Vorlesungsskript
PHYS2200.0
Atomphysik, Wirtschaftsphysiker und Lehramtskandidaten

Othmar Marti und Manuel Gonçalves

Institut für Experimentelle Physik

Universität Ulm

27. Oktober 2014

Sag Atome, sage Stäubchen.
Sind sie auch unendlich klein,
Haben sie doch ihre Leibchen
Und die Neigung da zu sein.
Haben sie auch keine Köpfchen,
Sind sie doch voll Eigensinn.
Trotzig spricht das Zwerggeschöpfchen:
Ich will sein so wie ich bin.
Suche nur, sie zu bezwingen,
Stark und findig, wie du bist.
Solch ein Ding hat seine Schwingen,
Seine Kraft und seine List.
Wilhelm Busch in „Zu Guter Letzt“ (1899)

Inhaltsverzeichnis

1  Einleitung

1.1  Dank

Zu diesem werdenden Skript habe ich wertvolle Anregungen von Herrn Vollmer, Herrn Crasser und von Studierenden erhalten: herzlichen Dank!

1.2  Liste der Versuche zu den Vorlesungen

• Versuch zur Vorlesung: Kristallzerkleinerung
• Versuch zur Vorlesung:
  Feldemissions-Mikroskop: Austritt von Elektronen aus einer Wolframspitze (Versuchskarte EM-15)
• Versuch zur Vorlesung:
  Brownsche Molekularbewegung (Versuchskarte TH-90)
• Versuch zur Vorlesung:
  Fettfleckphotometrie: Helligkeitsvergleich zweier Lampen (Versuchskarte O-61)
• Versuch zur Vorlesung:
  Pyrometermodell (Versuchskarte AT-12)
• Versuch zur Vorlesung:
  Infrarotkamera: Optische Temperaturmessung (Versuchskarte AT-44)
• Versuch zur Vorlesung:
  Wärmestrahlung: Abstandsabhängigkeit bei einer punktförmigen Quelle (Versuchskarte AT-54)
• Versuch zur Vorlesung:
  Planck’sches Strahlungsgesetz: Strahlung einer Glühlampe bei versch. Temperaturen (Versuchskarte AT-21)
• Versuch zur Vorlesung:
  Hohlraumstrahler: Absorption und Emission an Rohr mit Loch (Versuchskarte AT-39)
• Versuch zur Vorlesung:
  Strahlungswürfel nach Leslie: Emissionsfaktor von verschiedenen Strahlern (Versuchskarte AT-20)
• Versuch zur Vorlesung:
  Stefan-Boltzmann’sches Gesetz: mit Leslie-Würfel (Versuchskarte AT-43)
• Versuch zur Vorlesung:
  Fotoeffekt: qualitativ mit Aluminiumplatte (Versuchskarte AT-17)
• Versuch zur Vorlesung:
  Interferenz am Doppelspalt: mit einzelnen Photonen (Versuchskarte AT-50)
• Versuch zur Vorlesung:
  Doppelspalt: Interferenz mit polarisiertem Licht (Versuchskarte AT-51)
• Versuch zur Vorlesung:
  Millikan-Versuch: Ladung von Öltropfchen (Versuchskarte AT-13)
• Versuch zur Vorlesung:
  Elektronenbeugung: an einer polykristallinen Graphitschicht (Versuchskarte AT-56)
• Versuch zur Vorlesung:
  Balmer-Serie (Versuchskarte AT-35)
• Versuch zur Vorlesung:
  Franck-Hertz-Versuch (Versuchskarte AT-7)
• Versuch zur Vorlesung:
  Orbitalmodelle: Stehende Wellen auf runder Wasseroberfläche (Versuchskarte AT-60)
• Versuch zur Vorlesung:
  Orbital-Modelle: Styropormodelle von Ladungswolken (Versuchskarte AT-61)
• Versuch zur Vorlesung:
  Normaler Zeeman-Effekt: Berechnung von e/m (Versuchskarte AT-14)
• Versuch zur Vorlesung:
  Elektronenspinresonanz: Modellversuch (Versuchskarte AT-31)
• Versuch zur Vorlesung:
  Elektronenspinresonanz: ESR an DPPH (Versuchskarte AT-29)
• Versuch zur Vorlesung:
  Natrium: Feinstruktur der D-Linie (Versuchskarte AT-48)
• Versuch zur Vorlesung:
  Linienspektren: Quecksilber, Helium, Kalium, Cadmium, Krypton, Zink (Versuchskarte AT-46)
• Versuch zur Vorlesung:
  Quecksilber: Druckverbreiterung von Spektrallinien (Versuchskarte AT-47)
• Versuch zur Vorlesung:
  Paul-Falle: Für Lykopodium (Versuchskarte AT-62)
• Versuch zur Vorlesung:
  Zerlegbarer Laser (Versuchskarte AT-30)
• Versuch zur Vorlesung:
  Röntgenfluoreszenz (Versuchskarte AT-24)
• Versuch zur Vorlesung:
  Absorption von Röntgenstrahlen: Qualitativ (Versuchskarte AT-40)
• Versuch zur Vorlesung:
  Drehbares Kreuzgitter: Optisches Analogon zur Debye-Scherrer-Interferenz (Versuchskarte O-133)
• Versuch zur Vorlesung:
  Röntgenstrahlung: Bremsstrahlung und charakteristische Linien (Versuchskarte AT-37)

1.3  Termine

• Erster Vorlesungstag: Montag, 16. April 2012.
• Letzter Vorlesungstag: Dienstag, 17. Juli 2012.
• Vorlesung Montag von 9:00 bis 9:45 und Dienstag 124:15–14:00 jeweils Hörsaal H2. Ausnahme: Dienstag 17. 04. 2012, von 14:00 bis 16:00.
• Seminargruppen finden am Mittwoch und am Donnerstag statt
  • Mi 16–18 in N24/251
  • Do 08–10 in N24/254, O25/306
  • Do 10–12 in O25/306, O25/346
• Während den Seminarstunden werden die in der Vorlesung vorher den Studierenden ausgegebenen Aufgaben von den Studierenden an der Tafel vorgelöst. Sie können sich freiwillig melden, oder werden vom Übungsleiter ausgesucht.
• Die Vorleistung zur Zulassung zur Klausur ist erbracht, wenn Sie an mindestens 8 Seminar Doppelstunden teilgenommen haben, 60% der Aufgaben votiert haben (angegeben haben, dass sie sie lösen könnten) und wenn Sie die geforderte Anzahl Male vorgerechnet haben (Gesamtanzahl der Anzahl Aufgaben geteilt durch die Anzahl der Studierenden in der Gruppe). Diese Zahlen reduzieren sich, wenn Sie aus Gründen, die Sie nicht zu vertreten haben (mit Nachweis!), nicht in der Lage waren die geforderten Leistungen zu erbringen.
• Denken Sie daran, dass auch Aufgaben, die Sie nicht gelöst haben, Stoff der Klausur sind.
• Kontakte:

  Vorlesung

  Prof. Dr. sc. nat/ETH Zürich Othmar Marti, N25/5207,
  othmar.marti@uni-ulm.de, Tel. 23011

  Vorlesungsassistenz

  Die Vorlesungsassistenten sind:

  Ingo Tischer

  ingo.tischer@uni-ulm.de, Tel. 26128

  Florian Nägele

  florian.naegele@uni-ulm.de, Tel. 0151 22422822

  Übungsgruppen

  Die Seminare werden geleitet von:

  Othmar Marti

  N25/5207,
  othmar.marti@uni-ulm.de, Tel. 23011

  Enno Giese

  O25/511 enno.giese@uni-ulm.de, Tel.23087

  Christof Happ

  O25/511 Christof.happ@uni-ulm.de, Tel. 23087

  Daniel Geiger

  N25/5412 daniel-1.geiger@uni-ulm.de,

  Thomas Kerst

  N25/5405 thomas.kerst@uni-ulm.de, Tel.23018

1.3.1  Vorlesungstermine

1.3.2  Seminargruppen

Gruppe 1

Mittwoch, 16–18, N24/251 Othmar Marti

Gruppe 2

Donnerstag, 08–10, O25/306 Daniel Geiger

Gruppe 3

Donnerstag, 08–10, N24/254 Thomas Kerst

Gruppe 4

Donnerstag, 10–12, O25/306 Enno Giese

Gruppe 5

Donnerstag, 10–12, O25/346 Christof Happ

1.3.3  Seminardaten

1.4  Literaturhinweise

Die Vorlesung orientiert sich an den Werken von Haken und Wolf: Atom- und Quantenphysik[HW04] und Gerthsen Physik[Mes06]. Zur Mathematik sind die Werke von Arfken und Weber[AW95] und das Internetskript von Komma[Kom96] zu empfehlen. Weiter können Tipler[TM04], Physik, und, als leichtere Einführung, das Buch von Halliday[HRW03] konsultiert werden. Zum Aufarbeiten des gelernten Stoffes (nicht als Einsteigerliteratur) kann auch Kneubühls[Kne78] “Repetitorium der Physik” empfohlen werden. Mathematische Probleme und Formeln sind sehr schön im Bronstein[BSMM00] zusammengefasst. Dieses Skript gibt es auch im Intranet der Universität Ulm (ILIAS).

Die Geschichte der Physik ist von Simonyi[Sim90] hervorragend dargestellt.

Eine wunderbare Website zum Aufarbeiten Ihres Wissens ist Hyperphysics von R. Nave. Ergänzend gibt es vom gleichen Autor auch Hypermath.

2  Masse und Atome

(Siehe Simonyi, Kulturgeschichte der Physik [Sim90, pp. 71-75])

Die Existenz von Atomen wurde, nach unserem Wissen, das erste Mal in Griechenland vor über 2000 Jahren postuliert. Eine ausgezeichnete Darstellung der Physikgeschichte findet sich bei Simonyi[Sim90].

2.1  Avogadro-Zahl

(Siehe Haken, Wolf, Atom-und Quantenphysik [HW04, pp. 7-10])

Wenn ein Kristall immer weiter mit mechanischen Methoden zerkleinert wird, so scheint dies ein kontinuierlicher Prozess zu sein.

Versuch zur Vorlesung: Kristall-Zerkleinerung

Warum muss man trotzdem annehmen, dass die Materie aus kleinsten Einheiten aufgebaut ist?

Optik

Auch bei extrem klarer Sicht ist der Himmel blau. Da der Weltraum bis auf die Sonne (und in vermindertem Masse, Mond und Sterne) dunkel ist, muss das von oben kommende Licht in der hohen Atmosphäre gestreut worden sein. Dies kann nur an Inhomogenitäten der Luft geschehen. Also muss die Luft eine Körnigkeit haben. Wir wissen durch Rayleigh, dass die Streuamplitude proportional zu (r∕λ)⁴ ist, sofern die streuenden Teilchen sehr viel kleiner sind als die Wellenlänge λ des gestreuten Lichtes.Da der Himmel blau ist, muss also die Längenskala r der Körnigkeit sehr viel kleiner sein als die mittlere Wellenlänge des Sonnenlichts, also

Die Streuung führt übrigens auch zu einer Polarisation.

Chemie

Bei jeder chemischen Reaktion werden Stoffe immer in gewissen, unabänderlichen Gewichtsverhältnissen umgesetzt. Das heisst, dass die Ursache der Körnigkeit materialspezifisch ist. Weiter findet man, dass Stoffe wie Wasserstoff, Sauerstoff, Kohlenstoff eine Körnigkeit haben, die ein ganzzahliges Vielfaches der Körnigkeit des Wasserstoffs ist.

Brownsche Bewegung

Robert Brown beobachtete die Zitterbewegung einzelner Bärlappsamen. Er schloss daraus, dass diese Bärlappsamen ununterbrochen von einzelnen sehr viel masseärmeren Teilchen gestossen würden. Daraus folgerte er, dass Wasser aus Teilchen bestehen müsse.

Röntgenbeugung

Mit der von Max von Laue erstmals beobachteten Röntgenbeugung durch Max von Laue (Nobelpreis 1914) konnte erstmals gezeigt werden, dass feste Materie aus einzelnen kleinsten Teilchen bestand, deren Abstand aus den Beugungsmustern berechnet werden konnte.

