Elektrische Spektralanalyse und Netzwerkanalyse

Abbildung 4.257: Blockschaltbild eines Spektralanalysators.

Bei sehr hohen Frequenzen verwendet man häufig anstelle von Messungen im Zeitbereich Messungen im Frequenzbereich durchgeführt. Bis etwa zu 10 MHz werden Fourieranalysatoren, beruhend auf der schnellen Fouriertransformation (Siehe auch 2.4.2). Für höhere Frequenzen verwendet man Spektralanalysatoren, bei denen die Oszillatoren durchgestimmt werden. Abbildung 4.257 zeigt den Aufbau eines solchen Spektralanalysators. Ein Sägezahnoszillator steuert einen in der Frequenz abstimmbaren Oszillator. Diese Abstimmung könnte zum Beispiel durch einen Schwingkreis mit Kapazitätsdioden realisiert sein. Dieses Signal wird in einem Mischer mit dem tiefpassgefilterten Eingangssignal multipliziert. Aus allen Frequenzen $f_S$ des Eingangssignales wird nur derjenige Bereich, der in das Durchlassband des Zwischenfrequenzverstärkers fällt, weiter verstärkt. Dabei ist die Zwischenfrequenz

$$f_{ZF} = f_S + f_{LO}$$ (875)

Da die Zwischenfrequenz fest ist, wird bei einer Erhöhung der Oszillatorfrequenz die detektierte Signalfrequenz erniedrigt. Wie bei den Lock-In-Verstärkern (siehe auch 4.1.9) legt die Bandbreite des Zwischenfrequenzverstärkers die Bandbreite des Detektionssystems fest. Aus der Filterbandbreite ergibt sich die Messzeit. Die Zeit zur Überstreichung des Frequenzbereiches ist dabei umgekehrt proportional zum Quadrat der Filterbandbreite[31]. Die Quadratische Abhängigkeit kommt von Zwei Faktoren: Einerseits müssen bei einer halben Filterbandbreite doppelt so viele Messpunkte im zu überstreichenden Frequenzbereich. Gleichzeitig ist die Einstellzeit auf eine vorbestimmte Präzision doppelt so lange. Beide Effekte zusammen ergeben eine quadratische Abhängigkeit.

Der Aussteuerungsbereich des Spektrumanalysators wird bei niedrigen Pegeln durch das Geräterauschen und bei hohen Pegeln durch die nichtlinearen Verzerrungen im Mischer begrenzt. Wenn sehr hohe Frequenzen zu messen sind, dann verwendet man Oberwellen des lokalen Oszillators. Bei einer Messung mit der $n$-ten Oberwelle hängen die gemessene Frequenzkomponente $f_S$ und die Zwischenfrequenz $f_{ZF}$ wie

$$f_S = n \cdot f_{LO} + f_{ZF}$$ (876)

zusammen. Es ist damit möglich, bis zu 18 GHz Spektren zu messen. Da die Spiegelfrequenzen schlechter unterdrückt werden, ist die Qualität der Messung nicht so gut wie bei Spektralanalysatoren mit Grundfrequenzoszillatoren.

Neben der Darstellung von modulierten Signalen werden Spektralanalysatoren insbesonders zur Messung von Rauschsignalen (Abschnitt 2.8) verwendet. Bei Zufallsrauschen bedeutet eine Vervierfachung der Bandbreite eine Verdoppelung des Rauschpegels. Man bezieht die Rauschbandbreite eines Spektralanalysators auf die Bandbreite eines Gauss-Filters. Diese ist etwa das 1.2-fache der 3dB-bandbreite[31].

$$\delta B = 10 \lg \left(1.2 \frac{B_{ZF}}{B_{ref}}\right)$$ (877)

Hier ist $B_{ZF}$ die Bandbreite des Zwischenfrequenz-Verstärkers. Da in Spektralanalysatoren meistens Spitzenwerte gemessen werden und diese mit einem Faktor passend für eine sinusförmige Schwingung umgerechnet werden, müssen die gemessenen Amplituden bei einer Rauschmessung um 2.5 dB nach oben korrigiert werden.

