Vorlesungsskript
PHYS2200.0
Atomphysik, Wirtschaftsphysiker und Lehramtskandidaten

Othmar Marti und Manuel Gonçalves
Institut für Experimentelle Physik
PIC
Universität Ulm

27. Oktober 2014
Sag Atome, sage Stäubchen.
Sind sie auch unendlich klein,
Haben sie doch ihre Leibchen
Und die Neigung da zu sein.
Haben sie auch keine Köpfchen,
Sind sie doch voll Eigensinn.
Trotzig spricht das Zwerggeschöpfchen:
Ich will sein so wie ich bin.
Suche nur, sie zu bezwingen,
Stark und findig, wie du bist.
Solch ein Ding hat seine Schwingen,
Seine Kraft und seine List.
Wilhelm Busch in „Zu Guter Letzt“ (1899)

Inhaltsverzeichnis

1  Einleitung

1.1  Dank

Zu diesem werdenden Skript habe ich wertvolle Anregungen von Herrn Vollmer, Herrn Crasser und von Studierenden erhalten: herzlichen Dank!

1.2  Liste der Versuche zu den Vorlesungen

1.3  Termine

1.3.1  Vorlesungstermine




Monat Datum Datum



April 16.4. 17. 4.
23. 4. 24. 4.
30. 4.



Mai 7. 5. 8. 5.
14. 5. 15. 5.
21. 5. 22. 5.
29. 5.



Juni 4. 6. 5. 6.
11. 6. 12. 6.
18. 6. 19. 6.
25. 6. 26. 6.



Juli 2. 7. 3. 7.
9. 7. 10. 7.
16. 7. 17. 7.
3. 8. Klausur



01. 10. 2012 Nachklausur



1.3.2  Seminargruppen

Gruppe 1
Mittwoch, 16–18, N24/251 Othmar Marti
Gruppe 2
Donnerstag, 08–10, O25/306 Daniel Geiger
Gruppe 3
Donnerstag, 08–10, N24/254 Thomas Kerst
Gruppe 4
Donnerstag, 10–12, O25/306 Enno Giese
Gruppe 5
Donnerstag, 10–12, O25/346 Christof Happ

1.3.3  Seminardaten



Übung
Datum




1 18. 04. 2012 / 19. 04. 2012


2 25. 04. 2012 / 26. 04. 2012


3 02. 05. 2012 / 03. 05. 2012


4 09. 05. 2012 / 10. 05. 2012


5 23. 05. 2012 / 24. 05. 2012


6 30. 05. 2012 / 31. 05. 2012


7 13. 06. 2012 / 14. 06. 2012


8 20. 06. 2012 / 21. 06. 2012


9 27. 06. 2012 / 28. 06. 2012


10 04. 07. 2012 / 05. 07. 2012


11 11. 07. 2012 / 12. 07. 2012


12 18. 07. 2012 / 19. 07 2012




Tutorien in N24/251


1 16. 05. 2012, 16:00


2 06. 06. 2012, 16:00




Klausur 03. 08. 2012


Nachklausur 01. 10. 2012


1.4  Literaturhinweise

Die Vorlesung orientiert sich an den Werken von Haken und Wolf: Atom- und Quantenphysik[HW04] und Gerthsen Physik[Mes06]. Zur Mathematik sind die Werke von Arfken und Weber[AW95] und das Internetskript von Komma[Kom96] zu empfehlen. Weiter können Tipler[TM04], Physik, und, als leichtere Einführung, das Buch von Halliday[HRW03] konsultiert werden. Zum Aufarbeiten des gelernten Stoffes (nicht als Einsteigerliteratur) kann auch Kneubühls[Kne78] “Repetitorium der Physik” empfohlen werden. Mathematische Probleme und Formeln sind sehr schön im Bronstein[BSMM00] zusammengefasst. Dieses Skript gibt es auch im Intranet der Universität Ulm (ILIAS).

Die Geschichte der Physik ist von Simonyi[Sim90] hervorragend dargestellt.

Eine wunderbare Website zum Aufarbeiten Ihres Wissens ist Hyperphysics von R. Nave. Ergänzend gibt es vom gleichen Autor auch Hypermath.

2  Masse und Atome

(Siehe Simonyi, Kulturgeschichte der Physik [Sim90, pp. 71-75])

Die Existenz von Atomen wurde, nach unserem Wissen, das erste Mal in Griechenland vor über 2000 Jahren postuliert. Eine ausgezeichnete Darstellung der Physikgeschichte findet sich bei Simonyi[Sim90].

2.1  Avogadro-Zahl

(Siehe Haken, Wolf, Atom-und Quantenphysik [HW04, pp. 7-10])

Wenn ein Kristall immer weiter mit mechanischen Methoden zerkleinert wird, so scheint dies ein kontinuierlicher Prozess zu sein.

PIC Versuch zur Vorlesung: Kristall-Zerkleinerung

Warum muss man trotzdem annehmen, dass die Materie aus kleinsten Einheiten aufgebaut ist?

Optik
Auch bei extrem klarer Sicht ist der Himmel blau. Da der Weltraum bis auf die Sonne (und in vermindertem Masse, Mond und Sterne) dunkel ist, muss das von oben kommende Licht in der hohen Atmosphäre gestreut worden sein. Dies kann nur an Inhomogenitäten der Luft geschehen. Also muss die Luft eine Körnigkeit haben. Wir wissen durch Rayleigh, dass die Streuamplitude proportional zu (r∕λ)4 ist, sofern die streuenden Teilchen sehr viel kleiner sind als die Wellenlänge λ des gestreuten Lichtes.Da der Himmel blau ist, muss also die Längenskala r der Körnigkeit sehr viel kleiner sein als die mittlere Wellenlänge des Sonnenlichts, also
r «  ⟨λ⟩ = 500 nm

Die Streuung führt übrigens auch zu einer Polarisation.

Chemie
Bei jeder chemischen Reaktion werden Stoffe immer in gewissen, unabänderlichen Gewichtsverhältnissen umgesetzt. Das heisst, dass die Ursache der Körnigkeit materialspezifisch ist. Weiter findet man, dass Stoffe wie Wasserstoff, Sauerstoff, Kohlenstoff eine Körnigkeit haben, die ein ganzzahliges Vielfaches der Körnigkeit des Wasserstoffs ist.
Brownsche Bewegung
Robert Brown beobachtete die Zitterbewegung einzelner Bärlappsamen. Er schloss daraus, dass diese Bärlappsamen ununterbrochen von einzelnen sehr viel masseärmeren Teilchen gestossen würden. Daraus folgerte er, dass Wasser aus Teilchen bestehen müsse.
Röntgenbeugung
Mit der von Max von Laue erstmals beobachteten Röntgenbeugung durch Max von Laue (Nobelpreis 1914) konnte erstmals gezeigt werden, dass feste Materie aus einzelnen kleinsten Teilchen bestand, deren Abstand aus den Beugungsmustern berechnet werden konnte.

Alle diese Experimente ergaben, dass die Anzahl der Teilchen aus der Molzahl der Chemiker berechnet werden konnte. Der Proportionalitätsfaktor heisst Avogadro-Zahl NA. Sie gibt an, wie viele Teilchen in einem Mol vorhanden sind. In Deutschland wird manchmal auch die Loschmidt-Zahl NL = NA verwendet, sie ist aber im Rest der Welt nicht gebräuchlich. Bei Kenntnis der Boltzmann-Konstante kB kann NA auf verschiedene Weise bestimmt werden:

Elektrolyse
Wenn die Elementarladung e bekannt ist, kann man aus dem Strom I durch einen Elektrolyten und der abgeschiedenen Masse m die Faraday-Zahl
F =  eNA =  9.65·104 Cmol  -1
(2.1)

bestimmt werden. Damit ist auch die Avogadro-Zahl NA bestimmt.

Gaskonstante und Boltzmann-Konstante
Es gilt die Beziehung
R =  k·NA
(2.2)

Die Gaskonstante R kann aus der Gleichung für ideale Gase abgeleitet werden, zum Beispiel aus pV -Diagrammen.

PIC

pV -Diagramm für ein ideales Gas

Die Boltzmann-Konstante kann aus dem Sedimentationsgleichgewicht bestimmt werden (Jean-Babtiste Perrin[Per09], Nobelpreis 1926). Er erhielt für die Höhenverteilung der Teilchenzahl die folgende Gleichung:

              (               )
                  VT-(ρ---ρ˜)gh-
n (h ) = n0exp   -     k T
                       B
(2.3)

Hier ist V T das Volumen eines Teilchens, ρ die Dichte dieses Teilchens, ˜ρ die Dichte der umgebenden Flüssigkeit, g der Betrag des Feldvektors der Gravitation an der Erdoberfläche (dem Ort des Experiments) und h die Höhe über der Referenzstelle.

Röntgenbeugung
William Henry Bragg und sein Sohn William Lawrence Bragg (beide Nobelpreis 1915) entwickelten 1913 die Drehkristallmethode und die Bragggleichung die die Streuwinkel θ mit der Wellenlänge λ und dem Netzebenenabstand d verknüpft.

PIC

Gangunterschied bei der Bragg-Streuung

                      θ-
nλ = 2d sin α =  2dsin 2
(2.4)

Aus dem Netzebenenabstand kann man das Volumen eines Atoms V A bestimmen. Die Avogadrozahl folgt dann aus

NA  = -M--
      ρVA
(2.5)

ℕAℂ kristallisiert in einem kubischen Gitter mit dem Netzebenenabstand a, wobei sich in der Einheitszelle jeweils ein positives und ein negatives Ion befinden. Dies ist äquivalent zu dem Würfel in der Abbildung unten mit der halben Kantenlänge a∕2, wobei sich die positiven ℕA+-Ionen (klein) und die negativen --Ionen abwechseln.

PIC

ℕAℂ -Gitter

Die Ionen an den Ecken sind Teil von 8 Würfeln, so dass in diesem Würfel mit dem Volumen (a∕2)3 netto ein Ion, also ein halbes ℕAℂ liegt. Die Dichte der ℕAℂ ist demnach

       (  )3
n =  1- 2-
     2  a
(2.6)

Mit V mol = NAV A = M∕ρ bekommen wir aus Gleichung (2.5) und aus Gleichung (2.6)

n =  NA---= NA-ρ-
     Vmol    M
(2.7)

und damit

       M     4M
NA =  n--- = ----
        ρ    a3ρ
(2.8)

Mit den Daten ρ = 1987 kgm-3 und M = 0.07455 kgmol sowie a = 629 pm bekommt man

NA  = 6.03·1023  mol- 1

2.2  Atome sehen

Atome kann man nicht sehen. Greifen wir der Vorlesung voraus und verwenden die Heisenbergsche Unschärferelation

Δpx · Δx  ≥ h

und die Beziehung für den Impuls des Lichts in Funktion der Wellenlänge

p = h-
    λ

so bekommt man

h
--·x  ≥ h
λ

oder

x ≥ λ

Diese grobe Ableitung des Auflösungsvermögens eines optischen Instrumentes zeigt, dass um Atome sehen zu können, Licht mit einer Wellenlänge von etwa 100 pm verwenden muss. Dies ist Röntgenlicht: es gibt auch heute noch keine vernünftige Optik für diese kurzen Wellenlängen. Die besten Optiken haben eine etwa 100 bis 1000 mal schlechtere Auflösung als die Wellenlänge.

Bis jetzt sind nur indirekte Methoden bekannt um Atome sichtbar zu machen. Am nächsten einer optischen Abbildung kommt dabei das Transmissionselektronenmikroskop (TEM). Auch hier ist die Wellenlänge etwa 1100-tel der aufgelösten Struktur.

2.2.1  Feldionenmikroskopie

Obwohl mit Streumethoden gesichert war, dass Atome existieren, dauerte es bis 1951 bis einzelne Atome direkt beobachtet werden konnten. E.W. Müller erfand das Feldionenmikroskop[Mül51]. Dieses ist eine Weiterentwicklung des Feldemissionsmikroskops.

PIC

E.W. Müllers Feldemissionsmikroskop.

Elektronen verlassen wegen den hohen Feldern an Kanten (Blitzableiter) die Spitze und fliegen radial auf den Leuchtschirm zu. Durch die kleine Masse der Elektronen ist ihre transversale Impulskomponente nicht gut definiert: das Bild wird so ausgeschmiert, dass die Abbildung keine scharfen Kanten enthält.

Versuch zur Vorlesung:
Feldemissions-Mikroskop: Austritt von Elektronen aus einer Wolframspitze (Versuchskarte EM-15)

Das Feldionenmikroskop verwendet zusätzlich Helium-Atome. Diese werden in der Nähe der nun positiv geladenen Spitze ionisiert und auf den Leuchtschirm zu beschleunigt. Normalerweise könnte das höchstenergetische Elektron nicht das -Atom verlassen. Durch die extrem hohe Feldstärke E ~ 50 Vm-1 wird das elektrostatische Potential jedoch so verformt, dass dieses Elektron in die Wolframspitze tunneln kann. Durch die grössere Masse der +-Ionen ist deren transversaler Impuls wesentlich besser definiert als bei Elektronen. Dadurch entsteht eine genügend aufgelöste Abbildung der Atome.

PIC

E.W. Müllers Feldionenmikroskop. Unten ist der Potentialverlauf bei der -Ionisation angegeben.

Eine solche Abbildung ist in der nächsten Abbildung 2.2.1 gezeigt.

PIC

Feldionenmikroskopisches Bild einer 110-orientierten Wolframspitze (By Atomsondenbenutzer. Atomsondenbenutzer at de.wikipedia [Public domain], from Wikimedia Commons) [Ato07].

2.2.2  Rastertunnelmikroskopie

PIC

Schematischer Aufbau eines Rastertunnelmikroskopes. Der Tunnelstrom an der Spitze wird durch einen Strom-Spannungs-Wandler in eine Spannung umgewandelt und wird als Eingangssignal für die Steuerung des Spitze-Probe-Abstandes verwendet. Hochspannungsverstärker erzeugen die notwendigen Spannungen für die x-, y-, und z-Elektroden. Die Datenerfassung und die Erzeugung der Rastersignale werden durch Rechner durchgeführt.

PIC PIC

Die linke Seite zeigt eine rastertunnelmikroskopische Aufnahme einer Graphitoberfläche bei 6.8 K (aus [Mar87]). Der Bildausschnitt hat 3.3 nm Kantenlänge. Die totale Höhenvariation ist 0.54 nm, von unten (hell) nach oben (dunkel) gemessen. Die rechte Seite zeigt den Aufbau der Graphitoberfläche.

2.2.3  Brownsche Bewegung

Bei der Brownschen Bewegung wandern die Teilchen getrieben durch die Stösse von Atomen oder Molekülen aus dem umgebenden Medium zufällig durch das Gesichtsfeld im Mikroskop1.

PIC

Simulierte Verteilung des Aufenthaltes eines Teilchens mit Brownscher Bewegung bei 5000 Zeitschritten.

Der mittlere Abstand vom Ursprung nimmt für grosse Zeiten wie

⟨  2⟩           kBT
 x   t = 3Dt = 2-πηrt
(2.1)

zu, wobei η die Viskosität, r der Teilchenradius und D die Diffusionskonstante nach Einstein[Ein05] und Soluchowski[vS06].

PIC Versuch zur Vorlesung: Brownsche Molekularbewegung (Versuchskarte TH-90)

Damit ist gezeigt, dass die Brownsche Bewegung eine alternative Möglichkeit zur Bestimmung von kB bietet.

2.3  Bestimmung der Atomgrösse

Die Grösse von Atomen kann mit Röntgenbeugung (Siehe 2.1) bestimmt werden. Eine weitere, unabhängige Möglichkeit bietet die Bestimmung des Wirkungsquerschnitts.

PIC

Berechnung des Streuquerschnitts mit zwei Teilchen mit den Radien r und R.

Aus der Zeichnung liest man ab, das der Streuquerschnitt

              2
σ =  π(r + R )
(2.1)

ist. Wir betrachten ein Ensemble von vielen Teilchen in einem Volumen. Dieses Volumen habe die Oberfläche A = πR2 gegenüber der Teilchenquelle und die Dicke d. In diesem Volumen befinden sich NV Atome mit jeweils dem Streuquerschnitt σ. Dann ist die Wahrscheinlichkeit W einer Kollision

      Fläche aller σ im  durchstrahlte Volumen     N  σ
W  =  ----------------------------------------=  --V--
                         A                        A

Dabei haben wir nicht berücksichtigt, dass ab einer gewissen Tiefe d die Streuquerschnitte σ sich teilweise überlappen. Zur Berechnung müssen wir also zu einer differentiellen Formulierung übergehen. Hier ist N die Anzahl der eingestrahlten Partikel an der Oberfläche A der Schicht und ΔN die Anzahl der Streufälle. Dann nimmt die Anzahl der Partikel nach der Strecke Δx im Volumen ab wie

ΔN  =  - W ·N  =  - NV-·σ-·N
                      A
(2.2)

Wir nahmen dabei an, dass jeder Streufall das eingestrahlte Partikel aus dem transmittierten Strahl entfernt. Ersetzen wir NV durch n·A·Δx, wobei n die Teilchenzahldichte der Atome ist, erhalten wir

ΔN  =  - n·A--·Δx-·-σ-·N  =  - n ·Δx ·σ ·N
              A
(2.3)

Oder nach dem Übergang zur differentiellen Schreibweise

dN--=  - n· σ·dx
 N
(2.4)

Die Lösung für eine durchstrahlte Fläche der Dicke x ist

N (x ) = N0 exp (- n· σ ·x )
(2.5)

Die Zahl Nstreu der abgelenkten Atome ist

Nstreu(x) = N0 - N (x ) = N0 (1 - exp (- n· σ·x ))
(2.6)

α = ist der totale Wirkungsquerschnitt. Also kann man durch die Bestimmung der Anzahl gestreuten oder ungestreuten Atome σ und daraus, wenn man gleiche Atomsorten für Projektile und Ziele verwendet aus R = r auch r bestimmen.

3  Strahlung

(Siehe Gerthsen, Physik [Mes06, pp. 567-603])

Unter Strahlung verstehen wir die Emission elektromagnetischer Energie. Wir beschränken uns hier nicht nur auf Licht, sondern auf allgemeine elektromagnetische Strahlung. Wir verwenden die Grundgesetze aus der Optik und der Elektrizitätslehre.

3.1  Strahlungsfelder

(Siehe Gerthsen, Physik [Mes06, pp. 567-571])

Von einer Quelle eines Strahlungsfeldes fliesst Energie weg. Der Fluss dieser Energie wird durch die Intensität I (Einheit Wm-2) und die Strahlungsstromdichte D(r) als gerichtete Grösse charakterisiert. Auf einem Flächenstück dA, dessen Normaleneinheitsvektor dA∕dA im Winkel α zur Ausbreitungsrichtung (gegeben durch den Wellenvektor k) steht, ist die momentane Strahlungsleistung dP

dP  = D  ·dA  = DA  cos(α ) = IA cos(α)
(3.1)

Die Bestrahlungsstärke nennt man E, definiert als

E =  D cosα
(3.2)

Die Einheit von E ist Wm-2. Die auf der Fläche eintreffende Energie, die Bestrahlung, ist

∫
  E ·dt

Die Leistung der Strahlungsquelle auf einer endlichen Fläche, auch Strahlungsfluss Φ genannt, ist

          ∬             ∬
P  = Φ =      D ·dA   =     EdA

Strahlungsquellen haben meistens keine kugelsymmetrische Abstrahlcharakteristik. Der in den Raumwinkel dΩ gerichtete Leistung wird durch die Strahlungsstärke J, Einheit Wsterad-1 gegeben

J = dP-
     dΩ
(3.3)

Die spezifische Ausstrahlung R beschreibt die Ausstrahlung der Quelle von einem Flächenstück dA in den ganzen Halbraum

R =  dP-
     dA
(3.4)

Schliesslich wird vom Flächenelement dA in den Raumwinkel dΩ eine Leistung d2P abgestrahlt. Diese wird durch die Strahlungsdichte B beschrieben

      d2P
B  = ------
     dAd Ω
(3.5)

Eine Quelle ohne Richtungsabhängigkeit wird Lambert-Strahler genannt. Realisierungen eines Lambert-Strahlers sind ein mattes weisses Papier, ein heisser schwarzer Körper oder eine Öffnung in einem strahlungsgefüllten Körper. Wird ein Lambert-Strahler im Winkel α gegen die Oberflächennormale betrachtet, so ist die Strahlungsstärke nach dem Lambert-Gesetz

J = J0 cosα
(3.6)

3.1.1  Photometrische Grössen

Wenn wir sichtbare Strahlung durch unser Auge wahrnehmen, ist die Reizung unserer Sehnerven nicht proportional zur teilchenzahl oder zur Energie. Um der Wellenlängenabhängigkeit unseres Sehempfindens Rechnung zu tragen, wurden photometrische Grössen definiert, die Eigenschaften des Auges berücksichtigen. Die Photometrie beruht auf der SI-Grundeinheit Candela, abgekürzt cd.

Ein Candela ist definiert als der Lichtstrom pro Raumwinkeleinheit, der von 610 cm2 eines schwarzen Körpers bei 2042 K, der Schmelztemperatur von Platin, ausgeht.

Physikalische Grössen
Physiologische oder photometrische Grössen

Grösse

Symbol Einheit

Grösse

Symbol Einheit






Strahlungsenergie

E J

Lichtmenge

Q lms

Strahlungsfluss

Φ W

Lichtstrom

Φ lm

Spezifische Ausstrahlung

R Wm-2

Spezifische Lichtausstrahlung

R lmm-2

Strahlungsstärke

J = dΦ
dΩ Wsterad-1

Lichtstärke

I = dΦ
dΩ- cd = lmsterad-1

Strahlungsdichte

B = --dJ--
dAdcosα Wm-2sterad-1

Leuchtdichte

B = --dI--
dAdcosα cdm-2 = sb

Intensität Strahlungsflussdichte

D = I = -dΦ-
dA⊥ Wm-2

Intensität Lichtstromdichte

D = I = -dΦ-
dA⊥ lx = lmm-2

Bestrahlungsstärke

E = D cos α Wm-2

Beleuchtungsdichte

E = D cos α lx

Bestrahlung

Edt Jm-2

Beleuchtung

Edt lxs
Photometrische Grössen

PIC Versuch zur Vorlesung: Fettfleckphotometrie: Helligkeitsvergleich zweier Lampen (Versuchskarte O-61)

3.2  Strahlungsgesetze

3.2.1  Thermische Strahlung

Wärmestrahlung ist eine Form elektromagnetischer Strahlung. Die Sonne versorgt so die Erde mit der notwendigen Energie. Aus der Optik wissen wir, dass bei einem Strahlungsfluss Φ auf eine Grenzfläche die folgende Energiebilanz gilt:

Φ =  ΦR +  ΦT + Φa =  aR· Φ + aT · Φ + ϵ· Φ
(3.1)

wobei ΦT den transmittierten Fluss, ΦR den reflektierten Fluss und Φa den absorbierten Fluss beschreibt. Wir bezeichnen mit ϵ den Absorptionsgrad. Nimmt man an, dass die Probe dick ist, dann gibt es keinen transmittierten Fluss. Dann gilt mit aR = 1 - ϵ

Φ = (1 - ϵ)ΦR + ϵΦa
(3.2)

Der Absorptionsgrad ϵ hängt von der Frequenz ab. Wenn dem nicht so wäre, gäbe es zum Beispiel keine Kaltlichtspiegel bei Halogenlampen.

Wenn man die Ausstrahlung einer schwarzen Fläche (ϵ = 1) mit Ps beschreibt ist die Ausstrahlung einer beliebigen Fläche durch

P = ϵPs
(3.3)

gegeben. Dieses Strahlungsgesetz von Kirchhoff bedeutet, dass die Emissionseigenschaften und die Absorptionseigenschaften zusammenhängen. Gut absorbierende Flächen sind auch gut emittierende Flächen. wenn dem nicht so wäre, könnte man ein Perpetuum Mobile der zweiten Art herstellen.

Nehmen wir an, eine Fläche mit ϵ1 under Temperatur T strahle die Leistung P1 auf die zweite Fläche mit der Temperatur T. Gleichzeitig strahle die zweite Fläche mit ϵ2 die Leistung P2 auf die erste Fläche. Beide Flächen sind im thermischen Gleichgewicht. Dann muss

ϵ1·P2  = ϵ2·P1
(3.4)

sein. Dies ist dann der Fall, wenn die aus der Temperatur berechnete Leistung P(T), die auch nur von der Temperatur abhängt, sich mit Pi wie

Pi = ϵi·P (T )
(3.5)

verhält. Nur dann ist die Gleichung (3.4) erfüllt.

PIC Versuch zur Vorlesung: Pyrometermodell (Versuchskarte AT-12)

PIC Versuch zur Vorlesung: Infrarotkamera: Optische Temperaturmessung (Versuchskarte AT-44)

PIC Versuch zur Vorlesung: Wärmestrahlung: Abstandsabhängigkeit bei einer punktförmigen Quelle (Versuchskarte AT-54)

3.2.2  Schwarzkörperstrahlung

(Siehe Gerthsen, Physik [Mes06, pp. 573])

PIC Versuch zur Vorlesung: Hohlraumstrahler: Absorption und Emission an Rohr mit Loch (Versuchskarte AT-39)

PIC PIC

Links: Schematische Darstellung eines schwarzen Körpers. Rechts: Blick auf den Ofen einer Glasbläserei. Die kleine Öffnung wirkt fast wie ein schwarzer Körper.

Licht, das durch die kleine Öffnung in den Hohlraum des schwarzen Körpers eintritt, wird bei jeder Reflexion an der Oberfläche mit der Wahrscheinlichkeit ϵ absorbiert und mit der Wahrscheinlichkeit 1 - ϵ < 1 reflektiert. Nach n Reflexionen ist die verbleibende Intensität des Lichtstrahls auf (1 - ϵ)n abgesunken, sie wird also beliebig klein. Das heisst, der Absorptionsgrad der Öffnung in diesem Hohlraum ist ϵ = 1.

Spektrale Grössen werden hier mit dem Subskript ν

      dX--
X ν = d ν

bestimmt.

Wir definieren nun eine spektrale Energiedichte ϱ(ν,T). Sie besteht aus dem Produkt aus der Energiedichte ϱ(ν,T) und dem Frequenzband der Breite , das das Intervall (ν,ν + ) beschreibt. Diese Energie ϱ(ν,T)bewegt sich mit der Geschwindigkeit c durch den Raum und zu den Wänden des Hohlraums. Eine ideale schwarze Wand absorbiert diese Energie ϱ(ν,T) und emittiert nach Kirchhoff gleichzeitig Ps,ν(ν,T). Im Gleichgewicht müssen sich die Absorption und die Emission die Balance halten. Wir können also die spezifische Ausstrahlung durch die Energiedichte ϱ ausdrücken1.

Rs,ν(ν, T) = cϱ(ν,T )
(3.6)

oder, integriert über alle Frequenzen,

          ∫∞
Rs(T ) = c  ϱ (ν, T)dν
          0
(3.7)

Die gemessene spektrale Energiedichte sieht wie in der Abbildung 3.2.2 aus.

PIC

Spektrale Energiedichteverteilung nach Wellenlänge.

Wenn man die Energiedichteverteilung gegen die Frequenz aufträgt, erhält man:

PIC

Spektrale Energiedichteverteilung nach Frequenz

3.2.2.1. Plancks Strahlungsgesetz

PIC Versuch zur Vorlesung: Plancksches Strahlungsgesetz: Strahlung einer Glühlampe bei verschiedenen Temperaturen (Versuchskarte AT-21)

Im Vorgriff auf das Kommende definieren wir das Plancksches Wirkungsquantum

                   - 34
h =  6.62606896 ·10     Js
(3.8)

Die Grösse können sie sich mit der Eselsbrücke: h ~ 2π·10-34 Js merken.

Oftmals wird in der Physik, weil es bequemer ist, mit dem reduzierten Wirkungsquantum gerechnet

ℏ = 1.054571628 ·10 -34 Js
(3.9)

Auch hier gibt es eine Eselsbrücke: = 10-34 Js.

Das Wirkungsquantum ist ein Konzept aus der statistischen Physik, einem Teilgebiet der Thermodynamik.

(Siehe Demtröder, Laserspektroskopie [Dem93, p. 8]

Wir betrachten eine elektromagnetische Welle in einem quaderförmigen Hohlraum. Der zeit- und ortsabhängige Vektor ihres elektrischen Feldes ist

          ∑
E (r, t) =    Ei exp [i(ωit + ki ·r )] + c.c.
           i
(3.10)

In diesem quaderförmigen Hohlraum, dessen Quaderseiten entlang den Koordinatenachsen seien, gibt es stehende Wellen. Die Wellenzahlen kx, ky und kz sind durch die Ausdehnung in die entsprechende Richtung gegeben. Nur dann wenn eine ganzahlige Anzahl halber Wellenlängen Platz hat, haben wir eine mögliche Welle. Alle Wellen können sowohl in die + wie auch in die --Richtung laufen. Wir haben also

k = (±kx, ±ky, ±kz ) = ⇒ 2·2 ·2 = 8
(3.11)

mögliche Kombinationen zu einem Tripel (kx,ky,kz). Bei einem Würfel mit der Seitenlänge L sind die möglichen Wellenzahlen

k =  π-(nx,ny, nz)     nx, ny,nz ∈ ℕ ∪ {0 }
     L
(3.12)

Der Betrag der Wellenzahlen wird

           π ∘ -------------
k =  |k | = --  n2x + n2y + n2z
           L
(3.13)

Damit gibt es zwischen der Kantenlänge und der Wellenlänge die Beziehung

     λ-∘ -2----2----2-
L =  2   nx + ny + nz
(3.14)

Analog dazu bekommt man mit k = ω∕c die Kreisfrequenzen

         -------------
ω = πc-∘ n2 + n2 + n2
     L     x    y    z
(3.15)

Da elektromagnetische Wellen transversal sind, gibt es zwei Polarisationen entlang den Vektoren ^e 1 und ^e 2 (mit ^e i·k = 0). Diese beiden Polarisationsvektoren stehen senkrecht zum Wellenvektor (der Ausbreitungsrichtung). Das elektrische Feld der i-ten Mode ist

Ei  = ei,1^e1 + ei,2^e2
(3.16)

Zu jedem einen Wellenvektor beschreibenden Zahlentripel (nx,ny,nz) gibt es zwei Polarisationen.

Jede beliebige Feldkombination im Hohlraum lässt sich als Linearkombination der Moden mit ihren Modenzahlen nx, ny, nz und den beiden Polarisationen darstellen.

Wir wollen die Anzahl Moden bis zu einer bestimmten Energie bestimmen. Das heisst, dass ω < ωmax oder k < kmax sein soll. Diese Frage ist äquivalent zu: Wieviele Wellenvektoren passen in eine Kugel mit dem Radius kmax.Aus ω = πc
 L∘ -------------
  n2x + n2y + n2z folgt

       ∘ -------------
L-ω =    n2 + n2 + n2
 πc       x    y    z
(3.17)

Dies ist eine Kugel mit dem Radius R = Lπωc-. In dieser Kugel bilden die möglichen Wellenvektoren ein kubisches Gitter mit der Gitterkonstante π-
L. Die Randeffekte beim Abzählen können vernachlässigt werden, wenn

L ω
--- »  1 oder 2L »  λ
 πc
(3.18)

ist. Das Volumen einer Kugel ist V = (4π∕3)r3. Da n x,ny,nz {0} ist, verwenden wir nur 18 des Kugelvolumens. Die Anzahl Moden bis zu kmax oder ωmax sind

             1 4π (L ω)3    8πν3L3
N  (ωmax ) = 2----- ---   =  ----3---
             8  3   πc        3c
(3.19)

wobei die Faktoren die Polarisationen, den Bruchteil des Kugelsegments, und Radius des Kugelsegments darstellen. Die Modendichte erhält man durch Ableiten

          8π ν2
n(ν )d ν = --3--dν
           c
(3.20)

Die Energie des Lichtes kann nur diskrete Werte annehmen, nach Einstein ist E = . Die Wände unseres Resonators sollen die Temperatur T haben. Die Wahrscheinlichkeitsdichte Eigenschwingungen mit der Energie W(k) = k·im Gleichgewicht mit Wänden der Temperatur T ist dann

       n     (  (k ·h ν))
p(k) = --exp  - --------
       Z          kBT
(3.21)

wobei n die Gesamtdichte aller Eigenschwingungen im Resonator sind. Die Grösse Z in dieser Gleichung ist die Zustandssumme

      ∞     (          )
Z  = ∑  exp   - (k-·h-ν)-
      k          kBT
(3.22)

Mit dieser Definition ist p(k) normiert:

     ∞
n = ∑  p (k )
     k

Die mittlere Energiedichte pro Eigenschwingung ist nun

                                              (          )
       1-∑∞                  -1 ∞∑                (k·h-ν-)
ρ¯d ν = n    p(k)(k·h ν )dν = Z    (k·h ν )exp  -   kBT     dν
          k                     k
(3.23)

Die unendliche Reihe hat einen analytisch berechenbaren Grenzwert

¯ρdν =  ----(-hν-)----dν
       exp  -hν- -  1
            kBT
(3.24)

Die spektrale Strahlungsdichte ρ(ν,T) bekommen wir, indem die mittlere Energiedichte pro Eigenschwingung mit der Dichte der Eigenschwingungen n(ν)= 8πν2
-c3-multipliziert wird. Wir erhalten das Plancksche Strahlungsgesetz.

