Übungsblatt 14
Physik für Ingenieure 1

Othmar Marti, (othmar.marti@physik.uni-ulm.de)

29. 1. 2002

Aufgaben für die Übungsstunden

Schwingungen

Zuerst nachdenken, dann in Ihrer Vorlesungsmitschrift nachschauen und erst dann wild losrechnen!

1. Mit Hilfe transversaler harmonischer Wellen soll Leistung auf einer Saite übertragen werden.Die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wellen betrage $10 m/s$ bei einer Massebelegung des Drahtes von $10 g/m$. Die Energiequelle schwinge mit einer Amplitude von $500 \mu m$.
   1. Wie gross ist die Durchschnittsleistung, die bei 400 Hz über den Draht übertragen wird?
   2. Die Übertragungsleistung kann erhöht werden, wenn die Spannung im Draht, die Frequenz der Quelle oder die Amplitude der Wellen erhöht wird. Wie müsste sich jede einzelne dieser Grössen ändern, damit die Übertragungsleistung auf das 100-fache ansteigt.
   3. Welche dieser Grössen lässt sich am leichtesten ändern?
2. Zwei Drähte unterschiedlicher Massenbelegung werden zusammengebunden und mit einer Kraft $F$ gespannt. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit sei im ersten Draht doppelt so gross wie im zweiten. Eine harmonische Welle, die den ersten Draht entlangwandert, wird an der Verbindungsstelle der beiden Drähte teilweise reflektiert, teilweise geht sie auf den zweiten Draht über und wandert dort weiter (Transmission). Die Amplitude der reflektierten Welle sei halb so gross wie die der transmittierten Welle.
   1. Wie gross ist der Energieanteil der Wellen, die an der Verbindungsstelle reflektiert und transmittiert werden (bezogen auf die ursprüngliche Energie?).
   2. Wie gross sind die Amplituden, wenn die ursprüngliche Welle die Amplitude $A$ besass.
3. Für die Massenbelegung zweier verbundener Saiten gelte $\mu_1 = 3\mu_2$ bei gleicher Saitenspannung. Bei einer Frequenz von $120 Hz$ wandern Wellen der Wellenlänge $0.1 m$ die erste Saite mit der Massenbelegung $\mu_1$ entlang.
   1. Wie gross ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit auf der ersten Saite?
   2. Wie gross ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit auf der zweiten Saite?
   3. Welche Wellenlänge haben die Wellen auf der zweiten Saite?

Hausaufgabe

1. Berechnen sie mit einem Ansatz analog zur Vorlesung die Eigenschwingungen von drei identischen, mit masselosen gleichen Federn gekoppelten Pendeln, die auf einer Linie angeordnet sind.
2. Berechnen sie mit einem Ansatz analog zur Vorlesung die Eigenschwingungen von drei identischen, mit masselosen gleichen Federn gekoppelten Pendeln, die auf einem Kreis angeordnet sind.
   Vernachlässigen Sie für die Rechnung jegliche Effekte der Krümmung. Die Anordnung ''auf dem Kreis'' bedeutet, dass das dritte Pendel mit einer Feder an das erste gekoppelt ist. Wenn das zweite Pendel rechts vom ersten ist, dann ist das 3. Pendel rechts vom 2. und, formal, das 1. Pendel rechts vom 3.

