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Die zeitunabhängige Schrödingergleichung erlaubt die Berechnung der Wellenfunktion eines Teilchens in einem unendlichen tiefen Potentialtopf (Abb. 5.7). Die Breite des Topfes ist a. Wir nehmen als Ansatz die Funktion ψ(x,t) = ϕ(x)e−iωt. Die zeitunabhängige Schrödingergleichung lautet
| (5.1) |
Dabei haben wir die Potentialfunktion
| (5.2) |
Im Potentialtopf für 0 ≤ x ≤ a haben die Lösungen die Form
| (5.3) |
mit k = 2π∕λ. Die beide Terme entsprechen zwei harmonischen Wellen, die sich in der negativen und der positiven Richtung der x-Achse ausbreiten. Die Potentialfunktion V in den Wänden des Potentialtopfs hat den Wert unendlich. Dann sind die Amplituden der Lösungen der Schrödingergleichung innerhalb der Wände des Topfes null. Mit anderen Worten, die Wellenfunktion soll für ϕ(x ≤ 0) = 0 und ϕ(x ≥ a) = 0 verschwinden. Die Randbedingungen ergeben
| (5.4) |
Wenn wir die obigen Gleichungen nach A1 und A2 auflösen, bekommen wir
| (5.5) |
Nun ist eika − e−ika = 2i sin . Wir erhalten also
| (5.6) |
mit n ∈ ℤ. Die Lösung der Schrödingergleichung für den Potentialtopf hat also die Form
| (5.7) |
Wenn wir den Ansatz unter Berücksichtigung der Randbedingungen in die Schrödingergleichung (5.1) einsetzen
können die dazugehörigen Energieeigenwerte gefunden werden
| (5.9) |
Die Wellenfunktion ϕn(x) muss auf 1 normiert sein, da wir das Teilchen sicher im gesamten Raum finden. Aus ∫ 0aϕ∗ n(x) ⋅ϕn(x)dx = 1 erhalten wir den Wert der Konstanten Ã1 = oder A1 = .
Die Einschränkung (Lokalisierung) der Wellenfunktion auf ein beschränktes Gebiet, den Potentialkasten, bedingt die Quantisierung der Teilchenenergie. |