Zieht man an einem Draht (Länge , Querschnitt
und Querschnittsfläche
), dann
vergrössert sich die Länge um
und verringert sich (meistens) der Querschnitt um
.
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(3.143) |
Es sind
Wir definieren nun die Spannung
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(3.144) |
dabei ist die an der Querschnittsfläche
wirkende Kraft.
Das Hookesche Gesetz verknüpft Spannung ![]() ![]()
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ist eine Materialkonstante, der Elastizitäts- oder der Dehnungsmodul (im englischen Young's Modulus genannt).
Einheiten
Wenn wir die obigen Gleichungen umschreiben, erhalten wir
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(3.146) |
Aus Änderung des Querschnitts und der Länge können wir die Volumenänderung berechnen. Wir setzen an, dass
ist
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(3.147) |
Umgeschrieben erhalten wir
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(3.148) |
Wir sehen, dass für positives die Poisson-Zahl der Ungleichung
genügen muss. In
speziellen fällen kann
auch grösser als
sein.
Wir haben hier und
als Skalare angenommen.
Wird der Testkörper hydrostatischem Druck unterworfen, ist also die Spannung auf allen Seiten gleich,
ändert sich das Volumen um den dreifachen Wert, der bei einer uniaxialen Spannung auftreten würde.
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(3.149) |
Die Kompressibilität
ist
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(3.150) |
Wird ein Draht gedehnt, kann ihm die Federkonstante
zuschreiben.
Bei der Dehnung wird die Arbeit
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(3.151) |
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(3.152) |
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Scherung eines Würfels
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Wenn die Kraft tangential zur Oberfläche steht, dann wird der Testkörper geschert. Wenn die
Stirnfläche des Würfels
ist, ist die Schubspannung
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(3.153) |
Als Konsequenz dieser Schubspannung wird der Testkörper um den Winkel geschert.
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(3.154) |
Einheiten
G ist der Schub- oder Torsionsmodul (englisch: shear modulus)
Analog zur Energiedichte der axialen Deformation kann auch für die Scherenergiedichte
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(3.155) |
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Verdrillung. Zur Berechnung wird der Draht in koaxiale
Zylinder unterteilt.
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Hier verdrehen zwei entgegengesetzte Drehmomente einen Draht um den Winkel
. Ein Hohlzylinder mit dem
Radius
un der Dicke
wird um
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(3.156) |
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(3.157) |
Das gesamte Drehmoment erhalten wir durch Integration
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(3.158) |
Wir können dem Draht die Richtgrösse
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(3.159) |
Voraussichtlich am 07.05.2007 |
(Siehe Gerthsen, Physik [Mes04, pp. 134])
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Biegebalken
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Biegebalken werden heute in vielen die Oberflächen abtastenden Instrumenten eingesetzt. Als Stimmgabeln sind sie die zeitbestimmenden Elemente in einer Uhr.
Der Balken der Länge , Breite
und Dicke
soll einseitig eingespannt sein. Wir legen am Ende eine
Kraft
an, die senkrecht zur ursprünglichen Lage des Balkens sein soll. An einem Punkt im Abstand
vom Balkenende ist als Wirkung der Kraft der Balken gebogen, und zwar mit einem Krümmungsradius von
.
Die oberen Schichten werden um
gedehnt, die unteren entsprechend gestaucht. In der Mitte befindet
sich (rot eingezeichnet) die neutrale Faser Gemittelt über die obere Hälfte des Balkenquerschnitts (über
der neutralen Faser) ist die Dehnung
. Die untere Hälfte ist entsprechend gestaucht. Sowohl für die
Stauchung wie auch für die Dehnung wird eine Kraft von
, und analog dazu eine Kraft für die Stauchung. Die beiden Kräfte bilden ein Kräftepaar
(Abstand
), das Drehmoment
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(3.160) |
ist hier eine Schätzung und müsste mit einer ausführlicheren Rechnung berechnet werden. Für einen
rechteckigen Querschnitt zeigt die genauere Rechnung, dass
und nicht
ist. Die Ursache für
das Drehmoment
ist die Kraft
am Ende des Balkens im Abstand
. Wir erhalten
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(3.161) |
oder
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(3.162) |
Die Krümmung ist an der Einspannungsstelle am grössten. Die Spannung
ist
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(3.163) |
Wird die Festigkeitsgrenze überschritten, bricht der Balken an der Einspannstelle. Die Belastbarkeit
eines einseitig eingespannten Balkens ( und auch eines zweiseitig eingespannten oder aufgestützten Balkens) geht
mit
.
Typische Anwendungen einseitig eingespannter Balken finden sich in der Mikrosystemtechnik.
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Prinzip der
Herstellung eines freitragenden, einseitig eingespannten Balkens mit
mikrotechnologischen Mitteln (W. Noell Dissertation Ulm und IMM
Mainz[Noe98, 84])
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REM
(Rasterelektronenmikroskop)-Bilder des Balkens a) und der Sonde b) eines
AFM-Sensors (W. Noell Dissertation Ulm und IMM Mainz[Noe98, 85])
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Zusammenhang zwischen Scherung und Dehnung
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Die blau eingezeichneten Kräfte in der obigen Abbildung bewirken eine Scherung um den Winkel
. Der Schermodul des Materials ist also
Die blauen Kräfte können jeweils in zwei halb so grosse Kräfte (rot)aufgespalten werden. Nun werden jeweils zwei rote Kräfte von zwei nebeneinander liegenden Flächen
zusammengefasst; das Resultat sind die grünen Kräfte. Diese bewirken eine reine Dehnung oder
Stauchung. Jede Scherung kann also als Kombination von einer Stauchung und einer orthogonal dazu liegenden
Scherung aufgefasst werden. Die eine Diagonale wird um
gedehnt, die andere um den gleichen
Wert gestaucht. Die Kräfte wirken auf die mittlere Fläche der Grösse
. Die Kräfte müssen
gemittelt werden, so dass sie effektiv nur halb so gross wie ursprünglich angenommen sind. jeder der Kräfte
erzeugt eine relative Dehnung oder Stauchung um
in ihrer Richtung und eine
Querkontraktion oder -dilatation von
dazu. Beide Kräfte bewirken eine Kontraktion oder
Dilatation von
3. Wir erhalten
und durch Vergleich
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(3.164) |
Da die Poissonzahl
ist, bekommt man auch
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(3.165) |
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Spannungs-Dehnungs-Kurven von Stahl und Grauguss
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Bei grossen Deformationen ist die Antwort des deformierten Körpers nicht mehr linear. Wir nennen diesen Bereich auch den Nicht-Hookeschen Bereich. Im obigen Bild wird das Verhalten für Grauguss und Stahl dargestellt. Es können die folgenden Bereiche unterschieden werden:
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Allgemeine Kräfte an einem Würfel
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An einem Würfel können im allgemeinen Falle die folgenden Kräfte oder Spannungen sowie Deformationen auftreten:
Formal
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(3.166) |
Im allgemeinen Falle heisst das, dass für gleiche Kräfte die Antwort des Systems von der Orientierung der Probe
abhängt. Je höher die Symmetrie eines materials ist, desto weniger unabhängige Konstanten gibt es. Im Grenzfall
des isotropen Mediums bleiben zwei, und
.
Othmar Marti