Lösungen Aufgaben für die Übungsstunde

1. 1. Die Leistung einer Welle ist $P = \frac{1}{2}\mu A^2 \omega^2 v$. Eingesetzt erhalten wir $P = \frac{1}{2}\cdot 0.01 kg/m \cdot 0.0005^2 m^2\cdot 4\pi^2\cdot 400^2 1/s^2 \cdot 10 m/s = 0.0790 W$
   2. Die Amplitude müsste 10 mal grösser sein
      Die Frequenz müsste 10 mal grösser sein
      Die Geschwindigkeit ist $v \propto \sqrt{F}$ Um die Leistung hundert mal grösser zu machen, muss die Geschwindigkeit hundert mal und die Spannung 10000 mal höher sein.
   3. Die Erhöhung der Geschwindigkeit ist nicht machbar. Die Frequenzerhöhung könnte an der Bandbreite des Leistungstreibers für die Bewegung scheitern. Am einfachsten scheint mir die Erhöhung der Amplitude.
2. Wenn $2v_2 = v_1$ ist, dann ist auch $\sqrt{F/\mu_1}=2\sqrt{F/\mu_2}$ und damit $\mu_2 = 4 \mu_1$.
   1. Die Leistung $\Delta E/\Delta t = P_i = \frac{1}{2} \mu_i A_i^2 \omega^2 v_i$
      • $P_1 = \frac{1}{2}\mu_1 A_1^2 \omega^2 v_1$
      • $P_2 = \frac{1}{2}\mu_2 A_2^2 \omega^2 v_2 = \frac{1}{2} 4 \mu_1 2^2 A_1^2 \omega^2 v_1/2$
      • Wir teilen die beiden Gleichungen und erhalten
      • $P_2/P_1 = 4\cdot 2^2 / 2 = 8$
      • $P_{tot} = P_1 +P_2 = 9 P_1$
      • reflektiert: 1/9
      • transmittiert 8/9
   2. Die ursprüngliche Amplitude wird aus $P_tot = P_1+P_2 = \frac{9}{2} \mu_1 A_1^2\omega^2 v_1 = \frac{1}{2} \mu_1 A^2 \omega^2 v_1$. Wir lösen nach $A$ auf: $A = \sqrt{9} A_1$
      • reflektiert: $A_1 = A/\sqrt{9}$
      • transmittiert $A_1 = 2A/\sqrt{9}$
3. 1. In der Zeit $\tau_1 = 1/\nu_1 =1/120 Hz$ wandert die Störung auf der Saite um $\lambda_1 =0.1 m$. Die Geschwindigkeit ist $v_1 = \lambda_1/ \tau_1 = \lambda_1 \nu_1 = 0.1 m \cdot 120 Hz = 12 m/s$
   2. Die Frequenz ist die gleiche. $v_2 = \sqrt(F/\mu_2$. Es ist auch $v_1 = \sqrt{F/\mu_1}$ oder umgestellt $F = v_1^2\mu_1$. Wir setzen ein und erhalten $v_2 = v_1\sqrt{\mu_1/\mu_2} = 12 m/s \cdot \sqrt{1/3} = 6.93 m/s$
   3. Wellenlänge $\lambda_2 = v_2/\nu = \lambda_1\cdot v_2/v_1 = \lambda_1 \sqrt{\mu_1/\mu_2} = 0.1 m \sqrt{1/3} = 0.0578 m$

Lösungen Hausaufgabe

Wir lösen zuerst das zweite Problem, setzen aber für die Kopplung zwischen dem dritten und dem ersten Pendel eine eigene Federkonstante $k_{2,0}$ an.

• Für alle Pendel (0, 1 oder 2) gilt
  

  $$I\ddot\phi_j = -Lmg\phi_j -k_{j,j+1}\ell^2(\phi_j-\phi_{j+1})+ k_{j-1,j}\ell^2(\phi_{j-1}-\phi_j)$$

  $$= -Lmg\phi_j + k_{j-1,j}\ell^2\phi_{j-1}-(k_{j-1,j}+k{j,j+1})\ell^2\phi_j +k_{j,j+1}\ell^2\phi_{j+1}$$ (1)

  
  
  wobei der Index $j$ modulo 3 zu nehmen ist.
• Wir teilen durch $I=mL^2$
  

  $$\ddot\phi_j = -\frac{g}{L}\phi_j + \frac{k_{j-1,j}\ell^2}{mL^2}\phi_{j-1}- \frac{(k_{j-1,j}+k_{j,j+1})\ell^2}{mL^2}\phi_j+\frac{k_{j,j+1}\ell^2}{mL^2}\phi_{j+1}$$ (2)

