Übungsblatt 10
Physik für Ingenieure 1

Othmar Marti, (othmar.marti@physik.uni-ulm.de)

18. 12. 2001

Aufgaben für die Übungsstunden

Spezielle Relativitätstheorie

1. 
   Schliesse einen 6 m langen Stab in einer 3 m tiefen Garage ein (Fig. 8.9). Dabei verstehen wir unter Einschliessen des Stabes: Das Stabende E soll unbeschadet das Garagetor passieren. Die Längenangaben in der Abbildung beziehen sich auf die Längen in den Ruhesystemen der jeweiligen Objekte.
2. Ein Raumschiff verlasse die Erde in Richtung $\alpha-$Centauri, der 4 Lichtjahre entfernt ist. Die Geschwindigkeit des Raumschiffs betrage $0.75 c$. Wie lange braucht es für diese Entfernung im Ruhesystem der Erde und im Ruhesystem eines Astronauten.
3. Zwei Ereignisse auf der y-Achse finden in einem Inertialsystem $S$ im Abstand $\Delta y = y_2-y_1=2 m$ und mit einer Zeitdifferenz $\Delta t= t_2-t_1 = \frac{1}{3} \cdot 10^{—8} s$ statt.
   1. Bestimme die minimale Geschwindigkeit $\vec v$ (Richtung und Betrag), die ein Inertialsystem $S‘$ haben muss, damit die beiden Ereignisse in $S‘$ gleichzeitig sind.
   2. Wie gross darf die Zeitdifferenz $\Delta t$ maximal sein, damit in einem in $y$-Richtung bewegten Inertialsystem $S‘$ die beiden Ereignisse gleichzeitig sind?

Hausaufgabe

1. Der Weihnachtsmann besucht einen Viertel aller Familien in der Weihnachtsnacht. Dabei kreist er mit unverminderter Geschwindigkeit während $0.191 ms$ über jeder Familie.
   1. Wie lange ist, von Süden gesehen, die Kufe des Schlittens, wenn der Weihnachtsmann von Westen nach Osten fliegt?
   2. Wie lange arbeitet der Weihnachtsmann?
   3. Welche Farbe hat sein Gewand, wenn er auf einen zukommt?
   4. Welche Farbe hat sein Gewand, wenn er sich wegbewegt?
   5. Würden Sie zustimmen, dass noch niemand den Weihnachtsmann gesehen hat, weil er, von vorne betrachtet, wie ein Jäger aussieht und weil er, von hinten betrachtet nicht sichtbar ist?
   Benutzen Sie die folgenden Zahlen:
   • Der Erdradius ist $6 230 000 m$.
   • Die Erde ist mit $7 000 000 000$ Einwohnern besiedelt.
   • $30\%$ der Erdoberfläche ist besiedelt.
   • Jede Familie hat 4 Mitglieder.
   • Alle Familien wohnen gleichabständig auf einem Quadratgitter
   • Der Weihnachtsmann fährt mit seinem Schlitten entlang einer Mäanderbahn (Wie im Fernsehapparat).
   • Der Schlitten des Weihnachtsmannes hat Kufen von 10 m Länge.
   • Das Gewand des Weihnachtsmannes ist leuchtend rot, dies entspricht $\lambda = 600 nm$ Wellenlänge.
   • Der Weihnachtsmann arbeitet 24 h.

Lösungen Aufgaben für die Übungsstunde

1. • Ruhesystem der Garage: Es muss $\sqrt{1-v^2/c^2}= 0.5$ sein, also $v = \sqrt{\frac{3}{4}} c = 0.866\cdot c$.
   • Sobald das hintere Ende die Garagentür passiert hat, wird diese geschlossen.
   • Darauf wird der Stab von der Hinterseite der Garage gebremst, der Stab nimmt nun im Ruhesystem der Garage seine ursprüngliche Länge an. Es ist nicht klar, ob die Garage, ihre Rückwand, das Tor oder der Stab einzeln oder alle zusammen kaputt gehen.
   • Wir betrachten das Problem aus der Sicht des Stabes.
   • Die Garage rast mit $v = \sqrt{\frac{3}{4}} c = 0.866\cdot c$ auf den Stab zu und ist deshalb noch $1.5 m$ lang!
   • Die Zeit $t_g'$, diue die Garagentüre braucht, um das Stabende $E$ zu erreichen, nachdem der Stabanfang $A$ die Garagenrückwand berührt hat, ist $t_g' = \frac{6-1.5}{v} = \frac{4.5 m}{0.866 c} = (5.2 m) \frac{1}{c}$
   • Die Zeit $t'$ wird benötigt, um die vom Aufprall von $A$ herrührende Störung nach $E$ zu übermitteln ist $t' = \frac{6 m}{u_s}>\frac{6 m}{c} >\frac{5.2 m}{c} = t_g'$, da $u_s \leq c$ sein muss.
   • Das Stabende ist an der Garagentüre vorbei, bevor es vom Unglück des Anfangs erfahren kann.

