Differentiation einfacher Funktionen





Funktion n-te Ableitung
$ x^m$ $ m(m-1)(m-2)\ldots(m-n+1)x^{m-n}$
  bei ganzzahligem $ m$ und $ n$ und
  $ m>n$ ist die n-te Ableitung null
   
$ \ln x$ $ (-1)^{n-1} (n-1)!\; x^{-n}$
   
$ \log_a (x)$ $ (-1)^{n-1} \frac{(n-1)!}{\ln a}\; x^{-n}$
   
$ e^{kx}$ $ k^n e^{kx}$
   
$ a^{kx}$ $ \left(k \ln a\right)^n a^{kx}$
   
$ \sin(k x)$ $ k^n \sin\left(kx + \frac{n \pi}{2}\right)$
   
$ \cos( k x)$ $ k^n \cos\left(kx + \frac{n \pi}{2}\right)$
Ableitung einiger Funktionen



Beispiel:


$\displaystyle y = (5x^2-3x +2)^{6x}$

soll differenziert werden. Wir verwenden die logarithmische Ableitung.

$\displaystyle \ln(y) = 6 x \ln(5 x^2 -3x +2)\;\;\;\;\vert\frac{d}{dx}$

$\displaystyle \frac{d}{dx}\left(\ln(y)\right) = \frac{d}{dx}\left( 6 x \ln(5 x^2 -3x +2)\right)\;\;\;\vert\textrm{ableiten,
Produktregel rechts}$

$\displaystyle \frac{y'}{y} = 6 \ln(5 x^2-3x+2)+ 6 x \frac{d \ln(5 x^2-3x+2)}{dx}\;\;\;\vert\textrm{Kettenregel ganz rechts}$

$\displaystyle \frac{y'}{y} = 6 \ln(5 x^2-3x+2)+ 6 x \frac{1}{5 x^2-3x+2}\frac{d (5 x^2-3x+2)}{dx}$

$\displaystyle \frac{y'}{y} = 6 \ln(5 x^2-3x+2)+ 6 x \frac{1}{5 x^2-3x+2}\left(10 x -3\right)\;\;\;\vert *y$

$\displaystyle \frac{d y}{dx} = y' = 6 y \ln(5 x^2-3x+2)+ 6 y x \frac{10 x -3}{5 x^2-3x+2}\;\;\;\vert\textrm{y einsetzen}$

$\displaystyle y' = 6 (5x^2-3x +2)^{6x} \ln(5 x^2-3x+2)+ 6 (5x^2-3x +2)^{6x} x \frac{10 x -3}{5 x^2-3x+2}$

$\displaystyle y' = 6 (5x^2-3x +2)^{6x} \left[\ln(5 x^2-3x+2)+ \frac{10 x -3}{5 x^2-3x+2}\right]$




Othmar Marti
Experimentelle Physik
Universiät Ulm