Wenn wir eine Funktion als Höhenprofil in einer zweidimensionalen Landschaft auffassen, dann ist
Wir können eine Funktion als Höhenangabe über einer zweidimensionalen Grundfläche betrachten.
Gradient als Richtung der stärksten Steigung
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Die Funktion Gradient berechnet das stärkste Gefälle einer Höhenlandschaft über einer
zweidimensionalen Ebene. Sie ist definiert:
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Eine skalare Funktion definiert eine Höhenlandschaft über einer dreidimensionalen Grundfläche. Sie kann nicht mit einfachen Mitteln visualisiert werden. Hier ist die Definition
Gradient einer skalaren Funktion von drei Variablen
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Wir betrachten eine Vektorfunktion
Vektorfeld mit Umrandung
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Wenn wir die Umrandung betrachten, dann sehen wir, dass netto etwas aus ihr herausfliesst. In die -Richtung heisst das, dass
In die -Richtung müssen wir die schräg liegenden Vektoren aufteilen. Die -Komponente, , und ist parallel zur oberen und unteren Umrandung. Sie trägt nichts zum Fluss bei. Also gilt auch für die -Richtung
Die Grösse nennen wir Divergenz oder Quellstärke. Sie ist also
Divergenz oder Quellstärke in 2 Dimensionen
,
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Eine analoge Überlegung kann man sich in drei Dimensionen machen. Die Vektorfunktion ist dann
Divergenz einer Vektorfunktion
in drei Dimensionen
,,
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Wir betrachten wieder eine zweidimensionale Vektorfunktion
Drehung eines schwimmenden Klotzes, Rotation
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Wir nehmen nun an, dass die durch , definierten Strömungen den rechteckigen schwimmenden Klotz beeinflussen. So wie die Vektoren gezeichnet sind, wird er sich drehen. Seine Drehachse zeigt aus der Zeichenebene heraus, also die -Richtung. Die Drehung hat etwas zu tun mit den Grössen
und
Um bei gleicher Drehrichtung (positiv ist im Gegenuhrzeigersinn) eine positive Grösse zu haben, wird bei ein eingefügt. Die Stärke der Drehung ist also
Rotation in zwei Dimensionen
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Für eine dreidimensionale Vektorfunktion
kann man sich überlegen, dass die gleichen Überlegungen wie für die -Ebene auch für die -Ebene (Rotation um ) und die -Ebene (Rotation um ) gelten. Wir definieren also
Rotation in drei Dimensionen
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Man kann sich die Berechnung gut merken mit
Gedankenstütze für Rotation
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Othmar Marti