2. • Im Ruhesystem der Erde ist $t= s/v = \frac{4 Lichtjahre}{0.75 c} = \frac{4 * 365.24 * 86400 * c}{0.75 c} = 168 302 592 s = 5\frac{1}{3} Jahre$
   • Im Raumschiff vergeht die Zeit $t' = t\sqrt{1-v^2/c^2} = t\sqrt{1-9/16} = t\sqrt{7/16} = 0.6614 t = 3.528 Jahre = 111 321 700 s$
   • Alternativ sagt man, die Distanz zu $\alpha$-Centauri ist $s'=s\sqrt{1-v^2/c^2} = 4 LJ * \sqrt{7/16} = 0.6614 * 4 LJ = 2,646 LJ$. Die Flugzeit ist $t' = s'/v = \frac{2,646 LJ}{0.75 c} = 3.258 Jahre$, konsistent mit der obigen Überlegung.

3. 1. $v = 1.50 \cdot 10^8 m/s$ in die y-Richtung
      
      • Die obige Abbuldung zeigt die Lage der beiden Ereignisse.
      • Die Zeitdilatation oder die Längenkontraktion ist dann maximal, wenn die Geschwindigkeit in Richtung der y-Achse liegt.
      • Wenn die beiden Ereignisse gleichzeitig sein sollen, muss B's jetzt, seine 'r'-Achse durch die beiden Ereignisse gehen.
      • Der Winkel $\alpha$ gibt die Geschwindigkeit an: $\tan \alpha = v = \frac{\delta y}{\Delta t} = 0.5 c$.
   2. $\Delta t = \frac{2}{3}\cdot 10^{-8} s$
      • Wenn die Steigung von B's jetzt, seiner 'r'-Achse $\pi/4$ ist, wenn er sich also mit $c$ fortbewegt, ist dadurch die maximal mögliche Zeitdifferenz gegeben.
      • Also muss $ct = 2 m$ sein.
      • Damit folgt das obige Resultat.

Lösungen Hausaufgabe

1. • Erdoberfläche $A= 4\pi r^2 = 4\pi (6.23\cdot 10^6)^2 m^2 = 4.87737\cdot 10^{14} m^2$
   • Besiedelte Oberfläche: $A/4 = 1.46321\cdot 10^{14} m^2$
   • Anzahl Familien $F = 1 750 000 000$
   • Fläche pro Familie $A_F = A/F = 8.36121\cdot 10^4 m^2$
   • Abstand zwischen zwei Familien $d_F = \sqrt{A_F} = 289.158 m$
   • Flugweg zwischen den Familien $\ell_{tot} = d_F \cdot F = 1.26506\cdot 10^{11} m$
   • Entladezeit pro Familie $\tau_F = 1.91\cdot 10^{-4} s$
   • Totale Entladezeit $T = \tau_F\cdot F = 83 562.5 s$
   • 24 Stunden sind $T_T = 24\cdot 60 \cdot 60 s = 86400 s$
   • Die Flugzeit ist $T_\ell = T_T-T = 2837.5 s$
   • Die Geschwindigkeit des Weihnachtsmannes ist $v = \frac{\ell_{tot}}{T_\ell} = 44 583 800 m/s$
   • oder $v/c = 0.148 613$
   1. • Es ist $f = \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$
      • Die sichtbare Länge ist $\ell_v = \ell\cdot f = 9.888 95 m$
   2. • Die Zeit läuft langsamer ab, also wird nur $t = {t_0}\cdot {f}$ gearbeitet,
      • Arbeitszeit $T_A = t_0\cdot f = 85 440.6 s$
   3. Dopplereffekt: $\lambda' = \lambda\sqrt{\frac{1+v/c}{1-v/c}} = 516.569 nm$. Dies ist die grüne Farbe.
   4. Dopplereffekt: $\lambda' = \lambda\sqrt{\frac{1+v/c}{1-v/c}} = 696.906 nm$. Dies ist eine infrarote Farbe, also nicht mehr sichtbar.
   5. Haben Sie eine bessere Erklärung?

