | (4.78)
α | = -π- 4 | β | = π∕4 | I-π∕4,π∕4 | = K-- 4( 2 2 ) Ey,0 + E z,0 - 2Ey,0Ez,0cos(ϕ) |  |  |  |  |  |
|  |  |  |  | = Iy -- 2 + Iz -- 2 -∘ ---- IyIz cos (ϕ) | (4.79)

Die Stokes-Parameter I, Q, U und V bekommen wir nun mit

I | = Iy + Iz = I0,0 + Iπ∕2,0 | (4.80)
Q | = Iy -Iz = I0,0 -Iπ∕2,0 | (4.81)
U | = 2∘---- IyIz cos (ϕ ) = Iπ∕4,π∕4 -I-π∕4,π∕4 | (4.82)
V | = 2---- ∘ IyIz sin (ϕ) = I-π∕4,0 -Iπ∕4,0 | (4.83)

Es gibt noch weitere Möglichkeiten, durch die Messung der Intensitäten bei verschiedenen Polarisationsrichtungen den Polarisationszustand zu bestimmen (siehe z. B. Hecht [Hec05] oder Born und Wolf [BW70])

Müller 1948 [Mül48] schlug vor, die Stokes-Parameter als Vektoren zu schreiben, also

(4.84)

Damit werden ausgewählte Polarisationen (siehe auch Tabelle 4.4.5.1) geschrieben:

___________________________________________________________________________

Polarisation
Stokes-Vektor
Polarisation
Stokes-Vektor

Linear in y
( ) 1 || 1|| |( 0|) 0
Linear in z
( ) 1 || - 1|| |( 0 |) 0

Linear 45°
( ) | 1| || 0|| ( 1) 0
Linear -45°
( ) | 1 | || 0 || ( - 1) 0

Zirkular links
( 1) | | || 0|| ( 0) 1
Zirkular rechts
( 1 ) | | || 0 || ( 0 ) - 1

Stokes-Vektoren für ausgewählte Polarisationszustände.

_____________________________________________________________________

Schliesslich verwendet man noch die Definition für den

Polarisationsgrad

(4.85)

Die Polarisation von Licht und deren Modifikation durch λ∕4 und λ∕2-Platten wird häufig mit Stokes-Vektoren und Müller-Matrizen beschrieben [Col03, Abschnitt 9.5].

Die Messung des Polarisationszustandes Abbildung 4.4.5.2 für teilpolarisiertes Licht kann mit Müllermatrizen und Stokes-Vektoren berechnet werden. Dies ist im Anhang, Absatz A.2 beschrieben. Müllermatrizen werden im Unterabschnitt 4.4.6 besprochen.

4.4.5.3. Beschreibung der Polarisation durch Jones-Vektoren und Jones-Matrizen

Literatur

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 544]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 317-319])

Die Änderung der Polarisation von kohärentem Licht beim Durchgang durch Polarisatoren oder doppelbrechende Materialien kann mit Jones-Vektoren und Jones-Matrizen beschrieben werden. Jones-Vektoren und Jones-Matrizen sind eine Verallgemeinerung der obigen Rechnung. Formal läuft dies darauf hinaus, dass wir den Ausgangszustand als Vektor beschreiben und auf ihn die Operatoren der polarisationsändernden Objekte anwenden.

Aus der Darstellung im vorhergehenden Kapitel geht hervor, dass nur die y- und die z-Richtung die Polarisation beschreiben. Wir können also Zweiervektoren verwenden. Weiter soll die Phase der Welle als komplexe Zahl dargestellt werden. Schliesslich normieren wir die Länge des Vektors auf 1. Eine Welle polarisiert in die y-Richtung wird also durch den Vektor

(4.86)

dargestellt. Rechtszirkular polarisiertes Licht wird durch

(4.87)

beschrieben.

Jones-Vektoren
Beschreibung

Ay = ( ) 1 0
Linear polarisiert in y-Richtung

Az = ( ) 0 1
Linear polarisiert in z-Richtung

AR = 1√-- 2( ) 1 - i
Rechtshändig zirkular polarisiert

AL = 1 -√2( ) 1 i
Linkshändig zirkular polarisiert

Polarisationen in andere Richtungen können durch die Anwendung von Drehmatrizen berechnet werden. Die Drehung aus dem Koordinatensystem y,z nach y′,z′ wird durch

y′ | = y cos(α) -z sin(α) |  |
z′ | = y sin(α) + z cos(α) | (4.88)

beschrieben. Die Drehmatrix lautet also

(4.89)

Ein um den Winkel α zu y-Achse linear polarisierter Strahl wird durch

(4.90)

beschrieben. Ein linearer Polarisator in y-Richtung wird durch

(4.91)

beschrieben. Die Wirkung eines um den Winkel α gedrehten Polarisators kann berechnet man, indem man das Koordinatensystem um -α dreht, den Polarisator in der y-Ebene anwendet und mit α zurückdreht.

P(α) | = R(α)PyR(-α) | (4.92)
| = ( ) cos(α) - sin(α) sin(α) cos(α)( ) 1 0 0 0( ) cos(α) sin (α ) - sin (α) cos(α) |  |
| = ( ) cos(α) - sin(α) sin(α) cos(α)( ) cos(α) sin (α) 0 0 |  |
| = ( 2 ) cos (α) cos(α )sin (α) cos(α) sin(α ) sin2(α) | (4.93)

Die Jones-Matrix des linearen Polarisators in die z-Richtung lautet also

(4.94)

Die zirkulare Polarisation wird durch die beiden homogenen Polarisatoren PR und PL erzeugt.

PR | = 1- 2( ) 1 i - i 1 | (4.95)
PL | = 1- 2( ) 1 - i i 1 |  |

Das λ∕4-Plättchen mit der schnellen Achse entlang der y-Richtung wird durch

(4.96)

Mit der Gleichung (4.17) hatten wir ein schräg stehendes λ∕4-Plättchen berechnet. Die Gleichung ist aber allgemeiner: sie beschreibt ein Verzögerungselement von ϕ gedreht um α zur y-Achse.

( PV Z(α,ϕ ) = ) cos(ϕ (ℓ)∕2) + icos 2α sin(ϕ(ℓ)∕2) isin2 αsin(ϕ(ℓ)∕2) isin 2α sin(ϕ(ℓ)∕2) cos(ϕ(ℓ)∕2) - icos2 αsin(ϕ(ℓ)∕2)

(4.97)

Das Verzögerungselement mit der schnellen Achse parallel zur y-Achse ist durch

(4.98)

gegeben. Die folgende Tabelle zeigt aus Gleichung (4.97) berechenbaren Elemente.

Jones-Matrix

Bedeutung

Pλ∕4,y = eiπ∕4( ) 1 0 0- i

λ∕4-Plättchen mit der schnellen Achse in y

Pλ∕4,z = eiπ∕4( ) - i0 0 1

λ∕4-Plättchen mit der schnellen Achse in z

Pλ∕4(α) = R(α)Pλ∕4,yR(-α)

λ∕4-Plättchen mit der schnellen Achse gedreht um α bezüglich y

Pλ∕2,y = Pλ∕4,yPλ∕4,y = ( ) i 0 0- i

λ∕2-Plättchen mit der schnellen Achse in y

Pλ∕2,z = Pλ∕4,zPλ∕4,z = ( ) - i0 0 i

λ∕2-Plättchen mit der schnellen Achse in z

Pλ∕2(α) = R(α)Pλ∕2,yR(-α)

λ∕2-Plättchen mit der schnellen Achse gedreht um α bezüglich y

Wenn ein Lichtstrahl mit der Polarisation A durch die Objekte T₁,T₂,…,Tn geht, ist die resultierende Welle

(4.99)

Mit den oben angegebenen Polarisations- und Rotationsmatrizen können die meisten Polarisationsprobleme berechnet werden.

4.4.6  Zusammenhang zwischen Jones-Matrizen und Müller-Matrizen

Jones- und Müller-Matrizen sind miteinander verwandt. Die Darstellung in diesem Abschnitt folgt [Gil00] sowie auch [Sim82, Tak73a, Tak73b, RMS98a, RMS98b, Gol03]. Wir haben im Abschnitt über Jones-Matrizen gesehen, dass die Wirkung eines den Polarisationszustand verändernden optischen Bauelements durch Matrizenmultiplikationen beschrieben werden kann. Analog dazu kann allgemein geschrieben werden, dass ein Bauelement, das den Stokes-Vektor S₁ in den Stokes-Vektor S₂ überführt, durch eine Müller-Matrix beschrieben ist.

(4.100)

Zum Beispiel sind nach Tabelle 4.4.5.1 die Stokes-Vektoren für Licht mit der Intensität I und vollständiger Polarisation in die y- oder die z-Richtung gegeben durch

(4.101)

Ein λ∕2-Plättchen mit der schnellen Achse 45° verkippt zur y-Achse bewirkt diese Transformation. Eine minimale Müllermatrix (die die zirkulären und ±45°-Anteile vernachlässigt) wäre dann

(4.102)

Die x und y können nicht aus unserer Bedingung abgeleitet werden. Eine genauere Rechnung zeigt, dass x = 1 und y = -1 ist.

Die Umrechnung einer Jones-Matrix P (bei [Sim82] J genannt) in eine Müllermatrix M geht nach [Sim82] folgendermassen:

(4.103)

mit

(4.104)

⊗ ist das Kronecker-Matrix-Produkt oder das äussere Produkt (Siehe Anhang Abschnitt B.9).

Durch Anwendung dieser Transformation erhalten wir die Müllermatrizen

Müller-Matrix

Bedeutung

Mλ∕4,y = ( ) |10 0 0| ||01 0 0|| (00 0 1) 00 - 10

λ∕4-Plättchen mit der schnellen Achse in y

Mλ∕4,z = (100 0 ) | | ||010 0 || (000 - 1) 001 0

λ∕4-Plättchen mit der schnellen Achse in z

Mλ∕4(α) = (1 0 0 0 ) | 2 1 | ||0 c1os (2 α) 2 sin2(4α) sin(2α )|| (0 2 sin(4α) sin (2 α) cos(2 α)) 0 sin(2α) - cos(2α ) 0

λ∕4-Plättchen mit der schnellen Achse gedreht um α bezüglich y

Mλ∕4,π∕4 = ( ) 1000 ||0001 || |(0010 |) 0100

λ∕4-Plättchen mit der schnellen Achse π∕4 zur y Achse

Mλ∕4,-π∕4 = ( ) 1 0 0 0 ||0 0 0 - 1|| |(0 0 1 0 |) 0 - 10 0

λ∕4-Plättchen mit der schnellen Achse -π∕4 zur y Achse

Müller-Matrix

Bedeutung

Mλ∕2,y = ( ) |10 0 0 | ||01 0 0 || (00 - 1 0 ) 00 0 - 1

λ∕2-Plättchen mit der schnellen Achse in y

Mλ∕2,z = (10 0 0 ) | | ||01 0 0 || (00 - 1 0 ) 00 0 - 1

λ∕2-Plättchen mit der schnellen Achse in z

Mλ∕2(α) = (1 0 0 0 ) | | ||0cos(4α ) sin (4α) 0 || (0sin(4α )- cos(4α) 0 ) 0 0 0 - 1

λ∕2-Plättchen mit der schnellen Achse gedreht um α bezüglich y

Mλ∕2,π∕4 = ( ) 1 0 0 0 ||0- 10 0 || |(0 0 1 0 |) 0 0 0- 1

λ∕2-Plättchen mit der schnellen Achse π∕4 zur y Achse

Mλ∕2,-π∕4 = ( ) 1 0 0 0 ||0 - 10 0 || |(0 0 1 0 |) 0 0 0 - 1

λ∕2-Plättchen mit der schnellen Achse -π∕4 zur y Achse

Müller-Matrix

MV (δ,α) = ( 1 0 0 0 ) | 2 2 2 (δ) | || 0sin (2α)cos(δ) + c(os) (2α) sin(4α) sin 2 sin(2α )sin (δ)|| |( 0 sin(4α) sin2 δ2 cos2(2α )cos(δ) + sin2(2α)cos(2α )sin(δ)|) 0 sin(2α) sin(δ) - cos(2α )sin (δ) cos(δ)

Verzögerungsplättchen mit der Phasenverzögerung δ und der schnellen Achse α zur y-Achse

Für die Polarisatoren bekommt man

Müller-Matrix

Bedeutung

MP,y = ( ) 1100 ||1100 || |( |) 0000 0001

linearer Polarisator in y

MP,z = 1 2( ) 1 - 100 ||- 1 1 00|| |( 0 0 00|) 0 0 01

linearer Polarisator in z

MP (α) = 1 2( ) 1 cos(2α ) sin(2α) 0 ||cos(2α )cos2(2α) 12 sin (4α)0|| |(sin(2α )1sin(4α) sin2(2α )0|) 0 2 0 0 1

linearer Polarisator gedreht um α bezüglich y

MP,π∕4 = 1 2( ) 1010 || 0000|| |( 1010|) 0001

linearer Polarisator π∕4 zur y Achse

MP,-π∕4 = 1 2( ) 1 0- 10 || 0 0 0 0|| |(- 10 1 0|) 0 0 0 1

linearer Polarisator -π∕4 zur y Achse

4.4.7  Beispiele zur Polarisation

(Siehe Gerthsen, Physik [Mes06, pp. 535])

__________________________________________________________________________

Aufspaltung eines Lichtstrahls in einem doppelbrechenden Material wie Kalkspat

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

Doppelbrechung in einem NaV O₄Mn-Kristall (gezüchtet von A. Lentz, fotographiert von M. Pietralla). Gezeigt wird, dass die drei Kristallrichtungen eines sechseckig scheinenden Kristalls nicht äquivalent sind.

_____________________________________________________________________

Viele Kristalle sind nicht isotrop. Es gib auch in diesen Kristallen Achsen, die eine höhere Symmetrie aufweisen, als die anderen Achsen. Diese Achse wird Hauptachse genannt. Alle physikalischen Eigenschaften eines Kristalls, also auch die optischen Eigenschaften, müssen die Symmetrie des Kristalls haben. Die physikalischen Eigenschaften und insbesondere die Lichtgeschwindigkeit sind in allen Ebenen senkrecht zur Hauptachse isotrop. Dabei ist die Lichtgeschwindigkeit aber von der Polarisationsrichtung des Lichtes abhängig. In Richtung der Hauptachse ist die Lichtgeschwindigkeit unabhängig von der Polarisationsrichtung c₀. Licht, das sich senkrecht zur Polarisationsrichtung ausbreitet, bewegt sich ebenfalls mit c₀, wenn der E-Vektor in Richtung der Hauptachse zeigt, die Polarisationsrichtung also senkrecht zur Hauptachse liegt. Dieses licht heisst ordentliches Licht. Licht mit der anderen Polarisationsrichtung läuft im Kalkspat schneller, und zwar mit cao = 1.116c₀. Dieses Licht heisst ausserordentliches Licht. Wenn die Einfallsrichtung dazwischen liegt, ist die Geschwindigkeit des ordentlichen Lichts immer noch c₀, die des ausserordentlichen Lichts liegt zwischen c₀ und cao.

Die Wellenflächen des ordentlichen Lichts stammend von einer punktförmigen Quelle sind also Kugelflächen, während die Wellenflächen des ausserordentlichen Lichts Rotationsellipsoide sind, deren Rotationsachse mit der Hauptachse parallel ist. Bei Kalkspat ist das Rotationsellipsoid abgeplattet, das Material heisst einachsig negativ. Bei Quarz ist das Rotationsellipsoid länglich (die ordentliche Lichtgeschwindigkeit ist grösser als die ausserordentliche.). Man nennt Quarz deshalb einachsig positiv.

Wenn Licht senkrecht auf eine Fläche fällt, die schräg zur Hauptachse liegt, müssen zwei verschiedene Konstruktionen verwendet werden:

Kugelflächen beim ordentlichen Licht

Rotationsellipsoide beim ausserordentlichen Licht. Die Rotationsachse liegt schief zur Einfallsrichtung.

Da die resultierenden Flächen Tangentenflächen sind, bleibt die Richtung des ordentlichen Lichtes senkrecht zur Oberfläche, während das ausserordentliche Licht sich schräg weiter ausbreitet. Zur Berechnung des Lichtweges müssen Tensoren verwendet werden.

__________________________________________________________________________

Das Nicolsche Prisma, kurz Nicol, ist eine Anwendung der Doppelbrechung zur Polarisation. Der spitze Winkel ist 68⁰, der abgeflachte Winkel genau 90⁰. Die optische Achse liegt senkrecht zur Längsachse in der Bildebene. Das Nicol-Prisma entsteht aus dem rechts gezeigten länglichen Kalkspatkristall, der diagonal geschnitten wird. Er wird mit einem Kitt, dessen Brechungsindex wie der Brechungsindex des ausserordentlichen Strahls ist, wieder zusammengeklebt. der ausserordentliche Strahl geht dann ohne grössere Ablenkung durch das Nicol-Prisma, während der ordentliche Strahl am Kitt totalreflektiert wird und aus dem Strahlengang verschwindet.

_____________________________________________________________________

In der Technik war die spannungsinduzierte Doppelbrechung lange das einzige Mittel, unzulässige Beanspruchungen in Bauteilen festzustellen.

Versuch zur Vorlesung:

Spannungsdoppelbrechung (Versuchskarte O-008)

5  Geometrische Optik

Literatur

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 231]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1023]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1059]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 7])

Licht besteht, je nach Experiment, das durchgeführt wird, aus Wellen oder aus Teilchen. Der Teilchencharakter ist zuerst durch Isaac Newton propagiert worden. Newton konnte damit die Brechungsgesetze erklären, musste dazu aber annehmen, dass das Licht sich im optisch dichteren Medium schneller als im Vakuum ausbreitet. Die Experimente von Thomas Young zur Wellennatur des Lichtes sowie die Theorie von Augustin Fresnel zeigten, dass alle klassischen optischen Experimente durch die Wellentheorie erklärt werden können. Insbesondere konnte die Brechung erklärt werden durch die geringere Lichtgeschwindigkeit im optisch dichteren Medium. Die Entdeckung des photoelektrischen Effektes und ihre Erklärung durch Albert Einstein führte zur quantenmechanischen Theorie des Lichtes, in der Licht sowohl Wellen- wie auch Teilchencharakter hat.

Licht ist aus der modernen Forschung nicht mehr wegzudenken, wie die folgenden Beispiele zeigen:

__________________________________________________________________________

Links sehen sie ein konfokales Ramanmikroskop aus dem Institut für Experimentelle Physik, rechts ein Fluoreszenz-Laserscanningmikroskop, wie es im Institut für Biophysik steht.

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

Links sehen sie einen frequenzverdoppelten NdYAG-Laser aus dem Institut für Experimentelle Physik, rechts ein Kontaktwinkelmessgerät aus dem Institut für Experimentelle Physik.

