Übungsblatt 1
Physik für Ingenieure 1

Othmar Marti, (othmar.marti@physik.uni-ulm.de)

16. 10. 2001

Aufgaben für die Übungsstunden

Einleitung, Kinematik, PDF-Datei

1. Gegeben seien die Vektoren $\vec a_1 = (5,8)$, $\vec a_2 = (-3,4)$, $\vec a_3 = (0,7)$, $\vec b_1 = (3,-2,5)$, $\vec b_2 = (4,2,5)$ und $\vec b_3 = (-3,3,0)$. Berechnen und konstruieren (mit Massstab und Bleistift) Sie
   1. $\vec a_1 +\vec a_2$, $\vec a_2 - \vec a_1 + \vec a_3$
   2. Suchen sie $\vec x$, so dass $\vec a_2 = \vec x + \vec a_1$
   Berechnen Sie
   1. $\vec b_1 \cdot \vec b_2$, $\vec b_1 \times \vec b_3$, Winkel zwischen $\vec b_2$ und $\vec b_3$
   2. Welcher kleinster ganzzahliger Vektor $\vec y$ steht senkrecht auf $\vec b_1$ und $\vec b_2$?
2. Wie gross ist der Druck in der Tiefe $h$? Überlegen Sie, welche Grössen relevant sein könnten. Leiten Sie mit Hilfe der Einheiten eine Formel her. Stimmt diese Formel nach Ihren Erinnerungen an Ihre Gymnasialzeit?
3. Leiten sie ein Gesetz her, das den Druckabfall $[\delta p]=\frac{N}{m^2}$ als Funktion der Viskosität $[\eta] = Pa \cdot s$, des in der Zeiteinheit durchfliessenden Volumens $[\dot V] = \frac{m^3}{s}$ der Rohrlänge $[\ell] = m$ und des Rohrdurchmessers $[d] = m$. Der Druckabfall ist (warum?) proportional zur Länge $\ell$.
4. Die Gleichung aus der vorherigen Aufgabe 3 soll verifiziert werden. Verwenden sie das Gauss'sche Fehlerfortpflanzungsgesetz um den Fehler von $\Delta p$ zu berechnen.
   1. Rechnen Sie das Fehlerfortpflanzungsgesetz für relative Fehler aus.
   2. Die relativen Messfehler sind: $\frac{\delta \eta}{\eta} = 0.05$, $\frac{\delta \ell}{\ell} = 0.005$, $\frac{\delta \dot V}{\dot V} = 0.1$ und $\frac{\delta d}{d} = 0.02$.
5. Berechnen Sie die konstante Beschleunigung $a$ und den zurückgelegten Weg, wenn ein Auto in $8 s$ von 0 auf $100 km/h$ beschleunigt. Was ist die konstante Beschleunigung, wenn auf einer Länge von $1 m$ von $36 km/h$ auf 0 beschleunigt wird?

Hausaufgabe

1. Ein Zug fahre in einem Bahnhof mit einer konstanten Beschleunigung von $0.4 m/s^2$ an. Eine Reisende erreiche einen bestimmten Punkt des Bahnsteiges 6s, nachdem das Ende des Zuges diesen Punkt verliess. Mit welcher Geschwindigkeit muss sie mindestens laufen, um den Zug noch zu erreichen? Lösen Sie die Gleichung und skizzieren Sie die Bewegung des Zuges und der Reisenden als Funktion der Zeit (Aufgabe 25, Seite 41, Tipler, Physik).
2. Freiwillig: Lösen Sie die Aufgaben 24 und 29 (und weitere), Tipler Seite 41.

