Brückenschaltungen

Abbildung 4.54: Wheatstone-Brücke

Mit Brückenschaltungen kann man komplexe Impedanzen sehr schnell und genau vermessen. Abbildung 4.54 zeigt eine Widerstandsbrückenschaltung. Im Idealfall erhält man für das Widerstandsverhältnis im abgeglichenen Falle

$$R_1 : R_4 = R_2 : R_3$$

$$R_1 R_3 = R_2 R_4$$ (487)

Für die unabgeglichene Brücke erhält man:

$$I_i = U \frac{R_2 R_4 - R_1 R_3}{R_1 R_4 \left(R_2 + R_3\right)+R_2 R_3 \left(R_1 + R_4\right)+R_i \left(R_1 + R_4\right)\left(R_2 + R_3\right)}$$ (488)

Die Herleitung von Gleichung (4.67) finden Sie im Anhang B.

Abbildung 4.55: Unabgeglichene Wheatstone-Brücke. Variiert werden $R_{1,2}$ (grün) und $R_{3,4}$ (rot). Die statischen Widerstände sind jeweils $1 k\Omega$, der Innenwiderstand des Strommessers ist $R_i = 0.1 k\Omega$. Die Brückenspannung ist $U = 10 V$

Abbildung 4.55 zeigt die Änderung des Querstromes in der Brücke als Funktion der Änderung der einzelnen Teilwiderstände. Sehr schön ist aus dieser Darstellung ersichtlich, dass die Ausgangsspannung der Brücke nichtlinear ist.

Abbildung 4.56: Unabgeglichene Wheatstone-Brücke. Variiert wird $R_1$ mit $R_i = [0 k\Omega$,$0.1 k\Omega$,$1 k\Omega$,$10 k\Omega]$ Innenwiderstand (Reihenfolge grün, blau, schwarz, rot). Die statischen Widerstände sind jeweils $1 k\Omega$. Die Brückenspannung ist $U = 10 V$

Die Grösse des Querstromes hängt nicht nur vom Ungleichgewicht der Brücke ab, sondern auch vom Innenwiderstand des Strommessers zum Nullabgleich. Abbildung 4.56 zeigt den Einfluss des Innenwiderstandes auf die Ausgangskurve, wenn $R_1$ variiert wird. Analog dazu zeigt Abbildung 4.57 den Einfluss des Innenwiderstandes auf die Ausgangskurve, wenn $R_4$ variiert wird.

Abbildung 4.57: Unabgeglichene Wheatstone-Brücke. Variiert wird $R_4$ mit $R_i = [0 k\Omega$,$0.1 k\Omega$,$1 k\Omega$   ,$10 k\Omega]$ Innenwiderstand (Reihenfolge grün, blau, schwarz, rot). Die statischen Widerstände sind jeweils $1 k\Omega$. Die Brückenspannung ist $U = 10 V$

Abbildung 4.58: Unabgeglichene Wheatstone-Brücke. Variiert werden $R_1$ und $R_4 = 1/R_1$ mit $R_i = [0 k\Omega$,$0.1 k\Omega$,$1 k\Omega$   ,$10 k\Omega]$ Innenwiderstand (Reihenfolge grün, blau, schwarz, rot). Die statischen Widerstände sind jeweils $1 k\Omega$. Die Brückenspannung ist $U = 10 V$

Interessant ist der Fall, wo $R_1$ und $R_4$ gegengleich sich ändern, wo also $R_4 = 1/R_1$ gilt. Dieser Fall ist bei Sensoren wie Dehnungsmessstreifen oder piezoresistive AFM-Cantilever gegeben. Da variieren beide Widerstände in einem Brückenzweig. Abbildung 4.58 zeigt die Ausgangskurven. Es ist bemerkenswert, um wieviel linearer das Signal ist.