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

Links sehen Sie einen Prototypen des AlphaSNOM, rechts das von Herrn Maghelli gebaute Rasterkraftmikroskop, beide aus dem Institut für Experimentelle Physik

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

Links sehen Sie einige Laser aus dem Optiklabor dem Institut für Experimentelle Physik, rechts ein Rasterkraftmikroskop aus dem Institut für Experimentelle Physik

_____________________________________________________________________

Die geometrische Optik, das Thema dieses Kapitels, befasst sich mit den Experimenten, bei denen die Wellennatur des Lichtes vernachlässigt werden kann, bei denen man also von Lichtstrahlen reden kann.

5.1  Lichtgeschwindigkeit

Literatur

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 71]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1025])

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Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit mit Hilfe der Periodendauer der Umlaufzeit des Jupitermondes Io.

_____________________________________________________________________

Astronomische Beobachtungen waren schon immer sehr genau. Ole Rømer beobachtete 1675 dass der Eintritt des Jupitermondes Io in den Kernschatten sich abhängig von den Sternkonstellationen verschob. Die Periode der Umlaufzeit beträgt 42.5 Stunden und nimmt zu, wenn die Erde sich vom Jupiter weg bewegt und ab, wenn sie sich auf den Jupiter zu bewegt. Der maximale Zeitunterschied ist 2·150·10⁹ m∕3·10⁸ m/s = 1000 s. Zwischen zwei Eintritten in den Kernschatten ist der Zeitunterschied zum mittleren Zeitunterschied 150·10⁹ m∕(365.24 * 24 h).5 h∕3·10⁸ m/s = 2.42 s. Ole Rømer brauchte also eine Uhr, die in 24 h weniger als eine Sekunde Fehler hatte. Ole Rømer mass eine Lichtgeschwindigkeit von ungefähr 2·10⁸ m/s. Daraus kann geschlossen werden, dass seine Zeitmessung eine relative Genauigkeit von 3·10⁻⁷ hatte, besser als manche Armbanduhr heute.

Eine gewaltige Verbesserung der Genauigkeit erzielte Bradley mit seiner Beobachtung der Aberration des Lichtes. Analog zum Regen, der, wenn man steht von oben kommt und der wenn man geht schräg von vorne fällt, ändert das Licht seine Einfallsrichtung. Aus der Winkeländerung kann auf die Lichtgeschwindigkeit geschlossen werden, wenn man die Eigengeschwindigkeit kennt.

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Bradley beobachtete die Position eines Fixsterns (möglichst unendlich weit weg) zu verschiedenen Zeiten.

_____________________________________________________________________

In der Abbildung sind zwei extreme Positionen aufgezeichnet, da wo die Erde mit maximaler Geschwindigkeit auf den Stern sich hinbewegt und da, wo sie sich mit maximale Geschwindigkeit entfernt. Die Bahngeschwindigkeit der Erde ist etwa vErde = 3·10⁴ m/s. Alternativ könnte man die Position des Sterns auch im Abstand von 12 Stunden ausmessen. dabei müsste die Umfangsgeschwindigkeit, die in Ulm etwa vUmfang,Ulm = 327 m/s und damit etwa 100 mal kleiner ist, verwendet werden.

__________________________________________________________________________

Dreiecke zur Berechnung der Lichtgeschwindigkeit nach Bradley

_____________________________________________________________________

Zur Berechnung verwenden wir den Sinussatz:

(5.1)

Praktischerweise ergeben sich für beide Fälle, sowohl auf die Erde zu wie von der Erde weg die gleiche Gleichung. Diese Beziehung formen wir um

c | = sin(π---α---ϕ-) sinϕvErde | (5.2)
| = sin(α-+-ϕ)- sinϕvErde |  |
| = sinα cos ϕ + cosα sin ϕ ----------------------- sinϕvErde |  |

Für kleine Winkel ϕ «π bekommen wir

(5.3)

Wie gross ist nun der zu messende Winkel ϕ? Wir betrachten einen Stern,d er etwa π∕4 über der Ekliptik (der Bahnebene der Erde) liegt. Mit vErde = 30 km/s und c = 300000 km/s und α = π∕4 erhalten wir

(5.4)

Der gemessene Winkelunterschied zwischen den Punkten A und B ist somit

(5.5)

Wenn wir nur im Zeitabstand von einem Tag messen, ist der der Winkel ΔΦ = 0, 29′′.

__________________________________________________________________________

Lichtgeschwindigkeitsmessung nach Armand Fizeau (1849)

_____________________________________________________________________

Fizeau verwendete einen Weg von 8.63 km. Bei bestimmten Geschwindigkeiten (welchen?) wurde der Weg des Lichtes blockiert, bei anderen durchgelassen. Nehmen wir an, dass das Zahnrad mit 100 Umdrehungen pro Sekunde rotiere. Das Licht wird blockiert, wenn das Zahnrad sich um einen halben Zahn weiter dreht in der Laufzeit des Lichts. Die Laufzeit ist t = 8630 m∕3·10⁸ m/s = 2.877·10⁻⁵ s. Die Umdrehungszeit des Rades ist 0.01 s. Also hat das Rad n = 0.01∕(2 × 2.877·10⁻⁵) = 174 Zähne, machbar!.

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Messung der Lichtgeschwindigkeit mit der Drehspiegelmethode

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Versuch zur Vorlesung:

Messung der Lichtgeschwindigkeit mit der Drehspiegelmethode (Versuchskarte O-030)

Eine verbesserte Methode ist die Messung der Lichtgeschwindigkeit nach Leon Foucault. Er verwendete einen Drehspiegel. Seine Genauigkeit war so gross, dass er auch den Unterschied der Lichtgeschwindigkeit in stehendem und fliessendem Wasser messen konnte.

Heute wird die Lichtgeschwindigkeit mit moderner Elektronik gemessen.

Die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum beträgt 299792458m- s. Sie ist eine Definitionsgrösse.

5.2  Licht in der geometrischen Optik

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 41]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 7])

Versuch zur Vorlesung:

Brechung und Reflexion (Versuchskarte O-068)

In der geometrischen Optik hat das Licht die folgenden Eigenschaften:

Licht bewegt sich in homogenen Medien geradlinig aus.

Licht wird durch Lichtstrahlen dargestellt (Im Wellenbild entspricht dies ebenen Wellen).

Licht hat nur eine Farbe, das heisst es ist monochromatisch.

Wenn die Farbe von Licht keinen Einfluss auf die Ausbreitung des Lichtes hat, verwendet man auch weisses Licht.

Licht wird an Oberflächen reflektiert. Dabei gilt das Reflexionsgesetz (Siehe Abschnitt 4.1).

__________________________________________________________________________

Reflexionsgesetz: links die Querschnittsansicht und rechts eine dreidimensionale Skizze

_____________________________________________________________________

Der einfallende Strahl und der reflektierte Strahl liegen in einer Ebene, in der auch die Oberflächennormale zur reflektierenden Oberfläche liegt. Für die Winkel zwischen den Lichtstrahlen und der Oberflächennormale gilt

(5.1)

Tritt ein Lichtstrahl von einem transparenten Medium mit der Lichtgeschwindigkeit c₁ in ein zweites transparentes Medium mit der Lichtgeschwindigkeit c₂ ein, so wird er gebrochen.

__________________________________________________________________________

Strahlengang bei Brechung. Links ist der Strahlengang gezeigt, wenn Licht aus dem optisch dünneren Medium mit c₁ in das optisch dichtere Medium mit c₂ < c₁ eintritt. Die rechte Zeichnung zeigt den umgekehrten Verlauf der Strahlung, aus dem optisch dichteren Medium in das optisch dünnere Medium.

_____________________________________________________________________

Das Brechungsgesetz oder das Gesetz von Snellius lautet

(5.2)

Mit dem Brechungsindex, der definiert ist als das Verhältnis der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum c und der Lichtgeschwindigkeit im Medium i, ci

(5.3)

lautet das Brechungsgesetz

(5.4)

Mit diesen beiden Gesetzen können die Phänomene der geometrischen Optik berechnet werden.

Versuch zur Vorlesung:

Applet Lichtbrechung (Versuchskarte -)

5.3  Bilderzeugung durch Brechung

Literatur

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 238]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1068]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 41])

Versuch zur Vorlesung:

Optische Scheibe (Versuchskarte O-046)

Winlens Software

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Brechung von Licht an einer gekrümmten Glasoberfläche

_____________________________________________________________________

Gleich wie mit Spiegeln können Abbildungen mit Linsen durchgeführt werden. Für kleine Winkel gilt sin Θ ≈ Θ. Wir erhalten

(5.1)

β ist der Aussenwinkel von P′CA. Also ist

(5.2)

Θ₁ ist der Aussenwinkel von PAC.

(5.3)

Nach Elimination von Θ₁ folgt

(5.4)

Für kleine Winkel (paraxiale Näherung) gilt, dass α ≈s∕g, β = s∕r und γ = s∕b ist, wobei g die Gegenstandsweite, b die Bildweite und r der Krümmungsradius der Oberfläche ist. Eingesetzt:

(5.5)

Hier sind, im Gegensatz zum sphärischen Spiegel, die reellen Bilder hinter der Grenzfläche.

Nach dem Strahlensatz ist n₁Gegenstandsgrösse g = n₂-Bildgrösse b. Der Abbildungsmassstab ist also

(5.6)

5.3.1  Dünne Linsen

Literatur

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 242]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 106]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1071])

Versuch zur Vorlesung:

Optische Scheibe (Versuchskarte O-046)

_______________________________________________

Dünne Linse. Brechung tritt an beiden Oberflächen auf.

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Wir betrachten eine dünne Linse, das heisst, dass wir die Dicke des Glases vernachlässigen. Die Linsenoberflächen sollen die Krümmungsradien r₁ und r₂ (rechts) haben. r₁ ist der Krümungsradius einer konvexen Oberfläche , aus der Sicht des ankommenden Lichtstrahles) und damit positiv. r₂ ist der Krümmungsradius einer konkaven Grenzfläche (wieder aus der Sicht des ankommenden Lichtstrahles) und damit negativ. Die Linse mit dem Brechungsindex n ist in Luft (Brechungsindex = 1). Ein Gegenstand befindet sich im Abstand g links vor der ersten Ebene, und damit auch im Abstand g vor der Mittelebene. Die Bildweite b₁ aufgrund der ersten Oberfläche nach wird Gleichung (5.5) mit

(5.7)

Das Bild ist virtuell, da das Licht auch noch an der zweiten Grenzfläche gebrochen wird. In unserer Abbildung ist die Bildweite b₁ negativ. Diese Bildweite b₂ ist für die zweite Oberfläche die Gegenstandsweite g₂ = -b₁. Die Abbildungsgleichung dort lautet

(5.8)

Eingesetzt und addiert ergibt sich

1 g- + 1 b- | = n - 1 -r---- 1 + 1 - n --r--- 2 = (n - 1)( 1 1 ) r-- r- 1 2 |  |
1- f | = (n - 1)( ) 1-- 1- r1 r2 | (5.9)

wobei wir g = ∞ gesetzt haben. Dann ist b = f die Brennweite. Bei einer symmetrischen Linse ist r₁ = -r₂ = r und damit f = --2--- (n- 1)r.

Abbildungsgleichung

(5.10)

Strahlen, die die Linse auf der optischen Achse schneiden, werden nicht abgelenkt.

Achsenparallele Strahlen werden im Brennpunkt fokussiert

Strahlen aus dem Brennpunkt werden zu achsenparallelen Strahlen.

Versuch zur Vorlesung:

Brennweitenbestimmung nach Bessel (Versuchskarte O-055)

_______________________________________________

Die zwei Positionen einer Linse, bei denen eine scharfe Abbildung erreicht wird.

_____________________________________________________________________

Zur Berechnung verwenden wir die Abbildungsgleichung

(5.11)

mit der Nebenbedingung

(5.12)

Aus den beiden Gleichungen erhalten wir

(5.13)

Damit bekommen wir

g(ℓ -g) | = ℓf | (5.14)
g² -ℓg + ℓf | = 0 |  |

Die Lösung der quadratischen Gleichung ist:

g± | = √ --------- ℓ ± ℓ2 - 4ℓf --------------- 2 | (5.15)
| = ℓ- 2( ∘ -------) ( f-) 1 ± 1 - 4ℓ |  |

Die Linse wird auf die zwei Positionen eingestellt, in denen eine scharfe Abbildung geschieht. Der Abstand dieser zwei Positionen ist:

(5.16)

Dann ist

(5.17)

Somit ist die Brennweite

(5.18)

__________________________________________________________________________

Wellenfronten beim Durchgang durch eine Linse

_____________________________________________________________________

Licht breitet sich in einem optisch dichteren Medium langsamer aus als im dünneren. Bei einer Konvexlinse treffen die achsennahen Lichtstrahlen eher auf das Glas als die achsenferneren. Diese überholen deshalb die achsennahen Lichtstrahlen. Im Wellenbild bedeutet dies, dass ebene Wellen zu konzentrisch auf einen Punkt zulaufenden Wellen werden: die Linse fokussiert.

__________________________________________________________________________

Zerstreuungslinse

_____________________________________________________________________

Bei einer Zerstreuungslinse sind die Oberflächen konkav gekrümmt. Die Krümmungsradien sind negativ. Eine Konkavlinse (Zerstreuungslinse) wirkt wie ein Konvexspiegel.

5.3.2  Bildkonstruktion bei Linsen

Literatur

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 250]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 107]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1075])

Bei einer Linse gelten die folgenden Regeln zur Konstruktion der Bilder:

Achsparallele Strahlen werden in den Fokus fokussiert. Bei Konkavlinsen scheinen die aus achsparallelen Strahlen hervorgegangenen Strahlen aus dem Brennpunkt zu kommen.

Strahlen, die Die Linse auf ihrer optischen Achse treffen, werden nicht abgelenkt.

__________________________________________________________________________

Abbildung bei einer Konvexlinse

_____________________________________________________________________

Die Konstruktion der Abbildung bei einer Konvexlinse ist in der obigen Abbildung gezeigt. g ist die Gegenstandsweite, b die Bildweite und f die Brennweite. Die Vergrösserung ist:

(5.19)

__________________________________________________________________________

Abbildung bei einer Konkavlinse

_____________________________________________________________________

Die Bildkonstruktion bei einer Konkavlinse verläuft analog zu der bei einer Konvexlinse.

5.3.3  Dicke Linsen

Literatur

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 363]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 100]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1077])

__________________________________________________________________________

Dicke Linse

_____________________________________________________________________

Eine dicke Linse wird wie eine dünne berechnet, mit der Ausnahme, dass alle Messungen von Distanzen von den jeweiligen Hauptebenen aus gemacht werden müssen.

5.3.4  Mehrere Linsen

Literatur

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 258]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 116]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1078])

__________________________________________________________________________

Geometrie eines Doppellinsensystems

_____________________________________________________________________

Bei mehreren Linsen berechnet man aus der Brennweite f₁ und der Gegenstandsweite g₁ die Bildweite b₁. Die Lage des Bildes gibt die Gegenstandsweite g₂ der zweiten Linse. Mit der Brennweite der zweiten Linse f₂ kann das Bild b₂ berechnet werden. Zur Berechnung benötigen wir noch den Abstand der Linsen ℓ. Die Gegenstandsweite der zweiten Linse ist g₂ = ℓ -b₁.

Aus der Abbildungsgleichung erhalten wir

b₁ | = f1g1 ------- g1 - f1 | (5.20)
b₂ | = --f2g2- g2 - f2 |  |

Durch die Kombination der beiden Gleichungen erhalten wir

b₂ | = f2(ℓ - b1) ----------- ℓ - b1 - f2 | (5.21)
| = f2(ℓ - fg11-g1f1) -----f1g1------ ℓ - g1-f1 - f2 |  |
| = f2(ℓ(g1 - f1) - f1g1) ----------------------- (ℓ - f2)(g1 - f1) - f1g1 |  |

Diese Gleichung hat eine Divergenz bei (ℓ-f₂)(g₁ -f₁)-f₁g₁ = 0, das heisst bei der Gegenstandsweite

(5.22)

Beispiel

Die Linse 1 sei bei der Position x₁ = 0 cm, die Linse 2 bei der Position x₂ = 20 cm.

Die Brennweiten seien f₁ = 5 cm und f₂ = 10 cm

Der Gegenstand sei bei xg = -6 cm

Dann ist g₁ = 6 cm. Daraus folgt mit der Linsengleichung b₁ = 1∕(1∕f₁ - 1∕g₁) = 30 cm

Es ist also xb = 30 cm

Da x₂ = 20 cm ist g₂ = -10 cm

Damit erhalten wir b₂ = 1∕(1∕f₂ - 1∕g₂) = 1∕(1∕10 cm - 1∕(-10 cm)) = 5 cm

__________________________________________________________________________

Die Position des Bildes für verschiedene xg = -g₁ im obigen Beispiel

_____________________________________________________________________

5.4  Ebene Spiegel

Literatur

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 271]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 169]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1059])

Versuch zur Vorlesung:

Virtuelles Bild: Reflexion am ebenen Spiegel (Versuchskarte O-111)

_______________________________________________

Ebener Spiegel

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Blickt man in einen ebenen Spiegel, so sieht man ein virtuelles Bild des Gegenstandes. Bei einem perfekten Spiegel ist das Bild nicht von einem wirklichen Gegenstand zu unterscheiden, ausser: links und rechts sind vertauscht. Eine andere Sichtweise ist auch, dass links und rechts bleiben, aber dass vorne und hinten vertauscht sind. Mehrere Spiegel erlauben Mehrfachbilder. Zwei Spiegel, die senkrecht aufeinander stehen, reflektieren das Licht in die gleiche Richtung zurück, aus der es gekommen ist.

5.5  Bilderzeugung mit sphärischen Spiegel

Literatur

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 277]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 170]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1062])

__________________________________________________________________________

Gekrümmter Spiegel

_____________________________________________________________________

Bei einem gekrümmten Spiegel wird der Gegenstand P in das Bild P′ abgebildet. C ist der Krümmungsmittelpunkt des Spiegels, deshalb sind die Winkel Θ der einfallenden und reflektierten Strahlen zu dieser Linie gleich. Es gilt (Aussenwinkel)

(5.1)

und (auch Aussenwinkel)

(5.2)

Wir eliminieren Θ

(5.3)

Für kleine Winkel (paraxiale Näherung) gilt, dass α ≈h∕g, β = s∕r ≈h∕r und γ ≈h∕b ist, wobei g die Gegenstandsweite, b die Bildweite, r der Krümmungsradius des Spiegels und h der Abstand der Strahlen von der optischen Achse ist. Eingesetzt:

(5.4)

Wenn der Gegenstand im unendlichen ist, g = ∞ ist b = r∕2. Wir nennen diese Weite die

Brennweite

(5.5)

Die Abbildungsgleichung, die nicht nur für sphärische Spiegel gilt, sondern auch für Linsen, ist also

(5.6)

Abbildungsgleichung eines sphärischen Spiegels

Der obige Spiegel ist ein Konkavspiegel (französisch: la cave: Keller (mit einem Kellergewölbe)). Bei einem Konvexspiegel gilt die Abbildungsgleichung auch, die Brennweite ist aber negativ.