  
  

• Wir setzen an: $\phi_j(t) = \phi_{j,0} e^{i\omega t}$ und setzen ein
  

  $$-\omega^2\phi_{0,0} = -\frac{g}{L}\phi_{0,0} + \frac{k_{2,0}\ell^2}{mL^2}\phi_{2,0}- \frac{(k_{2,0}+k_{0,1})\ell^2}{mL^2}\phi_{0,0}+\frac{k_{0,1}\ell^2}{mL^2}\phi_{1,0}$$

  $$-\omega^2\phi_{1,1} = -\frac{g}{L}\phi_{1,0} + \frac{k_{0,1}\ell^2}{mL^2}\phi_{0,0}- \frac{(k_{0,1}+k_{1,2})\ell^2}{mL^2}\phi_{1,0}+\frac{k_{1,2}\ell^2}{mL^2}\phi_{2,0}$$

  $$-\omega^2\phi_{2,2} = -\frac{g}{L}\phi_{2,0} + \frac{k_{1,2}\ell^2}{mL^2}\phi_{1,0}- \frac{(k_{1,2}+k_{2,0})\ell^2}{mL^2}\phi_{2,0}+\frac{k_{2,0}\ell^2}{mL^2}\phi_{0,0}$$ (3)

  
  

• Wir ersetzen $A=\frac{g}{L}$ und $B_j = \frac{k_{j,j+1}\ell^2}{mL^2}$
  

  $$-\omega^2\phi_{0,0} = -A\phi_{0,0} + B_2\phi_{2,0}- (B_2+B_0)\phi_{0,0}+B_0\phi_{1,0}$$

  $$-\omega^2\phi_{1,1} = -A\phi_{1,0} + B_0\phi_{0,0}- (B_0+B_1)\phi_{1,0}+B_1\phi_{2,0}$$

  $$-\omega^2\phi_{2,2} = -A\phi_{2,0} + B_1\phi_{1,0}- (B_1+B_2)\phi_{2,0}+B_2\phi_{0,0}$$ (4)

  
  

• Wir ordnen die Gleichung um und bekommen
  

  $$0 = \left(A+B_2+B_0-\omega^2 \right)\phi_{0,0} -B_0\phi_{1,0}- B_2\phi_{2,0}$$

  $$0 = - B_0\phi_{0,0}+\left(A+B_0+B_1-\omega^2 \right)\phi_{1,0} -B_1\phi_{2,0}$$

  $$0 = -B_2\phi_{0,0} - B_1\phi_{1,0}+\left(A+B_1+B_2-\omega^2 \right)\phi_{2,0}$$ (5)

  
  

• Wir setzen $B_0=B_1=B$
  

  $$0 = \left(A+B_2+B-\omega^2 \right)\phi_{0,0} -B\phi_{1,0}- B_2\phi_{2,0}$$

  $$0 = - B\phi_{0,0}+\left(A+2B-\omega^2 \right)\phi_{1,0} -B\phi_{2,0}$$

  $$0 = -B_2\phi_{0,0} - B\phi_{1,0}+\left(A+B+B_2-\omega^2 \right)\phi_{2,0}$$ (6)

  
  

• Unter Verwendung von Maple V ergeben sich die folgenden Eigenwerte und Eigenvektoren
  

  No.	$\omega^2$	Anzahl	Eigenvektor	$\phi_{0,0}$	$\phi_{1,0}$	$\phi_{2,0}$
  1	$\frac {g}{L}$	1	$(1 ;\,1 ;\,1)$	$\phi_0$	$\phi_0$	$\phi_0$
  2	$\frac {gmL + 2k_{2,0}\ell^2 + k\ell^2}{mL^{2}}$	1	$(-1 ;\,0 ;\,1)$	$-\phi_0$	$0$	$\phi_0$
  3	$\frac {gmL + 3k\ell^{2}}{mL^{2}}$	1	$(1 ;\,-2 ;\,1)$	$\phi_0$	$-2\phi_0$	$\phi_0$