Für den Fall dass der Innenwiderstand des Strommessers $R_i = 0$ ist, erhält man die vereinfachte Gleichung:

$$I_i = U \frac{R_2 R_4 - R_1 R_3}{R_1 R_4 \left(R_2 + R_3\right)+R_2 R_3 \left(R_1 + R_4\right)}$$ (489)

Misst man die Brückenspannung, so ergibt sich aus Gleichung 4.67

$$U_i = U R_i \frac{R_2 R_4 - R_1 R_3}{R_1 R_4 \left(R_2 + R_3\righ... ..._2 R_3 \left(R_1 + R_4\right)+R_i \left(R_1 + R_4\right)\left(R_2 + R_3\right)}$$ (490)

Weiter sieht man, dass für $R_i \rightarrow \infty$

$$U_i = U \frac{R_2 R_4 - R_1 R_3}{ \left(R_1 + R_4\right)\left(R_2 + R_3\right)}$$ (491)

ist. Abbildung 4.59 fasst den Einfluss des Innenwiderstandes nochmals zusammen.

Abbildung 4.59: Einfluss der Impedanz des Strommessers im Nullpunktszweig der Wheatstone-Brücke. R entspricht $R_4$ in Abb. 4.65, $R_i$ ist der Innenwiderstand des Strommessers.

Die Empfindlichkeit auf Veränderungen von $R_1$ oder $R_4$ ergibt sich aus

$$\frac{\partial I_i}{d R_1} = \frac{U R_3}{ R_i \left({ R_1}+{ R_4}\right)\left({ R_2}+{ R_3}\r... ...} { R_4} \left({ R_2}+{ R_3} \right)+{ R_2} { R_3} \left({ R_1}+{ R_4}\right)}-$$

$$\frac{U \left( R_2 R_4 - R_3 R_1\right)\left( \left( R_i+ R_4\rig... ...left({ R_2}+{ R_3}\right)+{ R_2} { R_3} \left({ R_1}+{ R_4} \right)\right)^{2}}$$ (492)

$$\frac{\partial I_i}{d R_4} = \frac{U R_2}{ R_i \left({ R_1}+{ R_4}\right)\left({ R_2}+{ R_3}\r... ...} { R_4} \left({ R_2}+{ R_3} \right)+{ R_2} { R_3} \left({ R_1}+{ R_4}\right)}-$$

$$\frac{U \left( R_2 R_4 - R_3 R_1\right)\left( \left( R_i+ R_1\rig... ...left({ R_2}+{ R_3}\right)+{ R_2} { R_3} \left({ R_1}+{ R_4} \right)\right)^{2}}$$ (493)

Abbildung 4.60 vergleicht dabei die Variation von $R_1$ und $R_4$. Die Steigungen ändern sich extrem, das heisst, dass der lineare Bereich doch stark eingeschränkt ist.

Abbildung 4.60: Empfindlichkeit der unabgeglichenen Wheatstone-Brücke. Variiert werden $R_1$ (grün) und $R_4$ (rot) mit $R_i = 0 k\Omega$ Innenwiderstand. Die statischen Widerstände sind jeweils $1 k\Omega$. Die Brückenspannung ist $U = 10 V$

Abbildung 4.61 zeigt den Einfluss des Innenwiderstandes $R_i$, wenn $R_1$ sich ändert. Die Empfindlichkeit der Brücke nimmt mit steigendem Innenwiderstand ab.

Abbildung 4.61: Empfindlichkeit der unabgeglichenen Wheatstone-Brücke. Variiert wird $R_1$ mit $R_i = [0 k\Omega$,$0.1 k\Omega$,$1 k\Omega$   ,$10 k\Omega]$ Innenwiderstand (Reihenfolge grün, blau, schwarz, rot). Die statischen Widerstände sind jeweils $1 k\Omega$. Die Brückenspannung ist $U = 10 V$

Abbildung 4.62 zeigt den Einfluss des Innenwiderstandes $R_i$, wenn $R_4$ sich ändert. Die Empfindlichkeit der Brücke nimmt mit steigendem Innenwiderstand ab.

