Energie des Magnetfeldes

Berechnung der Energie im Magnetfeld

Wir betrachten eine mit einer Wechselstromquelle $U(t) = U_0 \sin(\omega t)$ verbundene reale Spule. Diese Spule wird modelliert durch einen Widerstand $R$ und eine ideale Spule $L$. Die Differentialgleichung dieses Kreises lautet

$$U(t)= L\cdot \dot I(t)+R\cdot I(t)$$ (4.434)

Die stationäre Lösung dieser Gleichung hat die Form

$$I_S(t) = I_0\cos(\omega t-\delta)$$ (4.435)

Für den Fall, dass $R \ll \omega L$ ist, bekommt man

$$I_S(t) =-\frac{U_0}{\omega L}\cdot \cos\omega t$$ (4.436)

Die momentane Leistung der Spannungsquelle ist

$$P_U(t) = U(t)\cdot I(t)= -\frac{U_0^2}{\omega L}\cdot \sin\omega t\cdot\cos\omega t = -\frac{U_0^2}{\omega L}\cdot\frac{1}{2}\sin(2\omega t)$$ (4.437)

Die Leistung der Spannungsquelle kann nur die Energie des $\vec{B}$-Feldes ändern, da wir keine dissipativen Elemente haben ($R=0$). Wenn man die Differentialgleichung für den Fall mit $I(t)$ multipliziert, bekommt man

$$P_U= U(t)\cdot I(t)= L\cdot I\cdot \dot I= \frac{d}{dt}\left(\frac{L}{2}I^2\right)$$ (4.438)

Nun ist aber $P = dE/dt$. Damit ist die Energie des Magnetfeldes

$$E_L = \frac{L}{2}I^2$$ (4.439)

Um die Energiedichte eines Magnetfeldes zu berechnen betrachten wir eine Spule

$$B = \mu_0 n I$$ (4.440)

mit der Selbstinduktivität

$$L = \mu_0 n^2 A\ell$$ (4.441)

wobei $A$ der Querschnitt der Spule und $\ell$ ihre Länge ist. Eingesetzt in die Gleichung für die Energie $E_L$ bekommt man

$$E_L=\frac{1}{2}\cdot \mu_0 n^2 A\ell\cdot \left(\frac{B}{\mu_0 n}\right)^2 =\frac{B^2}{2\mu_0}A\ell$$ (4.442)

Deshalb ist die Energiedichte des $\vec{B}$-Feldes

$$w_B = \frac{B^2}{2\mu_0}$$ (4.443)