Plancksches Strahlungsgesetz

            8πν2      hν
ϱ(ν,T)dν =  --3---hν∕(kBT-)---d ν
             c   e        - 1
(3.25)

Einsteins Quantenhypothese Ausgehend von seinem Verständnis des Fotoeffekts [Ein05] kam Einstein zur folgenden Hypothese: Quantenhypothese Einsteins
Atome, die die Energie absorbieren, haben eine höhere Energie als Atome im Grundzustand

Wir verwenden die folgenden Definitionen:

n*
Teilchenzahldichte der angeregten Atome
n0
Teilchenzahldichte der Grundzustandsatome

Wir nehmen thermisches Gleichgewicht an und verwenden deshalb die Boltzmann-Verteilung zur Berechnung der Teilchenzahldichte der angeregten Atome

n*
---= e-E ∕(kBT)
n0
(3.26)

Albert Einstein nahm an, dass wie in Abbildung fig:energie:austausch dargestellt der Energieaustausch zwischen dem Unteren und dem oberen Zustand auf drei Wegen möglich sei. Die Anregung aus dem unteren Zustand in den oberen Zustand (Niveau) geschieht nur, wenn externe Energie absorbiert. Der höherenergetischen Zustand kann auf zwei Wegen verlassen werden: erstens zufällig (statistisch) oder induziert, das heisst im Takt mit externen Feldern.

PIC

Schema der möglichen Anregungen und Emissionen in einem Zweiniveau-Atom.

Einstein hatte als Neuerung die induzierten Emission postuliert. Zur Berechnung des Spektrums eines schwarzen Strahlers verwenden wir die Einsteinsche Formulierung mit Quanten. Ursprünglich hatte Planck das Spektrum mit thermodynamischen Methoden berechnet, wobei h das aus der statistischen Physik bekannte Phasenraumvolumen war. ein Phasenraumelement ist eine Fläche, deren eine Seite eine Länge und deren andere Seite eine Geschwindigkeit ist.

Die Anzahlen der Absorptionen und Emissionen werden wie folgt angegeben:

         Anzahl  Absorptionen
         -----------3---------  =   B1 ϱ(ν,T)n0           (3.27 )
                  m  s
  Anzahl--spontane-Emissionen-- =   An *
              m3s
Anzahl  induzierter Emissionen                  *
---------------3--------------  =   B2 ϱ(ν,T)n
             m  s

wobei A den Einsteinkoeffizienten den spontanen Emission, B1 der Einsteinkoeffizienten der Absorption und B2 den Einsteinkoeffizienten der induzierten Emission bedeutet.

Von der Einsteinschen Quantenhypothese zum Planckschen Strahlungsgesetz Im Gleichgewicht muss es gleich viele Emissionen wie Absorptionen geben.

B1 ϱ(ν,T )n0 = An * + B2ϱ(ν,T )n*
(3.28)

Da die induzierte Emission der Umkehrprozess zur Absorption ist, muss

B1 =  B2 = B
(3.29)

sein. Wir können Gleichung (3.28) wie folgt umformen

                              *                     -E∕(k T)
B ϱ(ν,T)n0 =  (A  + B ϱ(ν,T)) n =  [A  + B ϱ(ν,T)]n0e     B
(3.30)

Damit erhalten wir die Energiedichte

           [     -E∕(kBT)]        -E∕(kBT )
B ϱ(ν,T)n0  1 - e         =  An0e

Infinitesimal geschrieben bekommen wir

             A   e-hν∕(kBT )       A       1
ϱ(ν,T )dν =  --------hν∕(kBT)d ν = ---hν∕(kBT)----dν
             B 1 - e              B e        - 1
(3.31)

Unbekannt ist nun noch A∕B. Den Koeffizienten berechnet man aus der Modendichte des Hohlraumes

          3
A- = 8-πhν-
B      c3
(3.32)

Die Modendichte sagt, wie viele Resonanzen es pro Frequenzintervall gibt. Zusammen bekommen wir das Plancksche Strahlungsgesetz (wie Gleichung (3.25) ).

                           2
ϱ(ν,T )dν = ϱ (T )dν = 8π-ν------h-ν-----dν
             ν           c3 ehν∕(kBT) - 1
(3.33)

Es ist nun instruktiv, die beiden Grenzfälle für sehr hohe und für sehr niedrige Frequenzen zu betrachten. Für sehr niedrige Frequenzen, im Grenzfall « kBT, gilt

                hν
ehν∕(kBT) ≈ 1 + -----
               kBT

Dies ist das Raileigh-Jeans-Gesetz.

Rayleigh-Jeans-Gesetz

                        8πν2
ϱ (ν, T)dν = ϱ ν(T )dν ≈  -c3-kBT  dν
(3.34)

Dieses Gesetz war vor Planck bekannt. Es sagt voraus, dass die Energiedichte gegen hohe Frequenzen zunimmt, dass also im Ultravioletten die gesamte unendlich grosse Energie des Universums konzentriert sei. Diese Ultraviolettkathastrophe zeigt, dass das Gesetz nur in Teilbereichen stimmen kann.

Für sehr hohe Frequenzen, also » kBT, gilt

 hν∕(kBT )
e        »  1

Dann kann das Plancksche Strahlungsgesetz durch das Wiensche Strahlungsgesetz angenähert werden

Wiensches Strahlungsgesetz

                       8πh ν3
ϱ(ν,T )dν = ϱν(T )dν ≈ ---3--e- hν∕(kBT)dν
                         c
(3.35)

Das Wiensche Strahlungsgesetz (siehe Abbildung fig:3.5) stimmt einigermassen, aber doch nicht so korrekt wie das Plancksche Strahlungsgesetz. Insbesondere ergibt sich aber bei Wien keine Ultraviolettkathastrophe.

PIC

Vergleich der Gesetze von Planck, Wien und Rayleigh Jeans bei 6000K

Penzias und Wilson fanden Anfang der sechziger Jahre des zwanzigsten Jahrhunderts, dass das Rauschen höchstempfindlicher Antennen, wenn sie nach oben gerichtet waren, die gleiche spektralverteilung hatte, wie ein schwarzer Strahler bei etwa 2.7 K. Abbildung 3.2.2.1.2 zeigt die kosmische Energiedichteverteilung

PIC

Spektrale Energiedichteverteilung der Hintergrundsstrahlung von 2.735K

3.2.2.2. Wiensches Verschiebungsgesetz

Oftmals möchte man die Frequenz ν wissen, bei der das Emissionsspektrum des schwarzen Strahlers maximal ist. Zur Berechnung des Maximums substituieren wir in Gleichung (3.25)

     -hν--
x =  k T
      B

und setzten

dx  = --h--dν
      kBT

Weiter vernachlässigen wir die konstanten Vorfaktoren, die für die Lage des Maximums irrelevant sind. Wir erhalten

          --x3--
ϱ˜(x)dx = ex - 1 dx
(3.36)

Durch Ableiten erhalten wir die Lage des Maximums

    d˜ϱ(x)-    --x2--   --x3ex---
0 =  dx   = 3 ex - 1 - (ex - 1)2

Vereinfacht ergibt sich

0 = 3x2(ex - 1) - x3ex
------x-----2------
    (e  - 1)
x3ex = 3x2(ex - 1)
ex(3 - x) = 3
ex = --3---
3 - x

Die Lösung dieser transzendenten Gleichung ist

        (    )
          --3
x =  WL   e3   = 2.821439372

wobei WL Lambert’s W-Funktion ist. Also kann die Lage des Maximums in der Planckschen Strahlungsformel (Gleichung (3.25) ) durch das Wiensche Verschiebungsgesetz angegeben werden.

Wiensches Verschiebungsgesetz

νm = 2.82kBT--
         h
(3.37)

Die folgende Abbildung 3.2.2.2 zeigt eine graphische Darstellung des Wienschen Verschiebungsgesetzes.

PIC

Wiensches Verschiebungsgesetz

Die Energiedichte beim Emissionsmaximum des Wienschen Verschiebungsgesetzes ist

            8πh-ν3m-------1-------         -k3-- 3
ϱ(ν,T )dν =   c3   ehνm∕(kBT ) - 1 dν = 35.7c3h2 T dν
(3.38)

Abbildung 3.2.2.2 stellt Gleichung (3.38) graphisch dar.

PIC

Energiedichte im spektralen Maximum nach dem Wiensches Verschiebungsgesetz

3.2.2.3. Stefan-Boltzmann-Gesetz

PIC Versuch zur Vorlesung: Strahlungswürfel nach Leslie: Emissionsfaktor von verschiedenen Strahlern (Versuchskarte AT-20)

PIC Versuch zur Vorlesung: Stefan-Boltzmannsches Gesetz: mit Leslie-Würfel (Versuchskarte AT-43)

Wir möchten wissen, wie die Abstrahlung eines schwarzen Körpers von dessen Temperatur abhängt. Dazu definieren wir zunächst die spezifische Ausstrahlung nach Gleichung (3.6) senkrecht zur Oberfläche

R ν(T)dν = cϱ (ν, T)dν
(3.39)

Daraus bekommen wir die richtungsabhängige Abstrahlung (θ ist der Winkel zur Normalen)

R ν(T,θ)d ν = Rν(T )cos θdν
(3.40)

Diese Grösse ist sowohl von der Frequenz wie auch von der Richtung abhängig. Der Mittelwert einer richtungsabhängigen Grösse ist

          2π π
       1 ∫ ∫
⟨f⟩ = ---     f(θ,ϕ) sin θdθdϕ
      4π 0  0
(3.41)

Über den Halbraum gerechnet erhalten wir

                 ∫2π π∫∕2
⟨f⟩        =  -1-     f (θ,ϕ)sinαd θdϕ =  ⟨f⟩-
   Halbraum    4π 0  0                      2
(3.42)

Zusammen mit der Mittelung über die Frequenz erhalten wir

                 ⌊                   ⌋
         1 ∫2ππ∫∕2 ∞∫
R (T) = ---      ⌈  c· ϱ(ν,T )dν cos θ⌉sin θdθdϕ
        4π 0  0   0
(3.43)

Diese drei Integrale sind voneinander unabhängig. Wir beachten, dass

2∫π

  dϕ = 2π
0

und

π∫∕2
                 1-
  cos θsinθdθ =  2
0

ist und erhalten

           ∞
        c-∫
R (T) = 4   ϱ (ν,T )dν
          0
(3.44)

Mit Gleichung (3.25) ergibt dieses Integral

         c   8 π5k4T 4    2 π5k4T 4
R (T ) = -· -----3-3-- = ------32--
         4  15  h c      15  h c
(3.45)

Wir definieren die Stefan-Boltzmann-Konstante

     2 π5k4
σ = ----3-2-=  5.67040 (4)·10 -8 Wm  -2K -4
    15 h c
(3.46)

und können dann das Stefan-Boltzmann-Gesetz so formulieren

Stefan-Boltzmann-Gesetz

                   5  4
R (T) = σT 4 = -2-π-k--T4
               15 h3c2
(3.47)

R ist die in den Halbraum abgestrahlte Leistung bei der Temperatur T. Diese Leistung R(T) ist in der Abbildung 3.2.2.3 in doppelt-logarithmischer Darstellung gezeichnet.

PIC

Stefan-Boltzmann-Gesetz

3.2.3  Farben

PIC

Empfindlichkeitskurven der Augenrezeptoren skaliert auf gleiche integrale Empfindlichkeit (nach [Mes06])

Was wir Farben nennen, hängt von der Interpretation der Reize unserer Sehnerven ab. Abbildung 3.2.3 zeigt die spektrale Empfindlichkeit des Auges.

3.2.4  Strahlung der Sonne

PIC

Vergleich der spektralen Energiedichte von Sonne und Erde. Die verschiedene Lage der Maxima ermöglicht den Treibhauseffekt.

Sowohl die Sonne wie auch die Erde sind in ziemlich guter Genauigkeit schwarze Strahler. Abbildung 3.2.4 zeigt die beiden Kurven, wobei die Erde die Temperatur 300 K und die Sonne die Temperatur 6000 K hat. Die Unterschiede der beiden Kurven bewirken, dass die Energiezufuhr zur Erde bei einer anderen Wellenlänge oder Frequenz geschieht wie deren Abstrahlung.

4  Teilchen und Wellen

4.1  Das Photon

PIC

Versuchsanordnung zur Messung des Fotoeffektes

Einsteins Erklärung des Fotoeffektes [Ein05] war einer der Meilensteine auf dem Siegeszug der Quantenmechanik. Abbildung 4.1 zeigt den Versuchsaufbau. Licht beleuchtet die Fotokathode und befreit so Elektronen aus dem Metall. Diese werden von der Anode abgesogen und erzeugen einen Strom, das Messsignal. Die beiden Spannungen U1 und U2 sind so angeordnet, dass die Anode sowohl an positiver wie auch an negativer Spannung liegen kann.

PIC Versuch zur Vorlesung: Fotoeffekt: qualitativ mit Aluminiumplatte (Versuchskarte AT-17)

PIC   PIC

Links: Frequenzabhängigkeit des Fotostroms bei konstantem U. Rechts die Abhängigkeit von der Spannung zwischen Kathode und Anode. Negative Spannungen bedeuten, dass die Photonen die Elektronen aus der Anode herausschlagen. Die Spannung Umax ist die maximale Bremsspannung.

Wenn der Fotoeffekt gemessen wird, dann können die in Abbildung 4.1 dargestellten Beobachtungen gemacht werden. bei konstanter Anodenspannung U muss das Licht eine gewisse Frequenz überschreiten (oder eine bestimmte Wellenlänge) unterschreiten, damit ein Strom fliesst. Wenn die Spannung U variiert wird, dann nimmt der Strom mit zunehmender Spannung U monoton zu. Unter einer negativen Spannung -Umax fliesst kein Strom. Wird nun die Lichtleistung erhöht, dann nimmt der Strom zu, aber die Grenzspannung -Umax ändert sich nicht.

PIC   PIC

Links: Abhängigkeit der Bremsspannung Umax von der Frequenz ν. UA = Φ heisst die Austrittsarbeit. Rechts die Abhängigkeit des Sättigungsstromes IS vom Photonenfluss P = Φ.

Abbildung 4.1 zeigt, dass bei einer bestimmten Spannung U > Umax der Strom proportional zur Leistung ist. Einstein zog daraus die folgenden Schlüsse:

PIC
PIC
PIC

Oben: Energieschema des Fotoeffekts ohne angelegte Spannung, Mitte: mit der Anode positiv gegen die Photokathode, unten mit der “Anode“ negativ gegen die “Photokathode“. Die Energiekoordinate muss man sich als vierte (ohne Zeit) oder fünfte Koordinate eines Punktes vorstellen.

Abbildung 4.1 zeigt, im Vorgriff auf die Vorlesung zur Physik der kondensierten Materie, ein Bänderschema des Fotoeffektes. Es ist bekannt, dass bei der Temperatur T die thermische Energie sich nach Boltzmann wie exp (- E ∕(kBT )) verhält. Damit Also Elektronen bei Raumtemperatur im Metall bleiben, muss eine Energiebarriere zum Verlassen des Festkörpers existieren. Die Höhe dieser Barriere wird Austrittsarbeit Φ genannt.

Elektronen, die das Metall verlassen, haben die kinetische Energie:

Ekin = hν - Φ
(4.1)

Da die kinetische Energie der Elektronen im Metall nach Boltzmann bei einer endlichen Temperatur über einen Energiebereich verteilt, also ausgeschmiert, ist, ist auch die kinetische Energie der Elektronen Ekin ausgeschmiert. Da die Emissionsrichtung der Elektronen um die Senkrechte zur Oberfläche verteilt ist, wird die Energieverteilung der Elektronennoch weiter verändert.

PIC Versuch zur Vorlesung: Interferenz am Doppelspalt: mit einzelnen Photonen (Versuchskarte AT-50)

PIC Versuch zur Vorlesung: Doppelspalt: Interferenz mit polarisiertem Licht (Versuchskarte AT-51)

Die Versuche mit dem Doppelspalt zeigen, dass die statistische Interpretation des Energietransportes von Einstein korrekt war.

Wenn die Lichtintensität niedrig ist, verhält sich Licht wie ein Strom von Teilchen. Wenn die Auftreffwahrscheinlichkeit in Abhängigkeit des Ortes über eine längere Zeit aufsummiert wird, ergeben sich Interferenzmuster, wie sie von der Wellentheorie vorausgesagt wird.

Photonen haben wie alle anderen Objekte mit Energie sowohl einen Teilchencharakter wie auch einen Wellencharakter. Der Wellencharakter gibt die Wahrscheinlichkeit, ein Objekt an einem bestimmten Ort zu einer bestimmten Zeit zu finden. Die Energie pro Objekt ist quantisiert.

4.1.1  Masse und Impuls

Licht ist ein Strom von Energiepaketen mit einer Richtung und einer Geschwindigkeit, der (vom Medium abhängigen) Lichtgeschwindigkeit. Aus der Mechanik weiss man, dass eine Änderung der kinetischen Energie durch eine Kraft erreicht wird. Genauso benötigt man eine Kraft zur Änderung der Richtung. Eine Kraft ist, auch relativistisch, eine Änderung des Impulses pro Zeit.

Photonen sind Teilchen ohne Ruhemasse, aber mit einer kinetischen Energie

E =  hν
(4.2)

Konsequenterweise haben Photonen dann auch einen Impuls. Um die Beziehung zwischen dem Impuls des Lichtes und seiner Energie zu bestimmen verwenden wir die relativistische Energie-Impuls-Beziehung

      ∘ ------------
E  =    m20c4 + c2p2
(4.3)

Da im Vakuum die Geschwindigkeit des Lichtes die Vakuumlichtgeschwindigkeit ist, gilt für alle Photonen

                          h
m0 =  0     und       p = λ-
(4.4)

Aus Gleichung (4.3) und Gleichung (4.2) bekommt man

    E    hν
p = -- = ---
    c     c
(4.5)

Damit ist die Impulsänderung bei Absorption und Reflexion

       2h   2hν
Δp   = -λ = -c-  bei Reflexion                      (4.6)
Δp   =  h = hν   bei Absorption
        λ    c

Daraus ergibt sich bei der Reflexion der mechanische Druck

p =  ΔF--=  --Δp---=  -2h-ν---
     ΔA     Δt ΔA     cΔA Δt

Mit ˘n = Anzahl TeilchenZeit bekommen wir

p = 2n˘h-ν
     cΔA

Die Intensität ist auch

I = ΔP-- = h-ν˘n
    ΔA      ΔA

Schliesslich erhalten wir

      2I-
p  =   c  bei Re flexion                         (4.7)
       I
p   =  -- bei Absorption
       c

Abbildung 4.1.1 zeigt eine Apparatur zur Messung des Lichtdruckes auf mikroskopische einseitig eingespannte Balken[MRH+92].

PIC

Aufbau einer Apparatur zum Messen des Lichtdrucks.

Das gleiche Ergebnis hätten wir auch erhalten, wenn wir die Volumenenergiedichte des Lichtfeldes vor dem Spiegel oder vor dem Absorber berechnet hätten. Beim Absorber fliesst nur ein Lichtstrom auf ihn zu, bei der Reflexion gibt es zwei gegenläufige Lichtströme, also auch die doppelte Energiedichte. Konkret lautet die klassische Rechnung aus der Elektrizitätslehre so:

Man beginnt mit dem Vektor des Energieflusses, dem Poyntingvektor .

                             1--
S (r,t) = E (r,t) × H (r,t) = μ0E (r,t) × B (r,t)

Hier ist der Poyntingvektor gleich der Strahlungsstromdichte (3.1), also S = D. Weiter ist die Intensität gleich dem Betrag der Stralungssstromdichte, also I = |D | Druck ist das Gleiche wie Energie pro Volumen oder Energiedichte. Wenn die Energiedichte p sich mit einer Geschwindigkeit c bewegt, ist der Poyntingvektor S = D.

S = p·c

und damit der Druck oder die Energiedichte ρ auf eine senkrecht dazu stehende Ebene

         S    I
p⊥ = ρ = -- = --
          c    c
(4.8)

Bei isotroper Strahlung ist die der Druck

         1-
pisotrop = 3 ρ
(4.9)

Die beiden folgenden Abbildungen zeigen Messungen mit der Apperatur aus Abbildung 4.1.1.

PIC

Messung der lichtinduzierten Kräfte. Die Amplitude ist maximal, wenn die Impulsmodulation maximal ist.

PIC

Kontrolle: Mit einer Metallbeschichtung ist die Amplitude maximal, wenn die thermische Modulation maximal ist. man beachte die Verschiebung zu kleineren Frequenzen bei sehr hohen Amplituden.

Es wurden zwei gegenläufige Laserstrahlen verwendet. Im Falle der Abbildung 4.1.1 wurden die Strahlen wechselseitig ein- und ausgeschaltet, so dass der Kraftwechsel maximal wurde und gleichzeitig der Energieeintrag über die Zeit konstant war. Die gemessene Kurve ist eine Reonanzkurve als Funktion der Schaltfrequenz. Die Resonanzkurve zeigt den ponderomechanischen Effekt des Lichtes sehr schön. Zur Kontrolle wurde in der Abbildung 4.1.1 die beiden gegenläufigen Laserstrahlen gleichzeitig ein- und ausgeschaltet. Damit ist die ponderomotorische Kraft des Lichtes konstant null, aber der Energieeintrag wird maximal moduliert. Mit dieser Messung kann gezeigtwerden, dass in Abbildung 4.1.1 wirklich mechanische Effekte des Lichtes bestimmt wurden.

Schliesslich kann aus den obigen Messungen und Überlegungen eine dynamische Masse des Photons bestimmt werden. Aus

          h-ν
p = mc  =  c

bekommen wir

     hν-   -h-
m =  c2 =  λc
(4.10)

Beispiel: Mit λ = 500nm ist mphoton = 4.4·10-36kg.

4.1.1.1. Compton-Effekt

Beim Compton-Effekt wird Licht an einem Teilchen gestreut. Im Originalversuch von Arthur Compton [Com23] wurden Photonen an Elektronen gestreut.

PIC

Impulserhaltung beim Compton-Effekt.

In Abbildung 4.1.1.1 ist die experimentelle Anordnung gezeigt. Der Winkel zwischen der einfallenden Lichtwelle (oder, was äquivalent dazu ist, dem Impuls des einfallenden Photons) und der gestreuten Welle sei θ. Die Masse des Elektrons sei me. Bei jeder Kollision zwischen zwei Teilchen wird Energie ausgetauscht. Dabei ändert sich der Impuls des leichteren Teilchens, hier also des Photons, besonders stark. Mit Gleichung (4.5) ändert sich also auch die Frequenz und damit die Wellenlänge und die Energie.

Aus der Impulserhaltung folgt im Falle einer kleinen Frequenzverschiebung ist ν ν. Damit haben wir ein gleichschenkliges Dreieck mit der Mittelsenkrechten und der halben Grundseite mev2 ein rechtwinkliges Dreieck, wobei die Hypothenuse ist. Dann haben wir

   (   )
     Θ   hν    mev ′
sin   --  ---=  -----
     2    c      2
(4.11)

Aus der Energieerhaltung folgt weiter

                          1
h ν = hν ′ + Ek′in,e = hν ′ +-mev ′2
                          2
(4.12)

Mit

  2 ′2
m-ev--=  1meE k′in,e = 1-me (hν - hν ′)
  4      2           2

wird

sin 2(Θ )
 --
  2h2ν2
--2--
 c = m2 v′2
--e---
   4 = 1
--
2me(h ν - hν′)
2 sin 2(   )
  Θ
  --
  2 h
---2-
mec = h ν - hν′
-----2---
   hν h ν - hν′
------′--
  h νν = 1
-′
ν -1
--
ν

Mit λ = c∕ν ergibt sich für die

Compton-Streuung

                  (  )                    (   )
 ′       -2h-   2  Θ-                    2  Θ-
λ -  λ = m  c sin   2  =  (4.85 pm ) · sin    2
           e
(4.13)

und die

Compton-Wellenlänge

       h
λC  = ---- = 2.43 pm
      mec
(4.14)

Abbildung 4.1.1.1 zeigt Messungen der Compton-Streuung bei unterschiedlichen Streuwinkeln. Die horizontale Achse ist die Wellenlänge.

PIC

Compton-Effekt bei vier Streuwinkeln

4.1.1.2. Mössbauer-Effekt

Beim Mössbauer-Effekt [Möß58] wurde die Emission und die Absorption von γ-Quanten aus Kernen beobachtet. Gamma-Quanten sind hochenergetische Photonen. Durch die hohe Masse der Kerne und deren Einbindung in ein Kristallgitter ist die Energie der γ-Quanten sehr wohl definiert (d.h. die Streuung der Energie ist minimal.). Das hängt auch damit zusammen, dass die Energieniveaus in Kernen sehr scharf definiert sind.

PIC

Impulserhaltung bei der Emission eines Gammaquants.

Bei der Emission eines γ-Quants sind Energie und Impuls erhalten. Sei die Energie eines γ-Quants, wenn der Kern bei der Emission in Ruhe bleibt. Das Emissions- und das Absorptionsspektrum müssen überlappen (siehe Abbildung 4.1.1.2).

PIC

Absorptions- oder Emissionspektrum für ein γ-Quant.

Absorptions- oder Emissionspektrum für ein γ-Quant. Nur wenn die Frequenz des ankommenden γ-Quants im Bereich der Absorptionslinie liegt, kann das Quant absorbiert werden.

Wegen der Impulserhaltung kann man schreiben:

p = 0 vor der Emission (4.15)
pk + hν′
----
 c = 0 nach der Emission

wobei pk der Impuls des Kernes sei. Mit mk der Masse des Kerns wird seine kinetische Energie

                       2 ′2
Ekin,Kern =  -1--p2 = -h-ν--
            2mk  k   2mkc2
(4.16)

Aus der Energieerhaltung folgt

= - Ekin,Kern (4.17)
Ekin,Kern = h(ν - ν) = hΔν =  h2ν′2
-----2
2mkc

Wenn man eine vernachlässigbar kleine Energieänderung des Photons (γ-Quants) annimmt (ν′≈ ν) macht man einen Fehler, der typischerweise kleiner als 10-3 ist. Wir erhalten:

       -hν2--
Δ ν ≈  2m  c2
          k
(4.18)

PIC

Experimenteller Aufbau der Mössbauer-Spektroskopie

Um den Rückstossimpuls des Kerns zu minimieren, erfand Mössbauer den folgenden nobelpreiswürdigen Trick: Die γ-Quanten emittierenden Atome wurden in einen Kristall eingebettet. Damit wird der Rückstossimpuls von den anderen Atomen im Gitter aufgenommen (Thema der Vorlesung Festkörperphysik). Die Linienbreite der Linien wird dann so schmal, dass normale Detektoren sie nicht auflösen können. Mössbauer verwendete dann eine ähnliche Versuchsanordnung wie in Abbildung 4.1.1.2 gezeigt. Die Energie der Photonen ist nun so gut definiert, dass die relativistische Frequenzverschiebung bei Geschwindigkeiten von mm/s ausreicht, um die Absorption zu unterdrücken.

PIC

Mössbauerspektrum von 57Fe , gemessen von Dr. M. Gonçalves.

Abbildung 4.1.1.2 zeigt eine Messung eines Mössbauerspektrums von 57  1Fe . Die beiden Kerne mit der gleichen Barionenzahl (Summe aus Neutronen und Protonen) haben eine ähnliche Niveaustruktur. 57Co ist instabil, 57Fe arbeitet als Absorber. Durch den Einbau in einen Festkörper sind die Linienbreiten sehr klein. Deshalb wird die Quelle (oder der Absorber) gegen den Absorber (oder der Quelle) bewegt. Angezeigt ist die Geschwindigkeit der 57Co -Quelle und die Anzahl der Ereignisse nach einer sehr langen Messung (> 24 h). Die Geschwindigkeit ist linear, das Spektrum mit sechs Linien (Zeemann-Aufspaltung) ist symmetrisch um v = 0.

4.2  Elektronen

Seit J.J. Thomson [Tho97] das Elektron entdeckt hatte, ist es eines der am genauesten untersuchten Elementarteilchen. Die Kennwerte des Elektrons werden mit den folgenden Methoden bestimmt:

Ladung pro Masse e∕m:
durch Massenspektrometer (Methode aus der Elektrizitätslehre)
Elektronenladung e:
durch den Millikan-Versuch oder durch Elektrolyse
Elektronenradius r:
durch Streuversuche

4.2.1  Ladung des Elektrons

Die Ladung eines Elektrons kann auf elektrochemischem Wege bestimmt werden:

Elektrolyse
Man bestimmt die umgesetzte Molzahl und daraus mit der Gaskonstante R die Materiemenge. Durch Bestimmung der Gesamtladung über eine Integration des Stromes erhält man die Faraday-Zahl F = e·NA
Massenspektrometer
In gekreuzten E- und B-Feldern bestimmt man e∕me.

4.2.1.1. Millikan-Versuch

Der Millikan-Versuch [Mil11Mil13Hol00] ermöglicht eine direkte Bestimmung von e. Millikans Schlüsselidee war, über die viskose Reibung von kleinen Öltröpfchen die Kraft eines elektrischen Feldes auf Ladungen zu bestimmen.

PIC

Bestimmung der Elektronenladung nach Millikan[Mil11, Mil13]

Der Versuch wird in einer Anordnung wie in Abbildung 4.2.1.1 durchgeführt.

Ein Öltröpfchen mit dem Durchmesser 2r und der Masse mT = 4π3ρT r3 wird zwischen die Platten eines Kondensators (Abstand d) gebracht. Auf dem Öltröpfchen befindet sich die Ladung q. Unter dem Einfluss der Gravitation FG, des Auftriebs FA in Luft (Dichte ρL) und des elektrischen Feldes FE bewegt sich das Öltröpfchen mit der konstanten Geschwindigkeit v, gegeben durch die Stokesche Reibungskraft FS .

Dabei treten die folgenden Kräfte auf:

F G + F E + F A + F S = 0
(4.1)

Stokes Gesetz für eine laminare Strömung sagt:

F  =  - 6πηvr
  S
(4.2)

Die elektrostatische Kraft Kraft ist:

F   = qE  = qgrad  U =  qU-e
  E                      d  E
(4.3)

Dann muss auch die Gravitation berücksichtigt werden:

F G =  mT g =  4πρT r3g
               3
(4.4)

Schliesslich haben die Tröpfchen in Luft einen Auftrieb:

F   =  - 4πρ  r3g
  A      3   L
(4.5)

Kombiniert man die obigen Gleichungen, erhält man für den Zusammenhang von Ladung und Geschwindigkeit

4π         4π
--ρT r3g - ---ρLr3g + qgrad  U  = - 6πηvr
3           3
(4.6)

Betragsmässig ergibt sich

4-π(ρT -  ρL)r3g + qU- = 6π ηvr
 3                   d
(4.7)

und

 U-            4π-           3
q d = 6 πηvr -  3 (ρT -  ρL)r g
(4.8)

Damit kann die Ladung über das elektrische Feld (oder die Spannung), die Dichten, die Viskosität, die Fallstrecke und den Tröpfchendurchmesser bestimmt werden

        (                      )
                2-           2   d-
q =  2πr  3ηv - 3 (ρT - ρL )r g  U
(4.9)

Im Einzelnen läuft der Versuch wie folgt ab:

Freier Fall mit U = 0
0 = 6πηvr -  4π-(ρ  - ρ ) r3g
              3   T    L

          2            2
0 = 3ηv - --(ρT - ρL )r g
          3

      ∘ ---ηv--------
r = 3   ------Fall----
        2(ρT - ρL )g
(4.10)

Schwebezustand (v = 0)
  U-     4π-          3
q d =  - 3  (ρT -  ρL)r g

                                          (              )3∕2
      4π-           3 -d     4π-            ---9ηvF-all---      d-
q = -  3 (ρT - ρL )r gU  = -  3 (ρT - ρL )  2 (ρT - ρL)g     g U

      √ --    (           )1 ∕2
      --29πd-- ---η3v3Fall--
q = -    U     (ρT - ρL )g
(4.11)

Gemessene Geschwindigkeit v
    6πrd  (     2              )
q = -----  ηv - --(ρT - ρL )r2g
      U         9
(4.12)

Millikan[Mil13] erhielt als Wert für die Elektronenladung e = 1.592·10-19C.

PIC Versuch zur Vorlesung: Millikan-Versuch: Ladung von Öltröpfchen (Versuchskarte AT-13)

4.2.2  Grösse des Elektrons

Das Elektron mit seiner kleinen Masse ist eines der ausgeprägtesten quantenmechanischen Objekte. Wenn man annimmt, dass die Selbstenergie des elektrischen Feldes der relativistischen Ruheenergie des Elektrons entspricht, kann ein klassischer Elektronenradius re,class = 2.8·10-15 m bestimmt werden. Belloni [Bel81] zeigt, dass eine andere Überlegung von Fermi auf einen etwa 12 mal grösseren Elektronenradius führt. Neuere Experimente durch zum Beispiel Dehmelt [Deh88] haben jedoch gezeigt, dass der quantenmechanisch korrektere Radius des Elektrons re,QM < 10-22 m sein muss. Genaueres ist nicht bekannt, es gibt keine abschliessende Aussage über den Elektronenradius. Es kann gut sein, dass ein Elektron ein mathematisches Punktteilchen ist, eine Divergenz im Raum.

Um den klassischen Elektronenradius zu berechnen, beginnen wir mit der Ladungsdichte ρel einer homogen geladenen Kugel mit dem Radius r

        4π-   3
Q (r) =  3 ρelr

Wenn bei der gleichen Ladungsdichte eine Kugelschale mit der Dicke dr dazugefügt wird, trägt diese eine Ladung

               2
dQ (r) = 4 πρelr dr

Die Ladung Q wirkt auf eine Probeladung dQ im Abstand r vom Zentrum von Q mit der Kraft

F (r) = -1---QdQ--
        4πε0  r2

Hält man nun Q und dQ fest und führt dQ vom Unendlichen auf die Distanz r, so muss die folgende Energie zugeführt werden:

               r                  r
              ∫             QdQ  ∫  1        1  QdQ
dEpot (r) = -    F (r )dr =  - 4πε--  r2 dr = 4π-ε---r--
             ∞                 0 ∞             0

Die gesamte Energie in der homogen geladenen Kugel ist

         ∫r              ∫r                   ∫r 4π    3      2
                    --1--   Q(r)dQ-(r)-  --1--   -3 ρelr-4πρelr      4πr5-
Epot,tot =   dEpot = 4π ε0       r      = 4 πε0         r       dr =  15ε0
          0              0                     0

Die Ladungsdichte kann mit

e = 4π-ρr3
     3

ersetzt werden, so dass wir für eine homogen geladene Kugel bekommen

                     -3e2---
Eselbst,homogen(e, r) = 20πε r
                         0
(4.13)

Diese Energie setzen wir der relativistischen Ruheenergie der Masse me gleich.