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Sphärische Aberration

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Strahlen, die die paraxiale Näherung verletzen, werden nicht auf einen Punkt fokussiert. Sie bilden eine Kaustik, das Bild eines Punktes ist ausgedehnt. Dieser Abbildungsfehler, der allen sphärischen abbildenden Geräten eigen ist, heisst sphärische Aberration.

5.5.1  Konvexspiegel

Literatur

(Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 178]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1067])

__________________________________________________________________________

Konvexspiegel

_____________________________________________________________________

Die Berechnung der Abbildungsgleichung ist analog zu der eines Konkavspiegels. Für die Winkel können die folgenden Relationen aufgeschrieben werden:

(5.7)

sowie

(5.8)

Wir eliminieren Θ und erhalten

(5.9)

Für kleine Winkel gilt wieder αs∕g ≈h∕g, β = s∕r ≈h∕r und γ ≈h∕b. Eingesetzt bekommen wir

(5.10)

Vergleichen wir diese Gleichung mit der Gleichung (5.4) so sehen wir, dass formal die gleiche Abbildungsgleichung gilt, wenn wir die Bildweite und die Brennweite negativ wählen.

Wir halten fest:

Bei einem Konvexspiegel ist die Brennweite negativ (Zerstreuungsspiegel), bei einem Konkavspiegel positiv (Sammelspiegel).

5.5.2  Bildkonstruktion beim Hohlspiegel

Literatur

(Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 177]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1065])

Versuch zur Vorlesung:

Optische Scheibe (Versuchskarte O-046)

Die Bildkonstruktion bei einem Hohlspiegel verläuft nach den folgenden Regeln:

Jeder achsparallele Strahl verläuft nach der Reflexion durch den Brennpunkt (oder seine Verlängerung nach rückwärts geht durch den Brennpunkt).

Jeder Strahl durch den Brennpunkt wird zu einem achsparallelen Strahl (oder jeder Strahl, dessen Verlängerung durch den Brennpunkt ginge, wird nach der Reflexion zu einem achsparallelen Strahl).

Jeder radiale Strahl verläuft durch den Krümmungsmittelpunkt eines Spiegels und wird in sich selber zurück abgebildet.

Jeder Strahl, der auf den Scheitelpunkt des Spiegels (da wo die optische Achse auf den Spiegel trifft) gerichtet ist, wird unter dem gleichen Winkel zur optischen Achse reflektiert.

__________________________________________________________________________

Bildentstehung beim Konkavspiegel

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Die Abbildung zeigt, wie nach den obigen Regeln, ein Bild konstruiert wird. Dass die Strahlen sich nicht in einem Punkt kreuzen, liegt daran, dass wir keine paraxialen Strahlen haben.

__________________________________________________________________________

Abbildungsmassstab

_____________________________________________________________________

Der Abbildungsmassstab wird berechnet, indem wir den Strahl auf den Scheitel analysieren. Aus dem Strahlensatz ergibt sich

(5.11)

wobei G die Höhe des Gegenstandes und B die Höhe des Bildes ist.

__________________________________________________________________________

Vereinfachung der Konstruktion

_____________________________________________________________________

Für paraxiale Strahlen kann die Konstruktion vereinfacht werden, indem man die gekrümmte Fläche durch eine Tangentialebene am Scheitel des Spiegels ersetzt. Aus der Abbildung ist ersichtlich, dass die durch die sphärische Aberration ungenau gewordene Abbildung wieder genau wird. Die neu eingeführte Ebene nennt man Hauptebene.

___________________________________________________________________________

g
+
Gegenstand vor dem Spiegel (reeller Gegenstand)

-
Gegenstand hinter dem Spiegel (virtueller Gegenstand)

b
+
Bild vor dem Spiegel (reelles Bild)

-
Bild hinter dem Spiegel (virtuelles Bild)

r,f
+
Krümmungsmittelpunkt vor dem Spiegel (Konkavspiegel)

-
Krümmungsmittelpunkt hinter dem Spiegel (Konvexspiegel)

Vorzeichenkonventionen für die Abbildung

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

Abbildung bei einem konvexen Spiegel

_____________________________________________________________________

Bei einem konvexen Spiegel existiert ein virtuelles Bild hinter dem Spiegel. Die Abbildung zeigt die Bildkonstruktion.

5.6  Abbildungsfehler

Literatur

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 380]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 117,130]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1081])

Es gibt die folgenden Abbildungsfehler

sphärische Aberration

Wie bei Konkavspiegeln werden nicht achsennahe parallele Strahlen nicht auf einen Punkt fokussiert. Die sphärische Aberration entsteht bei kugelförmigen Spiegeln oder bei Linsen mit kugelförmigen Oberflächen. Parabelförmige Oberflächen würden für achsenparallele Strahlen keine sphärische Aberration zeigen¹ .

__________________________________________________________________________

Sphärische Aberration

_____________________________________________________________________

Die von einem Punkt ausgehenden Strahlen formen eine Kaustik. Deshalb sind Fotografien, die mit kleinen Blendenöffnungen aufgenommen werden, schärfer abgebildet. Wird die Blendenöffnung zu fest geschlossen, verschmieren Beugungseffekte die Abbildung. Optimal sind Blenden zwischen 8 und 11.

chromatische Aberration

Durch die chromatische Dispersion (Siehe Abschnitt 6.6) werden verschiedene Farben unterschiedlich stark gebrochen.

__________________________________________________________________________

Chromatische Aberration

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

Intensitätsverteilung im Fokus bei chromatischer Aberration

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

Charakteristische Kurve bei chromatischer Abberation

_____________________________________________________________________

Blaues Licht wird stärker gebrochen als rotes, also ist die Brennweite für rotes Licht länger als für blaues. Die Abbildung zeigt oben den Strahlengang und in der Mitte die Farbzusammensetzung des Fokus. Unten ist die Verschiebung des Fokus als Funktion der Farbe angegeben. Berechnet worden sind die Darstellungen mit WinLens3D Basic.

Astigmatismus schiefer Bündel

__________________________________________________________________

Astigmatismus

_____________________________________________________________________

Schiefe parallele Bündel von Licht werden auf einen Punkt fokussiert, dessen Abstand von der Linsenhauptebene umso grösser wird, je schiefer der Einfallswinkel ist. Deshalb sind Fotografien am Rand weniger scharf als im Zentrum.

6  Optische Instrumente

Literatur

(Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1089])

6.1  Das Auge

Literatur

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 304]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1089])

__________________________________________________________________________

Das Auge. Links oben eine Gesamtansicht eines Augenmodells. Rechts ein Schnitt durch das Auge mit der Iris links, dann der Linse und dem Glaskörper. Links unten eine Detailansicht der Linse.

_____________________________________________________________________

Das Auge hat eine Linse mit einer Brennweite von etwa 2.5 cm (Abstand Linse-Netzhaut). Achtung: Der Brechungsindexunterschied nach aussen (Linse zu Luft) und nach innen (Linse zu Glaskörper) ist verschieden. Deshalb ist die Brennweite der Linse ausserhalb kleiner als innerhalb des Auges. Die Krümmung der Linse kann eingestellt werden: Akkomodation.

Versuch zur Vorlesung:

Augen-Modell (Versuchskarte O-132)

_______________________________________________

Weitsichtiges Auge: Links ohne Brille, rechts mit Korrektur

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

Kurzsichtiges Auge: Links ohne Brille, rechts mit Korrektur

_____________________________________________________________________

6.2  Die Lupe

Literatur

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 318]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 100,105]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1093])

Versuch zur Vorlesung:

Lupe und Mikroskop (Versuchskarte O-081)

_______________________________________________

Wirkungsweise einer Lupe

_____________________________________________________________________

Die Wirkungsweise einer Lupe kann nur verstanden werden, wenn wir das Auge mit berücksichtigen. Auf der linken Seite finden sie eine Skizze, wie ein Bild auf der Netzhaut des Auges entsteht. Die Brennweite des Auges sei dabei fa. Der blaue Pfeil wird entsprechend den Abbildungsgesetzen auf die Netzhaut abgebildet.

Die Lupe (rechtes Bild) wird nun so vor das Auge gehalten, dass ihr Brennpunkt auf der Linsenachse des Auges ist. Die vom roten Pfeil (innerhalb der Brennweite der Lupe) ausgehenden Strahlen werden von der Lupe so geformt, dass sie nach ihr gleich wie die Strahlen des blauen Pfeils ohne Lupe sind. Das Bild des roten Pfeils ist gleich gross wie das des blauen. Die Lupe hilft dem Auge, ein vergrössertes Bild zu sehen. Sie vergrössert den Winkel, unter dem ein Gegenstand gesehen wird.

Oft wird der Gegenstand in den Brennpunkt der Lupe gebracht. Wenn das Auge ohne Lupe einen Gegenstand der Länge G im Abstand s₀ (Nahpunkt, s₀ = 25 cm) beobachtet, ist der Sehwinkel ε₀ = G- s0. Eine Lupe vergrössert den Sehwinkel eines Gegenstandes auf den Wert ε = G- f. Die Vergrösserung der Lupe ist

(6.1)

Allgemein:

(6.2)

6.3  Die Kamera

Literatur

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 327]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 228]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1095])

__________________________________________________________________________

Schematische Skizze einer Spiegelreflexkamera

_____________________________________________________________________

Eine Kamera besteht aus einem Objektiv, das in einer Führung verschiebbar gelagert ist, dem Film oder der CCD und einer Beobachtungsoptik. Bei einer Spiegelreflexkamera sind die Beobachtungsoptik und der Strahlengang des Objektivs teilweise identisch. Wie weit müssen Objektive bewegt werden? Wir verwenden 1∕f = 1∕b + 1∕g und beachten, dass bei einer auf ∞ eingestellten Kamera das Objektiv gerade f vom Film entfernt ist.

Distanz
20 mm
50 mm
100 mm
200 mm
1000 mm

100 m
20.004 m m
50.025 m m
100.1 m m
200.4 m m
1010.1 m m

Verschiebung
0.004 mm
0.025 mm
0.1 mm
0.4 mm
10.1 mm

30 m
20.013 mm
50.08 mm
100.3 mm
201.3 mm
1034.4 mm

Verschiebung
0.013 m m
0.08 m m
0.3 m m
1.3 m m
34.4 m m

10 m
20.04 mm
50.25 mm
101 mm
204.1 mm
1111 mm

Verschiebung
0.04 m m
0.25 m m
1 m m
4.1 m m
111 m m

3 m
20.13 mm
50.85 mm
103.4 mm
214 mm
1500 mm

Verschiebung
0.13 m m
0.85 m m
3.4 m m
14 m m
500 m m

1 m
20.4 mm
52.6 mm
111 mm
250 mm
-

Verschiebung
0.4 m m
2.6 m m
11 m m
50 m m
-

0.3 m
21.4 mm
60 mm
150 mm
600 mm
-

Verschiebung
1.4 m m
10 m m
15 m m
400 m m
-

0.1 m
25 mm
100 mm
-
-
-

Verschiebung
5 m m
50 m m
-
-
-

0.03 m
60 mm
-
-
-
-

Verschiebung
50 m m
-
-
-
-

Fett angegeben sind die Kombinationen von Distanzen und Brennweiten, die wahrscheinlich nicht einstellbar sind, weil die Verschiebungen zu klein sind. Rot angegeben sind die Kombinationen von Distanzen und Brennweiten, die wahrscheinlich nicht einstellbar sind, weil die Verschiebungen zu gross sind.

Die Blendenzahl ist das Verhältnis der Brennweite f zum Durchmesser der d der Öffnung der Blende.

(6.1)

Bei einem Objektiv mit der Brennweite 50 mm und einer Blendenzahl von 8 ist die Öffnung also d = 6.25 mm.

6.4  Das Mikroskop

Literatur

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 324]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 147]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1098])

Versuch zur Vorlesung:

Lupe und Mikroskop (Versuchskarte O-081)

_______________________________________________

Strahlengang in einem Mikroskop

_____________________________________________________________________

Bei einem Mikroskop ist ein Gegenstand so nahe am Brennpunkt einer Objektivlinse, dass ein stark vergrössertes Bild erzeugt wird. Dieses Bild, Zwischenbild genannt, wird in einer Ebene im Abstand t vom zweiten Brennpunkt des Okulars erzeugt. Würde man in dieser Ebene eine Kamera anbringen, könnte man ein Bild des Gegenstandes aufnehmen. Der Abbildungsmassstab ist

(6.1)

Die Strahlen gehen jedoch weiter und werden von einer zweiten Linse, dem Okular weiterverarbeitet. Das Okular ist so platziert, dass das von der ersten Linse erzeugte Bild genau auf seinem Brennpunkt erzeugt wird. Die Strahlen aus der ersten Linse, dem Objektiv, werden nun so gebrochen, dass sie parallel sind. Dies ist die gleiche Funktion, wie sie die Lupe (Siehe Abschnitt 6.2) hatte. Nur das Auge, hier nicht eingezeichnet, kann wieder ein Bild formen, das nun aber sehr stark vergrössert ist.

Die Winkelvergrösserung des Okulars (Lupe) ist

(6.2)

Damit wird die Gesamtvergrösserung

(6.3)

In vielen Lehrbüchern findet man Zeichnungen, in denen die Lichtstrahlen beim Zwischenbild ihre Richtung ändern. Dies ist in Luft nicht möglich, und Streukörper gibt es in einem Mikroskoptubus nicht. Zur Konstruktion des Bildes ist diese Vorgehensweise jedoch gestattet.

Ein Objektiv mit der Vergrösserung 60 bei einer Tubuslänge von 180 mm hat eine Brennweite f₁ = 3 mm. Ein Okular mit der Vergrösserung 20 hat die Brennweite fO = 12.5 mm.

6.5  Das Teleskop oder Fernrohr

Literatur

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 332]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 158]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1099])

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Das Teleskop. Die angegebenen Strahlen werden zur Konstruktion des Bildes benötigt. Sie stellen jedoch nicht den Strahlengang dar!.

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Der Zweck eines Teleskops ist, den Sehwinkel zu vergrössern. Das Objektiv sammelt dabei möglichst viel Licht, ändert den Winkel aber nicht. Das Zwischenbild des Objektivs hat die Grösse B = f₁α. Das Okular (Lupe) erzeugt also den Winkel β = Bf- 2 Zusammen ergibt sich die Vergrösserung

(6.1)

Ob ein Stern gesehen werden kann, hängt allein vom Verhältnis

ab. Deshalb hätte man gerne möglichst grosse Teleskope in der Astronomie.

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Das Spiegelteleskop

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Da Linsen mit Durchmessern von mehr als einigen 10 cm unhandlich schwer sind und schwierig herzustellen, verwendet man für die lichtststärksten Teleskope Spiegel. Im folgenden sind einige hübsche Bilder des Hubble-Teleskops gezeigt.

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Links: Eine Hubble-Aufnahme, die den Blasen-Nebel NGC 7635 zeigt ([NU99]). Rechts: Der so genannte Ameisen-Nebel"Menzel 3. Die Sternengruppe erhielt ihren Namen aufgrund der Ähnlichkeit zu Kopf und Brustkorb der gemeinen Gartenameise ([NAS97]).

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Links: Zwei Galaxien tauschen Materie aus ([NAS10]), sichtbar als dunkles Band in der Mitte. Rechts: Gigantische Gasgebilde, die einen verglühenden Stern umkreisen. ([FHT96])

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Links: Hubble-Aufnahme vom Sternbild Aquila ([NAS00b]). Rechts: Der Schlüsselloch-Nebel ([NAS00a]), rund 8.000 Lichtjahre von der Erde entfernt, ist Teil des Carina-Nebels. Der Carina-Nebel enthält Sterne, die zu den heissesten und grössten bekannten Sternen gehören. Der Schlüsselloch-Nebel, rund 8.000 Lichtjahre von der Erde entfernt, ist Teil des Carina-Nebels. Der Carina-Nebel enthält Sterne, die zu den heissesten und grössten bekannten Sternen gehören. (NASA)

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6.6  Das Prisma: ein optisches Instrument mit Dispersion

Literatur

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 106, 284]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 415]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1038])

Versuch zur Vorlesung:

Optische Scheibe (Versuchskarte O-046)

Im allgemeinen Falle hängt die Phasengeschwindigkeit einer Welle von der Frequenz und vom Medium ab. Das heisst für Licht, dass jede Farbe eine eigene Ausbreitungsgeschwindigkeit hat.

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Links: Strahlengang durch ein Prisma. Rechts: Dispersion einiger Materialien

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Versuch zur Vorlesung:

n(λ) Abhängigkeit beim Prisma (Versuchskarte O-074)

Durch die Dispersion des Lichtes, das heisst, dass die Brechzahl von der Wellenlänge abhängt, werden die verschiedenen Farben unterschiedlich gebrochen. Jedes Mal, wenn Licht durch die Grenzfläche Luft-Materie geht, werden unterschiedliche Farben unterschiedlich gebrochen. Dies bewirkt die folgenden Effekte:

die Chromatische Aberration bei Linsen (Farbsäume)

die Möglichkeit, ein Prisma als Spektralapparat zu verwenden

das Auseinanderlaufen von Signalen in Glasfasern

den Regenbogen

Um die Physik der Dispersion zu klären, müssen wir ein physikalisches Modell finden, bei dem eine Frequenzabhängigkeit auftritt. Wir erinnern uns aus der Mechanik, dass bei Oszillatoren eine Resonanz auftritt. Als Beispiel kann man ein Feder-Masse-System betrachten.

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Modell eines Oszillators

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In diesem Feder-Masse-Modell wird die Schwingung durch ^x(t) = x₀ cos ωt angeregt. Die Amplitude verhält sich als Funktion der Frequenz wie

(6.1)

__________________________________________________________________________

Resonanzkurve links als Funktion der Frequenz ω und rechts als Funktion der Wellenlänge λ. Der Ausschnitt zeigt, dass es einen Bereich der Resonanzkurve gibt, der genau so aussieht wie der Verlauf des Brechungsindexes.

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Aus diesen Kurven gewinnt man die Anregung, dass ein Feder-Masse-System als Modell für die Dispersion geeignet sein könnte.

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Links liegt die Elektronenwolke zentriert über dem positiv geladenen Kern. Wenn ein elektrisches Feld E eingeschaltet wird, wird die Elektronenwolke entgegengesetzt zu E verschoben.