Abbildung 4.258: Blockschaltbild eines Netzwerkanalysators.

Bei der Netzwerkanalyse nach Abbildung 4.259 wird ein von einer Quelle stammendes bekanntes Signal an den Eingang eines Netzwerkes gelegt. Das übertragene Signal und das reflektierte Signal werden gemessen.

Beim reflektierten Signal werden

• das Stehwellenverhältnis
• die S-Parameter $\underline{S}_{21}$ und $\underline{S}_{12}$
• der Reflexionskoeffizient
• die Impedanz $\underline{Z}$ und
• die Rückflussdämpfung

gemessen. Das übertragene Signal wird durch

• die Verstärkung oder Dämpfung,
• die S-Parameter $\underline{S}_{11}$ und $\underline{S}_{22}$,
• den Übertragungsfaktor,
• die Phasenverschiebung und
• die Gruppenlaufzeit

charakterisiert.

Abbildung 4.259: Prinzipieller Aufbau eines Spektrumanalysators.

Abbildung 4.259 zeigt den prinzipiellen Aufbau eines Netzwerkanalysators. Die notwendigen Signale werden in einem Signalgenerator erzeugt. Mit diesem Signal wird das zu untersuchende Netzwerk gespiesen. Ein kleiner Bruchteil der ursprünglichen Signalleistung wird in die Schaltung zur Signaltrennung eingespiesen. Dieser Signalanteil dient als Referenz. Das Rückreflektierte Signal wird mit einem Richtkoppler vom Eingangssignal getrennt und in die Signaltrennungsschaltung eingespiesen. Schliesslich wird ein kleiner Bruchteil des übertragenen Signals weiterverarbeitet.

Die Empfänger/Detektorschaltung ist analog zu einem Lock-In-Verstärker aufgebaut und liefert Phase und Amplitude des übertragenen und des reflektierten Signals.

Abbildung 4.260: Durchführung einer Reflexionsmessung mit einem Netzwerkanalysator.

Bei einer Reflexionsmessung wird der Netzwerkanalysator wie in der Abbildung 4.260 gezeigt, verschaltet. Das von einem Signalgenerator kommende Signal wird in einem 6 dB-Teiler in zwei Signale mit je der halben Leistung aufgetrennt. Das eine Signal (oben) dient als Referenz. Das andere wird über einen Richtkoppler[5][31] in den Prüfling eingespiesen. Der Richtkoppler trennt das rückreflektierte Signal ab und speist es ebenfalls in den Netzwerkanalysator.

Die Reflexionsmessung kann verwendet werden, wenn man feststellen möchte, ob ein Kabel unterbrochen ist oder ob es einen Kurzschluss hat. In beiden Fällen ist die Impedanz an der Störstelle nicht gleich dem Wellenwiderstand des Kabel: Reflektierte Signale treten auf. Deren Phase zeigt an, ob es sich um einen Kurzschluss oder eine Unterbrechung handelt. Die Laufzeit hängt von der Entfernung der Störstelle ab.

Abbildung 4.261: Detektionsverfahren. a) ist ein Diodendetektor. b) ist ein Grundwellenmischer und c) ein Oberwellenmischer

Typische Empfängerschaltungen werden in der Abbildung 4.261 gezeigt. Links ist eine einfache Spitzenwertdetektionsschaltung mit einer Diode als Gleichrichter und mit einem Kondensator als Filter angegeben. Damit lässt sich die Einhüllende der detektierten Signale bestimmen. Das mittlere und das rechte Bild zeigen Misch-Verstärker, wie sie auch in Radioempfängerschaltungen eingesetzt werden. Das Eingangssignal wird mit einem um die Zwischenfrequenz versetzten Signal multipliziert und in einem schmalbandigen Filter mit einem festen Durchlassbereich verstärkt und anschliessend demoduliert. Ist die Frequenz des Eingangssignals zu hoch, dann kann der Lokaloszilator einen Hilfsoszillator auf einem Vielfachen seiner Frequenz steuern. Dessen Signal wird mit dem Eingangssignal gemischt. Der verbleibende Teil der Schaltung ist analog zur ursprünglichen Schaltung.

