z-Transformationen

Die obigen Transformationen, die Fouriertransformation (Abschnitt 2.4.2) und die Laplace-Transformation (Abschnitt 2.4.3), können nur auf kontinuierliche Signale angewandt werden. Digitale Signalverarbeitung funktioniert aber nur mit zeit- und amplitudendiskreten Messwerten. Die hier besprochene z-Transformation ist die für dieses Problem angepasste Transformation. Die z-Transformation und die im Abschnitt 2.6.2 besprochenen Digitalfilter und -techniken können auch auf die Datenanalyse im Computer angewandt werden. Während die Laplace-Transformation und die Fourier-Transformation zur Lösung von Differentialgleichungen und -gleichungssystemen verwendet werden können, wird die z-Transformation zur Berechnung von Systemen von Differenzengleichungen verwendet.

Wir betrachten nun eine Übertragungskette für diskrete Signale (Abbildung 2.20 und 2.21).

Abbildung 2.20: Digitale Übertragungskette im Zeitbereich

Abbildung 2.21: Digitale Übertragungskette im Frequenzbereich

Hier ist die Funktion $f(t)$ für die Zeiten $0 < t < \infty$ nur für diskrete Argumente $t_{n} = nT_{a}$ $\left( {n = 0,1,2, \ldots ;T_a > 0,T_a {\rm const}} \right)$ definiert. Die Amplitudenwerte an den diskreten Zeitwerten sind ebenfalls diskret. Die Folge $\left\{ {f_{n} } \right\}$ und die an diskreten Zeitwerten definierte Funktion $f(nT_a)$ sind äquivalent.

Die z-Transformation $F(z)$ der Folge $\left\{ {f_{n} } \right\}$ ist definiert durch

$$F\left( z \right) = {\sum\limits_{{n = 0}}^{\infty } {{f_{n} z^{{ - n}} }}}$$ (53)

Die Folge $\left\{ {f_{n} } \right\}$ heisst z-transformierbar, wenn die Summe in Gleichung (2.53) konvergiert. Als Kürzel kann man auch schreiben

$$F\left( z \right) = {Z}\left\{ {f_{n} } \right\}$$ (54)

$\left\{ {f_{n} } \right\}$ ist die Originalfolge, $F(z)$ die Bildfolge.