Fourier-Transformationen

Materialien

Folien zur Vorlesung am 27. 10. 2003 (PDF)

Periodische Signale $f(t)$ = $f(t+T)$ können als Reihenentwicklung

$$f\left( t \right) = \frac{{a_{0} }}{2} + {\sum\limits_{{n = 1}}^{... ...y } {{\left( {a_{n} \cos n\omega _{0} t + b_{n} \sin n\omega _{0} t} \right)}}}$$ (23)

geschrieben werden. Die Koeffizienten der Reihenentwicklung können wie folgt berechnet werden:

$$a_{n} = {\frac{2}{T}}\int\limits_{t_{0} }^{t_{0}+T } {f\left( t \right)\cos (n\omega _{0} t)dt}$$

$$b_{n} = {\frac{2}{T}}\int\limits_{t_{0} }^{t_{0}+T } {f\left( t \right)\sin( n\omega _{0} t)dt}$$ (24)

Alternativ kann eine komplexe Darstellung gewählt werden. Die Funktion heisst dann:

$$f\left( t \right) = \frac{1}{2}{\sum\limits_{{n = - \infty }}^{{ + \infty }} {{c_{n} e^{{jn\omega _{0} t}} }}}$$ (25)

Auch hier können die $c_n$ mit einer Integralformel berechnet werden:

$$c_{n} = \frac{2}{T}\int\limits_{t_{0} }^{t_{0} + T} {f\left( t \r... ...jb_{{ - n}} } \right)\quad {\rm f{\ddot {u}}r}\;n < 0} \end{array}} \right.$$ (26)

Die Fourierkoeffizienten einer Funktion heissen das Amplitudenspektrum. Da die Sinus- und Cosinusfunktionen der Frequenz $\omega_0$ zusammen ein orthogonales Funktionensystem bilden, kann jede periodische Funktion dieser Frequenz eindeutig dargestellt werden. Die Amplitudenspektren haben die folgenden Eigenschaften:

• Je schnellere Änderungen des Signals auftreten, desto grösser sind die höheren Fourierkoeffizienten.
• Eine Funktion $f(t)$ wird durch eine trigonometrische Reihe $s_m\left( t \right) = \frac{{\alpha _{0} }}{2} + {\sum\limits_{{n = 1}}^{m} {{\... ...a _{0} t}}} + {\sum\limits_{{n = 1}}^{m } {{\beta _{n} \cos n\omega _{0} t}}}$ approximiert. Dann ist der quadratische Fehler $\delta ^{2} = \frac{1}{T}\int\limits_0^T {\left[ {f\left( t \right) - s_{m} \left( t \right)} \right]^{2} dt}$ minimal, wenn die Koeffizienten $\alpha_n$ und $\beta_n$ die Fourierkoeffizienten sind.
• Für jede beschränkte und im Intervall $0<t<T$ stückweise stetige Funktion konvergiert die Fourierreihe im Mittel gegen die gegebene Funktion.
• Ist eine Funktion einschliesslich ihrer k-ten Ableitung stetig, dann streben für $n \to \infty$ auch $a_n n^{k+1}$ und $b_n n^{k+1}$ gegen null.
• Ist $f(t)$ eine gerade Funktion, das heisst $f(-t)=f(t)$, so gilt: $b_{n} = 0\quad \left( {n = 0,1,2, \ldots } \right)$. Dies ist die Symmetrie erster Art.
• Wenn $f(t)$ ungerade ist, das heisst, $f(-t)=-f(t)$, dann gilt: $a_{n} = 0\quad \left( {n = 0,1,2, \ldots } \right)$. Dies ist die Symmetrie zweiter Art.
• Gilt $f\left(t+ \frac{T}{2}\right) =-f(t)$, dann sind $a_{{2n}} = b_{{2n}} = 0\quad \left( {n = 0,1,2, \ldots } \right)$. Dies ist die Symmetrie dritter Art.
• Besitzt eine ungerade Funktion die Symmetrie dritter Art (Symmetrie vierter Art), dann gilt $a_{n} = b_{{2n}} = 0\quad \left( {n = 0,1,2, \ldots } \right)$.
• Besitzt eine gerade Funktion die Symmetrie dritter Art (Symmetrie vierter Art), dann gilt $a_{2n} = b_{{n}} = 0\quad \left( {n = 0,1,2, \ldots } \right)$.

Mit Hilfe der oben gezeigten Symmetrien kann sehr schnell der Oberwellengehalt einer Funktion abgeschätzt werden.

Für nichtperiodische Signale oder für Ausschnitte aus periodischen Signalen verwendet man die Fouriertransformation anstelle der Fourierreihe. Die Fouriertransformation und ihre Rücktransformation sind wie folgt definiert:

$$f\left( t \right)=\int\limits_{-\infty }^{+\infty } {\underline{F}\left( \omega \right)e^{j\omega t}d\omega }$$ (27)

$$\underline{F}\left( \omega \right)={\frac{1} {2\pi }}\int\limits_{-\infty }^{+\infty } {f\left( t \right)e^{-j\omega t}dt}$$ (28)

$\underline{F}(\omega)$ ist die spektrale Verteilungsfunktion$\omega$Kreisfrequenz eines Signals. Damit sie existiert, muss das Integral

$$\int\limits_{-\infty }^{+\infty } {\left\vert {f\left( t \right)} \right\vert dt}$$ (29)

endlich sein. Als Beispiel berechnen wir das Spektrum eines Rechteckimpulses. Der Impuls ist gegeben durch

$$f\left( t \right)=\left\{ {\begin{array}{l}{0\quad f\ddot ur\quad... ...rac{t_p}{ 2}}} {0\quad f\ddot ur\quad t>{\frac{t_p}{2}}}\end{array}} \right.$$ (30)

Das Spektrum wird dann

$$\underline{F}\left( \omega \right) = \int\limits_{-{\frac{t_p}{2}}}^{{\frac{t_p}{2}}} {Ae^{-j\omega t}dt}$$ (31)

$$= j{\frac{A}{\omega} }\left( {e^{-j\omega {\frac{t_p}{2}}}-e^{j\omega {\frac{t_p}{2}}}} \right)$$ (32)

$$= t_pA{\frac{\sin \left( {\omega {\frac{t_p}{2}}} \right)} {\omega {\frac{t_p}{2}}}}$$ (33)

Das Spektrum $\underline{F}$ ist reell. Dies ist eine Konsequenz der Tatsache, dass $f(t)$ eine gerade Funktion ist. Wäre $f(t)$ eine ungerade Funktion, dann wäre das Spektrum rein imaginär. Die grössten Amplituden in $\underline{F}$ sind auf den Bereich $0\leq f = \frac{\omega}{2\pi} \leq \frac{1}{t_p}$ beschränkt. $B=\frac{1}{t_p}$ heisst die Bandbreite des Impulses. Allgemein gilt für Pulse

$$B t_p = 1$$ (34)

Je kürzer also ein Puls ist,desto grösser ist seine Bandbreite. Für einen unendlich scharfen Puls, einen Dirac-$\delta$-Puls bedeutet dies, dass seine Spektralfunktion konstant ist. Dieses Gesetz hat eine Ähnlichkeit mit den Unschärferelationen der Quantenmechanik.