Ladungsträgerdichten im dotierten Halbleiter

**Abbildung 3.11:** Schematisches Bändermodell, Zustandsdichte und Fermi-Verteilung sowie Ladungsträgerdichten für a) intrinsische, b) n- und c) p-Halbleiter.
$\begin{figure}\centering \protect{\includegraphics[width=10cm]{Bilderpneu/hl-09}} % \end{figure}$

Solange die Besetzung im Leitungsband bzw. im Valenzband in guter Näherung mit Hilfe der Boltzmann-Verteilung beschrieben werden kann (Fall des nicht entarteten Halbleiters), gilt auch für dotierte Halbleiter das Massenwirkungsgesetz:

$\displaystyle n\cdot p=N_\mathrm{eff}^\mathrm{L}\cdot N_\mathrm{eff}^\mathrm{V}\;\mathrm e^{-\frac{-E_\mathrm{g}}{k_B T}}\;.$

(337)

Eine etwas kompliziertere Neutralitätsbedingung regelt wieder die Lage des Fermi-Niveaus $E_\mathrm{F}$ im homogen dotierten Halbleiter; die negative Ladungsträgerdichte muss gleich der positiven Ladungsträgerdichte sein:

$\begin{displaymath}\begin{array}{llcll} & N_\mathrm D=N_\mathrm D^0+N_\mathrm D^... ...m A^0+N_\mathrm A^- && N_\mathrm A=N_\mathrm A^-\;. \end{array}\end{displaymath}$

(339)

$N_\mathrm{D,A}^0$ bezeichnt dabei die Anzahldichte der nicht ionisierten Donatoren bzw. Akzeptoren. Für Störstellenkonzentrationen von $\ge 10^{17}\;{cm^{-3}}$ , wie sie für p- bzw. n-Dotierung üblich sind, nicht aber für `hohe Dotierungen' $\fontdimen16\tensy=3.0pt\fontdimen17\tensy=3.0pt \mathrm{p^+}$ oder $\fontdimen16\tensy=3.0pt\fontdimen17\tensy=3.0pt \mathrm{n^+}$ ( $10^{18}\;{cm^{-3}}$ ), gilt in guter Näherung:

$\displaystyle N_\mathrm D$	$\displaystyle =$	$\displaystyle N_\mathrm D^0\cdot\left[1+\mathrm e^{\frac{E_\mathrm D-E_\mathrm{F}}{k_B T}}\right] \qquad\qquad$	(340)
und analog $\displaystyle \qquad\qquad N_\mathrm A$	$\displaystyle =$	$\displaystyle N_\mathrm A^0\cdot\left[1+\mathrm e^{\frac{E_\mathrm{F}-E_\mathrm A}{k_B T}}\right]\;.$	(341)

Der allgemeine Fall, wo gleichzeitig p- und n-Dotierung vorliegt, ist nur numerisch lösbar, reine n- oder p-Dotierung kann (mit den oben angegebenen Formeln) diskutiert werden. Für die n-Dotierung lautet die Lösung:

$\displaystyle n\approx 2 N_\mathrm D\left(1+\sqrt{1+4\textstyle\frac{N_\mathrm... ...athrm{L}}\:\mathrm e^{\frac{E_\mathrm{L}-E_\mathrm D}{k_B T}}} \right)^{-1}\;,$

(342)

sie beschreibt für kleine Temperaturen das Regime der Störstellenreserve, dann den Erschöpfungszustand (der Donatoren) und für hohe Temperaturen den Bereich der intrinsischen Trägerkonzentration. Die Lage der Fermi-Energie verhält sich entsprechend: für $T=0\;\mathrm K$ liegt sie in der Mitte zwischen $E_\mathrm D$ und der Leitungsbandunterkante $E_\mathrm{L}$ , reicht im mittleren Temperaturbereich von $E_\mathrm{L}$ weg und endet im intrinsischen Bereich in der Mitte zwischen $E_\mathrm D$ und $E_\mathrm{V}$ , also auf $E_\mathrm i$ .

**Abbildung 3.12:** oben: Qualitative Abhängigkeit der Elektronenkonzentration im Leitungsband eines n-Halbleiters von der Temperatur für zwei verschiedene Donatorkonzentrationen $N'_\mathrm D>N_\mathrm D$ . unten: Qualitative Lage der Fermi-Energie $E_\mathrm F(T)$ bei demselben Halbleiter in Abhängigkeit von der Temperatur (gezeichnet nach [14]).
$\begin{figure}\centering \protect{\includegraphics[width=3.4in]{Bilderpneu/hl-10}} % \end{figure}$

Die experimentelle Bestimmung der Ladungsträgerdichten in Abhängigkeit von der Temperatur geschieht unter Benutzung des Hall-Effekts.

Bei Dotierungskonzentrationen z.B. von $\ge 10^{17}\;{cm^{-3}}$ bei Si ( $\fontdimen16\tensy=3.0pt\fontdimen17\tensy=3.0pt \mathrm{n^+}$ bzw. $\fontdimen16\tensy=3.0pt\fontdimen17\tensy=3.0pt \mathrm{p^+}$ ) erreicht bzw. überschreitet man die sog. kritische Konzentration: die Donatoren bzw. Akzeptoren `sehen' einander. Angeregte Störstellen-Zustände liegen unter $E_\mathrm{L}$ oder über $E_\mathrm{V}$ und die Energielücke des Halbleiters wird um einige $10\;\mathrm{meV}$ kleiner, gleichzeitig werden weniger Störatome ionisiert, als es bei der entsprechenden Temperatur zu erwarten wäre.