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Ein fester Körper besteht aus Atomen. Diese bestehen aus Elektronen, deren Aufenthaltswahrscheinlichkeit über einen Durchmesser von 100 pm ausgeschmiert ist, sowie aus einem Atomkern, der im Zentrum der Elektronenwolke liegt und einen Durchmesser von ungefähr 1 fm hat. Wenn ein elektrisches Feld E angelegt wird, dann verschiebt sich die Elektronenwolke gegen den Kern um eine Distanz Δx. Diese Verschiebung soll klein gegen den Durchmesser der Elektronenwolke sein. Dann können wir annehmen, dass die Ladung der Elektronenwolke homogen verteilt ist. Da das Coulombgesetz für die elektrostatischen Kräfte die gleiche Form wie das Gravitationsgesetz hat, hängt die Kraft für die Testladung des Kerns linear von der Auslenkung ab, und zwar so, dass der Schwerpunkt des Kerns und der der Elektronenwolke wieder übereinander gelegt werden sollen. Wir haben also eine zur Auslenkung proportionale rücktreibende Kraft, wie bei einer Feder.

Deshalb nehmen wir an, dass das Elektron-Kern-System als Feder-Masse-System beschrieben werden kann. Da ein Elektron nicht nur Kräfte auf seinen Kern, sondern auch auf die benachbarten ausübt, müssen wir ein dreidimensionales Netz von Federn und Massen betrachten. Wir vereinfachen das System hier auf eine lineare Federkette.

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Federmodell für die Dispersion nach (Siehe Känzig, Mechanik und Wellenlehre [Kän78, pp. 292]) .

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Wir betrachten eine longitudinale Welle auf einem Feder-Masse-System. Die Bewegungsgleichung für die n-te Masse ist

(6.2)

analog zur Gleichung für ein inneres Pendel bei gekoppelten Pendeln. Bei sehr kleinen Frequenzen schwingen alle Massen in Phase: wie bei den gekoppelten Pendeln gibt die gleichsinnige Bewegung aller Massen die tiefste Frequenz, die hier, da wir eine unendliche Anzahl Massen annehmen, null ist. Die maximale Frequenz erhält man dann, wenn jeweils zwei benach5barte Massen gegensinnig schwingen. Eine höher Schwingungsfrequenz ist nicht möglich. Die minimale Wellenlänge ist λmin = 2a und entsprechend kmax = πa. Beachte, dass kmax = 2π∕λ die Wellenzahl ist, während k die Federkonstante bedeutet.

Wir setzen Ω₀² = 4k m und erhalten

(6.3)

Wir setzen als vorläufige Lösung für λ > 2a an: ξ(x,t) = Aei(kx-ωt). Da die Schwingung nur für diskrete Positionen definiert ist, ersetzen wir x = na und erhalten als endgültigen Lösungsansatz

(6.4)

Eingesetzt in die Bewegungsgleichung erhalten wir

-ω²eikna | = Ω 0²[1 ( ik(n- 1)a ik(n+1)a) 1 ikna] 4- e + e - 2e |  |
ω² | = 1 -- 2Ω₀²[ 1 ( )] 1 - -- eika + e-ika 2 |  |
| = 1- 2Ω₀²[1 - cos(ka)] |  |
| = Ω₀² sin ²ka --- 2 | (6.5)

Die Dispersionsbeziehung für die Feder-Masse-Kette ist

(6.6)

Für lange Wellen λ »a oder ka « 2π ist sin ka 2- ≈ka 2-. Damit ist ω(k) ≈Ω₀ka.
Mit der Definition der Phasengeschwindigkeit cP = ω∕k erhalten wir

Die Gruppengeschwindigkeit cG = ddωk ist

Für Wellen mit λ = λmin = 2a ist die Phasengeschwindigkeit

und die Gruppengeschwindigkeit

Für λ < 2a wird die Welle exponentiell gedämpft.

Wir können das Gefundene auf das Problem des Brechungsindexes wie folgt zurückrechnen:

Die Phasengeschwindigkeit cP ist für die Berechnung der Ausbreitung zu nehmen.

Die Phasengeschwindigkeit ist

Der dazugehörige Brechungsindex ist

wobei c₀ die Vakuumlichtgeschwindigkeit ist.

Mit k = 2π∕λ erhalten wir

Wir verwenden die Werte für Silikat-Flintglas und passen die obige Gleichung an.

___________________________________________________________________________

λ
nist
nberechnet

400 nm
1.660
1.655

450 n m
1.645
1.636

500 nm
1.630
1.622

550 n m
1.620
1.612

600 nm
1.610
1.605

650 n m
1.605
1.599

700 nm
1.600
1.595

Brechungsindex für Flintglas

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Diese Werte wurden mit den folgenden Parametern erreicht:

___________________________________________________________________________

Parameter
Wert

c₀
3·10⁸ m/s

k∕m
1.322·10¹⁵ s-2

oder mit k = 1 N/m: m
7.56·10⁻¹⁶ kg

a
7.24·10⁻⁸ m

Parameter für die Berechnung

_____________________________________________________________________

Die Werte für a und m sind grösser als die erwarteten Werte von a = 10⁻¹⁰ m und m = 1.6·10⁻²⁷ kg × 28 = 4.5·10⁻²⁶ kg. Der Wert für a deutet darauf hin, dass man nicht ein Atom für sich, sondern eine Gruppe von 724 Atomen betrachten muss. Die Masse in diesem Volumen wäre dann etwa m = 1.7·10⁻¹⁷ kg. Damit kann man berechnen, dass die Federkonstante k = 1.322·10¹⁵ s-2 × 1.7·10⁻¹⁷ kg = 0.023 N/m sein muss.

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Dispersionsrelation für Federketten mit zwei unterschiedlichen Atomen.

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Wenn eine Federkette mit einer regelmässigen Anordnung zweier ungleicher Massen gebildet wird, tritt zum von den vorherigen Ausführungen bekannten akustischen Zweig ein optischer Zweig. Zusätzlich gibt es Frequenzen, für die es keinen reellen k-Vektor gibt. Diese Frequenzen (oder über E = ℏω auch diese Energien) sind keine propagierenden Wellen möglich. Gibt es neben longitudinalen auch transversale Wellen, zeigt die Dispersionsrelation nicht einen sondern drei Zweige akustischer Phononen.

Schwerewellen im tiefen Wasser haben die Dispersionsbeziehung

(6.7)

Eine Konsequenz ist, dass sehr lange Wellen sehr schnell sind (Bsp. Tsunamis)

cS = 300 m/s

Dann ist λ = 2πcS²∕g ≈ 2·3·300·300∕10 = 54000 m

Ein Puls oder eine Wellengruppe besteht aus Wellen benachbarter Frequenz. Analog zur Modulation¹ besteht ein Puls aus einer Einhüllenden sowie einer Phase, die für sich aber keine Information trägt. Eine längere Rechnung[Kän78] ergibt, dass die resultierende Wellenfunktion aus harmonischen Welle ei(k₀x-ωt) sowie der Modulation G( | ) x - dω || t dk k0. Die resultierende Welle ist

(6.8)

Die Gruppengeschwindigkeit

(6.9)

Bei unserem Feder-Masse-System ist vG = 0 wenn λ = 2a ist. Das heisst, der Puls, der die Information trägt, ist ortsfest. Wenn vG nicht konstant ist, bewegen verändert sich die Form des Pulses, da die verschiedenen Frequenzanteile sich unterschiedlich schnell ausbreiten.

Versuch zur Vorlesung:

Gruppen- und Phasengeschwindigkeit bei Dispersion (Versuchskarte SW-093)

Lösungsmöglichkeiten

Dispersionskompensation. Sie ist aufwendig und wird hauptsächlich bei Kurzpuls-Lasersystemen angewandt.

Betrieb des Systems bei einer Wellenlänge, bei der die Dispersion minimal, also vG möglichst konstant ist. Dies wird bei der optischen Kommunikation angewandt (Wellenlängen 1300 nm und 1500 nm).

Man setzt die Datenrate auf niedrigere Werte, verbreitert also die Pulse und minimiert so die Fehler durch die Dispersion. Bis zu einer Verringerung der übertragenen Datenrate um den Faktor 2 kann der Geschwindigkeitsverlust meist durch die Anwendung von Kompressionsalgorithmen minimiert werden.

6.7  Spektrometer

Spektrometer gibt es in verschiedenen Ausführungen

Dispersive optische Elemente wie Prismen oder Gitter werden zur Trennung der verschiedenen Wellenlängen verwendet.

Resonatoren (Fabry-Perot-Resonator, Michelson-Interferometer, Lummer-Gehrcke-Platte) unterdrücken Teile des Lichtspektrums

Weitere Effekte wie akustische Wellen können zur höchstaufgelösten Spektroskopie verwendet werden.

Im Folgenden soll der Aufbau eines Spektrometers mit disperisiven optischen Komponenten erläutert werden.

Gemeinsames Charakteristikum aller dispersiver Bauelemente ist, dass eine ebene Welle um einen wellenlängenabhängigen Winkel α(λ) abgelenkt wird. Jedes Spektrometer muss also

das zu untersuchende Licht so präparieren, dass eine ebene Welle das dispersive Bauelement trifft und

nach dem Bauelement die Winkeländerung in eine Positionsänderung überführen, zur Detektion z.B. auf einer CCD-Zeile oder einem CMOS-Sensor.

6.7.1  Gitter-Spektrometer

Anhand eines Gitterspektrometers soll hier die Optik dieser Geräte diskutiert werden.

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Prinzipieller Aufbau eines Gitterspektrometers

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Abbildung 6.7.1 zeigt den prinzipiellen Aufbau eines Gitterspektrometers. Licht aus der zu untersuchenden Quelle (oder aus der zu untersuchenden Probe) wird mit einer Kondensorlinse auf einen Punkt (sphärische Linse) oder auf eine Linie (Zylinderlinse) abgebildet. Eine Blende (kreidförmiges Loch oder Spalt) lasst nur Licht aus dem zu untersuchenden Bereich durch. Mit einer weiteren Linse (sphärisch oder zylindrisch) wird das Licht aus der Blende parallelisiert. Dazu steht die Blende in der Fokusebene der Linse. Dieses parallele Licht wird durch das Gitter, unser dispersives Element, abgelenkt. Eine der höheren Ordnungen (grösser oder gleich eins), die ja aus parallelem Licht besteht wird durch eine weitere Linse (sphärisch oder zylindrisch) auf einen positionsempfindlichen Detektor abgebildet (z.B. eine CCD-Zeile oder ein Photodiodenarray).

Die parallelen Strahlen der verschiedenen Wellenlängen sind unterschiedlich stark zur optischen Achse geneigt. Das heisst, die Foci der verschiedenen Wellenlängen werden auf dem Detektor getrennt. Die Breite eines Fokuspunktes hängt von den Beugungserscheinungen an den Linsen, aber auch an dem Gitter ab.

Das grösste Objekt ist das Gitter selber. Wenn es eine Gitterkonstante g hat (Abstand der „Striche“) und N Linien, hat es eine Breite bGitter = Ng, ist also ein Spalt mit der Breite Gitter. Nach Gleichung (3.7) hat dann das Beugungsmuster die Form (siehe auch Abbildung 6.7.1)

(6.1)

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Beugung an einem Gitter mit der Gitterkonstante g = 20λ und n = 6 Gitterperioden, also einer Breite von 120λ.

_____________________________________________________________________

Die kleinste Struktur ist die einzelne Linie, die wir hier als Spalt der Breite a ≤g annehmen wollen. Wir können einen Füllfaktor sf definieren und schreiben:

(6.2)

Damit ist das Beugungsmuster einer einzelnen Gitterlinie, als Spalt modelliert (siehe auch Abbildung 6.7.1):

(6.3)

__________________________________________________________________________

Beugung an einem Einzelspalt mit der Breite g∕sf = 20∕2λ = 10λ.

_____________________________________________________________________

Schliesslich erzeugt ein Gitter eine periodische Struktur an den Winkeln (siehe auch Abbildung 6.7.1)

(6.4)

__________________________________________________________________________

Lage der Gitterordnungen, gezeigt mit den Beugungsbildern des ganzen Gitters mit Beugung an einem Einzelspalt mit der Breite g = 20λ n = 6 und sf = 2.

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Diese drei Komponenten ergeben dann das Beugungsbild eines realen Gitters. Dabei müssen die Amplituden phasenrichtig addiert werden. Wir nehmen hier an, dass an den Orten der Beugungsmaxima jeweils eine Komponente dominant ist, dass wir also in erster Näherung die Phasen vernachlässigen können und die Intensitäten addieren. Die breiteste Komponente ist die mit der kleinsten Strukturgrösse, also der Einzelspalt. Diese ergibt die Umhüllende.

Die schmälste Komponente ist der Spalt, der das ganze Gitter repräsentiert. Dieses Beugungsmuster wird an jeder Beugungsordnung des Gitters wiederholt.

Zusammen ergibt sich das Beugungsmuster des Gitters

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Beugungsmuster eines Gitters mit der Breite g = 20λ, n = 6 und sf = 2.

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Die folgende Abbildung 6.7.1 zeigt den Einfluss der Beugung an einem einzelnen Gitterelement.

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Beugungsmuster eines Gitters mit der Breite g = 20λ, n = 6 und sf = 3 mit einem Gitters mit der Breite g = 20λ, n = 6 und sf = 10.

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Schliesslich zeigt Abbildung 6.7.1 die Wirkung der Anzahl beleuchteter Gitterelemente.

__________________________________________________________________________

Beugungsmuster eines Gitters mit der Breite g = 20λ, n = 6 und sf = 3 mit einem Gitters mit der Breite g = 20λ, n = 20 und sf = 3.

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Aus Abbildung 6.7.1 kann ersehen werden, dass eine grössere Anzahl beleuchteter Gitterlinien die Linienbreite auf dem Detektor verringert. Deshalb ist es wichtig, ein Gitter immer voll auszuleuchten. Dies kann mit einer vorgeschalteten Optik erreicht werden.

Aus Abbildung 6.7.1 kann beobachtet werden, dass die Amplitude des ersten Beugungsmaximums von der Form und Beugung an einer Gitterperiode abhängt.

Jedes Gitter hat einen nutzbaren Spektralbereich. Wenn die zweite Ordnung einer Wellenlänge sich mit der ersten einer anderen Wellenlänge überlagert, können diese beiden Spektralkomponenten nicht mehr getrennt werden.

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Prismenspektrometer

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Abbildung 6.7.1 zeigt den gleichen Aufbau wie Abbildung 6.7.1, aber mit einem Prisma als dispersives Element. Die Argumentation zur Begründung des optischen Aufbaus ist die gleiche wie beim Gitterspektrometern.

Prismenspektrometer haben Vorteile gegenüber Gitterspektrometern

Im Gegensatz zu einem Gitter gibt es nur eine, abgelenkte Ordnung.

Es gibt keine Vermischung verschiedener Ordnungen, und deshalb potentiell einen sehr grossen freien Spektralbereich.

Durch die Wahl des Materials kann die Dispersion und damit die Wellentrennung eingestellt werden.

Prismen sind weniger anfällig auf Oberflächenschäden wie Gitter.

Die Beugung an den Linsenaperturen oder am Prisma beschränkt die mögliche Auflösung

Prismenspektrometer haben aber auch Nachteile:

Licht geht durch Materie, das heisst das die Materialeigenschaften wie Absorption die möglichen Wellenlängen einschränken

Bei Gittern kann die Dispersion über den Gitterabstand g in sehr weiten Bereichen eingestellt werden. Dies geht bei Prismen nicht.

Die Wellenlängenauflösung kann durch Verwenden höherer Ordnungen verbessert werden.

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Schematische Darstellung eines Gitter-Reflexionsspektrometers. Die Lampe und Linse vor dem Eingangsspalt sind symbolisch zu verstehen und stellen die Quelle dar.

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Beide diskutierten Aufbauten in den Abbildungen 6.7.1 und 6.7.1 verwenden Linsen als optische Elemente. Die Probleme der Absorption, wie Sie für Linsen angesprochen wurden, gelten natürlich auch für die Linsen. Deshalb verwenden viele Spektrometer Spiegel und reflektierende Gitter, wie in Abbildung 6.7.1 schematisch gezeigt.

Licht tritt durch einen Eintrittsspalt, der sich im Fokus eines sphärischen Spiegels befindet in das Spektrometer ein. Deshalb erzeugt der obere Spiegel paralleles Licht, das an einem Reflexionsgitter gebeugt und reflektiert wird. Die Erste Ordnung wird durch die Form des Gitters unterdrückt (siehe Blaze-Gitter im Abschnitt 3.12.1). Das Gitter lenkt nun verschiedene Farben in verschiedene Richtungen. Der untere Spiegel fokussiert nun die ebenen Wellen mit unterschiedlichen Richtungen auf die Ebene des Austrittsspaltes. Nur ein kleiner Wellenlängenbereich gegeben durch die Breite des Austrittsspaltes wird zum Detektor zugelassen. Dieser Detektor kann eine Fotodiode, eine Avalanchediode [Mar09, 3.3.5.1, pp. 176-177] oder ein Photomultiplier [Mar09, 4.2.5.1, pp. 317-318] sein. Die Wellenlänge wird nun ausgewählt, indem das Gitter gedreht wird.

Spektrometer wie das in Abbildung 6.7.1 gezeigte enthalten ausser dem Gitter keine dispersiven Elemente und, da nur mit Reflexion gearbeitet wird, zuerst auch keine absorptiven Bauteile. Die Absorption in Luft (z.B. durch Wasser) kann umgangen werden, indem das Spektrometer evakuiert wird. Dieser Typ Spektrometer kann auch im Ultravioletten oder im fernen Infrarot, ja sogar für Terahertz-Strahlung verwendet werden.

Das oben gezeigte Gitterspektrometer ist hervorragend geeignet, mit höchster zeitlicher Auflösung die Intensität bei einer Wellenlänge zu bestimmen. Spektren hingegen brauchen lange Zeit, können aber bei zeitlich konstanten Quellen mit sehr hohem Signal-Rausch-Verhältnis gemessen werden.

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Schematische Darstellung eines Gitter-Reflexionsspektrometers. Die Lampe und Linse vor dem Eingangsspalt sind symbolisch zu verstehen und stellen die Quelle dar. Dies ist eine Modifikation des Spektrometers aus Abbildung 6.7.1.

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Beim Spektrometer in der Abbildung 6.7.1 wurde der Austrittspalt (siehe Abbildung 6.7.1) durch einen Zeilendetektor (z.B. ein Kamerachip) ersetzt. Damit kann wie in den Spektrometern in den Abbildungen 6.7.1 und 6.7.1 das Spektrum als ganzes gemessen werden. Das Gitter steht nun fest, oder wird nur noch zur Wahl des Wellenlängenbereichs gedreht.

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Ein kommerzielles Gitterspektrometer, wie es im Labor des Instituts für Experimentelle Physik an der Universität Ulm verwendet wird.

