Flüssigkeiten und Gase

Aggregatszustände

Materie besteht aus Atomen oder Molekülen. Sie kommt in 4 verschiedenen Zuständen, Aggregatszustände genannt, vor.

Fest	Flüssig	Gas	Plasma
wohldefinierte Abstände	wohldefinierte Abstände	Abstände variabel	Abstände variabel
geometrisch periodische Anordnung	nur Nahordnung	keine Nahordnung	keine Nahordnung
Form ist stabil	grössere Kräfte zwischen Atomen	sehr kleine Kräfte zwischen Atomen	Kerne und Elektronen sind getrennt, grosse Coulombkräfte
grosse Kräfte zwischen Atomen	im Gravitationsfeld wohldefinierte Oberfläche	Im Gravitationfeld keine definierte Oberfläche	Im Gravitationfeld keine definierte Oberfläche
schwingen gegeneinander	verschieben sich gegeneinander	Dichte $\approx$ 1000 x kleiner als in Flüssigkeit	Dichte variabel
form- und volumenelastisch	Formänderung kraftlos möglich (ohne Geschwindigkeit)	raumfüllend	raumfüllend

Aggregatszustände

Gestalt von Flüssigkeitsoberflächen

Flüssigkeitsoberfläche

Eine Kraft $\vec{F}$ tangential zur Flüssigkeitsoberfläche bewirkt eine Verschiebung aber keine Formänderung

An der Flüssigkeitsoberfläche gibt es keine Tangentialkräfte.

Oberfläche einer rotierenden Flüssigkeitsfläche

Beispiel: Kaffee beim Umrühren. Wir wollen die Form der Flüssigkeitsfläche berechnen.

$$F_{res} =\sqrt{\left( dm \omega^{2}r\right) ^{2}+\left( dm g\right) ^{2}}$$

$$=\left( \sqrt{\omega^{4}r^{2}+g^{2}}\right) dm$$

$$tg\alpha =\frac{dm \omega^{2}r}{dm g}=\frac{\omega^{2}r}{g}$$ (3.167)

und

$$y=\int\limits_{0}^{r}\frac{\omega^{2}r}{g}dr=\frac{1}{2}\frac{\omega^{2}} {g}r^{2}$$ (3.168)

Eine rotierende Flüssigkeitsoberfläche hat also Parabelform.

Druck

Definition des Druckes

Druck ist die Kraft pro Fläche auf die Berandung eines Behälters.

Es sei

$$\Delta\vec{F}_{n}=-p\cdot\Delta A\cdot\vec{n}$$

Wir nennen $p$ den isotropen Druck. Die Einheit von $p$ ist Pascal $\left[ \frac{N}{m^{2}}\right] =\left[ Pa\right]$

Bemerkung: die Energiedichte $\frac{E}{V}$hat die gleiche Einheit wie der Druck. Eingehendere Überlegungen zeigen, dass Druck immer mit einer Energiedichte, und Energiedichte mit Druck verbunden ist.

Merken Sie sich die Identität:

Energiedichte =Druck

Wirkung auf Körper

Eine Druckänderung $\Delta p$ bewirkt eine Volumenänderung.

$$\frac{\Delta V}{V}=\theta=\Delta\ln V$$ (3.169)

Lokal bewirkt eine Volumenänderung $\Delta V$ eine Dichteänderung $\Delta\rho$.

$$\theta=-\frac{\Delta\rho}{\rho}=-\Delta\ln\rho$$ (3.170)

(Wenn das Volumen abnimmt, nimmt die Dichte zu.)

Die Volumenänderung ist proportional zur Druckänderung

$$\Delta p=-K\theta=-\frac{1}{\beta}\theta$$ (3.171)

$K$ heisst Kompressionsmodul. Seine Einheit ist $1Pascal=1Pa=1\frac{N}{m^{2}}$. Wir haben weiter

$$\kappa=-\frac{1}{V}\frac{dV}{dp}=\frac{1}{\rho}\frac{d\rho}{dp}$$ (3.172)

$\kappa$ heisst Kompressibilität. Ihre Einheit ist $Pa^{-1}=\frac{m^{2}} {N}$

Hydraulische Presse

Hydraulische Presse

Wir haben

$$F_{1} =pA_{1}$$

$$F_{2} =pA_{2}$$

und

$$\frac{F_{1}}{A_{1}}=\frac{F_{2}}{A_{2}}$$ (3.173)

Bemerkung: Die Wirkung von hydraulischen Pressen kann sehr gut mit virtuellen Verrückungen berechnet werden.