Alle diese Experimente ergaben, dass die Anzahl der Teilchen aus der Molzahl der Chemiker berechnet werden konnte. Der Proportionalitätsfaktor heisst Avogadro-Zahl N_A. Sie gibt an, wie viele Teilchen in einem Mol vorhanden sind. In Deutschland wird manchmal auch die Loschmidt-Zahl N_L = N_A verwendet, sie ist aber im Rest der Welt nicht gebräuchlich. Bei Kenntnis der Boltzmann-Konstante k_B kann N_A auf verschiedene Weise bestimmt werden:

Elektrolyse

Wenn die Elementarladung e bekannt ist, kann man aus dem Strom I durch einen Elektrolyten und der abgeschiedenen Masse m die Faraday-Zahl

(2.1)

bestimmt werden. Damit ist auch die Avogadro-Zahl N_A bestimmt.

Gaskonstante und Boltzmann-Konstante

Es gilt die Beziehung

(2.2)

Die Gaskonstante R kann aus der Gleichung für ideale Gase abgeleitet werden, zum Beispiel aus pV -Diagrammen.

pV -Diagramm für ein ideales Gas

Die Boltzmann-Konstante kann aus dem Sedimentationsgleichgewicht bestimmt werden (Jean-Babtiste Perrin[Per09], Nobelpreis 1926). Er erhielt für die Höhenverteilung der Teilchenzahl die folgende Gleichung:

(2.3)

Hier ist V _T das Volumen eines Teilchens, ρ die Dichte dieses Teilchens, die Dichte der umgebenden Flüssigkeit, g der Betrag des Feldvektors der Gravitation an der Erdoberfläche (dem Ort des Experiments) und h die Höhe über der Referenzstelle.

Röntgenbeugung

William Henry Bragg und sein Sohn William Lawrence Bragg (beide Nobelpreis 1915) entwickelten 1913 die Drehkristallmethode und die Bragggleichung die die Streuwinkel θ mit der Wellenlänge λ und dem Netzebenenabstand d verknüpft.

Gangunterschied bei der Bragg-Streuung

(2.4)

Aus dem Netzebenenabstand kann man das Volumen eines Atoms V _A bestimmen. Die Avogadrozahl folgt dann aus

(2.5)

ℕAℂ kristallisiert in einem kubischen Gitter mit dem Netzebenenabstand a, wobei sich in der Einheitszelle jeweils ein positives und ein negatives Ion befinden. Dies ist äquivalent zu dem Würfel in der Abbildung unten mit der halben Kantenlänge a∕2, wobei sich die positiven ℕA⁺-Ionen (klein) und die negativen ℂ^--Ionen abwechseln.

ℕAℂ -Gitter

Die Ionen an den Ecken sind Teil von 8 Würfeln, so dass in diesem Würfel mit dem Volumen (a∕2)³ netto ein Ion, also ein halbes ℕAℂ liegt. Die Dichte der ℕAℂ ist demnach

(2.6)

Mit V _mol = N_AV _A = M∕ρ bekommen wir aus Gleichung (2.5) und aus Gleichung (2.6)

(2.7)

und damit

(2.8)

Mit den Daten ρ = 1987 kgm^-3 und M = 0.07455 kgmol sowie a = 629 pm bekommt man

2.2  Atome sehen

Atome kann man nicht sehen. Greifen wir der Vorlesung voraus und verwenden die Heisenbergsche Unschärferelation

und die Beziehung für den Impuls des Lichts in Funktion der Wellenlänge

so bekommt man

oder

Diese grobe Ableitung des Auflösungsvermögens eines optischen Instrumentes zeigt, dass um Atome sehen zu können, Licht mit einer Wellenlänge von etwa 100 pm verwenden muss. Dies ist Röntgenlicht: es gibt auch heute noch keine vernünftige Optik für diese kurzen Wellenlängen. Die besten Optiken haben eine etwa 100 bis 1000 mal schlechtere Auflösung als die Wellenlänge.

Bis jetzt sind nur indirekte Methoden bekannt um Atome sichtbar zu machen. Am nächsten einer optischen Abbildung kommt dabei das Transmissionselektronenmikroskop (TEM). Auch hier ist die Wellenlänge etwa 1∕100-tel der aufgelösten Struktur.

2.2.1  Feldionenmikroskopie

Obwohl mit Streumethoden gesichert war, dass Atome existieren, dauerte es bis 1951 bis einzelne Atome direkt beobachtet werden konnten. E.W. Müller erfand das Feldionenmikroskop[Mül51]. Dieses ist eine Weiterentwicklung des Feldemissionsmikroskops.

Elektronen verlassen wegen den hohen Feldern an Kanten (Blitzableiter) die Spitze und fliegen radial auf den Leuchtschirm zu. Durch die kleine Masse der Elektronen ist ihre transversale Impulskomponente nicht gut definiert: das Bild wird so ausgeschmiert, dass die Abbildung keine scharfen Kanten enthält.

Versuch zur Vorlesung:
Feldemissions-Mikroskop: Austritt von Elektronen aus einer Wolframspitze (Versuchskarte EM-15)

Das Feldionenmikroskop verwendet zusätzlich Helium-Atome. Diese werden in der Nähe der nun positiv geladenen Spitze ionisiert und auf den Leuchtschirm zu beschleunigt. Normalerweise könnte das höchstenergetische Elektron nicht das ℍ -Atom verlassen. Durch die extrem hohe Feldstärke E ~ 50 Vm^-1 wird das elektrostatische Potential jedoch so verformt, dass dieses Elektron in die Wolframspitze tunneln kann. Durch die grössere Masse der ℍ⁺-Ionen ist deren transversaler Impuls wesentlich besser definiert als bei Elektronen. Dadurch entsteht eine genügend aufgelöste Abbildung der Atome.

Eine solche Abbildung ist in der nächsten Abbildung 2.2.1 gezeigt.

2.2.2  Rastertunnelmikroskopie

2.2.3  Brownsche Bewegung

Bei der Brownschen Bewegung wandern die Teilchen getrieben durch die Stösse von Atomen oder Molekülen aus dem umgebenden Medium zufällig durch das Gesichtsfeld im Mikroskop¹.

Der mittlere Abstand vom Ursprung nimmt für grosse Zeiten wie

(2.1)

zu, wobei η die Viskosität, r der Teilchenradius und D die Diffusionskonstante nach Einstein[Ein05] und Soluchowski[vS06].

Versuch zur Vorlesung: Brownsche Molekularbewegung (Versuchskarte TH-90)

Damit ist gezeigt, dass die Brownsche Bewegung eine alternative Möglichkeit zur Bestimmung von k_B bietet.

2.3  Bestimmung der Atomgrösse

Die Grösse von Atomen kann mit Röntgenbeugung (Siehe 2.1) bestimmt werden. Eine weitere, unabhängige Möglichkeit bietet die Bestimmung des Wirkungsquerschnitts.

Aus der Zeichnung liest man ab, das der Streuquerschnitt

(2.1)

ist. Wir betrachten ein Ensemble von vielen Teilchen in einem Volumen. Dieses Volumen habe die Oberfläche A = πR² gegenüber der Teilchenquelle und die Dicke d. In diesem Volumen befinden sich N_V Atome mit jeweils dem Streuquerschnitt σ. Dann ist die Wahrscheinlichkeit W einer Kollision

Dabei haben wir nicht berücksichtigt, dass ab einer gewissen Tiefe d die Streuquerschnitte σ sich teilweise überlappen. Zur Berechnung müssen wir also zu einer differentiellen Formulierung übergehen. Hier ist N die Anzahl der eingestrahlten Partikel an der Oberfläche A der Schicht und ΔN die Anzahl der Streufälle. Dann nimmt die Anzahl der Partikel nach der Strecke Δx im Volumen ab wie

(2.2)

Wir nahmen dabei an, dass jeder Streufall das eingestrahlte Partikel aus dem transmittierten Strahl entfernt. Ersetzen wir N_V durch n·A·Δx, wobei n die Teilchenzahldichte der Atome ist, erhalten wir

(2.3)

Oder nach dem Übergang zur differentiellen Schreibweise

(2.4)

Die Lösung für eine durchstrahlte Fläche der Dicke x ist

(2.5)

Die Zahl N_streu der abgelenkten Atome ist

(2.6)

α = nσ ist der totale Wirkungsquerschnitt. Also kann man durch die Bestimmung der Anzahl gestreuten oder ungestreuten Atome σ und daraus, wenn man gleiche Atomsorten für Projektile und Ziele verwendet aus R = r auch r bestimmen.

3  Strahlung

(Siehe Gerthsen, Physik [Mes06, pp. 567-603])

Unter Strahlung verstehen wir die Emission elektromagnetischer Energie. Wir beschränken uns hier nicht nur auf Licht, sondern auf allgemeine elektromagnetische Strahlung. Wir verwenden die Grundgesetze aus der Optik und der Elektrizitätslehre.

3.1  Strahlungsfelder

(Siehe Gerthsen, Physik [Mes06, pp. 567-571])

Von einer Quelle eines Strahlungsfeldes fliesst Energie weg. Der Fluss dieser Energie wird durch die Intensität I (Einheit Wm^-2) und die Strahlungsstromdichte () als gerichtete Grösse charakterisiert. Auf einem Flächenstück d, dessen Normaleneinheitsvektor d∕dA im Winkel α zur Ausbreitungsrichtung (gegeben durch den Wellenvektor ) steht, ist die momentane Strahlungsleistung d

(3.1)

Die Bestrahlungsstärke nennt man E, definiert als

(3.2)

Die Einheit von E ist Wm^-2. Die auf der Fläche eintreffende Energie, die Bestrahlung, ist

Die Leistung der Strahlungsquelle auf einer endlichen Fläche, auch Strahlungsfluss Φ genannt, ist

Strahlungsquellen haben meistens keine kugelsymmetrische Abstrahlcharakteristik. Der in den Raumwinkel dΩ gerichtete Leistung wird durch die Strahlungsstärke J, Einheit Wsterad^-1 gegeben

(3.3)

Die spezifische Ausstrahlung R beschreibt die Ausstrahlung der Quelle von einem Flächenstück d in den ganzen Halbraum

(3.4)

Schliesslich wird vom Flächenelement dA in den Raumwinkel dΩ eine Leistung d²P abgestrahlt. Diese wird durch die Strahlungsdichte B beschrieben

(3.5)

Eine Quelle ohne Richtungsabhängigkeit wird Lambert-Strahler genannt. Realisierungen eines Lambert-Strahlers sind ein mattes weisses Papier, ein heisser schwarzer Körper oder eine Öffnung in einem strahlungsgefüllten Körper. Wird ein Lambert-Strahler im Winkel α gegen die Oberflächennormale betrachtet, so ist die Strahlungsstärke nach dem Lambert-Gesetz

(3.6)

3.1.1  Photometrische Grössen

Wenn wir sichtbare Strahlung durch unser Auge wahrnehmen, ist die Reizung unserer Sehnerven nicht proportional zur teilchenzahl oder zur Energie. Um der Wellenlängenabhängigkeit unseres Sehempfindens Rechnung zu tragen, wurden photometrische Grössen definiert, die Eigenschaften des Auges berücksichtigen. Die Photometrie beruht auf der SI-Grundeinheit Candela, abgekürzt cd.

Ein Candela ist definiert als der Lichtstrom pro Raumwinkeleinheit, der von  cm² eines schwarzen Körpers bei 2042 K, der Schmelztemperatur von Platin, ausgeht.