Abbildung 4.62: Empfindlichkeit der unabgeglichenen Wheatstone-Brücke. Variiert wird $R_4$ mit $R_i = [0 k\Omega$,$0.1 k\Omega$,$1 k\Omega$   ,$10 k\Omega]$ Innenwiderstand (Reihenfolge grün, blau, schwarz, rot). Die statischen Widerstände sind jeweils $1 k\Omega$. Die Brückenspannung ist $U = 10 V$

Wenn sich $R_1$ und $R_4 = 1/R_1$ gegengleich ändern, dann variiert die Empfindlichkeit wie in Abbildung 4.63 angegeben.

Abbildung 4.63: Empfindlichkeit der unabgeglichenen Wheatstone-Brücke. Variiert werden $R_1$ und $R_4 = 1/R_1$ mit $R_i = [0 k\Omega$,$0.1 k\Omega$,$1 k\Omega$   ,$10 k\Omega]$ Innenwiderstand (Reihenfolge grün, blau, schwarz, rot). Die statischen Widerstände sind jeweils $1 k\Omega$. Die Brückenspannung ist $U = 10 V$

Eine Detaildarstellung der normierten Empfindlichkeit in Abbildung 4.64 zeigt, dass für grosse Innenwiderstände $R_i$ die Empfindlichkeit am wenigsten variiert. Die Messkurve kann mit guter Näherung als linear mit einem kleinen paraboloiden Korrekturterm angesehen werden.

Abbildung 4.64: Empfindlichkeit der unabgeglichenen Wheatstone-Brücke normiert auf den abgeglichenen Fall. Variiert werden $R_1$ und $R_4 = 1/R_1$ mit $R_i = [0 k\Omega$,$0.1 k\Omega$,$1 k\Omega$   ,$10 k\Omega]$ Innenwiderstand (Reihenfolge grün, blau, schwarz, rot). Die statischen Widerstände sind jeweils $1 k\Omega$. Die Brückenspannung ist $U = 10 V$

Für den Fall dass der Innenwiderstand des Strommessers $R_i = 0$ ist, erhält man die vereinfachte Gleichung:

$$\frac{\partial I_i}{d R_1} = \frac{U R_3}{ { R_1} { R_4} \left({ R_2}+{ R_3} \right)+{ R_2} { R_3} \left({ R_1}+{ R_4}\right)}-$$

$$\frac{U \left( R_2 R_4 - R_3 R_1\right)\left( R_4\left( R_2+ R_3\... ...left({ R_2}+{ R_3}\right)+{ R_2} { R_3} \left({ R_1}+{ R_4} \right)\right)^{2}}$$ (494)

$$\frac{\partial I_i}{d R_4} = \frac{U R_2}{ { R_1} { R_4} \left({ R_2}+{ R_3} \right)+{ R_2} { R_3} \left({ R_1}+{ R_4}\right)}-$$

$$\frac{U \left( R_2 R_4 - R_3 R_1\right)\left( R_1\left( R_2+ R_3\... ...R_3\right)}{ R_1 R_4 \left( R_2+ R_3\right)+ R_2 R_3 \left( R_1+ R_4 \right)^2}$$ (495)

Die Empfindlichkeit für Spannungsmessungen ist

$$\frac{\partial U_i}{d R_1} = \frac{U R_i R_3}{ R_i \left({ R_1}+{ R_4}\right)\left({ R_2}+{ R_... ...} { R_4} \left({ R_2}+{ R_3} \right)+{ R_2} { R_3} \left({ R_1}+{ R_4}\right)}-$$

$$\frac{U R_i \left( R_2 R_4 - R_3 R_1\right)\left( \left( R_i+ R_4... ...left({ R_2}+{ R_3}\right)+{ R_2} { R_3} \left({ R_1}+{ R_4} \right)\right)^{2}}$$ (496)

$$\frac{\partial U_i}{d R_4} = \frac{U R_i R_2}{ R_i \left({ R_1}+{ R_4}\right)\left({ R_2}+{ R_... ...} { R_4} \left({ R_2}+{ R_3} \right)+{ R_2} { R_3} \left({ R_1}+{ R_4}\right)}-$$

$$\frac{U R_i \left( R_2 R_4 - R_3 R_1\right)\left( \left( R_i+ R_1... ...left({ R_2}+{ R_3}\right)+{ R_2} { R_3} \left({ R_1}+{ R_4} \right)\right)^{2}}$$ (497)