Druckarbeit

Druckarbeit

Das Differential der Druckarbeit ist

$$dW=Fdx=pAdx=-pdV$$ (3.174)

da $daAdx=-dV$ ist. Also ist die geleistete Arbeit:

$$W=-\int pdV=\int\beta Vpdp$$ (3.175)

Ändert sich $V$ wenig, so ist die Druckarbeit

$$W=V\int\beta pdp=\frac{1}{2}\beta V\left( p_{2}^{2}-p_{1}^{2}\right)$$ (3.176)

Schweredruck

Berechnung des Schweredruckes

Wir berechnen die Kraft bei (1). Die Masse des verdrängten Wassers ist $Ah\rho=m$. Die daraus resultierende Gewichtskraft beträgt $F=mg=Ah\rho g$. Also ist der Schweredruck des Wassers

$$p=\frac{F}{A}=h\rho g$$ (3.177)

unabhängig von $A$. In einem Meter Tiefe ist der Schweredruck $10kPa$, das heisst es ist unmöglich mit einer Schnorchel von 1m Länge zu atmen. Der Schweredruck hängt nur von der Flüssigkeitshöhe ab, nicht jedoch vom Querschnitt der Flüssigkeitssäule. Deshalb steht in kommunizierenden Rohren das Wasser überall gleich hoch.

Auftrieb

Auftrieb in Flüssigkeiten

Wir betrachten einen untergetauchten Würfel. Die Kraft von oben ist

$$F_{1}=-\rho ghA$$

Die Kraft von unten ist

$$F_{2}=+\rho g\left( h+l\right) A$$

Also ist der Auftrieb

$$F_{A}=F_{2}+F_{1}=\rho glA=\rho gV$$ (3.178)

Salopp gesagt, ist der Auftrieb die Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit. Ein Körper schwebt im Wasser, wenn

$$F_{A}=F_{G}$$ (3.179)

ist.

Schwimmen

Schwimmen

Wenn $\rho_{K}<\rho$ ist die Gewichtskraft $F_{g}=\rho_{K}lAg$. Die Auftriebskraft ist hingegen $F_{A}=\rho hAg$. Der Körper schwimmt, wenn die Auftriebskraft gleich der Gewichtskraft ist ( $F_{A}=F_{g}$). Dann ist

$$\rho_{K}lAg=\rho hAg$$ (3.180)

und der Körper taucht bis zu

$$h=l\cdot\frac{\rho_{K}}{\rho}$$ (3.181)

ins Wasser ein.

Wann schwimmt ein Körper stabil?

Stabilität eines schwimmenden Körpers

Sei $S$ der Schwerpunkt des Körpers. $S_{F}$ sei der Schwerpunkt der verdrängten Flüssigkeit. Solange der Körper schwimmt ist $\vec{F}_{A}=-\vec{F}_{G}$. Die beiden Kräfte bilden ein Kräftepaar und damit erzeugen sie ein Drehmoment

$$\vec{T}=\vec{R}\times\vec{F}_{A}$$ (3.182)

Dieses Drehmoment richtet den Körper auf. Wenn $S$ unter $S_{F}$ liegt, ist die Schwimmlage stabil. Wenn $S$ über $S_{F}$ liegt, hängt die Stabilität von der Lage des Metazentrums $M$ ab.Das Metazentrum ist durch die Schnittlinie der Mittellinie des Körpers und der Verlängerung von $\vec{F}_{A}$ gegeben. Die Schwimmlage ist stabil, wenn $M$ über $S$ liegt.

Aräometer

Aräometer

Mit einem Aräometer misst man die Dichte einer Flüssigkeit (Schnapswaage). Wir haben

$$m =\rho\left( V_{0}+A\cdot h\right)$$

$$h =\frac{m}{A\rho}-\frac{V_{0}}{A}$$

Gasdruck

Das Gesetz von Boyle-Mariotte lautet

$$V=\frac{c}{p}$$ (3.183)

Damit es anwendbar ist, brauchen wir

• eine hohe Temperatur

• eine kleine Dichte

$c$ hängt von der Temperatur $T$ und der Anzahl Moleküle ab. Bei $T=0^\circ C$ ist das Volumen eines Gases

$$V=22,4\frac{m}{M}\cdot\frac{1}{p}$$ (3.184)

wobei $m$ die Masse des Gases, $M$ die Molmasse, $V$ das Volumen in Litern und $p$ der Druck in bar ist. Bei langsamen Zustandsänderungen ist

$$\kappa_{\left( isotherm\right) }=-\frac{1}{V}\frac{dV}{dp}=\frac{1}{V} \frac{c}{p^{2}}=\frac{1}{p}$$ (3.185)

Atmosphärendruck

Der Luftdruck kann mit einem Barometer gemessen werden.