Physikalische Grössen			Physiologische oder photometrische Grössen
Grösse	Symbol	Einheit	Grösse	Symbol	Einheit
Strahlungsenergie	E	J	Lichtmenge	Q	lms
Strahlungsfluss	Φ	W	Lichtstrom	Φ	lm
Spezifische Ausstrahlung	R	Wm-2	Spezifische Lichtausstrahlung	R	lmm-2
Strahlungsstärke	J =	Wsterad-1	Lichtstärke	I =	cd = lmsterad-1
Strahlungsdichte	B =	Wm-2sterad-1	Leuchtdichte	B =	cdm-2 = sb
Intensität Strahlungsflussdichte	D = I =	Wm-2	Intensität Lichtstromdichte	D = I =	lx = lmm-2
Bestrahlungsstärke	E = D cos α	Wm-2	Beleuchtungsdichte	E = D cos α	lx
Bestrahlung	∫ Edt	Jm-2	Beleuchtung	∫ Edt	lxs

Photometrische Grössen

Versuch zur Vorlesung: Fettfleckphotometrie: Helligkeitsvergleich zweier Lampen (Versuchskarte O-61)

3.2  Strahlungsgesetze

3.2.1  Thermische Strahlung

Wärmestrahlung ist eine Form elektromagnetischer Strahlung. Die Sonne versorgt so die Erde mit der notwendigen Energie. Aus der Optik wissen wir, dass bei einem Strahlungsfluss Φ auf eine Grenzfläche die folgende Energiebilanz gilt:

(3.1)

wobei Φ_T den transmittierten Fluss, Φ_R den reflektierten Fluss und Φ_a den absorbierten Fluss beschreibt. Wir bezeichnen mit ϵ den Absorptionsgrad. Nimmt man an, dass die Probe dick ist, dann gibt es keinen transmittierten Fluss. Dann gilt mit a_R = 1 - ϵ

(3.2)

Der Absorptionsgrad ϵ hängt von der Frequenz ab. Wenn dem nicht so wäre, gäbe es zum Beispiel keine Kaltlichtspiegel bei Halogenlampen.

Wenn man die Ausstrahlung einer schwarzen Fläche (ϵ = 1) mit P_s beschreibt ist die Ausstrahlung einer beliebigen Fläche durch

(3.3)

gegeben. Dieses Strahlungsgesetz von Kirchhoff bedeutet, dass die Emissionseigenschaften und die Absorptionseigenschaften zusammenhängen. Gut absorbierende Flächen sind auch gut emittierende Flächen. wenn dem nicht so wäre, könnte man ein Perpetuum Mobile der zweiten Art herstellen.

Nehmen wir an, eine Fläche mit ϵ₁ under Temperatur T strahle die Leistung P₁ auf die zweite Fläche mit der Temperatur T. Gleichzeitig strahle die zweite Fläche mit ϵ₂ die Leistung P₂ auf die erste Fläche. Beide Flächen sind im thermischen Gleichgewicht. Dann muss

(3.4)

sein. Dies ist dann der Fall, wenn die aus der Temperatur berechnete Leistung P(T), die auch nur von der Temperatur abhängt, sich mit P_i wie

(3.5)

verhält. Nur dann ist die Gleichung (3.4) erfüllt.

Versuch zur Vorlesung: Pyrometermodell (Versuchskarte AT-12)

Versuch zur Vorlesung: Infrarotkamera: Optische Temperaturmessung (Versuchskarte AT-44)

Versuch zur Vorlesung: Wärmestrahlung: Abstandsabhängigkeit bei einer punktförmigen Quelle (Versuchskarte AT-54)

3.2.2  Schwarzkörperstrahlung

(Siehe Gerthsen, Physik [Mes06, pp. 573])

Versuch zur Vorlesung: Hohlraumstrahler: Absorption und Emission an Rohr mit Loch (Versuchskarte AT-39)

Licht, das durch die kleine Öffnung in den Hohlraum des schwarzen Körpers eintritt, wird bei jeder Reflexion an der Oberfläche mit der Wahrscheinlichkeit ϵ absorbiert und mit der Wahrscheinlichkeit 1 - ϵ < 1 reflektiert. Nach n Reflexionen ist die verbleibende Intensität des Lichtstrahls auf (1 - ϵ)ⁿ abgesunken, sie wird also beliebig klein. Das heisst, der Absorptionsgrad der Öffnung in diesem Hohlraum ist ϵ = 1.

Spektrale Grössen werden hier mit dem Subskript ν

bestimmt.

Wir definieren nun eine spektrale Energiedichte ϱ(ν,T)dν. Sie besteht aus dem Produkt aus der Energiedichte ϱ(ν,T) und dem Frequenzband der Breite dν, das das Intervall (ν,ν + dν) beschreibt. Diese Energie ϱ(ν,T)dν bewegt sich mit der Geschwindigkeit c durch den Raum und zu den Wänden des Hohlraums. Eine ideale schwarze Wand absorbiert diese Energie ϱ(ν,T) und emittiert nach Kirchhoff gleichzeitig P_s,ν(ν,T). Im Gleichgewicht müssen sich die Absorption und die Emission die Balance halten. Wir können also die spezifische Ausstrahlung durch die Energiedichte ϱ ausdrücken¹.

(3.6)

oder, integriert über alle Frequenzen,

(3.7)

Die gemessene spektrale Energiedichte sieht wie in der Abbildung 3.2.2 aus.

Wenn man die Energiedichteverteilung gegen die Frequenz aufträgt, erhält man:

3.2.2.1. Plancks Strahlungsgesetz

Versuch zur Vorlesung: Plancksches Strahlungsgesetz: Strahlung einer Glühlampe bei verschiedenen Temperaturen (Versuchskarte AT-21)

Im Vorgriff auf das Kommende definieren wir das Plancksches Wirkungsquantum

(3.8)

Die Grösse können sie sich mit der Eselsbrücke: h ~ 2π·10^-34 Js merken.

Oftmals wird in der Physik, weil es bequemer ist, mit dem reduzierten Wirkungsquantum gerechnet

(3.9)

Auch hier gibt es eine Eselsbrücke: ℏ = 10^-34 Js.

Das Wirkungsquantum ist ein Konzept aus der statistischen Physik, einem Teilgebiet der Thermodynamik.

(Siehe Demtröder, Laserspektroskopie [Dem93, p. 8]

Wir betrachten eine elektromagnetische Welle in einem quaderförmigen Hohlraum. Der zeit- und ortsabhängige Vektor ihres elektrischen Feldes ist

(3.10)

In diesem quaderförmigen Hohlraum, dessen Quaderseiten entlang den Koordinatenachsen seien, gibt es stehende Wellen. Die Wellenzahlen k_x, k_y und k_z sind durch die Ausdehnung in die entsprechende Richtung gegeben. Nur dann wenn eine ganzahlige Anzahl halber Wellenlängen Platz hat, haben wir eine mögliche Welle. Alle Wellen können sowohl in die + wie auch in die --Richtung laufen. Wir haben also

(3.11)

mögliche Kombinationen zu einem Tripel (k_x,k_y,k_z). Bei einem Würfel mit der Seitenlänge L sind die möglichen Wellenzahlen

(3.12)

Der Betrag der Wellenzahlen wird

(3.13)

Damit gibt es zwischen der Kantenlänge und der Wellenlänge die Beziehung

(3.14)

Analog dazu bekommt man mit k = ω∕c die Kreisfrequenzen

(3.15)

Da elektromagnetische Wellen transversal sind, gibt es zwei Polarisationen entlang den Vektoren ₁ und ₂ (mit _i· = 0). Diese beiden Polarisationsvektoren stehen senkrecht zum Wellenvektor (der Ausbreitungsrichtung). Das elektrische Feld der i-ten Mode ist

(3.16)

Zu jedem einen Wellenvektor beschreibenden Zahlentripel (n_x,n_y,n_z) gibt es zwei Polarisationen.

Jede beliebige Feldkombination im Hohlraum lässt sich als Linearkombination der Moden mit ihren Modenzahlen n_x, n_y, n_z und den beiden Polarisationen darstellen.

Wir wollen die Anzahl Moden bis zu einer bestimmten Energie bestimmen. Das heisst, dass ω < ω_max oder k < k_max sein soll. Diese Frage ist äquivalent zu: Wieviele Wellenvektoren passen in eine Kugel mit dem Radius k_max.Aus ω = folgt

(3.17)

Dies ist eine Kugel mit dem Radius R = . In dieser Kugel bilden die möglichen Wellenvektoren ein kubisches Gitter mit der Gitterkonstante . Die Randeffekte beim Abzählen können vernachlässigt werden, wenn

(3.18)

ist. Das Volumen einer Kugel ist V = (4π∕3)r³. Da n _x,n_y,n_z ∈ ℕ∪ ist, verwenden wir nur 1∕8 des Kugelvolumens. Die Anzahl Moden bis zu k_max oder ω_max sind

(3.19)

wobei die Faktoren die Polarisationen, den Bruchteil des Kugelsegments, und Radius des Kugelsegments darstellen. Die Modendichte erhält man durch Ableiten

(3.20)

Die Energie des Lichtes kann nur diskrete Werte annehmen, nach Einstein ist E = hν. Die Wände unseres Resonators sollen die Temperatur T haben. Die Wahrscheinlichkeitsdichte Eigenschwingungen mit der Energie W(k) = k·hνim Gleichgewicht mit Wänden der Temperatur T ist dann

(3.21)

wobei n die Gesamtdichte aller Eigenschwingungen im Resonator sind. Die Grösse Z in dieser Gleichung ist die Zustandssumme

(3.22)

Mit dieser Definition ist p(k) normiert:

Die mittlere Energiedichte pro Eigenschwingung ist nun

(3.23)

Die unendliche Reihe hat einen analytisch berechenbaren Grenzwert

(3.24)

Die spektrale Strahlungsdichte ρ(ν,T) bekommen wir, indem die mittlere Energiedichte pro Eigenschwingung mit der Dichte der Eigenschwingungen n(ν)dν = dν multipliziert wird. Wir erhalten das Plancksche Strahlungsgesetz.

Plancksches Strahlungsgesetz

(3.25)

Einsteins Quantenhypothese Ausgehend von seinem Verständnis des Fotoeffekts [Ein05] kam Einstein zur folgenden Hypothese: Quantenhypothese Einsteins
Atome, die die Energie hν absorbieren, haben eine höhere Energie als Atome im Grundzustand

Wir verwenden die folgenden Definitionen:

n^*

Teilchenzahldichte der angeregten Atome

n₀

Teilchenzahldichte der Grundzustandsatome

Wir nehmen thermisches Gleichgewicht an und verwenden deshalb die Boltzmann-Verteilung zur Berechnung der Teilchenzahldichte der angeregten Atome

(3.26)

Albert Einstein nahm an, dass wie in Abbildung fig:energie:austausch dargestellt der Energieaustausch zwischen dem Unteren und dem oberen Zustand auf drei Wegen möglich sei. Die Anregung aus dem unteren Zustand in den oberen Zustand (Niveau) geschieht nur, wenn externe Energie absorbiert. Der höherenergetischen Zustand kann auf zwei Wegen verlassen werden: erstens zufällig (statistisch) oder induziert, das heisst im Takt mit externen Feldern.

Einstein hatte als Neuerung die induzierten Emission postuliert. Zur Berechnung des Spektrums eines schwarzen Strahlers verwenden wir die Einsteinsche Formulierung mit Quanten. Ursprünglich hatte Planck das Spektrum mit thermodynamischen Methoden berechnet, wobei h das aus der statistischen Physik bekannte Phasenraumvolumen war. ein Phasenraumelement ist eine Fläche, deren eine Seite eine Länge und deren andere Seite eine Geschwindigkeit ist.

Die Anzahlen der Absorptionen und Emissionen werden wie folgt angegeben:

wobei A den Einsteinkoeffizienten den spontanen Emission, B₁ der Einsteinkoeffizienten der Absorption und B₂ den Einsteinkoeffizienten der induzierten Emission bedeutet.

Von der Einsteinschen Quantenhypothese zum Planckschen Strahlungsgesetz Im Gleichgewicht muss es gleich viele Emissionen wie Absorptionen geben.

(3.28)

Da die induzierte Emission der Umkehrprozess zur Absorption ist, muss

(3.29)

sein. Wir können Gleichung (3.28) wie folgt umformen

(3.30)

Damit erhalten wir die Energiedichte

Infinitesimal geschrieben bekommen wir

(3.31)

Unbekannt ist nun noch A∕B. Den Koeffizienten berechnet man aus der Modendichte des Hohlraumes

(3.32)

Die Modendichte sagt, wie viele Resonanzen es pro Frequenzintervall gibt. Zusammen bekommen wir das Plancksche Strahlungsgesetz (wie Gleichung (3.25) ).

(3.33)

Es ist nun instruktiv, die beiden Grenzfälle für sehr hohe und für sehr niedrige Frequenzen zu betrachten. Für sehr niedrige Frequenzen, im Grenzfall hν « k_BT, gilt

Dies ist das Raileigh-Jeans-Gesetz.