           2
Erel = mec
(4.14)

Setzen wir Gleichung (4.13) und Gleichung (4.14) gleich und lösen nach re auf, erhalten wir

                         2
r             = 3---1---e---=  1.7 ·10 -15 m
 e,class,homogen   5 4πε0 mec2
(4.15)

Andererseits kann man den klassischen Elektronenradius auch berechnen, wenn man annimmt, dass die gesamte Ladung an der Oberfläche konzentriert sei. Dazu betrachtet man das elektrische Feld einer Ladung e

          --1--e-
E (r) = - 4π ϵ0 r2

Die Energiedichte dieser Ladung ausserhalb ist

        ϵ0 (    1  e )2       e2
w (r) = --  - ------2   = ----2---4
        2     4πϵ0 r      32 π ϵ0r

Der Energieinhalt des elektrischen Feldes ausserhalb in Kugelkoordinaten ist

           ∞∫ ∫π∫2π
EF eld  =          w(r)·r2sin (Θ )·dr ·d Θ ·d ϕ
           re 0 0
              ∞∫
                       2
       =   4π   w (r)·r  ·dr
             re
              ∞∫    e2
       =   4π   ----2--2-·dr
             re 32π  ϵ0r
             2  ∞∫
       =   -e---  -1 ·dr
           8πϵ0   r2
               2re  |∞       2
             -e---1||     --e----
       =   - 8πϵ0 r|re = 8π ϵ0re

Durch Gleichsetzen mit Gleichung (4.14) erhalten wir

              1    e2
re,class,Schale = ----------2 = 1.4·10 -15m
              2 4πϵ0mec
(4.16)

Wir haben also zwei leicht unterschiedliche Resultate für die homogene Ladung und die Oberflächenladung. Sie unterscheiden sich durch die Vorfaktoren 35 und 12. Deshalb, und weil es im cgs-System so schön aussieht definiert man

Der klassische Elektronenradius ist

             e2
re,class = --------2 = 2.8·10 - 15m
         4π ϵ0mec
(4.17)

4.3  Materiewellen

Wir haben gesehen, dass Licht sich bei gewissen Experimenten wie dem Fotoeffekt wie ein Teilchen verhält. In diesem Abschnitt wollen wir uns nun fragen, ob auch offensichtliche Teilchen wie das Elektron oder sogar Atome sich wie Wellen verhalten.

Wir wissen, dass jedes Teilchen einen Impuls p hat. beim Photon fanden wir aus der relativistischen Energie-Impuls-Beziehung in Gleichung (4.5)

    hν-   h-
p =  c  = λ

Es lohnt sich, an diesem Punkt ebene Wellen zu betrachten. Ebene Wellen im Raum haben eine Ausbreitungsrichtung gegeben durch ihren Wellenvektor k mit

|k| = 2π ∕λ
(4.1)

(λ ist die Wellenlänge). Sie haben eine Kreisfrequenz ω = 2πν (ν ist die Frequenz. Wellenvektor und Frequenz sind über cMedium = λν = ω∕k miteinander verknüpft. Die momentane Amplitude einer ebenen Welle an einem beliebigen Raumpunkt r zu einer beliebigen Zeit t ist

E (r,t) = E0 exp (- i(k·r  - ωt)) + c.c.
(4.2)

+c.c. meint plus das gleiche, aber konjugiert komplex. Physikalisch messbare Grössen sind immer reell.

Wir können mit Gleichung (4.1) Gleichung (4.5) auch schreiben

p =  h-= -h-k = ℏk    =⇒  p =  ℏk
     λ   2π
(4.3)

Zusammen können wir also einem Teilchen mit einem Impuls p einen Wellenvektor k zuschreiben. Man kann sich jetzt fragen, ob diese Analogie formal ist, oder ob prinzipiell mit Teilchen die gleichen Interferenzexperimente wie mit Licht durchgeführt werden können.

4.3.1  Elektronenbeugung

Dies ist ein fakultativer Abschnitt

PIC Versuch zur Vorlesung: Elektronenbeugung: an einer polykristallinen Graphitschicht (Versuchskarte AT-56)

Elektronenbeugung ist eine in der Oberflächenphysik[HG91] übliche Methode zur Untersuchung von Probenoberflächen mit periodisch angeordneten Atomen. In den nächsten beiden Abschnitten werden die Beugung niederenergetischer Elektronen sowie die Beugung von Elektronen mit mittlerer Energie besprochen.

4.3.1.1. Reziprokes Gitter

Periodische Anordnungen von Atomen werden Netze genannt, die von zwei Gittervektoren a1 und a2 aufgespannt werden. Oberflächennetze sind translationsinvariant. Es gilt also

f (r + T) = f (r)
(4.4)

mit T = va1 + wa2 wobei (v,w ) . f(r) ist die funktionale Darstellung einer beliebigen (auch vektoriellen) Eigenschaft der Oberfläche. Da die Oberfläche periodisch translationsinvariant ist, ergibt die Entwicklung von f(r) in eine Fourier-Reihe

        ∑      iGr
f (r) =    fGe
         G
(4.5)

Die Summe in Gleichung (4.5) geht über alle reziproken Gittervektoren. Dabei ist

G =  hA1 +  kA2
(4.6)

wobei (h,k ) . A1 und A2 sind die erzeugenden Vektoren diese primitiven Netzes im reziproken Raum, das heisst im Raum der Raumfrequenzen.

Zwischen dem Netz im realen Raum aufgespannt durch a1 und a2 und dem Netz im reziproken Raum aufgespannt durch A1 und A2 muss die Beziehung

G ·T  = 2πn      n ∈  ℤfür beliebigeG, T
(4.7)

gelten. Aus den Beziehungen (4.4) bis (4.7) folgt:

A1 ·a1   =   2π
A  ·a    =   0
  1   1
A1 ·a2   =   0
A2 ·a2   =   2π                            (4.8)

Diese Bedingungen sind erfüllt wenn A1 und A2 wie folgt konstruiert werden:

           a2 × n
A1 =  2π------------
        a1 (a2 × n )
(4.9)

und

A  =  2π---n-×-a1---
  2     a1 (a2 × n )
(4.10)

Dabei ist n ein beliebiger Vektor senkrecht zum Oberflächennetz. Abbildung 4.3.1.1 zeigt an einem Beispiel die Beziehung zwischen den Oberflächennetzen des realen und des reziproken Raumes.

PIC

Reales Gitter (links) und reziprokes Gitter (rechts).

4.3.1.2. Streuung (Beugung) an Oberflächen

PIC

Skizze zur Streuung an Oberflächenatomen

Abbildung 4.3.1.2 zeigt die Geometrie der Streuung. Die einfallende ebene Welle wird mit ihrem Wellenvektor k und die gestreute ebene Welle mit ihrem Wellenvektor k bezeichnet. Der Abstand der Streuzentren sei r.

Die Wegdifferenzen der Wellenzüge zwischen zwei benachbarten Streuzentren sind

                              r·k---   r·k--
d1  =   |r |· cos(r,k ) = |r |· |r||k | = |k |
                              ′
d   =   |r |· cos(r,k ′) = r-·k-                          (4.11 )
 2                        |k′|

Aus dem Wegunterschied berechnet man die Phasendifferenzen für die beiden Wege

 ϕ  =   |k |·d  =  r·k
  ′       ′   1        ′
ϕ   =   |k |·d2  = r·k                         (4.12 )

Die endgültige Phasendifferenz ist

Δ ϕ =  ϕ - ϕ′ = r·k  - r·k ′ = - Δk ·r
(4.13)

mit Δk = k′-k. Für die gestreuten Amplituden am i-ten Atom gilt ψ= ψeiΔki·r.

Für die Beträge der Wellenvektoren haben wir

k = 2π- = p-
     λ    h
(4.14)

Hier ist p der Impuls und mit Gleichung (4.1) λ die Wellenlänge, die für Teilchen die de Broglie–Wellenlänge λ genannt wird.

Für die Streuamplitude eines Netzes mit monoatomarer Basis (also beschreibbar als eine periodische Anordnung von Dirac-δ-Impulsen, erhält man:

     ∑
ψ =     eiΔkT
      T
(4.15)

mit T = v·a1 + w·a2. Für eine mehratomige Basis erhält man:

     (            )   (              )
      ∑    -iΔk ·T      ∑     - iΔk ·rj
ψ =       e         · (    fje        )
       T                j
(4.16)

fj ist der Streufaktor des j-ten Streuzentrums und rj ist die Position dieses Streuzentrums in der Einheitszelle. Der erste Faktor in der Gleichung (4.16) hängt nur vom Oberflächennetz ab und nicht von der Struktur der Einheitszelle. Dieser Faktor wird Gittersumme

        ∑   -iΔk·T
G Δk =     e
        T
(4.17)

genannt. Der zweite Faktor in Gleichung (4.16) ist die geometrische Strukturamplitude

       ∑      -iΔk ·rj
G Δk =     fje
        j
(4.18)

Da T in der Oberfläche liegt, ist

          (            )
Δk  ·T  =  Δk  ⊥ + Δk || ·T  = Δk ||·T
(4.19)

Also ist die Laue-Bedingung

Δk  ·a    =   2πh
   ||  1
Δk ||·a2   =   2πk                          (4.20 )

Bei elastischer Streuung gilt

       ′    2     ′             ′
E  = E  ⇒  k  = k 2oder |k| = |k |
(4.21)

PIC PIC

Ewald-Konstruktion für Oberflächennetze. Rechts wird ein Schnitt dargestellt.

Aus dieser Bedingung kann man die in der Abbildung gezeigte Ewald-Konstruktion für Oberflächennetze ableiten.

4.3.1.3. LEED (Low Energy Electron Diffraction)

Dies ist ein fakultativer Abschnitt

LEED[JSY82] ist die am häufigsten angewandte Methode zur strukturellen Untersuchung periodischer Kristalloberflächen. Die Elektronen werden mit einer bestimmten, möglichst monochromatischen Energie aus einer wohldefinierten Richtung auf die Probe gesandt. Ihre de Broglie-Wellenlänge muss von der gleichen Grössenordnung wie die Gitterperiode an der Kristalloberfläche sein. Wenn man eine Periodizität von 0.1 nm annimmt, so ergibt sich

              ---h----
0.1 nm =  λ =  √2mE--
(4.22)

Daraus folgt für die Energie

       h2         (6.6·10 - 34)2
E  = 2m-λ2-=  2·9.1-·10--31·10--20 ≈ 100eV
(4.23)

PIC

Aufbau eines LEED-Experimentes. Links ist die Elektronenkanone gezeigt. Rechts ist der schematische Aufbau des LEED-Schirms gezeigt.

PIC

Energieverlauf im LEED-Detektor. Rechts ist der Zwischenraum zwischen der Probe und dem Detektor.

Die obere Abbildung zeigt den Aufbau eines LEED. Die Elektronen stammen in der Regel aus einer thermischen Kathode. Nach der Beschleunigungsphase bewegen sich die Elektronen in einem feldfreien Raum bis zur Probe. Die rückgestreuten Elektronen nähern sich dem mit einer phosphoreszierenden Substanz belegten kugelkalottenförmigen Schirm in einem feldfreien Raum. Der Energieverlauf im LEED-Detektor ist schliesslich in der unteren Abbildung gezeigt.

Die Energieunschärfe bei der Emission muss mit der thermischen Energie bei Raumtemperatur verglichen werden. Diese ist ΔE kT -1
40eV . Die Glühemission bei T = 2000K ist mit einer Energieunschärfe von ΔE 0.2eV behaftet und damit etwa acht mal grösser als kT bei Raumtemperatur. Die Energieunschärfe der Feldemission bei T = 300K ist schliesslich gleich der thermischen Energie kT, also ΔE 0.025eV .

PIC

Eindringtiefe der Elektronen als Funktion der Energie

Die Abbildung zeigt die Eindringtiefe der Elektronen als Funktion ihrer kinetischen Energie. Die Eindringtiefe ist für Elektronen mit einer Energie von etwa 100eV minimal. Bei höheren Energien, wie sie zum Beispiel bei der Elektronenmikroskopie vorkommen ist die Eindringtiefe grösser. Sie nimmt über etwa 500eV monoton mit der kinetischen Energie der Elektronen zu.

Für LEED verwendet man Elektronen mit einer kinetischen Energie von 20 - 500eV . Die Eindringtiefe der Elektronen ist entsprechend kleiner als einen Nanometer.

PIC

Ewaldkonstruktion für LEED

Das durch die Wechselwirkung der langsamen Elektronen mit der Probe entstehende Beugungsbild kann mit Hilfe der Ewald-Konstruktion wie in der Abbildung gezeigt interpretiert werden.

Zwischen der periodischen Struktur der Probenoberfläche oder einer eventuell vorhandenen Überstruktur und der Überstruktur im reziproken Raum besteht folgender Zusammenhang:

    reeller Raum   b =   S( ·a)                           (4.24 )
reziproker Raum     B  =   ST  - 1A  = Srez·A
                         (   )
                   A  =   ST   ·B                        (4.25 )

Hier ist (siehe Physikalische Elektronik und Messtechnik) S die die Struktur der Oberfläche charakterisierende Matrix. Nach der Gleichung (4.25) kennt man mit Srez auch S.

Damit Beugungseffekte in der Abbildung mit Elektronen beobachtet werden können, muss die Kohärenzlänge der Elektronen grösser als die maximal möglichen Wegunterschiede sein. Wie bei Licht müssen zwei Arten von Kohärenz unterschieden werden.

Zeitliche Kohärenz
ist gegeben durch die Energieunschärfe.
Räumliche Kohärenz
ist gegeben durch die Ausdehnung der Elektronenquelle (dominant)

PIC

Beugungsmuster und Definitionen zur Transferweite

Mit der Transferweite t (Definition in der oben stehenden Abbildung) bezeichnet man die Breite des Elektronenstrahls, die bei perfekter Quelle und perfekter Abbildung die gleiche Breite der Leuchtflächen bewirkt wie der Elektronenstrahl im realen LEED. Sie ist gegeben durch

      ϕ
t = a -10-
      Δϕ
(4.26)

Damit wird t 10nm. Da Elektronen eine sehr kleine Kohärenzlänge haben und da sie als Fermionen nicht im gleichen Quantenzustand sein können1 kann jedes Elektron nur mit sich selber interferieren.

PIC

Schematische Skizze eines LEED-Bildes von Cu(110) (gezeichnet nach [JSY82]). Dies ist eine FCC-Struktur. Die Messung wurde bei 36eV aufgenommen.

PIC

Schematische Skizze eines LEED-Bildes von Ni (111) bei einer Primärenergie von 205 eV (gezeichnet nach [JSY82]).

PIC

Skizze eines LEED-Bildes von Si(111) √ ---
  19 ×√ ---
  19 (gezeichnet nach [JSY82]).

4.3.2  Rutherford-Streuung

PIC

Anordnung für die Rutherford-Streuung.

Bei der Rutherford-Streuung nach Abbildung 4.3.2 wird eine Quelle von α-Teilchen durch eine Lochblende auf eine Probe gesendet. Die Lochblende kollimiert den Strahl und verringert den Raumwinkel der Quelle. Die Probe wird in der Physik oft auch mit dem Wort Target bezeichnet. Die Fluchtlinie zur Quelle (gegeben durch die Quelle und die Blende) ist die z-Achse. Die gestreuten Teilchen bewegen sich im Winkel θ auf den Detektor zu. Bei ungeordneten Targets wie Gasen oder polykristallinen Materialien hängt der Streuwinkel θ nicht vom Azimut ab.

Rutherford konnte aus der Analyse seiner Streudaten schliessen, dass fast die ganze Masse eines Atoms in einem sehr kleinen, positiv geladenen Kern konzentriert ist und dass die negativ geladene sehr leichte Hülle die Grösse der Atome ausmacht. Bei Stössen ist die Wechselwirkung abhängig vom Massenverhältnis der Stosspartner. Die schweren α-Teilchen werden durch die Elektronen kaum gestört, so wie ein Vogel bei einer Kollision mit einem Auto den Weg des Autos kaum beeinflusst.

PIC

Skizze zur Berechnung der Rutherford-Streuung.

Zur Berechnung der Rutherford-Streuung verwenden wir ein Koordinatensystem wie in der Abbildung 4.3.2. Das α-Teilchen kommt aus rS = (0,0,- ∞ ) mit der Ursprungsgeschwindigkeit v0 = (0,0,v0). Nach der Streuung bewegt sich das α-Teilchen nach rZ = lim a→∞(- a sin (θ),0,a cos(θ)) mit der Geschwindigkeit vz = (- v0sin (θ),0,v0 cos(θ)). Zwischen dem Kern und dem α-Teilchen wirkt eine Zentralkraft, die Coulombkraft

                 2
F (r) = --1--2Ze--r-
        4π ϵ0 r2  r
(4.27)

Die Kraft F kann in zwei Komponenten entlang der x-Achse und der z-Achse aufgespalten werden.

Fx = -|F | sin (ϕ) = - 1
-----
4πϵ02Ze2
--2--
 r sin (ϕ )
Fz = -|F | cos (ϕ) = ---1--
4π ϵ02Ze2-
 r2 cos (ϕ) (4.28)

Die Coulomb-Kraft F ist eine Zentralkraft. Deshalb ist der Drehimpuls L bezüglich des Koordinatenursprungs erhalten. Als Zentralkraft ist die Coulomb-Kraft auch eine konservative Kraft. Das heisst dass |v |
  S = |v  |
  Z ist, da im Unendlichen die Coulombkraft verschwindet.

Der Anfangsdrehimpuls sowie der Drehimpuls an einem beliebigen Ort

r =  r(- sin(ϕ),0,- cos(ϕ))

sind

LS = lim z→∞(  - b )
|      |
(   0  )
   - z×(   0   )
|       |
(   0   )
  M  v0 = (   0    )
|        |
( M  v0b )
    0
L(ϕ) = ( - r sin(ϕ ) )
|            |
(     0      )
  - r cos(ϕ )× M∂--
∂t(  - rsin(ϕ) )
|            |
(      0     )
   - rcos(ϕ)
= ( - r sin(ϕ ) )
|            |
(     0      )
  - r cos(ϕ )×(  - rcos(ϕ ))
|            |
(      0     )
    r sin(ϕ)M∂ϕ-
∂t = (    0  )
|     2 |
(  M r  )
     0∂-ϕ
 ∂t (4.29)

Also

M v b = M  r2∂ϕ-   =⇒     ∂-ϕ = v0b
   0         ∂t            ∂t    r2
(4.30)

Weiter müssen wir die Newtonsche Bewegungsgleichung lösen. Die Newtonsche Bewegungsgleichung in die x-Richtung hat den Vorteil, dass die Anfangsbedingung vx,0 = 0 ist. Unter Verwendung von Gleichung (4.30) bekommen wir

  ∂vx-             --1--2Ze2-           -2Ze2---       ∂ϕ-
M  ∂t  = Fx(t) = - 4πϵ0  r2  sin(ϕ) = - 4π ϵ0v0b sin(ϕ) ∂t
(4.31)

Diese Gleichung kann direkt integriert werden

-∞tM∂vx
----
 ∂tdt = M 0vx(t)d x = -  2Ze2
--------
4 πϵ0v0b -∞t sin (ϕ) ∂ϕ
---
∂tdt
= ---2Ze2--
4π ϵ0v0b 0ϕ(t) sin ( ˜)
 ϕd ˜
ϕ (4.32)

Der Endwinkel ist ϕZ = π -θ. Die Endgeschwindigkeit ist vx,Z = -v0 sin(ϕZ) = -v0 sin(θ). Also lautet Gleichung (4.32)

M 0-v0 sin(θ)d x = -Mv0 sin(θ)
= --2Ze2---
4πϵ0v0b 0π-θ sin (˜)
 ϕd˜
ϕ = ---2Ze2--
4π ϵ0v0b (1 + cos(θ)) (4.33)

Unter Verwendung von 1 + cos(θ) = sin(θ) cot(θ∕2) erhalten wir

             2     (  )
M v  = --2Ze---cot  θ-
   0   4 πϵ0v0b     2
(4.34)

Der Stossparameter b hängt vom Streuwinkel θ ab

       Ze2       (θ )
b = --------2cot  --
    2πϵ0M  v0     2
(4.35)

Wenn man annimmt, dass im kreisförmigen Intervall zwischen b und b + db eine gewisse Anzahl Teilchen eingestrahlt werden, dann treffen diese im Winkelsegment zwischen θ und θ + auftreffen. Also benötigen wir auch

        Ze2       1
db =  --------2---2(θ)-dθ
      4πϵ0M v 0sin   2
(4.36)

das Problem ist zylindersymmetrisch bezüglicher der z-Achse. Zwischen b und b + db ist die Fläche

dA      = 2πbdb
   Atom
(4.37)

Das Target ist in der Regel eine Folie mit der Dicke DFolie, der bestrahlten Fläche AFolie und der Zahlendichte der Atome N. Insgesamt streuen Ngesamt = DFolieAFolieN. Die gesamte Fläche, die zur Streuung in den Bereich um θ beiträgt, ist

dAgesamt = NgesamtdAAtom  = 2πN  DF olieAF oliebdb
(4.38)

Wenn nun n α-Teilchen eintreffen, dann werden

dn′ = ndAgesamt-=  2πnN  D    bdb
         AF olie            Folie
(4.39)

Teilchen gestreut.

An der Detektorfläche berechnen wir den bestrahlten Raumwinkel

                              (  )     (  )
dΩ      =  2πsin(θ)dθ = 4π sin  θ- cos  θ-  dθ
  gesamt                         2       2
(4.40)

Der Detektor misst nur einen kleinen Raumwinkelbereich dΩ, da er in der Regel nur schmal ist. In den Detektor werden dann

        ′---dΩ----
dn =  dn dΩ
            gesamt
(4.41)

Alles zusammengefügt erhält man

die Streuformel von Rutherford

dn(θ,d-Ω)-  ----Z2e4DF--olieN-----
    n     = (4π ϵ )2M  2v4sin4( θ)dΩ
                 0      0      2
(4.42)

PIC

Schematischer Verlauf der Streuamplitude der Rutherford-Streuung.

Abbildung 4.3.2 zeigt die mit der Gleichung (4.42) berechnete Streukurve.

4.3.3  Selbstinterferenz von Atomen

PIC

Zweistrahlinterferenz von Atomen (gezeichnet nach [CM91]).

Die Experimente von Carnal und Mlynek [CM91] im Jahre 1991 haben gezeigt, dass auch kompliziertere Objekte wie Atome Interferenzerscheinungen zeigen. Neuerere Experimente haben gezeigt, dass auch mehratomige Moleküle wie ein Wellenpaket interferieren. Ausser dass die Wellenlänge enorm klein ist, gibt es nichts was den Wellencharakter eines Fussballs verbieten würde.

5  Quantentheorie

Wir sahen, dass Licht sich unter gewissen Umständen wie ein Teilchenstrom verhält. Wir stellten fest, dass Elektronen und Atome sich wie Wellen verhalten. Die Quantenphysik stellt nun die Hypothese auf, dass dies immer gilt. Weiter wird vermutet, dass Impulse und Energien in vielen Systemen nur diskrete Werte annehmen können. Im Folgenden wollen wir mit beschränktem mathematischem Aufwand Gesetze und Regeln finden, die aus diesen Annahmen folgen.

5.1  Hilbert-Räume

Zu Beginn folgen einige mathematische Definitionen, die für die korrekte Formulierung der Gesetze und Regeln notwendig sind. Der mathematische Formalismus beruht auf Hilbert-Räumen. Ein Hilbert-Raum wird wie folgt definiert:

H ist ein linearer Vektorraum über dem Raum der komplexen Zahlen mit der Eigenschaften:

Die Norm einer beliebigen Funktion f H ist definiert als f= (f·f)12

Weil H ein linearer Vektorraum ist, es gelten die folgenden Eigenschaften:

Ein Vektorraum ist vollständig, wenn es für jedes f eine Reihe f1,f2,f3,fn f gibt, so dass lim n→∞fn - f= 0 gilt.

Wenn für das Skalarprodukt von f H und g H f·g = 0 gilt, dann sind f und g orthogonal.

5.1.1  Lineare Operatoren

Wenn für einen linearen Operator ^
A und eine Funktion f H die Gleichung ^
Af = af gilt, dann f ist Eigenfunktion von ^A. a ist der entsprechende Eigenwert von A^.

5.1.2  Hermitesche Operatoren

Hermitesche Operatoren sind Operatoren, für die die folgende Gleichung gilt

A^*(f *·g ) = f *·A^*g
(5.1)

Zum Beispiel sind die Operatoren ^px = (∕i)(∂∕∂x) und ^E = i(∂∕∂t) hermitesch.

Die Eigenfunktionen eines hermiteschen Operators sind orthogonal und die dazugehörigen Eigenwerte sind reell.

5.2  Herleitung der Schrödingergleichung

Wir haben gesehen, dass Materieteilchen bei gewissen Experimenten Interferenzerscheinungen zeigen. Wir brauchen also eine konsistente Beschreibung von Materieteilchen als Wellen. Die Schrödingergleichung ist eine Gleichung für eine Wellenfunktion ψ(r,t). Wir werden sehen, dass ψ(r,t) nicht direkt beobachtet werden kann.

5.2.1  Erste Möglichkeit der Herleitung der Schrödingergleichung

Wir leiten die eindimensionale Schrödingergleichung in den Koordinaten (x,t) her, indem wir den Ansatz ψ(x) = A exp [i(kx  - ωt)] verwenden. Wir erinnern uns an die de Broglie-Beziehung p = h∕λ = k aus Gleichung (4.1) . Die erste und die zweite örtliche Ableitung unseres Ansatzes sind

-∂-
∂x ψ =  ikA  exp[i(kx - ωt)] = ikψ
(5.1)

und

 2
∂--ψ =  (ik )2A exp [i(kx - ωt)] = - k2 ψ
∂x2
(5.2)

Unser Ansatz ψ(x,t) = A exp [i(kx - ωt )], mit k = 2π∕λ und ω = 2πν, ist auch eine Lösung der Wellengleichung

 ∂2           1 ∂2
---2ψ(x, t) =  2---2ψ (x, t)
∂x            c ∂t
(5.3)

wobei, c = λν = ω∕k die Ausbreitungsgeschwindigkeit ist. Gleichzeitig ist

  2
-∂--ψ(x, t) = - k2ψ (x,t)
∂x2
(5.4)

und

  2
-∂-ψ (x,t) = - ω2ψ (x, t)
∂t2
(5.5)

Nach Planck setzen wir für die Energie E = ω an. Das Teilchen habe den de Broglie-Impuls p = k. Wir verwenden die relativistische Energie-Impulsbeziehung und entwickeln in eine Reihe.

                         ∘ ------------
Erel = m (v)c2 = γmc2 =    m2c4 + p2c2 = mc2 +  p2∕2m +  ...
(5.6)

wobei γ = 1∘-----2--2
 1 - v ∕c ist.

für nichtrelativistische Geschwindigkeiten v « c können relativistische Effekte vernachlässigt werden. Dann ist die kinetische Energie

        2
Ekin = p ∕2m
(5.7)

mit p = mv. Andererseits kann die kinetische Energie T auch geschrieben werden als T = E - V = (2k2)(2m) mit k2 = 2m(E - V )2. Wir erhalten also

  -ℏ2-∂2--
- 2m  ∂x2ψ +  Vψ  = E ψ
(5.8)

Dieser Weg zur Herleitung der Schrödingergleichung ist Schrödingers originaler Weg zur Beschreibung von Materiewellen.

5.2.2  Zweite Möglichkeit der Herleitung der Schrödingergleichung

Die Schrödingergleichung kann auch mit einer zweiten Methode hergeleitet werden. Das Hamiltonsche Extremalprinzip fordert, dass die Wirkung eines Systems beschrieben durch die Lagrangefunktion L(q,q˙,t) extremal ist, das heisst

       ∫

δS = δ   L (q, ˙q,t)dt = 0
(5.9)

Die Hamiltonfunktion ist definiert als die Summe der kinetischen und der potentiellen Energie

H  = T +  V
(5.10)

V soll hier nur eine Funktion von x sein. Die kinetische Energie ist T = p2(2m), wobei p der Impuls eines punktförmigen Teilchens mit der Masse m ist. Wir wissen nach Planck, dass die Energie einer Welle E = ω ist. Der Impuls kann gleichzeitig auch als p = k geschrieben werden. Wenn sich ein Teilchen mit der Masse m bewegt, kann ihm eine de Broglie-Wellenlänge λdB = h∕p zugeschrieben werden. Damit können wir die obigen Gleichungen wie folgt umformen

ℏ-∂-
i∂x ψ =  ℏkψ = p ψ
(5.11)

oder

  ℏ2--∂2-     ℏ2k2-
- 2m ∂x2 ψ =  2m  ψ =  Tψ
(5.12)

Wir definieren den Impulsoperator

       ∂          ∂
^px = ℏ---- = - iℏ ---
      i∂x        ∂x
(5.13)

und den Operator der kinetischen Energie

          2  2
T^  = - ℏ---∂--
  x     2m ∂x2
(5.14)

Wir wollen nun noch die Zeitabhängigkeit bestimmen. Die erste zeitliche Ableitung von ψ ist

∂ψ
--- = - iωA exp [i(kx - ωt )] = - iωψ
∂t
(5.15)

Den Operator der Gesamtenergie E definieren wir andererseits so

       ∂
^E =  iℏ ---
       ∂t
(5.16)

Wenn ^
V zeitunabhängig ist, können wir den Operator für die Hamiltonfunktion definieren

                 2   2
^H =  ^T + ^V =  - ℏ---∂--+  V
                2m ∂x2
(5.17)

wenn ^V = V ist.

Wenn wir die Gesamtenergie gleich der Hamiltonfunktion setzen, also ^E = ^T + ^V = H^, bekommen wir die Schrödingergleichung als Analogon zur klassischen Hamilton-Funktion H = T + V . Operatoren müssen immer auf etwas wirken, hier auf die Wellenfunktion ψ.

                                2   2
^Eψ  = ^H ψ      = ⇒  iℏ ∂-ψ =  - ℏ---∂--ψ + V ψ
                      ∂t       2m ∂x2
(5.18)

Wir haben in dieser Herleitung angenommen, dass die potentielle Energie zeitlich konstant ist. Dann hat der Hamiltonoperator Eigenwerte, das heisst

^H ψ = E ψ
(5.19)

Dies ist die stationäre, zeitunabhängige Schrödingergleichung. Die Lösungen der Gleichungen sind dann harmonische Wellen

ψ (x,t) = A exp[i(kx - ωt)] = A exp (ikx )exp (- iωt)

5.2.3  Wahrscheinlichkeitsinterpretation

Die Lösung der Schrödingergleichung, die Wellenfunktion ψ(x,t) kann nicht direkt beobachtet werden. Nach der Kopenhagener Interpretation ist das Skalarprodukt

ψ *(r, t)· ψ (r, t)dr  = p(r,t)dr = p(r, t)dxdydz
(5.20)

gleich der Wahrscheinlichkeit, das System beschrieben durch ψ(r,t) zur Zeit t am Ort r im Volumen dr = dxdydz zu finden.

Zum Beispiel hat ein Teilchen in einem unendlich hohen Potentialkasten die Wellenfunktion

         1   1      (2 πi )     1   1     ( - 2πi  )   u (x)    u (x)
φ (x) = √---√---exp  ----x  -  √---√---exp  -----x   = -1√-----  -2√----
          2   a        a         2   a        a           2        2
(5.21)

Die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen mit der Teilwellenfunktion u1 oder u2 im Potentialkasten zu finden ist

         ∫a
p(u1,2) =   u*1,2u1,2dx = 1
          0
(5.22)

Mit einer Wahrscheinlichkeit von 12 misst man Teilchen die nach links oder rechts laufen. Dies heisst, dass der Vorfaktor von u1 und u2 1  --
√ 2 ist. Man kann nachrechnen, dass auch

∫a                1 ∫a                1 ∫a
  ψ *(x)ψ(x )dx  = --  u*1(x)u1 (x )dx + --  u*2(x)u2(x)dx
0                 2 0                 2 0
                         ∫a
                     - 1-  (u*(x)u (x ) + u*(x )u (x ))dx
                       2     1     2      2     1
                         0      a
           1        1        1 ∫ (  2πix∕a 2πix∕a    -2πix∕a -2πix∕a)
        =  2p(u1) + 2p(u2) - a-    e     e     + e       e        dx
                               0
                                                            1-       1-
                                                         =  2p(u1) + 2 p(u2)
(5.23)

Wenn wir nun den Erwartungswert eines Operators ^f berechnen wollen, müssen wir den gewichteten Mittelwert ausrechnen. Für übliche Funktionen f(x) mit der Gewichtsfunktion g(x) (g(x) nicht identisch null) ist dies

      ∫ f(x )g (x)dx
⟨f⟩ = ---∫---------
          g(x )dx
(5.24)

In unserem Falle ist die Gewichtsfunktion g(x) = p(x) = ψ*(x)·ψ(x), der Wahrscheinlichkeitsdichte. Da die Wahrscheinlichkeitsdichten normiert sind, ist g(x)dx = ψ*ψdx = 1. Wir erhalten für den Erwartungswert der Funktion f

                  ∫∞            ∫∞
⟨f ⟩ = ⟨ψ |f |ψ ⟩ =    fp (x )dx =    f ψ*(x)ψ (x )dx
                 - ∞            -∞
(5.25)

Wenn ^f ein Operator ist, muss der Erwartungswert

                 ∫∞
⟨^⟩      ^            *  ^
 f  = ⟨ψ |f |ψ ⟩ =   ψ  (x )fψ (x)dx
                - ∞
(5.26)



Grösse Erwartungswert


Ort x ⟨x⟩ = -∞x|ψ|2dx = -∞ψ*xψdx = ⟨ψ |x|ψ ⟩
Potential V ⟨V ⟩ = -∞V |ψ|2dx = -∞ψ*V ψdx = ⟨ψ|V |ψ ⟩
Impuls px ⟨px⟩ = -∞ψ*(   )
 ℏi∂∂xψdx = -∞ψ*^p xψdx = ⟨ψ |^p|ψ ⟩
Energie Ekin ⟨Ekin⟩ = -∞ψ*(  ℏ2-- )
 - 2m0 Δψdx = -∞ψ*^
E kinψdx = ⟨ψ |^
Ekin|ψ ⟩


Erwartungswerte für normierte Wellenfunktionen ψ.