Abbildung 4.262: Amplitudendetektion.

Die Detektion des Zwischenfrequenzsignals kann entweder skalar oder, wie oben angesprochen, über einen Lock-In Verstärker geschehen. Im ersten Falle nennt man das Gerät einen skalaren Netzwerkanalysator, im zweiten Falle handelt es sich um einen vektoriellen Netzwerkanalysator. Abbildung 4.262 zeigt das Funktionsschema eines skalaren Netzwerkanalysators. Das Ausgangssignal eines Signalgenerators wird in einem 6-dB-Teiler auf den referenzzweig (unten) und den Signalzweig (oben) aufgeteilt. Das Signal wird in einer Zwischenfrequenzstufe (ZF-Filter) entweder direkt nach dem Teiler (Referenzzweig) oder nach Durchlaufen des Prüflings verarbeitet. In beiden Zweigen wird das Signal durch einen Gleichrichter demoduliert. Ein Dividierer bildet den Quotienten aus dem Signal am Ausgang des Prüflings und dem Referenzsignal. Das Resultat wird angezeigt, oder in Rechnern weiterverarbeitet.

Abbildung 4.263: Phasenmessung.

Zur Phasenmessung wird der in der Abbildung 4.263 gezeigte Aufbau verwendet. Anstelle eines Dividierers wird ein phasenempfindlicher Detektor verwendet. Die Darstellung von Amplitude und Phase wird vielfach mit einem Smith-Chart durchgeführt. Eine ausführliche Diskussion dieser Darstellungsform findet sich auf der Webseite von Spread Spectrum Scene.

Abbildung 4.264: Amplituden- und Phasengang bei einer linearen Übertragung.

Bei einer linearen Übertragungskette ist das Verhältnis zwischen der Ausgangsspannung $\underline{U}_{aus}$ und der Eingangsspannung $\underline{U}_{ein}$ der komplexe Übertragungskoeffizient $\underline{v}$. Um eine gültige Übertragungsmessung durchführen zu können, muss der Netzwerkanalysator mit einer bekannten Teststrecke kalibriert werden.

Bei der Untersuchung einer Teststrecke ist von besonderem Interesse, das Verzerrungsverhalten zu bestimmen. Wie man durch Anwendung der Übertragungstheorie (siehe auch den Abschnitt 2.3 und folgende) berechnen kann, ist eine verzerrungsfreie Übertragung nur dann möglich, wenn, wie in Abbildung 4.264 die Amplitude konstant und die Phase linear ist[31]. Der erste Teil dieses Messproblems kann sowohl mit einem skalaren Netzwerkanalysator wie auch mit einem vektoriellen Netzwerkanalysator gelöst werden.

Die Phasenmessung jedoch ist nur mit einem vektoriellen Netzwerkanalysator durchführbar. Um die Wirkung einer linear zunehmenden Phase zu verstehen, betrachten wir die Gruppenlaufzeit

$$t_g = - \frac{d\varphi }{d\omega}=-\frac{1}{2\pi}\frac{d\varphi }{d f}\approx -\frac{1}{2\pi}\frac{\Delta\varphi }{\Delta f}$$ (878)

Eine linear ansteigende oder abnehmende Phase bedeutet eine konstante Gruppenlaufzeit. Das heisst, dass jede Signalkomponente bei einer Frequenz im Bereich der linearen Phase um die gleiche zeit verzögert wird: Das Signal wird also nicht verzerrt.

