Hall-Effekt

Abbildung 4.111: Messung von Magnetfeldern mit dem Halleffekt. Rechts die Kennlinie des Halleffekts

Wenn in einem Magnetfeld senkrecht zur Magnetfeldrichtung ein Strom fliesst, dann bewirkt die Lorentzkraft, dass die zur Magnetfeldrichtung und zur Stromrichtung senkrechten Seiten des Leiters geladen werden. Dieser Effekt heisst Hall-Effekt. Zwischen den Elektroden in y-Richtung in Abb. 4.111 tritt dann die Hallspannung

$$U_H = \frac{R_H}{d} I B$$ (550)

auf. Dabei ist angenommen worden, dass die Länge sehr viel grösser als Breite sei. Damit kann man eine Betrachtung des stationären Zustandes durchführen. Die Lorentzkraft auf ein bewegtes Ladungsteilchen ist $\vec{F}_L = q (\vec{v} \times \vec{B}$. Im Gleichgewicht wird sie durch die elektrostatische Kraft des Hall-Feldes

$$\vec{F}_H = q \vec{E}_H$$ (551)

kompensiert. Aus der Betrachtung des Kräftegleichgewichts folgt

$$\vec{E}_H = - (\vec{v} \times \vec{B})$$ (552)

Gleichung (4.131 ist allgemeingültig. Für die folgende Betrachtung nehmen wir an, dass Magnetfeld und Stromflussrichtung orthogonal seien. Dann ist die induzierte Hallspannung $U_H = -b v_x B$. Aus der mittleren Geschwindigkeit $v_x$ der Ladungsträger kann, bei bekannter Ladungsträgerdichte $n$, die Stromdichte $j_{x,n} = n q v_x = \frac{I}{b d}$ berechnet werden. Diese Stromdichte ist die Folge des Stromes $I$, der über die Stirnfläche $b \cdot d$ eingekoppelt wird. Man hat also $j_x = \frac{I}{b \cdot d}$ und damit für negative Ladungsträger (Betrag der Ladung: $q$)

$$U_H = - \frac{1}{n q} \frac{1}{d} I B$$ (553)

Die Abhängigkeit von der Ladungsträgerdichte (n für negative Ladungen und p für positive Ladungen) und von der Ladung wir in einer Hall-Konstante $R_H$ zusammengefasst. Für die beiden Ladungsträgerpopulationen ergeben sich

$$R_{H,n} = - \frac{1}{n q}$$ (554)

$$R_{H,p} = \frac{1}{p q}$$ (555)

Die funktionale Abhängigkeit ist in Abb. 4.111 gezeigt.

Abbildung 4.112: Äquipotentialverlauf beim Halleffekt

In einem Widerstand mit konstantem Querschnitt und homogener Materialzusammensetzung sind die Äquipotentialflächen der Spannung senkrecht zur Stromrichtung. Liegt eine Hallspannung vor, addiert sich deren elektrisches Feld zum ursprünglichen elektrischen Feld. Die Äquipotentialflächen werden, wie in Abb. 4.112 gezeigt, um den Hall-Winkel $\Theta_h$ gekippt.

$$\tan(\Theta_H) = \frac{\vert\vec{E}_H\vert}{\vert\vec{E}_x\vert}$$ (556)

Unter Verwendung der Hallbeweglichkeit $\mu_H$ der Ladungsträger, die sich nicht sehr von der Driftbeweglichkeit $\mu_{drift}$ unterscheidet, ist der Hall-Winkel

$$\tan(\Theta_{H,n}) = - \mu_{H,n} B$$ (557)

$$\tan(\Theta_{H,p}) = \mu_{H,p} B$$ (558)