Tabelle 5.2.3 gibt einige Erwartungswerte an. Verwenden Sie die Tabelle als Anleitung, wie Erwartungwerte berechnet werden sollen. Zur Schreibweise

ψ(x,y,z) = |ψ ⟩ ψ*(x,y,z) = ⟨ψ|
(  )
  x
|( y|)

  z = r = |r⟩ (        )
 x*,y*,z* = r* = ⟨r|
⟨p⟩ = ⟨ψ |^p|ψ ⟩

5.3  Eigenfunktionen und Eigenwerte der Schrödingergleichung

Die Eigenwerte des Hamiltonoperators sind die Energieeigenwerte des betrachteten Systems. In den nächsten Abschnitten sollen die Energieeigenwerte der Schrödingergleichung für verschiedenen Potentialfunktionen berechnet werden.

5.3.1  Stationäre Zustände

Wenn der Zustand eines Systems ψ eine ortsabhängige Linearkombination zweier Eigenfunktionen ψ1 = a1(x) exp(-1t) und ψ2 = a2(x) exp(-2t) ist, gilt

ψ  = ψ  + ψ  = a  (x )e-iω1t + a (x)e-iω2t
      1     2    1            2
(5.1)

Wenn Zustände ψ1 und ψ2 sich zeitlich nicht ändern, dann nennt man sie stationär und die Wahrscheinlichkeitsdichten p1 = ψ1*·ψ 1 und p2 = ψ2*·ψ 2 haben zeitlich sich nicht ändernde Werte. Im Dialekt der Quantenphysiker nennt man das scharfe Werte. Die entsprechenden Eigenwerte sind zeitunabhängig.

Obwohl die Funktionen ψ1 und ψ2 stationäre Zustände sein sollen, also zeitlich unveränderlich, ist die Summe ψ nicht stationär. Die kurze Rechnung

ψ*·ψ = (                        )
 a1(x )e -iω1t + a2(x)e-iω2t* (                        )
  a1(x)e-iω1t + a2(x)e-iω2t
= (  *    iω t   *    iω t)
 a 1(x )e  1 + a2(x )e  2(       -iω t         -iωt)
  a1(x )e  1 +  a2(x)e   2
= a* 1a1 + a* 2a2 + a* 1a2e1te-2t + a 1a* 2e-1te2t
= a* 1a1 + a* 2a2 + a* 1a2e1te-2t + (              )
 a *1a2eiω1te-iω2t* (5.2)
Die Wahrscheinlichkeitsdichte ψ*ψ ist also zeitlich nicht konstant, das heisst nicht stationär. Es gibt keinen zeitlich konstanten Energieeigenwert zu dieser Funktion.

Wenn ein Eigenzustand des Operators ^
A = ia∂∕∂t sich mit der Zeit nicht ändert, dann wird er stationär genannt.

5.3.2  Kanonische konjugierte Variablen

Der Hamiltonformalismus der klassischen Mechanik eines Systems mit der Lagrangefunktion L beschreibt die mechanischen Bewegungsgleichungen mit verallgemeinerten Ortskoordinaten qi und verallgemeinerten Impulskoordinaten pi = L∕∂q˙i. Die Variablen qi und pi werden üblicherweise kanonische konjugierte Variablen genannt.

In Quantenmechanik gibt es ein analoges Konzept zu kanonisch konjugierten Variablen, die kanonisch konjugierten Operatoren. Dies sind

Die Definitionen der Operatoren sind

^x = x
^px = ℏ-
 i-∂-
∂x
^r = xi + yj + zk
^p = ℏ-
 i
^ϕ = ϕ
^L = ℏ
--
 i^r ×∇
^E = i-∂-
∂t (5.3)

wobei i, j und k die Einheitsvektoren sind, die das Koordinatensystem aufspannen.

5.3.3  Vertauschungsrelationen

Analog zur Poissonklammer der klassischen Mechanik gibt es in der Quantenmechanik Kommutatoren.

Die mathematische Operation

[^ ^ ]   ^^    ^ ^
A, B  =  AB -  BA

heisst Kommutator.

So wie die Operatoren in der Quantenmechanik definiert sind, gelten die folgenden Vertauschungsrelationen:

Ort und Impuls
[^x,^px]ψ =  (^x^px - ^px^x) ψ = iℏψ,   ∀ψ
(5.4)

mit

^x = x
^px = -i-∂-
∂x
Energie und Zeit
[^E, E ]ψ =  (^Et - t^E)ψ = iℏψ,   ∀ψ
(5.5)

mit

E^ = i∂
---
∂t

Die Vertauschungsrelationen von konjugierten Operatoren heissen auch Unschärferelationen. Sie sind eine Konsequenz der Wellennatur der Lösungen der Schrödingergleichung und wurden von Werner Heisenberg gefunden. Die Energie-Zeit-Unschärferelation gilt oftmals nicht als echte Unschärferelation, da die Zeit kein Operator ist.

5.4  Axiome der Quantenmechanik

  1. Der Zustand eines physikalischen Systems wird durch eine Wellenfunktion oder Zustandsfunktion ψ beschrieben.
  2. Jede physikalische Grösse entspricht einem linearen Hermiteschen Operator.
  3. Ein Zustand eines Systems, in dem eine physikalische Grösse a einen scharfen Wert besitzt, muss durch eine Eigenfunktion des zu a gehörigen Operators ^
A beschrieben sein; der Wert dieser Grösse a ist ein Eigenwert des Operators ^A.
  4. Wenn der Zustand eines Systems durch eine Wellenfunktion ψ = kckfk dargestellt wird, wobei die fk Eigenfunktionen des gleichen hermiteschen Operators und die ck komplexe Konstanten sind, dann ist
    f*·f  =  (f *f) δ
 i   j    i  i  ij
    (5.1)

    und

     *      ∑   *   *       ∑   *   *
ψ · ψ =    cicjfi ·fj =    ckckfk·fk
         i,j              k
    (5.2)

Die Eigenwerte ak von ^
A sind reelle Zahlen (ak k). Die Wellenfunktionen ψk definiert durch ^Aψk = akψk oder ^A|ψ ⟩ = ak|ψ ⟩ sollen ein vollständiges Funktionensystem bilden.

Der Erwartungswert von a ist

      ∑                  ∑
⟨a⟩ =    ψ *ℓc*ℓ ^A (ckψk ) =   c*ℓψ*ℓck^A ψk
      ℓ,k                ℓ,k
                        ∑   *   *        ∑   *     *
                     =     cℓckψℓakψk =     cℓckakψℓψk
                        ℓ,k               ℓ,k                       ∑
                                                                =     c*kckak
                                                                   k
(5.3)

In Allgemein ist die Streuung einer Observablen a analog wie die Standardabweichung definiert

       ∘ -----------
Δa  =    ⟨a2⟩ - ⟨a⟩2
(5.4)

5.5  Wahrscheinlichkeitsdichte und Wellenfunktionen der Schrödingergleichung: die Bohrsche Interpretation

Wie oben ausgeführt, beschreiben die Eigenfunktionen des Operators H^ (Lösungen der Schrödingergleichung) oder jeden anderen Operators nicht die räumliche Verteilung eines Teilchens. Nach Niels Bohr und der Kopenhagener Interpretation befindet sich ein Teilchen mit Wahrscheinlichkeitsdichte |ψ (x)|2 = ψ*(x)ψ(x) am Ort x.

5.5.1  Wellenpakete

Wenn der Impuls px = k eines Teilchens nicht scharf definiert ist, das heisst wenn das Teilchen nicht durch eine ebene Welle (unendlich ausgedehnt!) beschrieben wird, hat der Impuls des Teilchens eine Streuung Δp∕2. Mit einer Fouriertransformation kann man den Ort ausrechnen, wenn bekannt ist, dass das Teilchen sich im Impulsraum zwischen px - Δp∕2 px px + Δp∕2 aufhält. Wir betrachten nur den Ortsanteil der Wellenfunktion ψ(x,t) = ψ0 exp (i(kx - ωt )).

        px+∫Δp∕2          px+∫Δp∕2               (                  )
ψ(x ) ~        eikxdp  =         eixpx∕ℏdp  =  ℏ-- eixΔp∕2ℏ - e-ixΔp ∕2ℏ  eixpx∕ℏ
                    x                   x   ix
       px-Δp∕2          px-Δp∕2
(5.1)

dieses Resultat kann umgeformt werden

              (     )
ψ(x) ~  2ℏsin  x-Δp-  eixpx∕ℏ
        x       2ℏ
(5.2)

Der Ortsanteil der Wellenfunktion ψ(x) ist eine ebene Welle mit der ortsabhängigen Amplitude (also keine echte ebene Welle)

sin-z-
 z

mit

     xΔp
z =  -----
      2ℏ

Dann gilt Δz = π oder Δx = Δp. Das Produkt ΔxΔp = . zeigt, dass sowohl Impuls wie auch Ort maximal gut definiert sind. Ein Wellenpaket mit diesen Eigenschaften ist in Abbildung 5.5.1 gezeigt.

PIC

Wellenpaket.

5.6  Heisenbergsche Unschärferelation

Die Betrachtung im vorherigen Abschnitt legen die Frage nahe: was ist die minimale Grösse des Produktes Δxδp? Dazu betrachten wir ein Wellenpaket wie in Abbildung 5.5.1 gezeigt, das durch eine Gausssche Verteilung der Amplitude der Wellenfunktion (im Ortsraum oder in der Zeit) definiert ist.

                  √ --  ∞∫
                ----a--    - a2(k-k0)2∕4 ikx
ψ(x,t = 0) = ψ0 (2π)3∕4   e           e  dk
                       -∞
(5.1)

Die Vorfaktoren dienen zur Normierung der Funktion. Das Maximum der Wellenfunktion befindet sich bei x, die Variable a ist die Breite des Pakets und k0 der mittlere Wellenvektor. Die resultierende Funktion ψ(x, 0) ist eine Gausssche Verteilung in Abhängigkeit von x.

             (     )1∕4
ψ(x,t = 0) =   -2--    eik0xe-x2∕a2
               πa2
(5.2)

und

                   ∘ ----
|ψ (x,0)|2 = ψ *ψ =    -2--e-2x2∕a2
                     πa2
(5.3)

Wenn die Ortsunschärfe, das heisst die Streuung im Ort Δx = a∕2 ist, dann ist die entsprechende Impulsunschärfe Δp = ∕a. Dann ist das Produkt

Δx Δpx  ≥ ℏ-
          2
(5.4)

Damit ist gezeigt, dass es unmöglich ist, gleichzeitig Ort und Impuls mit beliebigen Genauigkeit zu messen. Die Gleichung (5.4) ist als Heisenbergsche Unschärferelation bekannt.

5.7  Lösung der Schrödingergleichung für einen unendlichen Potentialtopf

PIC

Potentialtopf mit unendlich hohen Wänden.

Die zeitunabhängige Schrödingergleichung erlaubt die Berechnung der Wellenfunktion eines Teilchens in einem unendlichen tiefen Potentialtopf (Abb. 5.7). Die Breite des Topfes ist a. Wir nehmen als Ansatz die Funktion ψ(x,t) = ϕ(x)e-iωt. Die zeitunabhängige Schrödingergleichung lautet

                       2   2
^Hϕ =  Eϕ    =⇒     - -ℏ--∂--ϕ (x) = Eϕ (x)
                     2m  ∂x2
(5.1)

Dabei haben wir die Potentialfunktion

        {
           0    für   0 ≤ x ≤ a
V (x) =    ∞   sonst
(5.2)

Im Potentialtopf für 0 x a haben die Lösungen die Form

ϕ(x) = A  eikx + A  e-ikx
         1        2
(5.3)

mit k = 2π∕λ. Die beide Terme entsprechen zwei harmonischen Wellen, die sich in der negativen und der positiven Richtung der x-Achse ausbreiten. Die Potentialfunktion V in den Wänden des Potentialtopfs hat den Wert unendlich. Dann sind die Amplituden der Lösungen der Schrödingergleichung innerhalb der Wände des Topfes null. Mit anderen Worten, die Wellenfunktion soll für ϕ(x 0) = 0 und ϕ(x a) = 0 verschwinden. Die Randbedingungen ergeben

        A1 + A2 =  0
   ika      -ika
A1e   + A2e     =  0
(5.4)

Wenn wir die obigen Gleichungen nach A1 und A2 auflösen, bekommen wir

            - A1 = A2
   ( ika    -ika)
A1  e   - e      = 0
(5.5)

Nun ist eika - e-ika = 2i sin (ika). Wir erhalten also

         - A  = A
            1     2
2A1i sin(ika ) = 0   ⇒  k = nπ ∕a
(5.6)

mit n . Die Lösung der Schrödingergleichung für den Potentialtopf hat also die Form

ϕ (x) = A1 sin (in πx∕a )
(5.7)

Wenn wir den Ansatz unter Berücksichtigung der Randbedingungen in die Schrödingergleichung einsetzen, erhalten wir

-ℏ2
----
2m ∂2
---2
∂xϕ(x) = (x) (5.8)
Die dazugehörigen Energieeigenwerte sind
      n2-π2ℏ2
En  =  2ma2
(5.9)

Die Wellenfunktion ϕ muss auf 1 normiert sein, da wir das Teilchen sicher im gesamten Raum finden. Aus ϕ*·ϕ = 1 erhalten wir den Wert der Konstanten A1 = ∘ ----
  2∕a.

Die Einschränkung (Lokalisierung) der Wellenfunktion auf ein beschränktes Gebiet, den Potentialkasten, bedingt die Quantisierung der Teilchenenergie.

5.8  Lösungen der Schrödingergleichung für eine Potentialstufe

PIC

Potentialstufe.

Wir betrachten eine von links auf eine Potentialstufe mit endlicher Energiehöhe einfallende Welle. Dies führt zum Ansatz

ψ(x,t) = ϕ(x)e- iωt

ψ(x,t) ist harmonisch von der Zeit abhängig. Deshalb ist ϕ(x) ist eine stationäre Lösung der zeitunabhängigen Schrödingergleichung.

Die Lösungen sind abhängig von der Energie des Teilchens (der Welle) unterschiedlich:

  1. Die Energie der einfallenden Welle E ist grösser als die potentielle Energie (E > V 0). Dann werden wir im ganzen Gebiet wellenartige Lösungen mit Interferenzen bekommen.
  2. Die Energie der einfallenden Welle E ist kleiner als die potentielle Energie (E V 0). Hier gibt es das Phänomen der evaneszenten Wellen, also an der Grenzfläche lokalisierter Wellen.

Sei ϕ(x) die Ortsfunktion einer einfallenden Welle, die sich in der positiven Richtung der x-Achse ausbreitet. Ihr Impuls ist p1 = k1 für x < 0 und p2 = k2 für x > 0. Die kinetische Energie ist T = p22m = E und T = p22m = E - V 0. Also haben wir

      ∘ ------
k  =    2mE--     für   x < 0
 1       ℏ2
(5.1)

und

     ∘ -------------
       2m-(E----V0)
k2 =        ℏ2           für   x ≥ 0
(5.2)

Die Lösungen der Schrödingergleichung müssen zweimal differenzierbar sein, d.h. ϕ und ∂ϕ∕∂x müssen stetig sein für alle x. Die Stetigkeit besagt, dass ϕ(x) und ∂ϕ(x)∕∂x für x = 0 dieselben Werte haben müssen. Die Eigenfunktion ϕ(x) hat für x < 0 zwei Komponenten: Eine sich ausbreitende Welle mit der Amplitude A1 in der positiven Richtung der x-Achse und eine sich ausbreitende Welle (die reflektierte Welle) mit der Amplitude A1 in der negativen Richtung der x-Achse. Beide mit demselben Impuls p1 = k1. Für x > 0 es gibt nur eine harmonische Welle mit der Amplitude A2 und dem Impuls p2 = k2 (transmittierte Welle), die sich in die positive Richtung der x-Achse ausbreitet. Also erhalten wir für den ersten Fall

ik2A2 = ik1(A1 - A1)
A2 = A1 + A1 (5.3)
oder
A′1-
A
 1 = k1 --k2
k +  k
 1    2
A2-
A1 = --2k1--
k1 + k2 (5.4)
Wir definieren die folgenden Grössen als Reflexionskoeffizienten
     (   ) *      |  |2
      A-′1   A′1-   ||A′1||
R =   A     A  =  ||A ||
        1    1      1
(5.5)

und Transmissionskoeffizienten

           * (   )*              *||   ||2
T =  k2 +-k2* A2-   A2-=  k2 +-k2-||A2-||
     k1 + k1  A1    A1      2k1    A1
(5.6)

Diese beiden Koeffizienten beschreiben die Intensität der Reflexion bzw. der Transmission, oder, in anderen Worten, deren Wahrscheinlichkeitsdichte. Die Vorfaktoren haben die gleiche Funktion wie die Dieklektrizitätszahlen in den Fresnelschen Formeln der Optik. Die Erhaltung der Gesamtenergie verlangt, dass

R + T =  1
(5.7)

ist.

Wenn im Gebiet x > 0 die kinetische Energie kleiner als die potentielle Energie ist (Fall 5.8) wird der Wellenvektor imaginär

      ∘ -------------                     ∘ -------------
        2m-(V0---E-)                        2m-(V0 --E-)
k2 = i       ℏ2      = iρ2   = ⇒    ρ2 =         ℏ2
(5.8)

Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit das Teilchen für x > 0 zu finden, exponentiell mit x abnimmt. Weiter haben wir

ρ2A2 = ik1(A1 - A1)
A2 = A1 + A1 (5.9)
Wie immer ist A1 frei wählbar. Wir erhalten
A ′
--1
A1 = k  - iρ
-1-----2
k1 + iρ2
A2-
A1 = --2k1---
k1 + iρ2 (5.10)
für den Reflexionskoeffizienten
R = 1
(5.11)

und für den Transmissionskoeffizienten

T = 0
(5.12)

Alle Energie wird also reflektiert, aber es gibt im verbotenen Bereich dennoch eine mit der Distanz abnehmende Energiedichte.

PIC

Transmissionskoeffizient T und Reflexionskoeffizient R.

PIC

ϕ(x)*ϕ(x) für verschiedene Verhältnisse von E∕V 0.

5.9  Potentialbarriere und Tunneleffekt

PIC

Potentialwand.

Wir sahen, dass eine von links einlaufende Welle mit einer kinetischen Energie kleiner als die Stufenhöhe im Bereich der Stufe eine exponentiell abfallende Wahrscheinlichkeit besitzt. ist die Stufe endlich breit, so gibt es auch am rechten Rand der Stufe eine Aufenthaltswahrscheinlichkeit: das Teilchen hat die Barriere durchtunnelt. Zur Rechnung verwenden wir den Ortsanteil der Wellenfunktion ψ(x,t) = ϕ(x) exp(-iωt), die von links her in positiver Richtung auf die Barriere zwischen x = 0 und x = a (Abbild. 5.9) einfallen soll.

Wie im vorherigen Absatz muss ϕ und ∂ϕ∕∂x stetig sein. Die Energie der Welle ist zuerst beliebig.

ϕ1(x) = A1eik1x + A 1e-ik1x für x < 0
ϕ2(x) = A2eik2x + A 2e-ik2x für 0 x a
ϕ3(x) = A3eik3x + A 3e-ik3x für x > a (5.1)
Da für x < 0 und x > a das Potential V (x) = 0 ist, ist k1 = k3. Für x = 0 und x = a sind die Stetigkeitsbedingungen

ϕ1 = ϕ2 x = 0
∂ϕ1-
∂x = ∂ϕ2-
∂x x = 0
ϕ2 = ϕ3 x = a
∂ϕ2
----
∂x = ∂ϕ3
----
∂x x = a (5.2)
Wir haben sechs Unbekannte und vier Gleichungen. A1 ist beliebig wählbar, da wir eine von links einlaufende Welle annehmen. A3 = 0 weil keine von rechts einlaufende Welle existiert. Damit bleiben vier Unbekannte für vier Gleichungen. Die Stetigkeitsbedingungen sind dann

A1 + A1 = A2 + A2 für x = 0
k1(A1 - A1) = k2(A2 - A2) für x = 0
A2eik2a + A 2e-ik2a = A 3eik1a für x = a
k2(A2eik2a - A 2e-ik2a) = k 1A3eik1a für x = a (5.3)

Die Lösungen sind:

A1 =    A  (k  - k )(k  + k )sin (ak )
---2-1--12----2----1---2--------2-----
((k1 + k 2)) sin (ak2) + 2ik1k2 cos(ak2)
A2 = --------2A1k1-(k1 +-k2)--------
          2    2iak2         2
- (k1 + k2) + e    (k1 - k2)
A2 = -----2A1k1e2iak2-(k1 --k2-)----
- (k +  k )2 + e2iak2 (k - k )2
    1    2            1   2
A3 = -------4A1k1k2e--ia(k1--k2)-------
- (k1 + k2)2 + e2iak2 (k1 - k2)2 (5.4)

Aus diesen Beziehungen folgen mit

          ∘ ------
            2mE--
k1 = k3 =     ℏ2       für  x <  0 ∨ x > a
(5.5)

und

     ∘ -------------
k2 =   2m-(E----V0)      für   0 ≤ x ≤  a
            ℏ2
(5.6)

die Transmissions- und Reflexionskoeffizienten T und R

    ||  ′||2
R = ||A-1|| =  ---(--------(-----8∘E-(V0---E-)--))---------------+ 1
    |A1 |    V 2 1 - cos  2√2--  m (E - V )a   +  8E (E - V  )
              0                          0 ℏ                0
(5.7)

und

T = k3-+-k*3
k  + k*
 1    1(   )
  A3-
  A
   1* (   )
  A3-
  A
   1
= |   |
||A3-||
|A1 |2 = ----(-------(--√--∘8E-(E---V0)--))---------------
V02  1 - cos 2   2  m (E -  V0)a   + 8E (E -  V0)
                               ℏ (5.8)

wobei k1 = k3 = ∘---------
 2mE  ∕ℏ2 und k2 = ∘ ---------------
  2m (E -  V0)∕ℏ2 sind. Eine kurze Kontrolle zeigt, dass R + T = 1 ist, wir also keine Teilchen verlieren. Sowohl die Reflexion wie auch die Transmission oszillieren mit der Breite der Barriere a. Die Gleichungen können noch vereinfacht werden:

R = --------(∘----4E-(V0---E))-------------- + 1
    V02 sin2    2m (E -  V0)a  + 4E (E -  V0)
                           ℏ
(5.9)

und

     ||A3 ||2                 4E (E -  V0)
T =  ||---|| = --2-----(∘-------------a)---------------
      A1     V0  sin2    2m (E -  V0)ℏ  + 4E (E  - V0)
(5.10)

Wenn E < V 0 ist, wird aus dem Cosinus ein Cosinus hyperbolicus und die Gleichungen lauten

     ||A′||2                      8E (V  - E )
R =  ||-1||  = ----(--------(--√--∘----0--------))--------------- + 1
     |A1|    V02  1 - cosh  2  2  m (V0 - E )aℏ   + 8E (E  - V0)
(5.11)

und

T = |   |
||A3-||
|A1 |2
=                    8E (E - V  )
---(---------(--√--∘---------0---))---------------
V02  1 - cosh 2   2  m (V0 - E )aℏ   + 8E (E -  V0) (5.12)

Auch diese Gleichungen können vereinfacht werden

                   4E (V0 - E )
R =  -----------------2----(-∘-------------a) + 1
     4E (E -  V0) - V0 sinh    2m (V0 - E )ℏ
(5.13)

und

T =  --------------4E-(E---(V0∘)-------------)
     4E (E -  V ) - V 2sinh    2m (V  - E )a
               0     0              0      ℏ
(5.14)

                  ( √ -------- )
    8E-(V0---E-) -    2m (V0- E)aℏ
T ~      V02    e
(5.15)

Wenn sich ein Elektron mit der Energie E = 1 eV auf einen Potentialwall mit Breite a = 100 pm und der Höhe V 0 = 2 eV hinzu bewegt, dann ist die Transmissionswahrscheinlichkeit T ~ 0.64. Die Näherung nach Gleichung (5.15) ergäbe 1.17, ein unphysikalischer Wert. Für eine Barrierenbreite von 500 pm wäre T = 0.12, die Näherung 0.13. Je dicker die Berriere, desto besser ist die exponentielle Näherung. Unter den gleichen Bedingungen würde ein Proton (mp 1840me) durch eine Barriere von a = 100 pm eine Transmissionswahrscheinlichkeit von T ~ 4 × 1.8·10-10 und bei a = 500 pm wäre T = 1.1·10-50. Das heisst, dass der Tunneleffekt für atomare Distanzen für Elektronen wahrscheinlich, für Protonen sehr unwahrscheinlich ist.

Dieser Befund wird durch die aus der Chemie bekannte Tatsache, dass Elektronen die Bindungen vermitteln, gestützt. Tunneln für Protonen ist nur auf der Längenskala von Kernen (1 fm) wahrscheinlich.

Das Rastertunnelmikroskop (STM) beruht auf dem Tunneleffekt für Elektronen. Diese können eine kurze Potentialbarriere durchqueren. Dabei verringert sich der Tunnelstrom exponentiell mit der Breite der Barriere.

PIC

Transmissionskoeffizient (rot) und Reflexionskoeffizient (blau)

Abbildung 5.9 zeigt auf einer skalenfreien Darstellung den Verlauf des Transmissions- und des Reflexionskoeffizienten für eine feste Barrierenbreite und in Abhängigkeit der Energie des einlaufenden Teilchens skaliert mit der Barrierenhöhe V 0. Für E∕V 0 haben wir den erwarteten ungefähr exponentiellen Verlauf. Im Durchlassbereich (E∕V 0 > 1) zeigen sich jedoch Resonanzen. Bei E∕V 0 = 1.5 ist die Transmission minimal. Der Effekt ist analog zu den Phänomenen, die man beobachtet, wenn eine Wasserwelle über eine Untiefe hinweg geht.

PIC

Wahrscheinlichkeitsdichten an der Tunnelbarriere der Breite a = 1. Rot: E∕V 0 = 0.3, grün: E∕V 0 = 0.6, blau: E∕V 0 = 0.9, magenta: E∕V 0 = 1.1, pink: E∕V 0 = 1.5 (Resonanz, Reflektivität minimal, Transmission maximal), schwarz: E∕V 0 = 2.0 (Maximale Reflektivität), grau: E∕V 0 = 3.0.

Abbildung 5.9 zeigt für verschiedene Realtivenergien E∕V 0 die Wahrscheinlichkeitsdichten für den Aufenthalt. Beachten Sie insbesondere die Welle für E∕V 0 = 1.5!

5.10  Harmonischer Oszillator

Wenn die potentielle Energie V (x) eine quadratisch von x abhängt ist die Bewegung des Teilchens beschränkt und analog zum Fall eines klassischen harmonischen Oszillators. Der Operator ^H hat die Form

         2  2
H^ = - -ℏ--∂---+ 1-m ω2x2
       2m  ∂x2   2
(5.1)

mit der potentiellen Energie

        1
V (x ) = -m ω2x2
        2
(5.2)

Die Lösungen der Schrödingergleichung sind stationär und haben, dem Separationsansatz entsprechend, die Form

          -iEt∕ℏ
ψ(x,t) = e     ϕ (x)
(5.3)

Damit können wir die zeitunabhängige Schrödingergleichung verwenden

    2  2
- ℏ--∂--ϕ + 1-mω2x2 ϕ = E ϕ
  2m ∂x2    2
(5.4)

PIC

Potentielle Energiefunktion eines harmonischen Oszillators.

Wir definieren drei Parameter und ersetzen die Variable x durch u

     ∘ ----
 b =   -ℏ--
       m ω
     E
 ϵ = ℏω-
     x
u =  --
     b
(5.5)

Die Gleichung 5.4 lautet dann

   ∂2         2
- ---2ϕ(u ) + u ϕ (u) = 2ϵϕ(u)
  ∂u
(5.6)

Um die Eigenfunktionen ϕn und die Eigenwerte ϵn (oder En) zu finden. definieren wir die folgenden Operatoren

         (        )        (          )
^a† = -1√--  u - -∂-  =  -1√--- x - b2-∂-
       2       ∂u      b  2        ∂x
      1  (      ∂ )     1  (        ∂ )
 ^a = -√--  u + ---  = --√--- x + b2---
       2       ∂u     b   2        ∂x
(5.7)

Die Operatoren ^a und ^a sind nicht hermitisch (also nicht selbstadjungiert). Sie sind aber adjungiert zueinander. Deshalb kann man schreiben

        (             )
 †    1-  2       -d2-
^a ^a = 2  u  - 1 - du2
(5.8)

Also wird Gleichung (5.6)

  †    1-
(^a ^a + 2)ϕ(u) = ϵϕ (u )
(5.9)

Die Hamiltonoperator kann mit den Operatoren ^a und ^a umgeschrieben werden

^    †    1-
H = ^a ^a + 2
(5.10)

Der Kommutator der Operatoren ^a und ^a hat den Wert

[   †]     †    †
 ^a,^a  =  ^a^a - a^^a =  1
(5.11)

Die Eigenschaften des Kommutators zeigen, dass

[^a,^a] = 0
(5.12)

und

[     ]
 ^a†,^a†  = 0
(5.13)

Wir wollen nun untersuchen, wie die Gleichung (5.9) sich ändert, wenn wir sie von links mit ^a oder ^a multiplizieren. Wir schreiben Gleichung (5.9) um

           (     )
 †              1-
^a ^aϕ (u ) =  ϵ - 2  ϕ(u)
(5.14)

Multiplizieren wir Gleichung (5.14) von links mit ^a und verwenden Gleichung (5.12) erhalten wir

^a(  † )
  ^a ^aϕ(u) = ^a(    1)
 ϵ - 2-ϕ(u)
(    )
 ^a^a†^aϕ(u) = (     )
 ϵ - 1-
     2^aϕ(u)
(  †    )
 ^a ^a + 1(^aϕ (u)) = (     )
     1-
 ϵ - 2(^a ϕ(u))
^a^a(^aϕ (u)) = ((    1 )    )
  ϵ - --  - 1
      2(^aϕ (u )) (5.15)

Wenn ϕ(u) eine Lösung der Gleichung (5.14) mit dem Eigenwert (ϵ- 12) ist, ist ^aϕ(u) eine Lösung der gleichen Gleichung (5.14) , aber mit dem Eigenwert ((ϵ - 1 ∕2) - 1 ). Der Operator ^a erniedrigt den Eigenwert um 1. Er wird Absteigeoperator oder Vernichtungsoperator genannt.

Multiplizieren wir Gleichung (5.14) von links mit ^a und verwenden Gleichung (5.12) erhalten wir

^a( † )
 ^a ^aϕ(u) = ^a(    1)
 ϵ - 2-ϕ(u)
^a(   )
 ^a†^aϕ(u) = (     )
 ϵ - 1-
     2^aϕ(u)
^a(  †    )
 ^a^a  - 1ϕ(u) = (     )
     1-
 ϵ - 2(  †    )
  ^a ϕ(u)
^a(   )
 ^a^a†ϕ(u) = ((    1 )    )
  ϵ - --  + 1
      2(       )
 ^a†ϕ (u )
^a^a(      )
 ^a†ϕ(u ) = ((      )    )
  ϵ - 1-  + 1
      2(       )
 ^a†ϕ (u ) (5.16)

Wenn ϕ(u) eine Lösung der Gleichung (5.14) mit dem Eigenwert (ϵ - 12) ist, ist ^aϕ(u) eine Lösung der gleichen Gleichung (5.14) , aber mit dem Eigenwert ((ϵ - 1∕2) + 1). Der Operator ^a erhöht den Eigenwert um 1. Er wird Aufsteigeoperator oder Erzeugungsoperator genannt.

Wenn wir eine endliche Energieskala haben, muss es eine kleinste Energie und damit auch einen kleinsten Eigenwert geben. Das heisst, es muss eine Ortswellenfunktion ϕ0(u) geben, auf die angewandt der Vernichtungsoperator ^a eine Nullfunktion ergibt.

^a ϕ0(u) = 0
(5.17)

Wir verwenden die Definition von ^a und erhalten

 1
√---
  2(       )
      ∂
 u +  ---
      ∂uϕ0(u) = 0
(        )
      ∂--
 u +  ∂uϕ0(u) = 0
0(u) = --∂-
∂uϕ0(u)
u = -  1
------
ϕ0(u)∂
---
∂uϕ0(u) = - ∂
---
∂u ln (ϕ0(u))
1-
2u2 = - ln (ϕ (u))
  0 + ˜C
ϕ0(u) = C exp (   1-2)
  - 2u (5.18)

Die Konstante C ergibt sich aus der Normalisierungsbedingung

 ∞∫
   ϕ *(u )ϕ (u)du = 1 =⇒  C  = π -1∕4
     0    0
-∞

Die normierte Wellenfunktion des Grundzustandes des harmonischen Oszillators in den Koordinaten u und x ist

          1      (  1  )                1      (  m ω   )
ϕ0(u) = --1∕4 exp  - -u2   =⇒  ϕ0(x) = --1∕4 exp  - ----x2
        π           2                 π            2ℏ
(5.19)

Ausgehend von ϕ0(u) können wir nun durch die wiederholte Anwendung von ^a auf ϕ0(u) alle Lösungen generieren.