Abbildung 4.265: Reflektierte Signale an einer Leitung abhängig vom Abschlusswiderstand.

Bei einer Messung des Reflexionsverhaltens wird die aus einem Messobjekt in die Quelle zurückreflektierte Spannung $\underline{U}_R$ bestimmt. Sie hängt mit der Eingangsspannung $\underline{U}_{ein}$ über

$$\underline{U}_R = \frac{\underline{Z}_L-\underline{Z}_0}{\underline{Z}_L+\underline{Z}_0} \underline{U}_{ein}$$ (879)

zusammen. $\underline{Z}_0$ ist die (konstante?) Impedanz einer Übertragungsstrecke und $\underline{Z}_L$ ist die Impedanz des Abschlusses der Übertragungsstrecke. Es ist üblich, einen komplexen Reflexionsfaktor

$$\underline{r} = \frac{\underline{U}_R}{\underline{U}_{ein}} = \frac{\underline{Z}_L-\underline{Z}_0}{\underline{Z}_L+\underline{Z}_0}$$ (880)

zu definieren. Für $\underline{r}$ gilt, dass $0\le \vert\underline{r}\vert= r \le 1$ ist. Abbildung 4.265 zeigt die Grösse der reflektierten Signale für drei Fälle: Kurzschluss ( $\underline{Z}_L =0$), Leerlauf ( $\underline{Z}_L =\infty$) und Anpassung ( $\underline{Z}_L =\underline{Z}_0$).

Die rückreflektierte Welle interferiert mit der eingespeisten Welle. Das dabei entstehende Muster von Wellenbergen und Tälern hängt vom Reflexionsfaktor $r$ ab. In der Antennentechnik ist es üblich das Stehwellenverhältnis

$$SWR = \frac{1+r}{1-r}=\frac{U_{max}}{U_{min}}$$ (881)

zu verwenden. Es gilt, dass $1 \le SWR \le \infty$ ist.

Abbildung 4.266: Links: Frequenzgang des Abschlusswiderstandes für Abbildung 4.267. Rechts ist die entsprechende Nyquist-Darstellung gezeigt.

Die Transformation des Abschlusswiderstandes (4.459) ist äquivalent zu einer Abbildung der komplexen Ebene auf sich. Wenn alle Impedanzen auf den Wert $\underline{Z}_0$ bezogen werden, bekommt man für $r$

$$\underline{r} = \frac{\frac{\underline{Z}_L}{\underline{Z}_0}-1}{... ...{\underline{Z}_L}{\underline{Z}_0}+1} = \frac{\underline{z}-1}{\underline{z}+1}$$ (882)

Dabei wurde $z = \underline{Z}_L/\underline{Z}$ gesetzt. Die Transformation von $\underline{z}$ nach $\underline{r}$ ist eine konforme Abbildung auf sich selber. Mit dieser Abbildung nach Gleichung (4.461) kann im Polardiagramm (siehe Abbildung 4.267, links) direkt der Betrag des Reflexionsfaktors und seine Phase abgelesen werden.

Andererseits kann man mit der gleichen Abbildung Gleichung (4.461) auch die Koordinatenachsen und das Gitternetz der $\underline{Z}$-Ebene abbilden. Man tranformiert also die Geraden mit konstantem Real- (Widerstands-) und Imaginärteil. Konforme Abbildungen bilden Geraden auf Kreise ab. Die entstehenden Kurven (siehe Abbildung 4.267, rechts) heissen dann Smith-Chart.

Die Transformation der Linien mit konstantem Real- oder Imaginärteil ist im Anhang G.4 gezeigt. Die entstehenden Ortskurven sind Kreise, ihre Anordnung heisst Smith-Chart.

Abbildung 4.267: Darstellung der reflektierten Signale in der Polardarstellung und im Smith-Diagramm. Die Polardarstellung zeigtden Reflexionsfaktor $r$ und die Phase $\varphi$, während die Smith-Darstellung Real- und Imaginärteil zeigt.

