Übungsblatt 12
Physik für Ingenieure 1

Othmar Marti, (othmar.marti@physik.uni-ulm.de)

15. 1. 2002

Aufgaben für die Übungsstunden

Spezielle Relativitätstheorie Spezielle Relativitätstheorie Schwingungen

Zuerst nachdenken, dann in Ihrer Vorlesungsmitschrift nachschauen und erst dann wild lostrechnen!

1. Verwenden sie die Lorentz-Transformation. Die mittlere Eigenlebensdauer eines Pions ist $2.6\cdot 10^{-8}s$. Ein Pionenstrahl habe die Geschwindigkeit $0.85 c$.
   1. Wie gross ist die im Laborsystem gemessene Lebensdauer?
   2. Welche Strecke leben die Pionen im Mittel vor ihrem Zerfall zurück?
   3. Wie gross ist die Strecke, wenn die Zeitdilatation vernachlässigt wird?

2. Ein Gegenstand schwinge reibungsfrei an einer horizontalen Feder mit einer Schwingungsdauer von $4 s$. Wie stark wird die Feder gedehnt, wenn der Gegenstand senkrecht an ihr aufgehängt wird und sich im Gleichgewicht befindet?

3. Ein Gegenstand der Masse $m_1$ gleite reibungsfrei auf einer horizontalen Oberfläche und schwinge dabei an einer Feder mit der Federkonstante $k$. Seine Amplitude sei $A$. Zu dem Zeitpunkt, an dem die Feder ihre maximale Ausdehnung erreicht habe, werde ihm ein zweiter Gegenstand der Masse $m_2$ aufgesetzt.
   1. Wie gross muss die Haftreibungszahl $\mu_H$ mindestens sein, damit der aufgesetzte zweite Gegenstand nicht rutscht?
   2. Wie verändern sich die Gesamtenergie $E$, Amplitude $A$, Kreisfrequenz $\omega$ und die Schwingungsdauer $T$ durch das Aufsetzen der Masse $m_2$ auf $m_1$?

Hausaufgabe

1. Ein Gegenstand der Masse $2 kg$, der an einer Feder mit der Federkonstanten $k=600 N/m$ befestigt ist, gleite reibungsfrei auf einer horizontalen Unterlage und befinde sich in Ruhe. Ein zweiter $1 kg$ schwerer Körper gleite ebenfalls reibungsfrei mit einer Geschwindigkeit von $6 m/s$ auf den ersten zu.
   1. Bestimmen Sie die Amplitude der Schwingung, wenn die Gegenstände einen idealen inelastischen Stoss ausführen und dabei zusammenbleiben. Wie gross ist die Schwingungsdauer?
   2. Bestimmen Sie die Amplitude und die Schwingungsdauer im Falle eines elastischen Stosses. Wie gross ist die Schwingungsdauer?
   3. Beschreiben Sie die Auslenkung des an der Feder befestigten Gegenstandes für beide Stossarten als Funktion der Zeit, unter der Annahme, der Stoss erfolge zur Zeit $t=0$. Wie gross ist der Impulsübertrag auf den $2 kg$ schweren Gegenstand bei den Stössen?

Lösungen Aufgaben für die Übungsstunde

1. 1. • Lorentz-Transformationen: $x = \frac{x' + (v/c) ct'}{\sqrt{1+v^2/c^2}}$ und $ct = \frac{(v/c)x' + ct'}{\sqrt{1+v^2/c^2}}$
      • Koordinaten: $t=0$ und $t'=0$ sowie $x=0$ und $x'=0$ sollen zusammenfallen.
      • Der Zerfall des Pions findet im gestrichenen Koordinatensystem bei $(x';ct') = (0,c\tau)$ statt.
      • Also $ct = \frac{(v/c)0 + c\tau}{\sqrt{1+v^2/c^2}} = \frac{c\tau}{\sqrt{1-0.85^2}}$
      • $t = \frac{2.6\cdot 10^{-8} s}{\sqrt{1-0.85^2}} = 4.94 \cdot 10^{-8} s$
   2. • Lorentz-Transformationen: $x = \frac{x' + (v/c) ct'}{\sqrt{1+v^2/c^2}}$ und $ct = \frac{(v/c)x' + ct'}{\sqrt{1+v^2/c^2}}$
      • Koordinaten: $t=0$ und $t'=0$ sowie $x=0$ und $x'=0$ sollen zusammenfallen.
      • Der Zerfall des Pions findet im gestrichenen Koordinatensystem bei $(x';ct') = (0,c\tau)$ statt.
      • Also $x = \frac{0 + (v/c)c\tau}{\sqrt{1+v^2/c^2}} = \frac{(v/c)c\tau}{\sqrt{1-0.85^2}}$
      • $x = \frac{0.85\times 3\cdot 10^8 \times 2.6\cdot 10^{-8} s}{\sqrt{1-0.85^2}} = 12.59 m$
   3. • $s = v \tau$
      • $s = 0.85\times 3\cdot 10^8 \times 2.6 \cdot 10^{-8} m = 6.63 m$

2. • Die Kreisfrequenz ist $\omega = \frac{2\pi}{T}$
   • Es gilt: $\omega^2 = \frac{k}{m}$
   • Die Dehnung der Feder beim Aufhängen ist: $mg = kx$
   • Also: $x = \frac{m}{k} g = \frac{g}{\omega^2} = \frac{g T^2}{4\pi^2}$
   • Eingesetzt: $x = \frac{ 9.81 m/s^2 \cdot 16 s^2}{4\pi^2} = \frac{4 \cdot 9.81}{\pi^2} m = 3.98 m$

