Übungsblatt 7
Physik für Ingenieure 1

Othmar Marti, (othmar.marti@physik.uni-ulm.de)

27. 11. 2001

Aufgaben für die Übungsstunden

Drehbewegungen PDF-Datei

1. Ein Schlagbaum (Gesamtlänge 5 m, davon die ersten 3 m mit einem Durchmesser von 15 cm, die letzten 2 m mit einem Durchmesser von 10 cm) aus Holz ( $\rho= 1000 kg/m^3$) falle aus seiner Ruhelage (Winkel von $80^0$ gegen die Horizontale). Beschreibe die Bewegung mathematisch. Wie gross ist ide Winkelbeschleunigung am Anfang? Wie gross ist die Winkelgeschwindigkeit, wenn Schlagbaum die Horizontale erreicht?
2. Zeige, dass $\vec r_1 \times \left(\vec r_2 \times \vec r_3\right)= \left(\vec r_1 \cdot \vec r_3\right)\vec r_2 - \left(\vec r_1 \cdot \vec r_2 \right) \vec r_3$ gilt.
3. Ein Körper der Masse $m=3kg$ bewege sich mit der Geschwindigkeit $\vec v = (2 m/s) \vec e_x$ entlang der Geraden $z=0m$, $y=4.3m$.
   1. Bestimmen Sie den Drehimpuls $\vec L$ relativ zum Ursprung, wenn sich der Körper am Ort $x=12m$,$y=4.3m$,$z=0m$ befindet.
   2. Eine Kraft $\vec F = (-3N)\vec e_x$ wirke auf den Körper. Bestimmen Sie das Drehmoment relativ zum Ursprung, das diese Kraft hervorruft.

Hausaufgabe

1. Die folgsame Rolle ist ein Vollzylinder mit einem Durchmesser von 10 cm, Masse 1kg, der an beiden Enden mit konzentrisch angebrachten masselosen Scheiben mit einem Durchmesser von 12 cm versehen ist. Auf den Zylinder ist eine Schnur aufgewickelt, die unter einem Winkel $\alpha$ mit einer konstanten Kraft von 10 N gezogen wird. Zur Zeit $t=0$ sei Die Rolle in Ruhe. Berechne die Bewegung des Zylinders in Funktion des Winkels $\alpha$. Gibt es einen besonderen Winkel?

Lösungen Aufgaben für die Übungsstunde

1. • Trägheitsmoment des einseitig eingespannten Balkens $I_1 = \frac{1}{3} m_1 \ell_1^2$
   • Trägheitsmoment eines Balkens mit der Drehachse durch den Schwerpunkt $I_2 = \frac{1}{12} m_2 \ell_2^2$. Die Drehachse wird um $h$ aus dem Schwerpunkt verschoben: Satz von Steiner: $I_3 = I_2 + m_2 h^2$
   • In unserem Falle ist $\ell_0 = 5 m = \ell_1 + \ell_2$.
   • $\ell_1 = 3 m$
   • $h = \ell_1 +\ell_2/2= 4m$
   • $d_1 = 0.15 m$
   • $d_2 = 0.1 m$
   • $m_1 = \frac{\pi}{4}\ell_1 d_1^2 = 53 kg$
   • $m_2 = \frac{\pi}{4}\ell_2 d_2^2 = 15.7 kg$
   • $I_1 = \frac{1}{3}\frac{\pi}{4}\ell_1 d_1^2 \ell_1^2 = 159 kgm^2$
   • $I_3 = \frac{\pi}{4}\ell_2 d_2^2\left(\frac{1}{12}\ell_2^2+(\ell_1 +\ell_2/2)^2\right)=256,4 kg m^2$
   • $I_{ges} = I_1+I_3= 415.4 kgm^2$
   • Der Massenmittelpunkt liegt bei $\ell_S = \frac{m_1 \ell_1/2 + m_2 (\ell_1 + \ell_2/2}{m_1+m_2} = 2.07m$
   • Startwinkel $\phi(0) = \frac{4}{9}\pi$
   • Das Drehmoment ist $M(\phi) = -m_{ges}\ell_S g \cos(\phi(t))$
   • Bewegungsgleichung $M(\phi(t)) = -m_{ges}\ell_S g \cos(\phi(t)) = I_{ges}\alpha(t)$
   • $\rightharpoonup \frac{d^2\phi}{dt^2} = -\frac{m_{ges}\ell_S g }{I_{ges}}\cos\phi$
   • Numerische Lösung mit Euler.xls
     