1. Wir setzen $k_{2,0} = 0$ und bekommen die Lösungen
   

   No.	$\omega^2$	Anzahl	Eigenvektor	$\phi_{0,0}$	$\phi_{1,0}$	$\phi_{2,0}$
   1	$\frac {g}{L}$	1	$(1 ;\,1 ;\,1)$	$\phi_0$	$\phi_0$	$\phi_0$
   2	$\frac {gmL + k\ell^2}{mL^{2}}$	1	$(-1 ;\,0 ;\,1)$	$-\phi_0$	$0$	$\phi_0$
   3	$\frac {gmL + 3k\ell^{2}}{mL^{2}}$	1	$(1 ;\,-2 ;\,1)$	$\phi_0$	$-2\phi_0$	$\phi_0$

2. Wir setzen $k_{2,0} = k$ und bekommen die Lösungen
   

   No.	$\omega^2$	Anzahl	Eigenvektor	$\phi_{0,0}$	$\phi_{1,0}$	$\phi_{2,0}$
   1	$\frac {g}{L}$	1	$(1 ;\,1 ;\,1)$	$\phi_0$	$\phi_0$	$\phi_0$
   2	$\frac {gmL + 3k\ell^2}{mL^{2}}$	2	$(-1 ;\,0 ;\,1)$ $(-1 ;\,1 ;\,0)$	$-\phi_0$	$0$	$\phi_0$

   
   Hier ist die zweite Lösung entartet, da das Problem (die Anordnung der Pendel) eine hohe Symmetrie aufweist. Eine Störung der Symmetrie hebt die Entartung auf und gibt wieder drei Eigenfrequenzen.

Anhang: Maple V Skript zu den Aufgaben 4 und 5

• redwith(linalg):
  Warning, new definition for norm
  Warning, new definition for trace
• redMA := matrix(3,3,[A+B2+B,-B,-B2,-B,A+2*B,-B,-B2,-B,A+B+B2]);
  
  
  $$\mathit{MA} := \left[ {\begin{array}{ccc} A + \mathit{B2} +... ...mathit{B2} & - B & A + \mathit{B2} + B \end{array}} \right]$$
  
  

• redeigenvalues(MA);
  
  
  $$A, \,3\,B + A, \,A + B + 2\,\mathit{B2}$$
  
  

• redv := [eigenvectors(MA)];
  
  
  $$v := [[A + B + 2\,\mathit{B2}, \,1, \,\{[-1, \,0, \,1]\}], ... ...,1, \,\{[1, \,-2, \,1]\}], \,[A, \,1, \,\{[1, \,1, \,1]\} ]]$$
  
  

• redA := g/L;
  
  
  $$A := {\displaystyle \frac {g}{L}}$$
  
  

• redB:= (k*ell$^2$)/(m*L$^2$);
  
  
  $$B := {\displaystyle \frac {k\,\mathit{ell}^{2}}{m\,L^{2}}}$$
  
  

• redB2:= (k20*ell$^2$)/(m*L$^2$);
  
  
  $$\mathit{B2} := {\displaystyle \frac {\mathit{k20}\,\mathit{ell}^{ 2}}{m\,L^{2}}}$$
  
  

• redMB := matrix(3,3,[A+B2+B,-B,-B2,-B,A+2*B,-B,-B2,-B,A+B+B2]);
  
  
  $$\mathit{MB} := \left[ {\begin{array}{ccc} {\displaystyle \f... ...rac {k\, \mathit{ell}^{2}}{m\,L^{2}}} \end{array}} \right]$$
  
  

• redeigenvalues(MB);
  
  
  $${\displaystyle \frac {g}{L}} , \,{\displaystyle \frac {g\,m... ...hit{k20}\,\mathit{ell}^{2} + k\,\mathit{ell}^{2}}{m \,L^{2}}}$$
  
