Elastomechanik

Dehnung und Kompression

Zieht man an einem Draht (Länge $\ell$, Querschnitt $d$ und Querschnittsfläche $A=\frac{\pi}{4}d^2$), dann vergrössert sich die Länge um $\Delta \ell$ und verringert sich (meistens) der Querschnitt um $\Delta d$.

$$\Delta \ell = \epsilon\ell$$

$$-\Delta d = \mu\epsilon d$$ (3.143)

Es sind

• $\epsilon$ die relative Dehnung
• $\mu$ die Poisson-Zahl

Wir definieren nun die Spannung

$$\sigma = \frac{F}{A}$$ (3.144)

dabei ist $F$ die an der Querschnittsfläche $A$ wirkende Kraft.

Das Hookesche Gesetz verknüpft Spannung $\sigma$ und Dehnung $\epsilon$

$$\sigma = E \epsilon$$ (3.145)

$E$ ist eine Materialkonstante, der Elastizitäts- oder der Dehnungsmodul (im englischen Young's Modulus genannt).

Einheiten

• $\epsilon$: dimensionslos
• $\sigma$: $\frac{N}{m^2}$
• $E$: $\frac{N}{m^2}$

Wenn wir die obigen Gleichungen umschreiben, erhalten wir

$$\delta \ell = \frac{1}{E} \frac{\ell F}{A}$$ (3.146)

Aus Änderung des Querschnitts und der Länge können wir die Volumenänderung berechnen. Wir setzen an, dass $V = \ell d^2$ ist

$$\Delta V = d^2 \Delta \ell + 2 \ell d \Delta D = V \frac{\Delta \ell}{\ell} + 2 V \frac{\Delta d}{d}$$ (3.147)

Umgeschrieben erhalten wir

$$\frac{\Delta V}{V} = \frac{\Delta \ell}{\ell} + 2 \frac{\Delta d}{d} = \epsilon - 2\mu\epsilon = \epsilon(1-2\mu) = \frac{\sigma}{E}(1-2\mu)$$ (3.148)

Wir sehen, dass für positives $\Delta V$ die Poisson-Zahl der Ungleichung $\mu \leq 0.5$ genügen muss. In speziellen fällen kann $\mu$ auch grösser als $0.5$ sein.

Wir haben hier $\sigma$ und $\epsilon$ als Skalare angenommen.

Wird der Testkörper hydrostatischem Druck $\Delta p$ unterworfen, ist also die Spannung auf allen Seiten gleich, ändert sich das Volumen um den dreifachen Wert, der bei einer uniaxialen Spannung auftreten würde.

$$\frac{\Delta V}{V} = - \frac{3 \Delta p}{E}(1-2\mu)$$ (3.149)

Die Kompressibilität $\kappa = \frac{\Delta V}{V\Delta p}$ ist

$$\kappa = \frac{3}{E}(1-2\mu)$$ (3.150)

Wird ein Draht gedehnt, kann ihm die Federkonstante $k = \frac{\Delta F}{\Delta \ell} = \frac{A E}{\ell}$ zuschreiben.

Bei der Dehnung wird die Arbeit

$$W = \int\limits_0^{\Delta\ell} k x dx = \frac{1}{2} k \Delta\ell^2 = \frac{1}{2} E A \ell \frac{\Delta \ell^2}{\ell^2} = \frac{1}{2} E V \epsilon^2$$ (3.151)

verrichtet. Wenn wir die Arbeit, oder Energie, pro Volumeneinheit ausrechnen, ist die elastische Energiedichte

$$w = \frac{1}{2}E\epsilon^2$$ (3.152)

Scherung

Scherung eines Würfels

Wenn die Kraft $F$ tangential zur Oberfläche steht, dann wird der Testkörper geschert. Wenn die Stirnfläche des Würfels $A$ ist, ist die Schubspannung

$$\tau = \frac {F}{A}$$ (3.153)

Als Konsequenz dieser Schubspannung wird der Testkörper um den Winkel $\alpha$ geschert.

$$\tau = G \alpha$$ (3.154)

Einheiten

• $\alpha$: dimensionslos
• $\tau$: $\frac{N}{m^2}$
• $G$: $\frac{N}{m^2}$

G ist der Schub- oder Torsionsmodul (englisch: shear modulus)

Analog zur Energiedichte der axialen Deformation kann auch für die Scherenergiedichte

$$w = \frac{1}{2} G\alpha^2$$ (3.155)

geschrieben werden.

Verdrillung eines Drahtes

Verdrillung. Zur Berechnung wird der Draht in koaxiale Zylinder unterteilt.