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Diese Art Gitterspektrometer kann auch hochintegriert hergestellt werden.

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Schematische Darstellung eines integrierten Gitter-Reflexionsspektrometers. Dies ist eine Modifikation des Spektrometers aus Abbildung 6.7.1.

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Das Spektrometer aus Abbildung 6.7.1 ist gleich aufgebaut wie das aus Abbildung 6.7.1. Alles wird auf einen Glasblock aufgebracht, dessen Aussenwände als Spiegel (mit einer Metallbedampfung) oder als Gitter (auch mit einer Metallbedampfung) strukturiert sind. Licht wird mit einer Glasfaser zugeführt. Deren Öffnung ist dabei die Eintrittsöffnung. Ebenso wird der Zeilendetektor direkt am Glaskörper befestigt. Die ganze Struktur kann, wenn gewünscht vergossen werden.

7  Resonatoren und ihre Lichtmoden

7.1  Matrixformulierung der Lichtpropagation

Literatur

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 371]) (Siehe Yariv, Quantum Electronics [Yar75, pp. 99])

Zur Behandlung von Resonatoren verwenden wir die Matrixdarstellung der Lichtausbreitung paraxialer Strahlen in einer zylindersymmetrischen Anordnung. Die Lage des Lichtstrahls wird durch den Vektor

(7.1)

wobei z die Koordinate entlang der optischen Achse ist. Die Wirkung eines optischen Elementes wird durch eine Matrix A beschrieben

(7.2)

7.1.1  Lichtpropagation entlang eines Lichtstrahls

Für eine Gerade haben wir die Geradengleichung

(7.3)

Wir kennen r(z₀) und r′(z₀) sowie z₁ = z₀ + d und haben dann

r(z₀) | = r′(z₀)·z₀ + r(0) | (7.4a)
r(z₁) | = r′(z₁)·z₁ + r(0) | (7.4b)
r′(z₁) | = r′(z₀) | (7.4c)
r(z₁) | = r′(z₀)·(z₀ + d) + r(0) | (7.4d)
| = r′(z₀)·d + ′ (r(z0)·z0 + r (0 )) = r′(z₀)·d + r(z₀) |  |
( ) r(z1) r′(z ) 1 | = ( ) 1 d 0 1( ) r (z0) r′(z ) 0 | (7.4e)

7.1.2  Lichtpropagation durch eine Linse

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Skizze zur Berechnung der Linsenmatrix

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In Abbildung 7.1.2 ist der Strahlengang von einem Gegenstand mit der Gegenstandshöhe G im Abstand g von der Linse zu einem Bild mit der Bildhöhe B < 0 im Abstand b zur Linse aufgezeichnet. Wir interessieren uns für den grünen Strahl mit der ursprünglichen Steigung rg′. Gesucht ist die Steigung rb′ an der Linse im Abstand r = rg = rb.

Wir können die folgenden Gleichungen aufstellen:

1 g- + 1 b- | = 1 f-=⇒1 b- = 1 f- -1 g-     Linsengleichung | (7.5a)
b g- | = B G-= ⇒B b- = G -g     Vergrösserung | (7.5b)
r | = rg′g + G= ⇒rg′ = r - G ------ g | (7.5c)
r + rb′b | = -B= ⇒rb′ = -r- b -B- b = -r- b + G- g | (7.5d)
| = -r- f + r- g -G- g = -r- f + r +-G- g = -r- f + rg′ | (7.5e)
( ) rb rb′ | = ( ) 1 0 - 1 1 f( ) rg r′g | (7.5f)

7.1.3  Lichtpropagation durch eine gewölbte Grenzschicht

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Skizze zur Berechnung der Matrix für eine gewölbte Grenzfläche

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In Abbildung 7.1.3 betrachten wir zuerst Winkelbeziehungen

γ + α | = π - (π -δ) = δ | (7.6a)
β + ε | = δ | (7.6b)
α | = δ -γ | (7.6c)

und die weiteren Beziehungen

n₁ sin α | = n₂ sin β | paraxiale N äherung =⇒ |  | n₁α | = n₂β | (7.7a)
sin δ | = -r R | paraxiale= N⇒ äherung |  | δ | = r- R | (7.7b)
r₁′ | = tan γ | paraxiale= N⇒ äherung |  | r₁′ | = γ | (7.7c)
r₂′ | = tan ε | paraxiale= N⇒ äherung |  | r₂′ | = ε = δ -β | (7.7d)
r₂′ | = -r R -n1- n2α | = r- R -n1- n2(δ - γ) |  |  |  | (7.7e)
| = -r R -n1- n 2( r- ′) R - r1 |  |  |  |  |  |
r₂′ | = r -- R( n ) 1 - -1- n2 + n -1- n2 |  |  |  |  | (7.7f)
r₁′ | = -r R( ) n2---n1- n2 + n1- n2 |  |  |  |  | (7.7g)
r | = r₁ = r₂ |  |  |  |  | (7.7h)

und damit

(7.8)

und mit R →∞ auch für eine ebene Grenzfläche senkrecht zur optischen Achse

(7.9)

7.1.4  Lichtpropagation durch eine schräge Grenzschicht

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Skizze zur Berechnung der Matrix für eine schräge Grenzfläche

_____________________________________________________________________

Wir betrachten in Abbildung 7.1.4 eine Grenzfläche zwischen Medien mit n₁ und n₂, die um den Winkel δ gegen die Normale auf die optische Achse geneigt ist.

Wir haben die folgenden Beziehungen:

β | = ε + δ |  |  |  |  | (7.10a)
α | = γ + δ |  |  |  |  | (7.10b)
r₁′ | = tan(γ) | paraxial=e⇒ Näherung |  | r₁′ | = γ | (7.10c)
r₂′ | = tan(ε) | paraxial=e⇒ Näherung |  | r₂′ | = ε | (7.10d)
n₁ sin(α) | = n₂ sin(β) | paraxial=e⇒ Näherung |  | n₁α | = n₂β | (7.10e)
ε | = β -δ = n1- n2α -δ |  |  |  |  | (7.10f)
| = n1- n2(γ + δ) -δ |  |  |  |  |  |
| = n --1 n2r₁′ + n - n --1----2 n2δ |  |  |  |  |  |

Diesmal gibt es zur Matrixgleichung noch einen konstanten Term

(7.11)

Für δ = 0 erhalten wir das Resultat für eine Grenzfläche senkrecht zur optischen Achse.

7.1.5  Lichtpropagation bei Reflexion an einem gewölbten Spiegel

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Skizze zur Berechnung der Matrix für einen Spiegel.

_____________________________________________________________________

Nach der Abbildung 7.1.5 gelten die folgenden Winkelbeziehungen:

γ + α | = δ |  |  |  |  | (7.12a)
γ + 2α | = β |  |  |  |  | (7.12b)
β | = 2δ -γ |  |  |  |  | (7.12c)
sin(δ) | = r- R | paraxiale=⇒Näherung |  | δ | = r- R | (7.12d)

Mit den Beziehungen r₁′ = tan(γ) ≈γ und -r₂′ = tan(β) ≈β erhalten wir

(7.13)

und

(7.14)

7.1.6  Lichtpropagation bei einem Indexmedium

Wir betrachten hier nach Yariv [Yar75, pp. 106] ein sogenanntes quadratiesches Indexmedium, also ein Medium, das die folgende Variation des Brechungsindexes hat

(7.15)

Mit dem Fermatschen Prinzip in differentieller Schreibweise

(7.16)

kann die Trajektorie des Lichtstrahls ausgerechnet werden. Dabei ist s die Weglänge entlang des Lichtstrahls. Bei paraxialen Strahlen kann d∕ds durch d∕dz ersetzt werden.

(7.17)

Da n nicht von z abhängt, ist auch

(7.18)

Nehmen wir nun weiter an, dass k2 2k(x² + y²) « 1 ist, so können wir schreiben:

(7.19)

Uns interessiert nur der Abstand r = |r|. Da n₀ > 0 ist, kann es eliminiert werden. Damit erhalten wir die Differentialgleichung für paraxiale Strahlen

(7.20)

Wenn der Strahl am Eingang die Position r₀ und die Steigung r₀′ hat, ist die Lösung

r(z) | = cos ( ∘ ---) ( k2-) k zr₀ + ∘--- k-- k2 sin ( ∘ ---) ( k2-) k zr₀′ | (7.21a)
r′(z) | = -∘ --- k2 --- k sin ( ∘--- ) k2 ( --z) kr₀ + cos ( ∘ ---) k2 ( --z) kr₀′ | (7.21b)

Wir haben also für ein quadratisches Indexmedium mit k₂ > 0 der Länge ℓ

(7.22)

Wenn k₂ < 0 ist, wenn wir also eine Zerstreuungslinse haben, bekommen wir

r(z) | = cosh ( ∘ --- ) ( k2z) kr₀ + ∘ --- -k- k2 sinh ( ∘ ---) ( k2z) kr₀′ | (7.23a)
r′(z) | = ∘ --- k2 --- k sinh ( ∘ --- ) k2 ( --z) kr₀ + cosh ( ∘ ---) k2 ( --z) kr₀′ | (7.23b)

Wir haben also für ein quadratisches Indexmedium mit k₂ < 0 der Länge ℓ

(7.24)

7.1.7  Zusammenfassung Lichtpropagation

___________________________________________________________________________

GeradeStrecke

Dünne Linse, Brennweite f (f > 0: Sammellinse, f < 0: Zerstreuungslinse

Dielektrische Grenzschicht mit den Brechungsindizes n₁ und n₂

Sphärische dielektrische Grenzschicht mit Krümmungsradius R und den Brechungsindizes n₁ und n₂

Sphärischer Spiegel mit dem Krümmungsradius R

GeradeStrecke

Matrizen für die Strahlausbreitung

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

Linsenübertragungsstrecke als Modell für einen Laserresonator.

_____________________________________________________________________

Der Strahl von der n-ten zur n + 1-ten Linse ist durch

(7.25)

Wir haben dann eine Lichtausbreitung in einem Resonator, wenn die Strahllage nach der n + 2-ten Linse gleich wie nach der n-ten ist. Daraus folgt

(7.26)

Ausmultipliziert erhalten wir

(7.27)

Um eine Resonatormode zu bekommen muss raus = rein sein. Wir setzen

Damit bekommen wir auch

Wir lösen die erste Gleichung nach rn′ auf und erhalten

(7.30)

Diese Gleichung schreiben wir um 2 verschoben hin und bekommen

(7.31)

Wir setzen diese Resultate in die zweite Gleichung (7.29) ein und erhalten

(7.32)

Durch ausrechnen erhält man, dass AD -BC = 1 ist. Wenn wir b = 1 2(A + D ) = ( ) 1 - d-- d-+ -d2- f2 f1 2f1f2 setzen, können wir schreiben

(7.33)

Diese Differenzengleichung ist formal äquivalent zu einer Differentialgleichung vom Typ ¨r+kr = 0¹ Die Lösung der Differentialgleichung ist r(z) = r(0) exp [ √ --] ±i kz. Deshalb setzen wir in die Differenzengleichung den Ansatz rs = r₀ exp [isΘ ] mit s = 2n ein und erhalten

(7.34)

Die Lösung ist

(7.35)

Mit b = cos Θ und daraus ------ √ 1 - b2 = sin Θ ist die obige Gleichung erfüllt. Die allgemeine Lösung ist also

(7.36)

mit rmax = r₀∕ sin δ. Damit wir eine stabile Lösung haben, muss Θ reell sein. Daraus folgt

(7.37)

Aus der Definition von b folgt²

7.1.8  Stabilität

Wenn wir die neuen normierten Koordinaten g₁ = 1 -d∕(2f₁) und g₂ = 1 -d∕(2f₂) einführen, heisst die Stabilitätsbedingung

(7.39)

__________________________________________________________________________

Stabilitätsdiagramm für Strahlführoptiken mit Linsen. Die gelbliche Farbe zeigt die instabilen Bereich, die türkis-Farbe die stabilen.

_____________________________________________________________________

Das obige Stabilitätsdiagramm kann auch für Spiegel berechnet werden, indem man f = R∕2 setzt, wobei R der Krümmungsradius des Spiegels ist.

__________________________________________________________________________

Das Stabilitätsdiagramm für Spiegelresonatoren.

_____________________________________________________________________

Versuch zur Vorlesung:

Laser (Versuchskarte AT-052)

7.2  Resonatoren mit sphärischen Spiegeln

Literatur

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 893])

__________________________________________________________________________

Konzentrischer Resonator

_____________________________________________________________________

Beim konzentrischen Resonator ist R₁ = R₂ = ℓ∕2. Damit liegt dieser Resonator auf der Diagonale des Stabilitätsdiagramms am Punkt (2, 2) an der Grenze zur Instabilität.

__________________________________________________________________________

Konfokaler symmetrischer Resonator.

_____________________________________________________________________

Beim konfokalen Resonator ist ℓ = R₁ = R₂. Dieser Resonator liegt am Punkt (1, 1) und ist auch an der Grenze zu instabilen Regionen.

__________________________________________________________________________

Resonator mit planparallelen Spiegeln.

_____________________________________________________________________

Der planparallele Resonator ist ein Sonderfall der sphärischen Resonatoren mit R₁ = R₂ = ∞. Dieser Resonator, der an der Stabilitätsgrenze bei (0, 0) liegt, ist heute der am häufigsten vorkommende Resonator: praktisch jede Laserdiode besteht aus einem planparallelen Resonator.

7.3  Gausssche Strahlen

Literatur

(Siehe Yariv, Quantum Electronics [Yar75, pp. 106])

Als Vorstufe betrachten wir die durch eine Linse induzierte abstandsabhängige Phasendifferenz für paraxiale Strahlen. Die Linsenkrümmung sei R. Die x,y-Ebene sei senkrecht zur optischen Achse. Dann ist die Dicke der Sammellinse durch d(x,y) = d₀ - (x² + y²)∕2R 1 - (x² + y²)∕2R 2 gegeben. Der optische Weg setzt sich dann aus s = sLinse(r) + sLuft(r) zusammen. Die Zeit, die Das Licht für das durchlaufen dieser Strecke benötigt ist

(7.1)

Mit sLuft = s₀ -sLinse und unter Weglassung aller konstanten Terme bekommt man

(7.2)

Mit 1∕f = (n - 1)(1∕R₁ + 1∕R₂) ist das Resultat

(7.3)

Wenn wir mit EL(x,y) die Amplitudenverteilung links von der Linse und mit ER(x,y) die Verteilung rechts von der Linse beschreiben, gilt

(7.4)

Den gleichen Effekt erreicht man mit einem Medium, das die folgende Variation des Brechungsindexes hat

(7.5)

Das Resultat aus Abschnitt 7.1.6 lautet

r(z) | = cos ( ∘ --- ) k2 ( --z ) kr₀ + ∘ --- k --- k2 sin ( ∘ --- ) k2 ( ---z) kr₀′ | (7.6a)
r′(z) | = -∘ --- k2- k sin ( ∘ ---) ( k2z) kr₀ + cos ( ∘ --- ) ( k2z ) kr₀′ | (7.6b)

Aus der Elektrizitätslehre folgt (ohne Ableitung), dass für das elektrische Feld

(7.7)

gilt. Wir beschränken uns auf den Fall wo k²(r) = k² -kk 2r² gilt. Der Laplace-Operator in Zylinderkoordinaten für Funktionen, die nur von r = √ -2----2- x + y abhängen, ist

(7.8)

Wir verwenden die Abkürzung ∇t² = ∂2- ∂r2 + 1 r∂- ∂r. Weiter setzen wir an:

(7.9)

und erhalten

(7.10)

Wenn die Intensität entlang z sich nur wenig ändert (k(∂ψ∕∂z) » ∂²ψ∕∂z² « k²ψ, ist, können wir für ψ ansetzen

(7.11)

Wir setzen dies ein und bekommen

(7.12)

Da dies Gleichung für alle r gelten soll, müssen die Koeffizienten der verschiedenen Potenzen von r einzeln verschwinden. Also ist

In einem homogenen Medium ist k₂ = 0 so dass wir die Gleichung

(7.14)

erhalten. Wir definieren die Funktion s(z) über

(7.15)

Durch Einsetzen sehen wir, dass

(7.16)

Damit muss s(z) = az + b sein. Somit ist Q

(7.17)

Bequemer ist es im weiteren, wenn wir die Funktion

(7.18)

verwenden. Diese hat die Form

(7.19)

Wir setzen Q(z) in die Gleichung für P(z) ein und erhalten

Wir nehmen an, dass q₀ rein imaginär ist. Dann gilt für die örtliche Amplitudenverteilung

(7.21)

Wir setzen q₀ := iπω2n --0λ-, berücksichtigen λ = 2πn∕k und verwenden die Identität ln(a + ib) = ln √ ------- a2 + b2 + i arctan(b∕a) und erhalten für den ersten Term im obigen Produkt

(7.22)

Der zweite Term wird

(7.23)

Die folgenden Definitionen sind üblich

Die Parameter haben die folgende Bedeutung:

ω(z)
Der halbe Strahldurchmesser an der Position z

R(z)
Der Krümmungsradius der Wellenfront an der Stelle z

η(z)
Phasenfaktor

z₀
Ort der maximalen Krümmung der Wellenfront

Mit dieser abgekürzten Schreibweise wird

(7.28)

Weiter ist

(7.29)

Die Grösse 1∕q(z) beschreibt die Gaussschen Strahlen. Der Realteil gibt den Krümmungsradius der Wellenfronten, der Imaginärteil den Strahldurchmesser.

Die Grösse q(z) ist deshalb sehr wichtig, weil mit Hilfe der Transfermatrizen q(z) propagiert werden kann. Die Transfermatrizen geben deshalb auch die Änderung der Strahlform durch optische Elemente an.

7.3.1  Divergenz und Strahldurchmesser

Literatur

(Siehe Yariv, Quantum Electronics [Yar75, pp. 106])

Die obigen Parameter haben die folgende Bedeutung

7.3.1.1. ω(z) und ω₀

Die transversale Amplitudenverteilung folgt einer Gausskurve, wie man aus dem Term exp[r²∕ω²(z)] ersehen kann. ω(z) ist die Distanz zur optischen Achse, bei der die Intensität um den Faktor e vom Maximum abgefallen ist. ω₀ beschreibt den minimalen Strahldurchmesser.

7.3.1.2. R(z)

R(z) ist der Krümmungsradius der Wellenfronten. Aus R(z) = z( z2) 1 + 0z2- ist ersichtlich, dass lim z→0R(z) = ∞ ist. Damit nähern Gausssche Wellen im Fokus eine ebene Welle an. Ebenso ist lim z→±∞R(z) = ±∞. Auch für sehr grosse Distanzen sind Gausssche wellen eine gute Approximation für ebene Wellen.