Die ersten nicht normierten Funktionen sind

ϕ0(u) = exp (  u2 )
 - ---
    2
ϕ1(u) = (√ -- )
   2u exp (     )
    u2
  - ---
    2
ϕ2(u) = (  2    )
 2u  - 1 exp (     )
   u2-
 -  2
ϕ3(u) = (√2u- (2u2 - 3) ) exp (    2)
  - u--
    2
.
.. = .
.. (5.20)

Mit der Normalisierungsbedingung dass das Integral über der Wahrscheinlichkeitsdichte gleich eins sein soll bekommen wir

ϕ0(u) = --1-
π1 ∕4 exp (     )
    u2-
  - 2
ϕ1(u) = --1-
π1 ∕4(√ -- )
   2u exp (    2)
    u--
  - 2
ϕ2(u) = --1-
π1 ∕4   2
(2u√---1)
     2 exp (    2)
  - u--
     2
ϕ3(u) = --1-
π1 ∕4      2
(u(2u√---3))-
      3 exp (    2)
 - u--
    2
..
. = ..
. (5.21)

Aus ^aϕ0(u) = 0 und Gleichung (5.14) folgt, dass

     1                  1
ϵ0 - --=  0  =⇒    ϵ0 = --
     2                  2
(5.22)

Allgemein ist also

         1-
ϵn = n + 2  ∀n  ∈ ℕ ∪ {0}
(5.23)

Wir erinnern uns an die Substitutionen in Gleichung (5.5) . Deshalb sind die

Energieeigenwerte des harmonischen Oszillators

      (    1 )
En =   n + -- ℏ ω  ∀n ∈ ℕ ∪ {0}
           2
(5.24)

Die gleichabständigen Eneregieeigenwerte des harmonischen Oszillators sind für diesen charakteristisch. Der kleinste Energieeigenwert E0 hat den Wert ω∕2. Es ist nicht möglich, einen harmonischen Oszillator in Ruhe zu haben. Die minimale Energie E0 ist die Nullpunktsenergie. Sie bewirkt, dass harmonische Oszillatoren immer energie enthalten, egal wie tief die Temperatur sinkt. Das heisst, die Boltzmannverteilung aus der klassischen Thermodynamik gilt nicht mehr.

5.10.1  Hermite-Polynome und der harmonische Oszillator

Die Lösungen von Gleichung (5.14) können mit Hermite-Polynomen ausgedrückt werden.

                                (    2)
ϕn(u) =  ∘--1----√-1--Hn (u )exp  - u--
           n!√ π   2n               2
(5.25)

mit

                          n
H  (u) = (- 1)nexp (u2 )-∂-- exp( - u2)
  n                     ∂un
(5.26)

Die ersten Hermite-Polynome sind

H0 (u) = 1

H1 (u) = 2u
H2 (u) = 4u2 - 2
H  (u) = 8u3 - 12u
  3          4      2
H4 (u) = 16u  - 48u  + 12
H5 (u) = 32u5 - 160u3 +  120u
(5.27)

Die Normierungsbedingung ist erfüllt, da

∫∞             ∞∫     1              (    )
   ϕ2n(u)du =     ----√---H2n (u )exp  - u2 du =  1 ∀n  ∈ ℕ ∪ {0}
-∞            -∞  2nn!  π

ist. Hermite-Polynome haben die folgenden Eigenschaften

Hn (- u) = (- n)nHn (u)
(5.28)

∫ +∞
     Hm (u )Hn (u )e- u2du = Hm ·Hn   = δmn
 -∞
(5.29)

PIC

Die ersten acht Hermite-Polynome.

5.10.2  Wellenfunktionen des harmonischen Oszillators

Wenn wir die Substitutionen aus Gleichung (5.5) rückgängig machen, erhalten wir

ϕ0(x) =  1
π1∕4 exp (  m ω  2)
 - 2-ℏ-x
ϕ1(x) = -1--
π1∕4( ∘ ------ )
(    2m-ω- )
      ℏ  x exp (        )
   m-ω- 2
 -  2ℏ x
ϕ2(x) =  1
-1∕4
π(          )
  2m-ωx2 - 1
---ℏ-√-------
       2 exp (  m ω   )
 - ----x2
    2ℏ
ϕ3(x) = -1--
π1∕4( ∘ ---- (          ))
    2mωx  2m-ωx2 - 3
-----ℏ----√-ℏ----------
            3 exp (        )
 - m-ω-x2
    2ℏ
..
.
ϕn(x) =    1
∘---√---
  n!  π  1
-√--n
  2Hn( ∘ ------ )
     2m ω
(    ----x )
      ℏ exp (  m ω  2)
 - ----x
    2ℏ (5.30)
ϕn(x) =  1
√----
  n!( †)
 ^anϕ 0(x) =  1
√----
  n! 1
-1∕4
π( †)
 ^an exp (   m ω  2)
  - ---x
    2ℏ (5.31)

Die Normierungsbedingung ist

∫ +∞   *
     ϕ m(x)ϕn(x )dx  = ϕm · ϕn = δmn
 -∞
(5.32)

PIC

Wellenfunktionen des harmonischen Oszillators

PIC

Wahrscheinlichkeitsdichte der Wellenfunktionen des harmonischen Oszillators

5.10.3  Teilchen im endlichen Potentialtopf

PIC

Potentialtopf.

Der Fall eines Teilchens in einem endlichen Potentialtopf ist etwas komplizierter als der Fall des unendlichen. Die Wellenfunktion verschwindet nicht am Rand des Topfes. Wir müssen zwei Fälle betrachten: wenn die Energie höher als die Potentialwälle ist, also E > V 0 und wenn sie kleiner ist. Im ersten Falle haben wir zum Beispiel eine von links einlaufende Welle, die sich an den Diskontinuitäten des Potentials reflektiert. Diese Lösung müsste aus der Lösung des Potentialwalls ablesbar sein. Im zweiten Falle haben wir lokalisierte Wellenfunktionen.

5.10.3.1. Potentialtopf, E > V 0

PIC

Transformation einer Potentialschwelle in einen Potentialtopf

Die Lösungen sind in Gleichung (5.4) angegeben und werden hier nochmals wiederholt.

A1 = ---A1-(k1---k2)(k1-+-k2)sin-(ak2)----
((k21 + k22)) sin (ak2) + 2ik1k2 cos(ak2)
A2 = -       2A  k (k +  k )
----------12-1--1----2-------2-
- (k1 + k2) + e2iak2 (k1 - k2)
A2 =      2A1k1e2iak2 (k1 - k2 )
-----------2---2iak----------2-
- (k1 + k2) + e   2 (k1 - k2)
A3 = -      4A1k1k2e- ia(k1- k2)
----------2----2iak2---------2-
- (k1 + k2) + e    (k1 - k2)

A1 stellt die einfallende Welle dar. der Wert ist frei wählbar. Die Energiewerte müssen aus Gleichung (5.5)

          ∘ ------
            2mE
k1 = k3 =   ---2-      für  x <  0 ∨ x > a
              ℏ

und Gleichung (5.6)

     ∘ -------------
       2m-(E----V0)
k2 =        ℏ2           für   0 ≤ x ≤  a

werden umskaliert mit E E - V 0 ausserhalb und E - V 0 E im Topf. Wir erhalten

           ∘ -------------
             2m-(E---V0-)
k1 = k3 =         ℏ2          für   x < 0 ∨ x > a
(5.33)

und

      ∘------
        2mE
k2 =    --2--     für   0 ≤ x ≤ a
         ℏ
(5.34)

Daraus folgen die Transmissions- und Reflexionskoeffizienten T und R

    ||  ′||2
R = ||A-1|| =  ---(--------(8E√-(V0√---E-))-)------------+ 1
    |A1 |    V02 1 - cos  2  2   Em a   + 8E  (EV0 )
                                    ℏ
(5.35)

und

T = k3 + k*3
k--+-k*
 1    1(A3 )
 A--
   1* ( A3)
  A--
   1
= |   |
||A3-||
|A1 |2 = ----(-------(-----∘8E-(E---V0)--))---------------
V 2  1 - cos 2 √2-- m (E - V  )a   + 8E (E -  V )
 0                           0 ℏ               0 (5.36)
Die Transmissions- und Reflexionskoeffizienten sind also gleich wie bei einer Barriere, sofern E > V 0 ist. Eine kurze Kontrolle zeigt, dass R + T = 1 ist, wir also keine Teilchen verlieren. Sowohl die Reflexion wie auch die Transmission oszillieren mit der Breite der Barriere a. Die Gleichungen können noch vereinfacht werden:
R = --------(∘----4E-(V0---E))-------------- + 1
    V02 sin2    2m (E -  V0)aℏ  + 4E (E -  V0)
(5.37)

und

     |   |2
T =  ||A3-|| = --------(∘----4E-(E----V0))--------------
     |A1 |   V 2 sin2    2m (E -  V )a  + 4E (E  - V )
               0                  0 ℏ              0
(5.38)

PIC

Transmission über einen Potentialtopf.

Abbildung 5.10.3.1 zeigt den Transmissionskoeffizienten und den Reflexionskoeffizienten als Funktion der Energiedifferenz von E zu V 0.

5.10.3.2. Potentialtopf, E < V 0

Die Energie des Teilchens E kleiner ist als die potentielle Energie der Wände E < V 0 kann die Schrödingergleichung mit dem allgemeinen Ansatz

            ik1x    ′ -ik1x
ϕ1(x) = A1e    +  A1e
ϕ2(x) = A2eik2x + A′2e-ik2x
            ik3x    ′ -ik3x
ϕ3(x) = A3e    +  A3e
(5.39)

gelöst werden. Hier ist k1 = k3. Für x = 0 und x = a sind die Randbedingungen

 ϕ (x )|    = ϕ  (x)|
   1  |x=0     2   x=|0
∂ϕ1(x)||       ∂ϕ2(x)||
  ∂x  ||    =    ∂x  ||
       x=0           x=0
(5.40)

sowie

 ϕ2(x )||x=a = ϕ3 (x)|x=|a
∂ϕ2(x)||       ∂ϕ3(x)||
------||    =  ------||
  ∂x   x=a      ∂x   x=a
(5.41)

Von links und rechts kommen keine Wellen, also ist A1 = A3 = 0. A2 oder A2 können frei gewählt werden. Wir lassen A2 als freien Parameter. Dann ist bei x = 0

      ′          ′
    A 1 = A2 + A 2
- k1A ′=  k2(A2  - A ′)
      1             2
(5.42)

und bei x = a

        ik2a    ′ -ik2a      ik1a
    A2e    + A 2e     = A3e
k2(A2eik2a - A′2e-ik2a) = k1A3eik1a
(5.43)

Beide Gleichungssysteme können gelöst werden und ergeben eine Beziehung zwischen A1, A2 als Funktion von A2 beziehungsweise für A3 und A2 als Funktion von A2.

A1 = --2k2--
k2 - k1A2 A2 = k2-+-k1
k2 - k1A2 (5.44a)
A3 =   2k2
-------
k2 + k1 A2 = k2 - k1
-------
k2 + k1e2ik2aA 2 (5.44b)

Die beiden Lösungen für A2 müssen identisch sein, das heisst die Gleichung

( k +  k )2
  -2----1   = exp (2ik2a)
  k2 - k1
(5.45)

muss gelten. Da k2(E) und k1(E,V 0) beides Funktionen von E sind, ist Gleichung (5.45) eine Bestimmungsgleichung für die erlaubten Werte von E. Mit k2 = √-----
 2mE und k1 = i∘ ------------
  2m (V  - E )
       0(da E < V 0 ist) wird Gleichung (5.45)

( √E--+ i√V-----E-)2        ( √ -----   )
 -√-------√--0----   =  exp  i  8mEa  ∕ℏ
    E - i  V0 - E
(5.46)

Gleichung (5.46) ist nicht analytisch lösbar. Bei den Lösungen muss sowohl der Realteil gleich sein wie auch der Imaginaärteil. Diese sind

8E2 -  8EV0 +  V2
---------2------0-
       V 0 = cos (√ -----a )
   8mE  --
         ℏ (5.47a)
            ∘ -----------
4 (2E  - V0)   E (V0 - E)
-------------2-----------
           V0 = sin ( √ -----a )
    8mE  --
         ℏ (5.47b)

Addiert man die quadrierte Gleichung (5.47a) zur quadrierten Gleichung 5.47b, so erhält man 1 = 1. Es reicht also die numerische Lösung von Gleichung (5.47a) zu bestimmen. Mit E∕V 0 = x2 und κ(V 0,a) = ( √ ----)
    8m ℏ(√ --- )
   V0a wird Gleichung (5.47a)

  4     2
8x -  8x +  1 = cos(κx )
(5.48)

Die linke Seite der Gleichung ist invariant. x hat den Wertebereich [0, 1]. Die rechte Seite hängt von a√ ---
  V0 ab.

PIC

Darstellung von 8x4 - 8x2 + 1 gegen cos(κx) in Abhängigkeit von κ

Abbildung 5.10.3.2 zeigt die linke und die rechte Seite der Gleichung 5.48. Die Schnittpunkte mit der roten Linie sind die Lösungen xi. Wenn κ zunimmt, gibt es mehr gebundene Lösungen. Ein zunehmendes κ bedeutet, dass entweder die Potentialtiefe V 0 zugenommen hat, oder aber die Breite des Topfes a.

PIC

Nullstellen von 8x4 - 8x2 + 1 - cos(κx) = 0 in Abhängigkeit von κ

Abbildung 5.10.3.2 zeigt einen vergrösserten Ausschnitt zur Bestimmung der Nullstellen der Gleichung 5.48.

PIC

Relative Energieniveaus des Potentialtopfs als Funktion der Topfbreite a.

Abbildung 5.10.3.2 zeigt die Energieniveaus bei konstantem V 0 als Funktion der Topfbreite a. Bei kleinem a existieren nur zwei Niveaus, E0 = 0 und E1 V 0. Wenn a zunimmt, gibt es mehr Niveaus. Bei a = 4 a.u. sieht man, dass sich zwei Energieniveaus kreuzen. Bei einer vollen Betrachtung würde an dieser Stelle sich eine Bandlücke öffnen.

PIC

Energieniveaus des Potentialtopfs als Funktion der Wandhöhe V 0.

Abbildung 5.10.3.2 zeigt die Energieniveaus bei konstantem a als Funktion der Wandhöhe V 0. Bei kleinem V 0 existieren nur zwei Niveaus, E0 = 0 (hier nicht angezeigt) und E1 V 0. Wenn V 0 zunimmt, gibt es mehr Niveaus. Die erste Kreuzung von energieniveaus sieht man bei V 0 = 16 a.u.

5.10.4  Potentialtopf mit unendlich hohen Wänden: entartete Zustände

PIC

2D unendlicher Potentialkasten.

Die Energieeigenwerte eines zweidimensionalenPotentialtopfs sind ähnlich quantisiert wie in dem Fall eines eindimensionalen Potentialtopfs mit unendlich hohen Wänden (Siehe Abschnitt 5.7). Wenn der Topf die Dimensionen a und b hat (siehe Abbildung 5.10.4) sind die Energieeigenwerte

          2  2(  2   n2 )
Enx,ny = ℏ-π--  nx-+ --y       nx, ny ∈ ℕ ∪ {0}
          2m    a2    b2
(5.49)

Die Eigenfunktionen lauten

               (      )    (     )
ϕ (x, y) = C sin  n  πx-  sin  n π y-
                  x a        y  b
(5.50)

Wenn a∕b oder b∕a ganzzahlig sind, treten unterschiedliche Eigenfunktionen mit dem gleichen Energieeigenwert auf. Man sagt, die Eigenwerte seien entartet. Wenn zum Beispiel a∕b = 1 ist, dann sind die Energien zu den Eigenwerten (nx,ny) = (7, 1) und (nx,ny) = (5, 5) gleich.

                 ℏ2π2
E7,1 = E5,5 = 50------
                2ma2
(5.51)

Beim eindimensionalen Potentialtopf mit endlichen Wandhöhen treten für gewisse Kombinationen von Topfbreiten a und Topfhöhen V 0 Kreuzungen von Niveaus auf. Dies führt wie gezeigt auch zu einer Entartung. Beim zweidimensionalen Potentialtopf mit endlich hohen Wänden tritt der gleiche Effekt auch auf.

6  Atome und ihr Aufbau

6.1  Bohr-Sommerfeld-Modell des Atoms

PIC Versuch zur Vorlesung: Balmer-Serie (Versuchskarte AT-35)

Johann Jakob Balmer entdeckte 1885 im Spektrum der Sonne eine Serie von Absorptionslinien, die bei den Wellenlängen

H α  =   656.28 nm
H β  =   486.13 nm
 H   =   434.05 nm
  γ
 H δ =   410.17 nm
lagen. Balmer, Johann Jakob, 1885 schloss aus der Beobachtung, dass die Wellenlänge einer seiner Absorptionslinien durch
        2
λ = --n-1--·G       n =  3,4,...
    n21 - 4          1
(6.1)

gegeben sei, mit G = 364.5 nm.

Wenn wir Gleichung (6.1) mit spektroskopischen Wellenzahlen ˜ν = λ1 ausdrücken, erhalten wir

    1    (     4 )  1   ( 1    1 ) 4    ( 1    1)
˜ν = -- =  1 -  -2- -- =   --- --2  -- =   --  -2- R ℍ
    λ          n1  G      4   n 1  G      4   n1
(6.2)

Die Grösse R = 4∕G = 1.09739·107 m-1 ist die Rydbergkonstante für Wasserstoff. Gleichung (6.1) oder Gleichung (6.2) können so umgeschrieben werden, dass die Frequenz ν und nicht die Wellenlänge λ berechnet wird. Mit ν·λ = c oder ν = cν˜ erhalten wir

         (       )
    c-     1-  -1-   4c-
ν = λ =    4 - n2  · G
                1
(6.3)

Die Zahl 4 ermuntert, sie als n22 zu schreiben mit n 2 = 2. Also erhalten wir

ν = (         )
  1--  -1-
  n2 - n2
   2    1·R (6.4a)
˜ν = (         )
  1--- -1-
  n22   n21·R (6.4b)

mit n2 < n1. Zwischen der Rydbergkonstante R für Wellenlängen und der Rydbergkonstante R für Wellenzahlen gibt es die Beziehung

R′ℍ =  cRℍ
(6.5)

Die theoretischen und gemessenen Werte von R und R sind

        R ′ℍ  =  4Gc =  3.291·1015 Hz
                                      7  -1
RH,(gemessen)       =  1.097095531 ·10  m
        R ∞        ==   (1.0973731568539  ± 5.5·10 - 5)·107  m -1  (unendlich schwere Kerne )

Mit RX bezeichnet man die Rydbergkonstante für die Atomsorte X. R ist die Rydbergkonstante für unendlich schwere Atome.

Setzt man in Gleichung (6.4a) oder Gleichung (6.4b) n2 = 2 so erhält man wieder die Balmer-Serie. Die kürzeste durch Gleichung (6.4a) vorhergesagte Wellenlänge einer Absorptionslinie liegt bei der Seriengrenze bei λ = 91 nm. Neben der Balmer-Serie existieren die kürzerwellige Lyman-Serie (n2 = 1) sowie die längerwelligen Paschen-Serie (n2 = 3), Brackett-Serie (n2 = 4) und Pfund-Serie (n2 = 5).

PIC

Wellenlängen der Lyman-, Balmer, Johann Jakob, 1885- und Paschen-Serien im Wasserstoffspektrum.

Abbildung 6.1 zeigt die Lage der Lyman-, Balmer- und Paschen-Serien im Wasserstoffspektrum. Bei Gasentladungslampen können diese Linien als Emissionslinien beobachtet werden. Da die Temperatur der Sonne so hoch ist, dass ihr Emissionsmaximum als thermischer Strahler im Grünen liegt, werden die Emissionslinien überstrahlt. Emission ist aber immer mit Absorption verbunden, so dass auf der Sonne die Absorptionslinien gemessen werden können.

Die Differenzfrequenz zweier Linien aus einer der Serien ist wieder eine beobachtete Linie im Absorptionsspektrum. Die kann man aus

( 1    1 )    ( 1    1 )     1    1
 --2-  -2- -   --2-  -2- =  -2-- --2
 n 2   n1      n 2   n3     n3   n 2
(6.6)

ersehen. Aus der Existenz der Wasserstofflinien folgt, dass Elektronen im Wasserstoffatom nur diskrete Energien einnehmen können, die sogenannten diskreten Energieniveaus.

6.1.1  Bohrsches Atommodell

Um die optisch-spektroskopischen Eigenschaften von Atomen zu erklären, nahm Niels Bohr an, dass sich Elektronen auf Kreisbahnen wie bei Kopernikus bewegten. Arnold Sommerfeld erweiterte dieses Modell, indem er Kepler-Bahnen annahm. Er konnte damit auch Drehimpulsphänomene erklären.

Elektronen, die sich nach Bohr auf kreisförmigen Planetenbahnen bewegen, werden durch die Coulombkraft auf der Bahn gehalten. Die Zentripetalkraft ist das Gleiche wie die Coulombkraft. Die Zentripetalkraft gibt die notwendige Stärke einer Kraft an, die ein Teilchen auf einer Bahn mit gegebenem Krümmungsradius hält.

   2
--e----= mer ω2
4πϵ0r2
(6.7)

Über kinetische und potentielle Energien können die folgenden Aussagen getroffen werden:

   E  =   Ekin + Epot
            ∫r(     2  )           2
E     =   -     --- e--  dr′ = - -e----
  pot           4πϵ0r′2          4πϵ0r
            ∞                         2
                        1-   2  2  --e---
   E  =   Ekin + Epot = 2mer  ω  - 4 πϵ0r               (6.8)

E ist die Gesamtenergie. Sie ist für gebundene Zustände kleiner null. Aus Gleichung (6.7) folgt

    2 2   --e2--
mer ω   = 4π ϵr
             0
(6.9)

und damit für die Energie

         2        2          2
E =  1--e----- --e---=  - --e---
     2 4πϵ0r   4π ϵ0r     8πϵ0r
(6.10)

Andererseits folgt auch aus Gleichung (6.7) auch das dritte Keplergesetz

 3       e2
r  = 4-πϵ-m--ω2
         0  e
(6.11)

Aus Gleichung (6.11) erhalten wir für den inversen Bahnradius

     ∘ ----------            1  2
1-   3 4π-ϵ0me-ω2-   (4πϵ0me-)3 ω-3
r =        e2    =         23
                         e
(6.12)

und für die Energie

                     1  2       4  2  1     ∘ --------
       -e2--(4πϵ0me-)3 ω-3    -e3ω-3m-3e-    3 e4ω2me--
E  = - 8πϵ0      e23       = -     2  2 23 =    27π2 ϵ2
                              2·4 3π 3ϵ0            0
(6.13)

Aus dieser klassischen Rechnung haben wir eine Beziehung für den Bahnradius und die Energie als Funktion der Kreisfrequenz der Anregung bekommen. Diese Klassische Rechnung hat die folgenden Probleme:

Niels Bohr postulierte in seinen Arbeiten zur Quantentheorie [Boh13Boh15Boh18Boh20] von 1913 an, dass

Der Energieunterschied zwischen zwei Bahnen bei unendlich schwerem Kern kann mit der Balmerformel und der Rydbergkonstante ausgedrückt werden:

                    (  1    1 )
En1 - En2  = hν =  h  -2-- --2  R ′∞
                      n2   n 1
(6.14)

Aus Gleichung (6.14) folgt

        h·R  ′      h·c ·R ∞
En  = - ---2-∞-=  - -----2----
          n            n
(6.15)

Nach Niels Bohr ist die Umlauffrequenz gleich der emittierten Frequenz. Sommerfeld ergänzte die Theorie, indem er elliptische Bahnen einführte. So konnte er auch Bahndrehimpulseffekte beschreiben. Wenn die Quantenmechanik eine übergreifende Theorie sein soll, dann muss sie als Grenzfall die klassische Theorie beinhalten. Diese Aussage wird das Korrespondenzprinzip genannt.

Korrespondenzprinzip: Im Grenzfall grosser Energien und kleiner Energiedifferenzen muss die Quantenmechanik (und jede moderne Theorie) in die klassische Mechanik übergehen.

Die Bohr-Sommerfeldtheorie war unbefriedigend, da sie durch klassische Physik mit einigen ad-hoc Annahmen quantenmechanische Phänomene beschreiben wollte.

6.1.1.1. Anwendung der Bohrschen Theorie

Wir betrachten zwei Zustände n1 » 1 und n2 = n1 + τ mit τ . Wir betrachten also benachbarte Bahnen und nehmen an, dass der Kern unendlich schwer sei. Mit der Rydberggleichung erhalten wir

ν = c·R(         )
  1--- -1-
  n21   n22 = c·R(               )
  1--- ----1----
  n21   (n1 + τ)2
= c·R(          2          2     )
  -(n1-+-τ)---- -----n1-----
  n21(n1 + τ)2   n21(n1 + τ)2 = c·R(   2           2     2)
  (n1-+-2n1τ-+-τ-)---n1-
       n21(n1 + τ)2
= c·R(  2n τ + τ2 )
  ---1------2-
  n21(n1 + τ) c·R( 2τ)
  ---
  n31  für τ « n1
= 2c·R ∞
---3----
  n1(n2 - n1 ) (6.16)

Bei benachbarten Bahnen (τ = 1), hohen Energien (n1 » 1) und sehr schweren Kernen erhalten wir für die Frequenz des absorbierten oder emittierten Lichtes

    2R-∞c-   2R-′∞-   -ω-
ν =   n3  =   n3  =  2π
       1        1
(6.17)

Mit Gleichung (6.17) kann Gleichung (6.13) umgeschrieben werden

              ∘ --------   ┌│ ------------------
     R ∞hc     3 e4ω2me    │∘3 e4me  ( 4πR ∞c )2
E  = --n2-- =    27π2ϵ2--=    27π2ϵ2- --n3---
                      0            0
(6.18)

Die folgende Umrechnung führt zu einer Gleichung mit der Elektronenmasse (Achtung! die Definition der Rydbergkonstante R -∞ beinhaltet die Elektronenmasse, nicht die reduzierte Elektronenmasse (Zweikörperproblem!) und der Elektronenladung

R3 h3c3
-∞--6---
  n =  e4me
--7-2-2
2 π  ϵ0·24π2R2 c2
-----6∞---
   n = e4meR2   c2
---32-∞6---
  2 ϵ0n
R·h3·c = e4me-
 23ϵ2
    0
R =   4
-e-me--
8 ϵ20h3c (6.19)

Aus den Abständen der Wasserstofflinien in Rydbergzuständen (ni » 1) kann man R bestimmen und daraus mit Gleichung (6.19) h, e oder μe, die reduzierte Masse, und daraus die Elektronenmasse me berechnen, wenn die Protonenmasse mP und die relativistischen Massendefekte bekannt sind.

Aus der Energie Gleichung (6.10) und der Definition der Rydbergkonstante R aus Gleichung (6.19) erhalten wir mit

Etot,n = ---e2---
8πϵ0rn = -hc˜νn = -hcR-∞-
  n2 = -hc-
n2e4me---
8ϵ2h3c
  0
-1--
πrn = -1-
n2 2
e-me-
ϵ0h2

Damit wird der Radius der n-ten Bahn bei unendlich schweren Kernen

      2   h2ϵ0
rn = n · ---2---
         πe me
(6.20)

n wird die Hauptquantenzahl genannt. Die Hauptquantenzahl ist mit dem Radius Bahn und ihrer Energie verknüpft. Genaue Messungen zeigten schon Anfang des 20. Jahrhunderts, dass Abweichungen existieren, dass die physikalische Beschreibung der Absorption und der Emission von Licht durch das Wasserstoffatom nach Balmer, Johann Jakob, 1885 und Rydberg noch nicht vollständig war.

6.1.1.2. Bahndrehimpuls

Die Spektren können präziser beschrieben werden, wenn nach Sommerfeld auch der Bahndrehimpuls berücksichtigt wird. Der Bahndrehimpuls ist

ℓ = ν × p
(6.21)

Bei Kreisbahnen stehen rn und v senkrecht aufeinander. Gleichung (6.21) kann deshalb mit Gleichung (6.19) umgeschrieben werden

|ℓ| = mevnrn = meωnrn2
= me2R-∞c-·2-π
    n3·(        )
  n2h2ϵ0-
  πe2m
       e2 = 4πmemee4c--
 8ϵ2h3cn3
   0·n4h4-ϵ20-
π2e4m2
      e
= -h-
2 πn = n

Also sollte bei Kreisbahnen

|ℓ | = nℏ
(6.22)

sein. Dies ist jedoch nicht der Fall, da wir mit dem theoretischen Wert der spektralen Grösse R gerechnet hatten und nicht mit der atommassenabhängigen Rydbergkonstante. Effektiv zählt nur die reduzierte Masse, und diese hängt von der Ordnungszahl des Atoms und dem Ladungszustand ab. Die reduzierte Masse ist

      meM
μ =  m--+-M--
       e
(6.23)

wobei me die Elektronenmasse und M die Masse des Kerns plus aller weiterer Elektronen ist.

Das heisst, dass die gemessene Rydbergkonstante R ungleich der vorher in Gleichung (6.19) berechneten Rydbergkonstante R ist. Aus R =  4
e8ϵ2mhe3c
 0 bekommen wir

R =   e4μ
--2-3--
8ϵ0h c = R· μ
---
me
= R·---M----
me  + M = R·---1---
1 +  me-
     M (6.24)

Nun ist die Masse eines Elektrons me = 9.1·10-31 kg, die eines Protons mp = 1.67·10-27 kg. Das heisst, dass für ein Wasserstoffatom die relative Änderung der Rydbergkonstante

            (        )
ΔR--ℍ-= 1 -   ---1---  = ---me---
 R ∞          1 + mMe-    me  + M
(6.25)

Wir erhalten

ΔR ℍ
------
R ∞ =    me
---------
me  + mp = 5.44321·10-4 Wasserstoffatom
ΔR-1ℍ-
 R ∞ = ------me-------
me  + mp +  mn = 2.72047·10-4 Deuterium
ΔR-1ℍ-
 R ∞ = -------me-------
me  + mp +  2mn = 1.81339·10-4 Tritium
ΔR   +
---ℍ---
 R ∞ =        m
---------e------
me  + 2mp +  mn = 1.81423·10-4 einfach geladenes Helium-3
ΔR-ℍ+--
 R
   ∞ = -------me--------
m   + 2m  +  2m
  e      p      n = 1.36042·10-4 einfach geladenes Helium-4
ΔR-L++--
  R∞ = -------me--------
me  + 3mp +  4mn = 0.777352·10-4 zweifach geladenes Lithium-7
ΔR   +
---B--++-
  R ∞ =        m
---------e-------
me  + 4mp +  5mn = 0.60463·10-4 dreifach geladenes Berillium-9
ΔR μ
R----
  ∞ =    me
m---+-m--
  e     μ = 48.1305·10-4 Muonium

Diesen aus der Tabelle ersichtlichen Effekt nennt man den Isotopeneffekt. Man sieht, dass zwischen 3 1H und 3 2He optisch spektroskopisch unterschieden werden kann. Der Unterschied ist zwar auf der 7. Stelle nach dem Komma, aber immer noch gross gegen die bis zu 14 Stellen Genauigkeit der optischen Spektroskopie. Zum Vergleich ist noch das Muonium gezeigt, ein wasserstoffähnliches Gebilde, bei dem das Proton durch ein Elektron ersetzt wurde.

Dieser spektroskopische Unterschied besteht auch zwischen 92 235U und 92 238U . Bei 92 235U wäre ΔR(       )
 29235U 91+R = 2.31557·10-6, bei 92 238U wäre
ΔR(       )
 92328U 91+R = 2.28637·10-6. Diese Unterschiede in den Absorptionswellenlängen durch den Isotopeneffekt werden in einem neuartigen Verfahren zur Isotropentrennung (SILEX) verwendet (siehe Mitteilung der DPG http://www.dpg-physik.de/veroeffentlichung/ physik_konkret/quellen_physik-konkret_mar12.html). Dieses Verfahren ist ein Hochrisikoverfahren, weil die notwendigen Apparaturen im Keller eines Einfamilienhauses Platz haben. So kann die Urananreicherung nicht mehr kontrolliert werden.

6.2  Franck–Hertz Versuch

PIC Versuch zur Vorlesung: Franck-Hertz-Versuch (Versuchskarte AT-7)

Gegen Ende des 19. Jahrhunderts wurde festgestellt, dass beschleunigte Elektronen verdünnte Gase zum Leuchten bringen. Glimmlampen verwenden diesen Effekt. Philip Lenard, ein ungarischstämmiger Physiker, der sich später der Nazi-Ideologie näherte, beschrieb 1902 eine Versuchsanordnung (siehe Abbildung 6.2), mit der der Effekt quantitativ untersucht werden konnte.

PIC  PIC

Ionisierung eines Gases. Links ist der Versuchsaufbau, rechts die Kennlinie.

Elektronen werden durch die Beschleunigungsspannung UG von der Kathode zum Gitter beschleunigt. Durch die Gitterspannung UG werden Elektronen beschleunigt. Die schnellen Elektronen verfehlen meistens das Gitter und dringen in den Raum zwischen dem Gitter und der negativ polarisierten Elektrode ein. Dort werden sie abgebremst und zum Gitter zurück beschleunigt. Abbildung 6.2 zeigt die Energieverhältnisse. Wenn die ortsabhängige kinetische Energie der Elektronen den Wert eUi übersteigt, können die Elektronen die Gasmoleküle ionisieren. Die positiven Ionen werden durch die negative Spannung UA zur Anode beschleunigt. Wenn |UA | > |UG | ist, werden die Ionen angezogen die Elektronen abgestossen. Die Kennlinie zeigt, dass es für die Ionisation eine Schwelle eUi gibt, die von der Atom- oder Molekülsorte abhängt.

PIC

Energieverhältnisse beim Ionisierungs-Versuch. Die Energiekurven in Schwarz sind für Elektronen gezeichnet. Rot sind die Energieverhältnisse für positive Ionen angegeben.

Beim Versuch von Franck und Hertz aus dem Jahre 1913 ([FH14]) wird der nach der Ionisation übrigbleibende Strom zwischen Gitter und Anode gemessen.

PIC

Aufbau des Franck-Hertz-Versuches

Abbildung 6.2 zeigt den Aufbau des Franck-Hertz-Versuches. Im Unterschied zum Lennard-Versuch ist die Anodenspannung gegen das Gitter geschaltet. Mit dieser negativen Spannung kann der Elektronenstrom als Funktion der Bremsspannung gemessen werden.

