Nach der Gleichung (2.9) kann die gesamte Ladung in einem Raumgebiet begrenzt durch die Fläche
durch
ausgedrückt werden.
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Integration über eine Kugelfläche mit einer Punktladung im Zentrum
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Wir betrachten eine kugelsymmetrische Situation um eine Punktladung . Wir definieren den Normalenvektor am Ort
als
. Das Oberflächenelement
ist
.
Das elektrische Feld an der Kugeloberfläche ist
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(2.13) |
Wir erhalten damit das Gausssche Gesetz
Die Grösse
ist der
Fluss des Vektorfeldes
durch die Oberfläche. Dieses Integral kann
vereinfacht werden, indem wir die dielektrische Verschiebung
einführen. Die Einheit der dielektrischen Verschiebung ist
.
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Materialien
Seminar vom 21. 04. 2008. Aufgabenblatt 02 Folien zur Vorlesung vom 21. 04. 2008: PDF |
Weiter ist
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(2.16) |
Allgemein gilt die obige Gleichung für beliebige geschlossene Flächen , die das Volumen
einschliesst.
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Approximation von beliebigen Oberflächen durch
Kugelsegmente. Approximation einer kontinuierlichen Ladungsverteilung durch Punktladungen.
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Mit dem Gaussschen Satz (Gleichung (C.41) ) kann die Gleichung umgeschrieben werden in
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(2.18) |
Diese Gleichung muss für alle Oberflächen gelten. Deshalb müssen die Integranden gleich sein
Dies ist die Differentialform der Gleichung für die elektrische Verschiebung. Die physikalische Interpretation ist: die Ladungen sind die Quellen (Divergenz) der elektrischen Verschiebung und damit des elektrischen Feldes.
Im ladungsfreien Raum lautet Gleichung (2.19) :
. Diese Gleichung ist mathematisch
äquivalent zur Kontinuitätsgleichung strömender inkompressibler Flüssigkeiten. Für deren Geschwindigkeitsfeld
gilt nämlich
.
Es gibt Moleküle, bei denen die negativen und die positiven Ladungen getrennte Schwerpunkte
haben. Eine negative Ladung im Abstand
von einer positiven Ladung
heisst
Dipol mit dem Dipolmoment
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(2.20) |
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Kräfte auf einen Dipol im homogenen elektrischen Feld.
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Im homogenen elektrostatischen Feld wirkt auf die positive Ladung die Kraft
und auf
die negative Ladung
. Zusammen bilden diese beiden Kräfte ein Kräftepaar und erzeugen damit ein
Drehmoment
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(2.21) |
![]() (Versuchskarte ES-30) |
Othmar Marti