Rayleigh-Jeans-Gesetz

(3.34)

Dieses Gesetz war vor Planck bekannt. Es sagt voraus, dass die Energiedichte gegen hohe Frequenzen zunimmt, dass also im Ultravioletten die gesamte unendlich grosse Energie des Universums konzentriert sei. Diese Ultraviolettkathastrophe zeigt, dass das Gesetz nur in Teilbereichen stimmen kann.

Für sehr hohe Frequenzen, also hν » k_BT, gilt

Dann kann das Plancksche Strahlungsgesetz durch das Wiensche Strahlungsgesetz angenähert werden

Wiensches Strahlungsgesetz

(3.35)

Das Wiensche Strahlungsgesetz (siehe Abbildung fig:3.5) stimmt einigermassen, aber doch nicht so korrekt wie das Plancksche Strahlungsgesetz. Insbesondere ergibt sich aber bei Wien keine Ultraviolettkathastrophe.

Penzias und Wilson fanden Anfang der sechziger Jahre des zwanzigsten Jahrhunderts, dass das Rauschen höchstempfindlicher Antennen, wenn sie nach oben gerichtet waren, die gleiche spektralverteilung hatte, wie ein schwarzer Strahler bei etwa 2.7 K. Abbildung 3.2.2.1.2 zeigt die kosmische Energiedichteverteilung

3.2.2.2. Wiensches Verschiebungsgesetz

Oftmals möchte man die Frequenz ν wissen, bei der das Emissionsspektrum des schwarzen Strahlers maximal ist. Zur Berechnung des Maximums substituieren wir in Gleichung (3.25)

und setzten

Weiter vernachlässigen wir die konstanten Vorfaktoren, die für die Lage des Maximums irrelevant sind. Wir erhalten

(3.36)

Durch Ableiten erhalten wir die Lage des Maximums

Vereinfacht ergibt sich

0	=
x3ex	= 3x2(ex - 1)
ex(3 - x)	= 3
ex	=

Die Lösung dieser transzendenten Gleichung ist

wobei W_L Lambert’s W-Funktion ist. Also kann die Lage des Maximums in der Planckschen Strahlungsformel (Gleichung (3.25) ) durch das Wiensche Verschiebungsgesetz angegeben werden.

Wiensches Verschiebungsgesetz

(3.37)

Die folgende Abbildung 3.2.2.2 zeigt eine graphische Darstellung des Wienschen Verschiebungsgesetzes.

Die Energiedichte beim Emissionsmaximum des Wienschen Verschiebungsgesetzes ist

(3.38)

Abbildung 3.2.2.2 stellt Gleichung (3.38) graphisch dar.

3.2.2.3. Stefan-Boltzmann-Gesetz

Versuch zur Vorlesung: Strahlungswürfel nach Leslie: Emissionsfaktor von verschiedenen Strahlern (Versuchskarte AT-20)

Versuch zur Vorlesung: Stefan-Boltzmannsches Gesetz: mit Leslie-Würfel (Versuchskarte AT-43)

Wir möchten wissen, wie die Abstrahlung eines schwarzen Körpers von dessen Temperatur abhängt. Dazu definieren wir zunächst die spezifische Ausstrahlung nach Gleichung (3.6) senkrecht zur Oberfläche

(3.39)

Daraus bekommen wir die richtungsabhängige Abstrahlung (θ ist der Winkel zur Normalen)

(3.40)

Diese Grösse ist sowohl von der Frequenz wie auch von der Richtung abhängig. Der Mittelwert einer richtungsabhängigen Grösse ist

(3.41)

Über den Halbraum gerechnet erhalten wir

(3.42)

Zusammen mit der Mittelung über die Frequenz erhalten wir

(3.43)

Diese drei Integrale sind voneinander unabhängig. Wir beachten, dass

und

ist und erhalten

(3.44)

Mit Gleichung (3.25) ergibt dieses Integral

(3.45)

Wir definieren die Stefan-Boltzmann-Konstante

(3.46)

und können dann das Stefan-Boltzmann-Gesetz so formulieren

Stefan-Boltzmann-Gesetz

(3.47)

R ist die in den Halbraum abgestrahlte Leistung bei der Temperatur T. Diese Leistung R(T) ist in der Abbildung 3.2.2.3 in doppelt-logarithmischer Darstellung gezeichnet.

3.2.3  Farben

Was wir Farben nennen, hängt von der Interpretation der Reize unserer Sehnerven ab. Abbildung 3.2.3 zeigt die spektrale Empfindlichkeit des Auges.

3.2.4  Strahlung der Sonne

Sowohl die Sonne wie auch die Erde sind in ziemlich guter Genauigkeit schwarze Strahler. Abbildung 3.2.4 zeigt die beiden Kurven, wobei die Erde die Temperatur 300 K und die Sonne die Temperatur 6000 K hat. Die Unterschiede der beiden Kurven bewirken, dass die Energiezufuhr zur Erde bei einer anderen Wellenlänge oder Frequenz geschieht wie deren Abstrahlung.

4  Teilchen und Wellen

4.1  Das Photon

Einsteins Erklärung des Fotoeffektes [Ein05] war einer der Meilensteine auf dem Siegeszug der Quantenmechanik. Abbildung 4.1 zeigt den Versuchsaufbau. Licht beleuchtet die Fotokathode und befreit so Elektronen aus dem Metall. Diese werden von der Anode abgesogen und erzeugen einen Strom, das Messsignal. Die beiden Spannungen U₁ und U₂ sind so angeordnet, dass die Anode sowohl an positiver wie auch an negativer Spannung liegen kann.

Versuch zur Vorlesung: Fotoeffekt: qualitativ mit Aluminiumplatte (Versuchskarte AT-17)

Wenn der Fotoeffekt gemessen wird, dann können die in Abbildung 4.1 dargestellten Beobachtungen gemacht werden. bei konstanter Anodenspannung U muss das Licht eine gewisse Frequenz überschreiten (oder eine bestimmte Wellenlänge) unterschreiten, damit ein Strom fliesst. Wenn die Spannung U variiert wird, dann nimmt der Strom mit zunehmender Spannung U monoton zu. Unter einer negativen Spannung -U_max fliesst kein Strom. Wird nun die Lichtleistung erhöht, dann nimmt der Strom zu, aber die Grenzspannung -U_max ändert sich nicht.

Abbildung 4.1 zeigt, dass bei einer bestimmten Spannung U > U_max der Strom proportional zur Leistung ist. Einstein zog daraus die folgenden Schlüsse:

• Licht transportiert Energie in Paketen, Photonen oder Quanten (von Quantum) genannt. Die Grenzspannung -U_max ist ein Mass für dieses Energiequant: E_Photon = eU - max.
• Leistung ist Energie pro Zeit. Also ist die Leistung und damit auch die Intensität ein Mass für die Anzahl der Photonen (Energiequanten).

Abbildung 4.1 zeigt, im Vorgriff auf die Vorlesung zur Physik der kondensierten Materie, ein Bänderschema des Fotoeffektes. Es ist bekannt, dass bei der Temperatur T die thermische Energie sich nach Boltzmann wie exp verhält. Damit Also Elektronen bei Raumtemperatur im Metall bleiben, muss eine Energiebarriere zum Verlassen des Festkörpers existieren. Die Höhe dieser Barriere wird Austrittsarbeit Φ genannt.

Elektronen, die das Metall verlassen, haben die kinetische Energie:

(4.1)

Da die kinetische Energie der Elektronen im Metall nach Boltzmann bei einer endlichen Temperatur über einen Energiebereich verteilt, also ausgeschmiert, ist, ist auch die kinetische Energie der Elektronen E_kin ausgeschmiert. Da die Emissionsrichtung der Elektronen um die Senkrechte zur Oberfläche verteilt ist, wird die Energieverteilung der Elektronennoch weiter verändert.

Versuch zur Vorlesung: Interferenz am Doppelspalt: mit einzelnen Photonen (Versuchskarte AT-50)

Versuch zur Vorlesung: Doppelspalt: Interferenz mit polarisiertem Licht (Versuchskarte AT-51)

Die Versuche mit dem Doppelspalt zeigen, dass die statistische Interpretation des Energietransportes von Einstein korrekt war.

Wenn die Lichtintensität niedrig ist, verhält sich Licht wie ein Strom von Teilchen. Wenn die Auftreffwahrscheinlichkeit in Abhängigkeit des Ortes über eine längere Zeit aufsummiert wird, ergeben sich Interferenzmuster, wie sie von der Wellentheorie vorausgesagt wird.

Photonen haben wie alle anderen Objekte mit Energie sowohl einen Teilchencharakter wie auch einen Wellencharakter. Der Wellencharakter gibt die Wahrscheinlichkeit, ein Objekt an einem bestimmten Ort zu einer bestimmten Zeit zu finden. Die Energie pro Objekt ist quantisiert.

4.1.1  Masse und Impuls

Licht ist ein Strom von Energiepaketen mit einer Richtung und einer Geschwindigkeit, der (vom Medium abhängigen) Lichtgeschwindigkeit. Aus der Mechanik weiss man, dass eine Änderung der kinetischen Energie durch eine Kraft erreicht wird. Genauso benötigt man eine Kraft zur Änderung der Richtung. Eine Kraft ist, auch relativistisch, eine Änderung des Impulses pro Zeit.

Photonen sind Teilchen ohne Ruhemasse, aber mit einer kinetischen Energie

(4.2)

Konsequenterweise haben Photonen dann auch einen Impuls. Um die Beziehung zwischen dem Impuls des Lichtes und seiner Energie zu bestimmen verwenden wir die relativistische Energie-Impuls-Beziehung

(4.3)

Da im Vakuum die Geschwindigkeit des Lichtes die Vakuumlichtgeschwindigkeit ist, gilt für alle Photonen

(4.4)

Aus Gleichung (4.3) und Gleichung (4.2) bekommt man

(4.5)

Damit ist die Impulsänderung bei Absorption und Reflexion

Daraus ergibt sich bei der Reflexion der mechanische Druck

Mit = Anzahl Teilchen∕Zeit bekommen wir

Die Intensität ist auch

Schliesslich erhalten wir

Abbildung 4.1.1 zeigt eine Apparatur zur Messung des Lichtdruckes auf mikroskopische einseitig eingespannte Balken[MRH⁺92].

Das gleiche Ergebnis hätten wir auch erhalten, wenn wir die Volumenenergiedichte des Lichtfeldes vor dem Spiegel oder vor dem Absorber berechnet hätten. Beim Absorber fliesst nur ein Lichtstrom auf ihn zu, bei der Reflexion gibt es zwei gegenläufige Lichtströme, also auch die doppelte Energiedichte. Konkret lautet die klassische Rechnung aus der Elektrizitätslehre so:

Man beginnt mit dem Vektor des Energieflusses, dem Poyntingvektor .

Hier ist der Poyntingvektor gleich der Strahlungsstromdichte (3.1), also = . Weiter ist die Intensität gleich dem Betrag der Stralungssstromdichte, also I = Druck ist das Gleiche wie Energie pro Volumen oder Energiedichte. Wenn die Energiedichte p sich mit einer Geschwindigkeit c bewegt, ist der Poyntingvektor S = D.

und damit der Druck oder die Energiedichte ρ auf eine senkrecht dazu stehende Ebene

(4.8)

Bei isotroper Strahlung ist die der Druck

(4.9)

Die beiden folgenden Abbildungen zeigen Messungen mit der Apperatur aus Abbildung 4.1.1.

Es wurden zwei gegenläufige Laserstrahlen verwendet. Im Falle der Abbildung 4.1.1 wurden die Strahlen wechselseitig ein- und ausgeschaltet, so dass der Kraftwechsel maximal wurde und gleichzeitig der Energieeintrag über die Zeit konstant war. Die gemessene Kurve ist eine Reonanzkurve als Funktion der Schaltfrequenz. Die Resonanzkurve zeigt den ponderomechanischen Effekt des Lichtes sehr schön. Zur Kontrolle wurde in der Abbildung 4.1.1 die beiden gegenläufigen Laserstrahlen gleichzeitig ein- und ausgeschaltet. Damit ist die ponderomotorische Kraft des Lichtes konstant null, aber der Energieeintrag wird maximal moduliert. Mit dieser Messung kann gezeigtwerden, dass in Abbildung 4.1.1 wirklich mechanische Effekte des Lichtes bestimmt wurden.