3. • Es ist $x_1(t) = A\cos\left(\omega t +\delta\right)$ mit $\omega^2 = k/m$.
   • Wir wollen, dass die $x_1(t=0)$ maximal sei, also $\delta = 0$.
   • Wenn der Körper $m_2$ aufgesetzt wird, haben wir ein neues schwingfähiges System mit $\tilde{\omega}^2 = \frac{k}{m_1+m_2} = \frac{m_1}{m_1+m_2}\omega$
   • Die Bewegungsgleichung ist $\tilde{x}(t) = A\cos\left(\tilde{\omega} t\right)$.
   • Die Beschleunigung ist $\tilde{a}(t) = \ddot{\tilde{x}}(t) = - \tilde{\omega}^2 \tilde{x}(t)$
   1. • Damit ein Körper $m_2$ nicht gleitet, muss die Beschleunigung $m_2 \cdot a \leq \mu_H m_2 g$ sein.
      • Die maximale Beschleunigung ist $\left\vert\tilde{a}_{max}\right\vert = A\tilde{\omega}^2 = A \omega^2 \left(\frac{m_1}{m_1+m_2}\right)$
      • Also: $\mu_H \geq \frac{a}{g} = \frac{A \omega^2}{g} \left(\frac{m_1}{m_1+m_2}\right)$
   2. • Zum Zeitpunkt des Aufsetzens hat die Feder maximale Ausdehnung. Die Gesamtenergie ist $E = \frac{1}{2} kA^2$ und in der Feder gespeichert. Deshalb ändert sie sich nicht. Die Gesamtenergie bleibt konstant.
      • Zum Zeitpunkt des Aufsetzens hat die Feder maximale Ausdehnung, ist also in Ruhe. Deshalb kann diese Lage als Anfangsbedingung für das System mit der Masse $m_1+m_2$ genommen werden. Die Amplitude ändert sich nicht.
      • Die Kreisfrequenz wird $\tilde{\omega}^2 = \frac{m_1}{m_1+m_2}\omega$
      • Die Schwingungsdauer wird $T = \frac{2 \pi}{\tilde{\omega}} = \frac{2 \pi}{\omega}\left(1+\frac{m_2}{m_1}\right)$

Lösungen Hausaufgabe

1. • Der Gegenstand mit $m_1=2kg$ ist in Ruhe, die Feder nicht ausgelenkt.
   • Nach rechts sei positiv.
   1. • Beim inelastischen Stoss gilt $m_2 \cdot v_2 = (m_1+m_2)\tilde{v}$
      • Die Anfangsbedingungen sind $x(t=0) = 0$ und $v(t=0) = \tilde{v}$
      • Die Bewegungsgleichung für diese Anfangsbedingungen ist $x(t) = A \sin\omega t$.
      • Die Geschwindigkeit ist $v(t) = A \omega \cos\omega t$
      • Anfangsbedingung: $v(t=0) = A \omega = v_2 \frac{m_2}{m_1+m_2}$
      • Kreisfrequenz: $\omega^2 = \frac{k}{m_1+m_2}$
      • Amplitude $A = \frac{v_2 m_2}{\omega (m_1+m_2)} = \frac{v_2 m_2}{\sqrt{k(m_1+m_2)}}$ oder $A= 0.14142 m$
      • Schwingungsdauer $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{m_1+m_2}{k}}$ oder $T= 0.444 s$
   2. • Beim elastischen Stoss ist $m_2 v_2 = m_1 \tilde{v_1} + m_2 \tilde{v_2}$ und $m_2 v_2^2 = m_1 \tilde{v}_1^2 + m_2 \tilde{v}_2^2$
      • Aufgelöst: $\tilde{v}_1 = v_2\frac{2 m_2}{m_1+m_2}$ und $\tilde{v}_2 = v_2 \frac{m_2-m_1}{m_2+m_1}$
      • Anfangsbedingung $v(t=0) = A \omega = \tilde{v}_1 = v_2\frac{2 m_2}{m_1+m_2}$
      • Kreisfrequenz: $\omega^2 = \frac{k}{m_1}$
      • Amplitude $A = \frac{2 v_2 m_2}{\omega (m_1+m_2)} = \frac{2 v_2 m_2}{\sqrt{k/m_1}(m_1+m_2)}$ oder $A= 0.12092 m$
      • Schwingungsdauer $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{m_1}{k}}$ oder $T= 0.3628 s$
   3. • Inelastischer Stoss: Bewegungsgleichung: $x(t) = 0.14142 \sin \left(\frac{14.15}{s} t\right) m$
      • Elastischer Stoss: Bewegungsgleichung: $x(t) = 0.12092 \sin \left(\frac{17.32}{s} t\right) m$
      • Impulsübertrag auf $m1$: Inelastischer Stoss: $\Delta p = m_1 \tilde{v} = \frac{m_1 m_2}{m_1+m_2} v_2 = 4 \frac{m\,kg}{s}$
      • Impulsübertrag auf $m1$: Elastischer Stoss: $\Delta p = m_1 \tilde{v}_1 = \frac{2 m_1 m_2}{m_1+m_2} v_2 = 8 \frac{m\,kg}{s}$

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