Hier verdrehen zwei entgegengesetzte Drehmomente $M$ einen Draht um den Winkel $\phi$. Ein Hohlzylinder mit dem Radius $r$ un der Dicke $dr$ wird um

$$\alpha = \frac{r\phi}{\ell}$$ (3.156)

geschert. Wir benötigen die Scherspannung $\tau = G \alpha$ und eine Scherkraft $dF = \tau \cdot 2 \pi r dr$. Das Drehmoment ist also

$$dM = dF r = \frac{2\pi G \phi}{\ell} r^3 dr$$ (3.157)

Das gesamte Drehmoment erhalten wir durch Integration

$$M = \int\limits_0^R = \frac{2\pi G \phi}{\ell} r^3 dr = \frac{\pi}{2} G \frac{R^4}{\ell} \phi$$ (3.158)

Wir können dem Draht die Richtgrösse

$$D_r = \frac {M}{\phi} = \frac{\pi}{2} G \frac{R^4}{\ell}$$ (3.159)

zuschreiben. Beachte, dass die Richtgrösse $D_r$ extrem stark vom Drahtdurchmesser abhängt.

Biegung

Voraussichtlich am 07.05.2007

(Siehe Gerthsen, Physik [Mes04, pp. 134])

Biegebalken

Biegebalken werden heute in vielen die Oberflächen abtastenden Instrumenten eingesetzt. Als Stimmgabeln sind sie die zeitbestimmenden Elemente in einer Uhr.

Der Balken der Länge $\ell$, Breite $b$ und Dicke $h$ soll einseitig eingespannt sein. Wir legen am Ende eine Kraft $F$ an, die senkrecht zur ursprünglichen Lage des Balkens sein soll. An einem Punkt im Abstand $x$ vom Balkenende ist als Wirkung der Kraft der Balken gebogen, und zwar mit einem Krümmungsradius von $r$. Die oberen Schichten werden um $\frac{h}{2r}$ gedehnt, die unteren entsprechend gestaucht. In der Mitte befindet sich (rot eingezeichnet) die neutrale Faser Gemittelt über die obere Hälfte des Balkenquerschnitts (über der neutralen Faser) ist die Dehnung $\frac{h}{4r}$. Die untere Hälfte ist entsprechend gestaucht. Sowohl für die Stauchung wie auch für die Dehnung wird eine Kraft von $\widetilde{F} = E \cdot \frac{h}{4r} \frac{hb}{2}$, und analog dazu eine Kraft für die Stauchung. Die beiden Kräfte bilden ein Kräftepaar (Abstand $\frac{h}{2}$), das Drehmoment

$$M(x) = \widetilde{F}\frac{h}{2} \approx \frac{E h^3 b}{16 r} \approx \alpha \frac{E h^3 b}{r}$$ (3.160)

$\alpha$ ist hier eine Schätzung und müsste mit einer ausführlicheren Rechnung berechnet werden. Für einen rechteckigen Querschnitt zeigt die genauere Rechnung, dass $\alpha = 1/12$ und nicht $1/16$ ist. Die Ursache für das Drehmoment $M(x)$ ist die Kraft $F$ am Ende des Balkens im Abstand $x$. Wir erhalten

$$F x = M(x) = \frac{\alpha E h^3 b}{r }$$ (3.161)

oder

$$r = \frac{\alpha E h^3 b}{F x }$$ (3.162)

Die Krümmung $1/r$ ist an der Einspannungsstelle am grössten. Die Spannung $\sigma$ ist

$$\sigma = E \frac{h}{2r} = \frac{E h}{2} \frac{F \ell}{\alpha E h^3 b} = \frac{F \ell}{2\alpha h^2 b}$$ (3.163)

Wird die Festigkeitsgrenze überschritten, bricht der Balken an der Einspannstelle. Die Belastbarkeit eines einseitig eingespannten Balkens ( und auch eines zweiseitig eingespannten oder aufgestützten Balkens) geht mit $\frac{h^2 b}{\ell}$.

Typische Anwendungen einseitig eingespannter Balken finden sich in der Mikrosystemtechnik.

