Diamagnetische (Bi), paramagnetische (Al) und ferromagnetische (Fe) Materialien im inhomogenen
Magnetfeld.
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Versuch zur Vorlesung: Dia- und Paramagnetismus (Versuchskarte EM177) |
Materie im inhomogenen Magnetfeld zeigt drei verschiedene Verhalten:
Kreisströme als Ursache des Dia- und des Paramagnetismus
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Die Materie im inhomogenen Magnetfeld verhält sich wie wenn die Materie aus einem Kreisstrom bestände. Auf diesen Kreisstrom wirkt, je nach Umlaufsinn eine Kraft zum hohen oder zum niedrigen Feld. Das magnetische Moment der Kreisströme ist beim Diamagnetismus antiparallel zu . Beim Paramagnetismus und beim Ferromagnetismus zeigt das magnetische Moment in die Richtung von . Der Kreisstrom ist induziert, das heisst, dass seine Richtung von der von abhängt. Die resultierende Kraft ist die Biot-Savart-Kraft. Sie ist proportional zum Produkt . Wenn man die Richtung des Magnetfeldes umkehrt, wird auch umgekehrt. Die Richtung der Kraft ist als unabhängig von der Richtung von .
Wenn der Kreisstrom (die Materie) sich auf der Symmetrieachse eines rotationssymmetrischen inhomogenen Magnetfeldes befindet, ist
(4.444) |
(Siehe Leisi, Klassische Physik II [Lei98, pp. 162])
Illustration zum Satz von Larmor
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Wir hatten postuliert, dass das Verhalten der Materie in einem Gradienten eines Magnetfeldes durch atomare Kreisströme gegeben ist. Wenn wir ein Modell (nach der Quantenphysik nicht realistisch) eines Atoms betrachten, bei dem ein einzelnes Elektron auf einer Bahn mit dem Radius sich um den positiv geladenen Kern bewegt, ist der resultierende Strom
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Langsames Einschalten eines Magnetfeldes für ein Elektron in einem Atom. Im linken Schaubild sind die
positiven Richtungen definiert.
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Im Ausgangszustand ist die Zentripetalkraft die Coulombanziehung zwischen dem Elektron und dem Kern sowie durch die gemittelte Coulombabstossung durch die anderen Elektronen gegeben. Das anwachsende Magnetfeld hat die gleiche Wirkung wie beim Betatron: es entsteht ein tangentiales -Feld, das das Elektron beschleunigt. Wir setzen die -Achse nach oben an. In einem rechtshändigen System ist dann
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Die Lorentz-Kraft bewirkt also, dass die Elektronenbahnen für kleine Geschwindigkeitsänderungen sich nicht ändern. Die Larmorwinkelgeschwindigkeit in Abhängigkeit der Zunahme der Bahngeschwindigkeit und der magnetischen Induktion ist
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Larmorwinkelgeschwindigkeit
In einem mit der Winkelgeschwindigkeit rotierenden System sind die Elektronenbahnen im Atom unverändert. |
Der Satz von Larmor gilt allgemein, auch bei beliebiger Orientierung von Magnetfeld und Bahnebene des Elektrons. Der Satz von Larmor bildet die Grundlage des Verständnisses des Diamagnetismus
Berechnung der Larmorfrequenz mit einem Kreisel
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Man kann den Satz von Larmor aus der Kreiseltheorie ableiten. Das Elektron ist, bei einer Bahn mit konstantem Radius, ein starrer Körper. Dieser Kreisel hat den Drehimpuls
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(4.460) |
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Berechnung des Diamagnetismus
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Im diamagnetischen Atom ist die Summe aller magnetischer Momente der Elektronen exakt null.
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Wenn ein -Feld eingeschaltet wird, beginnt diese kugelsymmetrische Ladungsverteilung mit der Larmorfrequenz zu präzedieren. Durch diese Präzession im Magnetfeld entsteht ein von null verschiedenes magnetisches Moment , das zum Diamagnetismus führt. Zur vereinfachten Berechnung nimmt man an, dass das Atom eine homogen geladene Kugel ist mit der Ladungsdichte
(4.464) |
Ein einzelner Kreisstrom
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Diese homogen geladene Kugel rotiert im äusseren Magnetfeld mit
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(4.466) |
(4.467) |
(4.468) |
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(4.470) | |||
(Siehe Leisi, Klassische Physik II [Lei98, pp. 170])
Atomare Kreisströme
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Die gesamte makroskopische Magnetisierung ist das mittlere magnetische Moment pro Volumeneinheit
(4.472) |
Das externe Magnetfeld soll senkrecht zur Bildebene des obigen Bildes sein. Die atomaren Kreisströme müssen dann in der Bildebene liegen. Betrachten wir ein Flächenelement , das senkrecht zur Bildebene liegt, dann stellen wir fest, dass alle Kreisströme zweimal durch dieses Ebenenelement gehen, einmal in positiver und einmal in negativer Richtung. Bis auf die Ströme an den Rändern heben sich alle Ströme auf. Das heisst, dass das mittlere Stromdichtefeld
(4.473) |
(4.474) |
Das magnetische Feld aller Kreisströme muss identisch mit dem externen Feld sein. Nun ist aber das magnetische Moment eines Kreisstromes in genügender Entfernung nicht von der Fläche dieses Stromes abhängig. Deshalb muss die Summe aller einzelner atomarer magnetischer Momente dem magnetischen Moment des Oberflächenstromes gleich sein.