Wir wollen nun einen Abschlusswiderstand, der sich wie in der Abbildung 4.266 verhält, in einen Smith-Chart eintragen. Dazu werden der Real- und der Imaginärteil auf den Gitternetzlinien im Bild 4.267 abgetragen. Die entstehende rote Ortskurve zeigt das reflektierte Signal (abzulesen an den äusseren Achsenbeschriftungen) als Funktion der Abschlussimpedanz.

Abbildung 4.268: Darstellung der reflektierten Signale kombiniert in der Polardarstellung und im Smith-Diagramm.

Polardiagramm und Smith-Chart können kombiniert werden. Dies ist in Abbildung 4.268 gezeigt.

Bei der Berechnung von Schaltungen mit Smith-Charts hilft eine einfache graphische Regel. Nehmen wir an, $\underline{Z}$ sei die Impedanz und $\underline{Y}/\underline{Y}_0 = \underline{Z}_0/\underline{Z}$ die dazugehörige Admittanz (Dualismus Widerstand - Leitwert). $\underline{Z}_0$ ist die Referenzimpedanz, $\underline{Y}_0 = 1/\underline{Z}_0$ die Referenzadmittanz. Dann liegt der zu $\underline{Y}/\underline{Y}_0$ gehörige Punkt im Smith-Diagramm bei

$$\underline{r}_Y = \frac{\frac{\underline{Y}}{\underline{Y}_0}-1}{... ...underline{Z}_0}-1}{\frac{\underline{Z}}{\underline{Z}_0}+1} = -\underline{r}_Z$$

Dies bedeutet, dass die zu $\underline{Z}/\underline{Z}_0$ gehörige Admittanz $\underline{Y}/\underline{Y}_0$ einfach am Punkt $\underline{r}= 0$ gespiegelt ist. Damit könnenin einem Smith-Chart sehr leicht Reihen- und Parallelschaltungen berechnet werden. Bei Reihenschaltungen von Impedanzen werden die Real- und Imaginärteile addiert. Bei Parallelschaltungen von Impedanzen werden die zugehörigen Admittanzen addiert. Damit kann sehr leicht aus Impedanzkurven im Smith-Chart der resultierende Frequenzverlauf konstruiert werden.

Abbildung 4.269: S-Parameter. Oben ist die Definition gezeigt, unten das dazugehörige Flussdiagramm

Zur Untersuchung von komplexeren Objekten wie Transistoren oder Verstärkern führt man sie auf Vierpole (siehe auch Abschnitt 2.5) zurück. Im Hoch- und Höchstfrequenzbereich werden bevorzugt die S-Parameter verwendet. Die Definition der S-Parameter ist in der Abbildung 4.269 gezeigt. In Gleichungen gefasst ergibt sich

$$\underline{b}_1 = \underline{S}_{11}\underline{a}_1+\underline{S}_{12}\underline{a}_2$$

$$\underline{b}_2 = \underline{S}_{21}\underline{a}_1+\underline{S}_{22}\underline{a}_2$$ (883)

Die Grössen $\underline{a}_i$ und $\underline{b}_i$ können mit einem vektoriellen Netzwerkanalysator direkt gemessen werden. Durch Messung in Vorwärtsrichtung lassen sich mit $\underline{a}_2 = 0$

$$\underline{S}_{11} = \frac{\underline{b}_1}{\underline{a}_1}$$

$$\underline{S}_{21} = \frac{\underline{b}_2}{\underline{a}_1}$$ (884)

bestimmen. In Rückwärtsrichtung erhält man mit $\underline{a}_1 = 0$

$$\underline{S}_{12} = \frac{\underline{b}_1}{\underline{a}_2}$$

$$\underline{S}_{22} = \frac{\underline{b}_2}{\underline{a}_2}$$ (885)

Damit sind die Kleinsignalparameter eines Prüflings bestimmt.