(Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 645])
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Die elektrischen Felder
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Wir berechnen das elektrische Feld innerhalb und ausserhalb einer Kugelschale.
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Berechnung eines Feldes einer Kugelschale
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Die eingeschlossene Ladung durch die Kugelfläche mit dem Radius ist
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(2.22) |
Da die Gesamtladung innerhalb dieser Fläche ist, haben wir
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(2.23) |
Damit ist für
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(2.24) |
Das elektrische Feld einer homogen geladenen Kugelschale ist also ununterscheidbar vom elektrischen Feld
einer Punktladung. Für ist die eingeschlossene Ladung
. Damit ist auch
und folglich für
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(2.25) |
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Die Feldverteilung einer homogen geladenen Kugelschale.
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Das elektrische Feld einer homogen geladenen Kugel mit dem Radius wird analog berechnet. Ausserhalb der Kugel
für
ist wie oben
. Also ist für
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(2.26) |
Wenn die Ladungsdichte
ist, ist die von einer zur homogen geladenen
Kugel konzentrischen Kugelschale mit
umschlossene Ladung
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(2.27) |
Weiter haben wir
. Also ist für
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(2.28) |
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Elektrisches Feld einer homogen geladenen Kugel
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Integrationsfläche zur Berechnung des elektrischen Feldes einer Ebene
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Das elektrische Feld einer homogen geladenen Platte kann wie folgt berechnet werden.
Wenn die Ladungsdichte auf der Platte ist, dann ist
da sowohl die Unterseite wie auch die Oberseite einen Beitrag liefern.
Also ist
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(2.30) |
homogen im Raum.
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Materialien
Folien zur Vorlesung vom 24. 04. 2008: PDF Seminar vom 24. 04. 2008. Aufgabenblatt 03 |
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Elektrisches Feld um eine endliche Platte.
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Wir betrachten eine endliche ebene leitfähige Platte mit der Ausdehnung . Wir können drei Fälle
unterscheiden:
Ein Beispiel für diese Art Flächenladungen sind Klebestreifen. Andreas Döring [Dör01] gibt an, dass
Haftklebematerialien spezifische Haftenergien von
haben. Die Definition von
ist
Bei zwei homogen geladenen Platten, deren Flächenladungsdichte vom Betrage her gleich sind, aber unterschiedliches
Vorzeichen haben, heben sich die Felder ausserhalb der Platten auf. Gleichzeitig verstärken sich die Felder im
Inneren: Die elektrische Feldstärke wird
.
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Elektrisches Feld entgegengesetzt gleich geladener Platten.
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Sind die Platten jedoch gleich geladen (oder ist die Oberflächenladung der Platten gleich), kompensieren sich die
elektrischen Felder im Innern der Platte, verstärken sich aber im Aussenraum. Wieder ist im Aussenraum
.
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Elektrisches Feld gleich geladener Platten
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Leiter haben in ihrem Inneren keine statischen elektrischen Felder. |
Da Ladungen im Inneren eines Leiters beweglich sind, folgt, dass das elektrische Feld an einer beliebigen Oberfläche, die sich ganz im Inneren eines Leiters befindet, null ist. Damit ist die umschlossene Ladung ebenso null. Daraus folgt, dass Ladungen sich nur an der Oberfläche eines Leiters befinden können.
Das elektrische Feld an der Oberfläche eines Leiters kann mit dem Gaussschen Gesetz berechnet werden. Wir betrachten eine zylinderförmige Fläche, deren eine Kreisfläche unter der Oberfläche des Leiters und deren andere über der Oberfläche des Leiters ist.
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Integrationsfläche
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Der gesamte Fluss ist
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(2.31) |
da das elektrische Feld im Inneren des Leiters null ist und die Höhe der Seitenflächen verschwinden soll, haben wir
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(2.32) |
und
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(2.33) |
Aus dem Gaussschen Gesetz werden die zwei folgenden Schlüsse gezogen:
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Links: Feldlinien in der Nähe eines Leiters. Rechts: Diese Feldlinien können mit einer Bildladung erklärt
werden.
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Da elektrische Feldlinien immer senkrecht auf der Oberfläche eines Leiters stehen müssen, sieht das Feldlinienbild
einer Punktladung in der Nähe eines Leiters wie die Hälfte des Feldlinienbildes eines Dipols aus. Das elektrische
Feld der Punktladung erzeugt an der Oberfläche die Influenzladung
, die das äussere Feld
im Leiter abschirmt. Formal kann das Feldlinienbild berechnet werden, indem man zu einer Ladung
im
Abstand
von der Oberfläche eines Leiter im Leiter innen eine Bildladung
auch im Abstand
von der
Oberfläche verwendet.
Das Konzept der Bildladung zeigt, dass eine Ladung im Abstand
von einem Leiter mit der Kraft
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(2.34) |
angezogen wird. Die Senkrechtkomponente (-Komponente) des elektrischen Feldes ist im Abstand
vom Aufpunkt
in der Leiteroberfläche
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(2.35) |
Damit ist die Oberflächenladungsdichte
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(2.36) |
Mit analogen Überlegungen kann auch die Bildladungsdichte von kontinuierlichen Ladungsverteilungen berechnet werden5.
Othmar Marti