7.3.1.3. Öffnungswinkel

Weit weg vom minimalen Strahldurchmesser kann ein Gaussscher Strahl durch einen Öffnungswinkel

(7.30)

beschrieben werden. Es gilt deshalb die folgende Gleichung

(7.31)

die formal äquivalent zur Unschärferelation ist. Damit ist klar, dass ein kleinerer Brennfleck unweigerlich einen grösseren Öffnungswinkel bedeutet. In einer nullten Approximation sieht man auch, dass ω₀ ≥πλ2n- sein muss.

7.3.2  Wirkung optischer Elemente auf Gausssche Strahlen

Die Transformation eines Gaussschen Strahls mit optischen Elementen, die durch die Matrix

charakterisiert sind, wird durch

(7.32)

beschrieben. Zum Beispiel wirkt eine Linse mit der Brennweite -f, also der Matrix

so auf einen Gaussschen Strahl

(7.33)

Wir nehmen den Kehrwert und bekommen

(7.34)

Mit der Definition 1∕q = 1∕R + iλ∕(πnω²) wird die Gleichung

(7.35)

Diese Gleichung muss für den Real- und den Imaginärteil separat erfüllt sein. Also haben wir

1 R-- 2 | = 1 R-- 1 -1 f- |  | (Realteil) |  |  |  |
ω₁ | = ω₂ |  | (Imaginärteil) | (7.36)

Wenn zwei optische Elemente mit den Matrizen

und

hintereinander geschaltet, ist das Resultat durch

gegeben. Die Analyse dieser Gleichung zeigt, dass für die Koeffizienten auch

(7.38)

gilt. Damit gelten für Gausssche Strahlen die gleichen mathematischen Formeln für die Berechnung von optischen Systemen wie bei Lichtstrahlen.

__________________________________________________________________________

Fokussierung eines Gaussschen Strahls.

_____________________________________________________________________

In der Eingangsebene 1 ist R₁ = ∞ und ω = ω₀₁. Dann ist

(7.39)

In der Ebene 2 ist

(7.40)

Damit ist

(7.41)

wobei a = 1∕f und b = λ∕(πω₀₁²n). In der Ebene 3 ist

(7.42)

Nun muss in der Ebene 3 auch gelten

(7.43)

In der Ebene 3 soll der Durchmesser minimal sein, also ist R₃ = ∞. Damit muss in der obigen Gleichung der Realteil null sein. Damit ergibt sich die Bedingung

(7.44)

Und damit ist auch der Ort des Strahlminimums gegeben. Der neue Strahldurchmesser ist

(7.45)

Der Parameter z₀ ist der konfokale Parameter, der angibt, in welcher Distanz vom Strahlminimum der Strahldurchmesser um √-- 2 zunimmt. Der Wert des konfokalen Parameters ist

(7.46)

7.3.3  Moden

Literatur

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 881]) (Siehe Yariv, Quantum Electronics [Yar75, pp. 118])

Versuch zur Vorlesung:

Laser (Versuchskarte AT-052)

Die Gaussschen Strahlen sind die Grundmode von Laserstrahlung. Sie zeichnen sich dadurch aus, dass sie keine Knotenlinie hat. Es existieren weiter Moden, die durch die Anzahl Knotenlinien in horizontaler und vertikaler Richtung charakterisiert sind. Die möglichen Moden sind durch die Randbedingungen vorgegeben. So erzeugt eine vertikale Störung durch die Resonatorachse eine Mode mit zwei Maxima, die durch eine vertikale Knotenlinie getrennt sind.

Im folgenden werden Messungen von Moden gezeigt, die im Institut für Experimentelle Physik an vertikal emittierenden Laserdioden (VCSEL) aus der Abteilung Optoelektronik gemessen wurden.

__________________________________________________________________________

Aufbau der Nahfeld-Messeinrichtung für Modenverteilungen. (Zeichnung von Markus Fischer[Fis97]).

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

Nahaufnahme von Glasfaser-Nahfeldsonden. (Daten gemessen von Markus Fischer[Fis97]).

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

Transmission von Nahfeld-Glasfasersonden. (Schaubild gezeichnet von Markus Fischer[Fis97]).

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

Wellenleitermoden für elliptische Wellenleiter. Links sind die Bezeichnungen, dann die Anordnung der elektrischen Felder und schliesslich die Intensitätsmuster gezeigt. (gezeichnet nach [Dyo95].)

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

Diese Aufnahme zeigt Moden bei relativ geringen Strömen. Deshalb können nur die Grundmode sowie noch wenige Oberwellen anschwingen. Die Modenform wird durch die Verunreinigungen auf den Laserspiegeln (rechts sichtbar) hervorgerufen. In der Unteren Reihe ist der Analysator für die Polarisation um π∕2 gedreht worden. Die beiden Reihen zeigen also die beiden orthogonalen Polarisationszustände des Lichtes. (Daten gemessen von Markus Fischer[Fis97]).

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

Bei ähnlichem Strom hängen die möglichen Moden auch vom Durchmesser des Resonators ab. Dieser Resonator ist grösser als der im vorherigen Bild. (Daten gemessen von Markus Fischer[Fis97]).

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

Hier ist der Strom bei gleicher Geometrie grösser als im vorherigen Bild. Entsprechend schwingen mehr Moden an. Beachten Sie, dass die Knotenlinien von Moden mit einer orthogonalen Polarisation auch orthogonal sind. (Daten gemessen von Markus Fischer[Fis97]).

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

Dieser Laserresonator hat den grösseren Durchmesser als der vorherige. Da auch der Injektionsstrom grösser ist, schwingen hier sehr viele Moden an, die zum Teil auch nicht mehr identifiziert werden können. (Daten gemessen von Markus Fischer[Fis97]).

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

Hier wird gezeigt, dass die Sonde, hier ”Spitze” genannt, keinen Einfluss auf die Messung hat. (Daten gemessen von Markus Fischer[Fis97]).

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

Wie bei allen Messmethoden gibt es auch hier Artefakte. So führen hier Rückwirkungen auf den Laser zu einer optisch sonst nicht erklärbaren Streifenbildung. (Daten gemessen von Markus Fischer[Fis97]).

_____________________________________________________________________

Nach Yariv[Yar75, 118] genügen die Moden in rechteckförmigen Wellenleiter

wobei Hℓ das Hermitsche Polynom ℓ-ten Grades ist und die anderen Grössen wie bei den Gaussschen Strahlen definiert sind.

A.  Bestimmung des Polarisationszustandes

A.1  Rechnung mit Jones-Matrizen

Diese Rechnung ist für vollständig polarisiertes Licht.

Wir beziehen uns hier auf die Abbildung 4.4.5.2. Für die Verzögerungsplatte (Phasenverzögerung δ) im Winkelβ setzen wir im Jones-Formalismus an

(A.1)

Der um α gedrehte Polarisator ist durch

(A.2)

beschrieben. Mit dem vollständig polarisierten Eingangsfeld

(A.3)

bekommen wir für eine λ∕4-Verzögerungsplatte (δ = π∕2)

(A.4)

Eingesetzt und ausgerechnet ergibt dies

(A.5)

Die resultierende Intensität ist dann

Ires(α,β ) = KEresEres * 1 ( = -- E2y - 2EyEz sin(ϕ) sin(2(α - β )) 2 ) + cos(2 (α - β))(2EyEz sin(2β )cos(ϕ) + cos(2 β)(Ey - Ez )(Ey + Ez)) + E2z

(A.6)

Nach dem Rezept aus Abschnitt 4.4.5.2 messen wir

Ires(0, 0) | = KEy² | (A.7a)
Ires(π- 2, 0) | = KEz² | (A.7b)
Ires(π 4-, 0) | = K 2--( 2 2 ) Ey + E z - 2EyEz sin(ϕ) | (A.7c)
Ires(-π -- 4, 0) | = K --- 2( ) E2y + E2z + 2EyEz sin(ϕ) | (A.7d)
Ires(π- 4,π- 4) | = K-- 2( 2 2 ) Ey + E z + 2EyEz cos(ϕ) | (A.7e)
Ires(-π -- 4,π -- 4) | = K --- 2( ) E2y + E2z - 2EyEz cos(ϕ) | (A.7f)

Daraus ergeben sich dann die Beziehungen aus Abschnitt 4.4.5.2

Ires(0, 0) + Ires(π- 2, 0) | = K( 2 2) Ey + E z | (A.8a)
Ires(0, 0) -Ires(π- 2, 0) | = K( 2 2) Ey - E z | (A.8b)
Ires(π -- 4,π -- 4) -Ires(-π -- 4,π -- 4) | = 2KEyEz cos(ϕ) | (A.8c)
Ires(π -- 4, 0) -Ires(-π -- 4, 0) | = -2KEyEz sin(ϕ) | (A.8d)

A.2  Rechnung mit Müller-Matrizen

Die Rechnung mit Müller-Matrizen verläuft analog zur Rechnung mit Jones-Matrizen, nur dass über den Polarisationsgrad nichts angenommen werden muss.

Wir haben nach [Gol03] für eine Verzögerungsplatte (Phasenverzögerung δ) im Winkelβ die Müller-Matrix

(A.1)

Der um α gedrehte Polarisator ist durch die Müllermatrix

(A.2)

gegeben. Als Eingangs-Stokes-Vektor nehmen wir

(A.3)

an. Der resultierende Stokes-Vektor S₁ ist dann

(A.4)

Wir setzen δ = π∕2 (λ∕4-Platte) und bekommen

(A.5)

Nach dem Rezept aus Abschnitt 4.4.5.2 messen wir

S0,0 = S₁(0, 0) | = 1 2-( ) I + Q I + Q 0 - UT | (A.6a)
Sπ∕2,0 = S₁( ) π,0 2 | = 1- 2(I - Q - I + Q 0 - U )T | (A.6b)
Sπ∕4,0 = S₁( ) π- 4,0 | = 1- 2( ) I + V 0 I + V - UT | (A.6c)
S-π∕4,0 = S₁( π ) - -,0 4 | = 1 -- 2( ) I - V 0 - I + V - UT | (A.6d)
Sπ∕4,π∕4 = S₁(π π ) --,-- 4 4 | = 1 -- 2( ) I + U 0 I + U QT | (A.6e)
S-π∕4,π∕4 = S₁( ) - π-, π 4 4 | = 1- 2( ) I - U 0 - I + U QT | (A.6f)

Die erste Komponente eines Stokes-Vektors ist die Intensität, also die Grösse, die mit einer Fotodiode, einem analogen Film oder einer sonstigen Energiemessung bestimmt werden kann. Wenn wir nun nach dem Rezept aus Abschnitt 4.4.5.2 die folgenden Summen und Differenzen bilden, erhalten wir zuerst die Stokes-Vektoren und dann die gemessenen Intensitäten

S0,0 + Sπ∕2,0 | = ( ) I Q 0 - UT = ⇒ | I Fotodiode = ( ) S + S 0,0 π∕2,0 (1) | = I | (A.7a)
S0,0 -Sπ∕2,0 | = (Q I 0 0)T =⇒ | I Fotodiode = (S - S ) 0,0 π∕2,0 (1) | = Q | (A.7b)
Sπ∕4,π∕4 -S-π∕4,π∕4 | = ( ) U 0 I 0T =⇒ | I Fotodiode = ( ) S - S π∕4,π∕4 -π∕4,π∕4 (1) | = U | (A.7c)
Sπ∕4,0 -S-π∕4,0 | = ( ) V 0 I 0T = ⇒ | I Fotodiode = ( ) S π∕4,0 - S- π∕4,0 (1) | = V | (A.7d)

Damit ist der Stokes-Vektor und damit der Polarisationsgrad und der Polarisationszustand gemessen.

B.  Einige notwendige mathematische Verfahren

B.1  Vektoren

beschreiben Orte oder gerichtete Grössen

__________________________________________________________________________

Definition von Vektoren. r ist ein Ortsvektor, v der Geschwindigkeitsvektor.

_____________________________________________________________________

Die Ableitung nach der Zeit wird auch als

geschrieben.

Addition:

(B.1)

Versuch zur Vorlesung:

Kraft-Polygon (Versuchskarte M-28)

Länge eines Vektors

(B.2)

Skalarprodukt

(B.3)

der Einheitsvektor ex ist ein Vektor der Länge 1, der in die x-Richtung zeigt.

Vektorprodukt

(B.4)

B.1.1  Gesetze

Für die Orientierung der Vektoren gilt:

(B.5)

(B.6)

(B.7)

B.1.1.1. Spatprodukt

(B.8)

Das Spatprodukt berechnet das Volumen des durch a,b,c aufgespannten Spates.

B.1.1.2. Orthogonalität zweier Vektoren testen

Gegeben seien zwei Vektoren a und b. Die Projektion von a auf b, das heisst, die Komponente von a in die Richtung von b ist

(B.9)

In kartesischen Koordinaten heisst dies

(B.10)

Beispiel:

Sei a = (3,2, - 2) und b = (- 2,0,1). Dann ist

Beispiel:

Sei a = (3,2, - 2) und b = (0,0,1). Dann ist

Dies ist die z-Komponente von a.

B.2  Differentiation und Integration

B.2.1  Einige Reihen

___________________________________________________________________________

Funktion
Potenzreihe
Konvergenz

(1 ±x)m
1 ±mx + m-(m--1) 2!x² ±m(m--1)(m--2) 3! + …
|x|≤ 1

+(±1)nm(m--1)...(m--n+1) n!xn + …

sin(x + Δx)
sin(x) + Δx- 1! cos(x) + (Δx)2- 2!f′′(x) + …
|Δx|< ∞

+n (Δx(n))!- sin(x + π2n) + …

cos(x + Δx)
cos(x) - Δx sin(x) -2 Δx-cos(x) 2! + 3 Δx-sin(x) 3!
|Δx|< ∞

+Δx4 cos(x) ---4!--- -… + Δxn cos(x+nπ2 ) -----n!----- ±…

tan x
x + 1 3x³ + -2 15x⁵ + -17- 315x⁷ + -62- 2835x⁹…
|x|< π 2

cot x
1 x -[ x x3 2x5- -x7- ] 3 + 45 + 945 + 4725 ...
0 < |x|< π

ex
1 + x- 1! + x2 2! + x3 3! + x4 4! + …
|x|< ∞

ax = exln a
1 + x-lna 1! + (xlna)2 2! + (xlna)3 3! + (xln-a)4 4! + …
|x|< ∞

ln x
2[ x-1 (x-1)3- (x-1)5- x+1 + 3(x+1)3 + 5(x+1)5 + ...
x > 0

ln x
(x - 1) -(x--1)2- 2 + (x-1)3- 3 + …
0 < x ≤ 2

+(-1)n+1(x--1)n- n + …

ln x
x-1 x + 1 2( x-1) x² + 1 3(x-1) x³ + …
x > 1 2

+1n( ) x-x1n + …

ln(1 + x)
x -x22 + x33 -x44 + …
-1 < x ≤ 1

+(-1)n+1xn- n + …

arcsin x
x + x3-- 2·3 + -1·3x5- 2·4 ·5 + -1·3·5x5- 2·4 ·6·7 + …
|x|< 1

arccos x
π 2 -[ ] x + -x3-+ 1·3x5- + 1·3-·5x5-+ ... 2·3 2·4·5 2·4·6 ·7
|x|< 1

arctan x
x -x3 3 + x5 5 -… + (-1)nx2n+1 2n+1 + …
|x|< 1

Reihenentwicklungen

_____________________________________________________________________

B.2.2  Ableitungen in drei Dimensionen

B.2.2.1. Gradient in kartesischen Koordinaten

Wenn wir eine Funktion y = f(x) als Höhenprofil in einer zweidimensionalen Landschaft auffassen, dann ist

die Steigung dieses Profiles an der Stelle x. f(x) ist die Höhenangabe über einer eindimensionalen Grundfläche.

Wir können eine Funktion f(x,y) als Höhenangabe über einer zweidimensionalen Grundfläche betrachten.

__________________________________________________________________________

Gradient als Richtung der stärksten Steigung

_____________________________________________________________________

Die Funktion Gradient berechnet das stärkste Gefälle einer Höhenlandschaft über einer zweidimensionalen Ebene. Sie ist definiert:

Eine skalare Funktion f(x,y,z) definiert eine „Höhenlandschaft“ über einer dreidimensionalen Grundfläche. Sie kann nicht mit einfachen Mitteln visualisiert werden. Hier ist die Definition

Gradient einer skalaren Funktion f(x,y,z) von drei Variablen

B.2.2.2. Divergenz in kartesischen Koordinaten

Wir betrachten eine Vektorfunktion

_________________________________________

Vektorfeld mit Umrandung

_____________________________________________________________________

Wenn wir die Umrandung betrachten, dann sehen wir, dass netto etwas aus ihr herausfliesst. In die x-Richtung heisst das, dass

fliesst.

In die y-Richtung müssen wir die schräg liegenden Vektoren aufteilen. Die x-Komponente, fx(x,y) und fx(x,y + dy) ist parallel zur oberen und unteren Umrandung. Sie trägt nichts zum Fluss bei. Also gilt auch für die y-Richtung

Die Grösse F = Fx + Fy nennen wir Divergenz oder Quellstärke. Sie ist also

Divergenz oder Quellstärke in 2 Dimensionen

Eine analoge Überlegung kann man sich in drei Dimensionen machen. Die Vektorfunktion ist dann

Wir definieren

Divergenz einer Vektorfunktion f(x,y) in drei Dimensionen

B.2.2.3. Rotation in kartesischen Koordinaten

Wir betrachten wieder eine zweidimensionale Vektorfunktion

_________________________________________

Drehung eines schwimmenden Klotzes, Rotation

_____________________________________________________________________

Wir nehmen nun an, dass die durch f(x,y) definierten Strömungen den rechteckigen schwimmenden Klotz beeinflussen. So wie die Vektoren gezeichnet sind, wird er sich drehen. Seine Drehachse zeigt aus der Zeichenebene heraus, also die z-Richtung. Die Drehung hat etwas zu tun mit den Grössen

und

Um bei gleicher Drehrichtung (positiv ist im Gegenuhrzeigersinn) eine positive Grösse zu haben, wird bei Rx ein „-“ eingefügt. Die Stärke der Drehung ist also

Rotation in zwei Dimensionen

Für eine dreidimensionale Vektorfunktion

kann man sich überlegen, dass die gleichen Überlegungen wie für die xy-Ebene auch für die xz-Ebene (Rotation um y) und die yz-Ebene (Rotation um x) gelten. Wir definieren also

Rotation in drei Dimensionen

Man kann sich die Berechnung gut merken mit

Gedankenstütze für Rotation

B.3  Skalarprodukt und Vektorprodukt in kartesischen Koordinaten

Wir betrachten die zwei Vektoren

Das Skalarprodukt zweier Vektoren a und b ist

Das Vektorprodukt der beiden Vektoren ist

B.4  Rechnen mit Vektoren

B.4.1  Vektoridentitäten

(Siehe Bronstein, Taschenbuch der Mathematik [BSMM08, pp. 190])

Im Folgenden sind a, b, c und f Vektoren oder vektorielle Funktionen, a, b, c und f ihre Längen, k eine Zahl und φ(r) eine skalare Funktion. Die Komponenten der Vektoren in kartesischen Koordinaten sind

Für die anderen Vektoren werden die Komponenten analog geschrieben.