Lösungen Aufgaben für die Übungsstunde

1. 1. $(2,12)$, $(-8,3)$
      
   2. $(-8,-4)$
      
   3. $33$, $(-15,-15,3)$, $1.7832$
   4. $(20,-5,14)$
2. $[p] = kg s^{-2} m^{-1}$, $[\rho] = kg m^{-3}$, $[g] = m s^{-2}$. Es ist $p = h^\alpha \rho^\beta g^\gamma$ also ist auch $kg s^{-2} m^{-1} = m^\alpha (kg m^{-3})^\beta (m s^{-2})^\gamma$. Der Exponentenvergleich liefert $kg^1 = kg^\beta$, $m^{-1} = m^\alpha m^{-3\beta} m^\gamma$ und $s^{-2} = s^{-2\gamma}$. Aus der dritten Relation folgt $\gamma = 1$, aus der ersten $\beta = 1$ und also $-1 = \alpha -3\beta +\gamma = \alpha -2$ oder $\alpha = 1$. Also ist (bis auf Vorfaktoren) $p = \rho g h$.
3. Setze $\delta p = \ell \eta^\alpha \dot V^\beta d^\gamma$. Daraufhin wird die Einheitengleichung aufgestellt. Die Einheitengleichung wird nach $m$, $kg$ und $s$ aufgelöst. Man erhält
   $m:\;\; -1 = 1-\alpha + 3\beta +\gamma$
   $s:\;\; -2 = -\alpha -\beta$
   $kg:\;\; 1 = \alpha$
   Mit der letzten Gleichung wird die Gleichung ''$s$'': $\beta = 1$. Daraus wird $\gamma = -4$. Das Resultat ist $\Delta p \approx \frac{\ell \dot V \eta}{d^4}$, bis auf einen Vorfaktor die korrekte Gleichung von Hagen-Poiseuille.
4. 1. $\frac{\delta \Delta p}{\Delta p} = \frac{\sqrt{\left(\frac{\eta \dot V}{r^4} \... ...\frac{\eta \ell \dot V}{r^5}\delta r\right)^2}} {\frac{\eta \ell \dot V}{r^4}}$ $=$
      $\sqrt{\frac{\left(\frac{\eta \dot V}{r^4} \delta \ell\right)^2+ \left(\frac{ \... ...{\eta \ell \dot V}{r^5}\delta r\right)^2}{\frac{\eta^2 \ell^2 \dot V^2}{r^8}}}=$
      $\sqrt{\left(\frac{\delta \ell}{\ell} \right)^2+ \left(\frac{ \delta \eta}{\eta... ...(\frac{\delta \dot V}{\dot V} \right)^2+ 16 \left(\frac{\delta r}{r}\right)^2}$
   2. $\frac{\delta \Delta p}{\Delta p} = 0.14$. (auf zwei Stellen)
5. $a \approx 3.5 m/s$, $x= \frac{1}{2} a t^2 = \frac{1}{2} \left(\frac{v}{t}\right) t^2 = \frac{1}{2} v t$, also ist $x \approx 111 m$. Beim Bremsen (negative Beschleunigung) ist mit $v^2 = 2 a x$ $a = \frac{v^2}{2x} = \frac{10*10}{2*1}\frac{m}{s^2} = 50 \frac{m}{s^2}$. Zeit: $t = \frac{v}{a} = \frac{10}{50} s = 0.2 s$.

Lösungen Hausaufgabe

1. Gleichung: $a = 0.4 m/s$, $t_0 = 6s$. Es ist $x_{Zug} = \frac{1}{2} a t^2$, $x_{Reisende} = v*(t-t_0)$. Es muss eine Zeit geben, für die $x_{Zug}(t) = x_{Reisende}(t)$. Damit ist
   $\frac{1}{2} a t^2 = v*(t-t_0)$ oder $\frac{1}{2} a t^2 - v*t + v*t_0 = 0$
   Lösung $t_{1,2} = \frac{v \pm \sqrt{v^2-4*\frac{1}{2} a *v*t_0}}{\frac{1}{2} a }$. Es gibt nur eine Lösung, wenn $v^2-4*\frac{1}{2} a *v*t_0 \geq 0$ ist. Umgeformt: $v*(v-2*a*t_0)\geq 0$. Also muss $v \geq 2*a*t_0$ sein. Mit den Zahlen: $v \geq 4.8 m/s$.
   Zeichnung
   
2. Freiwillig: Lösen Sie die Aufgaben 24 und 29 (und weitere), Tipler Seite 41.

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