Berechnung der Fläche unter der Gausskurve

Gesucht ist

$$G = \int\limits_{-\infty}^\infty e^{-A\;x^2} dx$$

Dieses Integral kann in einer Dimension nicht gelöst werden. In zwei Dimensionen ($x$ und $y$) können wir schreiben ($G_x$ ist das Integral mit der Variable $x$ geschrieben)

$$G_x \cdot G_y = \left[\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-A\;x^2} dx\right]\cdot \left[\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-A\;y^2} dy\right]$$

$$= \int\limits_{-\infty}^\infty\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-A\;x^2}e^{-A\;y^2} dx\;dy$$

$$=\int\limits_{-\infty}^\infty\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-A\;\left(x^2+y^2\right)} dx\;dy$$

Wir schreiben nun $G_x \cdot G_y$ in Zylinderkoordinaten. Aus der Jacobi-Determinante bekommt man

$$dx\; dy = r\; dr\; d\phi$$

Also haben wir

$$G_x \cdot G_y = \int\limits_0^{2\pi}\int\limits_0^\infty e^{-A\; r^2} r\; dr\; d\phi$$

$$= 2\pi \int\limits_0^\infty e^{-A\; r^2} r\; dr$$

Nun ist aber

$$\frac{d}{dr}e^{-A\;r^2} = -2A\;r\;e^{-A\;r^2}$$

und damit

$$\int r\; e^{-A\;r^2} dr = -\frac{1}{2A}e^{-A\;r^2}$$

Wir bekommen also

$$G_x \cdot G_y = 2\pi \left(-\frac{1}{2A}e^{-A\;r^2}\right)_0^\infty = \frac{\pi}{A}$$

Schliesslich ist mit $G=\sqrt{G_x\cdot G_y}$

$$\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-A\;x^2} dx = \sqrt{\frac{\pi}{A}}$$ (E..713)

Das wichtige Integral von 0 nach unendlich hat dann den Wert

$$\int\limits_{0}^\infty e^{-A\;x^2} dx = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{A}}$$ (E..714)