PLL

Abbildung 4.102: Prinzipschaltbild eines Phasenregelkreises

Wenn Frequenzen schnell gemessen werden sollen, oder wenn ein Oszillator mit einem bestimmten Teilerverhältnis an einen Referenzoszillator gekoppelt werden soll, verwendet man Phasenregelkreise, englisch Phase Locked Loop oder PLL. Abb. 4.102 zeigt das Prinzipbild, wenn die Ausgangsfrequenz des spannungsgesteuerten Oszillators gleich der Referenzfrequenz sein soll. Die Frequenz $f_s$ des spannungsgesteuerten Oszillators ist

$$f_s = f_0 + k_f U_st$$ (537)

Am Phasendetektor entsteht eine Ausgangsspannung, die, zumindestens in der Nähe des Nullpunktes (bei dem beide Frequenzen gleich wären) linear ist.

$$U_\varphi = K_\varphi \varphi$$ (538)

Wenn die Referenzfrequenz $f_{ref}$ und die Frequenz $f_s$ unterschiedlich sind, nimmt die Phasenverschiebung $\varphi$ mit der Zeit zu: die Strecke hat ein integrierendes Verhalten. Im eingeschwungenen Zustand sind die Frequenzen exakt gleich, die verbleibende Phasenverschiebung ist:

$$\alpha - \varphi = \frac{ f_{ref} - f_s}{A_R k_r k_\varphi}$$ (539)

wobei $A_R$ die Schleifenverstärkung ist. $\alpha$ ist eine gewollt eingeführte, konstante Phasenverschiebung. Der Frequenzgang dieser Regelschleife kann wie folgt berechnet werden:

$$\varphi = \int\limits_0^t \omega_s d\tau- \int\limits_0^t \omega_{ref} d\tau = \int\limits_0^t \Delta\omega d\tau$$ (540)

Nun wird die Frequenz $f_s$ sinusförmig mit $\omega_m$ moduliert. Mit $\Delta\omega(t) = \widehat{\Delta\omega}\cos \omega_m t$ bekommt man für die Phase

$$\varphi(t) = \frac{\widehat{\Delta \omega}}{\omega_m}\sin\omega_m t$$ (541)

In komplexer Schreibweise wird Gleichung (4.120)

$$\frac{\underline{\varphi}}{\underline{\Delta\omega}} = \frac{1}{j \omega_m}$$ (542)

Dies ist der Frequenzgang eines Integrators. Schliesslich ist die komplexe Schleifenverstärkung

$$\underline{A_s} = \frac{k_f k_\varphi}{j f_m}$$ (543)

Gleichung (4.122) suggeriert, dass das Integratorverhalten der Strecke die Regelung sehr einfach macht. Nun sind aber alle realen Phasendetektoren mit mehr oder weniger langen Verzögerungszeiten behaftet. Wie im Abschnitt 2.4.3 gezeigt, folgt daraus, dass im Regelkreis die Phasenverschiebung (nicht die zwischen den Frequenzen $f_{ref}$ und $f_s$!) proportional zur Frequenz ist. Damit wird es sehr schwierig, den Regelkreis zu stabilisieren. Die Dimensionierung von Phasenregelkreisen gehört somit nicht zu den einfachsten Aufgaben.

Abbildung 4.103: Prinzipschaltbild eines Phasenregelkreises für beliebige Frequenzverhältnisse

In Abb. 4.103 wird gezeigt, wie mit zwei zusätzlichen Teilern beliebige Frequenzverhältnisse gelockt werden können. Der Phasenregelkreis erzwingt, dass $\frac{f_s}{m} = \frac{f_{ref}}{n}$ ist. Damit erhält man für die Frequenz des spannungsgesteuerten Oszillators

$$f_s = \frac{m}{n} f_{ref}$$ (544)

Bei PLL-UKW-Empfängern könnte zum Beispiel $f_{ref} = 4 MHz$ sein Das Frequenzraster ist 50 kHz, also muss $n = 4000/50 = 80$ sein. Wenn m einstellbar ist mit $m = 1940 \ldots 2160$ kann der gesamte UKW-Bereich eingestellt werden.