Schliesslich kann aus den obigen Messungen und Überlegungen eine dynamische Masse des Photons bestimmt werden. Aus

bekommen wir

(4.10)

Beispiel: Mit λ = 500nm ist m_photon = 4.4·10^-36kg.

4.1.1.1. Compton-Effekt

Beim Compton-Effekt wird Licht an einem Teilchen gestreut. Im Originalversuch von Arthur Compton [Com23] wurden Photonen an Elektronen gestreut.

In Abbildung 4.1.1.1 ist die experimentelle Anordnung gezeigt. Der Winkel zwischen der einfallenden Lichtwelle (oder, was äquivalent dazu ist, dem Impuls des einfallenden Photons) und der gestreuten Welle sei θ. Die Masse des Elektrons sei m_e. Bei jeder Kollision zwischen zwei Teilchen wird Energie ausgetauscht. Dabei ändert sich der Impuls des leichteren Teilchens, hier also des Photons, besonders stark. Mit Gleichung (4.5) ändert sich also auch die Frequenz und damit die Wellenlänge und die Energie.

Aus der Impulserhaltung folgt im Falle einer kleinen Frequenzverschiebung ist ν ≈ ν′. Damit haben wir ein gleichschenkliges Dreieck mit der Mittelsenkrechten hν und der halben Grundseite m_ev′∕2 ein rechtwinkliges Dreieck, wobei hν die Hypothenuse ist. Dann haben wir

(4.11)

Aus der Energieerhaltung folgt weiter

(4.12)

Mit

wird

sin 2	=	=	me
2 sin 2	= ≈	=	-

Mit λ = c∕ν ergibt sich für die

Compton-Streuung

(4.13)

und die

Compton-Wellenlänge

(4.14)

Abbildung 4.1.1.1 zeigt Messungen der Compton-Streuung bei unterschiedlichen Streuwinkeln. Die horizontale Achse ist die Wellenlänge.

4.1.1.2. Mössbauer-Effekt

Beim Mössbauer-Effekt [Möß58] wurde die Emission und die Absorption von γ-Quanten aus Kernen beobachtet. Gamma-Quanten sind hochenergetische Photonen. Durch die hohe Masse der Kerne und deren Einbindung in ein Kristallgitter ist die Energie der γ-Quanten sehr wohl definiert (d.h. die Streuung der Energie ist minimal.). Das hängt auch damit zusammen, dass die Energieniveaus in Kernen sehr scharf definiert sind.

Bei der Emission eines γ-Quants sind Energie und Impuls erhalten. Sei hν die Energie eines γ-Quants, wenn der Kern bei der Emission in Ruhe bleibt. Das Emissions- und das Absorptionsspektrum müssen überlappen (siehe Abbildung 4.1.1.2).

Wegen der Impulserhaltung kann man schreiben:

∑ p	= 0		vor der Emission	(4.15)
pk +	= 0		nach der Emission

wobei p_k der Impuls des Kernes sei. Mit m_k der Masse des Kerns wird seine kinetische Energie

(4.16)

Aus der Energieerhaltung folgt

hν′	= hν - Ekin,Kern	(4.17)
Ekin,Kern	= h(ν - ν′) = hΔν =

Wenn man eine vernachlässigbar kleine Energieänderung des Photons (γ-Quants) annimmt (ν′≈ ν) macht man einen Fehler, der typischerweise kleiner als 10^-3 ist. Wir erhalten:

(4.18)

Um den Rückstossimpuls des Kerns zu minimieren, erfand Mössbauer den folgenden nobelpreiswürdigen Trick: Die γ-Quanten emittierenden Atome wurden in einen Kristall eingebettet. Damit wird der Rückstossimpuls von den anderen Atomen im Gitter aufgenommen (Thema der Vorlesung Festkörperphysik). Die Linienbreite der Linien wird dann so schmal, dass normale Detektoren sie nicht auflösen können. Mössbauer verwendete dann eine ähnliche Versuchsanordnung wie in Abbildung 4.1.1.2 gezeigt. Die Energie der Photonen ist nun so gut definiert, dass die relativistische Frequenzverschiebung bei Geschwindigkeiten von mm/s ausreicht, um die Absorption zu unterdrücken.

Abbildung 4.1.1.2 zeigt eine Messung eines Mössbauerspektrums von 57  1Fe . Die beiden Kerne mit der gleichen Barionenzahl (Summe aus Neutronen und Protonen) haben eine ähnliche Niveaustruktur. 57Co ist instabil, 57Fe arbeitet als Absorber. Durch den Einbau in einen Festkörper sind die Linienbreiten sehr klein. Deshalb wird die Quelle (oder der Absorber) gegen den Absorber (oder der Quelle) bewegt. Angezeigt ist die Geschwindigkeit der 57Co -Quelle und die Anzahl der Ereignisse nach einer sehr langen Messung (> 24 h). Die Geschwindigkeit ist linear, das Spektrum mit sechs Linien (Zeemann-Aufspaltung) ist symmetrisch um v = 0.

4.2  Elektronen

Seit J.J. Thomson [Tho97] das Elektron entdeckt hatte, ist es eines der am genauesten untersuchten Elementarteilchen. Die Kennwerte des Elektrons werden mit den folgenden Methoden bestimmt:

Ladung pro Masse e∕m:

durch Massenspektrometer (Methode aus der Elektrizitätslehre)

Elektronenladung e:

durch den Millikan-Versuch oder durch Elektrolyse

Elektronenradius r:

durch Streuversuche

4.2.1  Ladung des Elektrons

Die Ladung eines Elektrons kann auf elektrochemischem Wege bestimmt werden:

Elektrolyse

Man bestimmt die umgesetzte Molzahl und daraus mit der Gaskonstante R die Materiemenge. Durch Bestimmung der Gesamtladung über eine Integration des Stromes erhält man die Faraday-Zahl F = e·N_A

Massenspektrometer

In gekreuzten - und -Feldern bestimmt man e∕m_e.

4.2.1.1. Millikan-Versuch

Der Millikan-Versuch [Mil11, Mil13, Hol00] ermöglicht eine direkte Bestimmung von e. Millikans Schlüsselidee war, über die viskose Reibung von kleinen Öltröpfchen die Kraft eines elektrischen Feldes auf Ladungen zu bestimmen.

Der Versuch wird in einer Anordnung wie in Abbildung 4.2.1.1 durchgeführt.

Ein Öltröpfchen mit dem Durchmesser 2r und der Masse m_T = ρ_T r³ wird zwischen die Platten eines Kondensators (Abstand d) gebracht. Auf dem Öltröpfchen befindet sich die Ladung q. Unter dem Einfluss der Gravitation F_G, des Auftriebs F_A in Luft (Dichte ρ_L) und des elektrischen Feldes F_E bewegt sich das Öltröpfchen mit der konstanten Geschwindigkeit v, gegeben durch die Stokesche Reibungskraft F_S .

Dabei treten die folgenden Kräfte auf:

(4.1)

Stokes Gesetz für eine laminare Strömung sagt:

(4.2)

Die elektrostatische Kraft Kraft ist:

(4.3)

Dann muss auch die Gravitation berücksichtigt werden:

(4.4)

Schliesslich haben die Tröpfchen in Luft einen Auftrieb:

(4.5)

Kombiniert man die obigen Gleichungen, erhält man für den Zusammenhang von Ladung und Geschwindigkeit

(4.6)

Betragsmässig ergibt sich

(4.7)

und

(4.8)

Damit kann die Ladung über das elektrische Feld (oder die Spannung), die Dichten, die Viskosität, die Fallstrecke und den Tröpfchendurchmesser bestimmt werden

(4.9)

Im Einzelnen läuft der Versuch wie folgt ab:

Freier Fall mit U = 0

(4.10)

Schwebezustand (v = 0)

(4.11)

Gemessene Geschwindigkeit v

(4.12)

Millikan[Mil13] erhielt als Wert für die Elektronenladung e = 1.592·10^-19C.

Versuch zur Vorlesung: Millikan-Versuch: Ladung von Öltröpfchen (Versuchskarte AT-13)

4.2.2  Grösse des Elektrons

Das Elektron mit seiner kleinen Masse ist eines der ausgeprägtesten quantenmechanischen Objekte. Wenn man annimmt, dass die Selbstenergie des elektrischen Feldes der relativistischen Ruheenergie des Elektrons entspricht, kann ein klassischer Elektronenradius r_e,class = 2.8·10^-15 m bestimmt werden. Belloni [Bel81] zeigt, dass eine andere Überlegung von Fermi auf einen etwa 12 mal grösseren Elektronenradius führt. Neuere Experimente durch zum Beispiel Dehmelt [Deh88] haben jedoch gezeigt, dass der quantenmechanisch korrektere Radius des Elektrons r_e,QM < 10^-22 m sein muss. Genaueres ist nicht bekannt, es gibt keine abschliessende Aussage über den Elektronenradius. Es kann gut sein, dass ein Elektron ein mathematisches Punktteilchen ist, eine Divergenz im Raum.

Um den klassischen Elektronenradius zu berechnen, beginnen wir mit der Ladungsdichte ρ_el einer homogen geladenen Kugel mit dem Radius r

Wenn bei der gleichen Ladungsdichte eine Kugelschale mit der Dicke dr dazugefügt wird, trägt diese eine Ladung

Die Ladung Q wirkt auf eine Probeladung dQ im Abstand r vom Zentrum von Q mit der Kraft

Hält man nun Q und dQ fest und führt dQ vom Unendlichen auf die Distanz r, so muss die folgende Energie zugeführt werden:

Die gesamte Energie in der homogen geladenen Kugel ist

Die Ladungsdichte kann mit

ersetzt werden, so dass wir für eine homogen geladene Kugel bekommen

(4.13)

Diese Energie setzen wir der relativistischen Ruheenergie der Masse m_e gleich.

(4.14)

Setzen wir Gleichung (4.13) und Gleichung (4.14) gleich und lösen nach r_e auf, erhalten wir

(4.15)

Andererseits kann man den klassischen Elektronenradius auch berechnen, wenn man annimmt, dass die gesamte Ladung an der Oberfläche konzentriert sei. Dazu betrachtet man das elektrische Feld einer Ladung e

Die Energiedichte dieser Ladung ausserhalb ist

Der Energieinhalt des elektrischen Feldes ausserhalb in Kugelkoordinaten ist

Durch Gleichsetzen mit Gleichung (4.14) erhalten wir

(4.16)

Wir haben also zwei leicht unterschiedliche Resultate für die homogene Ladung und die Oberflächenladung. Sie unterscheiden sich durch die Vorfaktoren 3∕5 und 1∕2. Deshalb, und weil es im cgs-System so schön aussieht definiert man

Der klassische Elektronenradius ist

(4.17)

4.3  Materiewellen

Wir haben gesehen, dass Licht sich bei gewissen Experimenten wie dem Fotoeffekt wie ein Teilchen verhält. In diesem Abschnitt wollen wir uns nun fragen, ob auch offensichtliche Teilchen wie das Elektron oder sogar Atome sich wie Wellen verhalten.

Wir wissen, dass jedes Teilchen einen Impuls hat. beim Photon fanden wir aus der relativistischen Energie-Impuls-Beziehung in Gleichung (4.5)

Es lohnt sich, an diesem Punkt ebene Wellen zu betrachten. Ebene Wellen im Raum haben eine Ausbreitungsrichtung gegeben durch ihren Wellenvektor mit

(4.1)

(λ ist die Wellenlänge). Sie haben eine Kreisfrequenz ω = 2πν (ν ist die Frequenz. Wellenvektor und Frequenz sind über c_Medium = λν = ω∕k miteinander verknüpft. Die momentane Amplitude einer ebenen Welle an einem beliebigen Raumpunkt zu einer beliebigen Zeit t ist

(4.2)

+c.c. meint plus das gleiche, aber konjugiert komplex. Physikalisch messbare Grössen sind immer reell.