PIC

Energieverhältnisse beim Franck-Hertz-Versuch. Die negative Anodenspannung UA hält niederenergetische Elektronen von der Anode fern.

PIC

Resultat des Franck-Hertz-Versuches mit Quecksilber.

Abbildung 6.2 zeigt die Potentialverhältnisse. Abbildung 6.2 zeigt eine von Herrn Reiner Keller mit dem Vorlesungsversuch. Die Minima (oder Maxima) sind 4.88 eV = hc∕253.7 nm entfernt. Dies ist die Ionisierungsenergie von . Immer wenn die kinetische Energie der Elektronen die Ionisierungsenergie überschreitet, können die Elektronen durch Stösse die Atome im Gas ionisieren. Die kinetische Energie der Elektronen sinkt um den Betrag der Ionisierungsenergie. Werden die Elektronen weiter beschleunigt, kann ihre Energie ein weiteres Mal die Ionisierungsenergie überschreiten. Durch Stösse verlieren die Elektronen kinetische Energie. Dieser bei genügender Beschleunigungsspannung mehrmals auftretende Effekt führt zu der in der Abbildung 6.2 gezeigten Kurvenform.

PIC

Resultat des Franck-Hertz-Versuches. Die schwarze Linie zeigt den Strom, den man mit einer Absorptionslinie und einer wohldefinierten Elektronenenergie erhalten würde. Die rote gestrichelte Linie berücksichtigt den Effekt der verschmierten Elektronenenergie.

Die theoretisch erwartete Kurvenform ist in Abbildung 6.2 als Sägezahnkurve schwarz gezeichnet. Die Kurve wäre korrekt, wenn die Elektronen für eine bestimmte Beschleunigungsspannung nur eine scharf definierte kinetishce Energie hätten.

PIC

Die Elektronenverteilung bei der Emission ist durch das Produkt der Fermi-Verteilung und der Tunnelwahrscheinlichkeit gegeben.

Wie Abbildung 6.2 zeigt, ist die kinetische Energie der aus einem Metall austretenden über einen Energiebereich von 100 meV bis etwa 300 meV verteilt. Diese Verschmierung macht in Abbildung 6.2 aus der schwarzen Kurve die rote gestrichelte Kurve.

Die erneute Beschleunigung der Elektronen nach einem Stoss bewirkt eine Verzerrung der Kurvenform. Es wäre besser, wenn die Stösse im feldfreien Raume vonstatten gingen.

PIC

Verbesserter Aufbau des Franck-Hertz-Versuches

Abbildung 6.2 zeigt eine bessere Anordnung. Die beiden Gitter auf gleichem Potential erzeugen den benötigten feldfreien Raum. Bei dieser Anordnung ist es möglich, wie in der Skizze in Abbildung 6.2 gezeigt, mehrere Energieniveaus zu detektieren. Grössere Spannungen bedeuten dabei einen grösseren energetischen Abstand des Niveaus zum Vakuumniveau.

PIC

Ergebnis der genaueren Messung (Skizze)

6.2.1  Sommerfeld-Bohrsche Theorie

Arnold Sommerfeld wollte mit einer Erweiterung seiner Theorie im Jahre 1915 die Drehimpuls- und damit die Magnetfeldabhängigkeit der Spektrallinien erklären [Som16aSom16b]. Sommerfeld nahm an, dass die Bahnen Ellipsen seien. Dies führt auf weitere Quantenzahlen, die sogenannten Nebenquantenzahlen. Eine elliptische Bahn kann als eine Bahn mit zwei Freiheitsgraden aufgefasst werden. Diese müssen durch zwei Quantenzahlen beschrieben werden, wobei die erste durch die Bohrsche Bedingung und die zweite durch

      ∘ --------
|ℓ| =   ℓ(ℓ + 1)ℏ
(6.1)

gegeben ist. Wenn in Gleichung (6.1) = 0 gesetzt wird, sollte das Bohrsche Resultat entstehen. ist die Bahndrehimpulsquantenzahl, ℓ ist der Bahndrehimpuls. Seine Einheit ist [ℓ] = m·(ms-1)·kg = Js.

Auch wenn wir heute wissen, dass Elektronen sich nicht auf einer Planetenbahn bewegen, ist es doch instruktiv, die Geschwindigkeit auszurechnen. Nach Gleichung (6.10) ist die kinetische Energie einer Bahn mit dem Radius r betragsmässig gleich der Gesamtenergie

         e2
Ekin =  ------
        8πϵ0r

Für eine Bahn mit einem Radius von 0.5 nm ist die kinetische Energie

       1
Ekin = --mev2 =  2.30 ·10 -18 J
       2

und damit die Geschwindigkeit

v = 2.2·106  ms- 1

Die Geschwindigkeit ist im Prozentbereich der Lichtgeschwindigkeit, die relativistische Massenzunahme ist 2.82·10-5. Wenn nun relativistische Teilchen sich auf einer Ellipsenbahn bewegen, ist die Massenzunahme zeitabhängig. Die Bahnen sind nur noch angenähert Ellipsenbahnen, ihr Perihel dreht sich. Aus den Sommerfeldschen Berechnungen (klassisch mit Quantenbedingungen) folgte die Sommerfeldsche Feinstrukturkonstante.

α = Geschwindigkeit des Elektrons auf 1.Bohrschen Bahn
-----------------------------------------------------
                         c
α =   2
-e----
2ϵ0hc = -1--
137 (6.2)

Nach Sommerfeld sind die Korrekturen der beobachteten Energieniveaus

                2 [      2 2 (          )     ]
E    = - R  hc Z-- 1 + α-Z--  --n-- - 3-  + ...
  n,k       ℍ   n2        n    ℓ + 1   4
(6.3)

Die Korrektur ist von der Grössenordnung 10-5, also spektroskopisch sehr gut messbar. Bei sehr hohen Energien kommt das Korrespondenzprinzip zum Tragen, dass jede nicht-klassische Theorie im Grenzfall hoher Energien und kleiner Energie-Änderungen in die klassische Theorie übergehen muss. Eine solche Realisation sind Rydberg-Atome.

6.3  Das Wasserstoffatom

Als Literatur ist für dieses Kapitel insbesondere die Werke von Haken und Wolf[HW04], von Arfken und Weber[AW95] und das Internetskript von Komma[Kom96] zu empfehlen. In diesem Abschnitt wird die quantenmechanische Formulierung des Drehimpulses und seiner Anwendungen abgeleitet.

6.3.1  Drehimpulsoperatoren

Klassisch ist der Bahndrehimpuls durch

ℓ = r × p
(6.1)

gegeben. In Komponenten geschrieben ist er

( ℓ )
|  x|
|| ℓy||
( ℓz) = ( x)
|  |
|| y||
( z) ×( p )
|  x|
|| py||
( pz) = ( yp  - zp  )
|    z    y |
|| zpx - xpz ||
( xpy - ypx ) (6.2)

Wir ersetzen nun die Impulskomponenten durch die Operatoren

px ℏ
--
i ∂
---
∂x py ℏ
--
i ∂
---
∂y pz ℏ
--
i  ∂
  ---
  ∂z

und erhalten für die Drehimpulsoperatoren

^ℓ x = ℏ
--
i(           )
   ∂      ∂
 y ---- z---
   ∂z    ∂y (6.3)
^
ℓ y = ℏ-
i(           )
   ∂--    ∂--
 z ∂x - x ∂z (6.4)
^
ℓ z = ℏ-
i(           )
   ∂--    ∂--
 x ∂y - y ∂x (6.5)

Das Quadrat des Drehimpulses ist

^ℓ 2 = ^ℓ x2 + ^ℓ y2 + ^ℓ z2
= 2{    (  ∂2    ∂2 )         ∂2          ∂2       ∂
 - x2  ----+  ---- +  2xy------+ 2zx ------+ 2x ---
       ∂z2    ∂y2        ∂x ∂y       ∂x ∂z      ∂x
- y2(  ∂2    ∂2 )
  ---2 + --2-
  ∂z     ∂x + 2yz  ∂2
-----
∂y ∂z + 2y∂
---
∂y    (  ∂2    ∂2 )       ∂ }
- z2  ---2 + --2- +  2z---
      ∂y     ∂x        ∂z (6.6)

Für Vertauschungsrelationen zwischen den Operatoren Ω(1) und Ω(2) schreiben wir

[         ]
 Ω (1),Ω(2) = Ω (1)Ω (2) - Ω(2)Ω(1)
(6.7)

Eine Möglichkeit diese Operatoren in Maple V zu definieren zeigt qm-defs.mw.

Wir erhalten nun die Vertauschungsrelationen

[^  ^ ]
 ℓx,ℓy = i^
ℓ z (6.8a)
[     ]
 ^ℓ , ^ℓ
  y  z = i^ℓ x (6.8b)
[     ]
 ^ℓz, ^ℓx = i^ℓ y (6.8c)
[     ]
 ℓ^2, ^ℓj = 0 für j ∈{x,y,z} (6.8d)

Das elektrostatische Potential des Wasserstoffatoms für ein Elektron ist kugelsymmetrisch. Wir verwenden deshalb Kugelkoordinaten.

PIC

Definition der Kugelkoordinaten.

Der Laplace-Operator in Kugelkoordinaten[BSMM00] ist

Δ = ∂2
--2-
∂r + 2
--
r∂
---
∂r +     1
--2---2-
r  sin  θ ∂2
---2
∂ ϕ +  1
-2
r∂2
--2-
∂θ +  1
-2
r cot 2θ ∂
---
∂ θ
= 1-
r2-∂-
∂r(      )
   2 ∂-
  r ∂r + ---1----
r2sin2θ-∂2-
∂ϕ2 + --1----
r2sinθ∂--
∂θ(       )
      ∂--
 sinθ ∂θ (6.9)

In Kugelkoordinaten lauten die Drehimpulsoperatoren

^ℓ x = -ℏ-
i(                       )
 sinϕ -∂-+ cot θcos ϕ-∂-
      ∂θ             ∂ϕ (6.10a)
^ℓ y = ℏ
--
i(      ∂              ∂ )
  cosϕ--- - cotθ sin ϕ---
      ∂ θ            ∂ ϕ (6.10b)
^ℓ z = ℏ-
i-∂-
∂ϕ (6.10c)
ℓ^2 = -2[        2            (       ) ]
  --1---∂--+  --1--∂-- sinθ ∂--
  sin2 θ∂ ϕ2   sin θ ∂θ       ∂θ (6.10d)

6.3.2  Schrödingergleichung

Die Schrödingergleichung für das Wasserstoffatom ist

[               ]
   -ℏ2-
 - 2m  Δ + V (r)  Ψ = E Ψ
      0
(6.11)

wobei V (r) ein allgemeines, kugelsymmetrisches Potential ist.

Mit der Schreibweise von ^2
ℓ in Kugelkoordinaten (Gleichung (6.10d) ) und Gleichung (6.9) ist auch

                       (     )
  -ℏ2-       -ℏ2--1 ∂--  2-∂-     --1---^2
- 2m  Δ  = - 2m  r2 ∂r  r ∂r   +  2m  r2ℓ
     0          0                    0
(6.12)

Wir beachten, dass Ableitungen nach einer Variablen ξ mit Funktionen vertauschen, die nicht von ξ abhängig sind und setzen

Ψ (r,ϕ,θ) = R (r )Y (θ,ϕ )
(6.13)

Die Schrödingergleichung des Wasserstoffatoms lautet dann

^HΨ(r,ϕ,θ) = H^R(r)Y (θ,ϕ)
= Y (θ,ϕ)[            (     )        ]
    ℏ2  1 ∂    2 ∂
 - -----2 --- r ---  + V (r)
   2m0 r  ∂r    ∂rR(r) +  R(r)
-----2
2m0r ^ℓ2Y (θ,ϕ)
= ER(r)Y (θ,ϕ) (6.14)

Da [     ]
 ℓ^2, ^ℓz = 0 ist, können die sowohl die Eigenwerte von ^ℓ2 wie auch von ^ℓ z gleichzeitig scharf gemessen werden. Mit anderen Worten, die resultierende Wellenfunktion kann als Produkt zweier Funktionen geschrieben werden.

Also erhält man die Gleichungen

^2
ℓY (θ,ϕ) = 2wY (θ,ϕ) (6.15a)
^ℓ zY (θ,ϕ) = mY (θ,ϕ) (6.15b)

m und w sind einheitenlose Zahlen, die noch bestimmt werden müssen. Eine Mapledatei zum Berechnen der Lösungen (Orbitale) ist hydrogen.mw. Das Original (für eine nicht aktuelle Maple-Version ist
http://www.chemie.uni-konstanz.de/agmetz/hydrogen.mws.

Unter der Annahme, dass ω bekannt ist, lautet die Gleichung für den Radialteil

[    2       (     )             2   ]
 - -ℏ---1 ∂-- r2-∂-  + V (r) + -ℏ-w--  R (r) = E ·R (r)
   2me r2 ∂r    ∂r             2mer2
(6.16)

wobei m0 zum Beispiel die Masse eines Elektrons ist. Prinzipiell könnte m0 aber auch die Masse jedes anderen passenden Elementarteilchens sein. Nach Arfken und Weber[AW95, 736] schreibt man

Y (θ,ϕ ) = Θ (θ)· Φ (ϕ)
(6.17)

Die Kugelflächenfunktion Y (θ,ϕ ) wird als Produkt einer nur vom Winkel zum „Nordpol“ abhängigen Funktion Θ(θ) und einer azimutalen Funktion Φ(ϕ). Aus Gleichung (6.15b) folgt

^ℓ zY (θ,ϕ) = ℏ
--
i∂
---
∂ϕY (θ,ϕ)
= mY (θ,ϕ) (6.18)
und
^ℓ z(          )
  ^ℓzY  (θ, ϕ) = -2  2
∂---
∂ϕ2Y (θ,ϕ)
= ^ℓ z(ℏmY  (θ,ϕ))
= m^ℓ zY (θ,ϕ)
= 2m2Y (θ,ϕ) (6.19)

Weiter bekommt man für den azimutalen Anteil der Wellenfunktion

-2 ∂2
---2
∂ϕΘ(θ) ·Φ(ϕ) = 2m2Θ(θ ) ·Φ(ϕ )
-∂2-
∂ϕ2Φ(ϕ) = -m2Φ(ϕ) für Θ(θ) 0 θ [0] (6.20)

Die Lösungen der Gleichung (6.20) sind

        (|  e-im ϕ
        {   im ϕ
Φ (ϕ) = |(  e
(6.21)

Dies sind orthogonale Funktionen, da

∫                      ∫2π
  Φ *m1 (ϕ)Φm2 (ϕ )dϕ =    eim1ϕeim2ϕd ϕ = 2πδm1,m2
                       0
(6.22)

Wenn der Raum um den Winkel ϕ = 2π gedreht wird, muss aus Symmetriegründen wieder eine zur ursprünglichen Funktion identische Observable Φ*Φ entstehen. Also muss

m (ϕ +  2π)  mod (2π ) = m ϕ  mod  (2 π)
(6.23)

sein. Die Funktion Modulo trägt der Tatsache Rechnung, dass die Winkelfunktionen 2π-periodisch sind. Gleichung (6.23) gilt dann, wenn m ganzzahlig ist. Die Observable ist dann auf dem Intervall [0,2π) eindeutig bestimmt.

Wenn die Transformationseigenschaft des Wellenfunktion so wäre, dass der Erwartungswert, also die Observable, bei einer Drehung um 2π das Vorzeichen wechselt, dann könnte m auch halbzahlig sein: Dies wäre dann eine Spinfunktion.

Wir kennen nun m. Um w und Θ(θ) zu bestimmen, subtrahieren wir Gleichung (6.15a) von Gleichung (6.15b)

^ℓ 2Y (θ,ϕ ) = 2wY (θ,ϕ ) = ( 2    2    2)
  ^ℓx + ^ℓy + ^ℓzY (θ,ϕ )
2m2Y (θ, ϕ) = ^
ℓ z2Y (θ,ϕ)

Für Y (θ,ϕ) = Θ(θ)Φ(ϕ) ergibt sich

  (        )           (      )
ℏ2 w  - m2  Y (θ,ϕ ) =  ^ℓ2x + ℓ^2y Y (θ,ϕ)
(6.24)

Es hat sich eingebürgert, die folgenden Bezeichnungen zu verwenden

Y (θ,ϕ ) → Yℓ,m
(6.25)

Um eine Beziehung zwischen w und m zu erhalten, multiplizieren wir von links mit Y *(θ,ϕ). Weiter schreiben wir anstelle von w w um klarzumachen, dass eine Abhängigkeit von besteht und dass w keine Kreisfrequenz ist.

    (        )
Y*ℓ,m  w ℓ - m2  Yℓ,m =  Y*ℓ,m ^ℓ2xY ℓ,m + Yℓ*,m^ℓ2yYl,m
(6.26)

Nach Haken, Wolf[HW04] ergibt das Integral über θ und ϕ, dass

wℓ - m2 ≥  0
(6.27)

sein muss.

6.3.2.1. Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren

Mit der Identität

a2 + b2 = (a + ib) (a - ib)
(6.28)

kann man die Operatoren

^ℓ + = ^ℓ x + i^ℓ y (6.29a)
^ℓ - = ^ℓ x - i^ℓ y (6.29b)

definieren. Es folgt

^ℓ+^ℓ- = ^ℓ2x + ^ℓ2y
(6.30)

und weiter

[    ]
 ^ℓ2ℓ^± = 0 (6.31a)
[    ]
 ^ℓzℓ^± = i[    ]
 ^ℓz^ℓx±[   ]
ℓ^z^ℓy = i^ℓ y ± i(      )
 - iℏ^ℓx = i^ℓ y ±^ℓ x = ±ℓ^ ±
[    ]
 ^ℓzℓ^± = ±^ℓ ± (6.31b)

Wir wenden ^ℓ ± auf ^ℓ2Y ,m an

^  (^2    )   ^  2
ℓ±  ℓ Yℓ,m  =  ℓ±ℏ ωY ℓ,m
(6.32)

ℓ^± und ^ℓ2 sind vertauschbar, also gilt

   (      )       (      )
ℓ^2  ^ℓ±Yℓ,m  = ℏ2ω  ^ℓ±Y ℓ,m
(6.33)

d.h. wenn Y ,m eine Eigenfunktion von ^ℓ2 ist, dann ist auch ^ℓ ±Y ,m eine Eigenfunktion von ^ℓ2. Aus der Azimutalgleichung (6.15b) erhalten wir

   (      )
^ℓ±  ^ℓzYℓ,m   = ^ℓ±ℏmY  ℓ,m
(6.34)

sowie aus Gleichung (6.31b)

[^   ^]
 ℓ±,ℓz = -[^ ^ ]
 ℓzℓ± = ^
ℓ ± = ^
ℓ ±^
ℓ z -^
ℓ z^
ℓ ±
^ℓ ±^ℓ z = ^ℓ z^ℓ ± ^ℓ ± (6.35)

Also ist

^ℓ±^ℓzYℓ,m  = ^ℓz^ℓ±Yℓ,m ∓ ℏ^ℓ±Y ℓ,m = ℏm^ℓ±Y ℓ,m
(6.36)

und

^ℓz^ℓ±Y ℓ,m = ± ℏ^ℓ±Y ℓ,m + ℏm^ℓ±Yl = ℏ (m ±  1) ^ℓ±Y ℓ,m
(6.37)

Damit ist auch ^ℓ ±Y ,m eine Eigenfunktion zur Azimutalgleichung, aber mit dem neuen Eigenwert

^ℓ±Y ℓ,m = K ·Y  ℓ,m±1
(6.38)

wobei K eine Normierungskonstante ist.

weiter gilt die folgende Beziehung

^ℓ ^ℓ ± = (        )
 ℓ^x ∓ i^ℓy(       )
 ^ℓx ± iℓ^y = ^ℓ x2 + ^ℓ y2 ± i^ℓ xℓ^ y i^ℓ y^ℓ x
= ^ℓ x2 + ^ℓ y2 ± i(           )
 ℓ^xℓ^y - ^ℓy^ℓx = ^ℓ x2 + ^ℓ y2 ± i(    )
 iℏ^ℓz
= ^
ℓ x2 + ^
ℓ y2 ^
ℓ z = ^
ℓ 2 -^
ℓ z2 ^
ℓ z
= ^ℓ 2 -^ℓ z(      )
 ^ℓz ± ℏ (6.39)

In einem Magnetfeld ist die Frequenzänderung der Übergänge in einem Atom proportional zu m (Zeemanneffekt, siehe Abschnitt 6.5.3). Da für ein endliches Magnetfeld diese Änderungen endlich sein müssen, fordern wir, dass es für m Minimal- und Maximalwerte geben muss. Dann gilt auch

 ^
ℓ +Y ℓ,mmax = 0 (6.40a)
ℓ^ -Y ℓ,mmin = 0 (6.40b)
ℓ^ -^ℓ +Y ℓ,mmax = 0 (6.40c)
= ^
ℓ 2Y ℓ,mmax -^
ℓ z(^     )
 ℓz + ℏY ℓ,mmax
= 2w Y ℓ,mmax -^ℓ z(ℏm    +  ℏ)
    max Y ℓ,mmax
= 2w Y ℓ,mmax -mmax(ℏmmax  + ℏ) Y ℓ,mmax
= 2(w  - m2   -  m    )
  ℓ     max     maxY ℓ,mmax

Da Y ℓ,mmax 0 ist, folgt

wℓ - m2max - mmax =  0
(6.41)

Aus

                    (                  )
^ℓ+ ^ℓ- Yℓ,mmin = 0 = ℏ2 w ℓ - m2min + mmin = 0
(6.42)

folgt weiter

       2
w ℓ - m min + mmin = 0
(6.43)

Löst man Gleichung (6.41) und Gleichung (6.43) beide w auf und setzt sie gleich, erhält man

w = mmax(mmax + 1 ) = mmin(mmin  - 1)
mmax2 - m min2 = -m min - mmax = (mmax -  mmin )  (mmax + mmin )
0 = (mmax  + mmin ) (mmax - mmin  + 1) (6.44)

Da mmax mmin ist, folgt mmax + mmin = 0. Wegen Gleichung (6.38) erhöht sich m bei jeder Anwendung von ^
ℓ + auf Y ℓ,m um den Wert eins. Deshalb muss mmax - mmin eine ganze Zahl sein. Dies geht nur, wenn

m     = ganze--Zahl ≥ 0
  max        2
(6.45)

mindestens halbzahlig ist.

Andererseits sahen wir, dass weil Φ*Φ eindeutig bestimmt sein muss auf dem Intervall [0,2 π), muss m ganzzahlig sein. Wir definieren: mmax = ∪{0}.

ℓ ≥ m ≥  - ℓ
(6.46)

mit

mmax(m     + 1)
  max = (ℓ + 1) = w (6.47a)
mmin(mmin -  1) = -(- ℓ - 1) = w (6.47b)

Damit haben wir die beiden Eigenwertgleichungen

^
ℓ 2Y ,m = 2l(ℓ + 1) Y ,m (6.48a)
^ℓ zY ,m = mY ,m (6.48b)

und

Y      = ^ℓ N Y
 ℓ,m+1     +    ℓ,m
(6.49)

mit der Normierung

      1          1
N  =  ℏ-∘---------------------
          (ℓ - m )(ℓ + m +  1)
(6.50)

Die Tatsache, dass auch halbzahlige eine Lösung sein könnten, wenn nur die Eindeutigkeitsbedingung für m erfüllt wäre, deutet darauf hin, dass es eventuell noch weitere Effekte geben könnte, Zum Beispiel ermöglicht das Elektron mit seinem halbzahligen Eigendrehimpuls diese zusätzlichen Lösungen.

Die bis jetzt in kartesischen Koordinaten definierten Drehimpulsoperatoren können auch durch die Differentialoperatoren in Kugelkoordinaten ausgedrückt werden.

^ℓ z = ℏ
--
i ∂
---
∂ ϕ (6.51a)
^ℓ x = -ℏ
--
 i(                       )
       ∂              ∂
  sin ϕ--- + cotθ cosϕ ---
      ∂ θ             ∂ϕ (6.51b)
^
ℓ y = ℏ-
i(                        )
       ∂--            ∂--
  cosϕ ∂θ - cot θsinϕ ∂ϕ (6.51c)

Wir wissen schon, dass Y ,m die Form

Y    = eimϕΘ    (θ)
 ℓ,m         ℓ,m
(6.52)

haben muss. Wir setzen nach Arfken und Weber [AW95]

                 ┌│ ---------------
Θ   (θ) = (- 1)m │∘ 2ℓ-+-1(ℓ---m-)!Pm (cos θ)
 ℓ,m                  4π  (ℓ + m )! l
(6.53)

Pm(x) ist eine zugeordnete Legendre-Funktion, die aus der Legendre-Funktion mit

  m       (     2)m∕2 dm
P ℓ (x ) =  1 - x      --m-Pℓ(x)
                      dx
(6.54)

berechnet werden kann. Die Definition der Legendre-Funktion lautet [AW95]

          ((ℓ-1)∕2          ℓ
          ||||  ∑   (- 1)k-ℓ-(2-2k)!---xℓ-2k  für ℓ ungerade
          ||{  k=0        2k!(ℓ-k)!(ℓ- 2k)!
Pell(x) =    ℓ∕∑2     k---(2ℓ--2k)!--- ℓ-2k
          ||||k=0(- 1) 2ℓk!(ℓ-k)!(ℓ-2k)!x         für ℓ gerade
          ||(
(6.55)

Weiter muss

^
ℓ -Y ℓ,- = 0 (6.56)
sein. Wir berechnen nun, welche Wirkung die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren ausüben. In sphärischen Koordinaten haben wir

ℓ^ ± = ^ℓ x ± i^ℓ y = -ℏ
--
 i(      ∂              ∂ )
  sin ϕ---+  cotθ cosϕ---
      ∂ θ            ∂ ϕ±(      ∂              ∂ )
  cosϕ ---- cotθ sin ϕ ---
       ∂θ             ∂ϕ
= (                                                   )
        ∂               ∂          ∂              ∂
 isin ϕ--- + icotθ cosϕ ---± cos ϕ---∓  cotθ sin ϕ---
       ∂ϕ               ∂ϕ        ∂ θ            ∂ ϕ
= (                                            )
                 ∂--                       ∂--
 (isinϕ ±  cosϕ) ∂θ ∓ cot θ(sin ϕ ∓ icos ϕ) ∂ϕ
= (                          (   )                        )
 (isinϕ ±  cosϕ) ∂--∓ cot θ  1-- (- isinϕ ±  i2 cosϕ) -∂-
                 ∂θ          - i                     ∂ϕ
= (                                                )
 (isinϕ ±  cosϕ) ∂--∓ icot θ(∓ cos ϕ - isin ϕ) -∂-
                 ∂θ                           ∂ϕ
= (                ∂                            ∂  )
 (isinϕ ±  cosϕ) ---± icot θ(± cos ϕ + isin ϕ) ---
                 ∂θ                           ∂ϕ
= (± cosϕ + isin ϕ) [ ∂          ∂ ]
 ---± icot θ---
 ∂θ         ∂ϕ
= (                (          ))
     iϕ    -iϕ   i eiϕ - e-iϕ
( ± e--+-e----+ -------------)
        2            2i[               ]
  ∂--± icot θ-∂-
  ∂θ         ∂ϕ
= ±e±[              ]
 ∂--± icot θ-∂-
 ∂θ         ∂ϕ

Wir setzen in die beiden Relationen für ^ℓ - und ^ℓ + die Funktion Y ,m = eimϕΘ ℓ,m(θ) ein und erhalten

^ℓ + = e[ ∂           ]
  ---- m cot θ
  ∂θ (6.57a)
^ℓ - = -e-[             ]
  ∂
  ---+ m cot θ
  ∂θ (6.57b)

Für m = -wird

^ℓ -Y ℓ,- = 0 = ^ℓ -e-iℓϕΘ ℓ,-(θ) =
= -e-e-iℓϕ[ ∂         ]
 ----  ℓcotθ
 ∂θ Θℓ,ℓ

Wir erhalten die Differentialgleichung

∂Θ-ℓ,-ℓ-= ℓ cotθΘ
  ∂θ             ℓ,-ℓ
(6.58)

Deren Lösung lautet

                 ℓ
Θℓ,- ℓ(θ) = C · sin  (θ )
(6.59)

Die Lösungen müssen normiert sein, also ist

 2π π                    2ππ
∫ ∫       2            ∫  ∫   *
     |Y ℓ,m| sinθd θdϕ =      Yℓ,mY ℓ,m sinθdθd ϕ = 1
0  0                   0  0
(6.60)

Deshalb ist die Integrationskonstante aus Gleichung (6.59)

           ∘ ---------
       1     (2ℓ + 1)!
C  = -√----------ℓ---
       4 π    ℓ!2
(6.61)

Mit dem Erzeugungsoperator

              [            ]
 ^          iϕ  -∂-
ℓ+Y ℓ,m =  ℏe   ∂ θ - m cotθ  Yℓ,m
(6.62)

können alle Funktionen konstruieren werden. Wenn = 0 ist, ist

Θ0,0 = ∘ ---
   1
  4π- P00 = ∘ ---
   1
  4-π Y 0,0 = ∘ ---
   1
  4π-

Mit den Rekursionsrelationen erhalten wir

= 0 m = 0 Y 0,0 =   1
-√----
   4π (6.63a)
= 1 m = 0 Y 1,0 = ∘ ---
  3--
  4π cos θ = ∘ ---
  -3-
  4π·z-
r (6.63b)
= 1 m = ±1 Y 1,±1 = ∘ ---
   3--
   8π sin θe± = ∘ ---
  -3-
  8πx-±-iy-
  r (6.63c)
= 2 m = 0 Y 2,0 = ∘ ---
  5--
  4π(            )
 3-cos2θ -  1-
 2          2 = 1-
2∘ ---
  -5-
  4 π   2    2   2
2z----x----y--
      r2 (6.63d)
= 2 m = ±1 Y 2,±1 = ∘ ---
   15-
   2π sin θ cos θe± = 1-
2∘ ---
   15-
   2π(x-±-iy)-z
    r2 (6.63e)
= 2 m = ±2 Y 2,±2 = 1-
4∘ ---
  15-
  2π sin 2θe±2 = 1-
4∘ ---
  -15
  2 π(       )
  x-±-iy-
     r2 (6.63f)

Darstellungen dieser Wellenfunktionen finden Sie im Anhang A.1.

6.3.2.2. Radialteil der Wellenfunktion

Der Radialteil der Wellenfunktion (6.14) ist

[    2       (     )    2                ]
 - -ℏ---1 d-- r2-d-  + ℏ-ℓ-(ℓ +-1) + V (r) R (r) = E·R  (r)
   2me r2 dr    dr       2mer2
(6.64)

Diese Gleichung gilt für alle sphärisch symmetrischen Potentiale. Wir verwenden

1 d  (   d )    d2    2 d
-2--- r2 --- =  --2-+ -----
r dr     dr     dr    r dr
(6.65)

und Multiplizieren die Gleichung (6.64) mit 2mℏ2e-

  d2R-   2-dR-   ℓ(ℓ +-1)     2meV--(r)     2Eme--
- dr2  - r dr +     r2   R +     ℏ2    R =    ℏ2  R
(6.66)

wir setzen

A = 2Eme--
  ℏ2 = (|  +k2,  für E >  0;
{     2
|(  - κ , für E <  0. (6.67)
 ^
V(r) = 2me-
 ℏ2V (r) (6.68)

und erhalten aus Gleichung (6.66) die skalierte Gleichung

d2R    2 dR    [            ℓ(ℓ + 1)]
---2 + -----+   A - ^V (r) - ----2---  R = 0
dr     r dr                    r
(6.69)

Wir betrachten den Grenzfall: r-→und verwenden den Ansatz R = u(r)
  r. Für die Ableitungen gilt

d2
--2-
dru (r)
-----
  r =  d
---
dr( 1du (r)        1 )
  ------- - u (r) -2
  r  dr          r
= -1
r2du (r)
--dr-- + 1
r-d2u(r)
-dr2--- -du (r)
--dr--1
r2 + 2u(r) 1
r3
= 1-
r 2
d-u(r)-
 dr2 --2
r2du-(r)
  dr + 2u(r)-
 r3
2
r- d
dr-(      )
  u (r)
  --r-- = 2
r-1
r-du (r)
--dr-- - u(r) 2
r3
= 2-
r2du-(r)
  dr - 2u-(r)
  r3
d2
--2-
dr(u )
 --
 r + 2
--
rd
---
dr(u (r))
 -----
   r = 1
--
rd2u(r)
----2--
 dr
Zusammen erhalten wir
1
--
rd2u
----
dr2 + [             ℓ(ℓ + 1 )]
 A -  ^V (r) - --------
                 r2 u
--
 r = 0 (6.70)

oder mit r 0

  2    [                    ]
d-u-+   A - V^(r) - ℓ-(ℓ-+-1)  u = 0
dr2                    r2
(6.71)

Im Grenzfall r →∞ muss das Potential null sein, also

lim r→∞^
V = 0
lim r→∞ℓ(ℓ-+-1)
   r2 = 0

Im Grenzfall r →∞ lautet Gleichung (6.71)

d2u-(r)
  dr2  + Au  (r) = 0
(6.72)

Die gefundenen allgemeinen Lösungen gelten nur für r →∞. Die Form der Lösung hängt allein von der Asymptotik des Potentials ab. Die Lösungen für r 0 hängen jedoch von der Form des Potentials V (r) ab und sind für jedes Potential anders.

