Paarkorrelation und LEED-Bilder

Wir wandeln die Gittersumme in ein Integral um:

$$\psi _{{\Delta k}} = {\sum\limits_{i} {{e^{{i\Delta {\vec{k}}{\ve... ...its_S {P\left( {{\vec{r}}} \right)} e^{{i\Delta {\vec{k}}{\vec{r}}}} d{\vec{r}}$$ (1054)

mit

$$P\left( {{\vec{r}}} \right) = {\sum\limits_{i} {{\delta \left( {{\vec{r}} - {\vec{r}}_{i} } \right)}}}$$ (1055)

also $\psi _{{\Delta {\vec{k}}}}$ ist die Fouriertransformierte von $P\left( {{\vec{r}}} \right)$

Relationen für Fouriertransformationen:

$$h\left( x \right) = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {f\left( t \right)} g\left( {x - t} \right)dt$$ (1056)

und

$$F\left( {h\left( x \right)} \right) = F\left( {f\left( x \right)} \right) \bullet F\left( {g\left( x \right)} \right)$$ (1057)

einer Faltung entspricht das Produkt der Fouriertransformation. Wenn wir in der obigen Gleichung $g\left( x \right) = f^{*} \left( x \right)$ setzen, dann wird die Autokorrelation

$$\varphi \left( x \right) = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {f\left( t \right)} f^{*} \left( {x - f} \right)df$$ (1058)

Damit wird das Leistungsspektrum

$$F\left( {\varphi \left( x \right)} \right) = \left\vert {F\left( {f\left( x \right)} \right)} \right\vert^{2}$$ (1059)

Gemessen werden in einem LEED-Experiment oder, allgemeiner, in einem beliebigen Streuexperiment die Intensitäten

$$I = \left\vert \psi \right\vert^{2} = \left\vert F \left( P \left... ... \right) \right) \right\vert^{2} = F\left( \varphi \left( \vec{r}\right)\right)$$ (1060)

Nach der Gleichung (4.639) ist die gemessene Intensität proportional zur Paarkorrelation der Streuzentren. Durch eine Theorie lässt sich aus der Paarkorrelationsfunktion die Intensitätsverteilung berechnen. Die Umkehrung ist aber nicht möglich, da bei der Intensitätsmessung die Phase verloren geht (Phasenproblem).

Abbildung 4.400: Beispiel: Regelmässige Domänen einer Kristallstruktur mit der Periode $a$ jeweils im Abstand von $(N + 1/2) a$

Bei einer komplexen Abbildung ist die Fouriertransformation der Paarkorrelationsfunktion der gesamten Abbildung das Produkt der Fouriertransformationen der Paarkorrelationsfunktionen der einzelnen Schritte der Abbildung. Dies entspricht im realen Raum dies einer Faltung. Abbildung 4.400 zeigt als Beispiel die Abbildung mit mehreren Domänen. Dabei ist ersichtlich, dass jeweils jeder zweite Spot ist aufgespalten ist. Sind die Domänen nicht streng periodisch angeordnet, überlagern sich alle möglichen Verbreiterungen. Die LEED-Spots sind dann verbreitert.

Mit dem gleichen Formalismus lassen sich die Beugungsmuster gestufter Oberflächen berechnen.