(Siehe Bronstein, Taschenbuch der Mathematik [BSMM00, pp. 190])
Im Folgenden sind ,
,
und
Vektoren oder vektorielle Funktionen,
,
,
und
ihre Längen,
eine Zahl und
eine skalare Funktion. Die Komponenten der Vektoren
in kartesischen Koordinaten sind
Skalarprodukt
Vektorprodukt
Vertauschung der Reihenfolge (Kommutationsgesetze)
Zwei Vektoren sind orthogonal, wenn
Sie sind kollinear, wenn
Doppeltes Vektorprodukt
Spatprodukt oder gemischtes Produkt
Drei Vektoren sind komplanar, wenn
Lagrangesche Identität
Vierfaches Vektorprodukt
Ableiten eines Vektors
Ableitung eines Produktes
Ableitung des Skalarproduktes
Ableitung des Vektorproduktes
Ableitung eines Vektors mit konstantem Betrag. Hier ist
. Aus
Gleichung (C.14) folgt
Taylorentwicklung einer Vektorfunktion
Ableitung eines skalaren Feldes nach einer Richtung
Ableitung
in Richtung des Einheitsvektors
in Richtung von
Richtungsableitung einer skalaren Funktion im Vergleich zur Richtung mit dem stärksten Abfall (Einheitsvektor
)
Ableitung eines Vektorfeldes nach einer Richtung
Ableitung
in Richtung des Einheitsvektors
in Richtung von
Richtungsableitung einer Vektorfunktion
Gradient eines Produktes
Kettenregel beim Gradienten
Gradient eines Skalarproduktes
Gradient eines Skalarproduktes eines konstanten Vektors mit einem Ortsvektor
Divergenz eines Produktes
Divergenz eines Skalarproduktes eines konstanten Vektors mit einem Ortsvektor
Divergenz eines Vektorproduktes
Rotation eines Produktes
Rotation eines Vektorproduktes
Rotation eines Potentialfeldes
Divergenz einer Rotation
Rotation einer Rotation
Wenn
ein konstanter Geschwindigkeitsvektor ist und diese Grösse an einem mit der Geschwindigkeit
bewegten Ort beobachtet wird, dann gilt (Siehe Jackson[Jac75, p212]):
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(C..660) |
wobei
die totale Ableitung im raumfesten Koordinatensystem und
die lokale, mitgeführte Ableitung ist.
Diese Gleichung stammt von der Kettenregel:
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(C..661) |
In drei Dimensionen muss mit dem Gradienten gerechnet werden:
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||
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||
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(C..662) |
Mit Gleichung (C.32) kann man schreiben
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(C..663) |
oder
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(C..664) |
Nun ist
. Weiter ist
und
, wobei
die 3 mal 3 Einheits-Diagonalmatrix ist. Damit haben wir ohne Einschränkung der Allgemeinheit
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(C..665) |
und
Othmar Marti