(4.475) |
(4.476) |
Neben den von der Bahnbewegung herrührenden magnetischen Momenten hat zum Beispiel das Elektron ein magnetisches Moment, das von seinem Drehimpuls (Spin) herrührt.
Elektronenspin
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Zu diesem Drehimpuls oder Spin gehört ein entsprechendes magnetisches Moment . Aus der Quantenmechanik weiss man, dass die Projektion des Spins auf eine raumfeste Achse einen festen Betragswert
(4.477) |
(4.478) |
(4.480) |
(Siehe Kneubühl, Repetitorium der Physik [Kne78, pp. 262])
Bei paramagnetischen Atomen hebt sich das magnetische Bahnmoment der einzelnen Elektronen eines Atoms sowie deren von den Spins herrührendes magnetisches Moment nicht vollständig auf.
(4.482) |
Die Magnetisierung kann mit der folgenden Überlegung berechnet werden. Wir setzen an
(4.483) | |||
Die Energie des magnetischen Dipols im Magnetfeld hängt nur von ab. Wir machen eine Koordinatentransformation auf . Die Energie ist dann
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(4.487) |
(4.488) |
(4.489) | |||
Diese klassisch berechnete Magnetisierung ist für kleine Magnetfelder, also verifizierbar. Da für die Reihenentwicklung gilt bekommen wir das Curie-Gesetz
(4.490) |
(4.491) |
Alternativ kann die Curie-Konstante auch mit molaren Grössen ausgedrückt werden, indem wir setzen.
(4.492) |
Schematischer Verlauf der Magnetisierung (Curie-Gesetz für kleine ). ist die
Sättigungsmagnetisierung.
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Versuch zur Vorlesung: Ferromagnetismus - Modellversuch (Versuchskarte EM175) |
Ferromagnetische Atome haben genau so wie paramagnetische Atome ein permanentes magnetisches Moment . Im Gegensatz zu den Paramagneten bleibt jedoch auch ohne äusseres Magnetfeld ein magnetisches Moment übrig. Die Magnetisierung als Funktion des Magnetfeldes kann mit der unten stehenden Apparatur gemessen werden.
Messung der Hysterese eines Ferromagneten. Rot ist der Primärkreis, grün der Sekundärkreis.
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Unter Vernachlässigung der Selbstinduktion ist die Differentialgleichung für den Sekundärkreis
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(4.494) |
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Hysteresekurve eines Ferromagneten
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Diese Abbildung zeigt das skizzierte Resultat des obigen Versuches. Interessant ist, dass bei , also ohne anregendes Magnetfeld, trotzdem ein Feld gemessen wird. Diese Feld kann nur von einer nichtverschwindenden Magnetisierung ohne äusseres Feld herrühren. Diese nichtverschwindende Magnetisierung ist das Kennzeichen eines Ferromagneten.
Andererseits gibt es zwei Punkte, bei denen das resultierende Magnetfeld null ist, obwohl ein äusseres Magnetfeld angelegt wurde. Dies kann nur sein, wenn die Magnetisierung im Material das äussere Feld gerade kompensiert.
Weiter nimmt für sehr grosse anregende Felder das resultierende Magnetfeld kaum mehr zu. Man spricht von einer Sättigung der Magnetisierung.
Versuch zur Vorlesung: Magnetische Bezirke (Versuchskarte EM178) |
Ferromagnetische Domänen
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Das beobachtete Verhalten kann mit ferromagnetischen Domänen, auch Weisssche Bezirke genannt, erklärt werden. Das Material besteht, wie oben skizziert, aus einer grossen Zahl kleiner Bereiche, die jeder seine eigene Orientierung der Magnetisierung haben. Die gemittelte Magnetisierung hängt davon ab, wie zufällig die Domänen verteilt sind.
Änderung der Domänenstruktur bei stärker werdendem äusserem Magnetfeld
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Wird ein äusseres Magnetfeld angelegt, beginnen die Domänen, die bezüglich des externen Feldes richtig orientiert sind, zu wachsen, die anderen schrumpfen. Die makroskopische Magnetisierung wächst, hinkt aber hinter der Anregung zurück.
Domänen ändern die Richtung ihrer Magnetisierung nicht, sie ändern nur ihre Grösse. |
Bei der Änderung der Grösse der Domänen müssen Domänenwände verschoben werden. Dies kostet Energie und zeigt sich als Hysterese. Dieser Energieverlust bei der Grössenänderung stabilisiert aber auch die Domänen.
Löschen des remanenten Magnetismus
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Um die makroskopische Orientierung der Domänen zum Verschwinden zu bringen, muss man die ferromagnetische Substanz langsam aus einem Wechselfeld entfernen. Das Bild oben zeigt die resultierenden Hysteresekurven. Die Hystereseschlaufe wird so quasikontinuierlich auf einen Punkt, den Ursprung des Koordinatensystems zusammengezogen.
Anwendung: Entmagnetisieren von Schraubenziehern, Löschen von Tonbändern.
Othmar Marti