Übungsblatt 11
Physik für Ingenieure 1

Othmar Marti, (othmar.marti@physik.uni-ulm.de)

8. 1. 2002

Aufgaben für die Übungsstunden

Spezielle Relativitätstheorie

1. Von einer grossen Rakete $R_1$, die sich relativ zur Erde mit $v=c/2$ bewegt, wird eine kleinere Rakete $R_2$ mit der Relativgeschwindigkeit zu $R_1$ von $c/2$ gestartet. Von $R_i$ wird die Rakete $R_{i+1}$ mit der Relativgeschwindigkeit $c/2$ gestartet. Alle Geschwindigkeiten liegen in der x-Richtung. Welches ist die Geschwindigkeit der $n$-ten Rakete ( $1 \leq n < \infty$)?

2. Wie lange lebt die Sonne? Bestimmen Sie den Massenverlust der Sonne (Abstand zur Erde $r= 1.5\cdot 10^{11} m$ durch die von Ihr abgestrahlte Energie (Auf der Erdbahn ist die $I = 1.4 kW/m^2$. Wie lange könnte die Sonne mit ihrer Masse von $M_\bigodot = 2\cdot 10^{30} kg$ leben? Wie lange, wenn nur 1% der Masse in Energie umgewandelt werden kann?

3. Ein Elektron mit der Ruheenergie $0.511 MeV$ besitze eine Gesamtenergie von $5 MeV$. Berechnen Sie seinen Impuls $m(v)v$ sowie seine Geschwindigkeit im Verhältnis zur Lichtgeschwindigkeit.

Hausaufgabe

1. Mit einem einfachen Gedankenexperiment zeigte Einstein dass mit elektromagnetischer Strahlung eine Masse verbunden ist. Man betrachte einen Kasten der Länge $\ell$ und der Masse $M$, der auf einer reibungsfreien Oberfläche ruht. Am linken Ende des Kastens befinde sich eine Lichtquelle, die Strahlung der Energie $E$ aussendet. Diese Strahlung wird am rechten Ende des kastens wieder vollständig absorbiert. Nach der klassischen Theorie des Elektromagnetismus trägt die Strahlung den Impuls $p=E/c$.
   1. Berechnen Sie die Rückstossgeschwindigkeit des Kastens bei der Emission unter der Annahme, dass der Gesamtimpuls erhalten bleibt¹.
   2. Bei der Absorption des Lichtes in der rechten Wand wird der Kasten gestoppt und der Gesamtimpuls null. Unter Vernachlässigung der Geschwindigkeit des Kastens ist die Laufzeit $\Delta t = \ell/c$. Berechnen Sie die vom Kasten in dieser Zeit zurückgelegte Entfernung.
   3. Zeigen Sie, dass die elektromagnetische Strahlung die Masse $m=E/c^2$ tragen muss, damit der Schwerpunkt des Gesamtsystems (es gibt keine äusseren Kräfte!) in Ruhe bleibt.

Lösungen Aufgaben für die Übungsstunde

1. Es ist $v_{i+1} = \frac{v_i+ c/2}{1+ v_i/2c} = c \frac{2v_i + c}{2c + v_i}$. Mit $v_0 = 0$ bekommt man $v_1 = c/2$, $v_2 = 4c/5$ usw. Diese Rekursionsformel kann auch als $v_i = c \frac{3^{i+1}-1}{3^{i+1}+1}$ geschrieben werden.

2. Die gesamte abgestrahlte Leistung ist $P = 4 \pi r^2 I = 4 \pi \times 2.25\cdot 10^{22} m^2 \times 1400 W/m^2 = 4 \cdot 10^{26} W$. Der Masseverlust ist $\mu_\bigodot = \frac{\Delta M_\bigodot}{\Delta t} = \frac{P}{c^2} = \frac{4 \pi r^2 I}{c^2} = 4.4 \cdot 10^9 kg/s$. Die Lebensdauer ist also $T_\bigodot = \frac{M_\bigodot}{\mu_\bigodot} = 4.5 \cdot 10^{20} s \approx 1.44 \cdot 10^{13} Jahre$. Wenn nur 1% der Masse umgewandelt werden kann, ist $T_{\bigodot,1\%} = 0.01 T_\bigodot = 1.44 \cdot 10^{11} Jahre$. Da die Erde etwa $4\cdot 10^9 Jahre$ alt ist, und die Sonne älter ist als die Erde, dürfte Sie etwa 10 % ihrer Lebensdauer alt sein.

3. Die Gesamtenergie ist $E= m(v)c^2 = \frac{m_0 c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}} = \frac{E_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$. Daraus erhält man $\frac{E}{E_0} = \frac{E_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$ und $\frac{E_0}{E} = \sqrt{1-v^2/c^2}$. Dies ergibt schliesslich $\frac{v}{c} = \sqrt{1-E_0^2/E^2} = 0.99476$. Der Impuls ist $p = m(v) v = \frac{E}{c^2} c \sqrt{1-E_0^2/E^2} = \frac{1}{c}\sqrt{E^2-E_0^2}=... ...1} \times 10^6 \times 1.6 \cdot 10^{-19} m^2kg/s^2 = 2.65 \cdot 10^{-21} mkg/s$

Lösungen Hausaufgabe

1. 1. Es ist $0 = p_{Kasten}'+p_{Licht}' = M v_{Kasten}'+E/c$. Also ist $v_{Kasten}'=-\frac{E}{Mc}$.
   2. Mit der Laufzeit $\Delta t = \ell/c$ wird der zurückgelegte Weg $x_{Kasten} = v_{Kasten}'\Delta t = -\frac{E}{Mc} \ell/c = - \frac{\ell E}{M c^2}$.
   3. Der Schwerpunkt des Kastens ohne das licht hat sich also um $x_{Kasten}$ verschoben. Wenn das Licht die Masse $m_{Licht}$ tragen würde, dann wäre der Schwerpunkt stabil, wenn $-\ell/2 m_{Licht} = \left(\ell/2+x_{Kasten}\right)m_{Licht}+M x_{Kasten}$. Damit ist auch $\ell m_{Licht} = -x_{Kasten}\left(M+m_{Licht}\right) \approx -x_{Kasten} M = \frac{\ell E}{M c^2} M$. Nach der Vereinfachung ergibt sich die gesuchte Formel $m=E/c^2$.
   Bemerkung: Die Leistung $1 W {{}^{\hat{_\approx}}} 10^{-17} kg/s$ entspricht der Masse von $6 \cdot 10^9$ Wasserstoffatomen pro Sekunde!

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