B.4.1.1. Produkte mit Vektoren

Skalarprodukt

(B.1)

Vektorprodukt

(B.2)

Vertauschung der Reihenfolge (Kommutationsgesetze)

a·b | = b·a | (B.3)
a×b | = -b×a | (B.4)

Zwei Vektoren sind orthogonal, wenn

(B.5)

Sie sind kollinear, wenn

(B.6)

Doppeltes Vektorprodukt

(B.7)

Spatprodukt oder gemischtes Produkt

(a × b) ·c | = (b × c ) ·a |  |
| = (c × a ) ·b |  |
| = -(b × a ) ·c |  |
| = -(c × b) ·a |  |
| = -(a × c ) ·b |  |
| = axbycz + aybzcx + azbxcy -(azbycx + axbzcy + aybxcz) | (B.8)

Drei Vektoren sind komplanar, wenn

(B.9)

Lagrangesche Identität

(B.10)

Vierfaches Vektorprodukt

(B.11)

B.4.1.2. Ableiten von Vektoren

Ableiten eines Vektors

(B.12)

Ableitung eines Produktes

(B.13)

Ableitung des Skalarproduktes

(B.14)

Ableitung des Vektorproduktes

(B.15)

Ableitung eines Vektors mit konstantem Betrag. Hier ist a·a = a² = const. Aus Gleichung (B.14) folgt

(B.16)

Taylorentwicklung einer Vektorfunktion

(B.17)

B.4.1.3. Vektorableitungen bei Skalarfeldern

Ableitung eines skalaren Feldes nach einer Richtung

(B.18)

Ableitung ∂φ(r) ∂ec in Richtung des Einheitsvektors ec in Richtung von c

(B.19)

Richtungsableitung einer skalaren Funktion im Vergleich zur Richtung mit dem stärksten Abfall (Einheitsvektor n)

(B.20)

B.4.1.4. Vektorableitungen bei Vektorfeldern

Ableitung eines Vektorfeldes a nach einer Richtung

(B.21)

Ableitung ∂a∂(erc) in Richtung des Einheitsvektors ec in Richtung von c

(B.22)

Richtungsableitung einer Vektorfunktion

∂a (r) ------ ∂c = | (c·grad ) a | (B.23)
= | 1- 2(rot (a × c) + grad (c·a ) + c·div a - a·div c |  |

Gradient eines Produktes

(B.24)

Kettenregel beim Gradienten

(B.25)

Gradient eines Skalarproduktes

(B.26)

Gradient eines Skalarproduktes eines konstanten Vektors k mit einem Ortsvektor r

(B.27)

Divergenz eines Produktes

(B.28)

Divergenz eines Skalarproduktes eines konstanten Vektors k mit einem Ortsvektor r

(B.29)

Divergenz eines Vektorproduktes

(B.30)

Rotation eines Produktes

(B.31)

Divergenz eines Vektorproduktes

(B.32)

Rotation eines Potentialfeldes

(B.33)

Divergenz einer Rotation

(B.34)

Rotation einer Rotation

(B.35)

B.5  Drehungen

B.5.1  Drehmatrizen

Eine Drehung um die x-Achse beschrieben durch den Vektor ex = (1,0,0) T um den Winkel α wird durch die Matrix

(B.1)

die Transformation ausgeführt. Für eine Drehung um die y-Achse beschrieben durch den Vektor ey = (0,1,0) T um den Winkel β wird durch die Matrix

(B.2)

die Transformation ausgeführt. Schliesslich wird eine Drehung um die y-Achse beschrieben durch den Vektor ez = (0,0,1 ) T um den Winkel γ wird durch die Matrix

(B.3)

ausgeführt.

Der Vektor r = (x,y,z) T soll um den Winkel α um die x-Achse gedreht werden. Dies wird mit der Operation

(B.4)

bewerkstelligt. Im Allgemeinen wird eine Drehung durch die Multiplikation des Vektors von links mit einer Matrix beschrieben.

Die Drehung zurück wird (antisymmetrische reelle Matrix mit der Determinante 1) wird durch die inverse Matrix oder die transponierte Matrix beschrieben Alternativ kann man auch α durch -α ersetzen.

(B.5)

Eine Drehung um einen beliebigen Vektor rα = (xα,yα,zα) T mit xα² + y α² + z α² = 1 wird durch

(B.6)

beschrieben[WR14]. Die Drehung ist bei positivem α rechtshändig bezüglich der Richtung von rα (Der Daumen zeigt in die Richtung von rα, die Finger geben die Drehrichtung).

B.5.2  Drehung von Vektoren und Matrizen (oder Tensoren)

Sei Reα(α) die Drehmatrix. Dann ist der aus r hervorgegangene um die Achse eα und den Winkel α gedrehte Vektor

(B.7)

Ein Beispiel dafür ist in (B.4) gezeigt.

Die aus der Matrix

hervorgegangene um die Achse eα und den Winkel α gedrehte Matrix ist

(B.8)

Die Drehung zurück ist dann

(B.9)

Wenn wir als Beispiel die Matrix

um eα = ( ) √1-,0,- √1- 2 2T drehen, erhalten wir

A′ = | R(1∕√- 2,0,-1∕√- 2)T(α)AR(1∕√ - 2,0,-1∕√ - 2)TT (α) | (B.10)
= | R(1∕√2,0,-1∕√2)T(α)AR(1∕√2-,0,-1∕√2-)T(-α) |  |
= | ( 1 sin(α) 1 ) 2(cos(α) + 1) -√2-- 2(cos(α) - 1) || - sin√(α) cos(α) - sin√(α) || ( 1 2 sin(α)- 1 2 ) 2(cos(α) - 1) √2 2(cos(α) + 1)( ) a b 0 |( - b c 0|) 0 0 d |  |
= | ( 1(cos(α) + 1) sin√(α)- 1(cos(α) - 1)) || 2 sin(α) 2 2 sin(α) || ( - √2 cos(α) - √2- ) 1(cos(α) - 1) sin√(α)- 1(cos(α) + 1) 2 2 2 |  |
= | ( 1 2 2 ) | (4 ((√a +-d )cos (α) + 2(a - d)cos(α) + a + 2csin (α) + d) ) 0 0| |( 14 - 2sin(α)(cos(α)((a - 2c + d) + a - d) - 2b(c)os(α ) + 1) 0 0|) - 1sin(α) sin(α )(a - 2c + d) + 2√2b- 0 0 4 |  |
| + ( ( √ -- ) ) 0 1 2b(cos(α) + 1) - 2 sin(α )(cos (α )(a - 2c + d ) + a - d) 0 || 4 1 2 2 || ( 0 ( √-- 2(a + d) sin (α ) + c cos(α ) ) 0) 0 14 - 2 sin (α)(cos(α)(a - 2c + d) - a + d) - 2b(cos(α) - 1) 0 |  |
| + ( 1 ( √ --) ) | 0 0 ( - 4 sin (α) sin(α)(a - 2c + d) - 2 2b )| |( 0 0 1 2b(cos(α ) - 1) - √ 2 sin (α )(cos(α)(a - 2c + d) - a + d) |) 41 2 0 0 4 (cos(α)((a + d)cos(α) - 2a + 2d) + a + 2csin (α) + d) |  |

B.5.3  Allgemeine Drehung mit Eulerwinkeln

Das Koordinatensystem ex,ey,ez geht durch drei Drehungen aus dem Koordinatensystem ex*,e y*,e z* hervor.

__________________________________________________________________________

Definition der Eulerschen Winkel

_____________________________________________________________________

Die Eulerschen Winkel sind

Drehung um ez* : α

Drehung um 0A : β

Drehung um ez* : γ

Dabei 0A steht senkrecht zur Ebene aufgespannt durch ez und ez*.

Die Reihenfolge der Drehungen ist

Drehung: Bringe ex* senkrecht zu e z (In der Abbildung B.5.3 zeigen die Kreise die Ebenen senkrecht zu ez* und senkrecht zu e z Die Schnittlinie der beiden Kreise ist 0A.

Drehung: Bringe z-Achse in richtige Lage

Drehung: Bringe x,y-Achsen in die richtige Lage.

B.6  Umrechnungen zwischen Koordinatensystemen, insbesondere kartesischen, sphärischen und zylindrischen Koordinatensystemen

(Siehe Bronstein, Taschenbuch der Mathematik [BSMM08, pp. 218])

(Siehe Bronstein, Taschenbuch der Mathematik [BSMM08, pp. 667])

(Siehe Arfken und Weber, Mathematical Methods for Physicists, [AW95, pp. 100])

B.6.1  Definitionen

Wir betrachten lokal orthogonale Systeme:

Kartesisches System

Sphärisches System

Zylindrisches System

Allgemeines gekrümmtes System

Bei allen Koordinatensystemen sei für alle i e₁² = 1. Die ei sollen ein rechtshändiges System bilden, also dass e₁·(e2 × e3 ) > 0 (wobei die Zahlen 1 bis 3 die drei Koordinaten in den jeweiligen Systemen in der oben angegebenen Reihenfolge sind.

__________________________________________________________________________

Definition der Koordinatensysteme. Links: kartesisches System. Mitte: Zylinderkoordinaten. Rechts: Kugelkoordinaten

_____________________________________________________________________

B.6.2  Allgemeine Transformation

Dieser Abschnitt folgt [AW95, p. 100]. Wenn die Transformation von einem beliebigen gekrümmten Koordinatensystem mit den Koordinaten (q₁,q₂,q₃)T in das kartesische System (x,y,z)T bekannt ist, können über das kartesische System als Zwischensystem beliebige gekrümmte, lokal orthogonale Koordinatensystem differenziell ineinander übergeführt werden.

Sei nach

x | = x(q₁,q₂,q₃) | y | = y(q₁,q₂,q₃) | z | = z(q₁,q₂,q₃) | (B.1)
q₁ | = q₁(x,y,z) | q₂ | q₂(x,y,z) | q₃ | = q₃(x,y,z) | (B.2)

Infinitesimale Verschiebungen führen nach [AW95, p. 100] (B.1) zu

dx | = ∂x ---- ∂q1dq₁ + ∂x ---- ∂q2dq₂ + ∂x ---- ∂q3dq₃ | (B.3)
dy | = ∂y-- ∂q1dq₁ + ∂y-- ∂q2dq₂ + ∂y-- ∂q3dq₃ | (B.4)
dz | = ∂z ---- ∂q1dq₁ + ∂z ---- ∂q2dq₂ + ∂z ---- ∂q3dq₃ | (B.5)

Ausgehend vom infinitesimalen Abstand bei kartesischen Koordinaten ds² = dx² + dy² + dz² postuliert man

(B.6)

Andererseits erhält man aus den quadrierten Gleichungen (B.3) bis (B.5)

(B.7)

wobei x₁∧=x, x₂∧=y und x₃∧=z. Die Matrix

(B.8)

heisst Metrik. Beil lokal orthogonalen Koordinatensystemen ist

(B.9)

und

(B.10)

Mit der Definition

(B.11)

erhalten wir

(B.12)

Die hi sind Skalenfaktoren, die die gekrümmten Koordinaten dqi in Wegelemente dsi umrechnen:

(B.13)

Weiter haben wir für eine infinitesimale vektorielle Verschiebung

(B.14)

Weitere Beziehungen sind

∫ V·dr | = ∑ i=1³ ∫ V ihidqi | (B.15)
Linienintegral
dai,j | = dsidsj = hihjdqidqj | (B.16)
Flächenelement
dV | = ds₁ds₂ds₃ = h₁h₂h₃dq₁dq₂dq₃ | (B.17)
Volumentelement
da | = ds₂ds₃e₁ + ds₃ds₁e₂ + ds₁ds₂e₃ |  |
| = h₂h₃dq₂dq₃e₁ + h₃h₁dq₃dq₁e₂ + h₁h₂dq₁dq₂e₂ | (B.18)
vektorielles Oberflächenelement
∫ V·da | = ∫ V ₁h₂h₃dq₂dq₃ + ∫ V ₂h₃h₁dq₃dq₁ + ∫ V ₃h₁h₂dq₁dq₂ | (B.19)
Oberflächenintegral

Bemerkung: Skalar- und Vektorprodukt haben in diesen gekrümmten Koordinaten die gleiche Form wie im kartesischen Koordinatensystem.

B.6.2.1. Beispiel

Wir betrachten das Koordinatensystem

u
= xy
v
= x² -y²
z
= z,
(B.20)

das in der Elektrostatik und Hydrodynamik angewandt wird. Wir sollten gemäss unserem Rezept x, y und z mit u, v und z ausdrücken. Es gibt vier Möglichkeiten, wir verwenden als Beispiel die erste.

x | = ∘ √-------------- -----4u2√-+-v2-+-v 2 | (B.21)
y | = √--2--2 3∕2 √ -- ∘ √-------------- (-4u-+√v-+v)---- 2v 4u2 + v2 + v --------2----------------------------- 2u | (B.22)
z | = z | (B.23)

Die Skalenfaktoren sind dann mit (B.11), also hi = ∑ ∂xℓ ∂qi

hu | = 1 4√---2----2- 4u + v | (B.24)
hv | = -√---1------ 2 44u2 + v2 | (B.25)
hz | = 1 | (B.26)

Die Transformation zwischen den Koordinatensystemen läuft auf eine allgemeine Drehung der Koordinaten im Raum hinaus.

B.6.3  Vom kartesischen ins sphärische System

V r | = V x sin θ cos ϕ + V y sin θ sin ϕ + V z cos θ | (B.27)
V θ | = V x cos θ cos ϕ + V y cos θ sin ϕ -V z sin θ | (B.28)
V ϕ | = -V x sin ϕ + V y cos ϕ | (B.29)

B.6.4  Vom sphärischen ins kartesische System

V x | = V r sin θ cos ϕ + V θ cos θ cos ϕ -V ϕ sin ϕ | (B.30)
V y | = V r sin θ sin ϕ + V θ cos θ sin ϕ + V ϕ cos ϕ | (B.31)
V z | = V r cos θ -V θ sin θ | (B.32)

B.6.5  Vom kartesischen ins zylindrische System

V ϱ | = V x cos ϕ + V y sin ϕ | (B.33)
V ϕ | = -V x sin ϕ + V y cos ϕ | (B.34)
V z | = V z | (B.35)

B.6.6  Vom zylindrischen ins kartesische System

__________________________________________________________________________

Umrechnung der Koordinaten

_____________________________________________________________________

V x | = V ϱ cos ϕ -V ϕ sin ϕ | (B.36)
V y | = V ϱ sin ϕ + V ϕ cos ϕ | (B.37)
V z | = V z | (B.38)

B.6.7  Vom sphärischen ins zylindrische System

V ϱ | = V r sin θ + V θ cos θ | (B.39)
V ϕ | = V ϕ | (B.40)
V z | = V r cos θ -V θ sin θ | (B.41)

B.6.8  Vom zylindrischen ins sphärische System

V r | = V ϱ sin θ + V z cos θ | (B.42)
V θ | = V ϱ cos θ -V z sin θ | (B.43)
V ϕ | = V ϕ | (B.44)

B.7  Vektordifferentialoperatoren in krummlinigen Koordinaten

Diese Operatoren können in [AW95] nachgeschaut werden oder mit [WR14] berechnet werden.

B.7.1  Zylinderkoordinaten

Die Definition lautet

x
= r cos ϕ
y
= r sin ϕ
z
= z
(B.1)

Die Skalenfaktoren lauten

h₁
= 1
h₂
= r
h₃
= 1
(B.2)

Dann ist der Gradient der skalaren Funktion Ψ(r,ϕ,z)

(B.3)

Die Divergenz der Vektorfunktion V(r,ϕ,z) = ( ) Vr(r,ϕ,z) |(V ϕ(r,ϕ,z)|) Vz(r,ϕ,z) ist

(B.4)

Die Rotation der Vektorfunktion V(r,ϕ,z) = ( ) | Vr(r,ϕ,z)| (V ϕ(r,ϕ,z)) Vz(r,ϕ,z) ist

(B.5)

Schliesslich lautet der Laplace-Operator der skalaren Funktion Ψ(r,ϕ,z)

(B.6)

B.7.2  Kugelkoordinaten

Die Definition lautet

x
= r sin(θ) cos(ϕ)
y
= r sin(θ) sin(ϕ)
z
= r cos(θ)
(B.7)

Die Skalenfaktoren lauten

h₁
= 1
h₂
= r
h₃
= r sin(θ)
(B.8)

Dann ist der Gradient der skalaren Funktion Ψ(r,ϕ,z)

(B.9)

Die Divergenz der Vektorfunktion V(r,θ,ϕ) = ( ) Vr(r,θ,ϕ) |( Vθ(r,θ,ϕ)|) V ϕ(r,θ,ϕ) ist

( ) ∂Vr(r,θ,ϕ) 1 ∂V θ(r,θ,ϕ ) ∇r,θ,ϕ·V (r,θ,ϕ ) = ----------+ -- Vr(r,θ,ϕ) + ----------- ( ( ∂r r ∂θ )) 1 ∂V ϕ(r,θ,ϕ) + r- csc(θ) sin(θ)Vr(r,θ,ϕ ) + cos(θ)Vθ(r,θ,ϕ ) +----∂ϕ----

(B.10)

Die Rotation der Vektorfunktion V(r,θ,ϕ) = ( ) |Vr (r,θ, ϕ)| (V θ(r,θ,ϕ)) V ϕ(r,θ,ϕ) ist

(B.11)

Schliesslich lautet der Laplace-Operator der skalaren Funktion Ψ(r,ϕ,z)

( ) 1- 1∂2Ψ-(r,θ,ϕ)- ∂Ψ-(r,θ,ϕ-)- ∂2-Ψ(r,θ,ϕ-) Δr,θ,ϕΨ (r,θ,ϕ) = r r ∂θ2 + ∂r + ∂r2 ( ( ) ) 1- ∂Ψ-(r,θ,ϕ)- 1- ∂Ψ-(r,θ,ϕ)- ∂2Ψ-(r,θ,ϕ)- + r csc(θ) sin(θ) ∂r + r cos(θ ) ∂θ + csc(θ) ∂ϕ2

(B.12)

B.8  Die Diracsche Deltafunktion

Die Diracsche Deltafunktion ist ein nützliches Instrument, um diskrete Ladungsverteilungen, Kräfte, Punktmassen als kontinuierliche Verteilung oder Kraftfelder zu beschreiben.