     

     Numerische Lösung des Schlagbaumproblems mit Euler

     
     

   • Die Winkelbeschleunigung am Anfang ist $\alpha(0) = \frac{m_{ges}\ell_S g }{I_{ges}}\cos \frac{4}{9}\pi = 0,583 \frac{1}{s^2}$
   • Energieerhaltung: $E_{pot} = m_{ges} \ell_S g \sin\phi(0) = 1374 J$
     $E_{kin}(\phi=0) = E_{pot} = \frac{1}{2} I_{ges}\omega^2$
     Also $\omega = \sqrt{\frac{2 E_{pot}}{I_{ges}}}= 2.57 \frac{1}{s}$
2. • Sei $\vec r_i = \left(\begin{array}{c} r_{i,x} \\ r_{i,y} \\ r_{i,z} \\ \end{array}\right)$
   • $\vec r_2 \times \vec r_3 = \left(\begin{array}{c} r_{2,x} \\ r_{2,y} \\ r_... ...3,x}-r_{2,x} r_{3,z} \\ r_{2,x}r_{3,y}-r_{2,y} r_{3,x}\\ \end{array}\right)$
   • $\vec r_1 \times \left(\vec r_2 \times \vec r_3\right)= \left(\begin{array}{c} ... ...-r_{2,x} r_{3,z} \\ r_{2,x}r_{3,y}-r_{2,y} r_{3,x}\\ \end{array}\right) =$
     $\left(\begin{array}{c} r_{1,y} (r_{2,x}r_{3,y}-r_{2,y} r_{3,x}) - r_{1,z} (r_{... ...x} r_{3,z}) - r_{1,y} (r_{2,y}r_{3,z}-r_{2,z} r_{3,y})\\ \end{array}\right)$
   • Andererseits ist $\vec r_1 \cdot \vec r_3 = r_{1,x}r_{3,x}+r_{1,y}r_{3,y}+r_{1,z}r_{3,z}$
   • $\left(\vec r_1 \cdot \vec r_3\right)\vec r_2 = \left(\begin{array}{c} r_{2,x} ... ... r_{2,z} (r_{1,x}r_{3,x}+r_{1,y}r_{3,y}+r_{1,z}r_{3,z})\\ \end{array}\right)$
   • und $\vec r_1 \cdot \vec r_2 = r_{1,x}r_{2,x}+r_{1,y}r_{2,y}+r_{1,z}r_{2,z}$
   • $\left(\vec r_1 \cdot \vec r_2\right)\vec r_3 = \left(\begin{array}{c} r_{3,x} ... ... r_{3,z} (r_{1,x}r_{2,x}+r_{1,y}r_{2,y}+r_{1,z}r_{2,z})\\ \end{array}\right)$
   • $\left(\vec r_1 \cdot \vec r_3\right)\vec r_2 - \left(\vec r_1 \cdot \vec r_2 \right) \vec r_3 =$
     $\left(\begin{array}{c} r_{2,x} (r_{1,x}r_{3,x}+r_{1,y}r_{3,y}+r_{1,z}r_{3,z}... ...{3,z} (r_{1,x}r_{2,x}+r_{1,y}r_{2,y}+r_{1,z}r_{2,z})\\ \end{array}\right) =$ $\left(\begin{array}{c} r_{1,y} (r_{2,x}r_{3,y}-r_{2,y} r_{3,x}) - r_{1,z} (r_{... ...x} r_{3,z}) - r_{1,y} (r_{2,y}r_{3,z}-r_{2,z} r_{3,y})\\ \end{array}\right)$
   • Der Vergleich bestätigt die Vermutung!
3. 1. Bestimmen Sie den Drehimpuls $\vec L$ relativ zum Ursprung, wenn sich der Körper am Ort $x=12m$,$y=4.3m$,$z=0m$ befindet.
      • Der Drehimpuls ist in unserem Falle in die z-Richtung gerichtet. Es ist $\vec L = \vec{r} \times (m\vec v) = m \vec r \times \vec v$
      • $\vec L = m \left(\begin{array}{c} r_x \\ r_y \\ 0 \\ \end{array}\right) ... ...(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ -25.8 \\ \end{array}\right) \frac{m^2 kg}{s}$
   2. Das Drehmoment ist
      $\vec M = \vec r \times \vec F = \left(\begin{array}{c} r_x \\ r_y \\ 0 ... ...right) = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 12.9 \\ \end{array}\right) Nm$

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