Wir können mit Gleichung (4.1) Gleichung (4.5) auch schreiben

(4.3)

Zusammen können wir also einem Teilchen mit einem Impuls einen Wellenvektor zuschreiben. Man kann sich jetzt fragen, ob diese Analogie formal ist, oder ob prinzipiell mit Teilchen die gleichen Interferenzexperimente wie mit Licht durchgeführt werden können.

4.3.1  Elektronenbeugung

Dies ist ein fakultativer Abschnitt

Versuch zur Vorlesung: Elektronenbeugung: an einer polykristallinen Graphitschicht (Versuchskarte AT-56)

Elektronenbeugung ist eine in der Oberflächenphysik[HG91] übliche Methode zur Untersuchung von Probenoberflächen mit periodisch angeordneten Atomen. In den nächsten beiden Abschnitten werden die Beugung niederenergetischer Elektronen sowie die Beugung von Elektronen mit mittlerer Energie besprochen.

4.3.1.1. Reziprokes Gitter

Periodische Anordnungen von Atomen werden Netze genannt, die von zwei Gittervektoren ₁ und ₂ aufgespannt werden. Oberflächennetze sind translationsinvariant. Es gilt also

(4.4)

mit = v₁ + w₂ wobei ∈ ℤ. f() ist die funktionale Darstellung einer beliebigen (auch vektoriellen) Eigenschaft der Oberfläche. Da die Oberfläche periodisch translationsinvariant ist, ergibt die Entwicklung von f in eine Fourier-Reihe

(4.5)

Die Summe in Gleichung (4.5) geht über alle reziproken Gittervektoren. Dabei ist

(4.6)

wobei ∈ ℤ. ₁ und ₂ sind die erzeugenden Vektoren diese primitiven Netzes im reziproken Raum, das heisst im Raum der Raumfrequenzen.

Zwischen dem Netz im realen Raum aufgespannt durch ₁ und ₂ und dem Netz im reziproken Raum aufgespannt durch ₁ und ₂ muss die Beziehung

(4.7)

gelten. Aus den Beziehungen (4.4) bis (4.7) folgt:

Diese Bedingungen sind erfüllt wenn ₁ und ₂ wie folgt konstruiert werden:

(4.9)

und

(4.10)

Dabei ist ein beliebiger Vektor senkrecht zum Oberflächennetz. Abbildung 4.3.1.1 zeigt an einem Beispiel die Beziehung zwischen den Oberflächennetzen des realen und des reziproken Raumes.

4.3.1.2. Streuung (Beugung) an Oberflächen

Abbildung 4.3.1.2 zeigt die Geometrie der Streuung. Die einfallende ebene Welle wird mit ihrem Wellenvektor und die gestreute ebene Welle mit ihrem Wellenvektor ′ bezeichnet. Der Abstand der Streuzentren sei .

Die Wegdifferenzen der Wellenzüge zwischen zwei benachbarten Streuzentren sind

Aus dem Wegunterschied berechnet man die Phasendifferenzen für die beiden Wege

Die endgültige Phasendifferenz ist

(4.13)

mit Δ = ′-. Für die gestreuten Amplituden am i-ten Atom gilt ψ′ = ψe^iΔ_i·.

Für die Beträge der Wellenvektoren haben wir

(4.14)

Hier ist p der Impuls und mit Gleichung (4.1) λ die Wellenlänge, die für Teilchen die de Broglie–Wellenlänge λ genannt wird.

Für die Streuamplitude eines Netzes mit monoatomarer Basis (also beschreibbar als eine periodische Anordnung von Dirac-δ-Impulsen, erhält man:

(4.15)

mit = v·₁ + w·₂. Für eine mehratomige Basis erhält man:

(4.16)

f_j ist der Streufaktor des j-ten Streuzentrums und _j ist die Position dieses Streuzentrums in der Einheitszelle. Der erste Faktor in der Gleichung (4.16) hängt nur vom Oberflächennetz ab und nicht von der Struktur der Einheitszelle. Dieser Faktor wird Gittersumme

(4.17)

genannt. Der zweite Faktor in Gleichung (4.16) ist die geometrische Strukturamplitude

(4.18)

Da in der Oberfläche liegt, ist

(4.19)

Also ist die Laue-Bedingung

Bei elastischer Streuung gilt

(4.21)

Aus dieser Bedingung kann man die in der Abbildung gezeigte Ewald-Konstruktion für Oberflächennetze ableiten.

4.3.1.3. LEED (Low Energy Electron Diffraction)

Dies ist ein fakultativer Abschnitt

LEED[JSY82] ist die am häufigsten angewandte Methode zur strukturellen Untersuchung periodischer Kristalloberflächen. Die Elektronen werden mit einer bestimmten, möglichst monochromatischen Energie aus einer wohldefinierten Richtung auf die Probe gesandt. Ihre de Broglie-Wellenlänge muss von der gleichen Grössenordnung wie die Gitterperiode an der Kristalloberfläche sein. Wenn man eine Periodizität von 0.1 nm annimmt, so ergibt sich

(4.22)

Daraus folgt für die Energie

(4.23)

Die obere Abbildung zeigt den Aufbau eines LEED. Die Elektronen stammen in der Regel aus einer thermischen Kathode. Nach der Beschleunigungsphase bewegen sich die Elektronen in einem feldfreien Raum bis zur Probe. Die rückgestreuten Elektronen nähern sich dem mit einer phosphoreszierenden Substanz belegten kugelkalottenförmigen Schirm in einem feldfreien Raum. Der Energieverlauf im LEED-Detektor ist schliesslich in der unteren Abbildung gezeigt.

Die Energieunschärfe bei der Emission muss mit der thermischen Energie bei Raumtemperatur verglichen werden. Diese ist ΔE ≈ kT ≈eV . Die Glühemission bei T = 2000K ist mit einer Energieunschärfe von ΔE ≈ 0.2eV behaftet und damit etwa acht mal grösser als kT bei Raumtemperatur. Die Energieunschärfe der Feldemission bei T = 300K ist schliesslich gleich der thermischen Energie kT, also ΔE ≈ 0.025eV .

Die Abbildung zeigt die Eindringtiefe der Elektronen als Funktion ihrer kinetischen Energie. Die Eindringtiefe ist für Elektronen mit einer Energie von etwa 100eV minimal. Bei höheren Energien, wie sie zum Beispiel bei der Elektronenmikroskopie vorkommen ist die Eindringtiefe grösser. Sie nimmt über etwa 500eV monoton mit der kinetischen Energie der Elektronen zu.

Für LEED verwendet man Elektronen mit einer kinetischen Energie von 20 - 500eV . Die Eindringtiefe der Elektronen ist entsprechend kleiner als einen Nanometer.

Das durch die Wechselwirkung der langsamen Elektronen mit der Probe entstehende Beugungsbild kann mit Hilfe der Ewald-Konstruktion wie in der Abbildung gezeigt interpretiert werden.

Zwischen der periodischen Struktur der Probenoberfläche oder einer eventuell vorhandenen Überstruktur und der Überstruktur im reziproken Raum besteht folgender Zusammenhang:

Hier ist (siehe Physikalische Elektronik und Messtechnik) S die die Struktur der Oberfläche charakterisierende Matrix. Nach der Gleichung (4.25) kennt man mit S_rez auch S.

Damit Beugungseffekte in der Abbildung mit Elektronen beobachtet werden können, muss die Kohärenzlänge der Elektronen grösser als die maximal möglichen Wegunterschiede sein. Wie bei Licht müssen zwei Arten von Kohärenz unterschieden werden.

Zeitliche Kohärenz

ist gegeben durch die Energieunschärfe.

Räumliche Kohärenz

ist gegeben durch die Ausdehnung der Elektronenquelle (dominant)

Mit der Transferweite t (Definition in der oben stehenden Abbildung) bezeichnet man die Breite des Elektronenstrahls, die bei perfekter Quelle und perfekter Abbildung die gleiche Breite der Leuchtflächen bewirkt wie der Elektronenstrahl im realen LEED. Sie ist gegeben durch

(4.26)

Damit wird t ≈ 10nm. Da Elektronen eine sehr kleine Kohärenzlänge haben und da sie als Fermionen nicht im gleichen Quantenzustand sein können¹ kann jedes Elektron nur mit sich selber interferieren.

4.3.2  Rutherford-Streuung

Bei der Rutherford-Streuung nach Abbildung 4.3.2 wird eine Quelle von α-Teilchen durch eine Lochblende auf eine Probe gesendet. Die Lochblende kollimiert den Strahl und verringert den Raumwinkel der Quelle. Die Probe wird in der Physik oft auch mit dem Wort Target bezeichnet. Die Fluchtlinie zur Quelle (gegeben durch die Quelle und die Blende) ist die z-Achse. Die gestreuten Teilchen bewegen sich im Winkel θ auf den Detektor zu. Bei ungeordneten Targets wie Gasen oder polykristallinen Materialien hängt der Streuwinkel θ nicht vom Azimut ab.

Rutherford konnte aus der Analyse seiner Streudaten schliessen, dass fast die ganze Masse eines Atoms in einem sehr kleinen, positiv geladenen Kern konzentriert ist und dass die negativ geladene sehr leichte Hülle die Grösse der Atome ausmacht. Bei Stössen ist die Wechselwirkung abhängig vom Massenverhältnis der Stosspartner. Die schweren α-Teilchen werden durch die Elektronen kaum gestört, so wie ein Vogel bei einer Kollision mit einem Auto den Weg des Autos kaum beeinflusst.

Zur Berechnung der Rutherford-Streuung verwenden wir ein Koordinatensystem wie in der Abbildung 4.3.2. Das α-Teilchen kommt aus _S = mit der Ursprungsgeschwindigkeit ₀ = . Nach der Streuung bewegt sich das α-Teilchen nach _Z = lim _a→∞ mit der Geschwindigkeit _z = . Zwischen dem Kern und dem α-Teilchen wirkt eine Zentralkraft, die Coulombkraft

(4.27)

Die Kraft kann in zwei Komponenten entlang der x-Achse und der z-Achse aufgespalten werden.

Fx	= - sin = - sin
Fz	= - cos = - cos	(4.28)

Die Coulomb-Kraft ist eine Zentralkraft. Deshalb ist der Drehimpuls bezüglich des Koordinatenursprungs erhalten. Als Zentralkraft ist die Coulomb-Kraft auch eine konservative Kraft. Das heisst dass = ist, da im Unendlichen die Coulombkraft verschwindet.

Der Anfangsdrehimpuls sowie der Drehimpuls an einem beliebigen Ort

sind

S	= lim z→∞× =
(ϕ)	= × M
	= ×M =	(4.29)

Also

(4.30)

Weiter müssen wir die Newtonsche Bewegungsgleichung lösen. Die Newtonsche Bewegungsgleichung in die x-Richtung hat den Vorteil, dass die Anfangsbedingung v_x,0 = 0 ist. Unter Verwendung von Gleichung (4.30) bekommen wir

(4.31)

Diese Gleichung kann direkt integriert werden

∫ -∞tMdt	= M ∫ 0vx(t)dṽ x = -∫ -∞t sin dt
	= -∫ 0ϕ(t) sin d	(4.32)

Der Endwinkel ist ϕ_Z = π -θ. Die Endgeschwindigkeit ist v_x,Z = -v₀ sin(ϕ_Z) = -v₀ sin(θ). Also lautet Gleichung (4.32)

M ∫ 0-v0 sin(θ)dṽ x	= -Mv0 sin(θ)
	= -∫ 0π-θ sin d = -	(4.33)

Unter Verwendung von 1 + cos(θ) = sin(θ) cot(θ∕2) erhalten wir

(4.34)

Der Stossparameter b hängt vom Streuwinkel θ ab

(4.35)

Wenn man annimmt, dass im kreisförmigen Intervall zwischen b und b + db eine gewisse Anzahl Teilchen eingestrahlt werden, dann treffen diese im Winkelsegment zwischen θ und θ + dθ auftreffen. Also benötigen wir auch

(4.36)

das Problem ist zylindersymmetrisch bezüglicher der z-Achse. Zwischen b und b + db ist die Fläche

(4.37)

Das Target ist in der Regel eine Folie mit der Dicke D_Folie, der bestrahlten Fläche A_Folie und der Zahlendichte der Atome N. Insgesamt streuen N_gesamt = D_FolieA_FolieN. Die gesamte Fläche, die zur Streuung in den Bereich dθ um θ beiträgt, ist

(4.38)

Wenn nun n α-Teilchen eintreffen, dann werden

(4.39)

Teilchen gestreut.

