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I.  Mittelung über den Stossquerschnitt

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Mittelung über den Stossquerschnitt

Bei jedem Stoss wird der Impuls um die Strecke d weiter transportiert (Siehe Abbildung I). Bei einem zentralen Stoss ist d = 2r, bei einem Stoss mit dem Stossparameter b = 2r ist d = 0. d hängt wie folgt von b ab:

 2       2    2     2    2
d  = (2r)  - b =  4r -  b
(I.1)

Bei der Mittelung berücksichtigen wir die Zylindersymmetrie

⟨d⟩ =   1
-----2-
π(2r) 02π 02rd(b)bdb
= -1---
4πr2 02π 02r√ --2----2
  4r  - bbdb
=  2π
---2-
4πr 02r√ --------
  4r2 - b2bdb
=  1
----
2r2 02r√--------
 4r2 - b2bdb
Dieses Integral kann mit der Substitution
  2     2    2
x  =  4r -  b

und damit

2xdx  = - 2bdb

gelöst werden. Die Grenzen transformieren sich wie 0 2r und 2r 0.

⟨d⟩ = -1--
2r2 02r√ --------
  4r2 - b2bdb
= --1--
2r2 2r0xxdx
=  1
--2-
2r 02rxxdx
= -1--
2r21-
3(2r)3
= 4-
3r (I.2)



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