Up: Physik 1 für Ingenieure

Übungsblatt 3
Physik für Ingenieure 1

Othmar Marti, (othmar.marti@physik.uni-ulm.de)

3. Dezember 2001

Aufgaben für die Übungsstunden

Kinematik Dynamik

Elektronen und andere geladene Teilchen bewegen sich auf Spiralbahnen durch Magnetfelder. Die Bahnkurve ist durch $\vec{r}(t) = \left(\begin{array}{c}R\cos(\omega t) R\sin(\omega t) v_z t \end{array}\right)$ . Berechnen Sie die Geschwindigkeit und die Beschleunigung.
Bei einer Kirmes-Bahn sei der Ort als Funktion der Zeit durch $\vec{r}(t) = \left(\begin{array}{c}(R+r\sin(\Omega t))\cos(\omega t)\\ (R+r\sin(\Omega t))\sin(\omega t) r\cos(\Omega t) \end{array}\right)$ . Berechnen Sie wieder Geschwindigkeit und Beschleunigung.
Drehen Sie den Vektor $\vec r = 5 \vec e_x - 3 \vec e_z$ zuerst um $30^\circ$ um die y-Achse und dann um $45^\circ$ um die z-Achse.
Auf ein Förderband (Geschwindigkeit: 1 m/s) fallen pro Sekunde 10 kg Schotter. Berechne die Kraft, die benötigt wird, um eine konstante Geschwindigkeit aufrecht zu erhalten.

Hausaufgabe

Sie fahren mit der Geschwindigkeit senkrecht auf ein unendlich ausgedehntes Hindernis zu. Die maximale Kraft, die über die Räder auf den Boden übertragen werden kann, ist $F_{max}$ . Ihr Auto hat die Masse . Berechnen Sie den kürzesten Bremsweg (Die Trägheitskraft ist $F_{max}$ ) und den minimal nötigen Radius um eine Kurve zu fahren (wieder soll die Zentripetalkraft gleich $F_{max}$ sein).

Was wäre das Resultat, wenn das Hindernis die Ausdehnung $\ell$ von ihrer ursprünglichen Fahrachse hätte?

Was folgt für ihre Fahrpraxis aus den Resultaten?

Lösungen Aufgaben für die Übungsstunde

Ort: $\vec{r}(t) = \left(\begin{array}{c}R\cos(\omega t) R\sin(\omega t) v_z t \end{array}\right)$
Geschwindigkeit: $\vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}(t)}{dt} = \left(\begin{array}{c}-\omega R\sin(\omega t) \omega R\cos(\omega t) v_z\\ \end{array}\right)$
Beschleunigung: $\vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}(t)}{dt} = \left(\begin{array}{c}-\omega^2 R\cos(\omega t) -\omega^2 R\sin(\omega t) 0\\ \end{array}\right)$
Ort: $\vec{r}(t) = \left(\begin{array}{c}(R+r\sin(\Omega t))\cos(\omega t)\\ (R+r\sin(\Omega t))\sin(\omega t) r\cos(\Omega t) \end{array}\right)$ .
Geschwindigkeit: $\vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}(t)}{dt} = \left(\begin{array}{c}-\omega(R+r\sin(\O... ...r \cos(\Omega t)\sin(\omega t)\\ -r\Omega \sin(\Omega t) \end{array}\right)$
Beschleunigung: $\vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}(t)}{dt} =$
$\left(\begin{array}{c}-\omega^2(R+r\sin(\Omega t))\cos(\omega t)-\Omega\omega r... ...cos(\Omega t)\cos(\omega t)\\ -r\Omega^2 \cos(\Omega t) \end{array}\right)+$
$\left(\begin{array}{c}-\Omega^2 r \sin(\Omega t)\cos(\omega t)-\Omega\omega r \... ...omega t)+\Omega\omega r \cos(\Omega t)\cos(\omega t)\\ 0 \end{array}\right)$ =
$\left(\begin{array}{c}-\omega^2(R+r\sin(\Omega t))\cos(\omega t) -2\Omega\omeg... ...\sin(\Omega t)\sin(\omega t)\\ -r\Omega^2 \cos(\Omega t) \end{array}\right)$
$\vec r' = D_z(\pi/4) D_y(\pi/6) \left(\begin{array}{c} 5 0 -3 \end{array}\right)$
$D_z(\pi/4) = \left(\begin{array}{ccc} \cos(\pi/4)&-\sin(\pi/4)&0\\ \sin(\pi/... ...0\\ \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}&0\\ 0&0&1\\ \end{array}\right)$
$D_y(\pi/6) = \left(\begin{array}{ccc} \cos(\pi/6)&0&\sin(\pi/6)\\ 0&1&0\\ ... ...rt{3}}{2}&0&0.5\\ 0&1&0\\ -0.5& 0&\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \end{array}\right)$
$D_z(\pi/4)D_y(\pi/6) = \left(\begin{array}{ccc} \frac{\sqrt{2}}{2}&-\frac{\sqr... ...2}}{2}&\frac{\sqrt{2}}{4}\\ -0.5& 0&\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \end{array}\right)$
$\vec r' = \left(\begin{array}{ccc} \frac{\sqrt{6}}{4}&-\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac... ...\frac{\sqrt{6}}{4}(5-\sqrt{3}) -\frac{1}{2}(5+3\sqrt{3}) \end{array}\right)$
2. Newtonsches Axiom: $F = \frac{dp}{dt} = \frac{dm}{dt}v$ (da v= const).
Einsetzen: $F = \frac{10\; kg}{s}*1 \frac{m}{s} = 10 N$

Lösungen Hausaufgabe

$F_{max} = m a$ oder $a = \frac{F_{max}}{m}$ . Einsetzen in die Gleichung ergibt $s_0 = \frac{v_0^2}{2a} = \frac{v_0^2 m}{2 F_{max}}$
Wir verwenden $a_z = \frac{v^2}{R}$ und erhalten $R = \frac{v^2}{a_z} = \frac {v_0^2 m}{F_{max}} = 2 s_0$
Wir betrachten die Trajektorie des Autos:
$\includegraphics[width=0.6\textwidth]{Bremse.eps}$
Es gilt: $x^2 + (R-\ell)^2 = R^2$ . Aufgelöst nach x: $x = \ell\sqrt{2\frac{R}{\ell}-1}= \ell\sqrt{\frac {2 v_0^2 m}{\ell F_{max}}-1}$ .
Wenn der Abstand zum Hindernis grösser als $x(\ell)<s$ ist, kann das Hindernis umfahren werden.