An der Detektorfläche berechnen wir den bestrahlten Raumwinkel

(4.40)

Der Detektor misst nur einen kleinen Raumwinkelbereich dΩ, da er in der Regel nur schmal ist. In den Detektor werden dann

(4.41)

Alles zusammengefügt erhält man

die Streuformel von Rutherford

(4.42)

Abbildung 4.3.2 zeigt die mit der Gleichung (4.42) berechnete Streukurve.

4.3.3  Selbstinterferenz von Atomen

Die Experimente von Carnal und Mlynek [CM91] im Jahre 1991 haben gezeigt, dass auch kompliziertere Objekte wie Atome Interferenzerscheinungen zeigen. Neuerere Experimente haben gezeigt, dass auch mehratomige Moleküle wie ein Wellenpaket interferieren. Ausser dass die Wellenlänge enorm klein ist, gibt es nichts was den Wellencharakter eines Fussballs verbieten würde.

5  Quantentheorie

Wir sahen, dass Licht sich unter gewissen Umständen wie ein Teilchenstrom verhält. Wir stellten fest, dass Elektronen und Atome sich wie Wellen verhalten. Die Quantenphysik stellt nun die Hypothese auf, dass dies immer gilt. Weiter wird vermutet, dass Impulse und Energien in vielen Systemen nur diskrete Werte annehmen können. Im Folgenden wollen wir mit beschränktem mathematischem Aufwand Gesetze und Regeln finden, die aus diesen Annahmen folgen.

5.1  Hilbert-Räume

Zu Beginn folgen einige mathematische Definitionen, die für die korrekte Formulierung der Gesetze und Regeln notwendig sind. Der mathematische Formalismus beruht auf Hilbert-Räumen. Ein Hilbert-Raum wird wie folgt definiert:

H ist ein linearer Vektorraum über dem Raum der komplexen Zahlen ℂ mit der Eigenschaften:

• Wir betrachten zwei Funktionen f und g. Wenn f ∈H und g ∈H, dann ist auch (f + g) ∈H
• Es gibt ein Nullelement 0, so dass (f + 0) = f gilt.
• Es gibt zu f ein symmetrisches Element -f so dass [f + (-f)] = 0
• Das skalare Produkt zweier Elemente f ∈ H und g ∈ H ist als Abbildung H×H→ ℂ :  (f,g) = f·g = ∫ _-∞^+∞f*(u)g(u)du definiert.

Die Norm einer beliebigen Funktion f ∈H ist definiert als ∥f∥ = (f·f)^1∕2

Weil H ein linearer Vektorraum ist, es gelten die folgenden Eigenschaften:

• f·(g₁ + g₂) = f·g₁ + f·g₂
• f·λg = λ(f·g), mit λ ∈ ℂ konstant
• f·f ≥ 0
• f·f = 0 ⇒ f = 0
• g·f = (f·g)*

Ein Vektorraum ist vollständig, wenn es für jedes f eine Reihe f₁,f₂,f₃,…f_n → f gibt, so dass lim _n→∞∥f_n - f∥ = 0 gilt.

Wenn für das Skalarprodukt von f ∈H und g ∈H f·g = 0 gilt, dann sind f und g orthogonal.

5.1.1  Lineare Operatoren

Wenn für einen linearen Operator und eine Funktion f ∈H die Gleichung f = af gilt, dann f ist Eigenfunktion von . a ist der entsprechende Eigenwert von .

5.1.2  Hermitesche Operatoren

Hermitesche Operatoren sind Operatoren, für die die folgende Gleichung gilt

(5.1)

Zum Beispiel sind die Operatoren _x = (ℏ∕i)(∂∕∂x) und = i(∂∕∂t) hermitesch.

Die Eigenfunktionen eines hermiteschen Operators sind orthogonal und die dazugehörigen Eigenwerte sind reell.

5.2  Herleitung der Schrödingergleichung

Wir haben gesehen, dass Materieteilchen bei gewissen Experimenten Interferenzerscheinungen zeigen. Wir brauchen also eine konsistente Beschreibung von Materieteilchen als Wellen. Die Schrödingergleichung ist eine Gleichung für eine Wellenfunktion ψ(,t). Wir werden sehen, dass ψ(,t) nicht direkt beobachtet werden kann.

5.2.1  Erste Möglichkeit der Herleitung der Schrödingergleichung

Wir leiten die eindimensionale Schrödingergleichung in den Koordinaten (x,t) ∈ ℝ her, indem wir den Ansatz ψ(x) = A exp verwenden. Wir erinnern uns an die de Broglie-Beziehung p = h∕λ = ℏk aus Gleichung (4.1) . Die erste und die zweite örtliche Ableitung unseres Ansatzes sind

(5.1)

und

(5.2)

Unser Ansatz ψ(x,t) = A exp , mit k = 2π∕λ und ω = 2πν, ist auch eine Lösung der Wellengleichung

(5.3)

wobei, c = λν = ω∕k die Ausbreitungsgeschwindigkeit ist. Gleichzeitig ist

(5.4)

und

(5.5)

Nach Planck setzen wir für die Energie E = ℏω an. Das Teilchen habe den de Broglie-Impuls p = ℏk. Wir verwenden die relativistische Energie-Impulsbeziehung und entwickeln in eine Reihe.

(5.6)

wobei γ = 1∕ ist.

für nichtrelativistische Geschwindigkeiten v « c können relativistische Effekte vernachlässigt werden. Dann ist die kinetische Energie

(5.7)

mit p = mv. Andererseits kann die kinetische Energie T auch geschrieben werden als T = E - V = (ℏ²k²)∕(2m) mit k² = 2m(E - V )∕ℏ². Wir erhalten also

(5.8)

Dieser Weg zur Herleitung der Schrödingergleichung ist Schrödingers originaler Weg zur Beschreibung von Materiewellen.

5.2.2  Zweite Möglichkeit der Herleitung der Schrödingergleichung

Die Schrödingergleichung kann auch mit einer zweiten Methode hergeleitet werden. Das Hamiltonsche Extremalprinzip fordert, dass die Wirkung eines Systems beschrieben durch die Lagrangefunktion L(q,,t) extremal ist, das heisst

(5.9)

Die Hamiltonfunktion ist definiert als die Summe der kinetischen und der potentiellen Energie

(5.10)

V soll hier nur eine Funktion von x sein. Die kinetische Energie ist T = p²∕(2m), wobei p der Impuls eines punktförmigen Teilchens mit der Masse m ist. Wir wissen nach Planck, dass die Energie einer Welle E = ℏω ist. Der Impuls kann gleichzeitig auch als p = ℏk geschrieben werden. Wenn sich ein Teilchen mit der Masse m bewegt, kann ihm eine de Broglie-Wellenlänge λ_dB = h∕p zugeschrieben werden. Damit können wir die obigen Gleichungen wie folgt umformen

(5.11)

oder

(5.12)

Wir definieren den Impulsoperator

(5.13)

und den Operator der kinetischen Energie

(5.14)

Wir wollen nun noch die Zeitabhängigkeit bestimmen. Die erste zeitliche Ableitung von ψ ist

(5.15)

Den Operator der Gesamtenergie E definieren wir andererseits so

(5.16)

Wenn zeitunabhängig ist, können wir den Operator für die Hamiltonfunktion definieren

(5.17)

wenn = V ist.

Wenn wir die Gesamtenergie gleich der Hamiltonfunktion setzen, also = + = , bekommen wir die Schrödingergleichung als Analogon zur klassischen Hamilton-Funktion H = T + V . Operatoren müssen immer auf etwas wirken, hier auf die Wellenfunktion ψ.

(5.18)

Wir haben in dieser Herleitung angenommen, dass die potentielle Energie zeitlich konstant ist. Dann hat der Hamiltonoperator Eigenwerte, das heisst

(5.19)

Dies ist die stationäre, zeitunabhängige Schrödingergleichung. Die Lösungen der Gleichungen sind dann harmonische Wellen

5.2.3  Wahrscheinlichkeitsinterpretation

Die Lösung der Schrödingergleichung, die Wellenfunktion ψ(x,t) kann nicht direkt beobachtet werden. Nach der Kopenhagener Interpretation ist das Skalarprodukt

(5.20)

gleich der Wahrscheinlichkeit, das System beschrieben durch ψ(,t) zur Zeit t am Ort im Volumen d = dxdydz zu finden.

Zum Beispiel hat ein Teilchen in einem unendlich hohen Potentialkasten die Wellenfunktion

(5.21)

Die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen mit der Teilwellenfunktion u₁ oder u₂ im Potentialkasten zu finden ist

(5.22)

Mit einer Wahrscheinlichkeit von 1∕2 misst man Teilchen die nach links oder rechts laufen. Dies heisst, dass der Vorfaktor von u₁ und u₂ 1∕ ist. Man kann nachrechnen, dass auch

(5.23)

Wenn wir nun den Erwartungswert eines Operators berechnen wollen, müssen wir den gewichteten Mittelwert ausrechnen. Für übliche Funktionen f(x) mit der Gewichtsfunktion g(x) (g(x) nicht identisch null) ist dies

(5.24)

In unserem Falle ist die Gewichtsfunktion g(x) = p(x) = ψ*(x)·ψ(x), der Wahrscheinlichkeitsdichte. Da die Wahrscheinlichkeitsdichten normiert sind, ist ∫ g(x)dx = ∫ ψ*ψdx = 1. Wir erhalten für den Erwartungswert der Funktion f

(5.25)

Wenn ein Operator ist, muss der Erwartungswert

(5.26)

Grösse	Erwartungswert
Ort x	= ∫ -∞∞x2dx = ∫ -∞∞ψ*xψdx = x
Potential V	= ∫ -∞∞V 2dx = ∫ -∞∞ψ*V ψdx = V
Impuls px	= ∫ -∞∞ψ*ψdx = ∫ -∞∞ψ* xψdx =
Energie Ekin	= ∫ -∞∞ψ*ψdx = ∫ -∞∞ψ* kinψdx = kin

Erwartungswerte für normierte Wellenfunktionen ψ.

Tabelle 5.2.3 gibt einige Erwartungswerte an. Verwenden Sie die Tabelle als Anleitung, wie Erwartungwerte berechnet werden sollen. Zur Schreibweise

ψ(x,y,z)	=	ψ*(x,y,z)	=
=	=	= *	=
	=

5.3  Eigenfunktionen und Eigenwerte der Schrödingergleichung

Die Eigenwerte des Hamiltonoperators sind die Energieeigenwerte des betrachteten Systems. In den nächsten Abschnitten sollen die Energieeigenwerte der Schrödingergleichung für verschiedenen Potentialfunktionen berechnet werden.

5.3.1  Stationäre Zustände

Wenn der Zustand eines Systems ψ eine ortsabhängige Linearkombination zweier Eigenfunktionen ψ₁ = a₁(x) exp(-iω₁t) und ψ₂ = a₂(x) exp(-iω₂t) ist, gilt

(5.1)

Wenn Zustände ψ₁ und ψ₂ sich zeitlich nicht ändern, dann nennt man sie stationär und die Wahrscheinlichkeitsdichten p₁ = ψ₁*·ψ ₁ und p₂ = ψ₂*·ψ ₂ haben zeitlich sich nicht ändernde Werte. Im Dialekt der Quantenphysiker nennt man das scharfe Werte. Die entsprechenden Eigenwerte sind zeitunabhängig.

Obwohl die Funktionen ψ₁ und ψ₂ stationäre Zustände sein sollen, also zeitlich unveränderlich, ist die Summe ψ nicht stationär. Die kurze Rechnung

ψ*·ψ	= *
	=
	= a* 1a1 + a* 2a2 + a* 1a2eiω1te-iω2t + a 1a* 2e-iω1teiω2t
	= a* 1a1 + a* 2a2 + a* 1a2eiω1te-iω2t + *	(5.2)

Wenn ein Eigenzustand des Operators = ia∂∕∂t sich mit der Zeit nicht ändert, dann wird er stationär genannt.