Wir beginnen, indem wir die Funktion

(B.1)

__________________________________________________________________________

Darstellung von f(x), wobei a variiert wird.

_____________________________________________________________________

In der Abbildung B.8 sieht man, dass mit kleiner werdendem a die Amplitude von f(x) immer grösser wird. Die Fläche unter der Kurve

(B.2)

ist konstant und unabhängig von a. Wir definieren nun die Diracsche Delta-Funktion

(B.3)

Damit ist auch

(B.4)

Als Anwendung betrachten wir das Integral des Produktes

wobei g(x) genügend oft (Fragen Sie einen Mathematiker oder lesen die Packungsbeilage oder ein Mathematikbuch) stetig differenzierbar sein soll. Die Taylorreihe von g(x) ist dann

(B.5)

Dann ergibt das Integral

∫ -∞∞g(x)δ(x)dx | = lim a→0 ∫ -∞∞g(x)f(x)dx | (B.6)
| = lim a→0 ∫ -∞∞[ ( ∂ || ) ] g(0) + x ---g(x )|| + ... ∂x |x=0f(x)dx |  |
| = lim a→0 ∫ -a∕2a∕2| [ ( ∂ || ) ] g(0) + x ---g(x)|| + ... ∂x x=01 -- adx |  |
| = lim a→0⌊ | ⌋ a∫∕2 ( ∂-g(x)|| ) ∫a∕2 |⌈g(0)- dx + --∂x-----x=0- xdx + ...|⌉ a a - a∕2 -a∕2 |  |
| = g(0) + lim a→0⌊ ( | ) ⌋ -∂ g(x)|| 2||a∕2 ⌈ -∂x-----x=0-- x-|| + ...⌉ a 2 |-a∕2 |  |
| = g(0) + lim a→0[ ( || ) 2 ] -∂-g(x )|| a--+ ... ∂x |x=0 4a = g(0) |  |

Damit ist klar, dass die nützliche Gleichung

(B.7)

gilt.

B.9  Kronecker-Produkt

Die Definition des Kronecker-Produkts ⊗ soll mit den Matrizen

(B.1)

gezeigt werden, wobei m₁ ∈ ℕ, m₂ ∈ ℕ, n₁ ∈ ℕ und n₁2 ∈ℕ sind. Alle vier Dimensionen können unterschiedlich sein.

Dann ist

(B.2)

gegeben durch

(B.3)

Das folgende Beispiel illustriert die Rechnung. Sei

(B.4)

und

(B.5)

Dann ist

( ) ( ( ) ( ) ) D = (b,b ) ⊗ c1,1 c1,2 = b c1,1 c1,2 ,b c1,1 c1,2 1 2 c2,1 c2,2 1 c2,1 c2,2 2 c2,1 c2,2 ( ) = b1c1,1 b1c1,2 b2c1,1 b2c1,2 b1c2,1 b1c2,2 b2c2,1 b2c2,2

(B.6)

Abbildungsverzeichnis

Tabellenverzeichnis

Literaturverzeichnis

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[Tak73b]    Hiroshi Takenaka. A unified formalism for polarization optics by using group theory ii (generator representation). Japanese Journal of Applied Physics, 12(11):1729, 1973.

[Thu72]    Vitellonis Thuringopoloni. opticae libri decem. Basilae, 1572.

[TM04]    Paul A. Tipler and Gene Mosca. Physik. Spektrum Verlag, 2nd edition edition, 2004. ISBN-13: 978-3827411648.

[Wik26]    Wikipedia. Witelo. https://de.wikipedia.org/wiki/Witelo, entnommen 2016-05-26. https://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Lizenzbestimmungen_Creative_Commons_Attribution-ShareAlike_3.0_Unported.

[WR14]    Inc. Wolfram Research. Mathematica. Wolfram Research, Inc., Champaign, Illinois, version 10.0 edition, 2014.

[Yar75]    A. Yariv. Quantum Electronics, 2nd Edition. John Wiley and Sons, New York., 1975.

Index

δ-Funktion
    Dirac, 244–246
λ∕4-Platte, 129
Öffnungswinkel, 204

Abbildungsfehler, 161–163
Abbildungsgleichung, 157
Abbildungsmassstab, 159, 169
Aberration
    chromatisch, 162
    sphärisch, 157, 161
Ableitung
    drei Dimensionen, 225–228
Ableitung von Vektoren, 230–232
Airy-Funktion, 41
Akkomodation, 165
Amplitude, 20, 25, 27, 28, 46, 49, 66–69, 74, 76–78, 92, 98, 110, 111
Analysator, 111
Astigmatismus, 163
Astronomie, 170
Atomkern, 174
Auflösung
    Beugung, 96–100
    Grenze, 100
Auflösungsvermögen, 90, 100
Auge, 165–166
ausserordentliches Licht, 138

Babinet
    Prinzip, 79–81
Bahnebene der Erde, 144
Beispiele
    Polarisation, 137–139
Beschreibung
    Polarisation
        mathematisch, 118–137
Besselfunktion nullter Ordnung, 98
Beugung, 23–100
    Einzelspalt, 65–69
    Fraunhofer, 81–83
    Fresnel, 74, 83
Beugungsgitter, 89–95
Beugungsmuster, 65, 67, 68, 70, 72, 73, 76–78, 95, 97
    Fraunhofer, 97
    Fresnel, 77, 78
    Interferometer, 43–45
Beugungsordnung, 90
Beugungstheorie
    Kirchhoff, 85–89
Bilderzeugung
    Brechung, 147–155
Bildkonstruktion
    Linsen, 152–153
Bildweite, 148, 149, 152, 154, 156, 158
Blaze-Gitter, 90–91
Bradley, 143
Brechung, 102–107, 147
    Bilderzeugung, 147–155
Brechungsgesetz, 106, 107, 147
Brechungsindex, 62, 64, 100, 102, 103, 108, 114, 115, 139, 147, 149
Brechzahl, 103
Brennpunkt, 68, 150, 152, 159, 166, 169
Brennweite, 149, 152, 154, 157, 158, 163, 165, 166, 168, 169, 195, 204
Brewster-Winkel, 18, 113, 114

chromatische Aberration, 162
Cornu-Spirale, 76

Dünne Linse, 148–152, 195
Dichroismus, 110–112
Dicke Linse, 153
Dicke Linsen, 153
Dielektrizitätskonstanten, 13
Differentiation, 223–228
Dirac
    δ-Funktion, 244–246
Diracsche Deltafunktion
    Fouriertransformation, 71
Divergenz, 204, 226–227, 243–244
Doppelbrechung
    Polarisation, 114–118
Doppelspalt, 56–58, 70, 72–73
Drehmatrix, 123, 132
Drehmatrizen, 233–234
Drehspiegelmethode, 145
Drehung
    Matrix, 234–235
    Tensor, 234–235
    Vektor, 234–235
Drehungen, 233–236
Dreibein
    rechtshändig, 9

Ebene Welle, 46–47
Effekt
    photoelektrischer, 141
einachsig negativ, 139
einachsig positiv, 139
Einfallsebene, 10, 13, 113
Einheitensystem, 123
Einstein, Albert, 141
Einzelspalt, 65
    Intensitätsverteilung, 66–69
Ekliptik, 144
Elektrizitätslehre
    Wiederholung, 7–21
Elementarwelle, 101
Etalon, 37
Eulersche Winkel, 235–236

Fabry-Perot-Etalon, 37
Fabry-Perot-Interferometer, 35–43
Fabry-Perot-Resonator, 179
Fabry-Perot-Spektrometer, 43
Faltung
    Fouriertransformation, 70–71
Faltungssatz, 96–100
Faltungstheorem, 97
Feldkonstante
    dielektrisch, 102
Fermat, Pierre de
    Prinzip, 105
Fermatsches Prinzip, 105–109
    Interferenz, 107–109
Fernrohr, 170
Finesse, 43
Finessefaktor, 41
Fizeau, Armand, 145
Foucault, Leon, 145
Fourieroptik, 97
Fouriertransformation, 49–51
    Diracsche Deltafunktion, 71
    Faltung, 70–71
Fraunhofer-Beugung, 81
Fraunhofer-Näherung, 81
Fraunhoferbeugung, 73–85
Fraunhofersche Beugung, 83
Fresnel
    Näherung, 74–78
Fresnel, Augustin, 141
Fresnel-Huygens
    Prinzip, 52
Fresnel-Huygenssche Prinzip, 52, 89
Fresnel-Huygenssches Prinzip, 52–55
Fresnelbeugung, 73–85
Fresnelsche Formeln, 9–21
    p-Polarisation, 16
Fresnelsche Näherung, 74
Fresnelschen Formeln, 10
Fresnelscher Beugung, 83

Gabor, Dennis, 92
Gausssche Strahlen, 200–216
    ω(z), 204
Gegenstandsweite, 148, 156
Geometrische Optik, 141–163
    Begründung, 101–139
    Licht, 146–147
Gesamtvergrösserung, 169
Gesetz von Snellius, 147
Gibbs-Phänomen, 85
Gitterspektrometer, 180–187
Glaskörper, 165
Gleichung
    Helmholtz, 85
Gleichungen
    Maxwell, 7–8
Gradient, 225–226, 243–244
Gyroskop, 33

Hauptachse, 138
Hauptachsensystem, 114, 121–123
Hauptebene, 160
Heaviside-Θ-Funktion, 82
Helmholtz-Gleichung, 85
Hohlspiegel
    Bildkonstruktion, 158–161
Hologramme, 91–95
Holographie, 92
Hubble-Teleskop, 171
Huygens
    Prinzip, 52–55
Huygenssche Elementarwelle, 103
Huygenssches Prinzip, 52–55

Impulsantwort, 96–100
Indexmedium
    quadratisch, 193
Integration, 223–228
Intensität, 10, 15, 20, 27, 32, 49, 57, 58, 67, 77, 78, 93, 94, 100, 102, 108–111, 201, 204
Interferenz, 23–100
    dünne Schicht, 61–65
    Fermatsches Prinzip, 107–109
    Kugelwellen, 55–56
    mehrere Quellen, 60–61
Interferenzextrema, 56
Interferenzmuster, 54–56, 60
Interferometer
    Beugungsmuster, 43–45
    mach-Zehnder, 29

Jones-Matrix, 131–134
Jones-Matrizen
    Polarisationszustand
        Bestimmung, 217–218
        Rechnung, 217–218
Jones-Matrizen und Müller-Matrizen, 134–137
    Umrechnung, 134–137
Jones-Vektor, 131–134

Kamera, 167–169
Kartesische Koordinaten, 229, 236–242
Kaustik, 157
Kirchhoffsche Integralsatz, 87, 88
Kirchoff
    Beugungstheorie, 85–89
Kohärenz, 27–45
Kohärenzlänge, 27
Kohärenzzeit, 27
Konkavlinse, 153
Konkavspiegel, 157
Konvexlinse, 153
Konvexspiegel, 157–158
Koordinaten
    kartesich, 229, 236–242
    sphärisch, 236–242
    zylindrisch, 236–242
Koordinatensystem, 235
Kreiswellen, 53, 54
Kronecker-Produkt, 246–247
Kugelwellen, 47–49, 53
    Interferenz, 55–56

λ∕2-Plättchen
    Müller-Matrix, 135
λ∕4-Plättchen
    Müller-Matrix, 135
Licht
    Geometrische Optik, 146–147
    Wellennatur, 23
Lichtgeschwindigkeit, 138, 142–145
Lichtstrahl, 142, 146
Lichtstrahlen, 23
lineare Federkette, 175
Linse, 64, 149–154, 165, 169, 196, 200, 201, 204
    Auge, 165
    dünn, 148–152, 195
    dick, 153
    Objektiv, 169
Linsen
    Bildkonstruktion, 152–153
    dick, 153
    mehrere, 153–155
Linsenkrümmung, 200
Lummer-Gehrcke-Platte, 179
Lupe, 166–167
    Vergrösserung, 167

Müller-Matrix
    λ∕2-Plättchen, 135
    λ∕4-Plättchen, 135
    Polarisator, 136
    Verzögerungsplatte, 136
Müller-Matrizen
    Polarisationszustand
        Bestimmung, 218–220
        Rechnung, 218–220
Müller-Matrizen und Jones-Matrizen, 134–137
    Umrechnung, 134–137
Mach-Zehnder-Interferometer, 29–32
Mathematik, 221–223
mathematische Beschreibung
    Polarisation, 118–137
Matrix
    Jones, 131–134
Matrixformalismus, 189–200
Maxwell
    Gleichungen, 7–8
Maxwellsche Gleichungen, 7–8
Michelson-Interferometer, 30–33
Mikroskop, 168–169
Moden, 207–216
    Licht, 189–216
monochromatisch, 146

Näherung
    paraxial, 55, 56
Näherung:paraxial, 148
Newton, Isaac, 141

Oberfläche, 13, 139, 148, 149
Oberflächennormalen, 13
Objektiv, 161, 167–170
    DIC, 114
Objektivlinse, 169
Okular, 169, 170
Optische Elemente
    Gausssche Strahlen, 204–207
Optische Instrumente, 165–187
ordentliches Licht, 138
Orientierung
    k, E und B, 9

p-Polarisation, 10, 20
p-polarisiert, 10
paraxial, 55
paraxiale Näherung, 55, 148, 157
Phasendifferenz, 27–45
Phasenfaktor, 82, 89, 118, 203
Phasengeschwindigkeit, 176
photoelektrischer Effekt, 141
Poincaré, 126
Poincaré-Kugel, 126–128
Pointingvektor, 13
Polarisation, 109–139
    Beispiele, 137–139
    Beschreibung, 118–137
    Doppelbrechung, 114–118
    Jones-Matrix, 131–134
    Jones-Vektor, 131–134
    mathematische Beschreibung, 118–137
    p, 20
    Poincaré-Kugel, 126–128
    Reflexion, 113–114
    s, 13–15, 20
    Stokes-Parameter, 129–131
    Streuung, 112
    zirkular, 118
Polarisationsfilter, 9
Polarisationszustand, 118, 127, 130
    Bestimmung, 217–220
        Jones-Matrizen, 217–218
        Müller-Matrizen, 218–220
    Rechnung, 217–220
        Jones-Matrizen, 217–218
        Müller-Matrizen, 218–220
Polarisator, 111
    Müller-Matrix, 136
Prinzip
    Fermat, 105, 106
    Huygens, 53–55
Prinzip von Babinet, 79–81
Prinzip von Fresnel-Huygens, 52
Prisma, 172–179
Produkte mit Vektoren, 229–230
Punktquelle, 61, 83, 100
    inkohärent, 100
Pupille
    rund, 98

R(z), 204
Rayleighsche Auflösungskriterium, 99
Rechnen mit Vektoren, 229–232
Reflexion, 10, 15, 21, 62, 64, 91, 101–102, 104–106, 113, 159
    Polarisation, 113–114
Reflexionsgesetz, 146
Reihen, 224
Relation
    Stokes, 36
Resonatoren, 189–216
    sphärische Spiegel, 199–200
Rotation, 227–228, 243–244
Rømer, Ole, 143

s-Polarisation, 10, 13–15, 20
s-polarisiert, 10
Sagnac-Interferometer, 33–35
Sammellinse, 200
Sehwinkel, 167, 170
Signal-Rausch-Verhältnis, 33, 100, 186
Skalarprodukt, 229
Snellius, 107
Spektrallinie, 90
Spektrographen, 89–95
Spektrometer, 179–187
    Gitter, 180–187
sphärische Aberration, 157, 161
Sphärische Koordinaten, 236–242
Spiegel
    eben, 155–156
    sphärisch
        Bilderzeugung, 156
Spiegelteleskop, 170
Stabilität, 198–199
Stehende Wellen, 28
Stokes-Parameter, 129–131
Stokes-Vektor, 129–131
Stokessche Relation, 36
Strahl
    paraxial, 159, 160, 189, 193, 194, 200
Strahldurchmesser, 204
Streuung
    Polarisation, 112

Teleskop, 170, 170, 170, 171, 172
    Hubble, 171
    Spiegel, 170
Totalreflexion, 104–105

Umrechnung
    Jones-Matrizen und Müller-Matrizen, 134–137
    kartesisch zu sphärisch, 241
    kartesisch zu zylindrisch, 241
    sphärisch zu kartesisch, 241
    sphärisch zu zylindrisch, 242
    zylindrisch zu kartesisch, 242
    zylindrisch zu sphärisch, 242

Vektor
    Jones, 131–134
    Stokes, 129–131
Vektoren, 221–223
    Ableitung, 230–232
    Vektorprodukt, 229–230
Vektoridentitäten, 229
Vektorprodukt, 229–230
Vergleich
    Fraunhofer und Fresnel, 83–85
Vergrösserung, 152, 169, 170
    Lupe, 167, 169
    Okular, 169
Verzögerungsplatte
    Müller-Matrix, 136
Volumen, 222
Volumenhologramme, 95

Welle
    eben, 46–47
    Kugel, 47–49
    paraxial, 60
Wellen
    2D, 46–56
    3D, 46–56
    Vektoraddition, 59
Wellenbild, 54
Wellengleichung, 8–9
Wellenlänge, 103
Wellenleiter, 210, 216
    elliptisch, 210
    rechteckförmig, 216
Wellennatur des Lichtes, 23
Wellenvektor, 101
Winkel
    Brewster, 113, 114
    Euler, 235–236
Winkelvergrösserung, 169
Witelo, Naturforscher ca. 1230 bis ca. 1275- 1314, 23

Young, Thomas, 141

Zerstreuungslinse, 152
Zwischenbild, 170
Zylinderkoordinaten, 236–242

1 Dies ist bei metallbedampften Spiegeln nicht der Fall.

2 Achtung! Es gibt mehrere Definitionen der Airy-Funktion.

3 sin Θ ≈tan Θ ≈Θ

4 Wir haben dabei cos²(x) = (cos(2x) - 1) und cos(x)cos(y) = (cos(x- y)+ cos(x+ y)) verwendet.

1 Es ist auch n = √ϵ, wobei ϵ die relative Dielektrizitätszahl bei der Frequenz des Lichtes ist

2 Das ist die Länge, die mit dem Brechungsindex gewichtet ist.

3 Die Analyse von Spannungen in Bauteilen nachgebildet mit Plexiglas war eine wichtige Anwendung (heute gibt es Programme zur Finite-Elemente-Analyse)

1 Moderne Objektive haben asphärische Linsen, die bei grossen Blendenöffnungen eine bessere Abbildung ermöglichen

1 Dabei muss ωt durch kx -ωt ersetzt werden.

1 Dazu schreiben wir die Gleichung wie folgt um. rn+4 -2rn+2 + rn + 2(1 -b)rn+2 = 0. Nun sind die ersten drei Summanden die zweite Ableitung.

2 Wir rechnen

und damit folgt die Behauptung.