Analogfilter

Als einfachstes Beispiel eines Filters betrachten wir einen RC Tiefpass. Die Filtercharakteristik geschrieben mit Frequenzen ist

$$\underline{A}\left( j \omega \right) = \frac{\underline{U}_a}{\underline{U}_e} = \frac{1}{ 1+j\omega R C}$$ (160)

Es ist üblich, die Gleichung (2.160) so umzurechnen, dass die Frequenz $\Omega$, bei der $\frac{\underline{U}_a}{\underline{U}_e} = 2^{-1/2}$ ist, gleich 1 gesetzt wird. Mit $\Omega = \frac{\omega}{\omega_0}$ ( $\omega_0 = \frac{1}{RC}$ ist die natürlich Grenzfrequenz unseres Tiefpasses. Gleichung (2.160) wird dann

$$\underline{A}\left( j \Omega \right) = \frac{1}{ 1+j\Omega}$$ (161)

Nun haben wir im Abschnitt 2.4.3 über die Laplace-Transformation gesehen, dass diese Kausalität erzwingt. Indem $\omega$ mit $p$ identifiziert wird (man kann auch sagen, dass die allgemein komplexe Variable $p$ nur entlang der imaginären Achse betrachtet wird), erhält man die Übertragungsfunktion

$$\underline{A}\left( p \right) = \frac{L\left(\underline{U}_a \right)}{L\left(\underline{U}_e\right)} = \frac{1}{ 1+p R C}$$ (162)

und daraus mit $P = \frac{p}{\omega_0}$ die normierte Darstellung der Übertragungsfunktion

$$\underline{A}\left( P\right) = \frac{1}{ 1+P}$$ (163)

Die Darstellung in Gleichung (2.163) ist die einfachste denkbare Darstellung eines Tiefpassfilters. Die Grenzfrequenz ist normiert, alle Details der Realisierung werden mit der Normierung kaschiert. Das Vorgehen ist in gewissem Sinne analog zu dem der theoretischen Physiker, wenn sie $\hbar = 1$ und $c = 1$ setzen. Für Sinuswellen ist das Verhältnis zwischen Ausgangs- und Eingangssignal ist

$$\left\vert \underline{A}(j\Omega)\right\vert^2 = \frac{1}{1+\Omega^2}$$ (164)

Für grosse Frequenzen $\Omega \gg 1$ verhält sich die Ausgangsamplitude $\left\vert \underline{A} \right\vert = 1/\Omega$. Dies entspricht einem Verstärkungsabfall von 6 dB pro Oktave (Faktor 2) oder 20 dB pro Dekade (Faktor 10). Der Verstärkungsabfall pro Dekade ist charakteristisch für die Filterordnung. Pro Ordnung erhält man 20 dB pro Dekade. Für einen steileren Abfall der Verstärkung kann man n Filter hintereinander schalten. Wenn man annimmt, dass jeder Teilfilter vom vorhergehenden entkoppelt ist (keine Rückwirkung) und wenn man weiter annimmt, dass jeder Teilfilter eine andere Grenzfrequenz haben kann, charakterisiert durch den Faktor $\alpha_i$ dann ist die Übertragungsfunktion

$$A(P) = \frac{1}{\left(1+\alpha_1 P\right)\left(1+\alpha_2 P\right)\ldots\left(1+\alpha_n P\right)}$$ (165)

Die Koeffizienten $\alpha_i$ sind reell und positiv. Für grosse Frequenzen gilt $\left\vert \underline{A}(j\Omega)\right\vert \propto \Omega^{-n}$. Der Abfall ist also n mal 20 dB pro Dekade. Bei n gleichen, entkoppelten Tiefpässen ist die 3-dB Grenzfrequenz $\Omega = 1$, wenn gilt:

$$\alpha _i=\alpha=\sqrt {\root n \of 2-1}\quad \left(i=1,2,\ldots,n\right)$$ (166)

Die Grenzfrequenz eines einzelnen Tiefpasses ist um $1/\alpha$ höher als die Grenzfrequenz der Gesamtschaltung. Diese Eigenheit ist bei allen zusammengesetzten Teifpässen zu bemerken. Die oben eingeführten Tiefpässe haben nur reelle Pole. Sie heissen kritische Tiefpässe. Tabelle F.1 im Anhang gibt eine Übersicht über die Filterkoeffizienten. Die Koeffizienten sind in Gruppen zu zwei geordnet, da man jedes Polynom mit reellen Koeffizienten in ein Produkt von Polynomen 2. Grades aufspalten kann. Allgemein ist eine Filterfunktion gegeben durch

$$A(P) = \frac{A_0}{1+c_1 P +c_2 P^2 + \ldots + c_n P^n}$$ (167)

Hier ist $A_0$ die Verstärkung bei $\Omega = 0$. Für beliebige reelle Koeffizienten $c_i$ kann das Nennerpolynom in Gleichung (2.167) in $n/2$ ($(n-1)/2$ bei ungeradem n) Polynome 2. Grades (und ein Polynom ersten Grades bei ungeradem n) aufgespalten werden. Diese Polynome zweiten Grades haben entweder zwei reelle Nullstellen, oder aber zwei konjugiert komplexe. Wir können also schreiben:

$$A(P) = \frac{1}{\left(1+a_1 P + b_1 P^2 \right)\left(1+a_2 P + b_2 P^2\right)\ldots}$$ (168)

Wir vereinbaren, dass bei ungeradem n $b_1 = 0$ sein soll. Für unser kritisch gedämpftes Filter gilt nun:

$$a_i = 2\alpha \quad\quad b_i = \alpha^2$$ (169)

Diese Koeffizienten sind in Tabelle F.1 aufgelistet. Konjugiert komplexe Pole, wie sie in einem Filter höherer Ordnung auftreten können, sind nicht mit einfachen RC-Filtern realisierbar. Entweder man verwendet auch Spulen, also RLC-kreise, oder man benötigt aktive Schaltungen, wie sie im Kapitel 3 besprochen werden. Es gibt nun verschiedene Optimierungsstrategien für die Filterkoeffizienten. Sie werden in den folgenden Abschnitten nun besprochen.