Wellenfeld auf einem endlichen Leitungsstück mit reflektierter Welle

Als allgemeine Lösung setzen wir eine hin- und eine herlaufende Welle an.

$$u(x t) = \left[\underline{u}_r(\omega) \cdot e^{-\gamma x} + \underline{u}_l(\omega) \cdot e^{\gamma x}\right] \cdot e^{i \omega t} + c.c. = \underline{u}(x \omega)\cdot e^{j \omega t}$$

$$i(x t) = \frac{1}{\underline{z}(\omega)}\left[\underline{u}_r(\omega) \cdo... ... - \underline{u}_l(\omega) \cdot e^{\gamma x}\right]\cdot e^{j \omega t} + c.c. = \underline{i}(x \omega)\cdot e^{j \omega t}$$

Man erhält diese Gleichungen, indem Gleichung (4.215) benutzt wird. Eine nach links laufende Welle kehrt dabei die Stromrichtung um.

Abbildung 4.141: Koordinaten am Leitungsende (links) und Vierpoldarstellung eines Leiterstückes.

Unter Verwendung der Koordinaten in Abb. 4.141 bekommt man für $x_2$

$$\underline{u}(x_2 \omega) = \underline{u}_r\cdot e^{-\gamma x_2} + \underline{u}_l \cdot e^{\gamma x_2}$$

$$\underline{z}(\omega)\cdot \underline{i}(x_2 \omega) = \underline{u}_r\cdot e^{-\gamma x_2} - \underline{u}_l \cdot e^{\gamma x_2}$$

Wir können diese Gleichungen nach $\underline{u}_r$ und $\underline{u}_l$ auflösen und erhalten

$$\underline{u}_r(\omega) = \left[\underline{u}(x_2\text{,} \omega) + \underline{z}(\omega) \cdot \underline{i}(x_2\text{,} \omega)\right]\cdot e^{\gamma \frac{x_2}{2}}$$ (639)

$$\underline{u}_l(\omega) = \left[\underline{u}(x_2\text{,} \omega) - \underline{z}(\omega) \cdot \underline{i}(x_2\text{,} \omega)\right]\cdot e^{-\gamma \frac{x_2}{2}}$$ (640)

Eingesetzt in unseren Ansatz ergibt sich

$$\underline{u}(x \omega) = \underline{u}(x_2 \omega)\cosh\gamma(x_2-x) + \underline{z}(\omega) \cdot \underline{i}(x_2 \omega)\sinh\gamma(x_2-x)$$ (641)

$$\underline{i}(x \omega) = \underline{i}(x_2 \omega)\cosh\gamma(x_2-x) + \underline{u}(x_2 \omega)\sinh\gamma(x_2-x)\frac{1}{\underline{z}(\omega)}$$ (642)

Diese Gleichung kann auch in Matrixschreibweise angegeben werden

$$\left( \begin{array}{c} \underline{u}(x\text{,} \omega) \ \un... ...(x_2\text{,} \omega) \ \underline{i}(x_2\text{,} \omega) \end{array}\right)$$ (643)

Damit stehen die Leitungsgleichungen in Vierpol-Kettenform da (siehe auch Abb. 4.141, rechts).