Übungsblatt 2
Physik für Ingenieure 1

Othmar Marti, (othmar.marti@physik.uni-ulm.de)

23. 10. 2001

Aufgaben für die Übungsstunden

Kinematik

1. Ein Massepunkt bewegt sich nach der Gleichung $s(t) = s_0 \sin(\omega t)$. Konstruieren sie und berechnen sie die momentane Geschwindigkeit und die momentane Beschleunigung für die Zeiten $t = 0, \pi/(6\omega), \pi/(4\omega), \pi/(2\omega)$.
2. Eine gerade Bahnstrecke geht in einen Kreisbogen mit $R=500 m$ über. Stellen Sie den Ort, die Geschwindigkeit und die Beschleunigung graphisch und qualitativ dar, wenn der Zug mit einer konstanten Geschwindigkeit von $10 m/s$ fährt. Betrachten Sie die $x$- und $y$-Komponenten des Ortes, der Geschwindigkeit und der Beschleunigung kurz vor und kurz nach dem Übergang von einer linearen Bewegung in eine Kreisbewegung. Was schliessen Sie aus Ihrer Darstellung über den Fahrkomfort?
3. Wenn Sie die Luftreibung vernachlässigen können und wenn Sie einem Körper eine Maximalgeschwindigkeit von 10 m/s geben können, was ist der optimale Wurfwinkel und die Wurfweite? Wie lautet die Formel für die Weite, wenn Sie berücksichtigen, dass Sie 2 m gross sind, und dass deshalb Ihre Hand diese Höhe über Boden hat? Verwenden Sie für $g = 10 m/s^2$.
4. Ein Flugzeug soll auf einem Kurs Richtung Norden fliegen. Seine Geschwindigkeit gegenüber der Luft ist 200 m/s. In welche Richtung muss die Nase des Flugzeuges zeigen, wenn die Luft mit 25 m/s sich von Westen gegen Osten bewegt. Was ist die Geschwindigkeit über Grund?

Hausaufgabe

1. Ein Schwimmwettbewerb zwischen zwei auf die zehntausendstel Sekunde über 100 m gleich schnellen Schwimmerinnen (Zeit für 100 m: 50 s) soll auf der Donau ausgetragen werden. Die eine Schwimmstrecke ist parallel zum Ufer und 100 m lang, die andere ist senkrecht zum Ufer und auch 100 m lang. Gemessen wird die Zeit um die jeweilige Strecke in beide Richtungen zu durchschwimmen. Wer erreicht das Ziel zuerst, wenn die Donau mit $0.5 m/s$ gleichmässig auf der ganzen Breite fliesst?
2. Freiwillig: Lösen sie eine oder mehrere Aufgaben aus dem Tipler, Seiten 66-70.

Lösungen Aufgaben für die Übungsstunde

1. $s(t) = s_0 \sin \omega t$
   $v(t) = s_0 \omega \cos \omega t$
   $a(t) = - s_0 \omega^2 \omega t$
   

   t	s	v	a
   0	0	$s_0 \omega$	0
   $\frac{\pi}{6\omega}$	$\frac{s_0}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}s_0 \omega$	- $\frac{s_0 \omega^2}{2}$
   $\frac{\pi}{4\omega}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}s_0$	$\frac{\sqrt{2}}{2}s_0 \omega$	- $\frac{\sqrt{2}}{2}s_0 \omega^2$
   $\frac{\pi}{2\omega}$	$s_0$	0	$-s_0\omega^2$

   
   
   
   
2. $t < 0$
   $x(t) = v_0 t$, $y(t) = 0$
   $v_x(t) = v_0$, $v_y(t) = 0$
   $a_x(t) = 0$, $a_y(t) = 0$
   Im Kreisbogen
   Winkel: $R \alpha (t) = v_0 t$, also $\alpha(t) = v_0 t /R$
   $x(t) = R \sin \alpha(t) = R \sin (v_0 t /R)$, $y(t)= R (1-\cos (v_0 t/R))$
   $v_x(t) = v_0 \cos \alpha (t) = v_0 \cos (v_0 t /R)$, $v_y(t) = v_0 \sin (v_0 t /R)$
   $a_x(t) = -\frac{v_0^2}{R} \sin \alpha(t) = -\frac{v_0^2}{R} \sin (v_0 t /R)$, $a_y(t)= \frac{v_0^2}{R} \cos (v_0 t/R)$
   Zahlenwerte der Vorfaktoren: $R=500 m$, $v_0 = 10 m/s$, $v_0^2 R^{-1} = (10 m/s \times 10 m/s) /(500 m) = 0.2 m/s^2$
   
   
   
