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D.1  In der Nähe eines Leiterstückes

Entlang der x-Achse von x = 0 bis x = ℓ sei die Ladung Q homogen verteilt. Zu berechnen ist das elektrische Feld für einen Punkt P = (ξ,0,0) auf der x-Achse!

Die Linienladungsdichte ist

λ = Q- ℓ

Das elektrische Feld bei P ist

dEx (x,ξ) = --1--λ(x-−-ξ)-dξ- 4π𝜖0 |x − ξ|3

Wir integrieren über die Länge des Drahtes

( || ∫ ℓ ℓ |||| ---dξ--2 , für x > ℓ oder x < 0; ∫ --λ-- |{ 0 (x − ξ) Ex (ξ) = dEx (x,ξ) = 4π 𝜖 · | ∫x ∫ℓ 0 0 |||| ---dξ--- − ---dξ--- , für 0 < x < ℓ. ||( (x − ξ)2 (x − ξ)2 0 x

Die Lösung dieser Gleichung ist

( ||| -----λℓ------, für x > ℓ oder x < 0; ||{ 4π𝜀0x(x − ℓ) Ex (x ) = -----λ------- 4π𝜀0x(x − ℓ) |||| λ (2x − ℓ) |( -------------, für 0 < x < ℓ. 4π𝜀0x(x − ℓ)

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pict

Elektrisches Feld entlang einer Linienladung.

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Wir berechnen nun das elektrische Feld entlang der Mittelsenkrechten einer Linienladung der Länge ℓ. Zur Berechnung legen wir das Koordinationssystem so, dass die Ladungsverteilung von -ℓ 2 bis ℓ 2 reicht. Aus Symmetriegründen existiert auf der Mittelsenkrechten keine Komponente in x-Richtung. Wir betrachten also die Komponente entlang y. Am Punkt  P = (0,y,0) ist

dE (y) = --1-----λdx----y y 4π𝜀0 (x2 + y2)32

Ebenso ist

ℓ2 2ℓ ∫ -λ-------y------ -λy-∫ ----dx----- Ey (y) = 4π𝜀 2 2 32 dx = 4π𝜀 2 2 32 − ℓ2 0 (x + y ) 0− ℓ2 (x + y )

Nach Bronstein[?] ist

∫ dx3-= ---x√---- X 2 a2 X

mit X = x2 + a2. Daraus folgt

( )|ℓ λy x ||2 Ey (y ) = ----- -2-√--2----2-|| 4π𝜀0 y x + y − ℓ2 ( ) = --λ---( --∘--ℓ-----+ -∘--ℓ----) 4π 𝜀0y 2 ℓ2+ y2 2 ℓ2 + y 4 4 = --λℓ---∘--1----- 4π 𝜀0y y2 + ℓ2- 4 = --Q----∘--1----- 4π 𝜀0y y2 + ℓ2- 4
Für y » ℓ bekommt man
Ey = --1--λℓ-= --Q---- 4π 𝜀0y2 4π𝜀0y2

Für y «−ℓ bekommt man

E = − --1--λℓ-= − --Q---- y 4π 𝜀0y2 4π𝜀0y2

Wenn die Linienladung ”unendlich” ausgedehnt ist, gilt

y « ℓ

Dann ist

E ≈ --λℓ-- ∘1---= ---λ----= ---Q----- y 4 π𝜀0y ℓ2 2π 𝜀0|y| 2π𝜀0ℓ |y| 4

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Elektrisches Feld senkrecht zu einer Linienladung.

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