6.3.2.3. Radialfunktion für das Wasserstoffatom

Mit den allgemeinen Lösungen für ein beliebiges Potential V (r) können wir nun die Lösungen für das Wasserstoffatom berechnen

              2
V (r) = - -Ze---
          4πϵ0r
(6.76)

Wir wenden die Variablentransformation

ρ = 2κr
(6.77)

mit der Definition für E < 0 aus Gleichung (6.67)

     ∘ --------
         2m  E
κ =    - ---e2--
           ℏ
(6.78)

Weiter setzen wir

R (r) = ^R (2κr) = R^(ρ)
(6.79)

Mit

dR
---
dr = d ^R
---
dρ·dρ
---
dr = d ^R
---
dρ·2κ
d2R
--2-
dr = d2 ^R
----
 dρ4κ2

wird der Radialteil der Wellengleichung (6.64)

0 = d2R^
---2
d ρ4κ2 + 4 κ
---
 ρ·2κ·dR^
---
d ρ + [                              ]
      2meZe22  κ   ℓ (ℓ + 1) 4κ2
  A + ---2------ - ------2-----
       ℏ 4 πϵ0ρ         ρ
0 = d2R^
---2
d ρ + 2
--
ρd ^R
---
dρ + [                             ]
 - κ2     2meZe2      ℓ(ℓ + 1 )
 ---2 + --2------- -  ----2---
  4κ    ℏ  4πϵ02κρ       ρ
= d2R^
d-ρ2 + 2
ρ-d ^R
dρ- + [                    ]
   1    B    ℓ(ℓ + 1)
 - 4-+ κ-ρ - ---ρ2---^
R (6.80)

mit

        2
B =  Ze--me-
     4πℏ2ϵ0
(6.81)

Zur Lösung von Gleichung (6.80) verwenden wir den Exponentialansatz

^        -ρ∕2
R (ρ) = e    v(ρ)
(6.82)

Zuerst berechnen wir die einzelnen Ableitungen

dR^
 dρ = -d-
dρ( -ρ∕2    )
 e    v (ρ )
= -1-
2e-ρ∕2v(ρ ) + e-ρ∕2dv-(ρ)
  dρ
d2R^
---2
 dρ =  d
---
dρ(  -ρ(   v(ρ)    dv(ρ)) )
  e2   - -----+  ------
           2      dρ
= -1
--
2e-ρ∕2(                )
    v (ρ )   dv(ρ)
  - -----+  ------
      2      dρ + e-ρ∕2(                    )
   1 dv (ρ)   d2v(ρ)
 - --------+  ----2--
   2   dρ      d ρ
d2R^
---2
 dρ + 2
--
ρdR^
---
dρ = e-ρ∕2[                                                      ]
 v (ρ)   1 dv(ρ)    1dv (ρ)   d2v (ρ )   v(ρ)   2 dv (ρ)
 ----- - ---------  -------+  ----2---  -----+ --------
   4     2  d ρ     2  dρ       dρ       ρ     ρ   dρ
= e-ρ∕2[                      (      )          ]
 v-(ρ)   v-(ρ)   dv(ρ-)  2-        d2v(ρ)-
   4   -   ρ  +   d ρ    ρ - 1  +   dρ
                                      2
d2R^
 dρ2 + 2-
ρdR^
dρ = e-ρ∕2
 4 ρ[                                          ]
               dv-(ρ)               d2v-(ρ)
 v(ρ)(ρ - 4) +   dρ  (- 4ρ + 8) + 4ρ  dρ2 (6.83)

Wir setzen den Exponentialansatz in Gleichung (6.80) ein, verwenden die Ableitungen aus Gleichung (6.83) und spalten e-ρ∕2 > 0 ab.

d2v(ρ)
----2--
 dρ + ( 2    )
  --- 1
  ρdv(ρ)
------
 dρ + [1   1    1   B     ℓ(ℓ + 1)]
 --- ---  --+ ----  ----2---
 4   ρ    4   κρ       ρv(ρ) = 0
d2v(ρ)
----2--
 dρ + (      )
  2
  --- 1
  ρdv(ρ)
------
 dρ + [                      ]
 1 (B     )    ℓ(ℓ + 1)
 -- -- - 1  -  ----2---
 ρ   κ            ρv(ρ) = 0 (6.84)

Gleichung (6.84) kann mit dem Rekursionsansatz gelöst werden

        μ ∞∑     ν    ∞∑     (ν+μ)
v(ρ) = ρ     ανρ  =     ανρ
          ν=0        ν=0
(6.85)

wobei α0 0 ist. Eingesetzt erhalten wir

ν=0(ν + μ) (ν + μ - 1) α νρ(ν+μ-2)
+ (      )
 2-
 ρ -  1 ν=0(ν + μ) α νρν+μ-1
+ [(      )              ]
  B- - 1  1-+  ℓ(ℓ +-1)
   κ      ρ       ρ2 ν=0α νρν+μ = 0 (6.86)

Für ν = 0 tritt nur μ auf. Für ν = 0 bekommen wir

(μ)  (μ - 1 ) α0ρ(μ-2) + ( 2    )
  --- 1
  ρμα0ρμ-1 + [( B     ) 1   ℓ(ℓ + 1)]
   ---  1  --+ ----2---
   κ       ρ      ρα0ρμ = 0
(μ)  (μ - 1 ) α0ρ(μ-2) + 2μα 0ρμ-2 - μα 0ρμ-1 + (B-    )
 κ  - 1α0ρμ-1 + (ℓ + 1) α 0ρμ-2 = 0

Die Gleichung gilt dann allgemein, wenn die Koeffizienten von ρν+μ-2 für jedes ν getrennt gleich null sind. Wir erhalten so eine Gleichung für μ

             μ-2      μ-2                 μ-2
μ (μ - 1)α0ρ    +  2μρ   α0 - ℓ (ℓ + 1) α0ρ   = 0
(6.87)

Vereinfacht erhalten wir

μ(μ - 1 ) + 2μ - (ℓ + 1) =
μ(μ + 1 ) - (ℓ + 1) = 0

Wir wissen aus den Lösungen für Y ℓ,m, dass 0 ist. Die Lösungen für μ sind

    (
    |{  ℓ,       brauchbare  Lösung;
μ = |  - ℓ - 1, führt in Gleichung  (6.84 ) zu einem  bei ρ = 0 divergenten v(ρ).
    (
(6.88)

Die Bestimmungsgleichungen enthalten für μ bei ν = 0 enthalten auch höhere Potenzen von ρ. Diese sind aber nicht vollständig, da auch die Summanden bei ν = 1 Koeffizienten mit diesen Potenzen haben. Nun kann man in Gleichung (6.86) μ = einsetzen und für ein bestimmtes ν die Beziehungen zwischen den ανs aufschreiben. Die Vorfaktoren des niedrigsten Exponenten ν + - 2 liefern eine Rekursionsgleichung

aν[(ν + ℓ) (ν + ℓ - 1) + 2 (ν + ℓ) - ℓ(ℓ + 1)]
+ aν-1[               (       )]
                  B-
 - (ν - 1 + ℓ) +  κ  - 1 = 0 (6.89)

Wir setzen

     B--
n =  κn
(6.90)

wobei κ durch κn ersetzt wurde, da κ von n abhängt. Mit dieser Abkürzung erhält man aus Gleichung (6.89)

        ν + ℓ - n
αν =  -------------αν- 1
      ν (ν + 2ℓ + 1)
(6.91)

Es gibt 2 Lösungstypen:

Aus dem Zähler von Gleichung (6.91) ergibt sich die Forderung

ν > 0

Also ist das ganzzahlige ν mindestens eins. Zusammen erhalten wir die Bedingung

ℓ ≤ n - 1
(6.92)

In der ganzen Rekursionskette ist α0 frei wählbar. Dieser Koeffizient ergibt die Amplitude. Die ersten αν sind












n = 1
n = 2
n = 3
n = 4
= 0 0 1 0 1 2 0 1 2 3






















ν = 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
ν = 1 0 -1
2 0 -1 -1
4 0 -3
2 -1
2 -1
6 0
ν = 2 0 0 0 1
6 0 0 1
2 1-
20 0 0
ν = 3 0 0 0 0 0 0 -1
24- 0 0 0
ν = 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0











Tabelle der ersten αν, wenn α0 = 1 ist.

Die ganzzahligen Indizes heissen

n
Hauptquantenzahl
Drehimpulsquantenzahl

Die zu den Haupt- und Drehimpulsquantenzahlen gehörigen nicht normierten Funktionen sind

      n-∑ℓ-1    ν+ℓ
vn,ℓ =      α νρ
       ν=0
(6.93)




n vn,



1 0 v1,0 = α0ρ0+0 = 1



2 0 v2,0 = α0ρ0+0 + α 1ρ1+0 = 1 -ρ
2
1 v2,1 = α0ρ0+1 = ρ



3 0 v3,0 = α0ρ0+0 + α 1ρ1+0 + α 2ρ2+0 = 1 - ρ + ρ2
 6
1 v3,1 = α0ρ0+1 + α 1ρ1+1 = ρ - 2
ρ4-
2 v3,2 = α0ρ0+2 = ρ2



4 0 v4,0 = α0ρ0+0 + α 1ρ1+0 + α 2ρ2+0 + α 3ρ3+0 = 1 -3ρ
 2 + ρ2
 2 -ρ3
24
1 v4,1 = α0ρ0+1 + α 1ρ1+1 + α 2ρ2+1 = ρ -ρ2
-2 + ρ3
20
2 v4,2 = α0ρ0+2 + α 1ρ1+2 = ρ2 - 3
ρ6
3 v4,3 = α0ρ0+3 = ρ3



Nicht normierte Eigenfunktionen zu n und

Die normierten radialen Eigenfunktionen als Funktion der dimensionslosen Variablen ρ sind

n R^n,l(ρ)



1 0 R^1,0(ρ) = -1√---
2 2πe-ρ∕2
2 0  ^
R2,0(ρ) = -1---
2√2π(     ρ)
  1 - 2e-ρ∕2
1 R^2,1(ρ) = -1√---
4 6πρe-ρ∕2
3 0  ^
R3,0(ρ) = -1---
2√2π(         ρ2)
  1 - ρ + 6e-ρ∕2
1 R^3,1(ρ) = 61√π-(     2)
 ρ - ρ4-e-ρ∕2
2  ^
R3,2(ρ) = --1√---
24  5πρ2e-ρ∕2
4 0 R^4,0(ρ) = 21√2π-(          2    3)
  1 - 32ρ+  ρ2-- ρ24e-ρ∕2
1  ^
R4,1(ρ) = 1
4∘ -5-
  6π(    ρ2   ρ3)
 ρ - 2 +  20e-ρ∕2
2 R^4,2(ρ) = -√1---
8 10π(      3)
 ρ2 -  ρ6-e-ρ∕2
3  ^
R4,3(ρ) = --1√---
48  70πρ3e-ρ∕2
5 0 R^5,0(ρ) = 21√2π-(               3     4)
  1 - 2ρ + ρ2 - ρ6-+ 1ρ20e-ρ∕2
1  ^
R5,1(ρ) = -1√---
2 3π(     3ρ2-  3ρ3   -ρ4-)
  ρ -  4 +  20 - 120e-ρ∕2
2 R^5,2(ρ) = 140-∘ --
  7π(      3   4 )
 ρ2 - ρ3-+  ρ42-e-ρ∕2
3  ^
R5,3(ρ) = --1√---
60  7π(  3   ρ4)
 ρ  -  8e-ρ∕2
4 R^5,4(ρ) = 14401√7π-ρ4e-ρ∕2
Normierte radiale Eigenfunktionen als Funktion der dimensionslosen Variablen ρ

PIC PIC

Oben: normierte radiale Wellenfunktionen des Wasserstoffs. Unten: Wahrscheinlichkeitsdichte der Wasserstoffwellenfunktionen abhängig vom Kernabstand.

Abbildung 6.3.2.3 zeigt die für n = 1 bis n = 4 die radialen normierten Wellenfunktionen des Wasserstoffs. 4πρ2^R 1,02(ρ) hat bei ρ = 2 ein Maximum. Das bedeutet, dass das Wasserstoffatom im Grundzustand etwa einen Durchmesser von 106 pm hat (siehe auch Gleichung (6.100) ), was eben ρ = 2 entspricht. Der Kerndurchmesser ist 105 mal kleiner, also auf der Darstellung nicht sichtbar.

Mit der Rücksubstitution ρ = 2κnr bekommen wir die radialen Eigenfunktionen des Wasserstoffatoms

n Rn,l(r)



1 0 R1,0(r) = 21√2π-e-κ1r
2 0 R2,0(r) = -1√---
2 2π(1 - κ2r) e-κ2r
1 R2,1(r) = -1√---
2 6πκ2re-κ2r
3 0 R3,0(r) = -1√---
2 2π(              22)
  1 - 2 κ3r + 2κ3r-
              3e-κ3r
1 R3,1(r) = -1---
12√ π(       κ23r2)
  κ3r -  2e-κ3r
2 R3,2(r) = 61√5π-κ32r2e-κ3r
4 0 R4,0(r) = -1√---
2 2π(              2 2   κ34r3)
  1 - 3 κ4r + 2κ4r -  3e-κ4r
1 R4,1(r) = 1
2∘ ---
  -5
  6π(              33)
 κ4r - κ24r2 + κ4r-
               5e-κ4r
2 R4,2(r) =   1
2√10π-(  2 2   κ34r3)
 κ 4r -  -3--e-κ4r
3 R4,3(r) = -√1---
6 70πκ43r3e-κ4r
5 0 R5,0(r) = -1---
2√2π(              2 2   3κ35r3-  2κ45r4)
  1 - 4 κ5r + 4κ5r -   3  +  15e-κ5r
1 R5,1(r) = √1--
 3π(                        )
 κ5r - 3κ25r2-+ 3κ35r3-  κ45r4-
         2      5      15e-κ5r
2 R5,2(r) = 1
10-∘ 7-
  π( 2 2   2κ3r3   2κ4r4 )
 κ5r -  --53--+ -251--e-κ5r
3 R5,3(r) = -√2---
15  7π(           )
 κ3 r3 - κ45r4-
   5      4e-κ5r
4 R5,4(r) = --1---
90√7-πκ54r4e-κ5r
Radiale Wellenfunktionen des Wasserstoffatoms

Die Konstante κn in Tabelle 6.3.2.3 ist

      ∘ ---------
          2meEn
κn =    - ----2--
            ℏ

gesetzt. Mit Gleichung (6.81) und Gleichung (6.90) kann der n-te Energieeigenwert berechnet werden.

              2 4
E   = - --meZ--e---· 1--
  n     2ℏ2 (4 πϵ0)2  n2
(6.94)

Wir können nun auch κn mit En ausdrücken

     ┌ -----------------------
     ││        (  -meZ2e4-  1-)         2
     ∘    2me----2ℏ2(4πϵ0)2·-n2--  m0Ze---  1-
κn =   -           ℏ2          =  4πϵ0ℏ2· n
(6.95)

Schliesslich haben wir

R   (r) = N   exp (- κ r)r ℓL2 ℓ+1 (2κ r)
  n,ℓ        n,ℓ        n      n+ℓ    n
(6.96)

Dabei ist Nn, ein Normierungsfaktor und

  2ℓ+1        2ℓ+1 d2ℓ+1-
L n+ℓ = (- 1)    dρ2ℓ+1 Ln+ ℓ
(6.97)

eine Funktion, die aus einem Laguerrschen Polynom

                   n+ℓ (        )
L    =  ---1---eρ d----- e-ρρn+ℓ
 n+ ℓ   (n + ℓ)!   dρn+ℓ
(6.98)

durch Ableiten erzeugt werden kann.

Die Grösse

             2
κn = -1meZe--- = Z--1-
     n ℏ24π ϵ0   n a0
(6.99)

ist ein inverser Radius. Er hängt von der 1∕n ab und der Kernladung Z ab. Der von der Quantenzahl n und der Kernladungszahl Z unabhängige Radius a0, der Bohrsche Radius, hat den Wert

                  2
a  = 1--1-=  4πϵ0ℏ--=  5.29177 ·10 -11 m
 0   n κn     mee2
(6.100)

n Rn,(r)



1 0 R1,0(r) = 1√--
 πκ132e-κ1r = ---1--
 √πa3∕02e-r∕a0
2 0 R2,0(r) = 1√--
 πκ232(1 - κ2r ) e-κ2r = -√-1-3∕2-
2 2πa0(       )
 1 - -r-
     2a0e-r∕(2a0)
1 R2,1(r) =  1
√3π-κ232κ 2re-κ2r =     1
4√6-πa3∕2
     0 r
a0e-r∕(2a0)
3 0 R3,0(r) = 1--
√πκ332(            2κ23r2)
  1 - 2κ3r +   3e-κ3r = ----1----
(3a0)3∕2√π(    -2r   2r2-)
 1 - 3a0 + 27a20e-r∕(3a0)
1 R3,1(r) = -2√---
3 2πκ332(2κ3r - κ2r2)
         3 e-κ3r = --√4--3∕2-
27 6πa0(        )
  r--  r22-
  a0   6a0e-r∕(3a0)
2 R3,2(r) = 3√410π-κ332κ 32r2e-κ3r = --√-2-3∕2
81 30πa0 2
ra2
 0e-r∕(3a0)
4 0 R4,0(r) = κ3∕2
√4π--(                    κ3r3)
 1 - 3 κ4r + 2κ24r2 - -43--e-κ4r =  -r∕(4a)
e√--30∕2
8  πa0(            2     3 )
 1 -  34ar0-+ 8ra2 - 1r92a3-
             0      0
1 R4,1(r) = 5κ3∕2
√415π-(              κ3r3)
  κ4r - κ24r2 + -45--e-κ4r = 325√15π(       2     3 )
  ra0 - r4a2-+ 8r0a3
        0      0e-r∕(4a0)
2 R4,2(r) = -1--
√5πκ432(  2 2   κ34r3)
 κ 4r -   3e-κ4r = --1---
128 √5πκ432(r2   -r3-)
 r20 - 12a30e-r∕(4a0)
3 R4,3(r) = -√1---
3 35πκ432κ 43r3e-κ4r = ---1√----
1536  35πκ432r33
a0e-r∕(4a0)
Normierte radiale Wellenfunktionen des Wasserstoffatoms.

Die normierten radialen Wellenfunktionen sind in Tabelle 6.3.2.3 dargestellt. Bei Hyperphysics gibt es eine schöne Darstellung dieser Funktionen. Eine Skizze dieser Wellenfunktionen findet sich auch im Anhang A.2.

6.3.3  Vollständige Wellenfunktion des Wasserstoffatoms

Die vollständige Wellenfunktion eines durch n, und m gegebenen Zustandes eines Wasserstoffatoms ist

Ψn,ℓ,m(r,θ,ϕ ) = eimϕP m(cosϑ) R n,(r) (6.101)
mit
         n  ∈     ℕ
 0   ≤   ℓ  ≤   n - 1
- ℓ  ≤  m   ≤     ℓ

Die Wasserstoffwellenfunktion ist dann

                ┌ ---------------
                ││    (n -  ℓ - 1)!          ℓ
Ψn,ℓ,m(r,θ,ϕ ) = ∘ α3 -----------e-αr∕2(αr ) L2nℓ++ℓ1(αr )Yℓm (θ, ϕ)
                     2n (n + ℓ)!
(6.102)

wobei

     4π ϵ0ℏ2
a0 = -m--e2-
        0

der Bohrsche Radius und

            m0e2    Z     2Z
α  = 2κ = 2 -----2· -- = ----
            4πϵ0ℏ   n    na0

ist. Die Wasserstofforbitale[AW95] sind

Ψn,,m(r,θ,ϕ) = ┌ ---------------------------
││ (      2     )3
∘   -m0e---· Z-   (n----ℓ --1)!
    2π ϵ0ℏ2   n    2n (n + ℓ)!
·e--m0e2-
4πϵ0ℏ2·Z-
n·r (     2         )
  m0e---· Z-·, r
  2πϵ0ℏ2  n
Ln+2+1( ( m  e2   Z )  )
    --0--2· --  r
    2πϵ0ℏ   n
·Y m(θ,ϕ)

PIC Versuch zur Vorlesung: Orbitalmodelle: Stehende Wellen auf runder Wasseroberfläche (Versuchskarte AT-60)

PIC Versuch zur Vorlesung: Orbital-Modelle: Styropormodelle von Ladungswolken (Versuchskarte AT-61)

6.3.4  Unbestimmtheitsrelationen und Vertauschungsrelationen

Die folgende Ausarbeitung folgt der Behandlung von Gordon Baym[Bay69, 66]. Eine analoge Darstellung findet sich im Buch von Landau und Lifschitz [LL79, 46].

In der Quantenmechanik ist es üblich Skalarproduckte mit Brakets zu beschreiben. Die Definitionen sind:

|g⟩ = g der Spaltenvektor der Funktion g
⟨f| = f*(u) der Zeilenvektor der zu
f konjugiert komplexen Funktion
⟨f|g⟩ = (f,g) = f·g
⟨f|g⟩ = -∞+f*(u)g(u)du Skalarprodukt von f und g

Nun seien |Θ ⟩ und |Φ⟩ normierte Wellenfunktionen, das heisst ⟨Θ |Θ⟩ = 1 und ⟨Φ|Φ⟩ = 1.

Behauptung:

|⟨Θ|Φ ⟩| ≤ 1
(6.103)

Beweis:

Sei

             iα
|ζ⟩ = |Θ ⟩ - e  |Φ⟩fürα ∈  ℝ

Die Reihenfolge der Wellenfunktionen darf nicht geändert werden, Zahlen dürfen vor das Skalarprodukt gezogen werden. Dann ist

0 ⟨ζ|ζ⟩ wegen der Normierung
= (        -iα    )
 ⟨Θ | - e   ⟨Φ|(       iα   )
 |Θ⟩ - e  |Φ⟩
= ⟨Θ |Θ⟩- e⟨Θ |Φ ⟩- e-⟨Φ |Θ ⟩ + e-e⟨Φ|Φ⟩
= 2 - e⟨Θ |Φ ⟩- e-⟨Φ|Θ ⟩
= ⇒2 e⟨Θ |Φ ⟩ + e-⟨Φ|Θ ⟩ (6.104)

Gleichheit gilt also nur, wenn |ζ⟩ = 0. Wir wählen das beliebige α so, dass

          - iα
⟨Θ |Φ⟩ = e    |⟨Θ |Φ ⟩|

und setzen in Gleichung (6.104) ein

2 ee-|⟨Θ |Φ ⟩| + e-⟨Φ |Θ⟩ = |⟨Θ |Φ⟩| + e-⟨Φ |Θ ⟩
2 -|⟨Θ |Φ⟩| e-⟨Φ |Θ⟩
(2 - |⟨Θ |Φ⟩|) 2 |⟨Φ |Θ ⟩|2 = |⟨Θ |Φ⟩|2
(2 - |⟨Θ |Φ⟩|) |⟨Θ |Φ⟩|
2 2|⟨Θ |Φ⟩| = ⇒ 1 |⟨Θ|Φ⟩|

Damit ist die Behauptung gezeigt. Bei nicht normierten Funktionen verwendet man

∘-|Θ⟩---und ∘-|Φ-⟩--
  ⟨Θ|Θ ⟩      ⟨Φ |Φ ⟩

Aus Gleichung (6.103) erhält man

∘ ------∘ ------
  ⟨Θ|Θ ⟩  ⟨Φ|Φ ⟩ ≥ |⟨Θ |Φ ⟩|
(6.105)

Aus Gleichung (6.104) erhält man

2 e-∘---⟨Θ-|Φ∘⟩------
   ⟨Θ |Θ ⟩  ⟨Φ|Φ⟩ + e-∘----⟨Φ|Θ∘-⟩------
  ⟨Θ|Θ ⟩  ⟨Φ |Φ ⟩
2∘ ------
  ⟨Θ |Θ ⟩∘ ------
  ⟨Φ |Φ ⟩ e⟨Θ |Φ⟩ + e-⟨Φ |Θ ⟩

und damit

∘ ------∘ ------   1 (                      )
  ⟨Θ |Θ ⟩  ⟨Φ |Φ⟩ ≥ -- eiα⟨Θ |Φ⟩ + e-iα⟨Φ |Θ ⟩
                   2
(6.106)

Die Standardabweichungen die Wellenfunktion |Ψ⟩ der Orts- und Impulsoperatoren sind

Δx = ∘ -------------
  ⟨         2⟩
   (^x - ⟨x⟩) (6.107a)
Δpx = ∘ ⟨------------⟩
   (^px - ⟨px⟩)2 (6.107b)

wobei für die Erwartungswerte wie üblich gilt:

⟨  ⟩                ∫
 x2  = ⟨Ψ |^x2|Ψ ⟩ =   x2 |⟨x|Ψ ⟩|2 d3r

Wir nehmen an, dass das zu untersuchende Teilchen die Wellenfunktion |Ψ ⟩ hat. Wir definieren

|Θ ⟩ = (^x - ⟨x⟩) |Ψ⟩ (6.108a)
|Φ⟩ = (^px - ⟨px⟩) |Ψ ⟩ (6.108b)

Dann ist

⟨Θ |Θ⟩ = (^x - ⟨x⟩) 2 = (Δx ) 2 (6.109a)
⟨Φ |Φ ⟩ = (^px - ⟨px⟩) 2 = (Δpx ) 2 (6.109b)

Aus Gleichung (6.106) erhält man mit e = -i und der Annahme, dass ⟨x ⟩ = 0 und ⟨px⟩ = 0 (was sich immer durch eine Galilei-Transformation erreichen lässt.)

ΔxΔpx 1
2- (- i⟨Θ |Φ ⟩ + i⟨Φ|Θ ⟩)
= - i
--
2(⟨Θ |Φ ⟩ - ⟨Φ |Θ⟩)
= --i
2(⟨Ψ |(^x* - ⟨x ⟩) (^p - ⟨p ⟩)|Ψ ⟩ - ⟨Ψ| (^p *- ⟨p ⟩) (x^- ⟨x ⟩)|Ψ ⟩)
                 x     x              x    x
= - i
--
2       *                      *
(⟨Ψ |(^x - ⟨x ⟩) (^px - ⟨px⟩) - (^px - ⟨px⟩)(^x - ⟨x⟩)|Ψ ⟩)
= --i
2⟨Ψ |^x*^p x -^x*⟨px⟩-⟨x ⟩^px + ⟨x ⟩ ⟨px⟩-^px*^x + ^p x*⟨x ⟩ + ⟨px⟩^x -⟨px⟩⟨x⟩|Ψ⟩
= --i
2⟨Ψ |^x*^p x -^px*^x + ⟨px⟩      *
(^x - ^x ) + ⟨x⟩  *
(^px - ^px) |Ψ ⟩
= - i
--
2⟨Ψ |^x*^p x -^px*^x|Ψ ⟩
= --i
2⟨Ψ | [^x,^px] |Ψ ⟩
= --i
2i⟨Ψ |Ψ ⟩
= ℏ
--
2

Unschärferelation oder Unbestimmtheitsrelation

          ℏ
Δx Δpx  ≥ --
          2
(6.110)

Wir haben bei der Berechnung nichts über die Operatoren ^x und p^x angenommen, so dass auch für allgemeine Operatoren ^Ω1 und ^Ω2, bei denen man über eine Transformation ⟨Ω1 ⟩ = 0 und ⟨Ω2 ⟩ = 0 erreichen kann, die Unbestimmtheitsrelation gilt

Δ Ω1Δ Ω2  ≥ [Ω1,Ω2]
               2
(6.111)

Nach Landau und Lifschitz [LL79, 46] folgt aus

^f^g - ^g^f = - iℏ^c
(6.112)

wobei ^f und ^g beliebige Operatoren zu den klassischen Grössen f und g sind und bei der ^c der Operator zur klassischen Grösse c (der Poisson-Klammer) ist, dass im klassischen Grenzfall alle Operatoren vertauschbar sind. In zweiter Näherung kann der Operator ^c als Multiplikation mit c auffassen, so dass

^f^g - ^g^f = - iℏc
(6.113)

und in Analogie zu den Impulsen

Δf Δg  ~ ℏc
(6.114)

6.3.5  Quantenzahlen, Spektren und Energien

Beim Wassersatoffatom hatten wir drei Quantenzahlen

n = 1, 2, 3 Energiequantenzahl
0 n - 1 Drehimpulsquantenzahl
- m magnetische Quantenzahl

Diese drei Quantenzahlen beschreiben den atomaren Zustand des Wasserstoffatoms. Das Rydberg-Gesetz besagt, dass für hochangeregte Zustände nur die Energiequantenzahl n wichtig sei. Das bedeutet, dass alle Drehimpuls- oder - und alle magnetischen oder m-Zustände die gleiche Energie haben.

Zustände zu verschiedenem oder m, die alle die gleiche Energie haben, heissen entartet. Die Anzahl Zustände bei verschiedenem oder m mit der gleichen Energie ist die Entartung.

Es stellen sich die folgenden Fragen:

Um sich den Antworten zu nähern, ist es instruktiv nochmals die Kepler-Gesetze zu betrachten. Diese beschreiben geschlossene Planetenbahnen, wenn das Potential sich wie 1∕r verhält. jede Abweichung des Potentials von einem 1
r-Gesetz bewirkt eine Perihel-Drehung, also auch dann wenn mehr als ein Planet um das Zentralgestirn sich bewegen.

PIC

Sommerfeld-Bild: Modell eines Atoms mit einem „Leuchtelektron“

Abbildung 6.3.5 zeigt verschiedene Keplerbahnen, wobei die Bahn mit der grössten Exzentrizität die Bahn des Leuchtelektrons sei. Abbildung 6.3.5 zeigt eine Skizze eines Leuchtelektrons auf einer Rydbergbahn zusammen mit dem Kern und der ihn abschirmenden Elektronenwolke

PIC

Atom mit einem Leuchtelektron

Bei Atomen mit einem Elektron auf einer Rydbergbahn, wenn also r » r0 gilt, ist die Coulombkraft Fc = -41πϵ0  2
 Zre2 unabhängig von der inneren Struktur des Atoms. Andererseits ist auch ganz in der Nähe des Kernes, das heisst für r rKern, die Coulombkraft einfach. Sie muss Fc = ---1-
4πϵ0Ze2
 r2 sein.

PIC

Skizze: Coulombpotential und effektives Potential

Abbildung 6.3.5 zeigt eine Skizze des Übergangs vom geschirmten Potential für ein Elektron für r » r0 zum reinen Coulombpotential eines Kerns mit der Ladung Ze. Die genaue Form des effektiven Potentials ist schwierig.

Die Existenz eines effektiven Potentials bedeutet, dass ein Elektron innen sich auf einer Bahn zu einem anderen Coulombpotential als aussen bewegt. Die Energie hängt also nun vom Drehimpuls ab. = 0 ist eine Kreisbahn, die von einer einzigen effektiven Ladung bestimmt ist., ℓ > 0 bedeutet, dass das Elektron sich in Potentialen zu verschiedenen Energien aufhält. Damit ändert sich die Energie und die Abschirmung hebt die Energieentartung auf.

PIC

Grotrian-Diagramm für Lithium

Energieniveaus werden üblicherweise mit Grotrian-Diagrammen (siehe Abbildung 6.3.5) dargestellt. Die Bedeutung der Symbole ist in Tabelle 6.3.5 zusammengefasst.




Buchstabe Drehimpuls Name



s = 0 sharp
p = 1 principal
d = 2 diffuse
f = 3 fundamental
g = 4 .
..



Bezeichnungen der Bahndrehimpulszustände

Es gibt die folgende Konvention:

grosse Buchstaben
beziehen sich auf das gesamte System
kleine Buchstaben
beziehen sich auf ein Elektron

Bei den Alkaliatomen kann man empirisch Serienformeln angeben, die analog zur Balmerserie sind. Für die Energien der einzelnen Zustände gilt:

                   --1--           ------1--------
En,e = - RNa ·hc · n2   = - RNahc  (n - Δ (n,ℓ))2
                    eff
(6.115)

neff = n- Δ(n,ℓ) ist dabei eine im Allgemeinen nicht ganzzahlige Hauptquantenzahl. Δ(n,ℓ) ist der zu n und gehörende .

Die Quantenzustände werden als Absorptions- oder Emissionslinien untersucht. Bei Absorptionslinien ist unter Normalbedingungen nur der Grunzustand eines Atoms besetzt: man beobachtet also ausschliesslich die nur die Hauptserie aus Resonanzlinien. Die gelbe D-Linie des Natriumatoms wird durch den Übergang 3s 3p erzeugt. Die mit Grossbuchstaben bezeichnete Gesamtheit aller s- beziehungsweise p-Terme ist beim Natrium

Hauptserie 3S nP
Nebenserien 3P nS
3P nD mit n 3
Haupt- und Nebenserien beim ℕA

Beim K-Atom ist die Elektronenkonfiguration der inneren Elektronen eineA -Konfiguration. Dazu kommt ein äusseres Leuchtelektron. Die Konfiguration desK -Atoms besteht aus zwei s-Elektronen mit n = 1, bezeichnet als 1s2. Dann folgen zwei s-Elektronen mit n = 2, die mit 2s2 angegeben werden. Weiter gibt es sechs p-Elektronen (2p6) mit n = 2, zwei s-Elektronen mit n = 3, also 3s2 und sechs p-Elektronen mit n = 3 angegeben mit 3p6. Kurz gibt man das als

1s2 2s2 2p6 3s2 3p6  = ⇒ [A ]
(6.116)

In der ganzen Konfiguration ist neben der [A ]-Edelgaskonfiguration noch ein Elektron unberücksichtigt. Dieses könnte sich sowohl in einem [A ]3d1 oder [A ]4s1 sein. Welche Konfiguration hat die kleinste Gesamtenergie? Das s-Elektron hat eine höhere Wahrscheinlichkeit, sich nahe am Kern aufzuhalten als das d-Elektron. Es bewegt sich also mehr im unabgeschirmten, potentialmässig tiefer liegenden Teil des Wechselwirkungspotentials, liegt also bei einer tieferen Energie (siehe auch Abbildung 6.3.5). Obwohl das d-Elektron eine stabilere Konfiguration zu haben scheint, ist die Konfiguration des K [A ]4s1.

PIC

Radiale Wellenfunktionen des Wasserstoffatoms

6.4  Atome im Magnetfeld

6.4.1  Stern-Gerlach-Experiment

Wenn Atome magnetische Momente haben, werden sie in einem Magnetfeldgradienten abgelenkt. In einem homogenen Magnetfeld jedoch gibt es keine Ablenkung. Im Experiment von Stern und Gerlach wurden neutrale Silberatome durch ein inhomogenes Magnetfeld geschickt.