Quecksilber-Barometer

$$\frac{A\cdot h\cdot\rho_{Hg}g}{A}=p_{Ath}=h\cdot\rho_{Hg}g$$ (3.186)

Normaldruck: $760mm Hg\overset{\wedge}{=}760Torr\overset{\wedge} {=}1atm\overset{\wedge}{=}1013hPa$

Höhe der Atmosphäre bei konstanter Dichte und konstantem Druck

Die Dichte der Luft bei Umgebungsbedingungen ist

$$\rho_{L}=1.29\frac{kg}{m^{3}}$$

mit

$$\rho gh=p_{Atm}$$ (3.187)

bekommt man

$$h=\frac{p_{Atm}}{\rho g}\approx\frac{10^{5}\frac{N}{m^{2}}}{10\frac{m}{s^{2} }1,3\frac{kg}{m^{3}}}\approx8\cdot 10^{3}m$$ (3.188)

Aber: Gesetz von Boyle-Mariotte

$$V=\frac{c}{p}\Rightarrow\rho=\tilde{c}\cdot p'$$ (3.189)

Druckänderung mit der Höhe

mit $p'<p$ folgt

$$\Delta p=p'-p=-\rho\left( h\right) g\Delta h$$ (3.190)

und

$$\frac{dp}{dh}=-\rho\left( h\right) g$$ (3.191)

Nun ist aber

$$\frac{\rho}{p}=const=\frac{\rho_{0}}{p_{0}}$$ (3.192)

wobei $\rho_{0},p_{0}$ auf Meereshöhe gemessen werden.

Also ist

$$\rho\left( h\right) =\frac{\rho_{0}}{p_{0}}p\left( h\right)$$ (3.193)

und

$$\frac{dp}{dh}=-\frac{\rho_{0}}{p_{0}}g p$$ (3.194)

Die Lösung ist

$$p=p_{0}e^{-Ah}$$ (3.195)

Wir setzen ein und erhalten

$$Ap_{0}e^{-Ah}=-\frac{\rho_{0}}{p_{0}}gp_{0}e^{-Ah}$$ (3.196)

oder

$$A=\frac{\rho_{0}}{p_{0}}g$$ (3.197)

Also

$$p=p_{0}e^{-\rho_{0}\frac{gh}{p_{0}}}$$ (3.198)

Diese Gleichung heisst isotherme barometrische Höhenformel. Sie ist eine Näherung, da wir die Temperatur als konstant angenommen haben ebenso wie den Feldvektor des Gravitationspotentials $g\left( h\right) =g_{0}=const$.

Druck als Potential

Der Druck $p\left( \vec{r}\right)$ sei eine skalare Funktion des Ortes

Behauptung:

$$\vec{F}_{V}\left( \vec{r}\right) =-\textrm{grad} {}\left( p\left( \vec{r}\right) \right)$$ (3.199)

$\vec{F}_{V}\left( \vec{r}\right)$ ist die Volumenkraft. Das ist die resultierende Kraft auf die Oberfläche des Volumenelements, dividiert durch das Volumen dieses Elements.

Beweis

Druck auf ein Volumenelement

also

$$-\Delta F\left( z+\Delta z\right) +\Delta F\left( z\right) =-\left( p\left( z+\Delta z\right) -p\left( z\right) \right) \Delta x\cdot\Delta y$$

$$=-\frac{\partial p}{dz}\cdot\Delta z\cdot\Delta x\cdot\Delta y$$

$$=-\frac{dp}{dz}\cdot\Delta V$$ (3.200)

Daraus folgt die Behauptung.

Eine andere Möglichkeit des Beweises ist: Wähle ein Volumenelement $\Delta V$ mit der Oberflächen $\Delta a$

$$\Delta\vec{F}_{V}=\int\limits_{\Delta a}d\vec{F=}\int\limits_{\Delta a}-p\cdot\vec{n}da=\int\limits_{\Delta V}\textrm{grad} {}\left( -p\right) dV$$ (3.201)

Beispiel: Wasser:

Kräfte auf ein Volumenelement Wasser

$$p\left( \vec{r}\right) =-\rho_{H_{2}0}\cdot zg$$

$$\vec{r} =\left( x,y,z\right)$$

$$\textrm{grad} {}\left( p\left( \vec{r}\right) \right) =-\left( 0,0,\rho _{H_{2}0}g\right)$$

$$\vec{F}_{V} =\left( 0,0,\rho_{H_{2}0}g\right)$$

$$=\left( 0,0,1000\frac{kg}{m^{3}}\cdot10\frac{m}{s^{2}}\right)$$

$$=\left( 0,0,10^{4}\frac{N}{m^{3}}\right)$$ (3.202)

Der Druck ist also das Potential zur Volumenkraft

$$p\left( \vec{r}\right) =p\left( \vec{r}_{0}\right) -\int \limits_{\vec{r}_{0}}^{\vec{r}}\vec{F}_{v}\left( \vec{r}\right) d\vec{r}$$ (3.203)

Gravitationspotential	$\leftrightarrow$	Feldvektor der Gravitation
Druck	$\leftrightarrow$	Volumenkraft

Analogie zwischen Gravitation und Druck

Daraus folgt:

• Volumenkraft ist wirbelfrei

• Die Flüssigkeitsoberfläche ist eine Äquipotentialfläche. das heisst, $\textrm{grad} {}\vec{p}$ steht senkrecht zur Oberfläche