Schliesslich erhält man für $R_i \rightarrow \infty$

$$\frac{\partial U_i}{d R_1} = \frac{U R_3}{ \left({ R_1}+{ R_4}\right)\left({ R_2}+{ R_3}\right)}-$$

$$\frac{U \left( R_2 R_4 - R_3 R_1\right) \left( R_2+ R_3\right)}{ \left(\left({ R_1}+{ R_4} \right)\left({ R_2}+{ R_3}\right)\right)^{2}}$$ (498)

$$\frac{\partial U_i}{d R_4} = \frac{U R_2}{ \left({ R_1}+{ R_4}\right)\left({ R_2}+{ R_3}\right)}-$$

$$\frac{U \left( R_2 R_4 - R_3 R_1\right) \left( R_2+ R_3\right)}{ \left(\left({ R_1}+{ R_4} \right)\left({ R_2}+{ R_3}\right)\right)^{2}}$$ (499)

Die Aussagen über die Empfindlichkeit für die Strommessung gelten auch für die Spannungsmessung. Ein möglichst lineares Ausgangssignal benötigt hohe Querwiderstände $R_i$: Spannungsmessungen sind für nicht abgeglichene Brücken vorzuziehen.

Abbildung 4.65: Wheatstone-Brücke für allgemeine Impedanzen

Die Gleichungen für die Wheatstone-Brücke für allgemeine Impedanzen (Abb. 4.65 können aus Gleichung (4.66) abgeleitet werden. Folgende Ersetzungen sind vorzunehmen:

$$R_1 \rightarrow \vert Z_1\vert e^{i\varphi_1}$$

$$R_2 \rightarrow \vert Z_2\vert e^{i\varphi_1}$$

$$R_3 \rightarrow \vert Z_3\vert e^{i\varphi_1}$$

$$R_4 \rightarrow \vert Z_4\vert e^{i\varphi_1}$$ (500)

Gleichung wird dann zu

$$\frac{Z_1}{Z_4} = \frac{Z_2}{Z_3}$$

$$\Rightarrow \frac{\vert Z_1\vert e^{i\varphi_1}}{\vert Z_4\vert e^{i\varphi_4}} = \frac{\vert Z_2\vert e^{i\varphi_2}}{\vert Z_3\vert e^{i\varphi_3}}$$

$$\Rightarrow \vert Z_1\vert e^{i \varphi_1}* \vert Z_3\vert e^{i\varphi_3} = \vert Z_2\vert e^{i \varphi_2} *\vert Z_4\vert e^{i\varphi_4}$$

$$\Rightarrow \vert Z_1\vert*\vert Z_3\vert e^{i\varphi_1 + i\varphi_3} = \vert Z_2\vert*\vert Z_4\vert e^{i\varphi_2 + \varphi_4}$$ (501)

Daraus ist ersichtlich, dass eine Brücke nur abgleichbar ist, wenn sowohl die Beträge wie auch die Phasen abgeglichen sind. Diese Bedingungen sind:

$$\vert Z_1\vert : \vert Z_4\vert = \vert Z_2\vert : \vert Z_3\vert$$

$$\vert Z_1\vert \vert Z_3\vert = \vert Z_2\vert \vert Z_4\vert$$ (502)

$$\varphi_1 + \varphi_3 = \varphi_2 + \varphi_4$$ (503)