Prinzip der Herstellung eines freitragenden, einseitig eingespannten Balkens mit mikrotechnologischen Mitteln (W. Noell Dissertation Ulm und IMM Mainz[Noe98, 84])

REM (Rasterelektronenmikroskop)-Bilder des Balkens a) und der Sonde b) eines AFM-Sensors (W. Noell Dissertation Ulm und IMM Mainz[Noe98, 85])

Beziehung zwischen den elastischen Konstanten

Zusammenhang zwischen Scherung und Dehnung

Die blau eingezeichneten Kräfte in der obigen Abbildung bewirken eine Scherung um den Winkel $\alpha$. Der Schermodul des Materials ist also

$$G = \frac{2F}{\alpha d^2}$$

Die blauen Kräfte können jeweils in zwei halb so grosse Kräfte (rot)aufgespalten werden. Nun werden jeweils zwei rote Kräfte von zwei nebeneinander liegenden Flächen zusammengefasst; das Resultat sind die grünen Kräfte. Diese bewirken eine reine Dehnung oder Stauchung. Jede Scherung kann also als Kombination von einer Stauchung und einer orthogonal dazu liegenden Scherung aufgefasst werden. Die eine Diagonale wird um $\alpha d/\sqrt{2}$ gedehnt, die andere um den gleichen Wert gestaucht. Die Kräfte wirken auf die mittlere Fläche der Grösse $d \cdot d\sqrt{2}$. Die Kräfte müssen gemittelt werden, so dass sie effektiv nur halb so gross wie ursprünglich angenommen sind. jeder der Kräfte $F/\sqrt{2}$ erzeugt eine relative Dehnung oder Stauchung um $\frac{F}{Ed^2}$ in ihrer Richtung und eine Querkontraktion oder -dilatation von $\mu\frac{F}{Ed^2}$ dazu. Beide Kräfte bewirken eine Kontraktion oder Dilatation von $\frac{2F(1+\mu)}{Ed^2}= \frac{\Delta \ell}{\ell} = \frac{\alpha d}{\sqrt{2} d \sqrt{2}} = \frac {\alpha}{2}$³. Wir erhalten

$$E = \frac {4F(1+\mu)}{\alpha d^2}$$

und durch Vergleich

$$E = 2G(1+\mu)$$ (3.164)

Da die Poissonzahl $0 < \mu < 0.5$ ist, bekommt man auch

$$\frac{E}{2} > G > \frac{E}{3}$$ (3.165)

Anelastisches Verhalten

Spannungs-Dehnungs-Kurven von Stahl und Grauguss

Bei grossen Deformationen ist die Antwort des deformierten Körpers nicht mehr linear. Wir nennen diesen Bereich auch den Nicht-Hookeschen Bereich. Im obigen Bild wird das Verhalten für Grauguss und Stahl dargestellt. Es können die folgenden Bereiche unterschieden werden:

• Für kleine Dehnungen $\epsilon$ bis zur Elastizitätsgrenze $\sigma_E$ wir alle in der Deformation gespeicherte Energie bei der Entlastung wieder zurückgewonnen.
• Bis zur Proportionalitätsgrenze $\sigma_P$ ist die Dehnung proportional zur Spannung.
• An der Streckgrenze $\sigma_S$ beginnen, manchmal schubweise, starke plastische Verformungen.
• An der Festigkeitsgrenze $\sigma_F$, auch Fliessgrenze genannt, beginnt das Material zu fliessen.
• Bei der Bruchdehnung $\epsilon_B$ bricht das Material.

Elastomechanik anisotroper Körper

Allgemeine Kräfte an einem Würfel

An einem Würfel können im allgemeinen Falle die folgenden Kräfte oder Spannungen sowie Deformationen auftreten:

• An jeder der 6 Flächen können
  • 3 unabhängige Kräfte (2 parallel zur Fläche, eine senkrecht dazu) und
  • 3 unabhängige Deformationen, die aus einer Kompression oder Dilatation sowie zwei Scherungen bestehen.
• Da keine Netto-Kraft und kein Netto-Drehmoment auf den Würfel wirken soll, müssen die Kräfte in die x-, y-, oder z-Richtung auf gegenüberliegenden Seiten gegengleich sein.
• Wir können also 3 mal 3 Kräfte spezifizieren.
• Ebenso müssen die Deformationen auf gegenüberliegenden Seiten gegengleich sein.
• Wir haben also als Resultat der 3 mal 3 Kräfte 3 mal 3 Deformationen.
• Kräfte und Deformationen sind jeweils 3 mal 3 Matrizen, die über einen Tensor 4. Stufe (eine 3 mal 3 mal 3 mal 3 Matrix) miteinander verbunden sind.

Formal

$$\sigma_{i,j} = \sum\limits_k \sum\limits_\ell E_{i,j,k,\ell} \epsilon_{k,\ell} \hspace{1cm} mit \; i, j, k, \ell = x, y, z$$ (3.166)

Im allgemeinen Falle heisst das, dass für gleiche Kräfte die Antwort des Systems von der Orientierung der Probe abhängt. Je höher die Symmetrie eines materials ist, desto weniger unabhängige Konstanten gibt es. Im Grenzfall des isotropen Mediums bleiben zwei, $E$ und $G$.