5.3.2  Kanonische konjugierte Variablen

Der Hamiltonformalismus der klassischen Mechanik eines Systems mit der Lagrangefunktion L beschreibt die mechanischen Bewegungsgleichungen mit verallgemeinerten Ortskoordinaten q_i und verallgemeinerten Impulskoordinaten p_i = ∂L∕∂_i. Die Variablen q_i und p_i werden üblicherweise kanonische konjugierte Variablen genannt.

In Quantenmechanik gibt es ein analoges Konzept zu kanonisch konjugierten Variablen, die kanonisch konjugierten Operatoren. Dies sind

• Ort und Impuls _x
• Winkel und Drehimpuls
• Zeit t und Energie (Die Zeit t ist in der Quantenmechanik eine klassische Variable, kein Operator.

Die Definitionen der Operatoren sind

	= x
x	=
	= x + y + z
	= ∇
	= ϕ
	= ×∇
	= iℏ	(5.3)

wobei , und die Einheitsvektoren sind, die das Koordinatensystem aufspannen.

5.3.3  Vertauschungsrelationen

Analog zur Poissonklammer der klassischen Mechanik gibt es in der Quantenmechanik Kommutatoren.

Die mathematische Operation

heisst Kommutator.

So wie die Operatoren in der Quantenmechanik definiert sind, gelten die folgenden Vertauschungsrelationen:

Ort und Impuls

(5.4)

mit

	= x
x	= -iℏ

Energie und Zeit

(5.5)

mit

= iℏ

Die Vertauschungsrelationen von konjugierten Operatoren heissen auch Unschärferelationen. Sie sind eine Konsequenz der Wellennatur der Lösungen der Schrödingergleichung und wurden von Werner Heisenberg gefunden. Die Energie-Zeit-Unschärferelation gilt oftmals nicht als echte Unschärferelation, da die Zeit kein Operator ist.

5.4  Axiome der Quantenmechanik

1. Der Zustand eines physikalischen Systems wird durch eine Wellenfunktion oder Zustandsfunktion ψ beschrieben.
2. Jede physikalische Grösse entspricht einem linearen Hermiteschen Operator.
3. Ein Zustand eines Systems, in dem eine physikalische Grösse a einen scharfen Wert besitzt, muss durch eine Eigenfunktion des zu a gehörigen Operators beschrieben sein; der Wert dieser Grösse a ist ein Eigenwert des Operators .
4. Wenn der Zustand eines Systems durch eine Wellenfunktion ψ = ∑ _kc_kf_k dargestellt wird, wobei die f_k Eigenfunktionen des gleichen hermiteschen Operators und die c_k komplexe Konstanten sind, dann ist

   (5.1)

   und

   (5.2)

Die Eigenwerte a_k von sind reelle Zahlen (a_k ∈ ℝ∀k). Die Wellenfunktionen ψ_k definiert durch ψ_k = a_kψ_k oder = a_k sollen ein vollständiges Funktionensystem bilden.

Der Erwartungswert von a ist

(5.3)

In Allgemein ist die Streuung einer Observablen a analog wie die Standardabweichung definiert

(5.4)

5.5  Wahrscheinlichkeitsdichte und Wellenfunktionen der Schrödingergleichung: die Bohrsche Interpretation

Wie oben ausgeführt, beschreiben die Eigenfunktionen des Operators (Lösungen der Schrödingergleichung) oder jeden anderen Operators nicht die räumliche Verteilung eines Teilchens. Nach Niels Bohr und der Kopenhagener Interpretation befindet sich ein Teilchen mit Wahrscheinlichkeitsdichte ² = ψ*(x)ψ(x) am Ort x.

5.5.1  Wellenpakete

Wenn der Impuls p_x = ℏk eines Teilchens nicht scharf definiert ist, das heisst wenn das Teilchen nicht durch eine ebene Welle (unendlich ausgedehnt!) beschrieben wird, hat der Impuls des Teilchens eine Streuung Δp∕2. Mit einer Fouriertransformation kann man den Ort ausrechnen, wenn bekannt ist, dass das Teilchen sich im Impulsraum zwischen p_x - Δp∕2 ≤ p_x ≤ p_x + Δp∕2 aufhält. Wir betrachten nur den Ortsanteil der Wellenfunktion ψ(x,t) = ψ₀ exp .

(5.1)

dieses Resultat kann umgeformt werden

(5.2)

Der Ortsanteil der Wellenfunktion ψ(x) ist eine ebene Welle mit der ortsabhängigen Amplitude (also keine echte ebene Welle)

mit

Dann gilt Δz = π oder Δx = ℏ∕Δp. Das Produkt ΔxΔp = ℏ. zeigt, dass sowohl Impuls wie auch Ort maximal gut definiert sind. Ein Wellenpaket mit diesen Eigenschaften ist in Abbildung 5.5.1 gezeigt.

5.6  Heisenbergsche Unschärferelation

Die Betrachtung im vorherigen Abschnitt legen die Frage nahe: was ist die minimale Grösse des Produktes Δxδp? Dazu betrachten wir ein Wellenpaket wie in Abbildung 5.5.1 gezeigt, das durch eine Gausssche Verteilung der Amplitude der Wellenfunktion (im Ortsraum oder in der Zeit) definiert ist.

(5.1)

Die Vorfaktoren dienen zur Normierung der Funktion. Das Maximum der Wellenfunktion befindet sich bei x, die Variable a ist die Breite des Pakets und k₀ der mittlere Wellenvektor. Die resultierende Funktion ψ(x, 0) ist eine Gausssche Verteilung in Abhängigkeit von x.

(5.2)

und

(5.3)

Wenn die Ortsunschärfe, das heisst die Streuung im Ort Δx = a∕2 ist, dann ist die entsprechende Impulsunschärfe Δp = ℏ∕a. Dann ist das Produkt

(5.4)

Damit ist gezeigt, dass es unmöglich ist, gleichzeitig Ort und Impuls mit beliebigen Genauigkeit zu messen. Die Gleichung (5.4) ist als Heisenbergsche Unschärferelation bekannt.

5.7  Lösung der Schrödingergleichung für einen unendlichen Potentialtopf

Die zeitunabhängige Schrödingergleichung erlaubt die Berechnung der Wellenfunktion eines Teilchens in einem unendlichen tiefen Potentialtopf (Abb. 5.7). Die Breite des Topfes ist a. Wir nehmen als Ansatz die Funktion ψ(x,t) = ϕ(x)e^-iωt. Die zeitunabhängige Schrödingergleichung lautet

(5.1)

Dabei haben wir die Potentialfunktion

(5.2)

Im Potentialtopf für 0 ≤ x ≤ a haben die Lösungen die Form

(5.3)

mit k = 2π∕λ. Die beide Terme entsprechen zwei harmonischen Wellen, die sich in der negativen und der positiven Richtung der x-Achse ausbreiten. Die Potentialfunktion V in den Wänden des Potentialtopfs hat den Wert unendlich. Dann sind die Amplituden der Lösungen der Schrödingergleichung innerhalb der Wände des Topfes null. Mit anderen Worten, die Wellenfunktion soll für ϕ(x ≤ 0) = 0 und ϕ(x ≥ a) = 0 verschwinden. Die Randbedingungen ergeben

(5.4)

Wenn wir die obigen Gleichungen nach A₁ und A₂ auflösen, bekommen wir

(5.5)

Nun ist e^ika - e^-ika = 2i sin . Wir erhalten also

(5.6)

mit n ∈ ℤ. Die Lösung der Schrödingergleichung für den Potentialtopf hat also die Form

(5.7)

Wenn wir den Ansatz unter Berücksichtigung der Randbedingungen in die Schrödingergleichung einsetzen, erhalten wir

-ϕ(x)

= Eϕ(x)

(5.8)

(5.9)

Die Wellenfunktion ϕ muss auf 1 normiert sein, da wir das Teilchen sicher im gesamten Raum finden. Aus ϕ*·ϕ = 1 erhalten wir den Wert der Konstanten A₁ = .

Die Einschränkung (Lokalisierung) der Wellenfunktion auf ein beschränktes Gebiet, den Potentialkasten, bedingt die Quantisierung der Teilchenenergie.

5.8  Lösungen der Schrödingergleichung für eine Potentialstufe

Wir betrachten eine von links auf eine Potentialstufe mit endlicher Energiehöhe einfallende Welle. Dies führt zum Ansatz

ψ(x,t) ist harmonisch von der Zeit abhängig. Deshalb ist ϕ(x) ist eine stationäre Lösung der zeitunabhängigen Schrödingergleichung.

Die Lösungen sind abhängig von der Energie des Teilchens (der Welle) unterschiedlich:

1. Die Energie der einfallenden Welle E ist grösser als die potentielle Energie (E > V ₀). Dann werden wir im ganzen Gebiet wellenartige Lösungen mit Interferenzen bekommen.
2. Die Energie der einfallenden Welle E ist kleiner als die potentielle Energie (E ≤ V ₀). Hier gibt es das Phänomen der evaneszenten Wellen, also an der Grenzfläche lokalisierter Wellen.

Sei ϕ(x) die Ortsfunktion einer einfallenden Welle, die sich in der positiven Richtung der x-Achse ausbreitet. Ihr Impuls ist p₁ = ℏk₁ für x < 0 und p₂ = ℏk₂ für x > 0. Die kinetische Energie ist T = p²∕2m = E und T = p²∕2m = E - V ₀. Also haben wir

(5.1)

und

(5.2)

Die Lösungen der Schrödingergleichung müssen zweimal differenzierbar sein, d.h. ϕ und ∂ϕ∕∂x müssen stetig sein für alle x. Die Stetigkeit besagt, dass ϕ(x) und ∂ϕ(x)∕∂x für x = 0 dieselben Werte haben müssen. Die Eigenfunktion ϕ(x) hat für x < 0 zwei Komponenten: Eine sich ausbreitende Welle mit der Amplitude A₁ in der positiven Richtung der x-Achse und eine sich ausbreitende Welle (die reflektierte Welle) mit der Amplitude A′₁ in der negativen Richtung der x-Achse. Beide mit demselben Impuls p₁ = ℏk₁. Für x > 0 es gibt nur eine harmonische Welle mit der Amplitude A₂ und dem Impuls p₂ = ℏk₂ (transmittierte Welle), die sich in die positive Richtung der x-Achse ausbreitet. Also erhalten wir für den ersten Fall

	=
	=	(5.4)

(5.5)

und Transmissionskoeffizienten

(5.6)

Diese beiden Koeffizienten beschreiben die Intensität der Reflexion bzw. der Transmission, oder, in anderen Worten, deren Wahrscheinlichkeitsdichte. Die Vorfaktoren haben die gleiche Funktion wie die Dieklektrizitätszahlen in den Fresnelschen Formeln der Optik. Die Erhaltung der Gesamtenergie verlangt, dass

(5.7)

ist.

Wenn im Gebiet x > 0 die kinetische Energie kleiner als die potentielle Energie ist (Fall 5.8) wird der Wellenvektor imaginär

(5.8)

Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit das Teilchen für x > 0 zu finden, exponentiell mit x abnimmt. Weiter haben wir

	=
	=	(5.10)

(5.11)

und für den Transmissionskoeffizienten

(5.12)

Alle Energie wird also reflektiert, aber es gibt im verbotenen Bereich dennoch eine mit der Distanz abnehmende Energiedichte.

5.9  Potentialbarriere und Tunneleffekt

Wir sahen, dass eine von links einlaufende Welle mit einer kinetischen Energie kleiner als die Stufenhöhe im Bereich der Stufe eine exponentiell abfallende Wahrscheinlichkeit besitzt. ist die Stufe endlich breit, so gibt es auch am rechten Rand der Stufe eine Aufenthaltswahrscheinlichkeit: das Teilchen hat die Barriere durchtunnelt. Zur Rechnung verwenden wir den Ortsanteil der Wellenfunktion ψ(x,t) = ϕ(x) exp(-iωt), die von links her in positiver Richtung auf die Barriere zwischen x = 0 und x = a (Abbild. 5.9) einfallen soll.

Wie im vorherigen Absatz muss ϕ und ∂ϕ∕∂x stetig sein. Die Energie der Welle ist zuerst beliebig.