PIC

Versuchsaufbau Stern-Gerlach-Versuch

Abbildung 6.4.1 zeigt den symbolischen Aufbau. In einem homogenen Magnetfeld wirkt auf ein magnetisches Moment keine Kraft. Wenn das magnetische Moment μ nicht parallel zur magnetischen Induktion B ist, präzediert das magnetische Moment μ = mA = I·A·n wegen dem Drehmoment M = μ×B. Die magnetische Lageenergie ist

Epot = - μ ·B
(6.1)

Die Kraft auf einen Dipol im Gradientenfeld ist

F = {◟g--r---a---d--◝◜--B------}--◞μ
  Tensor
Bei einem üblichen thermodynamischen System erwartet man, dass die magnetischen Momente μ beliebig zu B orientiert sind.

PIC

Skizze: Erwartete (links) und gemessene Verteilung der Elektronen beim Stern-Gerlach-Versuch.

Abbildung 6.4.1 zeigt eine Skizze der erwarteten und, rechts, der gemessenen Verteilung. Die Ergebnisse zeigen, dass die z-Komponente des magnetischen Momentes der Silberatome im Magnetfeld quantisiert ist.

6.4.1.1. Drehimpulsoperator

Um zu einem Ausdruck für den Drehimpulsoperator zu kommen, betrachten wir den Strom in einem Atom.

I = ---q----=  --eω-
    TUmlauf     2π
(6.2)

Der Drehimpuls ist

          2      2A         2
|ℓ| = m ωr =  m ω --  da πr  =  A
                  π
(6.3)

Der Drehimpuls ist also proportional zu der Fläche A des Kreisstromes. Das magnetische Moment ist

μ = I·A = -eω
---
2π·πr2 = -  e
----
2m(     2)
 m ωr = - e
----
2m|ℓ| (6.4)
μ^ = -  e
----
2me^ℓ (6.5)
Das Minuszeichen rührt von der negativen Elementarladung her. Setzt man den Betrag des Drehimpulses gleich dem reduzierten Planckschen Wirkungsquantum,
||^||
|ℓ| = ℏ

erhält man das Bohrsche Magneton

μB =  e-ℏ-
      2me
(6.6)

PIC

Zusammenhang zwischen Drehimpuls und magnetischem Moment

Das magnetische Moment des Elektrons ist (siehe Abbildung 6.4.1.1)

μ  = - g μ  ℓ-
  ℓ     ℓ B ℏ
(6.7)

Die Grösse g ist der sogenannte g-Faktor. Beim magnetischen Moment eines Kreisstromes ist g = 1. Die Eigenwerte des magnetischen Momentes sind:

        ∘ --------    eℏ  ∘ --------
μℓ = μB   ℓ(ℓ + 1) = ----   ℓ(ℓ + 1 )
                     2me
(6.8)

Die Drehimpulsänderung bei der Präzession ist

               μB
˙ℓ = μ × B  = - --- (ℓ × B )
                ℏ
(6.9)

Die Frequenz dieser Präzession ist die Larmor-Frequenz

ω  =  |μ-|=  μ-·B--=  gℓμBBz--= γB
  ℓ   |ℓ|     ℏ         ℏ         z
(6.10)

Hier ist γ das gyromagnetische Verhältnis.

6.5  Elektronenspin

PIC Versuch zur Vorlesung: Elektronenspinresonanz: Modellversuch (Versuchskarte AT-31)

PIC Versuch zur Vorlesung: Elektronenspinresonanz: ESR an DPPH (Versuchskarte AT-29)

6.5.1  Magnetische Spin-Bahn-Kopplung

Elektronen können für viele Untersuchungen als punktförmige Teilchen angesehen werden. Wenn der klassische Elektronenradius berechnet wird, wird eine ausgedehnte Ladungswolke angenommen. Wenn diese Wolke einen Eigendrehimpuls hat, dann gibt es einen Kreisstrom und damit ein magnetisches Moment. Der Eigendrehimpuls des Elektrons heisst Spin, der mit dem Vektor s bezeichnet wird. Aus den klassischen Überlegungen kann aus dem Drehimpuls das magnetische Moment berechnet werden. Dieses so berechnete Moment ist jedoch nicht gleich dem gemessenen magnetischen Moment – ein Zeichen, dass hier die klassische Mechanik die Physik nicht mehr richtig beschreibt.

Analog zum Bahndrehimpuls ℓ haben wir

      ∘ ---------

|s | =   s(s + 1)
(6.1)

PIC

Elektronenspin s, Betrag |s| und z-Komponente sz.

Der Zusammenhang zwischen dem Bahndrehimpuls ℓ und dem dazugehörigen magnetischen Moment μ, beziehungsweise dem Spin s und dessen magnetischem Moment μs (siehe auch Abbildung 6.5.1) ist

μs = -gs-e--
2mes (6.2)
μ = -g-e--
2meℓ (6.3)

wobei

g = 1 gs = 2.0023 (6.4)
ist. Der Wert von g ist wie erwartet. Der Wert von gs ist überraschend:

Das magnetische Moment des Elektronenspins kann mit dem Bohrschen Magneton ausgedrückt werden

μs,z = ±1.00116 μBohr
(6.5)

Das Verhältnis zwischen Drehimpuls und magnetischem Moment heisst gyromagnetisches Verhältnis γ = |μ|ℓ||. Das gyromagnetische Verhältnis für den Bahndrehimpuls und den Spin ist

γ = 1
--
2 e
---
me (6.6)
γ = 1.00116-e-
me (6.7)

Der Spin kann zum Beispiel mit dem Stern-Gerlach-Versuch nachgewiesen, siehe Abbildung 6.4.1.

6.5.2  Feinstruktur und Ein-Elektronen-Atome

PIC Versuch zur Vorlesung: Natrium: Feinstruktur der D-Linie (Versuchskarte AT-48)

Wenn man die Natrium-D-linie untersucht, findet man dass diese in ein Dublett aufgespalten ist. Diese Aufspaltung nennt man auch Feinstruktur. Sie entsteht, weil der Spin und der Bahndrehimpuls wechselwirken.

PIC

Spin-Bahn-Kopplung

Abbildung 6.5.2 zeigt eine Skizze der Spin-Bahn-Kopplung. Der Drehimpuls l und der Spin s bilden zusammen den Gesamtdrehimpuls j.

      ∘ ---------

|j| =   j (j + 1)ℏ
(6.8)

mit |j| = |ℓ ± s|.

Wir betrachten ein p-Elektron mit der Bahndrehimpulsquantenzahl = 1 und der Spinquantenzahl s = 1
2.

j = 3
--
2 |j| = ∘ 3---5
  --· --
  2   2=  √15--
-----
  2 (6.9)
j = 1
--
2 |j| = ∘ -----
  1   3
  --· --
  2   2=  √3--
----
  2 (6.10)

Wenn der Bahndrehimpuls verschwindet, wenn seine Quantenzahl = 0 ist, wird die Quantenzahl des Gesamtdrehimpulses gleich der Quantenzahl des Spins j = s.

Die magnetische Quantenzahl des Gesamtdrehimpulses, die die Richtungsquantisierung darstellt, ist

jz = mj ℏ           mj =  - j ...- j für j ∈ ℤ
(6.11)

Wie beim Bahndrehimpuls und dem Spin gehört zu jedem Gesamtdrehimpuls j ein magnetisches Moment μj. Für optische Übergänge gilt die Auswahlregel: Δj = 0,±1, wobei der Übergang j = 0 j = 0 verboten ist.

PIC

Spin-Bahnkopplung nach Bohr

Zur Berechnung der Spin-Bahn-Aufspaltung im Magnetfeld betrachtet man das Atom im Ruhesystem des Elektrons. Nach Biot-Savart ist das Magnetfeld der Kernladung +Ze

        Ze-μ0                Zeμ0-
B ℓ = + 4πr3 [ν × (- r)] = - 4πr3 ν × r
(6.12)

wobei ℓ = r× m0ν ⇒-ℓ = m0ν×r verwendet wurde. Also ist das Magnetfeld

      Ze-μ0 -ℓ-
B ℓ =  4πr3 m0
(6.13)

Der Spin des Elektrons präzediert um B.

PIC PIC

Spinpräzession. Links Skizze, rechts Vektoraddition

Nach Gleichung (6.2) ist das magnetische Moment eines Spins μs = -gs-e--
2mes. Setzt man dies in die Gleichung für die Lageenergie eines magnetischen Moments in einer magnetischen Induktion Eℓ,s = -μs·B ein, erhält man

         (     e   )           e
Eℓ,s = -  - gs----s  ·B  =  gs---- (s ·B )
              2me             2me
(6.14)

Wenn man gs = 2 setzt, erhält man mit Gleichung (6.13)

                          2
E    = 2--e- (s·B  ) = -Ze-μo--(s· ℓ)     Achtung:  Falsch!
  ℓ,s    2me            4πm2er3
(6.15)

Eine genaue relativistische Betrachtung sowie experimentelle Daten zeigen, dass die Gleichung (6.15) um einen Faktor 12 zu falsch ist. Llewellyn Thomas entdeckte während seiner Doktorarbeit, dass bei der Rücktransformation aus dem mitrotierenden Koordinatensystem ins Laborsystem die relativistische Zeitdilatation berücksichtigt werden muss [Tho26]. Seine Argumentation (im cgs-System!) war wie folgt:

Das Elektron präzediert um das externe Magnetfeld mit -e-
m0cH. Das Elektron bewegt sich mit der Geschwindigkeit v durch das elektrische Feld des E des Kerns, was nach Maxwell zu einem Magnetfeld

      1
H  =  -E  × v
      c

führt. Die Präzessionswinkelgeschwindigkeit ist dann

ω =  --e--E × v  = --e-H
     m0c2          m0c

Diese Gleichung ist falsch. Das Elektron erfährt eine Beschleunigung a. Man muss eine Lorentz-Transformation mit der Geschwindigkeit v + adt verwenden, sowie beachten, dass der Spin zur Zeit t + dt gedreht ist. Also hat man nach Thomas eine Geschwindigkeit adt und eine Rotation (12c2)v×adt zu beachten. Die Präzession wird dann in erster Näherung durch

             e            1
ωT homas =  ----2E × v -  --2v × a
           m0c           2c

Nun ist die Beschleunigung durch

      -e-
a = - m0 E

gegeben. Also ist die Präzessionswinkelgeschwindigkeit

                                (        )
ωT homas =  --e--E × v -  -1-v ×   - -e-E
           m0c2          2c2        m0
                                      --e--          --e---         --e--
                                    = m0c2 E  × v +  2m0c2 v × E =  2m0c H
(6.16)

Aus der Argumentation von Thomas folgt, dass Gleichung (6.15) mit dem Faktor 1
2, dem aus der relativistischen Betrachtung folgenden Thomasfaktor korrigiert werden muss. Wir haben also für die Energie

        Ze2μ
E ℓ,s = ------e-(s· ℓ)
       8πm2er3
(6.17)

PIC

Beziehung zwischen j, ℓ und s nach dem Cosinus-Satz.

Aus dem Cosinus-Satz für beliebige Dreiecke (siehe Abbildung 6.5.2)

c2 = a2 + b2 - 2abcos γ
(6.18)

erhalten wir mit der Winkelidentität

γ = π -  ϵ     = ⇒       cos γ = - cosϵ
(6.19)

und

∠(a,b) = ϵ
(6.20)

schliesslich

|j|2 = |ℓ|2 + |s|2 + 2 |ℓ||s|cos (ℓ,s )
(6.21)

Gleichung (6.17) mit dem Zwischenwinkel zwischen ℓ und s kann also auch

Eℓ,s = a
-2-
ℏ |ℓ| |s| cos (ℓ,s) mit a = Ze2μ0 ℏ2
-----2-3
8πm  er (6.22)
geschrieben werden. Andererseits ist mit Gleichung (6.21)
Eℓ,s = -a--
2ℏ2[  2     2      2]
 |j | - |ℓ| - |s| = a-
2 [j (j + 1) - ℓ(ℓ + 1) - s(s + 1)] (6.23)

Setzt man in Gleichung (6.23) = 1, s = 1
2 und j = 3
2 oder j = 1
2, erhält man die in der Abbildung 6.5.2 gezeigten Aufspaltung durch die Spin-Bahn-Kopplung.

PIC

p-Aufspaltung nach Gleichung (6.23) .

Der Radius r in der Konstanten a in Gleichung (6.22) ist rn, der Radius der n-ten Bohrschen Bahn. Für diese Bahn gilt

     4πϵ0ℏ2n2
rn = ----2----
      Ze  me
(6.24)

und damit

     Z4
a ∝  -6-
     n

Da es in der Quantenphysik keine festen Bahnen gibt, muss r-3 durch den mit der Wellenfunktion gewichteten Wert

⟨ 1 ⟩     ∫    |ψ |2
 -3   =        --3-dV
 r      Volumen  r
(6.25)

ersetzt werden. Man erhält so

             Z4
a ∝  -3--(----1)-------
     n ℓ  ℓ + 2 (ℓ + 1)
(6.26)

6.5.2.1. Elektronenspin-Resonanz

PIC

Elektronenspinresonanz

Die präzedierenden Elektronenspins (Skizze in Abbildung 6.5.2.1 wechselwirken besonders stark mit Licht, wenn dieses in Resonanz mit der Präzessionsfrequenz ist. Die Länge eines Spins ist

      ∘ -----    √--
        1   3     3
|s| =   --· --= ----≈  0,81
        2   2    2
(6.27)

Dieser steht dann im Winkel α zum Magnetfeld.

cos α = 1-√2--=  √1--= 54.73∘
        2   3      3
(6.28)

Das magnetische Moment eines Spins in Einheiten des Bohrschen Magnetons μB ist

       ---------
     ∘
μs =   s (s + 1)μB ·gs
(6.29)

wobei seine z-Komponente entlang des Magnetfeldes durch

         1-
μs,z = ± 2gsμB
(6.30)

gegeben ist. Die beiden möglichen Niveaus haben den Energieunterschied

ΔE  = gsμBB0
(6.31)

PIC

Situation von oben gesehen

Übergänge treten auf, wenn die Energie des Lichtes dem Energieunterschied der beiden Spinzustände entspricht.

ΔE  =  hν = gsμBB0
(6.32)

oder

ν =  2.806 ·1010·B0   HzT -1
(6.33)

Die Präzessionswinkelgeschwindigkeit (Skizze in Abbildung 6.5.2.1) ist

     |μ-||B0-|   |M--|
ωℓ =    |L |   =  |L | =  γB0
(6.34)

mit einem von den atomaren Zuständen abhängigen Proportionalitätsfaktor γ.

PIC

Elektronen-Spin-Resonanz: Aufbau

Abbildung 6.5.2.1 zeigt den Aufbau einer ESR-Apparatur. Die Resonanz der Mikrowellen mit den Spins im Magnetfeld bewirkt einen Abfall des Signals an der Detektionsdiode.

6.5.3  Zeemann-Effekt

PIC Versuch zur Vorlesung: Normaler Zeeman-Effekt: Berechnung von e/m (Versuchskarte AT-14)

PIC

Zeemann-Effekt klassisch

Die Wechselwirkug der Spins und der Bahndrehimpulsemit der magnetischen Induktion bewirkt eine Aufspaltung der Energieniveaus im Magnetfeld.

Eine lineare elektromagnetische Schwingung schräg zum B-Feld kann in drei Komponenten aufgeteilt werden. Diese drei Polarisationskomponenten ergeben wieder die ursprüngliche elektromagnetische Schwingung. Die Polarisationskomponenten sind in Abbildung 6.5.3 gezeigt:

  1. eine lineare Schwingung parallel zu B0,
  2. eine linkszirkulare Schwingung
  3. und rechtszirkulare Schwingung.

Die magnetische Induktion B beeinflusst 1 nicht. Die zirkularen Schwingungen 2 und 3 beschleunigen oder bremsen die Umlauffrequenz der Elektronen auf ihren Bahnen. Die Frequenzänderung wird die Larmor-Frequenz genannt. Sie ist

Δ ω = ω  =  1· -e-B   = μB-B
       L    2  me   0    ℏ   0
(6.35)

Beim Bahndrehungspuls ist g = 1.

Im Atom ist die lautet die Identität zwischen Coulombkraft und Zentripetalkraft

           Ze2
me ω20r =  -----3r
          4πϵ0r
(6.36)

Dazu komm noch die Lorentz-Kraft mit den x, y und z-Komponenten

                2
(a)  me ¨x + me ω0x - e y˙B0   =   0
(b)  me ¨y + me ω20y + e ˙xB0   =   0
(c)          me  ¨z + meω20z  =   0
(6.37)

Für die z-Komponente folgt aus Gleichung (6.37) (c), dass z = z0 exp (iω0t) konstant bleibt. Wir setzen u = x + iy und v = x - iy, oder x = u+v-
 2 und y = u-v-
 2i und erhalten aus Gleichung (6.37) (a) und (b), den Gleichungen für die x- und die y-Komponenten

     m           m   2           e
(a )  2e(¨u + ¨v) + -2eω0 (u + v ) - 2i (u˙- v˙)B0 =  0  |·2i
(b)   m2ei-(¨u - ¨v) + m2ei ω20 (u - v) + e2 (˙u + ˙v) B0 =  0  |·2i
(6.38)

Weiter formt man um:

                        2
(a)  mei (¨u + ¨v) + mei ω0 (u + v) - e(˙u - ˙v)B0  =  0  |· (- i)
(b)  me (¨u - ¨v ) + me ω20 (u - v) + ie (u˙+ ˙v)B0  =  0
(6.39)

                      2
(a)  me (¨u + ¨v) + meω 0 (u + v) + ie(˙u - ˙v)B0  =   0
(6.40)

                        2
 (a ) + (b) 2me ¨u + 2me ω0u + 2ie ˙u·Bo   =   0
(a ) - (b) 2me ¨v + 2me ω20v - 2ie ˙v·Bo   =   0
(6.41)

Die Lösungen dieser Gleichungssysteme sind

u = u0 exp [ (      eB0-) ]
 i  ω0 - 2m   t (6.42)
v = v0 exp [ (      eB  ) ]
 i ω0 +  --0- t
         2m (6.43)

Eingesetzt erhalten wir die Bedingung

me(   (         )2 )
  -  ω0 - eB0-
           2m + (             (  (         ) ))
  2me ω2+  2ie i  ω0 - eB0-
       o               2meB0 = 0
- 02 - me2B2
---02-
4m e + 2meω0eB
---0
2m + 02 - 0B0 + e2B2
---0-
2me = 0
-e2B20
-----
4me + eB0ω0
------
  1 - 0B0 + e2B20
-----
 2m = 0
- 2  2
e-B0-
4me +  2 2
e-B0-
2me = 0

Aus der letzten Gleichung liest man ab, dass diese Gleichung nur im Grenzfall B0 0, oder wenn e2B 02 « m e ist, eine Lösung hat. Die Frequenz spaltet sich dann wie folgt auf:

ω →  ω0 ± Δ ω
(6.44)

mit

       eB0-
Δ ω =  2me
(6.45)

Dies entspricht einer Frequenz

       δω    1  eB0
Δ ν =  ---=  -------=  1.41010Hz =^0.465  cm -1
       2π    4π me
(6.46)

Der klassische Zeemanneffekt bewirkt eine konstante Frequenzverschiebung.
Es gibt ein Zeemann-Triplett mit

ΔE  = g μ  B
       j  B  0
(6.47)

PIC

Magnetisches Moment des Gesamtspins

Da der g-Faktor des Spins und des Bahndrehimpulses unterschiedlich sind, ist das magnetische Moment des Gesamtdrehimpulses nicht antiparallel zum Gesamtdrehimpuls, sondern präzediert um die Richtung des Gesamtdreimpulses. Der Gesamtdrehimpuls j ist parallel zur externen magnetischen Induktion B Da die Präzessionsfrequenz enorm hoch ist, kann durch eine Messung nur die Projektion von μj auf die Richtung von j bestimmt werden, (   )
 μjj. Mit α = (ℓ,j) und β = (s,j) können wir schreiben

|     |
||(  ) ||
| μj j| = |μ ℓ| cos(α) + |s| cos(β)
= μB(   ∘ --------             ∘ --------      )
  gℓ  ℓ(ℓ + 1 )· cos(α ) + gs  s(s + 1 )cos(β)
= μB( ∘ --------            ∘ --------        )
    ℓ(ℓ + 1)· cos(α) + 2  s(s + 1)· cos(β) (6.48)

Aus Abbildung 6.5.3 kann man mit dem Cosinussatz a2 = b2 + c2 - 2bc cos(b,c) und (b2 + c2 - a2)(2bc)-1 = cos(b,c) ablesen

cos(α) = cos((ℓ,j)) =    2     2     2
|ℓ|-+-|j|----|s|-
     2|ℓ||j|
= ℓ(ℓ + 1) + j(j + 1 ) - s(s + 1)
------∘--------∘-------------
    2   ℓ(ℓ + 1)  j(j + 1) (6.49)
cos(β) = cos((s,j)) =    2     2     2
|s|-+--|j|----|ℓ-|
     2|s||j|
= s(s + 1) + j(j + 1) - ℓ(ℓ + 1)
------∘---------∘------------
    2  s (s + 1)  j (j + 1) (6.50)

Weiter bekommen wir

||(   ) ||
|| μj j|| = μB( ∘ --------            ∘ --------      )
    ℓ(ℓ + 1)· cos(α ) + 2 s(s + 1)cos(β)
= μB(
( ∘ --------  ℓ(ℓ-+-1)-+-j(j +-1) --s(s-+-1)
    ℓ(ℓ + 1)·      ∘ --------∘ --------
                 2   ℓ(ℓ + 1)  j(j + 1)
                                         )
   ∘ --------s(s + 1) + j(j + 1) - ℓ(ℓ + 1)
+2   s(s + 1)-----∘---------∘------------)
                2   s(s + 1)  j(j + 1)
= μB(                                                               )
( ℓ(ℓ +-1) +-j(j-+-1)---s(s +-1)   s(s +-1) +-j(j-+-1)---ℓ(ℓ +-1-))
            ∘                  +  2          ∘
           2  j(j + 1)                      2  j(j + 1)
= μBℓ(ℓ +-1) +-j(j-+-1)---s(s +-1) +-2-(s(s +-1-) +-j(j-+-1) --ℓ(ℓ-+-1))
                           ∘ --------
                          2  j(j + 1)
= μB3j(j + 1) + s(s + 1) - ℓ(ℓ + 1)
-----------∘------------------
         2   j(j + 1 ) (6.51)

Mit der Definition

|(   ) |     ∘--------
|| μ    ||= g   j (j + 1)μ
|   j j|   j            B
(6.52)

bekommen wir für den

g-Faktor des Gesamtdrehimpulses

gj = 3j (j + 1) + s(s + 1) - ℓ(ℓ + 1)
------------------------------
           2j(j + 1)
gj = 1 + j(j-+-1)-+-s(s +-1-) --ℓ(ℓ-+-1)
          2j(j + 1) (6.53)

Das messbare magnetische Moment des Gesamtdrehimpulses ist dann

(μ ) =  - gjμB-j
   j       ℏ
(6.54)

Mit Gleichung (6.54) bekommen wir die folgende Tabelle









0
1
1
2
2
3
3
s
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
j
1
2
1
2
3
2
3
2
5
2
5
2
7
2








gj
2
2
3
4
3
4
5
6
5
6
7
8
7








gj als Funktion von , s und j

Zur quantenmechanischen Behandlung des Zeemann-Effekts benötigen wir den Hamiltonoperator im Magnetfeld. Wir vermuten, dass

^
Hfrei = -^p2-
2m + V (r ) (6.55)
^
HB = ^
Hfrei -μ^·B (6.56)

sei. Eine Rechnung mit kanonischen Impulsen ergibt mit den Ersetzungen p (p^+  e A ) und B = ∇×A

H^B =  1
2m--
   e(^p + eA ) 2 + V (r ) (6.57)
= -1--
2me(                             )
 p^2 + p^(eA ) + eA (^p) + e2A2 + V (r) (6.58)
= H^frei +   e
----
2me(^p·A  +  A ·^p ) +  e2
----
2meA2 (6.59)

Setzen wir den Impulsoperator ^p = -igrad  ein, erhalten wir

         ℏ2            ℏe             ℏe             e2
^HB  = - ----grad  2 - ----Agrad   -  ----grad  A +  ----A2  + V (r)
        2m0           2m0            2m0            2m0
(6.60)

Denken Sie daran dass in dieser abgekürzten Schreibweise grad A kurz für grad (Aψ) ist. Ist die magnetische Induktion in die z-Richtung ausgerichtet, also B = (0,0,Bz), ist ein mögliches Vektorpotential

         ( - y )
     Bz- |     |
A  =  2  (  x  )
            0
(6.61)

Damit lautet Gleichung (6.60)

[    2  (   2     2      2)            (            )
 - -ℏ--   ∂---+ -∂--+  ∂--- +  B  -eℏ-- x -∂-- y ∂--
   2m0    ∂x2   ∂y2    ∂z2      z 2m0i    ∂y     ∂x
                                                        ( (    )) ⌋
                                     e2B2z ( 2    2)     | |  x || |
                                   + ----- x  + y   + V ( (  y )) ⌉ ψ = E ψ
                                     8m0                     z
(6.62)

Wenn das Vektorpotential (Einheit Tm) vom Betrage nach viel kleiner ist als der Impuls, also e|A |«|p| kann der Term mit (e A ) 2 oder der Term mit (x2 + y2) vernachlässigt werden. Dies ist gleichbedeutend mit der Aussage, dass der Diamagnetismus vernachlässigt wird. Der Zeemanneffekt kann dann durch ein Potential ausgedrückt werden

Nach Gleichung (6.5) und Gleichung (6.10c) ist

 (            )
ℏ    ∂      ∂           ℏ ∂
-- x--- - y---  =  ^ℓz =  ----
i   ∂y     ∂x           i∂ ϕ

Wenn nun das Potential V (r) kugelsymmetrisch ist, lautet Gleichung (6.62)

[   ℏ2  (  1 ∂  (   ∂ )       1    ∂2       1    ∂ (      ∂ ))
 - ----   -2 --- r2---  +  -2---2----2-+ -2--------  sin θ---
   2m0    r  ∂r    ∂r      r sin  θ ∂ϕ    r  sin θ∂ θ      ∂ θ      ]
                                                  eBz ℏ ∂
                                                + ---------+ V (r)  ψ = E ψ
                                                  2m0 i ∂ϕ
(6.63)

Gleichung (6.63) kann wie das Wasserstoffatom im magnetfeldfreien Raum durch den Ansatz (6.13) gelöst werden. Dies führt zu Gleichung (6.101)

Ψn,ℓ,m (r,θ,ϕ) = eimϕP mℓ (cosϑ) Rn,ℓ(r)

Die Energieeigenwerte sind aber

E = En0 + B z eℏ
----
2m0·m mit - m (6.64)

Hier ist En0 die Energie des n-ten Niveaus im magnetfeldfreien Raum.

PIC

Zeemann-Aufspaltung für Übergänge n + 1 n, n + 2 n, n + 2 n + 1, n + 3 n, n + 3 n + 1 und n + 3 n + 2.

Die Auswahlregeln gelten auch bei den Zeemann-aufgespaltenen Linien. Die Dipol-Auswahlregeln erlauben nur

Δm  =  0,±1
(6.65)

Von allen Elementen zeigen nur ℂA und Y den normalen Zeemann-Effekt, alle anderen Atome zeigen den anomalen Zeemann-Effekt. Bei diesen muss der Spin des Elektrons mit berücksichtigt werden. Die dazugehörige Schrödingerleichung, die Pauli-Gleichung, ist

         [                                  ]
^         --1-          2          -e-              ∂--
HB,aψ =   2m   (^p + eA ) + V (r ) + m s^·B   ψ = iℏ ∂tψ
             e                       0
(6.66)

Wird die Spin-Bahn-Kopplung auch noch berücksichtigt, bekommt man

^H     ψ
 B,a,sb        [                                                 ]
                -1--         2           -e-        -μ0Ze2--^           ∂--
            =   2me (^p + eA ) +  V (r) + m0 ^s·B   + 8πm20r3 ℓ·^s  ψ =  iℏ ∂tψ
(6.67)

6.5.4  Paschen-Back-Effekt

Bei der Spektroskopie von Atomen in hohen Magnetfeldern spricht man Paschen-Back-Effekt. Dieser tritt auf, wenn die Feinstrukturaufspaltung durch die Kopplung von magnetischen Spinmomenten mit Bahndrehimpulsmomenten nicht mehr wesentlich grösser ist als die Kopplung der Spins oder der Bahndrehmomente an das externe Magnetfeld. Durch das hohe Magnetfeld wird die Spin-Bahn-Kopplung aufgelöst, das heisst ℓ und s koppeln nicht mehr. Der Gesamtdrehimpuls j existiert nicht mehr. Das Spektrum vereinfacht sich. Was bleibt ist die Magnetfeldaufspaltung. Die magnetische Zusatzenergie ist nun

Vms,mℓ = (m ℓ + 2ms )μBB0
(6.68)

Beachten Sie, dass der Faktor 2 vor der Spinkomponente der g-Faktor ist. Die Energieaufspaltung ist

ΔE  =  (Δm ℓ + 2Δms  )μBB0
(6.69)

Abbildung 6.5.4 gibt eine Skizze der Elektronenniveaus der Natrium-D-Linien.

PIC

Paschen-Back-Effekt bei starken Magnetfeldern.

6.6  Atome im elektrischen Feld

PIC

Apparatur zur Beobachtung des Starkeffektes.

In der Apparatur nach Abbildung 6.6 werden Elektronen von der Kathode zur Anode mit Spannungen bis zu 12000 V beschleunigt. Diese Elektronen können das Hintergrundgas Wasserstoff ionisieren. Damit werden sie als „Kanalstrahlen“ zur Kathode hin beschleunigt. Durch die mechanische Trägheit treten sie durch die Kathode hindurch und werden neutralisiert, das heisst wieder mit einem Elektron versehen. Im starken elektrischen Feld zwischen Kathode und Gegenelektrode beobachtet man eine Aufspaltung der Spektrallinien, den Starkeffekt.

Der Starkeffekt entsteht, weil das elektrische Feld E in Atomen ein elektrisches Dipolmoment (Proportionalitätskonstante ist die Polarisierbarkeit α des Atoms)erzeugt.

p =  α E
(6.1)

Dieser elektrische Dipol hat im externen elektrischen Feld E die potentielle Energie:

         1-       1-   2
Epot,el = 2p·E   = 2 αE
(6.2)

Diese quadratische potentielle Energie führt in der Schrödingergleichung auf den quadratischen Starkeffekt. Um den linearen Starkeffekt zu verstehen werden die Methoden der Quantenmechanik benötigt.

6.6.1  Quadratischer Stark-Effekt

PIC

Energieniveauschema des Natriumdubletts im elektrischen Feld.

Abbildung 6.6.1 zeigt in einem Jablonski-Diagramm den Stark-Effekt beim Na-Dublett mit den Übergängen 2P3
2 2S1
2 und 2P1
2 2S1
2. Im elektrischen Feld lautet der Hamiltonoperator für den Starkeffekt

H^ = ^H0 + H^s
(6.3)

wobei ^H0 der Hamiltonoperator des Atoms im felfdfreien Raum und ^HS der im elektrischen Feld dazukommende Störterm ist.

^      --ℏ-
H0 = - 2m   Δ + V (r)
           e
(6.4)

Die Kraft auf ein Elektron im elektrischen Feld ist -e E. Dies führt zu einer potentielle Energie der Störung V s = e E·r. Diese Störung kann als Taylorreihe geschrieben werden:

^    ^    ^     ^      ^    1-2 ^         -1  k^
H =  H0 + Hs =  H0 + λH1 +  2λ H2 +  ...+ k!λ  Hk
(6.5)

Für kleine Störungen kann man nach der ersten Ordnung abbrechen

^Hs = λ ^H1           mit |λ| «  1
(6.6)

Wir nehmen an, dass die Schrödingergleichung ohne den Störterm gelöst sei.

^
H0φ ν = Eν,0φ ν
(6.7)

Eν,0 sei der ν-te Eigenwert. Der Index 0 deutet auf das ungestörte Problem. Wir nehmen weiter an, dass alle Eν,0 voneinander verschieden seien. Weiter nehmen wir an, dass die resultierende Wellenfunktion eine Linearkombination der ursprünglichen Wellenfunktionen sei.

         ∞
ψ (r) = ∑  c φ  (r)
        ν=1 ν  ν
(6.8)

Dies ist möglich, weil die Lösungen der ungestörten Schrödingergleichung ein vollständiges Funktionssystem bilden. Wir können also schreiben:

H^ ∑  c φ  (r) + ^H  ∑  c φ  (r) = E ∑  c φ  (r)
  0 ν  ν  ν        s ν  ν  ν         ν  ν ν
(6.9)

wobei

^H0φ ν = Eν,0φ ν
(6.10)

ist. Die Lösungen φν sind normiert:

∫
  φ*μ (r)φ ν (r)dV = δμ,ν
(6.11)

Dann sind die Matrixelemente des Hamiltonoperators der Störung

        ∫
            *^
Hs,μν =    φμHs φνdV
(6.12)

Gleichung (6.9) wird damit

∫                            ∫
  φ *(r ) ^H ∑  c φ  (r)dV  +   φ *(r)H^ ∑  c φ  (r) dV
    μ     0  ν  ν ν              μ     s ν  ν  ν
                                                     ∫  *    ∑
                                                =  E   φμ (r)   cνφ ν (r) dV
                                                              ν
(6.13)

Wir setzen Gleichung (6.10) in Gleichung (6.13) ein und erhalten

∫        ∑                    ∫ ∑
  φ *μ(r )   cνE ν,0φν (r )dV +       cνφ*μ (r)H^s φν (r)dV
          ν                      ν                   ∫
                                                       ∑      *
                                                =  E    ν cνφ μ(r)φ ν (r) dV
(6.14)

Diese Gleichung muss für jeden Index μ gelten, wobei die Normierung aus Gleichung (6.11) berücksichtigt werden muss

cμEμ,0 + νHs,μνcν = Ecμ