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2.11  Wärmereservoire

Die klassische Definition eines Wärmereservoirs lautet:


Ein Wärmereservoir hat die Wärmekapazität
C = ∞
(2.1)


Die statistische Betrachtung geht so: Wir haben zwei Systeme A und Aim Kontakt. Das System Aist ein Wärmebad oder Wärmereservoir, wenn Tsich kaum ändert bei der Wärmezufuhr Q. Die kann in einer Gleichung so geschrieben werden:

||∂T ′    ||
||----·Q  ′||«  T ′
|∂E ′    |
(2.2)

Daraus folgt

||   ′  ||
||∂-β-Q ′|| «  β′
|∂E ′  |
(2.3)

dann sollte auch

-˜E-
E˜′ «  1

sein.

Sei nun Ω   ′
(E ) die Anzahl der zugänglichen Zustände von Aim Energieintervall von E bis E + δE. Das System Aabsorbiere die Energie ΔE= Q. Dann lautet die Taylor-Entwicklung

ln Ω(E ′ + Q ′) - ln Ω(E ′) = ( ∂ lnΩ ′(E ′))
  ------′----
     ∂EQ+ 1
--
2( ln2Ω ′(E′))
  ------′2---
     ∂EQ2 + O(   )
 Q ′3
= βQ+ 1
2- ∂β′
∂E-′Q2 + O(  ′3)
  Q (2.4)

Die Terme 2. und höherer Ordnung können vernachlässigt werden, da mit Gleichung (2.3) gilt

          (       )
∂-β′  ′2     ∂β-′  ′   ′    ′  ′
∂E ′Q   =   ∂E ′Q   Q  «  β Q

Damit bekommen wir

     ′   ′    ′       ′  ′      ′ ′    Q′
ln(Ω  (E  + Q ) - ln Ω  (E  )) = βQ  =  ---′
                                      kT
(2.5)

oder

   ′   Q ′
ΔS   = T-′
(2.6)

wenn die Wärmemenge Qmit einem Wärmebad ausgetauscht wird.

Eine analoge Rechnung gilt auch für infinitesimale Wärmemengen δQ.

Sei δQ « E. Dann haben wir

                          ∂ ln Ω      1δ2 ln Ω        (    )
ln Ω (E +  δQ)- lnΩ (E ) ≈ ------δQ+  -----2--δQ2+O    Q′3
                           ∂E        2  E
(2.7)

und wieder

      δQ-
dS  =  T
(2.8)

Diese Gleichung hatten wir schon bei der nichtstatistischen Betrachtung der Entropie verwendet. Es ist doch beruhigend, dass die statistische Betrachtung auf die gleichen Gesetze wie die klassische Betrachtung führt.



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