   
3. $v_{x,0} = v_0 \cos \alpha$
   $v_{y,0} = v_0 \sin \alpha$
   $x(t) = x_0 + v_{x,0} t = v_{x,0} t$
   $y(t) = y_0´+ v_{y,0} t - \frac{1}{2} g t^2$
   Landung, wenn $y(t) = 0$, löse
   $0 = y_0 + v_{y,0} t - \frac{1}{2} g t^2$
   Erster Teil, setze $y_0 = 0$. Dann ist: $t_1 = 0$, $t_2 = 2 v_{y,0}/g$
   Einsetzen in $x(t)$
   $x_{max} = v_{x,0} 2 v_{y,0} /g = \frac{2 v_0^2}{g} \cos \alpha \sin\alpha$
   Mit $\cos\alpha\sin\alpha = \frac{1}{2} \sin 2\alpha$ wird
   $x_{max} = \frac{v_0^2}{g} \sin 2\alpha$
   Man erhält die maximale Reichweite für $\alpha = \pi/4$
   $x_{max} = 10 m$
   Teil 2: nun $y_0 \neq 0$. $0 = y_0 + v_{y,0} t - \frac{1}{2} g t^2$
   Also $t_{1,2} = \frac{-v_{y,0} \pm \sqrt{ v_{y,0}^2+ 2 g y_0}}{-g}$
   Wir erhalten die maximale Flugdauer für das ''-'' - Zeichen
   $t_{max} = \frac{v_{y,0}}{g} + \sqrt{\left(\frac{v_{y,0}}{g}\right)^2+2 \frac{y_0}{g}}= \frac{v_{y,0}}{g}\left[1+\sqrt{1+2\frac{y_0 g}{v_{y,0}^2}}\right]$
   Einsetzten in $x(t)$ ergibt: $x_{max} = \frac{v_{x,0} v_{y,0}}{g}\left[1+\sqrt{1+2\frac{y_0 g}{v_{y,0}^2}}\right]\approx \frac{v_{x,0} v_{y,0}}{g}\left[2+\frac{y_0 g}{v_{y,0}^2}\right]$
   Wir rechnen nun noch den Winkel aus:
   $x_{max} = \frac{v_0^2 \cos\alpha\sin\alpha}{g}\left[1+\sqrt{1+2\frac{y_0 g}{v_0... ...rac{v_0^2\cos\alpha\sin\alpha}{g}\left[2+\frac{y_0 g}{v_y^2\sin^2\alpha}\right]$
   Nun müsste das Maximum dieser Funktion gesucht werden. Da der Vorfaktor von $y_0$ grösser null ist, ist die Reichweite in jedem Falle grösser bei einem flacheren Abwurfwinkel.
   Grafische Darstellung:
   
   Excel-Datei für Rechnung: (wurf.xls [Excel 97/2000])
4. Es gilt: $\vec v_{Wind} + \vec v_{Flugzeug,Luft} = \vec v_{Grund}$
   Dies ist ein rechtwinkliges Dreieck, also $v_{Grund}^2+v_{Wind}^2 = v_{Flugzeug,Luft}^2$
   Mit den Zahlenwerten bekommt man $v_{Grund} = 198 m/s$
   Winkel: $\sin\alpha = v_{Grund}/ v_{Flugzeug,Luft} = 1/8$, also $\alpha = 7,2^\circ$
   

Lösungen Hausaufgabe

1. Die Lösung der Aufgabe 4 ist auch die Lösung des Teils 2, die Donau zweimal überqueren.
   $v_\bot^2 + v_{Donau}^2 = v_{Schwimmerin}^2$
   Gesamtzeit (s: Strecke): $t_\bot = \frac{2 s}{v_\bot} = \frac{2 s}{\sqrt{v_{Schwimmerin}^2-v_{Donau}^2}}$
   Parallel zur Donau wird einmal mi und einmal gegen den Strom geschwommen.
   $v_{\Vert,1} = v_{Schwimmerin}+v_{Donau}$, $v_{\Vert,2} = v_{Schwimmerin}1v_{Donau}$
   $t_{\Vert,1} = \frac{s}{v_{Schwimmerin}+v_{Donau}}$, $t_{\Vert,2} = \frac{s}{v_{Schwimmerin}-v_{Donau}}$
   Also:
   $t_{\Vert} = \frac{s}{v_{Schwimmerin}+v_{Donau}}+\frac{s}{v_{Schwimmerin}-v_{Donau}} = \frac{s v_{Schwimmerin}}{v_{Schwimmerin}^2-v_{Donau}^2}$
   Eingesetzt:
   $t_\bot = 103,28 s$, $t_\Vert = 106,67 s$
   PS: Diese Überlegung wird zur Herleitung der Lorentz-Kontraktion in der speziellen Relativitätstheorie verwendet.

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