  

• redvb := [eigenvectors(MB)];
  
  $$\begin{eqnarray*} \lefteqn{\mathit{vb} := [[{\displaystyle \frac {g\,m\,L + 2\,... ...m\, L^{2}}} , \,1, \,\{[1, \,-2, \,1]\}]]\mbox{\hspace{134pt}} \end{eqnarray*}$$
  
  
  
  
  

• redB0_4:= (k*ell$^2$)/(m*L$^2$);
  
  
  $$\mathit{B0\_4} := {\displaystyle \frac {k\,\mathit{ell}^{2}}{m\,L ^{2}}}$$
  
  

• redB1_4 := B0_4;
  
  
  $$\mathit{B1\_4} := {\displaystyle \frac {k\,\mathit{ell}^{2}}{m\,L ^{2}}}$$
  
  

• redB2_4 := 0;
  
  
  $$\mathit{B2\_4} := 0$$
  
  

• redMB_4 := matrix(3,3,[A+B2_4+B0_4,-B0_4,-B2_4,-B0_4,A+B0_4+B1_4,-B1_4,-B2_4,-B1_4,A+B1_4+B2_4]);
  
  
  $$\mathit{MB\_4} := \left[ {\begin{array}{ccc} {\displaystyle... ...frac {k\,\mathit{ ell}^{2}}{m\,L^{2}}} \end{array}} \right]$$
  
  

• redeigenvalues(MB_4);
  
  
  $${\displaystyle \frac {g\,m\,L + k\,\mathit{ell}^{2}}{m\,L^{... ...laystyle \frac {g\,m\, L + 3\,k\,\mathit{ell}^{2}}{m\,L^{2}}}$$
  
  

• redvb_4 := [eigenvectors(MB_4)];
  
  $$\begin{eqnarray*} \lefteqn{\mathit{vb\_4} := [[{\displaystyle \frac {g}{L}} , \... ...m\,L^{ 2}}} , \,1, \,\{[-1, \,0, \,1]\}]]\mbox{\hspace{106pt}} \end{eqnarray*}$$
  
  
  
  
  

• redB0_5:= (k*ell$^2$)/(m*L$^2$);
  
  
  $$\mathit{B0\_5} := {\displaystyle \frac {k\,\mathit{ell}^{2}}{m\,L ^{2}}}$$
  
  

• redB1_5 := B0_5;
  
  
  $$\mathit{B1\_5} := {\displaystyle \frac {k\,\mathit{ell}^{2}}{m\,L ^{2}}}$$
  
  

• redB2_5 := B0_5;
  
  
  $$\mathit{B2\_5} := {\displaystyle \frac {k\,\mathit{ell}^{2}}{m\,L ^{2}}}$$
  
  

• redMB_5 := matrix(3,3,[A+B2_5+B0_5,-B0_5,-B2_5,-B0_5,A+B0_5+B1_5,-B1_5,-B2_5,-B1_5,A+B1_5+B2_5]);
  
  
  $$\mathit{MB\_5} := \left[ {\begin{array}{ccc} {\displaystyle... ...frac {k\, \mathit{ell}^{2}}{m\,L^{2}}} \end{array}} \right]$$
  
  

• redeigenvalues(MB_5);
  
  
  $${\displaystyle \frac {g}{L}} , \,{\displaystyle \frac {g\,m... ...aystyle \frac {g\,m \,L + 3\,k\,\mathit{ell}^{2}}{m\,L^{2}}}$$
  
  

• redvb_5 := [eigenvectors(MB_5)];
  
  
  $$\mathit{vb\_5} := [[{\displaystyle \frac {g}{L}} , \,1, \,\... ...{m\,L^{2}}} , \,2, \,\{[-1, \,0, \,1], \,[-1, \,1, \,0] \}]]$$
  
  

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