Laplace-Transformationen

Die Fouriertransformation im vorangegangenen Kapitel kann nur gelöst werden, wenn das Integral über den Betrag der Zeitfunktion endlich ist. Weiter müssen die Funktionswerte zu allen früheren, aber auch zu allen späteren Zeiten bekannt sein. Damit ist die Fouriertransformation akausal. Die Kausalität verlangt nun, dass ein Signal nur von seiner Vorgeschichte, nicht aber von seiner Zukunft abhängen kann. Eine Konsequenz der Kausalität ist, dass es keine beliebig scharfen Filter geben kann.

Mit der Laplace-Transformation kann insbesondere sehr elegant das Problem der Berechnung von Faltungsintegralen gelöst werden. Dieses Problem taucht immer dann auf, wenn Ein Ausgangssignal bei bekannter Impulsantwort aus dem Eingangssignal berechnet werden muss.

Die Laplace-Transformation ist nun definiert durch

$$F\left( p \right)=\int\limits_0^\infty {f\left( t \right)e^{-pt}dt}$$ (50)

Hier ist $p=x+j\omega$ eine komplexe Funktion. Wenn $f(t)=0$ ist für $t<0$ dann ist in vielen Fällen die Fouriertransformation und die Laplace-Transformation äquivalent. Vielfach schreibt man für die Laplace-Transformation auch

$$F(p) = L(f(t))$$ (51)

Die Umkehrfunktion der Laplace-Transformation ist nicht so einfach wie die der Fouriertransformation. Während bei dieser ein Vorzeichen gewechselt werden muss, benötigt die Laplace-Transformation eine Integration in der komplexen Ebene.

$$f\left( t \right)={\frac{1} {2\pi j}}\mathop {\lim }\limits_{r\to \infty }\int\limits_{s-jr}^{s+jr} {e^{pt}{\frac{F\left( p \right)}{p}}dp}$$ (52)

dabei muss der Integrationsweg $s$ so gewählt werden, dass alle singulären Punkte des Integranden links von der Geraden $\Re p = s$ liegen. Die wichtigsten Eigenschaften der Laplace-transformierten Funktion sind:

• $L\left({\frac{df\left( t \right)} {dt}}\right) = pF\left( p \right)-f\left( 0 \right)$
• $L\left({\frac{d^2f\left( t \right)} {dt^2}}\right)= p^2F\left( p \right)-pf\left( 0 \right)-f'\left( 0 \right)$
• $L\left({\frac{d^nf\left( t \right)} {dt^n}}\right) = p^nF\left( p \right)-p^{\l... ...-2\right)}f'\left( 0 \right)- \ldots -f^{\left( {n-1} \right)}\left( 0 \right)$
• $L\left(\int\limits_0^t f\left( t \right)dt\right) = {\frac{1}{ p}}F\left( p \right)$
• $L\left(f\left( {at} \right)\right)= \frac{1}{a}F\left( {{\frac{p}{ a}}} \right)$
• Wenn $L\left(f_1\left( t \right)\right)= F_1 \left( p \right)$ und $L\left(f_2\left( t \right)\right)= F_2 \left( p \right)$ ist, dann ist auch $L\left(a_1 f_1\left( t \right) + a_2 f_2\left( t \right)\right)= a_1 F_1 \left( p \right)+ a_2 F_2 \left( p \right)$
• Dämpfungssatz: Wenn $L\left(f\left( t \right)\right)= F \left( p \right)$, dann ist $L\left(e^{-at} f\left( t \right)\right) = F \left( p+a \right)$
• Verschiebungssatz nach rechts (Retardation): Wenn $L\left(f\left( t \right)\right)= F \left( p \right)$ und $\lambda > 0$, dann ist $L\left(f(t)\right) = e^{-\lambda p}F(p)$
• Verschiebungssatz nach links: Wenn $L\left(f\left( t \right)\right)= F \left( p \right)$ und $\lambda > 0$, dann ist $L\left(f(t)\right) = e^{\lambda p}\left[F(p)-\int_0^\lambda e^{-pt} f(t) dt\right]$
• Satz von Borel: Wenn $L\left(f_1\left( t \right)\right)= F_1 \left( p \right)$ und $L\left(f_2\left( t \right)\right)= F_2 \left( p \right)$ ist, dann ist auch $L\left(\int\limits_0^t f_1\left( {t-\tau } \right)f_2\left( \tau \right)d\tau\right)= {\frac{1}{ p}}F_1\left( p \right)F_2\left( p \right)$
• Die Ausgangsfunktion zu $F(p) = p$ ist die Dirac-$\delta$-Funktion

Die Laplace-Transformation wird eingesetzt, um Differentialgleichungssysteme zu lösen. In der Elektronik wird Sie zur Berechnung von Frequenzgängen verwendet.

Einige Funktionen und ihre Laplacetransformierten sind in der Tabelle C.1 im Anhang angegeben.

Beispiel (Maple-Datei): Laplace-Transformation (Maple)