Eine andere Ansicht

Gibt es den Weihnachtsmann? Keine bekannte Spezies der Gattung Rentier kann fliegen. ABER es gibt 300.000 Spezies von lebenden Organismen, die noch klassifiziert werden müssen, und obwohl es sich dabei hauptsächlich um Insekten und Bakterien handelt, schließt dies nicht mit letzter Sicherheit fliegende Rentiere aus, die nur der Weihnachtsmann bisher gesehen hat.

Es gibt 2 Milliarden Kinder (Menschen unter 18) auf der Welt. ABER da der Weihnachtsmann (scheinbar) keine Moslems, Hindu, Juden und Buddhisten beliefert, reduziert sich seine Arbeit auf etwa 15Der Weihnachtsmann hat einen 31-Stunden-Weihnachtstag, bedingt durch die verschiedenen Zeitzonen, wenn er von Osten nach Westen reist (was logisch erscheint). Damit ergeben sich 822,6 Besuche pro Sekunde. Somit hat der Weihnachtsmann für jeden christlichen Haushalt mit braven Kindern rund 1 Millisekunde Zeit für seine Arbeit: Parken, aus dem Schlitten springen, den Schornstein runterklettern, die Socken füllen, die übrigen Geschenke unter dem Weihnachtsbaum verteilen, alle übriggebliebenen Reste des Weihnachtsessens vertilgen, den Schornstein wieder raufklettern und zum nächsten Haus fliegen. Angenommen, daß jeder dieser 91,8 Millionen Stops gleichmäßig auf die ganze Erde verteilt sind (was natürlich, wie wir wissen, nicht stimmt, aber als Berechnungsgrundlage akzeptieren wir dies), erhalten wir nunmehr 1,3 km Entfernung von Haushalt zu Haushalt, eine Gesamtentfernung von 120,8 Millionen km, nicht mitgerechnet die Unterbrechungen für das, was jeder von uns mindestens einmal in 31 Stunden tun muß, plus Essen usw. Das bedeutet, daß der Schlitten des Weihnachtsmannes mit 1040 km pro Sekunde fliegt, also der 3.000-fachen Schallgeschwindigkeit. Zum Vergleich: das schnellste von Menschen gebaute Fahrzeug, der Ulysses Space Probe, fährt mit lächerlichen 43,8 km pro Sekunde. Ein gewöhnliches Rentier schafft höchstens 24 km pro Stunde.

Die Ladung des Schlittens führt zu einem weiteren interessanten Effekt. Angenommen, jedes Kind bekommt nicht mehr als ein mittelgroßes Lego-Set (etwa 1 kg), dann hat der Schlitten ein Gewicht von 378.000 Tonnen geladen, nicht gerechnet den Weihnachtsmann, der übereinstimmend als übergewichtig beschrieben wird. Ein gewöhnliches Rentier kann nicht mehr als 175 kg ziehen. Selbst bei der Annahme, daß ein fliegendes Rentier das 10-fache normale Gewicht ziehen kann, braucht man für den Schlitten nicht acht oder vielleicht neun Rentiere. Man braucht 216.000 Rentiere. Das erhöht das Gewicht - den Schlitten selbst noch nicht einmal eingerechnet - auf 410.400 Tonnen. Nochmals zum Vergleich: das ist mehr als das vierfache Gewicht der Queen Elizabeth.

410.400 Tonnen bei einer Geschwindigkeit von 1040 km/s erzeugt einen ungeheuren Luftwiderstand - dadurch werden die Rentiere aufgeheizt, genauso wie ein Raumschiff, das wieder in die Erdatmosphäre eintritt. Das vorderste Paar Rentiere muß dadurch pro Sekunde 16,6 Trillionen Joule Energie absorbieren. Jedes. Anders ausgedrückt: sie werden praktisch augenblicklich in Flammen aufgehen, das nächste Paar Rentiere wird dem Luftwiderstand preisgegeben, und es wird ein ohrenbetäubender Knall erzeugt. Das gesamte Team von Rentieren wird innerhalb von 5 Millisekunden vaporisiert. Der Weihnachtsmann wird währenddessen einer Beschleunigung von der Größe der 17.500-fachen Erdbeschleunigung ausgesetzt. Ein 120 kg schwerer Weihnachtsmann (was der Beschreibung nach lächerlich wenig sein muß) würde an das Ende seines Schlittens genagelt - mit einer Kraft von 20,6 Meganewton. Damit kommen wir zu dem Schluß: Wenn der Weihnachtsmann irgendwann einmal die Geschenke gebracht hat, ist er heute tot.

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