Mitgeführtes orthogonales Koordinatensystem und kartesisches Koordinatensystem
Wir betrachten die Definition der Kugelkoordinaten
Mitgeführtes orthogonales Koordinatensystem und kartesisches Koordinatensystem
Gegeben sind einerseits die kartesischen Koordinaten x, y
und z, andererseits die Kugelkoordinaten r, ϕ, und θ. Am
Punkt P definieren wir ein mitgeführtes kartesisches
Koordinatensystem. Seine Orientierung hängt also von der
Zeit ab! Beide Koordinatensysteme sind jeweils durch ein
Tripel von Einheitsvektoren gegeben, die jeweils gegenseitig
orthogonal sind. Die Einheitsvektoren sind im kartesischen
System 
x, 
y und 
z und im mitgeführten kartesischen
System 
r, 
ϕ und 
θ.
Betrachtung in der xy-Ebene für 
ϕ
Wir betrachten zuerst die xy-Ebene. Die Projektion des Ortsvektors r auf diese Ebene nennen wir ρ. Wir erhalten also die Beziehungen (Einheitsvektoren!)
 ϕ | = - sin(ϕ) x + cos(ϕ) y | (G.1) |
 | = cos(ϕ) x + sin(ϕ) y | (G.2) |
Betrachtung in der ρz-Ebene zur Bestimmung von
r und 
θ
Wir betrachten nun die Ebene gebildet aus den Vektoren 
und 
z. In dieser Darstellung ist 
r radial und 
θ zeigt in die
Richtung der positiven θ-Koordinate. Dadurch ist auch 
r, 
θ
und 
ϕ in dieser Reihenfolge ein ortogonales Rechtssystem.
Aus der Abbildung liest man
 r | = cos(θ) z + sin(θ) | (G.3) | |
= cos(θ) z + sin(θ) | |||
= sin(θ) cos(ϕ) x + sin(θ) sin(ϕ) y + cos(θ) z | |||
 θ | = - sin(θ) z + cos(θ) | (G.4) | |
= - sin(θ) z + cos(θ) | |||
= cos(θ) cos(ϕ) x + cos(θ) sin(ϕ) y - sin(θ) z |
Dabei merken wir uns, dass θ und ϕ Funktionen der Zeit sind. Zusammenfassend erhalten wir
 r | = sin(θ) cos(ϕ) x + sin(θ) sin(ϕ) y + cos(θ) z | (G.5) |
 θ | = cos(θ) cos(ϕ) x + cos(θ) sin(ϕ) y - sin(θ) z | (G.6) |
 ϕ | = - sin(ϕ) x + cos(ϕ) y | (G.7) |
Wir wissen, dass 
x, 
y und 
z ein orthogonales Koordinatensystem
ist. Also ist insbesondere 1 = 
x·
x = 
y·
y = 
z·
z und
0 = 
x·
y = 
y·
zx = 
z·
x. Wenn wir mit diesem
Wissen 
r·
r, 
θ·
θ und 
ϕ·
rϕ sowie 
r·
θ, 
θ·
ϕ
und 
ϕ·
r berechnen, können wir zeigen, dass auch
das Koordinatensystem 
r, 
θ und 
ϕ ein orthogonales
Koordinatensystem ist.
Wenn wir dieses Gleichungssystem nach 
x, 
y und 
z
auflösen, erhalten wir die Umkehrrelationen
 x | = sin(θ) cos(ϕ) r + cos(θ) cos(ϕ) θ - sin(ϕ) ϕ | (G.8) |
 y | = sin(θ) sin(ϕ) r + cos(θ) sin(ϕ) θ + cos(ϕ) ϕ | (G.9) |
 z | = cos(θ) r - sin(θ) θ | (G.10) |
Durch Rückeinsetzen kann man sich überzeugen, dass dies konsistente Formulierungen sind.
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